数学思维导引-六年级-数论综合一 (7)

350。满足上述条件的正整数 a、b、c 共有多少组？
【答案】20 组
a、b 均为 14 的倍数。
350=14×25 ∴a、b 只能是 14 的 1，5 或 25 倍。
①a=25×14 b=14
c=25 或 50 或 25×7 或 25×14 4 种
②a=5×14 b=14
c=25 或 50 或 25×7 或 25×14 4 种
所以应为 14、32、 50、68、86 中的一组，满足条件的只有 1 个，14。 方法二：题目给出了所谓幸运数具备的三个条件，要求的是所有的两位幸运数．这就使求解 的范围缩小在两位数之内．可以先从条件②入手，再利用条件①和③，最终求出所有的两位 幸运数．
设所求的幸运数是质数 p 的两倍，即此幸运数为 2p ，则 p 的所有可能取值为 5、7、 11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47．于是 2p 1的所有可能取值为 9、 13、21、25、33、37、45、57、61、73、81、85、93．根据条件①， 2 p 1应为质 数，因此2 p 1 只可能为 13、37、61 或 73．再由条件③知 2 p 1除以 9 所得余数 应为 4，于是 2p 1只能等于 13，从而这个幸运数只能是2 p 14 ．
9、已知 a 与 b 是两个正整数，且 a＞b。请问： （1）如果它们的最小公倍数是 36，那么这两个正整数有多少种情况？ （2）如果它们的最小公倍数是 120，那么这两个正整数有多少种情况？ 【答案】（1）12 种；（2）31 种 36=22 ×3 2
a 36, 8种
a 18 a 12
2种 1种
原数为 2×33×52=1350
8、一个合数，其最大的两个约数之和为 1164。求所有满足要求的合数。 【答案】776、873、1067 【分析】最大约数为本身，是次大约数的倍数，1164 是次大的倍数。1164=22×3×97 次大为 97， 原数 97×11=1067 √ 次大为 97×2，原数 194×5=970 × 次大为 97×3，原数 97×3×3=873 √ 次大为 97×4，原数 97×4×2=776 √
第 8 讲：数论综合一
兴趣篇
1. 如果某整数同时具备如下三个性质： ①这个数与 1 的差是质数； ②这个数除以 2 所得的商也是质数； ③这个数除以 9 所得的余数是 5。 那么我们称这个整数为“幸运数”。求出所有的两位幸运数。 【答案】14 【分析】方法一：从条件③入手，则概数应为 5、14、23,而该数为 2 的倍数，所以应为偶数，
21C 9C (mod12)
C=9 余 3 或 C=1 余 7（重复数字）
A37 A01 (mod12) A=2 余 9；A=4 余 5；A=6 余 1；A=8 余 9
拓展篇 1、已知3a7 b0c 是 495 的倍数，其中 a 、 b 、c 分别代表不同的数字。请问：三位数 abc 是
