等腰三角形基础练习题解析
等腰三角形的判定练习题
等腰三角形的判定练习题等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。
判定一个三角形是否是等腰三角形有多种方法，下面将介绍几个常用的练习题，帮助读者加深对等腰三角形的判定方法的理解。
练习题1：判定三角形的三边是否相等判定一个三角形是否是等腰三角形的最基本方法就是判断三边是否相等。
请读者根据给定的三条边，判断哪些是等腰三角形。
请注意，给定的三条边是任意长度的实数。
练习题2：判定三角形的两个角是否相等判定一个三角形是否是等腰三角形的另一种方法是判断两个角是否相等。
在等腰三角形中，两个底边的对角是相等的。
给定一个三角形的三个角度，请读者判断哪些是等腰三角形。
请注意，给定的角度是任意度数的实数。
练习题3：结合两种判定方法练习题1和练习题2是等腰三角形判定的两种基本方法，但单独使用一个方法可能不够准确。
在实际应用中，结合两种方法可以提高判定的准确性。
给定一个三角形的三边长度和三个角度，请读者结合两种方法并判断哪些是等腰三角形。
练习题4：拓展思考亲自画出不同形状的等腰三角形，并对这些三角形进行判定。
观察不同等腰三角形的性质，思考如何通过形状或者角度的特点更准确地判定一个三角形是否是等腰三角形。
补充练习题：1. 给定一个三角形的边长分别为a、b、c，判断是否为等腰三角形。
2. 给定一个三角形的内角度数分别为α、β、γ，判断是否为等腰三角形。
3. 给定一个三角形的两条底边分别为a、b，判断是否为等腰三角形。
4. 通过观察等腰三角形的形状特点，提供一种更准确的判定方法。
答案及解析：1. 三角形abc是等腰三角形的条件是a=b或者b=c或者a=c。
只要满足这三个条件中的任意一个，那么该三角形就是等腰三角形。
2. 三角形的内角都是180度。
给定的三角形的内角度数为α、β、γ，那么如果α=β或者β=γ或者α=γ，那么该三角形就是等腰三角形。
3. 在等腰三角形中，两条底边对应的顶角相等。
给定的三角形的两条底边为a、b，那么如果a与b对应的顶角相等，那么该三角形就是等腰三角形。
等腰三角形练习题(含答案)
等腰三角形练习题(含答案)等腰三角形第1课时：等腰三角形的性质1.已知等腰三角形的一个底角为50°，则其顶角为80°。
2.如图，△ABC中，AB=AC，BC=6cm，AD平分∠BAC，则BD=3cm。
3.如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为45°。
4.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为80°。
5.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB=AD=DC，∠BAD=40°，求∠C的度数为100°。
6.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE=AF。
证明：DE=DF。
第2课时：等腰三角形的判定1.在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，则△ABC为钝角三角形。
2.已知△ABC中，∠B=50°，∠A=80°，AB=5cm，则AC=5cm。
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD=DC，则△ABC为等腰三角形。
4.如图，已知△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD为∠ABC的平分线，则图中共有2个等腰三角形。
5.如图，D是△XXX的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且DE=DF。
证明：AB=AC。
6.如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G。
证明：△EFG是等腰三角形。
等边三角形第1课时：等边三角形的性质与判定1.如图，a∥b，等边△ABC的顶点B，C在直线b上，则∠1的度数为60°。
2.在△ABC中，∠A=60°，现有下面三个条件：①AB=AC；②∠B=∠C；③∠A=∠B。
能判定△ABC为等边三角形的有条件①、②、③。
3.如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，若AB=4，则AD=2.4.如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，连接AD交BC于点E，求∠BAD的度数为75°。
等腰三角形经典练习题(5套)附带详细答案
