等腰三角形、直角三角形
第16讲等腰三角形与直角三角形
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已知等腰三角形的两条边长分别是 7 和 3， 则下列四个数中， 符合第三条边 长的是( ) A．8 B．7 C．4 D．3
答案：B
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一、选择题 1．已知等腰三角形的一个内角为 100° ，则这个等腰三角形的顶角为( A．40° B．100° C．40° 100° 或 D．70° 50° 或
答案：B
)
2.将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α 的度数是(
)
A．75° C．105°
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5．如图，已知△ABC 中，AB＝5 cm，BC＝12 cm，AC＝13 cm，那么 AC 边上的中线 BD 的长为 6.5cm.
6．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90° ，∠ABC＝30° ，AB＝6，点 D 在 AB 边上，点 E 是 BC 边上一点(不与点 B、C 重合)，且 DA＝DE，则 AD 的取值范围是 2≤AD＜3.
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直角三角形与等腰三角形
直角三角形与等腰三角形三角形是几何形状中最基本的一种。
根据其边和角的属性，可以将三角形分为各种类型，其中直角三角形和等腰三角形是两个非常重要的特殊类型。
本文将介绍直角三角形和等腰三角形的定义、性质和应用。
一、直角三角形直角三角形是一种具有一个角为90度的三角形。
在直角三角形中，直角是其最大的角，另外的两个角是锐角或钝角。
直角三角形的性质如下：1. 边的关系：在直角三角形中，边与角有着密切的关系。
根据毕达哥拉斯定理，直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方和。
即c² = a² + b²。
2. 特殊比例：由于边的关系，直角三角形可以形成一些特殊的比例关系。
例如，边长为3和4的直角三角形，其斜边长为5。
这种比例关系可以用于解决各类实际问题。
3. 角的关系：在直角三角形中，由于一个角为90度，其余两个角的和为90度。
这一特性可以用于计算角度的大小。
直角三角形在日常生活中有着广泛的应用，如建筑、工程、地理测量等领域。
二、等腰三角形等腰三角形是一种具有两条边相等的三角形。
在等腰三角形中，两个相等的边叫做腰，另外一条边叫做底边。
等腰三角形的性质如下：1. 角的关系：在等腰三角形中，底边上的角相等。
这是由于两条腰的长度相等，所以两个顶角也相等。
2. 高的关系：等腰三角形的高是从顶点到底边的垂直距离，等于两边长度差的一半。
3. 面积的计算：等腰三角形的面积可以通过底边长度和高的关系来计算，即等于底边乘以高再除以2。
等腰三角形在数学中有许多应用，如解决等腰三角形的性质问题、计算等腰三角形的面积等。
三、直角三角形与等腰三角形的关系直角三角形和等腰三角形之间存在一定的关系。
在一个直角三角形中，当两个直角边的长度相等时，即为一个等腰直角三角形。
这是因为直角三角形中的直角边可以看作是等腰三角形的腰。
等腰直角三角形具有一些特殊的性质。
例如，等腰直角三角形中的两个锐角的度数必然相等，且每个角都是45度。
等腰三角形与直角三角形
专题等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的性质：⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是3、等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称【提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等。
2、因为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证，讨论角时应主要底角只被为角】4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴1、等边三角形的判定：⑴有三个角相等的三角形是等边三角形⑵有一个角是度的三角形是等边三角形【提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在4、角的平分线性质：角平分线上的点到的距离相等5、角的平分线判定：到角两边距离相等的点在【提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的集合。
2、要能够用尺规作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形【提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对边是边的一半3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：⑴定义法有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形【提醒：直角三角形的有关性质在四边形、相似、圆中均有广泛应用，要注意这性质的熟练掌握和灵活运用】四、锐角三角函数定义：在Rt△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为cosA= ∠A的正切：tanA= ，它们统称为∠A的锐角三角函数【提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与有关，与直角三角形的 无关2、取值范围 <sinA< ， cosA< ，tanA> 】【提醒：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的，要在理解的基础上结合表格进行记忆2、正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而3、几个特殊关系：⑴sinA+cos 2A= ,tanA=sin A （ ）⑵若∠A+∠B=900，则sinA= ，tanA.tanB= 】六、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的 个已知元素，求出另外 个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：Rt ∠ABC 中，∠C=900 三边分别为a 、b 、c⑴三边关系： ⑵两锐角关系 ⑶边角之间的关系：sinA cosA tanA sinB cosB tanB【提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在图上标上仰角和俯角⑵坡度坡角：如图：斜坡AB 的垂直度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，即i= 坡面与水平面得夹角为 用字母α表示，则i=tanα=h l。
新人教版初中数学——等腰三角形与直角三角形-知识点归纳及典型题解析
新人教版初中数学——等腰三角形与直角三角形知识点归纳与典型题解析一、等腰三角形1．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三、直角三角形与勾股定理1．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即：a 2+b 2=c 2． （2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a 、b 、c 有关系：a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形．考向一 等腰三角形的性质1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ． 5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°-2∠B ，∠B =∠C =2180A∠-︒．典例1 等腰三角形的一个内角为40°，则其余两个内角的度数分别为（ ） A ．40°，100° B ．70°，70°C ．60°，80°D ．40°，100°或70°，70°【答案】D【解析】①若等腰三角形的顶角为40°时，另外两个内角=（180°–40°）÷2=70°； ②若等腰三角形的底角为40°时，它的另外一个底角为40°，顶角为180°–40°–40°=100°． 所以另外两个内角的度数分别为：40°、100°或70°、70°．故选D ．【名师点睛】考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为180o ，解题关键是分情况进行讨论①已知角为顶角时；②已知角为底角时．典例2 如图，在ABC ∆中，AB =AC ，D 是BC 的中点，下列结论不正确的是（ ）A．AD BC B．∠B=∠CC．AB=2BD D．AD平分∠BAC【答案】C【解析】因为△ABC中，AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形的三线合一性质可得，A．AD⊥BC，故A选项正确；B．∠B=∠C，故B选项正确；C．无法得到AB=2BD，故C选项错误；D．AD平分∠BAC，故D选项正确．故选C．【名师点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质.1．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为__________cm.考向二等腰三角形的判定1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．典例3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，∴∠FEA=∠F，∴△AEF是等腰三角形．2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．（1）求△ABC的周长；（2）判断△ABC的形状．考向三等边三角形的性质1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．典例4 如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=1，则AC 的长为__________．【答案】4【解析】∵DE ⊥BC ，∠B =∠C =60°， ∴∠BDE =30°，∴BD =2BE =2，∵点D 为AB 边的中点，∴AB =2BD =4， ∵∠B =∠C =60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴AC =AB =4，故答案为：4．【名师点睛】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角形的性质求得AB =2BD 是解题的关键.3．如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在AC 上，以BD 为一边作等边BDE ∆，连接CE ． （1）说明ABD CBE ∆≅∆的理由； （2）若080BEC ∠=，求DBC ∠的度数．考向四 等边三角形的判定在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．典例5 下列推理中，错误的是A ．∵∠A =∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 B ．∵AB =AC ，且∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 C ．∵∠A =60°，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形D ．