李文学及其速算法简介
李比希法计算方法
李比希法计算方法李比希法（Leibniz method）是一种用于计算圆周率π的数学方法，由德国数学家莱布尼兹（Leibniz）在17世纪提出。
这种方法通过对无穷级数进行逼近，可以得到π的近似值。
在本文中，我们将介绍李比希法的原理和计算步骤，并给出一个简单的示例来说明这一方法的应用。
首先，我们来看一下李比希法的原理。
该方法是基于无穷级数的思想，即通过对一个无限序列进行求和，来逼近某个数。
在李比希法中，我们使用以下的无穷级数来计算π的近似值：π/4 = 1 1/3 + 1/5 1/7 + 1/9 ...通过对这个级数进行求和，我们可以得到π/4的近似值，进而得到π的近似值。
接下来，我们将介绍如何使用这个级数来计算π的近似值。
首先，我们定义一个变量sum来表示级数的部分和，初始值为0。
然后，我们使用一个循环来依次加上级数的每一项，直到达到一定的精度要求为止。
在每一次循环中，我们需要根据当前的循环次数来确定加上还是减去当前项。
具体的计算步骤如下：1. 初始化变量sum为0。
2. 设定一个精度要求，例如10^-6。
3. 使用一个循环来计算级数的部分和，直到达到精度要求为止。
4. 在循环中，依次加上或减去级数的每一项，直到达到精度要求为止。
5. 每次加上或减去一项后，更新sum的值。
6. 当达到精度要求时，停止循环并计算出π的近似值。
下面，我们通过一个简单的示例来说明如何使用李比希法来计算π的近似值。
示例：我们设定精度要求为10^-6，然后使用李比希法来计算π的近似值。
```python。
sum = 0。
sign = 1。
denominator = 1。
precision = 1e-6。
term = 1。
while term > precision:term = 1 / denominator。
if sign == 1:sum += term。
else:sum -= term。
denominator += 2。
李委明四大速算方法
资料分析四大速算技巧（一）作者：李委明李委明提示：“差分法”是在比较两个分数大小时，用“直除法”或者“化同法”等其他速算方式难以解决时可以采取的一种速算方式。
适用形式：两个分数作比较时，若其中一个分数的分子与分母都比另外一个分数的分子与分母分别仅仅大一点，这时候使用“直除法”、“化同法”经常很难比较出大小关系，而使用“差分法”却可以很好地解决这样的问题。
基础定义：在满足“适用形式”的两个分数中，我们定义分子与分母都比较大的分数叫“大分数”，分子与分母都比较小的分数叫“小分数”，而这两个分数的分子、分母分别做差得到的新的分数我们定义为“差分数”。
例如：324/53.1与313/51.7比较大小，其中324/53.1就是“大分数”，313/51.7就是“小分数”，而324-313/53.1-51.7=11/1.4就是“差分数”。
“差分法”使用基本准则——“差分数．．．”作比较．．．：．．“大分数．．．”代替．．．”与．“小分数1、若差分数比小分数大，则大分数比小分数大；2、若差分数比小分数小，则大分数比小分数小；3、若差分数与小分数相等，则大分数与小分数相等。
比如上文中就是“11/1.4代替324/53.1与313/51.7作比较”，因为11/1.4＞313/51.7（可以通过“直除法”或者“化同法”简单得到），所以324/53.1＞313/51.7。
特别注意：一、“差分法”本身是一种“精算法”而非“估算法”，得出来的大小关系是精确的关系而非粗略的关系；二、“差分法”与“化同法”经常联系在一起使用，“化同法紧接差分法”与“差分法紧接化同法”是资料分析速算当中经常遇到的两种情形。
三、“差分法”得到“差分数”与“小分数”做比较的时候，还经常需要用到“直除法”。
四、如果两个分数相隔非常近，我们甚至需要反复运用两次“差分法”，这种情况相对比较复杂，但如果运用熟练，同样可以大幅度简化计算。
【例1】比较7/4和9/5的大小【解析】运用“差分法”来比较这两个分数的大小关系：大分数小分数9/5 7/49－7/5－1=2/1(差分数)根据：差分数=2/1＞7/4=小分数因此：大分数=9/5＞7/4=小分数李委明提示：使用“差分法”的时候，牢记将“差分数”写在“大分数”的一侧，因为它代替的是“大分数”，然后再跟“小分数”做比较。
李文学及其速算法简介
李文学及其速算法简介李文学，男，1963年生，党校毕业。
中国著名速算专家，智力宝典《李文学速算法》创立人。
李文学14岁发现了加减“分割法”的本质规律，求证出乘法和平方的“乘法心算公式”，并将乘法和平方倒算，求证出除法和开平方的心算定理，从而创立了比传统计算方法更科学、更广泛、更简单、计算速度更快的真正的速算方法。
1996年开始，李文学先后在北京、南京、镇江、苏州等地区，历时8年，几十家幼儿园和校外培训单位进行实验教学，直接或间接培养出几万名优秀儿童，并教授万余名成人。
先后出版《JB快速心算法》（解放军出版社）、《加减乘速算通》（科普出版社）、《儿童快速心算法》六集光碟（九州音像出版公司）、最新版《李文学速算大全》（友谊出版公司）。
全国三、四十家新闻媒体积极报道，在全国上引起广泛赞誉。
通过八年的实践教学，我们的出一个惊人的结论：现代儿童教育的结果，注意力集中、记忆力强、数学思维能力好的优秀儿童占不到30%；现代儿童教育加上《李文学速算法》训练的结果，注意力集中、记忆力强、数学思维能力好的优秀儿童占60%~80%，这是一个学习者十分赞誉的事实。
那么，《李文学速算法》有什么神奇的魅力而让学习者叹为观止的呢？①多位任意数加、减、乘、除、平方、开平方及其混合运算高、中、低位均能快速学习及快速心算；②源于传统且高于传统，比传统计算方法更科学、更广泛、更简单、计算速度更快，是数学中完整的速算科学体系；③无任何死记硬背、无科学瑕疵、不与数学法则发生矛盾，且人人一学即会、一练即快；④是普通少年儿童数学入门、学好奥数、培养优秀儿童及数学天才的重要基础。
⑤对培养少年儿童注意力集中、记忆力增强、数学思维能力提高有着良好的效果，被广大少年儿童及其家长誉为神奇的“智力体操”！真是，数学好，智力高，李文学速算是法宝！各人群学习速算能力简表。
关于中国古典数学认识刍议
关于中国古典数学认识刍议记不得什么时候了，在与北京师范大学著名数学教授、数学系原主任严士健先生聊天时，我对他说，对中国古代数学，我们实际上只知道几个点，我们数学史工作者的任务是将“点”串联成“线”，成为数学史。
2009年5月22-25日在北京师范大学召开的第三届数学史与数学教育国际研讨会上，严先生在致辞中谈到了我的上述看法，表示赞同。
十几年来，这种想法一直萦绕于心，却没有时间整理。
今借第26届国际科学史大会中国数学史组召开之机，将这种看法阐述如下，以就教于方家。
一、值得注意的几个现象中国古典数学的成就，特别是其最辉煌的时期，即从公元前2~3世纪至14世纪初的成就，日渐得到国内外有识之士和公正学者的认可。
但是，对中国古典数学，有几个现象值得我们注意。
1.1 西汉至元中叶的大部分数学著作亡佚自先秦到清末现存的数学著作到底有多少，没有精确统计过，有人说是二千余部，有人说是一千余部。
但是无论如何，它们绝大多数产生于明末至清末。