练习一一、选择题1．等腰三角形的周长为26㎝，一边长为6㎝，那么腰长为（）Ａ．6㎝Ｂ．10㎝Ｃ．6㎝或10㎝Ｄ．14㎝2．已知△ABC，AB =AC，∠B=65°，∠C度数是( )A．50°B．65°C．70°D．75°3．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）A．过顶点的直线B．底边的垂线C．顶角的平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线二、填空题4．等腰三角形的两个_______相等（简写成“____________”）．5．已知△ABC，AB =AC，∠A=80°，∠B度数是_________．6．等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形的顶角的度数是_______________．7．等腰三角形的腰长是6，则底边长5，周长为__________．三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．（写出每步证明的重要依据）9．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数一、选择题1．B2．B3．C二、填空题4．底角，等边对等角5．50°6．36°或90°7．16或17三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．证明：∵AB=AD（已知）∴∠ABD=∠ADB（等边对等角）∵AD∥BC（已知）∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）∴∠ABD=∠CBD（等量代换）∴BD平分∠ABC．（角平分线定义）9．45练习2一、选择题1．△ABC是等边三角形，D、E、F为各边中点，则图中共．有正三角形( )A．2个B．3个C．4个D．5个2．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则BC：AB等于( ) A．2：1 B．1：2 C．1：3 D．2 ：3二、填空题3．等边三角形的周长为6㎝，则它的边长为________．4．等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是__________．5．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是_____三角形．6．△ABC中，∠AC B=90°∠B=60°，BC=3㎝，则AB=_______．三、解答题7．△ABC是等边三角形，点D在边BC上，DE∥AC，△BDE是等边三角形吗？试说明理由．8．已知：如图，P，Q是△ABC边上BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．9．已知：△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，∠A=30°，求证：△BDC是等边三角形．一、选择题1．D2．B二、填空题3．2㎝4．120°5．等边6．6㎝三、解答题7．△ABC是等边三角形．理由是∵△ABC是等边三角形∴∠A=∠B=∠C=60°∵DE∥AC，∴∠BED=∠A=60°，∠BDE=∠C =60°AQ CPB∴∠B =∠BED =∠BDE ∴△ABC 是等边三角形 8．∠BAC=120°9．证明：∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知）∴∠A +∠B=90°（直角三角形两锐角互余） ∴∠B= 90°－∠A= 90°－30°=60°∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知） ∴BC=BD AB =21（在直角三角形中，一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半）∴△BDC 是等边三角形（有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形）。
等腰三角形与直角三角形练习题
等腰三角形与直角三角形练习题一、等腰三角形练习题（一）基础巩固1、已知等腰三角形的一个内角为 80°，则它的另外两个内角分别是多少度？解：当 80°的角为顶角时，底角的度数为：（180° 80°）÷ 2 ＝ 50°，所以另外两个内角分别是 50°，50°。
当 80°的角为底角时，顶角的度数为：180° 80°× 2 ＝ 20°，所以另外两个内角分别是 80°，20°。
2、等腰三角形的两边长分别为 6 和 8，则其周长是多少？解：当腰长为 6 时，三边长分别为 6，6，8，因为 6 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时周长为 6 ＋ 6 ＋ 8 ＝ 20。
当腰长为 8 时，三边长分别为 8，8，6，因为 8 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时周长为 8 ＋ 8 ＋ 6 ＝ 22。
综上，其周长为 20 或 22。
3、一个等腰三角形的周长为 20，其中一边长为 8，求另外两边的长。
解：当 8 为腰长时，底边长为 20 8× 2 ＝ 4，因为 8 ＋ 4＞8，所以能组成三角形，此时另外两边长分别为 8，4。