∵AB =AC ，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形 【答案】B【解析】A，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形，故正确；B，条件重复且条件不足，故不正确；C，∵∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形60°，故正确；D，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确．故选B．4．如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．考向五直角三角形在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．典例6 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若∠B=30°，BD=6，则CD 的长为__________．【答案】3【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°．又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴∠BAD=∠B=30°，∴AD=BD=6，∴CD=12AD=3，故答案为：3．5．已知直角三角形的两条边分别是5和12，则斜边上的中线的长度为__________．考向六 勾股定理1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a 2+b 2=c 2时，斜边只能是c ．若b 为斜边，则关系式是a 2+c 2=b 2；若a 为斜边，则关系式是b 2+c 2=a 2．2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．典例7 cm cm ，则这个直角三角形的周长为__________.【答案】【解析】∵直角边长为cm cm ，∴斜边（cm ），∴周长cm ）.故答案为:【名师点睛】本题考查了二次根式与三角形边长，面积的综合运用.熟练掌握勾股定理的计算解出斜边是关键6．如图所示，在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =，D 为BC 边上的中点.（1）求BD 、AD 的长度；（2）将ABC ∆折叠，使A 与D 重合，得折痕EF ；求AE 、BE 的长度.1．直角三角形两直角边长分别为6和8，则此直角三角形斜边上的中线长是 A ．3B ．4C ．7D ．52．如图，ABC △是等边三角形，0,20BC BD BAD =∠=，则BCD ∠的度数为A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°3．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB =AC ，顶角∠BAC =120°，跨度BC =10m ，AD 为支柱（即底边BC 的中线），两根支撑架DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE +DF 等于A ．10mB ．5mC ．2.5mD ．9.5m4．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，BDC ∆为顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且60MDN ∠=︒，则AMN ∆的周长为A．2 B．3 C．1.5 D．2.55．如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，AB=AC，CD=DE．若∠A=40°，∠ABD：∠DBC=3：4，则∠BDE=A．24°B．25°C．30°D．35°6．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为A．22 B．17C．17或22 D．267．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为A．6 B．5C．4 D．38．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有A ．8个B ．9个C ．10个D ．11个9．如图，Rt △ABC 中，∠B =90〬，AB =9，BC =6，，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段AN 的长等于A ．5B ．6C ．4D ．310．将一个有45°角的三角尺的直角顶点C 放在一张宽为3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点A 在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC 与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为A ．6B ．C ．D ．11．三角形的三边a ，b ，c （b ﹣c ）2=0；则三角形是_____三角形. 12．如图，等腰△ABC 中，AB =AC =13cm ，BC =10cm ，△ABC 的面积=________．13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，则这个等腰三角形顶角的度数为__________. 14．若一个等腰三角形的周长为26，一边长为6，则它的腰长为__________．15．如图，在ABC △中，AB AC =，D 、E 分别是BC 、AC 上一点，且AD AE =，12EDC ∠=︒，则BAD ∠=__________．16．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠EFD=__________°．17．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上的一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，CA1的长为__________．18．如图，在Rt△ABC中，点E在AB上，把△ABC沿CE折叠后，点B恰好与斜边AC的中点D 重合.（1）求证：△ACE为等腰三角形；（2）若AB=6，求AE的长.19．如图，一架2.5 m 长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B 距底端O 为0.7 m ．（1）求OA 的长度；（2）如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？20．ABC ∆与DCE ∆有公共顶点C （顶点均按逆时针排列），AB AC =，DC DE =，180BAC CDE ∠+∠=︒，//DE BC ，点G 是BE 的中点，连接DG 并延长交直线BC 于点F ，连接,AF AD .（1）如图，当90BAC ∠=︒时， 求证：①BF CD =； ②AFD ∆是等腰直角三角形.（2）当60BAC ∠=︒时，画出相应的图形（画一个即可），并直接指出AFD ∆是何种特殊三角形.21．已知：如图，有人在岸上点C 的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB =10米，CA ⊥AB ，且CA =6米，拉动绳子将船从点B 沿BA 方向行驶到点D 后，绳长CD （1）试判定△ACD 的形状，并说明理由； （2）求船体移动距离BD 的长度．1．如图，在OAB △和OCD △中，,,,40OA OB OC OD OA OC AOB COD ==>∠=∠=︒，连接,AC BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中正确的个数为A ．4B ．3C ．2D ．12．在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，则∠B =__________．3．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 都在边BC 上，∠BAD =∠CAE ，若BD =9，则CE 的长为__________．4．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，连接AC ，BD ．若90ACB ∠=︒，AC BC =，AB BD =，则ADC ∠=__________︒．5．腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．6．若等腰三角形的一个底角为72︒，则这个等腰三角形的顶角为__________．7．如图，△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE =CF ，若∠BAE =25°，则∠ACF =__________度．8．如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ．（1）求证：EF BC =；（2）若65ABC ∠=︒，28ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数．9．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ．（1）若∠C =42°，求∠BAD 的度数；（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 交AD 的延长线于点F ．求证：AE =FE ．10．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD =CE ，BE 、CD 相交于点O ．求证：（1）DBC ECB △≌△； （2）OB OC =．11．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F ． （1）若∠C =36°，求∠BAD 的度数．（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 叫AD 的延长线于点F ．求证：FB =FE ．12．在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN =︒∠，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =； （3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：AB AN +=．1．【答案】4cm 或5cm【解析】当长是4cm 的边是底边时，腰长是12（13–4）=4.5， 三边长为4cm ，4.5cm ，4.5cm ，等腰三角形成立；当长是4cm 的边是腰时，底边长是：13–4–4=5cm ，等腰三角形成立． 故底边长是：4cm 或5cm ．故答案是：4cm 或5cm【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 2．【解析】（1）由题意得：5−2<AB <5+2，即：3<AB <7，∵AB 为奇数，∴AB =5， ∴△ABC 的周长为5+5+2=12． （2）∵AB =AC =5， ∴△ABC 是等腰三角形． 3．【答案】（1）见解析；（2）20°.【解析】（1）由060ABC DBE ∠=∠=，得ABD CBE ∠=∠，由,AB BC BD BE ==， 得ABD CBE ∆≅∆（SAS ）；（2）由ABD CBE ∆≅∆，得060BCE A ∠=∠=，所以00000180180806040CBE BEC BCE ∠=-∠-∠=--=， 所以000060604020DBC CBE ∠=-∠=-=.【名师点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，先证明三角形全等是解决本题的突破口． 4．【答案】5【解析】已知∠AON =60°，当OP =OA =5时，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，可得△AOP 为等边三角形．故答案为：5． 5．【答案】6或6.5【解析】分两种情况：①5和12是两条直角边，根据勾股定理求得斜边为13，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6.5；②5是直角边，12为斜边，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6，故答案为：6或6.5．