产生于明末以前的仅存三四十部，而成就最大、最辉煌的西汉初至元中叶，只有《周髀筭经》（赵爽注）、张苍耿寿昌编定的《九章筭术》（刘徽注、李淳风等注释）、徐岳的《数术记遗》（甄鸾注）、刘徽的《海岛筭经》（李淳风等注释）、《孙子筭经》、张丘建的《张丘建筭经》（刘孝孙细草）、甄鸾的《五曹筭经》、甄鸾的《五经筭术》、王孝通的《缉古筭经》、赝本《夏侯阳筭经》、《筭学源流》、秦九韶的《数书九章》、李冶的《测圆海镜》、李冶的《益古演段》、杨辉的《详解九章筭法》（存约三分之二，包括贾宪的《黄帝九章筭经细草》）、杨辉的《乘除通变本末》、杨辉的《田亩比类乘除捷法》、杨辉的《续古摘奇筭法》（后三者常合称为《杨辉筭法》）、朱世杰的《筭学启蒙》、朱世杰的《四元玉鉴》等20部传世[1]。
当然，这决不意味着自西汉至元中叶就只出现了这20部数学著作。
二十四史中的艺文志、经籍志列出的数学著作，大部分失传了。
中国古典数学的著述大体分两类，一类是《九章筭术》那样的综合性著作，一类是为《九章筭术》作注[2]。
李委明十大速算技巧(完整版)
★【速算技巧一：估算法】 “估算法”毫无疑问是资料分析题当中的速算第一法，在所有计算进行之前必须考虑能否先行估算。
所谓估算，是在精度要求并不太高的情况下，进行粗略估值的速算方式，一般在选项相差较大，或者在被比较数据相差较大的情况下使用。
估算的方式多样，需要各位考生在实战中多加训练与掌握。
进行估算的前提是选项或者待比较的数字相差必须比较大，并且这个差别的大小决定了“估算”时候的精度要求。
★【速算技巧二：直除法】李委明提示：“直除法”是指在比较或者计算较复杂分数时，通过“直接相除”的方式得到商的首位（首一位或首两位），从而得出正确答案的速算方式。
“直除法”在资料分析的速算当中有非常广泛的用途，并且由于其“方式简单”而具有“极易操作”性。
“直除法”从题型上一般包括两种形式：一、比较多个分数时，在量级相当的情况下，首位最大/小的数为最大/小数；二、计算一个分数时，在选项首位不同的情况下，通过计算首位便可选出正确答案。
“直除法”从难度深浅上来讲一般分为三种梯度：一、简单直接能看出商的首位；二、通过动手计算能看出商的首位；三、某些比较复杂的分数，需要计算分数的“倒数”的首位来判定答案。
【例1】56.10134.489294.13343.559310.7454.813222.0349.738、、、中最大的数是（ ）。
【解析】直接相除：30.2294.837＝30＋，10.7454.8132＝30-，94.13343.5593＝30-，56.10134.4892＝30-， 明显30.2294.837为四个数当中最大的数。
【例2】324094103、328954701、239553413、128941831中最小的数是（ ）。
【解析】32409/4103、23955/3413、12894/1831都比7大，而32895/4701比7小，因此四个数当中最小的数是32895/4701。
李委明提示：即使在使用速算技巧的情况下，少量却有必要的动手计算还是不可避免的。
简明速算法高位分段累加算术_随笔
《简明速算法高位分段累加算术》读书札记目录一、内容概述 (2)二、书籍概述 (3)三、书中主要理论及方法 (4)3.1 高位分段累加算术基本概念 (5)3.2 速算技巧及方法介绍 (6)3.3 实际应用案例分析 (7)四、重点内容解读 (8)4.1 高位分段累加算术的原理剖析 (10)4.2 书中关键速算技巧详解 (11)4.3 难点解析与思路梳理 (12)五、心得体会 (12)六、书中问题及个人见解 (13)6.1 书中存在的问题分析 (14)6.2 个人对速算法的见解与观点 (15)七、实际应用与拓展延伸 (16)7.1 高位分段累加算术在实际生活中的应用 (17)7.2 速算法的拓展与延伸思考 (19)八、结论总结与感悟启示 (20)8.1 对高位分段累加算术的总结与反思 (21)8.2 感悟启示与未来展望 (22)一、内容概述《简明速算法高位分段累加算术》主要围绕速算法中的高位分段累加算术这一主题展开。
该读书札记详细介绍了高位分段累加算术的基本概念、原理和应用方法，以帮助读者理解和掌握速算法在解决实际问题中的实际应用。
本段落首先从总体上介绍了全书的主要内容，全书分为几个主要部分，每一部分都有其特定的主题和内容。
介绍了高位分段累加算术的起源和背景，阐述了其在数学和实际生活中的应用价值。
详细阐述了高位分段累加算术的基本原理和计算方法，包括如何进行位数的划分、如何进行累加计算等。
还介绍了速算法在解决实际问题中的应用，如数学计算、财务管理、数据分析等领域的应用实例。
本读书札记旨在通过简洁明了的语言和实例，使读者快速掌握高位分段累加算术的基本知识和应用方法。
通过学习和实践，读者可以更加高效地进行数值计算，提高解决实际问题的能力。
本读书札记还强调了对速算法思维的锻炼和培养，帮助读者形成良好的计算习惯和思维方式。
《简明速算法高位分段累加算术》读书札记的内容涵盖了高位分段累加算术的基本概念、原理、计算方法以及实际应用等方面，旨在帮助读者更好地理解和掌握速算法在解决实际问题中的应用。
最新人教版小学数学六年级上册文学常识
最新人教版小学数学六年级上册文学常识文学常识是小学数学六年级上册的一部分。
通过研究文学常识，学生能够增强对数学知识的理解和应用能力。
本文档将简要介绍最新人教版小学数学六年级上册中的文学常识内容。
古代数学家及其成就中国古代有许多杰出的数学家，他们对数学的发展做出了巨大贡献。
以下是一些重要的古代数学家及其成就：1. 刘徽（约250年-约330年）：刘徽是中国南北朝时期的数学家，他的代表作品是《九章算术》，这是一本十分重要的古代数学著作。
2. 杨辉（约1238年-约1298年）：杨辉是中国元朝时期的数学家，他的代表作品是杨辉三角形，这是一个非常有趣和有用的数学概念。
3. 秦九韶（1202年-1261年）：秦九韶是中国南宋时期的数学家，他提出了“秦九韶算法”，这是一种高效的计算方法，在算术和代数中有广泛应用。
数学常识与文学名著数学常识也可以在文学作品中找到。
以下是一些著名文学作品与其包含的数学常识的例子：1. 《红楼梦》：这是一部中国四大名著之一，作者是曹雪芹。
在《红楼梦》中，有一些与数学相关的描写，如游戏中的算术题和角度的计算。
2. 《童年》：这是俄国作家高尔基的自传体小说。
在《童年》中，高尔基描述了他小时候对数学的兴趣和热爱。
3. 《安徒生童话》：这是丹麦作家安徒生的经典童话集。
一些童话故事中涉及到数学概念，如《百变罐子》中的几何形状和《纺锤》中的时间概念。
数学常识与社会实践数学常识也与社会实践密切相关。
以下是一些数学常识在社会实践中的应用：1. 银行和金融：在银行和金融领域，数学是不可或缺的工具。
数学可以用于计算利息、外汇交易和投资分析等方面。
2. 交通规划：数学在交通规划领域的应用越来越广泛，如通过数学模型来优化交通流量和路线规划。
3. 数据分析：在现代社会，数据分析是一项重要的技能。
数学的统计学和概率论知识可以帮助人们进行数据分析，得出准确的结论。
总结小学数学六年级上册的文学常识内容，通过介绍古代数学家及其成就、文学作品中的数学常识以及数学常识在社会实践中的应用，帮助学生更好地理解和应用数学知识。
最新速算讲义
2013 年暑假快速计算讲义
作者：李高文 目录 前言 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 快速计算的意义 从简便运算说起 大九九乘法口诀表 关于 25×、125×、625×的快速计算 介绍几种快速计算 半杯水乘法 特例快速计算
1
九心智成校外活动中心
