大学物理角动量3
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A
2
2
1
Id
1
1 1 2 2 Md I 2 I1 2 2
合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增 量。这便是定轴转动的动能定理
机械能守恒定律
EP Mgzc
因此刚体的机械能为：
1 E mgz c I 2 2
如果一个包括刚体在内的系统,在运动过程中 外力功和非保守内力功代数和为零,则此系统 的机械能守恒
C
hc
o
ω 3g (1 - sin ) L
d d d d 3g cos d 2L d dt dt
例题10 如图所示，有一由弹性系数为k的弹簧、匀 质滑轮和重物M组成的系统，滑轮质量为m半径为r， 该系统在弹簧为原长时被静止释放。运动过程中绳 与滑轮间无滑动。求:(1)重物M下落h时的速度；(2) 弹簧的最大伸长量。 1 1 1 2 2 2 Mv I kh Mgh 解 2 2 2
I 00 R 2 v B 2gR mR2 I 0
2
例题12 长为l、质量为M的匀质杆可绕通过杆一端的 水平光滑固定轴o转动，开始时杆竖直下垂，如图所示。 有一质量为m的子弹以水平速度射入杆上的A点，并嵌 在杆中，oA=2l/3, 求:(1)子弹射入后瞬间杆的角速度; (2) 杆能转过的最大角度。
上次内容回顾
刚体定轴转动的 角动量定理
L I
dL M dt
d M I I dt
对定轴转动来说,刚体的角加速度与它所受到的力矩正 比,与转动惯量成反比
刚体的进动—非定轴转动问题
dL M dt
L I
d M I I dt
mg
O
例题1 以20N.m的恒力矩作用在有固定轴的转轮上， 在10s内该轮的转速均匀地由零增大到100rev/min。 此时撤去该力矩，转轮经100s而停止。试推算此转轮 对该轴的转动惯量,及摩擦力距。
质量连续分布刚体
I r 2 dm
质量为m、长度为L的细直棒，通过质 心C且垂直于棒的轴
1 I mL2 12
上次内容回顾
均质圆盘(m,R)绕中心轴转动时，
1 I mR 2 2
刚体对任一转轴的转动惯量I等于刚体通过质心的 平行轴的转动惯量Ic加上刚体的总质量M乘以两平行 轴间距离d的平方，即 I=Ic+Md2
1 2 T R= m R 解: 1 2 1 1 1 T2r-T1r = m2r22 2
mg-T2= ma a=R1=r2 ,
1
m1
T1 R
T1
r
m2
2
T2
m
x
v2=2ah，
mg
例题4 一根质量为m、长为l的均匀细棒AB，可绕 一水平光滑轴o在竖直平面内转动，o轴离A端的距离 为 l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕o轴转动， 求棒转过角时的角加速度和角速度。
o
2l l Mg( l - cos ) mg( l - cos ) 3 2
2l/3 mvo A
2l 2 (m vo ) 3 cos 1 1 2 2l 2 l 2l 2[ Ml m( ) ](Mg m g ) 3 3 2 3
刚体力学小结 质点的 角动量 质点的角 动量定理
解
设盘对地的角速度为
1 m 1 2 2 体系初态角动量 [ mR ( R) ]o 2 10 2
末态盘的角动量
1 2 mR 2
o
R/2
R V人地 V人盘 V盘地 v 2
1 m 1 2 1 2 2 [ mR ( R) ] o mR m ( R v ) R 2 2 10 2 10 2 2
解
角动量守恒
o
1 2 2l 2 2l [ Ml m( ) ] mv o 3 3 3
2l/3 mvo A
6m vo l (3M 4m)
(2)杆在转动过程中显然机械能守恒：
以杆的下端点为零势点
l l 1 1 2 2l 2 2 Mg mg [ Ml m( ) ]ω 2 3 2 3 3
上次内容回顾
刚体的角动量 = 刚体上各个质点的角动量之和。设刚 体以角速度ω绕固定轴z转动, Li=Δmiviri=Δmi ri2ω L=(Δmi ri2)ω I=Δmi ri2,称为
L Z
ri
o
L I
mi
vi
上次内容回顾
I=Δmi ri2
和转轴有关,
和物体的质量和质量分布有关
2v o 21R
o
(2) 欲使盘静止，可令
R/2
2v o 0 21R
21 v R o 2
定轴转动的功和能
刚体绕oz转动，外力F作用在与转轴距离为 r 的p点，刚体在F作用下转过d角度，在此过 程功为：
dA F dr F rd sin Md
解：
对m: 对柱：
1 I MR 2 2
mg-T=ma TR=I，
a=R
M
R
T m mg
解得 =2mg/[(2m+M)R], T=Mmg/(2m+M)。
x
例题3 质量m1半径为R的匀质圆盘可绕水平光滑轴转 动，一轻绳缠绕于盘上，另一端通过质量为m2半径r 的具有水平光滑轴的圆盘形定滑轮后挂有质量为m的 物体，如图所示。求当物体m由静止开始下落了h时， 求:物体m的速度及 绳中的张力。
20-Mr=I 1，
