习题一真空中的静电场习题详解

O
2a
x
答案：D
解：由高斯定理知 ΦS = q ε0 。由于面积S1和S2相等且很小，场强可视为均匀。根据场强 叠加原理， E1 = 0, E2 < 0 ，所以 Φ1 = 0, Φ2 > 0 。
3．半径为 R 的均匀带电球体的静电场中各点的电场强度的大小 E 与距球心的距离 r 的关 系曲线为 [ ]
( ) U
=U0
=
ρ 2ε 0
R22 − R12
4．两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为 R1 = 0.03 m 和 R2 = 0.10 m 。
已知两者的电势差为 450 V，求内球面上所带的电荷。
答案： 2.14 ×10-9 C 解：设内球上所带电荷为 Q，则两球间的电场强度的大小为
E= Q 4πε 0r2
Rdθ
，则电荷元在中心
O
点产生的场强为
dE0
=
1 4πε 0
dq R2
=
1 4πdEOy = 0 。所以
∫ ∫ ∫ E0 =
dEOx =
dE0
cosθ
=
2
π 0
2
Q 2π 2ε0 R2
cosθ dθ
=
Q π 2ε0R2
(sinθ ) π / 2 0
=
π
Q 2ε 0 R2
为
和
。
答案：
E1
=
λ πε 0 d
ir
；
E2
=
−
λ 3πε 0 d
ir
。
2
−λ
d P2 x
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1 真空中的静电场习题详解
习题册-下-1
解：无限长均匀带电直线，在空间某点产生的场强 E = λ ，方向垂直于带电直线沿径 2πε 0 a
向向外（ λ > 0 ）。式中 a 为该点到带电直线的距离。
（Ｂ） −QΔL ir, −Q ； 8π 2ε0R2L 4πε0R
（Ｃ）
QΔL
r i,
Q
；
（Ｄ）
−QΔL
r i,
−QΔL
。
O
x
4πε0R2L 4πε0R
4πε0R2L 4πε0RL
答案：A
解：闭合圆环中心场强为 0，则圆弧产生的场强与空隙在圆心处产生的场强之和为 0。由
于空隙 Δl 非常小，可视为点电荷，设它与圆弧电荷密度相同，则所带电荷为 −QΔL / L ，
由场强叠加原理，P1，P2点的场强为两直线产生的场强的矢量和。在P1点，两场强
方向相同，均沿x轴正向；在P2点，两场强方向相反，所以
E1
=
λ 2πε 0 d
ir
+
λ 2πε 0 d
ir
=
λ πε 0 d
ir
；
E2
=
λ 2πε0 × 3d
ir
−
λ 2πε 0 d
ir
=
−
λ 3πε 0 d
ir
2．一半径为 R，长为 L 的均匀带电圆柱面，其单位长度带有λ。在带电圆柱的中垂面上 有一点 P，它到轴线距离为 r(r > R) ，则 P 点的电场强度的大小：当 r << L 时， E = _____________；当 r >> L 时， E = _____________。
方向沿 − x 方向，即水平向左。
3．图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为ρ，球层内表面半径 为R1，外表面半径为R2。设无穷远处为电势零点，求该带电系统的场 强分布和空腔内任一点的电势。 答案：
R1 O
R2
（1） E1 = 0
(r
<
R1 )
，
E2
=
ρ (r3 − R13 ) 3ε0r 2
(R1 < r < R2 ) ，
(r < R)
时， U r
=
q1 4πε 0 r
+
q2 4πε 0 r2
。令 U r
=
0 ，得 r
= 10cm 。
5．已知某静电场的电势分布为U = 8x + 12x2 y − 20 y2 ，则场强分布
r E
=
_______________________________________。
( ) 答案：
−− −Q −
−
−
− + + dq
R
dθ
dl+ +
+Q
+
小为多少？方向如何？
−
θ
+
rO
x
dEo
y
4
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1 真空中的静电场习题详解