前言 快速计算的意义 同学们，在我们日常生活和学习中，时刻离不开数学计算，怎样计算得又正确又 迅速，在方法上既合理又灵活呢？学习速算和巧算是很有必要的，巧算四则运算，我 们要合理的运用运算定律和运算性质，正确掌握加法的交换律、结合律；乘法的结合 律、交换律，以及乘法的分配律，适当的改变运算顺序，提高巧算的能力。 第一章 从简便运算说起 简便计算是一种特殊的计算，它运用了运算定律与数字的基本性质，从而使计算 简便，使一个很复杂的式子变得很容易计算。 一、回顾：加法和乘法的运算定律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律： （a+b）+c=a+（b+c） 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律： （a×b）×c=a×（b×c） 乘法分配律：a-b-c=a-（b+c） 二、解题技巧 1、可以记住几组特殊的两数之积：25×4=100 50×2=100 75×4=300 125×8=1000 625×16=10000 2、有关“0”和“1”的运算： （1）a+0=a a-0=a a-a=0 a×0=0 0÷a=0 （a 0） （2）a×1=a a÷1=a a÷a=1 （a 0） 3、 多个数相加， 运用加法的交换律、 结合律，用 “凑整法” 先加整十、 整百、 整千…… 的数，可以使计算简便。 4、在减法中，把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去；尾数相同 的数先相减，可以使计算简便。 5、 “配对求和差” 、 “分组求和差” 、 “基准数法”都是计算比较长的数列的好方法。 6、在一个算式中，如果只加减法或只有乘除法，那么算式中的数可以交换位臵，但 要注意的是所有的数前面符号一定要一起进行交换。 （即：同级运算可交换，符号随 着数字跑） 例题精讲 1、用简便方法求和（三年级） 凑整 例 1：298＋76 768＋2005 ① 536＋(541＋464)＋459 （带着符号搬家） ② 248+98 （多加的要减去 ） 拆分 ③ 567＋558+433＋442＋563 （带着符号搬家，注意数字的特点） ④ 375+206 （少加的要加上） 用简便方法求和（四、五、六年级） ①53.6＋(54.1＋46.4)＋45.9 ② 248+98 ③5.67＋5.58+4.33＋4.42＋5.63 ④ 375+206 2、用简便方法求差：（三年级） 834－497 1476－207 ①1870-280-520 （添括号） ② 4250-294＋94
李学数的句关资料将其简介及争要事迹整理成500字左右的文章
李学数的句关资料将其简介及争要事迹整理成500字
左右的文章
李学数，又名李信明，1945年出生于新加坡，毕业于南洋大学数学系，留学加拿大缅尼多巴大学，获得数学硕士学位。
1973年起在法国南巴黎大学从事7年半研究工作。
后到哥伦比亚大学攻读计算机硕士学位，1984年获得史蒂文斯理工大学数学博士学位。
现为美国圣何塞州立大学计算机系退休教授，发表多篇论文。
喜读中国史及文学名著。
写过很多数学普及文章，《数学和数学家的故事》是其代表作。
著有《代数趣谈》、《级数趣谈》、《天鹅座X—1868星球历险记》、《代数的用处》、《奇妙的自然数》、《从日本的猜想游戏谈到奇妙的数字“黑洞”》等儿童科普读物和科学幻想故事多种。
其系列丛书《数学和数学家的故事》是一部具有一定规模的科普著作。
相对于目前华人的同类作品，该作品内容更加丰富、语句更为生动、视角更为新颖。
作者李学数以深厚的功力，广博的知识，将一般人认为枯燥的数学问题，深入浅出、趣味盎然地展现出来。
该书是华人科普书中一部可以流传的佳作。
该书目录包括：数学和数学家的故事(1)一、我是李学数二、访李信明教授三、希腊邮票上的数学定理和中国的“商高定理”四、级数趣谈五、代数趣谈六、趣味的素数七、悬赏十万马克求解的数学问题八、卓越的女数学家苏菲·柯瓦列夫斯基九、挪威天才数学家阿贝尔十、地图四色问题。
计算方法 李桂成
计算方法李桂成
摘要：
1.计算方法简介
2.李桂成的计算方法贡献
3.计算方法的实践应用
4.总结与展望
正文：
随着科技的不断发展，计算方法在各个领域发挥着越来越重要的作用。
在我国，有一位杰出的数学家——李桂成，他在计算方法领域做出了许多卓越的贡献。
本文将简要介绍李桂成的计算方法，以及他的研究成果在实际应用中的价值。
李桂成，我国著名数学家，长期从事计算方法的研究。
他的研究涉及数学、物理、化学、生物等多个学科，为我国计算方法领域的发展做出了巨大贡献。
李桂成在计算方法的研究中，提出了一系列高效、稳定的算法，其中最具代表性的是他在线性代数领域的研究。
线性代数是数学中的一个重要分支，其在自然科学、社会科学等领域有着广泛的应用。
李桂成针对线性代数中的矩阵运算、线性方程组求解等问题，提出了一种高效、易于实现的计算方法。
这种方法在保证计算精度的同时，大大提高了计算速度。
如今，该方法已在我国的高等院校、科研院所得到了广泛应用，为我国的科技创新、经济社会发展做出了积极贡献。
除了在理论研究方面取得的成就，李桂成的计算方法还在实践中发挥了重
要作用。
在航空航天、信息技术、新能源等领域，计算方法是解决问题的核心。
李桂成的研究成果为这些领域提供了有力的理论支持，使得我国在这些领域取得了世界领先的地位。
总之，李桂成的计算方法研究在我国科技发展中具有重要地位。
他的研究成果为各个领域提供了有力的理论基础，为我国的科技创新、经济社会发展做出了巨大贡献。
然而，计算方法的研究仍需不断发展，以满足不断变化的科技需求。
巧用极值法 优化初中物理解题
巧用极值法㊀优化初中物理解题李文学(江苏省南通市崇川初级中学ꎬ江苏南通２２６０１４)摘㊀要:培养初中生的物理解题能力ꎬ是初中物理教学的重要组成部分.鉴于物理学科特点ꎬ面对复杂的物理问题ꎬ学生唯有灵活运用多种解题方法ꎬ才能逐渐突破思维的局限ꎬ实现物理题目化繁为简㊁化难为易ꎬ真正提升学生的解题效率.本文基于初中物理极值解题法ꎬ围绕其内涵和解题实践进行论述ꎬ并由此提出具有针对性的教学建议ꎬ以期为教师的教学工作提供一定的参考.关键词:初中物理ꎻ极值法ꎻ解题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０８－０１０４－０３收稿日期:２０２２－１２－１５作者简介:李文学(１９８２.１－)ꎬ女ꎬ江苏省南通人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中物理教学研究.㊀㊀物理知识理论性强㊁涉及学科广ꎬ对学生的知识㊁思维要求比较高.尤其是 物理核心素养 的提出ꎬ要求教师在组织课堂教学时ꎬ不再局限于理论知识的灌输ꎬ更加关注学生的物理思维㊁问题解决能力ꎬ真正实现学生的全面发展.解题作为初中物理教学的重要组成部分ꎬ不仅考查物理理论知识掌握情况ꎬ也反映了知识的迁移和应用能力.鉴于此ꎬ在日常物理教学中ꎬ积极渗透物理解题方法ꎬ引导学生在快速准确解题过程中促进知识内化㊁思维发展ꎬ已经成为当前物理教学的重要组成部分.１初中物理极值解题法教学概述极值法又被称之为极端假设法㊁极限法等.极值法就是将问题中某个变量取最大值㊁最小值ꎬ或者某一个定值时ꎬ通过分析所得出来的结论ꎬ最终完成问题的解答.在初中物理学习中ꎬ伴随着所学内容的增加ꎬ以及题目难度的加大ꎬ当常规解题方法受限时ꎬ可巧妙运用极值法ꎬ在打开学生解题思路的同时ꎬ也实现了物理题目化繁为简㊁化难为易ꎬ使得物理解题更加高效.同时ꎬ在运用极值法解题的过程中ꎬ进一步开阔了学生的思维ꎬ有助于帮助其形成跨学科思维ꎬ使其意识到极值解题法不仅仅局限于物理学科中ꎬ还可灵活应用到其他学科中ꎬ真正实现了学生的全面发展.因此ꎬ从这一角度上来说ꎬ积极开展极值法教学ꎬ是提升学生物理解能力的必然选择ꎬ更是促进学科素养的有力途径[１].