M r I 2
1= /t1
o
2 t
2
2
I 17.3kgm
M r 1.8N.m
例题2 质量为M、半径为R的匀质柱体可绕通过其中心 轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有一根不能伸长 的细绳，绳子下端挂一质量为m的物体，如图所示。求柱 体的角加速度及绳中的张力。
三大守恒定律的守恒条件 系统角动量守恒的条件是：
当 M外 0时
系统动量守恒的条件是：
L 常矢量
当 F外 0时
Pi i
常矢量
系统的机械能守恒的条件是:
当A外 A非保内 0时
Ep Ek 常数
例题6 粗糙的水平桌面上，有一长为2L、质量为m的匀 质细杆，可绕通过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴o 自由转动，杆与桌面间的摩擦系数为µ，起初杆静止。桌 面上有两个质量均为m的小球，各自在垂直于杆的方向上， 正对着杆的一端，以相同的速率v相向运动，并与杆的两 端同时发生完全非弹性碰撞(设碰撞时间极短), 如图,求: (1) 两小球与杆刚碰后，这一系统的角速度为多少？ (2)杆经多少时间停止转动？(不计两小球重力造成的摩擦 力矩）
I=常量
定轴转动的物体如果是 刚体，则 角速度恒定
定轴转动的物体如果不 是刚体
若I增大则减小 I减小则增大
系统定轴转动的角动量守恒
如果是几个物体组成的 系统， 只要系统所受到的外力 矩矢量和为 零，系统总角动量守恒
dL M dt
o
转轴存在运动的情况
可以证明：在物体有整 体运动的情况 下（既有平动又有转动 ），只要物体所受 到的合外力对通过其质 心的轴的力矩为零， 则物体对这个轴的角动 量保持不变。
所以
0
d 0
3g cos d 2l
A o C B
完成积分得
3g sin l
mg
讨论: (1)当=0时，=3g/2l， =0 ； (2)当=90°时， =0，=(3g/l)1/2。
例题5 一质量为m、半径为R的匀质圆盘绕通过盘 心且垂直于盘面的光滑轴正以o的角速度转动。现将 盘置于粗糙的水平桌面上，圆盘与桌面间的摩擦系数 为µ ，求圆盘经转几圈将停下来？
例8， 飞轮质量为 m 200 kg, 在恒力矩 M 的作 用下由静止开下由静止转动，经5转后飞轮的 转速为每分钟 120转，若飞轮的质量可以 近似 的看作均匀分布在半径 为0.5米的轮的轮缘上， 求 力矩 M 的大小
1 2 1 2 A Md I 2 I1 2 2
1 0
1 2 I mR 2
计算出来摩 擦力矩是关键
o
r
dr
M
R
0
m 2 r g 2rdr mgR 2 3 R
2 m M r g 2rdr mgR 2 0 3 R 1 I mR 2 2
R
o r
dr
M 4g 于是得 I 3R
o
A
I 00 ( I 0 mR2 )
I 00 I 0 mR2
B
O
R
C
机械能守恒
1 1 2 1 2 2 I 00 mgR I 0 mv 2 2 2
o
A
Leabharlann Baidu
B
O
R
上式中的v是小球相对于地的速 度，它应为
v (R) vB
2 2
2
vB表示小球在B点时相对于地面的竖直分 速度(即相对于环的速度)。
k
1 2 I mr 2
m r
M
，v=
r
2 Mgh kh2 v 1 M m 2
零势面
h
h Max
2 Mg k
例题11 空心园环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转 动，转动惯量为Io ,半径为R，初始角速度为o 。质量 为m的小球静止在环的最高处A点，由于某种扰动， 小球沿环向下滑动，求小球滑到与环心O在同一高度 的B点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为多 少。(设环的内壁和小球都是光滑的，环截面很小) 解 角动量守恒
1 1 2 mi vi mi ri 2 2 2 2
1 2 E k mi ri 2 2 i
1 2 I 2
刚体的动能是转动惯量乘以角速度 平方的一半
v ri i
刚体定轴转动的动能定理
d M I I dt
在上式两边同乘以d并积分得：
2
1
M d
解
l M o mg cos 6
Io 1 l 1 ml 2 m( ) 2 ml 2 12 6 9
A
o
C
B
mg
M o 3g cos Io 2l
3g d d d d cos 2l dt d dt d
d 3 g d d d cos d 2l dt d dt
1 2 A M I 2 2
M 125 .6 N m
例9一质量为m、长为L的均匀细直棒可绕其一端且 与棒垂直的水平光滑固定轴o转动。开始时，棒静止 在竖直位置，求棒转到与水平面成角时的角速度和 角加速度 1 2 L L mg mg sin I 2 2 2
1 2 I mL 3
质点系的 角动量定理 定轴转动 角动量 定轴转动 动能和功
质点的角动 量守恒定律
在继承的 基础上创新
m
解
碰撞过程中有角动量守恒 v
m
o
.
