二次函数知识点及典型例题

二次函数一、二次函数的几何变换

二、二次函数的图象和性质

(Ⅰ) y=a(x-h)2+k (a≠0)的图象和性质

(Ⅱ) y=ax2+bx+c (a≠0)的图象和性质

(Ⅲ) a 、b 、c 的符号对抛物线形状位置的影响

三、待定系数法求二次函数的解析式

1、一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式。

2、顶点式：()k h x a y +-=2

.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

3、交点式：已知图像与x 轴的交点横坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=。

4、顶点在原点，可设解析式为y=ax 2

。

5、对称轴是y 轴（或者顶点在y 轴上），可设解析式为y= ax 2

+c 。 6、顶点在x 轴上，可设解析式为()2

h x a y -=。

7、抛物线过原点，可设解析式为y=ax2+bx 。

四、抛物线的对称性

1、抛物线与x 轴有两个交点（x 1,0）（x 2,0），则对称轴为x=

2x x 2

1+。 2、抛物线上有不同的两个交点（m ，a ）（n,a ），则对称轴为x=2

n

m +。

3、抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）与y 轴交点关于对称轴的对称点为(a

b

-, c)。

五、二次函数与一元二次方程的关系

对于抛物线c bx ax y ++=2

（a ≠0），令y=0，即为一元二次方程02=++c bx ax ，一元二次方程的解就是二次函数与x 轴交点的横坐标。要分三种情况：

1、 判别式△=b 2

-4ac ＞0⇔抛物线与x 轴有两个不同的交点（a

b 24ac

b -2+，0）

（a b 24ac b --2，0）。有韦达定理可知x 1+x 2=a b - ，x 1·x 2=

a

c 。

2、 判别式△=b 2

-4ac=0⇔抛物线与x 轴有一个交点（a

b 2-，0）。 3、 判别式△=b 2

-4ac=0⇔抛物线与x 轴无交点。

六、二次函数与一元二次不等式的关系

1、a ＞0：（1）02＞c bx ax ++的解集为：x ＜x 1或x ＞x 2（x 1＜x 2）。

（2）02

＜c bx ax

++的解集为：x 1＜x ＜x 2（x 1＜x 2）。

2、a ＜0：（1）02＞c bx ax ++的解集为：x 1＜x ＜x 2（x 1＜x 2）。

（2）02

＜c bx ax

++的解集为：x ＜x 1或x ＞x 2（x 1＜x 2）。

七、二次函数的应用 1、面积最值问题。

2、长度、高度最值问题。

3、利润最大化问题。

4、利用二次函数求近似解。

例1、抛物线c

bx

ax

y+

+

=2与直线c

ax

y+

=在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）

例2已知二次函数y=-x2+bx-8的最大值为8,则b的值为（）

A、 8

B、 -8

C、 16

D、 8或-8

例3、已知一抛物线与x轴的交点是A（-2,0）B（1,0）且经过点C（2,8）（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标

例4、已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（2，y1），B（2，y2），C（5

-，

y

3），则y

1

、y

2

、y

3

的大小关系为。

例5、把抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象解析式是y= x2-3x+5,则a+b+c=。

例6、一次函数Y=kx+b的图像与x轴和y轴分别交于A（-8,0）和点B（0,4），线段AB垂直平分线CD交x轴与点C交于AB于点D，求：

1、确定直线AB的解析式

2、求过A、B、C三点的抛物线解析式

3、抛物线对应的二次函数有最大值还是最小值当X等于几时，相应的最大值或最

小值是多少

例7、已知抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8）．抛物线顶点为D，直线CD交x轴于点E，过点B做x轴的垂线交直线CD于点F。

（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

（2）求直线CD的解析式

（3）在线段BF上是否存在点P，使得P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离。如果存在，求出点P坐标。

例8（2013•永州）如图，已知二次函数y=（x ﹣m ）2﹣4m 2（m ＞0）的图象与x 轴交于

A 、

B 两点。

（1）写出A 、B 两点的坐标（坐标用m 表示）；

（2）若二次函数图象的顶点P 在以AB 为直径的圆上，求二次函数的解析式； （3）设以AB 为直径的⊙M 与y 轴交于C 、D 两点，求CD 的长．

例9、（2010 常德）如图，已知抛物线y=2

1x 2+bx+c 与x 轴交于点A （-4，0）和B （1，

0）两点，与y 轴交于C 点． （1）求此抛物线的解析式；

（2）设E 是线段AB 上的动点，作EF ∥AC 交BC 于F ，连接CE ，当△CEF 的面积是△BEF 面积的2倍时，求E 点的坐标；

（3）若P 为抛物线上A 、C 两点间的一个动点，过P 作y 轴的平行线，交AC 于Q ，当P 点运动到什么位置时，线段PQ 的值最大，并求此时P 点的坐标．