２极值法在初中物理解题中的应用２.１极值法解决液体压强问题液体压强 是初中物理中非常重要的知识点ꎬ也是考试的重点.针对这一类型的题目ꎬ如果按照常规解题思维ꎬ将面临着繁琐的步骤.而通过极值法ꎬ则可巧妙避开常规解题思路中的诸多物理量分析ꎬ直接得到答案ꎬ极大地提升了学生的解题效率.例１㊀如图１所示ꎬ有两个完全相同的量筒ꎬ其中一个量筒中盛有水ꎬ另外一个量筒中盛有酒精.已知酒精和水的质量相同ꎬ且两个量筒中Ｍ㊁Ｎ到量筒底部的距离也相等.假设两点处的液体压强分别为ＰＭ㊁ＰＮ.ＰＭ与ＰＮ的大小关系正确的是(㊀㊀).Ａ.ＰＭ<ＰＮ㊀㊀Ｂ.ＰＭ>ＰＮＣ.ＰＭ＝ＰＮＤ.无法确定解析㊀按照常规的解题思路ꎬ因为Ｍ㊁Ｎ到量筒底部的距离相等ꎬ则两种液体体积相等.因为水的密度大于酒精的密度ꎬ则Ｍ点下方水的质量大于Ｎ点下方酒精的质量.又因为两个量筒相同ꎬ则横截面积相等.即４０１可依据Ｐ＝ＦＳ＝ｍｇＳꎬ得出ＰＭ<ＰＮꎬ即Ａ选项正确.图１㊀探究不同液体中同一高度处压强但是巧妙运用极值法ꎬ可简化解题过程ꎬ避免诸多物理量分析.在极值法解题中ꎬ由于题目中没有给出Ｍ㊁Ｎ两点的位置ꎬ只说明两者到量筒底部的距离相等.此时ꎬ即可将Ｍ取在水面上ꎬ此时水所产生的压强为０ꎻ而对于Ｎ点来说ꎬ由于其到量筒底部的距离与Ｍ点相同ꎬ则Ｎ上方依然存在酒精ꎬ此时其压强显然大于０.由此可得出ＰＭ<ＰＮ.综合上述两种解题思路不难发现ꎬ常规解题思路虽然能够获得正确的答案ꎬ但学生在解题时ꎬ需要围绕液体体积㊁质量㊁压强等物理量展开精准地分析ꎬ方可得到正确的答案.而通过极值法则可巧妙避开这些繁琐的分析ꎬ进一步提升了物理解题效率.２.２极值法解决杠杆平衡问题杠杆平衡 是初中物理中一个常见的考点ꎬ题目虽然非常多ꎬ但基本上都是判断其平衡方向.经解题实践证明ꎬ适当运用极值法ꎬ使得题目分析更加透彻ꎬ解题速度也随之提升.图２㊀杠杆平衡示意图例２㊀如图２所示ꎬ杠杆处于平衡的状态下ꎬ如果将图中的物体Ａ和物体Ｂ分别向支点的方向移动相同的距离ꎬ则杠杆会出现的状态是(㊀㊀).Ａ.杠杆仍然平衡Ｂ.不能平衡ꎬ向Ａ端倾斜Ｃ.不能平衡ꎬ向Ｂ端倾斜Ｄ.条件不足ꎬ无法判断解析㊀按照常规的解题思路ꎬ学生需要结合相关的公式进行判断ꎬ即:ｍＡｇＬ１＝ｍＢｇＬ２ꎬＬ１<Ｌ２ꎬ由此即可推断出ｍＡ>ｍＢꎬ假设物体Ａ和物体Ｂ分别向支点移动ΔＬꎬ则物体Ａ和物体Ｂ的力矩分别为ｍＡｇ(ＬＡ－ΔＬ)㊁ｍＢｇ(ＬＢ－ΔＬ)ꎬ又因为ｍＡｇΔＬ>ｍＢｇΔＬꎬ则有ｍＡｇ(ＬＡ－ΔＬ)<ｍＢｇ(ＬＢ－ΔＬ)ꎬ即:杠杆会出现向Ｂ端倾斜的现象ꎬ选项Ｃ正确.而通过极值法则可有效避免 力矩变化关系 分析ꎬ将原本复杂的问题简单化ꎬ即:由于题目中并未直接给出规定的移动距离数值ꎬ学生可任意取值.此时ꎬ即可将物体Ａ直接移动到Ｏ点ꎬ此时物体Ａ的力臂㊁力矩为０ꎻ而对物体Ｂ来说ꎬ其力臂和力矩明显不为０.此时杠杆必然会向Ｂ端倾斜ꎬ选项Ｃ正确[２].２.３极值法解决浮力问题浮力 也是初中物理的重要知识点ꎬ也是常考的内容之一.在这一部分知识中ꎬ部分问题学生按照常规的思维很难完成.而运用极值法可快速求解.例３㊀将一个２０Ｎ的空心铁球浸入到水中ꎬ则铁球会在水中出现的状态是(㊀㊀).Ａ.上浮㊀Ｂ.下沉㊀Ｃ.悬浮㊀Ｄ.以上均有可能解析㊀这一题目条件比较少ꎬ有关铁球体积㊁空心部分体积都没有提到.此时ꎬ如果常规的解题思路ꎬ根本无法对铁球的状态进行判断.运用极值法进行分析:由于铁球空心部分体积未知ꎬ因此本题目可分为三种情况:其一㊁铁球空心部分体积比较大ꎬ此时铁球一定处于上浮的状态ꎻ其二ꎬ铁球空心部分体积比较小ꎬ此时整个铁球类似于实心状态ꎬ必然会出现下沉的状态ꎻ其三ꎬ空心部分体积恰好位于某一个数值中ꎬ此时就可能出现悬浮的状态.因此ꎬ综上所述ꎬ本题目的正确答案为Ｄ选项.图３㊀物体在水中状态示意图例４㊀如图３所示ꎬ一个密度均匀的木板漂浮在水面上ꎬ如果在水面虚线处将其截掉ꎬ则剩余的木块会出现什么样的变化?解析㊀在本题目中ꎬ如果按照常规的思维进行解题ꎬ需要先对水中的木块进行受力分析.之后ꎬ结合木块截掉前后的受力分析结果ꎬ得出浮力与木块的重力相等ꎬ即Ｆ浮＝ρ水ｇＶ排.根据这一公式ꎬ木块截取之后ꎬ木块排水的重力大于自身的重力.截取之后ꎬ新木块重力大于浮力ꎬ自然会出现下沉现象.鉴于常规解题中的繁琐步骤ꎬ可充分利用极值５０１法ꎬ将题干中的信息进行扩大ꎬ使其变 将水面以下的木块截去 .此时ꎬ木块的排水量体积为０ꎬ则木块在水中受到重力的作用ꎬ自然会出现下沉的现象[３].２.４极值法解决电学问题电学是初中物理的重要组成ꎬ在解答这一部分问题时ꎬ由于初中生初次接触电学知识ꎬ理论知识掌握情况不佳ꎬ无法精准把握电流㊁电阻和电压之间的关系.尤其是当电路问题中出现电阻串联㊁并联㊁滑动变阻器时ꎬ就给学生的解题带来了极大的困难.面对这些问题ꎬ即可巧妙融入极值法进行解答.例５㊀如图４所示ꎬ在本电路中ꎬＡ㊁Ｂ两盏灯均可发光.如果将滑动变阻器Ｒ０的滑片向左移动.此时ꎬ对Ａ㊁Ｂ两盏灯的亮暗变化情况进行判断.图４㊀等效电路示意图解析㊀结合电学知识ꎬ当滑动变阻器Ｒ０的滑片向左移动时ꎬ致使Ｂ和滑动变阻器构成的并联电路中总电阻逐渐减少ꎬ则Ｂ灯出现了逐渐变暗的现象.而对于Ａ灯来说ꎬ则因为回路中总电阻减少ꎬ导致其电流增加ꎬＡ灯的逐渐变亮.在常规解题思路中ꎬ学生必须要按照动态的原则进行分析ꎬ对于初中阶段的学生来说ꎬ存在一定的难度.鉴于此ꎬ借助极值法进行解答:由于题目中并未明确说明将滑片移动何处ꎬ按照极值法的内涵ꎬ将其滑到最左边.此时在整个电路中ꎬＢ灯就会出现短路完全熄灭的现象.而Ａ灯则会变得更亮.如此省去了动态化的分析ꎬ使得解题难度降低.可见ꎬ在本题目中ꎬ通过极值法的应用ꎬ直接揭示出问题的本质ꎬ在提升学生解题效率的同时ꎬ也促进了物理思维的发展[４].３初中物理极值解题法教学启示结合初中物理解题实践证明ꎬ通过极值法在课堂上的应用ꎬ实现了物理问题由繁到简㊁由难到易ꎬ真正提升了学生的解题效率.鉴于此ꎬ教师在组织课堂教学时ꎬ应通过有意识地引导ꎬ强化学生极值法解题意识ꎬ提升极值法解决问题的能力.首先ꎬ基于课堂教学引导学生利用极值法.在培养学生运用极值法解题时ꎬ不仅要加强基础知识教学ꎬ还应为学生提供一些相关的例题ꎬ通过带领学生在极值法解决实际问题中ꎬ逐渐掌握这一解题技能ꎻ其次ꎬ加强极值法解题联系.学生的解题能力并非一蹴而就ꎬ唯有经过一定的练习ꎬ才能在训练中完成极值法解题技巧的内化和应用.在日常解题教学中ꎬ不仅仅要在课堂上给学生提供大量的例题ꎬ还应在教学之余为学生布置针对性的练习ꎬ以便于学生在反复训练中ꎬ掌握极值法解题的要领ꎻ最后ꎬ加强题目类型总结ꎬ促使极值法灵活运用.初中物理知识点繁杂ꎬ且题目类型比较多ꎬ极值法在不同题目的应用也有所不同.在日常初中物理解题教学中ꎬ还应充分发挥教师的引导作用ꎬ围绕不同题目类型进行归类和极值法解决力学问题㊁极值法解决电学问题㊁极值法解决压强问题等ꎬ促使学生在归类分析中ꎬ真正掌握这一解题技巧的内涵ꎬ并促使其灵活应用[５].综上所述ꎬ极值法是解决初中物理问题的重要方法之一ꎬ将其应用到物理解题中ꎬ真正促进了物理解题由繁到简㊁由难到易ꎬ有效避免了解题过程中诸多物理量的分析ꎬ显著提升了学生的解题效率.鉴于此ꎬ初中物理教师在日常教学中ꎬ应基于极值法的内涵ꎬ将其灵活应用到不同类型的题目中ꎬ使得学生在极值法的辅助下ꎬ缩短解题时间ꎬ并开阔自身的解题思维ꎬ真正满足学科素养下的物理解题需求.参考文献:[１]赵旭林.极值法在初中物理解题中的应用[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２２(０５):１０９－１１１.[２]陈胤.极值法在初中物理教学中的应用[Ｊ].湖南中学物理ꎬ２０２０ꎬ３５(１２):２５－２６＋４６.[３]卢燕.极值法在初中物理解题中的应用[Ｊ].中学物理教学参考ꎬ２０２０ꎬ４９(０４):７３.[４]石磊.运用极值法与赋值法解决电学问题的能力的研究[Ｊ].中学生数理化(教与学)ꎬ２０１９(１０):９０.[５]顾俊文.极值法在初中物理解题中的应用[Ｊ].文理导航(中旬)ꎬ２０１９(０４):４０－４１.[责任编辑:李㊀璟]６０１。