v
碰撞过程中有角动量守恒
m
o
mvL 2 ( I 2mL )
2
v m
6v 7L
.
v
I
1 1 m(2 L) 2 mL2 12 3
(2)
M 2
M
L
0
L m gdx x mg 2 2L
o
3g I 14L
.
fr
dm
由= o+t：
4v t g
x dx
例题7 匀质园盘(m、R)与一人(m/10,视为质点)一起 以角速度o绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动,如图 所示。如果此人相对于盘以速率v、沿半径为R/2的园 周运动(方向与盘转动方向相反), 求:(1)圆盘对地的角速 度;(2)欲使园盘对地静止，人相对园盘的速度大小和方 向？
Z
当刚体在力矩M的作用下由角 1转到2时,力矩所作的功为
A Md
1
2
o
d
力矩的功率是 P=dA/dt=Md /dt=M
ds r p
F
定轴转动中的动能
刚体的转动动能 =刚体上各质点动能之和 ,设刚体 绕一定轴以角速度转动,第i个质点的质量为Δmi,它 到转轴的距离为ri,它的线速度vi=riω. 相应的动能
又由2-o2=2，所以停下来前转过的圈数为
o 3o R N 2 2 16g
2 2
定轴转动的角动量守恒定律
dL M dt
L I
dL d ( I) M dt dt
若物体所受的合外力矩为零(即Ｍ＝0)时，则 I=常量 这表明：当合外力矩为零时,物体的角动量将保持不 变，这就是定轴转动的角动量守恒定律 说明：在惯性系下成立
2
2
1
Id
1
1 1 2 2 Md I 2 I1 2 2
合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增 量。这便是定轴转动的动能定理
机械能守恒定律
EP Mgzc
因此刚体的机械能为：
1 E mgz c I 2 2
如果一个包括刚体在内的系统,在运动过程中 外力功和非保守内力功代数和为零,则此系统 的机械能守恒
C
hc
o
ω 3g (1 - sin ) L
d d d d 3g cos d 2L d dt dt
例题10 如图所示，有一由弹性系数为k的弹簧、匀 质滑轮和重物M组成的系统，滑轮质量为m半径为r， 该系统在弹簧为原长时被静止释放。运动过程中绳 与滑轮间无滑动。求:(1)重物M下落h时的速度；(2) 弹簧的最大伸长量。 1 1 1 2 2 2 Mv I kh Mgh 解 2 2 2
I 00 R 2 v B 2gR mR2 I 0
2
例题12 长为l、质量为M的匀质杆可绕通过杆一端的 水平光滑固定轴o转动，开始时杆竖直下垂，如图所示。 有一质量为m的子弹以水平速度射入杆上的A点，并嵌 在杆中，oA=2l/3, 求:(1)子弹射入后瞬间杆的角速度; (2) 杆能转过的最大角度。
上次内容回顾
刚体定轴转动的 角动量定理
L I
dL M dt
d M I I dt
对定轴转动来说,刚体的角加速度与它所受到的力矩正 比,与转动惯量成反比
刚体的进动—非定轴转动问题
dL M dt
L I
d M I I dt
mg
O
例题1 以20N.m的恒力矩作用在有固定轴的转轮上， 在10s内该轮的转速均匀地由零增大到100rev/min。 此时撤去该力矩，转轮经100s而停止。试推算此转轮 对该轴的转动惯量,及摩擦力距。
质量连续分布刚体
I r 2 dm
质量为m、长度为L的细直棒，通过质 心C且垂直于棒的轴
1 I mL2 12
上次内容回顾
均质圆盘(m,R)绕中心轴转动时，
1 I mR 2 2
刚体对任一转轴的转动惯量I等于刚体通过质心的 平行轴的转动惯量Ic加上刚体的总质量M乘以两平行 轴间距离d的平方，即 I=Ic+Md2
1 2 T R= m R 解: 1 2 1 1 1 T2r-T1r = m2r22 2
mg-T2= ma a=R1=r2 ,
1
m1
T1 R
T1
r
m2
2
T2
m
x
v2=2ah，
mg
例题4 一根质量为m、长为l的均匀细棒AB，可绕 一水平光滑轴o在竖直平面内转动，o轴离A端的距离 为 l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕o轴转动， 求棒转过角时的角加速度和角速度。
o
2l l Mg( l - cos ) mg( l - cos ) 3 2