当 8 为底边时，腰长为(20 8)÷ 2 ＝ 6，因为 6 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时另外两边长分别为 6，6。
（二）能力提升1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的度数为多少？解：当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角为 60°。
当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的外角为 60°，所以顶角为 120°。
综上，顶角的度数为 60°或 120°。
2、如图，在△ABC 中，AB ＝ AC，D 是 BC 边上的中点，∠B ＝30°，求∠1 和∠ADC 的度数。
等腰三角形练习题
等腰三角形练习题等腰三角形练习题等腰三角形是初中数学中的一个重要概念，也是几何学中常见的一种形状。
它具有特殊的性质和特点，因此在数学教学中，经常会出现与等腰三角形相关的练习题。
下面我将为大家介绍几道关于等腰三角形的练习题，希望能帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
练习题一：已知等腰三角形ABC中，AB = AC，角A = 40°，求角B和角C的度数。
解析：由于等腰三角形的定义，我们知道AB = AC，因此角B和角C的两边也相等。
又已知角A = 40°，所以角B和角C的度数相等，设为x。
根据三角形内角和定理，我们可以得到40° + x + x = 180°，化简得2x = 140°，解方程可得x = 70°。
所以角B和角C的度数均为70°。
练习题二：已知等腰三角形ABC中，AB = AC = 8cm，角B = 50°，求三角形的周长和面积。
解析：由于等腰三角形的定义，我们知道AB = AC = 8cm，角B = 50°。
首先，我们可以通过余弦定理求得三角形的底边BC的长度。
根据余弦定理，我们有cosB = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2AB * AC)，代入已知条件，可以得到cos50° = (8^2 + 8^2 - BC^2) / (2 * 8 * 8)，化简可得BC^2 = 128 - 128 * cos50°，计算可得BC ≈ 9.62cm。
接下来，我们可以求三角形的周长。
由于等腰三角形的两边相等，所以周长等于AB + AC + BC = 8 + 8 + 9.62 ≈ 25.62cm。
最后，我们可以求三角形的面积。
由于等腰三角形的高线可以通过顶角的平分线构造出来，所以我们可以通过高线计算面积。
设高线的长度为h，根据三角形面积公式，我们有面积S = (1/2) * AB * h。
等腰三角形经典例题透析
经典例题透析类型一：探究型题目1．如图1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，请你设计三种不同的分法，把△ABC分割成两个三角形，且要求其中有一个是等腰三角形。
（在等腰三角形的两个底角处标明度数）思路点拨:在三角形中，“等边对等角”与“等角对等边”，本题应从角度入手进行考虑。
下面提供四种分割方法供大家参考。
解析：总结升华：对图形进行分割是近年来新出现的一类新题型，主要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践能力，本类题目的答案有时不唯一。
举一反三：【变式1】如图3，D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上的一点，EB=EC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC。
请你先阅读下面的证明过程。
证明：在△AEB和△AEC中，所以△ABE≌△AEC（第一步），所以AB=AC，∠3=∠4（第二步），所以AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”）。
上面的证明过程是否正确？如果正确，请写出每一步的推理依据；如果不正确，请指出关键错在哪一步，写出你认为正确的证明过程。
【答案】第一步错误。
因为在△ABE和△AEC中有两边和其中一边的对角对应相等，不能判定它们全等。
正确的证明过程是：因为EB=EC，所以∠EBD=∠ECD，所以∠EBD＋∠1=∠ECD＋∠2，即：∠ABC=∠ACB，所以AB=AC。
在△AEB和△AEC中，所以△ABE≌△AEC，所以∠3=∠4，所以AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”）。
【变式2】已知△ABC为等边三角形，在图4中，点M是线段BC上任意一点，点N 是线段CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点。
（1）请猜一猜：图4中∠BQM等于多少度？（2）若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其它条件下不变，如图5所示，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由。