有效提高学生学习兴趣：高速山东乘法运算律教案设计
有效提高学生学习兴趣：高速山东乘法运算律教案设计导言在学校教学过程中，学生学习兴趣的提高是非常重要的一点，因为这不仅仅能让学生更加积极地参与到学习过程中，也能够使学习过程更加愉悦，提高学生的学习效率，从而获得更加好的成绩。
本文将介绍高速山东乘法运算律以及如何将其应用到教学设计中，有效提高学生学习兴趣。
一、什么是高速山东乘法运算律？高速山东乘法运算律是一种快速计算乘法的方法。
它的发明者是山东人李志宏教授。
高速山东乘法运算律又叫中国算盘的进位乘法，它是在中国算盘乘法基础上创新的计算方法。
二、高速山东乘法运算律的方法高速山东乘法运算律的方法简单明了，首先将要计算的两个数分别写在竖式计算的形式下，然后从低位开始相乘，并将进位的结果记录在每个位的左边。
最后将进位的结果相加即可得到最终的答案。
以27×16=432为例，我们可以通过高速山东乘法运算律更加迅速地计算它。
先将27和16写在一起：2 7× 1 6然后从低位开始逐位相乘：2 7× 1 6-------------2 7（目前没有进位）+ 14-------------4 3 2由此可见，高速山东乘法运算律是一种高效快捷的计算方法，使用它可以大大减轻学生计算乘法时的负担。
三、高速山东乘法运算律的教学设计高速山东乘法运算律的教学设计可以从课前、课中和课后三个部分进行。
1.课前准备在课前教师可以为学生介绍高速山东乘法运算律，告诉学生它的优势和应用，让学生对这种新的计算方法产生兴趣。
同时为了使学生更好地掌握高速山东乘法运算律，教师可以准备一些简便的计算练习题和小游戏，让学生在课前对其进行练习，熟悉其计算步骤和技巧。
2.课中教学在课中教学的过程中，教师首先可以通过讲解、示范的方式，让学生更好地理解高速山东乘法运算律的计算步骤和原理。
然后教师可以进行实际上机操作，让学生自己动手尝试，这不仅让学生更好地掌握计算技巧，也能够增加学生的学习成就感和自学能力。
计算机的输入与输出设备
李文新 2004.9 – 2005.1 医学部
主要内容
• 计算机输入设备 • 数据的编码 • 计算机输出设备 • 汉字的编码、输入和输出 • 文字编辑软件 - Word • 算术表达式 • 作业
计算机与其信息交换环境
数据以二进制形式输入计算机
1. 计算机输入设备
▪ 键盘 ▪ 鼠标、轨迹球 ▪ 数字化仪 ▪ 扫描仪 ▪ 数字化相机和摄像机 ▪ 话筒 ▪ 其它输入设备
▪ 移动 ▪ 单击左键 ▪ 单击右键 ▪ 双击左键 ▪ 拖动
数字化仪
扫描仪
其它输入设备
▪ 数字化相机 ▪ 数字化摄像机 ▪ 话筒 ▪ 专有设备等
2. 数据的编码
▪ 数的表示范围和精度（二进制）
1位（bit) – 2
8位(byte) – 256
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(word) - 65536
▪ 字符及其编码
‘0’ – 48 ‘a’ – 97 …
谢谢大家！
▪ ▪ 字符击打式打印机的主要缺点是只能打印固定数目的字符，
如所有ASCII码可 见字符，只能打印纯文本的文件。用这种 打印机无法打印汉字（试想需要怎样的字轮或字带），也无 法打印图形，所以其应用范围受到很大限制。
点阵式打印机
▪ 点阵式打印机是通过“打印针”打击色带产生打印效果，由此它们也被 称为针式打印机。打印针错落（或成一排）排列，安装在一个打印头里， 常见的有9针单 排排列的（称为 9 针打印机）和24针双排排列的（24针 打印机）两种。在打印头中电磁装置的驱动下，这些打印针打击色带和 纸张。每个打印针的一次打击可以在纸上形成一个小墨点。在打印一个 输出行（例如字符行）的过程中，打印头沿着一个导轨上横向移动，使 打印针排扫过一行的整个区域，在所需要的地方打出墨点，由这些墨点 形成输出效果。一行打印完成后，打印机移动纸张，将纸张下一行移到 与打印头对应的位置，继续打印。用这种方法实际上可以在纸张上打印 出由小墨点组成的任何输出式样，不仅是文字。有些打印机允许安装多 条不同颜色的色带，那么就可以进行彩色输出。
速算达人是这样炼成的
读书笔记模板
01 思维导图
03 目录分析 0书笔记 06 作者介绍
思维导图
本书关键字分析思维导图
九宫
法
方法
速算
演练
第节
公式
达人
内容
乘法 综合
退补
速算
乘法
方法
加减法
积
秘诀
速算法
内容摘要
本书以通俗的文字深入浅出地介绍了加、减、乘、除等算术运算的速算方法，内容包括加减法速算、乘法一 口清、两位数乘法速算、两位数乘多位数速算、多位数乘除法速算、九宫速算法。其中，乘法的剪刀积方法、梅 花积方法、九宫速算法等内容是作者对速算理论的最新贡献。本书实现了传统与创新融合、理论与实用兼顾、模 块化与整体统一，可供中小学生、家长以及广大青年朋友阅读，亦可供教育工作者和有关研究人员参考。
目录分析
1
第1章加减法速 算
2
第2章乘法一口 清
3
第3章两位数乘 法速算
4
第4章两位数乘 多位数速算
5
第5章多位数乘 除法速算
后记 第6章九宫速算法
文后
第1节巧用补数 第2节幼学公式 第3节而立公式 第4节弱冠公式 第5节五指公式 第6节不惑公式 第7节勾股定理 第8节世纪之和 第9节对称法求和
第1节九宫图是天然的速算工具 第2节九宫图加减法与旋转不变性定理 第3节九宫图呈现完整的乘法表 第4节九宫速算法综合演练
读书笔记
这是《速算达人是这样炼成的》的读书笔记模板，可以替换为自己的心得。
精彩摘录
这是《速算达人是这样炼成的》的读书笔记模板，可以替换为自己的精彩内容摘录。
作者介绍
这是《速算达人是这样炼成的》的读书笔记模板，暂无该书作者的介绍。
华李氏公式
华李氏公式摘要：一、华李氏公式简介1.华李氏公式的定义2.公式背景及发展历程二、华李氏公式的重要性和应用1.在概率论和统计学中的作用2.在实际问题中的应用案例三、华李氏公式的推导和证明1.推导过程概述2.证明方法简介四、华李氏公式与其他公式的关系1.与切比雪夫不等式的联系2.与伯努利分布的关联五、结论1.对华李氏公式的评价2.对未来研究的展望正文：华李氏公式，作为概率论和统计学中的一个重要公式，广泛应用于各种实际问题中。
本文首先介绍了华李氏公式的定义和背景，然后详细阐述了其在概率论和统计学中的重要性和应用，接着给出了华李氏公式的推导和证明方法，并分析了华李氏公式与其他著名公式的关联。
最后，对整个华李氏公式进行了总结和评价，并对未来的研究进行了展望。
华李氏公式，即华莱士-李特尔伍德公式（Wallace-Litwin formula），是描述随机变量累积分布函数与概率密度函数之间关系的一个公式。
它的发展历程可以追溯到20世纪初，由英国数学家华莱士（Norbert Wiener）和美国数学家李特尔伍德（Jesse Douglas）先后独立发现并证明。
华李氏公式在概率论和统计学中具有极高的理论和应用价值。
在理论上，华李氏公式将累积分布函数与概率密度函数联系起来，有助于更深入地理解随机变量的性质。
在实际应用中，华李氏公式可以用于计算各种概率和统计量，为实际问题的解决提供了有力工具。