6．【答案】（1）BD =2，AD =2）136AE =，56BE = 【解析】（1）∵在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =， ∴在Rt ABC ∆中，222225316BC AC AB =-=-=， ∴4BC =，又∵D 为BC 边上的中点， ∴122BD DC BC ===， ∴在Rt ABD ∆中，222222133AD AB BD =+=+=，∴AD =（2）ABC ∆折叠后如图所示，EF 为折痕，连接DE ，设AE x =，则DE x =，3BE x =-，在Rt BDE ∆中，222BE BD DE +=，即()22232x x -+=，解得：136x =， ∴136AE =， ∴135366BE =-=． 【名师点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，也考查了折叠的性质.是常见中考题型.1．【答案】D【解析】∵两直角边分别为6和8，∴斜边10=， ∴斜边上的中线=12×10=5，故选D ． 【名师点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键． 2．【答案】A 【解析】ABC △是等边三角形，AC AB BC ∴==，又BC BD =，AB BD ∴=，∴20BAD BDA ∠=∠=︒0180CBD BAD BDA ABC ∴∠=-∠-∠-∠0000018020206080=---=，BC BD =，∴11(180)(18080)5022BCD CBD ∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒，故选A ．【名师点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、等边对等角以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是正确解答本题的关键. 3．【答案】B【解析】∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°， ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足为E ，F ，∴DE =12BD ，DF =12DC ， ∴DE +DF =12BD +12DC =12（BD +DC ）=12B C ．∴DE +DF =12BC =12×10=5m ．故选B ． 【名师点睛】本题考查等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键. 4．【答案】A【解析】如图所示，延长AC 到E ，使CE =BM ，连接DE ，∵BD =DC ，∠BDC =120°，∴∠CBD =∠BCD =30°， ∵∠ABC =∠ACB =60°，∴∠ABD =∠ACD =∠DCE =90°，在△BMD 和△CED 中，90BD CDDBM DCE BM CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BMD ≌△CED （SAS ），∴∠BDM =∠CDE ，DM =DE ， 又∵∠MDN =60°，∴∠BDM +∠NDC =60°， ∴∠EDC +∠NDC =∠NDE =60°=∠NDM ， 在△MDN 和△EDN 中，DM DEMDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDN ≌△EDN （SAS ）， ∴MN =NE =NC +CE =NC +BM ，所以△AMN 周长=AM +AN +MN =AM +AN +NC +BM =AB +AC =2. 故选A.【名师点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，做辅助线构造全等三角形，利用等边三角形的性质得到全等条件是解决本题的关键.5．【答案】C【解析】∵AB=AC，CD=DE，∴∠C=∠DEC=∠ABC，∴AB∥DE，∵∠A=40°，∴∠C=∠DEC=∠ABC=18040702，∵∠ABD：∠DBC=3：4，∴设∠ABD为3x，∠DBC为4x，∴3x+4x=70°，∴x=10°，∴∠ABD=30°，∵AB∥DE，∴∠BDE=∠ABD=30°，故答案为C．【名师点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角和三角形内角和定理求解，难度适中．6．【答案】A【解析】分两种情况：①当腰为4时，4+4<9，所以不能构成三角形；②当腰为9时，9+9>4，9-9<4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4=22．故选A．7．【答案】C【解析】∵AB=AC=5，AD平分∠BAC，BC=6，∴BD=CD=3，∠ADB=90°，∴AD=4．故选C．8．【答案】B【解析】如图，①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选B．9．【答案】A【解析】设AN=x，由翻折的性质可知DN=AN=x，则BN=9-x．∵D是BC的中点，∴BD=1632⨯=．在Rt△BDN中，由勾股定理得:ND2=NB2+BD2，即x2=（9-x）2+32，解得x=5，AN=5，故选A．10．【答案】D【解析】如图，作AH⊥CH，在Rt △ACH 中，∵AH =3，∠AHC =90°，∠ACH =30°，∴AC =2AH =6，在Rt △ABC 中，AB ==D ．11．【答案】等边【解析】三角形的三边a ，b ，c 2()0b c -=，20,()0b c =-=，0,0a b b c ∴-=-=，解得：,a b b c ==，即a b c ==，则该三角形是等边三角形.故答案为：等边.【名师点睛】本题是一道比较好的综合题，考查了算术平方根的非负性、平方数的非负性、等边三角形的定义. 12．【答案】60cm 2．【解析】过点A 作AD ⊥BC 交BC 于点D ， ∵AB =AC =13cm ，BC =10cm ， ∴BD =CD =5cm ，AD ⊥BC ，由勾股定理得：AD （cm ）， ∴△ABC 的面积=12×BC ×AD =12×10×12=60（cm 2）．【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及勾股定理，能根据等腰三角形的“三线合一”正确的添加辅助线是关键. 13．【答案】55°或125°【解析】如图，分两种情况进行讨论：如图1，当高在三角形内部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°； 如图2，当高在三角形外部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°； ∴∠CAB =180°–55°=125°， 故答案为55°或125°．【名师点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键. 14．【答案】10【解析】①当6为腰长时，则腰长为6，底边=26-6-6=14，因为14>6+6，所以不能构成三角形； ②当6为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10，因为6-6<10<6+6，所以能构成三角形，故腰长为10．故答案为：10． 15．【答案】24︒【解析】∵ADC ∠是三角形ABD 的外角，AED ∠是三角形DEC 的一个外角，CDE x ∠=︒， ∴ADC BAD B ADE EDC ∠=∠+∠=∠+∠，AED EDC C ∠=∠+∠，B BAD ADE x ∠+∠=∠+︒，AEDC x ∠=∠+︒，∵AB AC =，D 、E 分别在BC 、AC 上，AD AE =，CDE x ∠=︒，∴B C ∠=∠，20ADE AED C ∠=∠=∠+︒，∴C BAD C x x ∠+∠=∠︒++︒，∵12EDC ∠=︒，∴24BAD ∠=︒，故答案为：24︒．16．【答案】15【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，∠ACD =120°， ∵CG =CD ，∴∠CDG =30°，∠FDE =150°， ∵DF =DE ，∴∠E =15°．故答案为：15．17．【答案】【解析】如图，过点A 1作A 1M ⊥BC 于点M ．∵点A 的对应点A 1恰落在∠BCD 的平分线上，∠BCD =90°，∴∠A 1CM =45°，即△AMC 是等腰直角三角形，∴设CM =A 1M =x ，则BM =7-x ．又由折叠的性质知AB =A 1B =5，∴在直角△A 1MB 中，由勾股定理得A 1M 2=A 1B 2-BM 2=25-（7-x ）2，∴25-（7-x ）2=x 2，解得x 1=3，x 2=4，∵在等腰Rt △A 1CM 中，CA 1A 1M ，∴CA 1．故答案为：18．【答案】（1）见解析；（2）4.【解析】（1）∵把△ABC 沿CE 折叠后，点B 恰好与斜边AC 的中点D 重合， ∴CD =CB ，∠CDE =∠B =90°，AD =CD ，在△ADE 和△CDE 中，90AD CDADE CDE ED ED =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CDE （SAS ）， ∴EA=EC ，∴△ACE 为等腰三角形； （2）由折叠的性质知：∠BEC =∠DEC ， ∵△ADE ≌△CDE ，∴∠AED =∠DEC ， ∴∠AED =∠DEC =∠BEC =60°，∴∠BCE =30°，∴12BE CE =， 又∵EA=EC ，∴11223BE AE AB ===，∴AE=4.【名师点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的定义和30°角的直角三角形的性质，属于常考题型，熟练掌握上述图形的性质是解题关键. 19．【解析】在直角△ABO 中，已知AB =2.5 m ，BO =0.7 m ，则AO ， ∵AO =AA ′+OA ′，∴OA ′=2 m ，∵在直角△A ′B ′O 中，AB =A ′B ′，且A ′B ′为斜边， ∴OB ′=1.5 m ，∴BB ′=OB ′-OB =1.5 m -0.7 m=0.8 m ． 答：梯足向外移动了0.8 m ．20．【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）详见解析；【解析】（1）证明：①∵//DE BC ，∴GBF GED ∠=∠. 又,BG EG FGB DGE =∠=∠， ∴(ASA)GBF GED ∆∆≌，∴BF ED =. 又CD ED =，∴BF CD =；②当90BAC ∠=︒时，45ABC ACB ∠=∠=︒， ∵180BAC CDE ︒∠+∠=，∴90CDE ︒∠=.∵//DE BC ，∴90,45BCD CDE ACD ︒︒∠=∠=∠=，∴ABF ACD ∠=∠；又,AB AC BF CD ==，∴()ABF ACD SAS ∆∆≌， ∴,AF AD BAF CAD =∠=∠， ∴BAF FAC CAD FAC ∠+∠=∠+∠ 即90BAC FAD ∠=∠=︒，∴AFD ∆是等腰直角三角形.（2）所画图形如图1或图②，此时AFD ∆是等边三角形.图1 图2 与（1）同理，可证ABF ACD ∆∆≌， ∴AF =AD ，60BAC FAD ∠=∠=︒， ∴△AFD 是等边三角形.【名师点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是正确找到证明三角形全等的条件，利用全等三角形的性质得到边的关系，角的关系.21．【解析】（1）由题意可得：AC =6 m ，DCm ，∠CAD =90°，可得AD（m ）， 故△ACD 是等腰直角三角形．（2）∵AC =6 m ，BC =10 m ，∠CAD =90°， ∴AB（m ）， 则BD =AB -AD =8-6=2（m ）． 答：船体移动距离BD 的长度为2 m ．1．