多少？ 【答案】865 【分析】495=5×9×11，特征考虑， b0c 是 5 和 11 的倍数。
【答案】（1）出错的是 8 号和 9 号同学；（2）60060 【分析】（1）都列出后发现，肯定是 1，2，3，4，5，6，7，10，12，14，15 的倍数。 （2）60060
5、有 2008 盏灯，分别对应编号为 1 至 2008 的 2008 个开关。现在有编号为 1 至 2008 的 2008 个人来按动这些开关。已知第 1 个人按的开关的编号是 1 的倍数（也就是说他把所有的开 关都按了一遍），第 2 个人按的开关的编号是 2 的倍数，第 3 个人按的开关的编号是 3 的倍数……依此做下去，第 2008 个人按的开关的编号是 2008 的倍数。如果刚开始的时
6、一个自然数 N 共有 9 个约数，而 N 1恰有 8 个约数。满足条件的自然数中，最小的和 第二小的分别是多少？
【答案】196，256 【分析】9=3×3 8=2×4=2×2×2 考虑到 N 是个完全平方数，从最小的平方数开始尝试。
7、一个自然数，它最大的约数和次大的约数之和是 111，这个自然数是多少？ 【答案】74 【分析】最大约数就是本身，是次大约数的倍数。 所以 111 是次大约数的倍数。 111=3×37，次大约数为 1，3，37 三种，尝试得为 37。 111-37=74
候，灯全是亮着的，那么这 2008 个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？ 【答案】1964 盏 【分析】约数个数为奇数个的灯灭了，所以完全平方数都灭了。剩下的为亮的，2008-44=1964
6、狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳 4
1 2
米，黄鼠狼每次跳 2
3 4
米，它们每秒钟都只
跳一次。在比赛道路上，从起点开始每隔12 3 米设有一个陷阱。请问：当它们之中有一 8
当个位为 5 时，该数为 8a255 ，奇数位数字和为：15；偶数位数字和为： a 5 ，则不符合
情况；
当个位为 0 时，该数为 8a250 ，奇数位数字之和为：10，偶数位数字之和为 a 5 ，则千位
可填 5。
3. 在小于 5000 的自然数中，能被 11 整除、并且所有数字之和为 13 的数共有多少个？ 【答案】18 个
【答案】91 个 除 以31
【分析】 除 以51 91 除 以70
超越篇 1、有 6 个不相同且不为 0 的自然数，其中任意 5 个数的和都是 7 的倍数，任意 4 个数的和
都是 6 的倍数。请问：这 6 个数的和最小是多少？ 【答案】756 【分析】必然对于 7 和 6 均同余 都是 7 的倍数，除以 6 余 0 或 3。 最小 21，21+42，21+42×2，……，21+42×5，和 756
【答案】1350 【分析】这个偶数含 2，3，5 的因子，分别设为 a、b、c 个。 不是 3 的倍数有（a+1）·（c+1）……个，显然无法有别的质因子，
a a
1c 16 1b 18