例如，在金融风险管理、可靠性分析和生物统计学等领域，华李氏公式都有着广泛的应用。
华李氏公式的推导过程相对复杂，需要运用高等数学知识。
具体而言，首先要对随机变量进行适当的变换，然后利用概率论中的性质进行化简，最后得到华李氏公式。
虽然推导过程较为繁琐，但华李氏公式的证明方法相对简洁，通常可以通过概率论的基本定理和一些技巧性的数学证明方法来完成。
华李氏公式与其他著名公式有着紧密的联系。
例如，它可以看作是切比雪夫不等式（Chebyshev"s inequality）的推广和一般化，同时在一定程度上与伯努利分布（Bernoulli distribution）有关。
计算方法课程设计大纲
《计算方法》课程设计大纲课程编号：课程编号：240142002401420024014200 课程类别：专业课课程类别：专业课 适用专业：数学与应用数学适用专业：数学与应用数学课程学分：2 设计学时：2周 大纲执笔人：李文宇大纲执笔人：李文宇 大纲审定人：蔡吉花大纲审定人：蔡吉花 大纲审批人：大纲审批人：一、课程设计的性质与目标计算方法是数学专业的重要课程之一，主要研究适合于在计算机上使用的数值计算方法及与此相关的理论，对提高学生的抽象思维与逻辑推理能力有重要作用。
计算方法课程设计是验证、巩固和补充课堂讲授的理论知识的必要环节，巩固和补充课堂讲授的理论知识的必要环节，通过设计，通过设计，使学生初步熟悉和掌握数值计算方法及相应的程序设计能力，初步具备解决实际数值计算问题的能力，提高学生抽象思维与逻辑推理能力。
思维与逻辑推理能力。
二、课程设计的基本内容1、掌握计算方法的基本内容。
掌握计算方法的基本内容。
误差的基本概念，误差的基本概念，误差的基本概念，线性代数方程组的解法，线性代数方程组的解法，线性代数方程组的解法，插值与拟合，插值与拟合，数值积分，常微分方程初值问题，非线性方程求根，矩阵的特征值和特征向量的数值解法。
2、结合计算机学科的特点研究数值计算方法及与此相关的理论；对问题进行分析，确定解决方案。
定解决方案。
3、进行模拟与仿真，进行结果分析，编写课程设计报告。
、进行模拟与仿真，进行结果分析，编写课程设计报告。
设计题目1、用直接三角分解法求解线性方程组 设计要求：用直接三角分解法求解线性方程组，编写程序并给出结果。
用直接三角分解法求解线性方程组，编写程序并给出结果。
2、用古典迭代法（Jacobi 、Guass-Seidel 、SOR 迭代）求线性代数方程组的解 设计要求：编写分量形式和矩阵形式迭代格式的程序，根据计算结果初步判定迭代格式是否收敛，并编写程序说明迭代格式是否收敛。
是否收敛，并编写程序说明迭代格式是否收敛。
操作系统,vc编程环境-artificialintel
每次执行一个运算，
运算结果与当前运算符的性质有关
执行顺序由优先级和结合性确定
最后一个运算决定了整个表达式的运算结果
• 例: 4+3+3*5 == 16 || 1>0 // * 优先级最高
• 4+3+15 == 16 || 1>0 // + 左结合
• 7+15 == 16 || 1>0 // + 优先级最高
•
负数 符号位不变，数值按位求反 101-〉110
• 补码 正数不变
001 -〉001
•
负数 反码+1 101 -〉110+1 -〉111
• 例：-1 + -2
• 反码：110 + 101 = 1- 011 = 011+1 = 100 （-3）
• 补码：111 + 110 = 101（-3）
内容提要
操作系统
举例来说，我们在键盘上按了一下字母键a， 键盘会把一串二进制代码送入计算机，随之 可以看到字母a显示在屏幕上。问题是谁接收 了键盘送去的代码并处理与之有关的问题？ 答案是：操作系统。是操作系统在完成了一 系列工作后，最终把这个字母送到显示器。 这个例子反映出操作系统工作的一些特点， 当然这仅仅是它丰富功能的一个小侧面。
操作系统的功能- 硬件管理
输入/输出（I/O）设备管理 – spooling 计算机工作时可能有多个输入输出设备同时
向系统提出请求。操作系统必须协调这些事 情，通过各个设备的驱动程序对这些输入输 出操作进行管理。首先，操作系统必须记录 所有的请求，对这些请求进行排队，将有关 任务放在一个缓冲区里，并设法按顺序完成 这些工作。
级数求和的常用方法
级数求和的常用方法方程式法 (3)原级数转化为子序列求和 (3)数项级数化为函数项级数求和 (3)化数项级数为积分函数求原级数和 (4)三角型数项级数转化为复数系级数 (4)构造函数计算级数和 (5)级数讨论其子序列 (5)裂项法求级数和 (6)裂项+分拆组合法 (7)夹逼法求解级数和 (7)2函数项级数求和 (8)方程式法 (8)积分型级数求和 (8)逐项求导求级数和 (9)逐项积分求级数和 (9)将原级数分解转化为已知级数 (10)利用傅里叶级数求级数和 (10)三角级数对应复数求级数和 (11)利用三角公式化简级数 (12)针对的延伸 (12)添加项处理系数 (12)应用留数定理计算级数和 (13)利用Beta函数求级数和 (14)参考文献 (15)级数求和的常用方法级数要首先考虑敛散性，但本文以级数求和为中心，故涉及的级数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题.由于无穷级数求和是个无穷问题，我们只能得到一个n →∞的极限和.加之级数能求和的本身就困难，故本文只做一些特殊情况的讨论，而无级数求和的一般通用方法，各种方法主要以例题形式给出，以期达到较高的事实性.1数项级数求和等差级数求和等差级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公差，并运用公式可求和.11((1)22n n a a n n s na d +-=+=），其中1a 为首项，d 为公差证明：12=++...+n s a a a ①，21s=+...++n a a a ② ①+②得：()12-112(+++...+(+)n n n s a a a a a a =+）因为等差级数11...+n n a a a a +==所以1(2n n a a s +=）此证明可导出一个方法“首尾相加法”见. 首尾相加法此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同，便化为一简易级数求和. 例1:求01235...(21)n n n n n c c c n c +++++.解：01235...(21)n n n n n s c c c n c =+++++，210(21)...53n n n n n s n c c c c =++++，两式相加得：21012(22)(...)(1)2n n n n n n s n c c c c n +=++++=+?，即：01235...(21)(1)2n n n n n n c c c n c n +++++=+.等比级数求和等比级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公比并运用公式可求和.当q =1，1s na =；当q ≠1，1(1)1n a q s q-=-，其中1a 为首项，q 为公比.证明：当q =1，易得1s na =，当q ≠1，11111=++...+n s a a q a q - ①， 2111=++...+n qs a q a q a q ②，①-②得11(1)n q s a a q -=-.可以导出一种方法“错位相减”见下错位相减法此方法通常适用于等差与等比级数混合型，通过乘以等比级数公比q ，再与原级数四则运算后化为等差或等比级数求和.