【答案】B【解析】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC △和BOD △中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOC BOD △≌△，∴OCA ODB AC BD ∠=∠=，，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠， ∴40AMB AOB ∠=∠=°，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=°，在OCG △和ODH △中，OCA ODBOGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴OCG ODH △≌△，∴OG OH =，∴MO平分BMC ∠，④正确，正确的个数有3个，故选B ． 2．【答案】70°【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ， ∵∠A +∠B +∠C =180°，∴∠B =12（180°-40°）=70°．故答案为：70°． 3．【答案】9【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，在△BAD 和△CAE 中，BAD CAE AB ACB C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BAD ≌△CAE ， ∴BD =CE =9，故答案为：9． 4．【答案】105【解析】作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，如图所示，则DE CF =，∵CF AB ⊥，90ACB ∠=︒，AC BC =，∴12CF AF BF AB ===， ∵AB BD =，∴1122DE CF AB BD ===，BAD BDA ∠=∠， ∴30ABD ∠=︒，∴75BAD BDA ∠=∠=︒，∵AB CD ∥，∴180ADC BAD ∠+∠=︒，∴105ADC ∠=︒，故答案为：105．5．【答案】6或【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6； ②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴BC == ③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD ==，∴8BD =，∴BC =∴此时底边长为6或【名师点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论． 6．【答案】36°【解析】∵等腰三角形的一个底角为72︒，∴等腰三角形的顶角180727236=︒-︒-︒=︒， 故答案为：36︒．【名师点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 7．【答案】70【解析】∵∠ABC =90°，AB =AC ，∴∠CBF =180°–∠ABC =90°，∠ACB =45°， 在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AB CBAE CF=⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠BCF =∠BAE =25°，∴∠ACF =∠ACB +∠BCF =45°+25°=70°，故答案为：70．【名师点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 8．【解析】（1）∵CAF BAE ∠=∠，∴BAC EAF ∠=∠，∵AE AB AC AF ==，， ∴BAC EAF △≌△， ∴EF BC =．（2）∵65AB AE ABC =∠=︒，， ∴18065250BAE ∠=︒-︒⨯=︒， ∴50FAG ∠=︒， ∵BAC EAF △≌△， ∴28F C ∠=∠=︒， ∴502878FGC ∠=︒+︒=︒．【名师点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键． 9．【解析】（1）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，∴∠BAD =∠CAD ，∠ADC =90°，又∠C =42°，∴∠BAD =∠CAD =90°-42°=48°． （2）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ， ∴∠BAD =∠CAD ， ∵EF ∥AC ， ∴∠F =∠CAD ， ∴∠BAD =∠F ，∴AE =FE ．10．【解析】（1）∵AB =AC ，∴∠ECB =∠DBC ，在DBC △与ECB △中，BD CE DBC ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DBC △≌ECB △．（2）由（1）DBC △≌ECB △， ∴∠DCB =∠EBC ， ∴OB =OC ．11．【解析】（1）∵AB AC =，∴C ABC ∠=∠，∵36C ∠=︒， ∴36ABC ∠=︒，∵D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴90903654BAD ABC ∠=-∠=-︒=︒︒︒． （2）∵BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠， 又∵EF BC ∥，∴EBC BEF ∠=∠， ∴EBF FEB ∠=∠， ∴BF EF =．【名师点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．【解析】（1）∵90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，∴AD BD DC ==，45ABC ACB ∠=∠=︒，45BAD CAD ∠=∠=︒， ∵2AB =，∴AD BD DC ===，∵30AMN ∠=︒，∴180903060BMD ∠=︒-︒-︒=︒， ∴30BMD ∠=︒，∴2BM DM =，由勾股定理得，222BM DM BD -=，即222(2)DM DM -=，解得DM =∴AM AD DM =-=（2）∵AD BC ⊥，90EDF ∠=︒，∴BDE ADF ∠=∠，在BDE △和ADF △中，B DAF DB DA BDE ADF ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BDE ADF △≌△， ∴BE AF =．（3）如图，过点M 作//ME BC 交AB 的延长线于E ，∴90AME ∠=︒，则AE =，45E ∠=︒，∴ME MA =，∵90AME ∠=︒，90BMN ∠=︒， ∴BME AMN ∠=∠，在BME △和AMN △中，E MAN ME MA BME AMN ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BME AMN △≌△，∴BE AN =，∴AB AN AB BE AE +=+==．【名师点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形 的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。
等腰三角形与直角三角形
等腰三角形与直角三角形在数学中，三角形是一种基本的几何形状，根据其边长和角度的关系，可以分为不同的类型。
其中，等腰三角形和直角三角形是两个常见的三角形类型，它们在几何学和实际应用中都具有重要的意义。
一、等腰三角形等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
在等腰三角形中，两个底角的大小相等。
等腰三角形有很多性质和特点，下面我们来介绍几个重要的性质：1. 等腰三角形的底角相等。
无论等腰三角形的顶角是多少，只要两边相等，底角就会相等。
这是等腰三角形的一个重要性质。
2. 等腰三角形的高线相等。
等腰三角形的高线是从顶角到底边上的垂直线段，对于等腰三角形来说，高线的长度相等。
3. 等腰三角形的内角和为180度。
等腰三角形的两个底角相等，所以三角形的内角和为180度，这是三角形的基本性质。
二、直角三角形直角三角形是指具有一个角是90度的三角形。
直角三角形中最常用的性质就是毕达哥拉斯定理，即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。
除此之外，直角三角形还有以下性质：1. 直角三角形的两个锐角之和等于90度。
直角三角形中，最大的一个角是90度，所以其余两个角的和等于90度。
2. 直角三角形的两个直角边的比值为斜边的正切值。
直角三角形中，直角边与斜边的比值可以用正切函数计算，即tan(θ) = 对边/邻边。
3. 直角三角形的面积等于两直角边的乘积的一半。
直角三角形的面积可以通过两直角边的乘积再除以2来计算。
三、等腰三角形与直角三角形的联系等腰三角形和直角三角形在几何学中有一些联系和共同点。
首先，对于一个等腰直角三角形来说，它既是等腰三角形又是直角三角形。
其次，在等腰三角形中，如果顶角等于90度，那么这个等腰三角形就成为直角三角形。
此外，在计算等腰三角形和直角三角形的面积时，也可以使用相同的公式。
对于等腰三角形，可以使用底边和高线的乘积再除以2来计算面积；对于直角三角形，可以使用两条直角边的乘积再除以2来计算面积。
综上所述，等腰三角形和直角三角形是两种常见的三角形类型，它们在数学和几何学中具有重要的作用。
等腰三角形与直角三角形
等腰三角形与直角三角形在我们的数学世界中，三角形家族里有两个特别重要的成员——等腰三角形和直角三角形。
它们不仅在数学理论中有着重要地位，在实际生活中也随处可见其身影。
先来说说等腰三角形。
等腰三角形，顾名思义，就是至少有两条边长度相等的三角形。
这两条相等的边叫做腰，另一条边则称为底边。
等腰三角形有一个很有趣的性质，那就是两腰所对的两个底角相等。
想象一下，我们把等腰三角形沿着对称轴对折，是不是能够完全重合？这就直观地体现了底角相等的特点。
等腰三角形的这个性质在解决许多几何问题时非常有用。
比如，已知一个等腰三角形的顶角为 80 度，那么很容易就能算出底角的度数为（180 80）÷ 2 ＝ 50 度。
在实际生活中，等腰三角形也有不少应用。
像一些建筑的屋顶设计，就可能采用等腰三角形的结构，既能保证美观，又能使受力均匀。
还有我们常见的衣架，也常常是等腰三角形的形状，这样挂衣服会更加稳定。
再聊聊直角三角形。
直角三角形有一个非常明显的特征，那就是有一个角是直角，也就是 90 度。
直角所对的边称为斜边，另外两条边则称为直角边。
直角三角形中最著名的定理当属勾股定理了。
它说的是直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
比如一个直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，那么斜边的长度就可以通过计算 3²＋ 4²＝ 9 ＋ 16 ＝ 25，所以斜边的长度就是 5。
勾股定理在数学和物理学等领域都有着广泛的应用。
比如在测量建筑物的高度时，如果我们知道水平距离和仰角，就可以利用勾股定理计算出建筑物的高度。
直角三角形还有一些特殊的类型，比如等腰直角三角形，它的两条直角边长度相等。
这种三角形在解决一些几何问题时，由于其边之间的特殊关系，往往能使计算变得更加简便。
等腰三角形和直角三角形之间也有着一些有趣的联系。
比如，一个等腰直角三角形，既是等腰三角形，又是直角三角形。
在数学学习中，深入理解等腰三角形和直角三角形的性质和特点，对于解决各种几何问题、提高我们的逻辑思维能力都有着极大的帮助。
等腰三角形和直角三角形
等腰三角形和直角三角形在我们的数学世界中，三角形家族成员众多，其中等腰三角形和直角三角形是非常重要的两类。
它们在几何的大舞台上各自展现着独特的魅力和特性，为解决各种数学问题和实际生活中的测量、设计等提供了关键的理论支持。
先来说说等腰三角形。
等腰三角形，顾名思义，就是至少有两条边长度相等的三角形。
这两条相等的边被称为腰，而剩下的那条边则被称为底边。
等腰三角形有一个非常重要的性质，那就是两腰所对的角相等，也就是“等边对等角”。
反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这就是“等角对等边”。
在等腰三角形中，还有一个很重要的线段，那就是顶角平分线、底边上的中线和底边上的高。
这三条线是重合的，我们把它叫做等腰三角形的“三线合一”。