【答案】（1）题通常猜想、测量或证明等方法不难发现∠BQM=60°，而且这一结论在图形发生变化后仍然成立。
专题06 利用等腰三角形的性质求角的度数(解析版)
专题06 利用等腰三角形的性质求角的度数知识对接考点一、等腰三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.性质：(1)具有三角形的一切性质.(2)两底角相等(等边对等角)(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.3.判定：(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.要点补充：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.考点二、角1．对顶角(1)定义：如果两个角有一个公共顶点，而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，那么这两个角叫对顶角.(2)性质：对顶角相等.2．邻补角(1)定义：有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.(2)性质：邻补角互补.3．同位角、内错角、同旁内角(1)基本概念：两条直线(如a、b)被第三条直线(如c)所截，构成八个角，简称三线八角，如图所示：∠1和∠8、∠2和∠7、∠3和∠6、∠4和∠5是同位角；∠1和∠6、∠2和∠5是内错角；∠1和∠5、∠2和∠6是同旁内角.(2)特点：同位角、内错角、同旁内角都是由三条直线相交构成的两个角.两个角的一条边在同一直线(截线)上，另一条边分别在两条直线(被截线)上.专项训练1一、单选题1．（2021·江苏九年级专题练习）等腰三角形的一个外角是130°，则它的底角的度数为（ ） A ．65° B ．80°或50° C ．50° D ．65°或50°【答案】D 【分析】分该外角是底角的外角还是顶角的外角两种情况解答即可． 【详解】解：①当该外角是底角的外角时，底角为：180°-130°=50°； ①当该外角是顶角的外角时，则底角为：130°×12=65°所以底角为65°或50°． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．2．（2021·湖北黄冈·九年级模拟预测）如图，有一块含有45︒角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果120∠=︒，那么2∠的度数是（ ）A ．20︒B ．25︒C ．30D ．45︒【答案】B 【分析】依题意，由直尺边是相互平行、三角形为等腰直角三角形，可得+2=45DAC ∠∠︒，即可； 【详解】由题知，如图，ABC 为等腰直角三角形，① 45BAC BCA ∠=∠=︒； 直尺边相互平行，120∠=︒① ADCE ，①120DAC ∠=∠=︒；又+245DAC ∠∠=︒，① 225∠=︒； 故选：B ；【点睛】本题考查平行线、等腰直角三角形的性质，关键在熟练应用等腰直角三角形的角的关系； 3．（2021·福建省福州咨询有限公司九年级模拟预测）如图，在①ABC 中，①B=40°，将①ABC 绕点A 逆时针旋转，得到①ADE ，点D 恰好落在直线BC 上，则旋转角的度数为( )3A ．70°B ．80°C ．90°D ．100°【答案】D 【分析】利用旋转的性质得到①ABC①①ADE ，根据全等三角形的性质可知AB=AD ，进而得到①ADB=①B=40°，再利用三角形内角和定理即可解答. 【详解】①将①ABC 绕点A 逆时针旋转，得到①ADE ①①ABC①①ADE ①AB=AD ①①ADB=①B=40° ①①ADB+①B+①BAD=180° ①①BAD=180°-40°-40°=100° 故选D 【点睛】本题考点涉及旋转的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题关键.4．（2021·湖北黄石八中九年级三模）如图，在①ABC 中，①BAC ＝116°，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点D ，E ，作直线DE ，交BC 于点M ；分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点P 、Q ，作直线PQ ，交BC 于点N ；连接AM 、AN ．则①MAN 的度数为（ ）A ．52°B ．50°C ．58°D ．64°【答案】A 【分析】先根据作图可知DE 和FG 分别垂直平分AB 和AC ，再利用线段的垂直平分线的性质得到①B ＝①BAM ，①C ＝①CAN ，即可得到①MAN 的度数． 【详解】解：由作图可知，DE 和FG 分别垂直平分AB 和AC ，①MB ＝MA ，NA ＝NC ，①①B ＝①MAB ，①C ＝①NAC =116°， 在①ABC 中，BAC ∠=， ①①B ＋①C ＝180°−①BAC ＝64°， 即①MAB ＋①NAC ＝64°，则①MAN ＝①BAC −（①MAB ＋①NAC ）＝52°． 