例2：计算212n n -∑.解： 2313521...2222n n s -=++++ ①，21352121 (222)n n s --=++++ ②，②-①得： 121121************n n n k k k n k k k k k n s s s -===---=-=+-=+-=∑∑∑111121121213122212 n n n n n n -----+-=---，lim n s →∞=3.蕴含型级数相消法此类型级数本身各项之间有蕴含关系，通过观察可知多项展开会相互之间相消部分项，从而化简级数求和.例3：计算1ni =∑.解：将各项展开可得：(1...s =-+++++11==lim n s →∞= 有理化法求级数和对于一些级数通项含有分式根式的级数，我们可以仿照数学中经常使用的方法“有理化”处理，以期达到能使得级数通项化简，最后整个级数都较容易求和.例4：计算1n ∞=.解：可以看出此级数含根式较多，因此尝试运用有理化的方法去处理，即通项n a =对其分母有理化得：=?分母有理化，则原级数可以采用本文中的“蕴含型级数相消法”，则可以快速求得级数和的极限为1. 方程式法此型级数通过一系列运算能建立级数和的方程式，通过解方程求解级数和.准确建立方程是关键问题，方程类型不固定，有类似与微分方程之类的，故要视具体情况建立方程，解方程也要准确，才能求出级数和.例5：计算2cos cos 2...cos n q q n q θθθ+++，其中1q <. 解：记2cos cos 2...cos =nq q n s q θθθ+++= =1cos nk k k q θ∑两边同时乘以cos 2q θ得即：+1222cos cos+1cos )(cos )2=n n n n q s q s q q q s q θθθθ+?++-+-（）（解此方程得：2122cos cos(1)cos =12cos n n q n q n q q s q q θθθθ++-++-+-22lim cos 12cos n q q s q q θθ→∞-=+-. 原级数转化为子序列求和若下列条件成立[1]:（1）当n →∞时级数的通项0n a →（2）级数各项没有破坏次序的情况而得新序列n 1n b ∞=∑收敛于原级数 .例6：计算11111111111++-1+++-+++-+ (2345627893)（）（）（）.解：lim 0n n a →∞=Q ，应用欧拉公式1111++...ln 23n c n e n++=++，其中c 为欧拉常数，0()n e n →→∞111111+++...+-1--...-2332s n n=3ln 3ln n n n n e e =-+-，lim ln3n s →∞=.数项级数化为函数项级数求和数项级数化为相应函数项级数，再通过函数项级数求和，并赋予函数未知数相应未知数后记得相应原级数的和.例7：求级数和11135...n n ∞=∑（2-1）.解：建立函数项级数2111()135...n n s x x n ∞-==∑（2-1）由函数敛散性知识可知其收敛域为(,)-∞+∞，将函数项级数逐项求导可得：'2211()1135...n n s x x n ∞-==+∑（2-3）=211111()135...n n x x xs x n ∞-=+=+∑（2-1），由此可知()s x 满足微分方程'()()1s x xs x -=，且易知(0)0s =，解此常微分方程得：221122()xx t dt s x ee-=?，令1x =则可以求出原级数和：211122s t eedt =?.化数项级数为积分函数求原级数和将原级数通过化简，构造积分极限式，从而转化为积分求原级数和也不失为一种好方法，构造积分式子是关键，一般原级数中通过四则运算将n 与积分中的分割相联系从而构造分割，建立级数与积分式子的桥梁.例8：计算11k n k ∞=+∑，其中()n →∞. 解：记1011111lim =ln21+1n n n k k dx s k n k n x n∞→∞==→==←++∑∑?分子分母同时除以构造分割建立级数与积分的桥梁. 三角型数项级数转化为复数系级数将三角型数项级数转化为复数域上的级数，由于复数的实部对应于数项级数，从而转化为求复数系级数进而求原级数和.例9[7]：设2cos cos 2...cos = n s q q n q θθθ+++，求s .解：由于1cos =nk k s q k θ=∑，令(cos sin )i z qe q i θθθ==+为复数，其中0,1,2...k =(cos sin )k k ik k z q e q k i k θθθ==+，其中1,2...k =，得：2...+cos (sin )sin 2...sin nn q n i q qq n θθθθ++++而另一方面1111(cos(+1)sin(+1))11(cos sin )n n z q n i n z q i θθθθ++--+=--+=211-2cos q q θ+ ｛1221cos cos(1)cos(1)cos sin(1)sin n n n q q n q n q n θθθθθθ+++??--+++++??+ 212sin cos(1)sin sin(1)sin(1)cos n n n i q q n q n q n θθθθθθ+++??-+-+++??g g ｝取实部对应原级数和即得：12211(1cos cos(1)cos )1-2cos n n q qs q q n q n θθθθ+++=--+++即：当n →∞，且1q <时22lim cos 12cos n q q s q q θθ→∞-=+-.构造函数计算级数和将级数各项转化为其它函数式子化简级数并求原级数和，关键在于各项的化简函数是否基本统一，如何选择函数式子才能有效化简，将级数参数化为函数式子中的未知数，并无一般的通用函数，选择函数视具体情况而定，下面我们先看一个例子感受这种方法，并从中体会这种方法.例10[7]：请计算下面的级数式子：记2323=1-+......)1111nn t t t t s t t t t t ++++++++（）(，其中1t →-.解：构造函数式子：1()11x x xe f x e e --==++,此函数在[0,)+∞单调递减. 由于000(1)ln(1)|ln 211x xx x x e d e dx dx e e e--+∞+∞-+∞---+==-+=++?，令ln h t =-，满足11lim limln t t h t →→==0ln 1111hthe t eeh h----=-=-=g ，ln ln ()()1()11k t k hk kt k hk t e e f kh t e e ----===+++. 代入题目中的级数式子得：23231lim 1-+......)111n n t t t t t t t t t t -→+++++++（）(+1= 011lim ()h h k e h f kh h -∞→=-∑=0011lim ()ln 21h xx h k e e h f kh dx h e --∞+∞-→=-==+∑?.级数讨论其子序列引理[1]：数列}{n s 收敛的充分必要条件是}{n s 的任一子序列都收敛且有相同的极限.特别的：数列}{n s 收敛于s 的充分必要条件是两个互补的子列}{2n s ,}{12-n s ,收敛于同一极限.