a c b
1 1 1
2 3 4
a 1 c 2 b 3
【分析】①大数 除以63 太大 除 以5 3
除 以71 ②大数 除以60 78
除 以5 3
12、如图，在一个圆圈上有几十个孔（不到 100 个）。小明像玩跳棋那样从 A 孔出发沿着逆 时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到 A 孔。他先试着每隔 2 个孔跳 一步，结果只能跳到 B 孔。他又试着每隔 4 个孔跳一步，也只能跳到 B 孔。最后，他 每隔 6 个孔跳一步，正好回到 A 孔。问：这个圆圈上共有多少个孔？
【分析】令为abcd ，数位不够高位补 0，和为奇数
有① (a c) (b d) 11 ，且 a b c d 13
a c 12 ， b d 1
7×2=14 个
② (b d ) (a c) 11，且 a c b d 13
b d 12 ， a c 1
7×2=14 个
12种
a 9 ,1,种
（2）120=23×3×5
a 120 a 60 a 40 a 30 a 24 a 15
15种
3
种

6 2
种 种
31种
4
种
1 种
10、已知 a 与 b 的最大公约数是 14，a 与 c 的最小公倍数是 350，b 与 c 的最小公倍数也是
10、信息在战争中是非常重要的，它常以密文的方式传送。对方能获取密文却很难知道破译 密文的密码，这样就达到保密的作用。有一天我军截获了敌军的一串密文：A378B421C ， 字母表示还没有被破译出来的数字。如果知道密码满足如下条件：
①密文由三个三位数连在一起组成，每个三位数的三个数字互不相同； ②三个三位数除以 12 所得到的余数是三个互不相同且不全是奇数。 ③三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数。 你能破解此密文吗？ 【答案】437854219 【分析】8B4 余数必为 2，得 B=5；C 是奇数，所以 A 是偶数。
2、设 N=301×302×…×2005×2006，请问： （1）N 的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”？ （2）用 N 不断除以 12，知道结果不能被 12 整除为止，一共可以除以多少次 12？ 【答案】（1）426 个；（2）850 次 【分析】
（1）1～2006
末尾
0
的个数
2006 5
5、26460 的所有的约数中，6 的倍数有多少个？与 6 互质的有多少个？ 【答案】36 个；6 个 【分析】26460÷6=4410=2×32×5×72 约数个数（1+1）（2+1）（1+1）（2+1）=36 26460 除去 2 与 3 的因数，剩下为 5×72，约数个数 6 个，这 6 个均与 6 互质。
2. 一个五位数 825，空格中的数未知。请问：
（1）如果该数能被 72 整除，这个五位数是多少？ （2）如果该数能被 55 整除，这个五位数是多少？ 【答案】（1）86256；（2）85250 【分析】（1）从 8，9 整除特征考虑，8 需要个位填 6；9 千位填 6。
（2）从 5，11 的特征考虑，5 个位填 5 或 0，
【答案】70 【分析】7 和 5 前面的没法改，2 的因子个数奇数个，除不完。
4、有 15 位同学，每位同学都有个编号，他们的编号是 1 号到 15 号。1 号同学写了一个自 然数，2 号说：“这个数能被他的编号数整除。1 号一一作了验证：只有两个同学（他们 的编号是连续的）说得不对，其余同学都对。问： （1）说的不对的两位同学他们的编号是哪两个连续的自然数？ （2）如果 1 号同学写的自然数是一个五位数，那么这个自然数为多少？
8、有一个算式 6×5×4×3×2×1。小明在上式中把一些“×”换成“÷”，计算结果还是 自然数，那么这个自然数最小是多少？
【答案】5 【分析】6×5÷4÷3×2×1=5
9、一个两位数分别处以 7、8、9，所得余数的和为 20。问：这个两位数是多少？ 【答案】62 【分析】20=8+7+5=7+7+6=8+6+6 余数分布就 3 种情况，只有第 3 种有两位数满足。
个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？
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【答案】40.5 米
【分析】92
,
99 8
929
狐狸跳 11 次掉进
141，989
=
99 4
黄鼠狼跳9 次掉进


黄先掉，狐狸跳 9 9=40.5米。

2
7、 一个偶数恰有 6 个约数不是 3 的倍数，恰有 8 个约数不是 5 的倍数。请问：当它们之中 有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？
220506 2102056 2602056 =401
所以 b=6，c=5， 3a7 是 9 倍数。a=8。
2、11 个连续两位数乘积的末 4 位都是 0，那么这 11 个数的总和最小是多少？ 【答案】220 【分析】11 个连续两位数，至多 3 个 5 的倍数，那么还有 1 个 25 的倍数。把 25 放最后一 个是最小，这八个数为 15～25。
3、有一个算式 9×8×7×6×5×4×3×2×1。小明在上式中把一些“×”换成“÷”，计算 结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？
③a=14，b=14
c=25 或 50 或 25×7 或 25×14 4 种
④b=14×5 a=14
同②
4种
⑤b=14×25 a=14 同①
4种
共 20 组。
11、已知两个连续的两位数除以 5 的余数之和是 5，余数 6 的余数之和是 5，除以 7 的余数 之和是 1。求这两个两位数。
【答案】77 和 78 除 以71
共 28 个
4. 一个各位数字均不为 0 的三位数能被 8 整除，将其百位数字、十位数字和个位数字分 别划去后可以得到三个两位数（例如，按此方法由 247 将得到 47、27、24）。已知这些 两位数中一个是 5 的倍数，另一个是 6 的倍数，还有一个是 7 的倍数，原来的三位数 是多少？
【答案】656 【分析】有个 5，5 作十位考虑 7 的倍数：56 656 考虑 6 的倍数：54 154 只有 656 是 8 的倍数。