故选A ． 【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理．解题时注意：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．5．（2021·陕西西安·交大附中分校）如图，①ABC 是①O 的内接三角形，AB ＝AC ．BO 的延长线交AC 于点D ．若①ABD ＝23°．则①A 的度数为（ ）A ．23°B ．32°C ．46°D ．60°【答案】C 【分析】延长BD 交O 于点E ，连接AE ，由圆周角定理可得90BAE ∠=︒，继而解得67AEB ∠=︒，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解题即可． 【详解】解：延长BD 交O 于点E ，连接AE ，则90BAE ∠=︒23ABD ∠=︒9067AEB ABD ∴∠=︒-∠=︒67ACB AEB ∴∠=∠=︒AB AC =567ABC ACB ∴∠=∠=︒18046BAC ABC ACB ∴∠=︒-∠-∠=︒ 故选：C ． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与圆心、圆周角定理、直径所对的圆周角是90°、等腰三角形、三角形的内角和定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．6．（2021·浙江）如图，直线////a b c ，等腰直角ABC 的三个顶点分别在直线a ，b ，c 上（A 为直角顶点），若120∠=︒，则①2的度数为（ ）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°【答案】C 【分析】利用平行线的性质可以得到1320∠=∠=︒，由ABC 是等腰直角三角形可得到45ABC ∠=︒，再利用角的等量关系列式计算即可． 【详解】解：如图所示建立3∠①////a b c ①1320∠=∠=︒①ABC 是等腰直角三角形 ①45ABC ∠=︒①23452025ABC =-=︒-︒=︒∠∠∠ 故答案选：C 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，利用平行线的性质进行角度等量代换是解题的关键．7．（2021·湖北随州·九年级一模）如图，PA、PB分别是①O的切线，A、B为切点，AC是①O的直径，已知①BAC=35°，①P的度数为（）A．35°B．45°C．65°D．70°【答案】D【分析】由PA与PB都为圆的切线，根据切线的性质得到OA与AP垂直，OB与BP垂直，可得出①OAP与①OBP都为直角，又OA=OB，根据等边对等角可得①ABO与①BAC相等，由①BAC 的度数求出①ABO的度数，进而利用三角形的内角和定理求出①AOB的度数，在四边形APBO中，利用四边形的内角和定理即可求出①P的度数；【详解】①PA，PB分别是圆的切线①OA①AP，OB①BP，①①OAP=①OBP=90°，① OA=OB，①BAC=35°，① ①ABO=①BAC=35°，①①AOB=180°-35°-35°=110°，在四边形APBO中，①OAP=①OBP=90°，①AOB=110°，则① P=360°-(①OAP+①OBP+①AOB)=70°，故选：D．【点睛】此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形及四边形的内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键；∠=︒，则①2 8．（2021·全国）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若120的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．40°【答案】C【分析】利用平行线的性质求得①3的度数，即可求得①2的度数．【详解】①AD①BC，①①3=①1=20︒，①①DEF是等腰直角三角形，①①EDF=45︒，①①2=45︒-①3=25︒，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．9．（2021·沙坪坝区·重庆八中九年级）如图，已知AB①CD，AD＝CD，①1＝40°，则①2的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°【答案】C【分析】由等腰三角形的性质可求①ACD＝70°，由平行线的性质可求解．【详解】①AD＝CD，①1＝40°，①①ACD＝70°，①AB①CD，①①2＝①ACD＝70°，故选：C．7【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，是基础题．10．（2021·河南九年级二模）如图，在①ABC中，AB＝AC，AE平分①BAC，DE垂直平分AB，连接CE，①B＝70°．则①BCE的度数为（）A．55°B．50°C．40°D．