这个性质在解决等腰三角形相关的问题时非常有用。
比如，已知等腰三角形的一个角的度数，要求其他角的度数，就可以利用“等边对等角”和三角形内角和等于 180 度的性质来计算。
再来看一个实际应用的例子。
假设要制作一个等腰三角形的风筝骨架，已知顶角为 80 度，那么底角的度数就可以通过（180 80）÷ 2 ＝50 度计算得出。
这样就能按照准确的角度来裁剪材料，制作出形状标准的风筝骨架。
接下来聊聊直角三角形。
直角三角形是指其中一个角为 90 度的三角形。
这个90 度的角被称为直角，而构成直角的两条边被称为直角边，剩下的那条边则被称为斜边。
直角三角形有一个非常著名的定理，那就是勾股定理。
它说的是直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两条直角边分别用 a 和 b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理就可以写成 a²＋ b²＝ c²。
这个定理在数学和实际生活中的应用极其广泛。
比如，在建筑施工中，工人师傅要确定一个直角墙角是否标准，可以通过测量两条直角边的长度，然后计算它们的平方和是否等于斜边长度的平方来判断。
又比如，已知一个直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，那么斜边的长度就可以通过√（3²＋ 4²) ＝ 5 来计算得出。
等腰三角形与直角三角形
等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的性质：⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是3、等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等2、同为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证讨论角时应主要底角只被围角】4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴1、等边三角形的判定：⑴有三个角相等的三角形是等边三角形⑵有一个角是度的三角形是等边三角形【名师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在角的平分线：1、性质：角平分线上的点到得距离相等2、判定：到角两边距离相等的【名师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的2、要移用作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形【名师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它就对边是边的一半3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：定义法：⑴有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角是的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形【名师提醒：直角三角形的有关性质在边形，中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】考点一：等腰三角形性质的运用例 1 （2012•襄阳）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是．对应训练A．45°B．75°C．45°或75°D．60°考点二：线段垂直平分线例2 （2012•毕节地区）如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB 于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（）A．B．2 C．D．4对应训练2．（2012•贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）A．3 B．2 C．D．1考点三：等边三角形的判定与性质例3 （2012•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A 向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．对应训练3．（2012•湘潭）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段BD的长．考点四：角的平分线例4 （2012•梅州）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF= ．对应训练4．（2012•常德）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DC=2，则D 到AB边的距离是．考点五：勾股定理【聚焦山东中考】1．（2012•泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.82．（2012•济宁）如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（-2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（）A．-4和-3之间B．3和4之间C．-5和-4之间D．4和5之间【备考真题过关】一、选择题1．（2012•肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）A．16 B．18 C．20 D．16或20A．20或16 B．20C．16 D．以上答案均不对3．（2012•江西）等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（）A．20°B．50°C．60°D．80°3．B4．（2012•三明）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．（2012•本溪）如图在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为（）A．16 B．15 C．14 D．136．（2012•荆门）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB 于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（）A．2 B．C．D．37．（2012•黔东南州）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（）A．（2，0） B1，0）C1，0）D0）1．（2012•铜仁地区）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC 交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）二、填空题10．（2012•钦州）已知等腰三角形的顶角为80°，那么它的一个底角为．11．（2012•黑龙江）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为4，则底边长．12．（2012•贵阳）如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠A n的度数．13．（2012•海南）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是．14．（2012•黄冈）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为．16．（2012•泰州）如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是．4．（2012•鸡西）Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，有一个内角为60°，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且∠ACP=30°，则PB的长为．5．（2012•无锡）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB的中点．现将△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，则GH的长等于cm．6．（2012•朝阳）下列说法中正确的序号有．①在Rt△ABC中，∠C=90°，CD为AB边上的中线，且CD=2，则AB=4；②八边形的内角和度数约为1080°；③2、3、4、3这组数据的方差为0.5；④分式方程的解为x=；⑤已知菱形的一个内角为60°，一条对角线为2，则另一条对角线长为2．三、解答题18．（2012•益阳）如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．求证：AB=AC．19．（2012•珠海）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）20．（2012•常州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O 作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE=AF．7．（2012•淮安）如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10，AB=20．求∠A的度数．2．（2012•鄂州）小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放，A、B、D在同一直线上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，试求BD的长．3．（2012•北京）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．。
等腰三角形与直角三角形
等腰三角形与直角三角形关键信息项：1、等腰三角形的定义及性质定义：＿___________________________性质 1：＿___________________________性质 2：＿___________________________性质 3：＿___________________________2、直角三角形的定义及性质定义：＿___________________________性质 1：＿___________________________性质 2：＿___________________________性质 3：＿___________________________3、等腰直角三角形的定义及性质定义：＿___________________________性质 1：＿___________________________性质 2：＿___________________________性质 3：＿___________________________4、等腰三角形与直角三角形的关系相同点：＿___________________________不同点：＿___________________________5、相关定理及证明等腰三角形定理 1：＿___________________________证明过程：＿___________________________直角三角形定理 1：＿___________________________证明过程：＿___________________________11 等腰三角形的定义等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。
相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边称为底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
111 等腰三角形的性质性质 1：等腰三角形的两腰相等。
性质 2：等腰三角形的两底角相等（简写成“等边对等角”）。
等腰三角形与直角三角形.