2l/3 mvo A
2l 2 (m vo ) 3 cos 1 1 2 2l 2 l 2l 2[ Ml m( ) ](Mg m g ) 3 3 2 3
刚体力学小结 质点的 角动量 质点的角 动量定理
解
设盘对地的角速度为
1 m 1 2 2 体系初态角动量 [ mR ( R) ]o 2 10 2
末态盘的角动量
1 2 mR 2
o
R/2
R V人地 V人盘 V盘地 v 2
1 m 1 2 1 2 2 [ mR ( R) ] o mR m ( R v ) R 2 2 10 2 10 2 2
解
角动量守恒
o
1 2 2l 2 2l [ Ml m( ) ] mv o 3 3 3
2l/3 mvo A
6m vo l (3M 4m)
(2)杆在转动过程中显然机械能守恒：
以杆的下端点为零势点
l l 1 1 2 2l 2 2 Mg mg [ Ml m( ) ]ω 2 3 2 3 3
上次内容回顾
刚体的角动量 = 刚体上各个质点的角动量之和。设刚 体以角速度ω绕固定轴z转动, Li=Δmiviri=Δmi ri2ω L=(Δmi ri2)ω I=Δmi ri2,称为
L Z
ri
o
L I
mi
vi
上次内容回顾
I=Δmi ri2
和转轴有关,
和物体的质量和质量分布有关
2v o 21R
o
(2) 欲使盘静止，可令
R/2
2v o 0 21R
21 v R o 2
定轴转动的功和能
刚体绕oz转动，外力F作用在与转轴距离为 r 的p点，刚体在F作用下转过d角度，在此过 程功为：
dA F dr F rd sin Md
解：
对m: 对柱：
1 I MR 2 2
mg-T=ma TR=I，
a=R
M
R
T m mg
解得 =2mg/[(2m+M)R], T=Mmg/(2m+M)。
x
例题3 质量m1半径为R的匀质圆盘可绕水平光滑轴转 动，一轻绳缠绕于盘上，另一端通过质量为m2半径r 的具有水平光滑轴的圆盘形定滑轮后挂有质量为m的 物体，如图所示。求当物体m由静止开始下落了h时， 求:物体m的速度及 绳中的张力。
20-Mr=I 1，
M r I 2
1= /t1
o
2 t
2
2
I 17.3kgm
M r 1.8N.m
例题2 质量为M、半径为R的匀质柱体可绕通过其中心 轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有一根不能伸长 的细绳，绳子下端挂一质量为m的物体，如图所示。求柱 体的角加速度及绳中的张力。
三大守恒定律的守恒条件 系统角动量守恒的条件是：
当 M外 0时
系统动量守恒的条件是：
L 常矢量
当 F外 0时
Pi i
常矢量
系统的机械能守恒的条件是:
当A外 A非保内 0时
Ep Ek 常数
例题6 粗糙的水平桌面上，有一长为2L、质量为m的匀 质细杆，可绕通过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴o 自由转动，杆与桌面间的摩擦系数为µ，起初杆静止。桌 面上有两个质量均为m的小球，各自在垂直于杆的方向上， 正对着杆的一端，以相同的速率v相向运动，并与杆的两 端同时发生完全非弹性碰撞(设碰撞时间极短), 如图,求: (1) 两小球与杆刚碰后，这一系统的角速度为多少？ (2)杆经多少时间停止转动？(不计两小球重力造成的摩擦 力矩）
I=常量
定轴转动的物体如果是 刚体，则 角速度恒定
定轴转动的物体如果不 是刚体
若I增大则减小 I减小则增大
系统定轴转动的角动量守恒
如果是几个物体组成的 系统， 只要系统所受到的外力 矩矢量和为 零，系统总角动量守恒
dL M dt
o
转轴存在运动的情况
可以证明：在物体有整 体运动的情况 下（既有平动又有转动 ），只要物体所受 到的合外力对通过其质 心的轴的力矩为零， 则物体对这个轴的角动 量保持不变。
所以
0
d 0
3g cos d 2l
A o C B
完成积分得
3g sin l
mg
讨论: (1)当=0时，=3g/2l， =0 ； (2)当=90°时， =0，=(3g/l)1/2。
例题5 一质量为m、半径为R的匀质圆盘绕通过盘 心且垂直于盘面的光滑轴正以o的角速度转动。现将 盘置于粗糙的水平桌面上，圆盘与桌面间的摩擦系数 为µ ，求圆盘经转几圈将停下来？