35°【答案】B【分析】连接BE，根据等腰三角形性质求出EB＝EC，根据线段垂直平分线性质求出AE＝BE，根据等边对等角求出①BAE＝①EBA、①BCE＝①EBC，即可求出答案．【详解】解：如图，连接BE，①AB＝AC，AE平分①BAC，①EB＝EC，①①EBC＝①ECB，①①ABC＝70°，AC＝AB，①①ACB＝①ABC＝70°，①①BAC＝180°﹣①ABC﹣①ACB＝40°，①AE平分①BAC，①①BAE＝20°，①DE垂直平分AB，①AE＝EB，①①ABE＝①BAE＝20°，①①BCE＝①EBC＝①ABC﹣①ABE＝70°﹣20°＝50°，故选B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出①BAE=①EBA和①BCE=①EBC是解此题的关键．二、填空题11．（2021·辽宁九年级）AD是等腰三角形ABC的高，BC=2AD，则①BAC的度数是_____．【答案】90°或75°或15°【分析】可以分别从若BC是底边，即AB＝AC，与若BC是腰，即BC＝BA，①点D在BC边上，①若点D在CB的延长线上去分析，根据等腰三角形的性质与直角三角形的性质，即可求得答案．【详解】解：①AD是BC边上的高线，若BC是底边，即AB＝AC，如图（1）所示，①BD＝DC，AD①BC，①BAD＝①CAD①AD＝BD①①B＝①BAD＝45°①①BAC＝2①BAD＝90°若BC是腰BC＝BA，①若点D在BC边上，如图（2）所示，则在Rt①BAD中，①BA＝2AD，①①B＝30°，①①BAC＝75°；①若点D在CB的延长线上，如图（3）所示，类似地，得：①DBA＝30°，则：①ABC＝150°，①①BAC＝15°．综上：①BAC的度数为90°，75°，15°．912．（2021·华中科技大学附属中学）如图，将Rt ABC ∆绕直角顶点C 逆时针旋转50︒，使顶点A 的对应点D 落在边AB 上，点B 的对应点E 与点D 的连线交BC 于点F ，则CFE ∠的度数为_______︒．【答案】105． 【分析】将Rt ABC ∆绕直角顶点C 逆时针旋转50︒得到Rt DEC ∆，可得旋转角=50DCA ECB ∠=∠︒，由CA =CD ，可求65A CDA ∠=∠=︒，由旋转性质①EDC =①A=65°，可求①FCD =90°-①ACD =90°-50°=40°，由外角性质=105CFE FCD CDF ∠∠+∠=︒． 【详解】解：将Rt ABC ∆绕直角顶点C 逆时针旋转50︒得到Rt DEC ∆， ①旋转角=50DCA ECB ∠=∠︒， ①CA =CD ， ①()1180652A CDA DCA ∠=∠=︒-∠=︒， ①①EDC =①A=65°，①①FCD =90°-①ACD =90°-50°=40°，①=4065105CFE FCD CDF ∠∠+∠=︒+︒=︒， 故答案为：105．【点睛】本题考查旋转变换，旋转角，等腰三角形的性质，三角形内角和，互余角计算，三角形外角性质，掌握旋转变换性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，互余角计算，三角形外角性11质，能从图中找到旋转角是解题关键．13．（2021·苏州高新区第二中学九年级二模）如图，在ABC ∆中，90,BAC ∠=︒点D 在BC 上，BD BA =，点E 在BC 的延长线上，CA CE =，连接AE ，则DAE ∠的度数为_____________．【答案】45 【分析】利用余角、等腰三角形和三角形外角的性质即可求出． 【详解】①BDA DAE AEC ∠=∠+∠，DAE DAC EAC ∠=∠+∠， ①BDA DAC EAC AEC ∠=∠+∠+∠． ①90DAC BAC BAD BAD ∠=∠-∠=︒-∠， ①90BDA BAD EAC AEC ∠=︒-∠+∠+∠． 根据题意可知=BDA BAD EAC AEC ∠=∠∠∠，． ①45BDA AEC ∠-∠=︒， ①=45DAE ∠︒． 故答案为：45． 【点睛】本题考查等腰三角形和三角形外角的性质以及余角．找出图形中角的等量关系是解答本题的关键．14．（2021·辽宁九年级）如图，在ABC 中，AB AC =，40B ∠=︒，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于点E ，在点D 从B 向C 运动过程中，如果ADE 是等腰三角形，则BDA ∠的度数是____________【答案】110°或80° 【分析】根据等腰三角形的性质，先求出①BAC 的度数，然后分3种情况：①AD ＝AE 时，①AD＝ED时，①当AE＝DE时，分别求解，即可．【详解】①在①ABC中，AB＝AC，①B＝40°，①①B＝①C=40°①①BAC＝100°，①AD＝AE时，①AED＝①ADE＝40°，①①DAE＝100°，此时，点D与点B重合，不符合题意舍去，①AD＝ED时，①DAE＝①DEA，①①DAE＝12（180°−40°）＝70°，①①BAD＝①BAC−①DAE＝100°−70°＝30°，①①BDA＝180°−①B−①BAD＝110°，①当AE＝DE时，①DAE＝①ADE＝40°，①①BAD＝100°−40°＝60°，①①BDA＝180°−40°−60°＝80°，综上所述：①BDA的度数为110°或80°时，①ADE的形状是等腰三角形，故答案是：110°或80°【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质，三角形内角和定理的理解和掌握，解本题的关键是分类讨论，是一道基础题目．