考点4
勾股定理及其逆定理
等于 1．勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和________
斜边的平方． 2．勾股定理的逆定理：若一个三角形中有两边的平方和等 平方 ，则这个三角形是直角三角形． 于第三边的________
【学有奇招】 1．“等角对等边”应用极为广泛，但一定要注意前提条件 是在同一个三角形中． 2．等边三角形的三个判定定理的前提不同，判定定理(1)
60° (2)等边三角形的三个角都是______________ ．
轴对称图形 ，有_______ 三 (3)对称性：等边三角形是____________ 条 对称轴．
考点3
直角三角形的判定与性质
1．判定． 直角 的三角形是直角三角形． (1)有一个角是________ (2)勾股定理的逆定理． 2．性质． 互余 ． (1)直角三角形的两个锐角________ 一半 ． (2)直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的_______ 一半 ． (3)直角三角形中，斜边上的中线长等于斜边长的_______
考点 1 等腰三角形的判定与性质
1．判定．
相等 的三角形是等腰三角形，即“等边对 (1)有两条边________
等角”．
相等 的三角形是等腰三角形，即“等角对 (2)有两个角________ 等边”．
2．性质． 相等 ，即“等边对等角”． (1)等腰三角形的两个底角________ (2)三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 重合 ． 底边上的高互相________ (3) 对称性：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是 底边上的高(中线)或顶角的角平分线 _________________________________________ 所在的直线．
小学数学认识直角三角形和等腰三角形
小学数学认识直角三角形和等腰三角形直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形，等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
在小学数学中，认识和理解直角三角形和等腰三角形是非常重要的。
一、直角三角形的认识直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
在直角三角形中，直角是最重要的特征。
直角三角形可以根据两条边的长度关系分为斜边、直角边和对边。
1. 斜边：直角三角形的斜边是直角两边之间最长的一条边，也是直角三角形的对边。
2. 直角边：直角三角形的直角边是与直角相邻的两条边。
3. 对边：直角三角形的对边是与直角不相邻的边。
在直角三角形中，根据勾股定理可以求解三边之间的关系。
勾股定理是指在直角三角形中，斜边的平方等于直角边的平方和对边的平方。
这一理论为解决直角三角形问题提供了极为重要的数学工具。
二、等腰三角形的认识等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两边的长度相等，而第三边的长度则可能不同。
等腰三角形还具有以下几个重要性质：1. 等腰三角形的两底角（非等腰边对应的两个角）相等。
2. 等腰三角形的高（即从顶点到底边中点的垂直线段）是底边的中线和高，并且等腰三角形的高平分顶点角。
3. 等腰三角形的中线（即连接底边中点和顶点的线段）和高重合，并且中线平分底边。
通过了解等腰三角形的性质和特点，我们可以更好地解决一些与等腰三角形相关的问题，如计算等腰三角形的周长、面积等。
三、直角三角形和等腰三角形的应用直角三角形和等腰三角形在现实生活中有广泛的应用。
1. 直角三角形应用于建筑和测量领域。
当我们需要测量或计算一些边长和高度时经常会用到勾股定理。
2. 等腰三角形应用于设计和绘画领域。
等腰三角形的形状美观，经常被用来设计和绘画一些艺术品、建筑结构等。
3. 直角三角形和等腰三角形还有重要的几何性质，在解决几何问题中起着重要的作用。
四、总结小学数学中认识直角三角形和等腰三角形是非常重要的。
直角三角形通过勾股定理帮助我们求解三边之间的关系，而等腰三角形则具有一些特殊性质和应用。
等腰三角形和直角三角形
等腰三角形、直角三角形考点一：等腰三角形以BC为底，以长度a为腰的等腰三角形由：△ABD≌△ACD （SAS）∴∠A=∠B CD⊥AB AD=BD1、定义：有两边相等的三角形2、性质：（1）等边对等角（2）三线合一（本质：三角形全等）：AB=BC;AD为角平分线；AD⊥BC；BD=DC。
（知二求二）例3.已知三角形ABC，（1）若AD⊥BC，BD=CD，求证:△ABC为等腰三角形；（2）若AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，求证:△ABC为等腰三角形；（3）若∠BAD=∠CAD，BD=CD, 求证:△ABC为等腰三角形.证明思路：（1）△ABD≌△ACD（HL）（2）△ABD≌△ACD（ASA）（3）过D分别作AB，AC的垂线，利用角分线构造全等三角形例1. 如图，在△ABC 中AB = AC，AD = DE = EB，BC = BD，求∠A 的度数.解：设∠A=x，则∵AD=DE，∴∠AED=∠A=x；∵DE=BE，∴∠EDB=∠EBD=0.5x又∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=∠A+∠EBD=1.5x；∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=1.5x；在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=4x=180°，∴∠A=x=45°．故答案为：45°．【三线合一】性质应用：方法：找等腰三角形和三线例2. 如图△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120°，AD是BC边上的中线，E是AB 上一点且BD = BE，求∠ADE的度数.等腰△ABC＋AD为底边中线例5. 已知:如图，在△ABC中AB = AC，∠A = 60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE = CD. 求证:DB = DE.等腰△ABC＋BD为底边中线3、模型：平行线＋角平分线=等腰三角形AD//BC，∠1=∠2，AB=BC可证：△ABD为等腰三角形例4. (1)如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC过点D，作ED∥BC.指出图中的等腰三角形，并说明理由.(2)如图2，在△ABC中∠ABC、∠ACB 的平分线交于点O，过点O作EF∥BC.明:EF=BE+CF.解题思路：（1）△BED为等腰三角形（2）△BEO和△CFO都是等腰三角形可得：BE=EO，CF=OF则可证出：EF=BE＋CF4、易错题—分类讨论方法：无图有偶取舍：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
等腰三角形与直角三角形
(1)OA=OB=OC. (2)△OMN是等腰直角三角形.
【例2】如图4-3-2所示，在四边形ABCD中，AB=AD=8， ∠A=60°，∠D=150°已知四边形的周长为32，求四边 形ABCD的面积.
S四边形ABCD=16
3 +24.
【例3】已知：如图4-3-3所示，等腰△ABC的底边长8cm，腰长 5cm，一动点P在底边上从B向C以0.25cm/秒的速度运动，当点P 运动到PA与腰垂直的位置时，求点P运动的时间?
3.如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这 个等腰三角形的顶角为( D ) A.30° B.60° C.150 ° D.120° 4.在下列四个命题中，正确的命题的个数是( D) ①等腰三角形两腰上的中线相等 ②等腰三角形两腰上的高相等 ③等腰三角形两底角的平分线相等 ④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等 A.1 B.2 C.3 D.4
(3)角平分线是到角两边的距离相等的所有点组成的集 合. (4)互逆命题与互逆定理. 2.线段垂直平分线的性质定理及逆定理 (1)性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个 端点的距离相等. (2)逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这 条线段的垂直平分线上. (3)用符号语言表示线段垂直平分线的性质定理和逆定 理.如图4-4-2所示. 性质定理：∵PC是线段AB的中垂线 ∴PA=PB 逆定理：∵PA=PB ∴点P在AB的中垂线上.
【注意】 这里不可 说PC是AB的中垂线. (4)线段中垂线是和线段两个端点距离相等的所有 点的集合.
典型例题解析
【例1】 (2003· 广东省)如图4-3-1所示，在Rt△ABC中， AB=AC，∠BAC=90°，O为BC中点. (1)写出O点到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系 .(不要求证明) (2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保 持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论.
等腰三角形和直角三角形
等腰三角形与直角三角形考点一等腰三角形1．定义：有相等的三角形叫做等腰三角形．2. 性质：（1）等边对等角：等腰三角形的两条腰，两个底角。
符号语言：（2）“三线合一”:等腰三角形的顶角的，底边上的及底边上的互相重合。
符号语言：（3）对称性：等腰三角形是对称图形，有条对称轴3．判定(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形；(2)有相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）．符号语言：考点二等边三角形1．定义：都相等的三角形叫做等边三角形2．性质(1)三边相等；(2)三角相等，且每一个角都等于；(3)它是对称图形，有条对称轴.3．判定(1)三边都相等的三角形是等边三角形；(2)三角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是60°的三角形是等边三角形．考点三直角三角形1．性质(1)直角三角形两个锐角之和等于；(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的；符号语言：(3)直角三角形30°角所对的直角边等于；符号语言：(4)勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则有；(5)常用勾股数：(3,4,5)，(5,12,13)，(8,15,17)，(7,24,25)．2．判定(1)有一个角为的三角形是直角三角形；(2)有两个角的三角形是直角三角形。
(3)勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则以a ，b ，c 为边的三角形是直角三角形．3．面积计算公式：S ＝ , 其中a ，b 为两条直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高，常用等积法求线段长．三、典型例题例1 （1）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，∠ABC ＝58°，则∠ABD 的度数为 .（1） 变式变式：如图，在△ABC 中，AB=AC,∠A=30°,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E,连接BE ，则∠CBE 的度数为 。