习题册-下-1
答案： Q ，方向水平向左。 π 2ε0R2
解：本题运用点电荷公式对电荷连续分布的带电体在空间产生的电场进行计算。
如图所示，取电荷元
dq
=
2Q πR
（C） E = 0, U = λ ln b ； 2πε0 a
答案：C
（B） E = λ , U = λ ln b ；
2πε 0 r
2πε0 r
（D） E = λ , U = λ ln b 。
2πε 0 r
2πε0 a
a
b
rP λ
解：由高斯定理知内圆柱面里面各点 E＝0，两圆柱面之间 E = λ ，则 P 点的电势为 2πε 0 r
产生的场强为
QΔL 4πε 0 R 2 L
ir
，所以圆弧产生的场强为
r EO
=
−QΔL 4πε 0 R 2 L
ir
；又根据电势叠加原理
可得 U O
=
−Q 4πε 0 R
. 2．有两个电荷都是＋q的点电荷，相距为 2a。今以左边的点电荷所在处为球心，以a为半
径作一球形高斯面。在球面上取两块相等的小面积S1和S2，其位置如图所示。设通过S1和
S2的电场强度通量分别为 Φ1 和 Φ2 ，通过整个球面的电场强度通量为 ΦS ，则［ ］
（A） Φ1 > Φ2 , ΦS = q / ε0 ； （B） Φ1 < Φ2 , ΦS = 2q / ε0 ；
S2
q S1 q
（C） Φ1 = Φ2 , ΦS = q / ε0 ； （D） Φ1 < Φ2 , ΦS = q / ε0 。
( R1 < r < R2 )
两球的电势差
∫ ∫ U12 =
R2 E d r = Q
R1
4πε 0
R2 R1
dr r2
=
Q 4πε 0
⎛ ⎜ ⎝
1 R1
−
1 R2
⎞ ⎟ ⎠
所以
Q = 4πε0 R1R2U12 = 2.14 ×10-9 C R2 − R1
5．一平面圆环，内外半径分别为R1，R2，均匀带电且电荷面密度为 +σ 。（1）求圆环轴
=
q 4πε0 3l
+
−q 4πε 0l
=
−q 6πε 0l
，
UO
=
q 4πε 0l
+
−q 4πε 0l
=
0
，
A
=
Q(U
O
−U
D
)
=
1×
⎛ ⎜ ⎝
0
−
−q 6πε 0l
⎞ ⎟ ⎠
=
q 6πε 0l
（2）
A′
=
Q′(U D
−U∞ )
=
−1×
⎛ ⎜ ⎝
−q 6πε 0l
−
⎞ 0⎟
⎠
=
q 6πε 0l
4．如图所示，两同心带电球面，内球面半径为 r1 = 5cm ，带电荷 q1 = 3×10−8 C ；外球面半径为 r2 = 20cm ， 带电荷 q2 = −6 ×10−8 C 。
C
正电荷从 O 点沿 OCD 移到 D 点，则电场力所做的功为
______________；把单位负电荷从 D 点沿 AB 延长线移 + q
到无穷远，电场力所做的功为_______________。
AO
答案： q ； q 。
2l
6πε0l 6πε 0l
−q
B
D
l
解：电场力做功与路径无关。
（1）U D
r E
=
( −8
−
24xy
)
ir
+
−12x2 + 40 y
rj
解：电场强度与电势梯度的关系为
r E
=
−
∂U
iv − ∂U
vj − ∂U
v k
。由此可求得
∂x ∂y ∂z
( ) r
E
=
(
−8
−
24 xy )
ir
+
−12x2 + 40 y
rj
三、计算题
1．如图所示，真空中一长为 L 的均匀带电细直杆，总电荷为 q，试求在直杆延长线上距
答案： λ ； λL 。 2πε0r 4πε0r2
解：当 r << L 时，带电体可视为无限长均匀带电圆柱面；当 r >> L 时，带电体可视为点 电荷。
3．如图，A 点与 B 点间距离为 2l，OCD 是以 B 为中心，以 l 为半径的半圆路径。 A、B
两处各放有一点电荷，电量分别为＋q 和－q。若把单位
，所以选（B）。 (r > R)
4．如图所示，一半径为 a 的“无限长”圆柱面上均匀带电，其电荷线密度为 。在它外面
同轴地套一半径为 b 的薄金属圆筒，圆筒原先不带电，但与地连接。设地的电势为零，