15．（2021·四川广安市·）规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“雅系特征值”，记作k，若2k3，则该等腰三角形的顶角为_____．【答案】45°．【分析】根据等腰三角形的性质得出①B=①C，根据三角形内角和定理和已知得出5①A=180°，求出即可．【详解】解：①①ABC中，AB=AC，①①B=①C，13①等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k ，若k=2k 3=， ①①A ：①B ：①C =2：3：3， 即①A=180°×22+3+3=45°， ①①A=45°． 故答案为：45°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质，能根据等腰三角形性质、三角形内角和定理和已知得出①A=180°×22+3+3是解题关键． 三、解答题16．（2021·厦门市松柏中学九年级）如图，在Rt ABC △中，①BAC ＝90°，将Rt ABC △绕直角顶点A 逆时针旋转一定角度后得到Rt ADE △，当点D 在边BC 上时，连接CE ． （1）若旋转角为60°，求①ACB 的度数； （2）若AB ＝3，AC ＝4，求sin①DAC 的值．【答案】（1）30°；（2）725【分析】（1）由旋转的性质得出AD AB =，60BAD ∠=︒，进而由等腰三角形的性质及三角形的内角和得出60B ADB ∠=∠=︒，最后再由直角三角形的两个锐角互余即可求得答案；（2）由勾股定理求出5BC =，过点A 作AF BC ⊥于点F ，由三角形的面积求出AF 的长，进而可求出CD ，DE 的长，则可得出答案． 【详解】解：（1）将Rt ABC △绕直角顶点A 旋转一定角度后得到Rt ADE △，旋转角为60°，AD AB ∴=，60BAD ∠=︒，60B ADB ∴∠=∠=︒，90BAC ∠=︒，9030ACB B ∴∠=︒-∠=︒，①①ACB 的度数为30°；（2）90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，5BC ∴==，如图，过点A 作AF BC ⊥于点F ，∴1122ABCSAB AC BC AF =⋅=⋅， 341255AB AC AF BC ⋅⨯∴===，95BF ∴，=AD AB ，AF BC ⊥，95DF BF ∴==， 75CD BC BD ∴=-=， 设AC 与DE 相交于点K ，①将Rt ABC △绕直角顶点A 旋转一定角度后得到Rt ADE △，AD AB ∴=，AE AC =，90BAC DAE ∠=∠=︒，B ADB ∴∠=∠，ACE AEC ∠=∠，90BAC DAE ∠=∠=︒，①90BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠，又1902B BAD ∠=︒-∠，1902ECA CAE ∠=︒-∠，ECA B ∴∠=∠，又①旋转，15①B ADE ∠=∠，5DE BC ==，ECA B ADE ∠=∠=∠，AKD EKC ∠=∠，DAC CED ∴∠=∠，90ACB B ∠+∠=︒，ECA B ∠=∠，90ACB ECA ∴∠+∠=︒，775sin sin 525CD DAC CED DE ∴∠=∠===．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．17．（2021·湖北九年级）如图，ABC 中，点D 在BC 边上，且1902ADB CAD ∠=+∠°．（1）求证：AD AC =；（2）点E 在AB 边上，连接CE 交AD 于点F ，且CFD CAB ∠=∠，AE BD =， ①求ABC ∠的度数；①若8AB =，2DF AF =，直接写出EF 的长． 【答案】（1）见解析；（2）①60°；①23EF =． 【分析】（1）根据ADB ACB CAD ∠=∠+∠，1902ADB CAD ∠=+∠°可得C ADC ∠=∠，进而可得结论；（2）①过点D 作//DG CE 交AB 于点G ，根据“AAS”证出AEC ①DGA △，进而可得BDG 为等边三角形，可得答案；①过点D 作//DH AB 交CE 于点H ，可得FAE ①ACE ，根据比例式可得答案． 【详解】解：（1）①ADB ACB CAD ∠=∠+∠，1902ADB CAD ∠=+∠°，①1902ACB ADB CAD CAD ∠=∠-∠=-∠°，①180ADB CDA ∠+∠=°，①11180180909022CDA ADB CAD CAD ⎛⎫∠=-∠=-+∠=-∠ ⎪⎝⎭°°°°，①ACB ADC ∠=∠， ①AD AC =；（2）①过点D 作//DG CE 交AB 于点G ，①CFD CAB ∠=∠，CFD CAD ACE ∠=∠+∠，CAB CAD DAB ∠=∠+∠， ①ACE DAB ∠=∠，又①ACD ADC ∠=∠，ECB ACD ACE ∠=∠-∠，B ADC DAB ∠=∠-∠， ①ECB B ∠=∠， ①CE BE =， ①//DG CE ， ①ECB B ∠=∠， ①DG BG =，①AEC DGA ∠=∠，AC DA =，ACE DAG ∠=∠， ①AEC ①DGA △(AAS)， ①DG AE =， 又①AE BD =， ①DG BD BG ==， ①BDG 为等边三角形， ①60ABC ∠=︒； ①23EF =． 