（2）等腰三角形的一边长为2，另一边长为5，则这个等腰三角形的周长为______题后反思：跟踪练习一1、一个等腰三角形的两边长分别是方程 的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A. 12B. 15C. 13D.12或152、若等腰三角形的一个内角为80°，则它的底角为( )A ．80°B ．50°C ．20°D ．50°或80°3、如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，∠BAD=35°，则∠C 的度数为（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．60°例2（1）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )（2）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，AC ＝12，F 是DE 上一点，连接AF ，CF ，DF ＝1，若∠AFC ＝90°，则BC 的长度为( )A ．12B ．13C ．14D ．15（2） （3）（3）[2015·青岛]如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE ＝1，则BC 等于( )题后反思： 跟踪练习二1、如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，E 为AC 的中点，若AD ＝6，DE ＝4，则CD ＝ . 29180x x -+=A.3,4,5 B.1,2,3 C.6,7,8 D.1,2,32、[2017·青岛]如图，▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BC ，垂足为E ， AB ＝3，AC ＝2，BD ＝4，则AE 的长为( )第1题 第2题 第3题3、[2017·青岛]如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，E 为对角线AC 的中点，连接BE ，ED ，BD ，若∠BAD ＝58°，则∠EBD 的度数为 度．题后反思： 拓展延伸1、如图，已知在三角形纸片ABC 中，BC ＝3，AB ＝6，∠BCA ＝90°，在AC 上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，点A 与BC 延长线上的点D 重合，则DE 的长度为( ) A ．6 B ．32、（2018青岛）如图，已知正方形ABCD 的边长为5，点E 、F 分别在AD 、DC 上，AE=DF=2，BE 与AF 相交于点G ，点H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为 ．第1题 第2题题后反思：四、回顾反思通过今天的学习，你有什么收获？用你自己的话说说吧！五、课堂检测1、如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AB=6cm ，则△DEB 的周长为 __________2、如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上，若AB ＝6，BC ＝9，则BF 的长为( )A. 4B. 23C. 4.5D. 53321221A. B. C. D.22773.D 32.C第1题第2题第3题第4题3、如图，在△ABC中，AB=AC,∠C=72°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线，若在边AB 上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个4、[2016·青岛] 如图，以边长为20cm的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形．把它们沿图中虚线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积cm.为3六、课后作业1．如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和顶点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE＝4cm，则△ABD的周长是 .2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝5，则BC的长为()3、如图，在等腰梯形ABCD中，AD＝2，∠BCD＝60°，对角线CA平分∠BCD，E，F 分别是底边AD，BC的中点，连接EF.点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，则PA＋PB 的最小值为.第1题第2题第3题。
第18讲 等腰三角形与直角三角形
考点五 线段垂直平分线的性质和判定 1．经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线， 叫做线段的垂直平分线． 2．性质 (1)线段垂直平分线上的点与这条线段 两个端点 的距离相等； (2)与一条线段两个端点的距离相等的点，在这条 线段的 垂直平分线 上．
2
2
∴ME＝MD，
∴△MED 为等腰三角形．
(2)∵ ME＝1AB＝ MA， ∴∠ MAE＝∠ MEA， 2
∴∠BME＝2∠MAE.同理 MD＝1AB＝MA， 2
∴∠ MAD＝∠ MDA，∴∠ BMD＝ 2∠ MAD， ∴ ∠EMD＝∠BME－∠BMD＝2∠MAE－2∠MAD＝ 2∠ DAC．
一、选择题(每小题 4 分，共 40 分) 1．(2016·泰安)如图，在△PAB 中，PA＝PB，M， N，K 分别是 PA，PB，AB 上的点，且 AM＝BK，BN ＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P 的度数为( )
【点拨】∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD． ∵ED∥BC，∴∠CBD＝∠BDE，∴∠ABD＝∠BDE， ∴BE＝DE，△AED 的周长＝AE＋DE＋AD＝AE＋BE
＋AD＝AB＋AD，∵AB＝3，AD＝1，∴△AED 的周
长＝3＋1＝4.故选 C． 【答案】 C
方法总结： 等腰三角形有两个性质：(1)“等边对等角”，利 用这个性质可以证明两个角相等，也可以计算角的大 小；(2)“三线合一”，利用这个性质可以证明线段相 等、角相等、一个角等于 90°、计算线段长度和角的 大小等．
( D) A．2 个 C．4 个
B．3 个 D．5 个
3．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为
25°，则该三角形的一个底角为( C )
等腰三角形与直角三角形复习
等腰三角形与直角三角形复习三角形是初中数学中非常重要的一个部分，而等腰三角形和直角三角形又是其中比较特殊且重要的类型。
在这篇文章中，咱们一起来好好复习一下这两种三角形的相关知识。
一、等腰三角形1、定义等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。
相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
2、性质（1）等腰三角形的两腰相等。
（2）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
（3）等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
3、判定（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
（2）有两条边相等的三角形是等腰三角形。
4、等腰三角形中的重要线段（1）等腰三角形顶角的平分线：不仅平分顶角，还垂直于底边。
（2）底边上的中线：平分底边，并且垂直于底边。
（3）底边上的高：平分底边，同时平分顶角。
5、等腰三角形的周长和面积（1）周长：等腰三角形的周长等于底边长度加上两条腰的长度。
（2）面积：可以使用底乘以高除以 2 来计算。
6、等腰三角形的常见题型（1）求角度：根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来计算角度。
（2）证明线段相等：利用“等边对等角”和“等角对等边”进行证明。
（3）求周长和面积：通过已知条件求出各边长度，进而计算周长和面积。
二、直角三角形1、定义有一个角为 90 度的三角形，叫做直角三角形。
2、性质（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
（2）在直角三角形中，两个锐角互余。
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3、判定（1）如果一个三角形的三边满足勾股定理，那么这个三角形是直角三角形。
（2）如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形。
4、直角三角形中的特殊角度（1）30 度所对的直角边等于斜边的一半。
（2）如果一个直角三角形的一个锐角是 45 度，那么这个直角三角形是等腰直角三角形，两条直角边相等。
等腰三角形+直角三角形
等腰三角形+直角三角形等腰三角形和直角三角形是初中数学中非常重要的几何图形，它们具有独特的性质和广泛的应用。
首先，咱们来聊聊等腰三角形。
等腰三角形就是至少有两边相等的三角形。
这相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形有一个非常重要的性质，那就是两底角相等。
这个性质在解决很多几何问题时都特别有用。
比如说，如果已知一个等腰三角形的顶角是 80 度，那么根据三角形内角和是 180 度，就能很快算出底角是 50 度。
等腰三角形的“三线合一”性质也十分关键。
所谓“三线合一”，就是指等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。
这个性质在证明线段相等、角相等以及垂直关系等方面经常能派上大用场。
在实际生活中，等腰三角形也随处可见。
比如一些建筑物的屋顶设计，就采用了等腰三角形的结构，这样既美观又稳固。
接下来再看看直角三角形。
直角三角形是指有一个角为 90 度的三角形。
这个 90 度的角叫做直角，直角所对的边称为斜边，另外两条边称为直角边。
直角三角形有一个著名的定理——勾股定理。
它说的是直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两条直角边分别是 a 和 b，斜边是 c，那么就有 a²＋ b²＝ c²。
这个定理可是解决直角三角形相关问题的“利器”。
比如，已知一个直角三角形的两条直角边分别是 3 和 4，那么根据勾股定理就能算出斜边是 5 。
直角三角形还有一些特殊的角度关系。
比如，如果一个直角三角形的一个锐角是 30 度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
在实际应用中，直角三角形也有很多例子。
建筑工人在建造房屋时，常常会使用直角三角形的原理来确保建筑物的角度和结构的稳定性。
测量人员在测量高度或者距离时，也会利用直角三角形的知识来进行计算。
等腰三角形和直角三角形之间也存在着一些联系。
比如，如果一个等腰直角三角形，那么它的两条直角边就是等腰三角形的两条腰，而且角度也有特殊的关系，两个底角都是 45 度。
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又∵∠2=∠1（作图），∴∠2=∠BAC（角平分线定义）
∴∠2=∠4（等量代换）
∴AD//EF（内错角相等两直线平行）
∴∠EMB=∠ADB（两直线平行同位角相等）
∵AD⊥BC（已证） ∴∠ADB=90°（垂直定义）
∴∠EMB=90°（等量代换）
∵∠ADC是△ABD外角,
∵∠1=15° ∠B=60°(已求)
∴∠ADC=∠1+∠B(三角形外角等于和它不相邻的两个内角和),
=15°+60°=75°(等式性质)
∵∠EDC=∠ADC-∠ADE(全量等于部分之和)
=75°-50°(等量代换)
2.定理：等腰三角形的两个底角相等。(同一三角形中,等边对等角)
3.定理推论：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线,底边上的高线互相重合。
4.对称性，等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴。（底边的中垂线）
1.用定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2.定理：如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。即同一三角形中，等角对等边。
证明：在ΔABD和ΔACD中，
∵
∴ΔABD≌ΔACD（SSS）
∴∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）
又∵AB=AC（已知）
∴AE⊥BC（等腰三角形顶角的平分线是底边的高线）。
例6.如图在ΔABC中，AB=AC，E在BA延长线上，且AE=AF，求证：EF⊥BC。
∴等腰三角形周长=25+25+13=63(cm)
(2)若底边长为25cm时,则腰长为13cm,
∴等腰三角形周长=25+13+13=51(cm)
说明:1.等腰三角形的两个底角相等是等腰三角形很重要的一条性质,由于等腰三角形图形的特殊性,特别要注意分类讨论思想的运用,需要看是顶角还是底角,边是腰还是底边,只有将这些内容考虑周全,才会使解答更加完整.
