定积分习题及答案

第五章 定积分

(A 层次)

1．⎰20

3

cos sin π

xdx x ； 2．⎰-a

dx x a x

2

2

2

； 3．⎰+3

1

2

2

1x

x

dx ；

4．⎰--11

45x xdx ； 5．⎰

+4

1

1

x dx ； 6．⎰--1

4

3

1

1x dx ；

7．⎰

+2

1

ln 1e x

x dx

； 8．⎰

-++0

222

2x x dx

； 9．dx x ⎰+π02cos 1； 10．dx x x ⎰-π

πsin 4

； 11．dx x ⎰-

22

4

cos 4π

π； 12．⎰-++5

5242

312sin dx x x x

x ；

13．⎰3

4

2sin π

πdx x x

； 14．⎰41ln dx x x ； 15．⎰10xarctgxdx ； 16．⎰20

2cos π

xdx e x ； 17．()dx x x ⎰

π

2

sin ； 18．()dx x e

⎰1

ln sin ；

19．⎰-

-24

3

cos cos π

πdx x x ； 20．⎰+4

sin 1sin πdx x

x ； 21．dx x x

x ⎰+π02cos 1sin ；

22．⎰-+21

11ln dx x

x

x ； 23．⎰∞+∞-++dx x x 42

11； 24．⎰20sin ln π

xdx ； 25．(

)()

⎰∞+++0

211dx x x dx

α

()0≥α。

(B 层次)

1．求由0cos 0

=+⎰⎰x

y

t

tdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数

dx

dy 。 2．当x 为何值时，函数()⎰-=x

t dt te x I 0

2

有极值？

3．

()

⎰x x dt t dx

d cos sin 2

cos π。 4．设()⎪⎩⎪

⎨⎧>≤+=1,2

11,12x x x x x f ，求()⎰20dx x f 。

5．()1

lim

2

02

+⎰+∞

→x dt arctgt x

x 。

6．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,sin 21

π

x x x f ，求()()⎰=x dt t f x 0

ϕ。

7．设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧<+≥+=时当时当0,110,11

x e x x

x f x

，求()⎰-2

1dx x f 。

8．()

22

21

lim

n n n n n +++

∞→ 。

9．求∑

=∞

→+n

k n

k n k n ne

n e

1

2lim 。

10．设()x f 是连续函数，且()()⎰+=1

2dt t f x x f ，求()x f 。

11．若⎰

=

-2ln 26

1

x

t

e dt π

，求x 。

12．证明：⎰

-

--<<21

2

121222

dx e e

x 。

13．已知⎰∞+-+∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a x

x

x dx e x a x a x 224lim ，求常数a 。 14．设()⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=-0

,

0,

12

x e x x x f x

，求()⎰-3

1

2dx x f 。

15．设()x f 有一个原函数为x 2

sin 1+，求()⎰'20

2π

dx x f x 。

16．设()x b ax x f ln -+=，在[]3,1上()0≥x f ，求出常数a ，b 使()⎰3

1

dx x f 最

小。

17．已知()2

x e

x f -=，求()()⎰'''1

dx x f x f 。

18．设()()()⎰⎰+-=1

2

22dx x f dx x f x x x f ，求()x f 。 19．()()[]⎰

'-π

2

sin cos cos cos dx x x f x x f 。

20．设0→x 时，()()

()dt t f t x x F x

''-=⎰0

22的导数与2x 是等价无穷小，试求

()0f ''。

(C 层次)

1．设()x f 是任意的二次多项式，()x g 是某个二次多项式，已知

()()()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫

⎝⎛+=

⎰

12140611

f f f dx x f ，求()dx x

g b a ⎰。 2．设函数()x f 在闭区间[]b a ,上具有连续的二阶导数，则在()b a ,内存在ξ，

使得()()()()ξf a b b a f a b dx x f b a

''-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰3

24

12。 3．()x f 在[]b a ,上二次可微，且()0>'x f ，()0>''x f 。试证

()()()()()()2

a f

b f a b dx x f a f a b b

a +-<<-⎰。

4．设函数()x f 在[]b a ,上连续，()x f '在[]b a ,上存在且可积，()()0==b f a f ，试证()()dx x f x f b

a ⎰'≤

2

1(b x a <<)。 5．设()x f 在[]1,0上连续，()01

=⎰dx x f ，()11

=⎰dx x xf ，求证存在一点x ，

10≤≤x ，使()4>x f 。

6．设()x f 可微，()00=f ，()10='f ，()()

d t t x tf x F x

⎰-=022，求()4

lim

x

x F x →。 7．设()x f 在[]b a ,上连续可微，若()()0==b f a f ，则

()

()()x f dx x f a b b

x a b

a

'≤-≤≤⎰max 4

2

。 8．设()x f 在[]B A ,上连续，B b a A <<<，求证()()dx k

x f k x f b a

k ⎰

-+→0

lim

()()a f b f -=。

9．设()x f 为奇函数，在()+∞∞-,内连续且单调增加，()()()dt t f t x x F x

⎰-=0

3，

证明：(1)()x F 为奇函数；(2)()x F 在[)+∞,0上单调减少。