推广可得：定理[1]：若级数∑∞=1n n a 通项满足当n →∞时，0→n a （收敛判别的必要条件），∑∞=1n n a 收敛于s 的充分必要条件是：部分和}{n s 的一个子序列}{np s 收敛于s ，其中p 满足：p 是某个正整数p =1，2，…将级数分情况讨论，化为多个子序列之和，利用原级数收敛则级数任意添加括号得到的级数和收敛于原级数和原理，通过求各个子序列之和求解原级数和，关键在于如何分解原级数为不同子序列，然而子序列相对于原级数来说易求些，这样方法才行之有效，这和的“原级数转化为子序列求和”是不同的.分情况讨论在三角中讨论角的大小我们已不陌生，下面我们就看一个这样讨论角的幅度的例题.例11[6]：计算：12cos32nn n π∞=∑. 解：记12cos32n n n s π∞==∑，由级数敛散性知识可知，该级数绝对收敛.按幅度角的讨论将级数分解为：1{|3,0,1,2...}A n n k k ===，2{|31,0,1,2...}A n n k k ==+=，3{|32,0,1,2...}A n n k k ==+=.则：1232222coscos cos cos 3333=++2222n n n n n n A n A n A n n n n ππππ∞∞∞∞=∈∈∈∑∑∑∑1115(1)148718=--=-g ，所以：12cos23127n n n s π∞==-=-∑. 裂项法求级数和针对级数是分数形式，且满足分母为多项乘积形式，且各项之间相差一个相同的整数，裂项后各项就独立出来，而原来各项之间相差整数则裂项后新级数等价于求解某一个级数，其余新级数照此可求出，从而原级数和可以求出. 裂项一般形式：1111()()(+)x m x n n m x m x n=-+-++，此处m n >.例12：计算111...123234(1)(2)s n n n =+++++g g g g g g . 解:记1(1)(2)n a n n n =++g g ，111[]2(1)(1)(2)n a n n n n =-+++ 针对11(1)nk k k =?+∑同理采用裂项法记111(1)1n b n n n n ==-++则11(1)nk k k =+∑=11-1n +，111lim lim[1-]1(1)1nn n k k k n →∞→∞===++∑，所以 111111lim lim [](1)(2)2(1)(1)(2)nnn n k k k k k k k k k →∞→∞===++++++∑∑= 11111111lim lim()2(1)2(1)2n n n n k k k k k k +→∞→∞==--++∑∑=1111(1)2224 --=. 裂项+分拆组合法将裂项与分拆组合法合用在一起，运用裂项法分拆级数，再将分拆重新组合级数，由新级数返回求原级数和.例13：计算1(+1)(+2)n nn n n ∞=∑（+3）.解：11235+1+2+3(+1)(+2)n n n n n n n ++-=Q（+3）111111251()(+1)(+2)3+1+2+33(+1)(+2)n n n n n n n n n n n n n ∞∞∞===∴=+--∑∑∑（+3）（+3）=1125111()()3233464+--=. 夹逼法求解级数和在数学分析中运用夹逼法则求解极限，在求极限和中我们也可以借鉴此方法，运用两个级数逼近原级数，最后两逼近级数和等于原级数和.例14[8]：设m 为一给定的正整数，求221,1n m nm n ∞=≠-∑. 解：12222221,11111m Nm m Nm Nn m n n n m s m n m n m n+-++=≠==+==+---∑∑∑ 1111111111[ (21122121)m Nn m m m m m m m m n m n +=+=++++++++-+-+--+∑] 21112...2122+1m m N m N N N m N +++++++Q<<且∞→N 时，2lim 0+1N mN →∞=，且2lim 0+2N m N m →∞=，所以23lim 04m N N s m +→∞=-，即2221,134n m n m nm ∞=≠=--∑ 2 函数项级数求和函数项级数和依据未知数x 的而定，因此在收敛域内寻找一个新函数去刻画级数和.方程式法类似于数项级数，函数项级数建立方程，通过方程求解求函数项级数和.例15：计算函数项级数23456()1 (21324135246)x x x x x s x x =+++++++g g g g g g 解：由函数项级数收敛性知识可知题中函数项级数收敛半径为+∞，逐项求导得3'2()1 (2)x s x x x =++++即：'()1()s x xs x =+(0)1s =Q解此微分方程得：2222()(1)x t x s x e e dt -=+?.积分型级数求和积分型级数求和显然直接求和会带来困难，通常积分也积不出来，所以要转化，将积分式子化简是个想法，通过变量替换等积分技术化简积分式子，再求级数和，所以关键在于处理积分式子，下面我们看个例题.例16：计算级数(21)220x k k k e∞+-=∑?.解：因为(2,(21x k k ππ∈+）），作变量替换t k x +=π2得：再根据：'22tt ee dt --=??C +得：(422204tt tk ee e πππππ-+--=-+?）=404eπππ--=84042|24eeec ππππ---=.所以原级数=8211t k k e ee ππππ∞----==-∑?. 逐项求导求级数和根据幂级数逐项求导收敛半径不变原理，对原级数逐项求导后化为一些易求和的幂级数，再往回求积分，从而求原级数和.易知的级数往往是通过泰勒展式或者麦克劳林展式获得的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
李文学及其速算法简介
李文学，男，1963年生，党校毕业。
中国著名速算专家，智力宝典《李文学速算法》创立人。
李文学14岁发现了加减“分割法”的本质规律，求证出乘法和平方的“乘法心算公式”，并将乘法和平方倒算，求证出除法和开平方的心算定理，从而创立了比传统计算方法更科学、更广泛、更简单、计算速度更快的真正的速算方法。
1996年开始，李文学先后在北京、南京、镇江、苏州等地区，历时8年，几十家幼儿园和校外培训单位进行实验教学，直接或间接培养出几万名优秀儿童，并教授万余名成人。
先后出版《JB快速心算法》（解放军出版社）、《加减乘速算通》（科普出版社）、《儿童快速心算法》六集光碟（九州音像出版公司）、最新版《李文学速算大全》（友谊出版公司）。
全国三、四十家新闻媒体积极报道，在全国上引起广泛赞誉。
通过八年的实践教学，我们的出一个惊人的结论：
现代儿童教育的结果，注意力集中、记忆力强、数学思维能力好的优秀儿童占不到30%；现代儿童教育加上《李文学速算法》训练的结果，注意力集中、记忆力强、数学思维能力好的优秀儿童占60%~80%，这是一个学习者十分赞誉的事实。
那么，《李文学速算法》有什么神奇的魅力而让学习者叹为观止的呢？
①多位任意数加、减、乘、除、平方、开平方及其混合运算高、中、
低位均能快速学习及快速心算；
②源于传统且高于传统，比传统计算方法更科学、更广泛、更简单、
计算速度更快，是数学中完整的速算科学体系；
③无任何死记硬背、无科学瑕疵、不与数学法则发生矛盾，且人人一
学即会、一练即快；
④是普通少年儿童数学入门、学好奥数、培养优秀儿童及数学天才的
重要基础。
⑤对培养少年儿童注意力集中、记忆力增强、数学思维能力提高有着
良好的效果，被广大少年儿童及其家长誉为神奇的“智力体操”！
真是，数学好，智力高，李文学速算是法宝！
各人群学习速算能力简表。