2)当AB+AD=11,即3x=11,BC+CD=15,即x+y=15时.
解方程组得 ∴底边长为cm.
两种解都能构成三角形，且都符合题意
答:这个等腰三角形的底边长为6cm或cm.
说明:在这二种情况中一定要注意求出底边长之后应养成检验的好习惯,看是否符合题意.由(1)中可知BC=6,则腰长AB=2x=10, ∴AB+AC>BC符合题意.同理(2)中BC=,AB+AC=4x=>BC,也符合题意.若AB+AC<BC时应将这解舍去.
∴∠DAE=180°-[(180°-∠B)+(180°-∠C)](等量代换)
=180°-(180°-∠B-∠C)
=(∠B+∠C)
又∵∠BAC=90°(已知) ∠BAC+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理)
∴∠B+∠C=180°-90°=90°(等式性质)
∴∠B=∠BAC=60°(等边三角形的每一个角为60°)
∵∠2=∠BAC-∠1(全量等于部分之和)
∵∠1=15°(已知) ∴∠2=60°-15°=45°(等式性质)
又∵∠3=∠DAE-∠2(全量等于部分之和)
∵∠DAE=80°(已知) ∠2=45°(已求)
2.若等腰三角形两边长为25cm和12cm,求三角形周长时,腰长只能为25cm,周长只能为62cm.若腰长为12cm,则两腰长的和24cm<底边25cm,不符合三角形两边之和大于第三边的定理.
例4.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15cm和11cm两部分,求这个三角形的底边长.
由三角形内角和定理可得:x+2y=180
由题意可得: (180-x)+(180-y)=245, ∴x+y=115,
∴ 解方程组得
答:这个三角形顶角为50°.
例2.等腰三角形中的一个内角为50°,求另外两个角的度数.
分析:等腰三角形的顶角可以是锐角,也可以是直角或钝角,等腰三角形的底角必为锐角.因此这个50°的角既可以是顶角又可以是底角,所以要分类进行讨论.
等边三角形
1.由定义可得：三边相等。
2.定理推论,等边三角形的各角都相等且每个角都等于60°。
3.对称性：等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴，即三条边的垂直平分线。
4.具有等腰三角形的所有性质。
1.由定义：三边都相等的三角形是等边三角形。
=25°
答: ∠CAE为35°, ∠EDC为25°.
例8.如图,在直角△ABC中, ∠BAC=90°,D,E在BC上,且BE=AB,CD=AC,求∠DAE的度数.
分析: 如图（1）先观察∠DAE在图形中的位置,首先, ∠DAE是△ADE的内角,则∠DAE=180°-(∠1+∠2),而∠1,∠2又分别是等腰△ABE和等腰△ADC的底角,又可从中找到∠1,∠2与∠B,∠C的关系,又∠B+∠C=90°,这样理清这样一串角之间的关系,就可以从中求得∠DAE.
∴∠DAE=(∠B+∠C)(已证)
=×90°(等量代换)
=45°
答: ∠DAE的度数为45°.
解法二： 分析： 如图（2） 由上可知∠DAE与∠1、∠2是ΔAED的三个内角，同时∠DAE与∠3和∠4又能组成直角，且∠2=∠DAC，∠1=∠BAE，都与∠EAD有关，因此可设元找它们之间的关系，用方程思想去解决。
1.由定义：有一个角为直角的三角形叫做直角三角形。
2.勾股定理逆定理。
如果三角形的三边长a,b,c有下面关系：a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形。
二、例题精讲：
说明:等腰三角形具有两条腰相等以及两个底角相等的性质,这些性质不仅可以用于证明,而且也常常用于计算线段或角的大小.
2.定理推论：三个角都相等的三角形是等边三角形。
Байду номын сангаас
3.定理推论：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
直角三角形
1.直角三角形中两个锐角互余。
2.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
3.勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2。
由题意可得: (180-x)+[180-(180-x)]=245
∴180-x+180-90+x=245
∴-x=245-270
∴x=50
答:这个三角形顶角为50°.
解: (二)设顶角为x°,底角为y°,顶角外角为(180-x)°,底角外角为(180-y)°.
分析：要证明EF⊥BC不大好入手，但是否可以找到一条垂直于BC的直线，再证EF与之平行呢？这个设想是可以完成的。因为图形有等腰ΔABC，BC边的中线、高线与∠BAC的平分线三线合一。
证明：作∠A的平分线AD交BC于D，延长EF交BC于M，
∵ΔABC中，AB=AC（已知），
解:若顶角为50°时,
由等腰三角形的两个底角相等和三角形内角和定理可得一底角为:=65°.
∴三角形另外两个角都为65°,
若底角为50°,
则另一底角也为50°,由内角和又可求另一角为
180°-(2×50°)=80°。
∴三角形另外两个角一个为50°,另一个为80°.
∴AD⊥BC于D
（等腰三角形顶角平分线是底边的高线）
∵∠BAC是ΔAEF的外角（如图）
∴∠BAC=∠3+∠4
（三角形外角等于和它不相邻的两个内角和）
∵AE=AF（已知） ∴∠3=∠4（同一三角形中等边对等角）
∴∠BAC=2∠4（等式性质）∴∠4=∠BAC，
例5.如图AB=AC，D是AE上一点，且BD=DC。 求证：AE⊥BC。
分析：由AB=AC可知ΔABC是等腰三角形应联想它的性质，要证明AE⊥BC须证AE平分∠BAC，根据已知AB=AC，BD=DC，AD=AD，可得ΔABD≌ΔACD，得出∠1=∠2，再由性质证出AE⊥BC。
∴EF⊥BC（垂直定义）。
说明：如果补充定理：若a//b,且a⊥c, 则b⊥c，则可不作EF延长线，证出AD//EF后，再由AD⊥BC，直接可证出EF⊥BC。
例7.如图△ABC是等边三角形, △ADE是以AD,AE为腰的等腰三角形,∠DAE=80°,∠BAD=15°,求∠CAE和∠EDC的度数.
解: (一) ∵BE=AB(已知) ∴∠1=∠BAE(同一三角形中,等边对等角)
∵∠1+∠BAE+∠B=180°(三角形内角和定理)
∴∠1=(180°-∠B) (等式性质)
同理可求∠2=(180°-∠C)
在△ADE中,∵∠DAE=180°-(∠1+∠2)(三角形内角和定理)
分析:题中除有两个角的具体度数外,还隐含了等边三角形每个角都是60°的条件.这样可以从∠DAC=∠BAC-∠BAD求得∠DAC度数,也就求得了∠CAE的度数.又可由△ADE为等腰三角形,则∠ADE=(180°-∠DAE),以及∠ADC是△ABD的外角,也可求得∠EDC的度数.
解:∵△ABC为等边三角形(已知)
例3.等腰三角形的两边长分别为25cm和13cm.求它的周长.
分析:等腰三角形的边有两种:一是等腰三角形的两条腰相等,另一是等腰三角形的底边.因此此题的已知条件中两边长为25cm和13cm,有可能腰为25cm或13cm，两种情况都可以构成三角形，因此要分类讨论.
解: (1)若腰长为25cm时,则另一腰也为25cm,底边长为13cm.
一、知识讲解：
1.等腰三角形是一种特殊的三角形,等边三角形又是特殊的等腰三角形.它们除其有一般三角形的边、内角、外角的性质之外,还有许多特殊性.