例8， 飞轮质量为 m 200 kg, 在恒力矩 M 的作 用下由静止开下由静止转动，经5转后飞轮的 转速为每分钟 120转，若飞轮的质量可以 近似 的看作均匀分布在半径 为0.5米的轮的轮缘上， 求 力矩 M 的大小
1 2 1 2 A Md I 2 I1 2 2
1 0
1 2 I mR 2
计算出来摩 擦力矩是关键
o
r
dr
M
R
0
m 2 r g 2rdr mgR 2 3 R
2 m M r g 2rdr mgR 2 0 3 R 1 I mR 2 2
R
o r
dr
M 4g 于是得 I 3R
o
A
I 00 ( I 0 mR2 )
I 00 I 0 mR2
B
O
R
C
机械能守恒
1 1 2 1 2 2 I 00 mgR I 0 mv 2 2 2
o
A
Leabharlann Baidu
B
O
R
上式中的v是小球相对于地的速 度，它应为
v (R) vB
2 2
2
vB表示小球在B点时相对于地面的竖直分 速度(即相对于环的速度)。
k
1 2 I mr 2
m r
M
，v=
r
2 Mgh kh2 v 1 M m 2
零势面
h
h Max
2 Mg k
例题11 空心园环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转 动，转动惯量为Io ,半径为R，初始角速度为o 。质量 为m的小球静止在环的最高处A点，由于某种扰动， 小球沿环向下滑动，求小球滑到与环心O在同一高度 的B点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为多 少。(设环的内壁和小球都是光滑的，环截面很小) 解 角动量守恒
1 1 2 mi vi mi ri 2 2 2 2
1 2 E k mi ri 2 2 i
1 2 I 2
刚体的动能是转动惯量乘以角速度 平方的一半
v ri i
刚体定轴转动的动能定理
d M I I dt
在上式两边同乘以d并积分得：
2
1
M d
解
l M o mg cos 6
Io 1 l 1 ml 2 m( ) 2 ml 2 12 6 9
A
o
C
B
mg
M o 3g cos Io 2l
3g d d d d cos 2l dt d dt d
d 3 g d d d cos d 2l dt d dt
1 2 A M I 2 2
M 125 .6 N m
例9一质量为m、长为L的均匀细直棒可绕其一端且 与棒垂直的水平光滑固定轴o转动。开始时，棒静止 在竖直位置，求棒转到与水平面成角时的角速度和 角加速度 1 2 L L mg mg sin I 2 2 2
1 2 I mL 3
质点系的 角动量定理 定轴转动 角动量 定轴转动 动能和功
质点的角动 量守恒定律
在继承的 基础上创新
m
解
碰撞过程中有角动量守恒 v
m
o
.
v
碰撞过程中有角动量守恒
m
o
mvL 2 ( I 2mL )
2
v m
6v 7L
.
v
I
1 1 m(2 L) 2 mL2 12 3
(2)
M 2
M
L
0
L m gdx x mg 2 2L
o
3g I 14L
.
fr
dm
由= o+t：
4v t g
x dx
例题7 匀质园盘(m、R)与一人(m/10,视为质点)一起 以角速度o绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动,如图 所示。如果此人相对于盘以速率v、沿半径为R/2的园 周运动(方向与盘转动方向相反), 求:(1)圆盘对地的角速 度;(2)欲使园盘对地静止，人相对园盘的速度大小和方 向？
Z
当刚体在力矩M的作用下由角 1转到2时,力矩所作的功为
A Md
1
2
o
d
力矩的功率是 P=dA/dt=Md /dt=M
ds r p
F
定轴转动中的动能
刚体的转动动能 =刚体上各质点动能之和 ,设刚体 绕一定轴以角速度转动,第i个质点的质量为Δmi,它 到转轴的距离为ri,它的线速度vi=riω. 相应的动能
又由2-o2=2，所以停下来前转过的圈数为
o 3o R N 2 2 16g
2 2
定轴转动的角动量守恒定律
dL M dt
L I
dL d ( I) M dt dt
若物体所受的合外力矩为零(即Ｍ＝0)时，则 I=常量 这表明：当合外力矩为零时,物体的角动量将保持不 变，这就是定轴转动的角动量守恒定律 说明：在惯性系下成立