过点D 作//DH AB 交CE 于点H ，由①知EBC 和HDC △均为等边三角形，17设AE BD x ==，则8BE BC x ==-， ①82DH CD x ==-， ①//DH AB ， ①AE AF DH FD =，即182x x =-， ①2x =，①ACE DAB ∠=∠， ①FAE ①ACE ， ①EF AFAE AC=， ①3AC AD AF ==， ①13EF AE =，1233EF AE ==.【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键，题目难度较大，综合性较强．18．（2021·江苏南通田家炳中学九年级）如图，已知点D 、E 在ABC 的边BC 上，AB AC =，AD AE =．（1）求证：BD CE =；（2）若AD BD DE CE ===，求BAE ∠的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）90． 【分析】（1）作AF BC ⊥于点F ，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF CF =，DF EF =，相减后即可得到正确的结论；（2）根据等边三角形的判定得到ADE 是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点A 作AF BC ⊥于F ．AB AC =，AD AE =，∴BF CF =，DF EF =， ∴BF DF CF EF -=-， ∴BD CE =．（2）AD DE AE ==，∴ADE 是等边三角形， ∴60DAE ADE ∠=∠=，AD BD =，∴DAB DBA ∠=∠， ∴1302DAB ADE ∠=∠=， ∴603090BAE DAB DAE ∠=∠+∠=+=．答：BAE ∠的度数为：90． 【点睛】本题考查了等腰三角形和等边三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是本题的关键．19．（2021·福建九年级）如图，已知等腰三角形ABC 的顶角108A ∠=︒．（1）在BC 上作一点D ，使AD CD =（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．（2）直接写出BAD ∠的度数． 【答案】（1）见解析；（2）72° 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质即可在BC 上作一点D ，使AD=CD ； （2）结合（1）根据三角形内角和及等腰三角形的性质求出C ∠及DAC ∠，所以BAD BAC DAC ∠=∠-∠问题得解．【详解】19解：（1）如图，点D 即为所求；（2）连接AD ，①AB AC =，108A ∠=︒， ①36B C ∠==︒， 由（1）得：AD CD =， ①36DAC C ∠=∠=︒，1083672BAD BAC DAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据图形正确找到角之间的关系是解题的关键．20．（2021·湖南湘西·）如图，在ABC ∆中，点D 在AB 边上，CB CD =，将边CA 绕点C 旋转到CE 的位置，使得ECA DCB ∠=∠，连接DE 与AC 交于点F ，且70B ∠=︒，10A ∠=︒． （1）求证：AB ED =； （2）求AFE ∠的度数．【答案】（1）见详解；（2）50AFE ∠=︒ 【分析】（1）由题意易得ECD ACB ∠=∠，AC EC =，则有≌ACB ECD △△，然后问题可求证； （2）由（1）可得10E A ∠=∠=︒，然后可得40ECA DCB ∠=∠=︒，进而根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：①ECA DCB ∠=∠，①ECA ACD DCB ACD ∠+∠=∠+∠，即ECD ACB ∠=∠，①AC EC =，CB CD =， ①()ACB ECD SAS ≌， ①AB ED =；（2）解：①CB CD =，70B ∠=︒， ①70CDB B ∠=∠=︒，①根据三角形内角和可得180240BCD B ∠=︒-∠=︒， ①40ECA DCB ∠=∠=︒，由（1）可得≌ACB ECD △△， ①10A ∠=︒， ①10E A ∠=∠=︒，①50AFE E ACE ∠=∠+∠=︒． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．21．（2021·江苏九年级）如图，在四边形ABCD 中，①B ＝90°，AC 平分①DAB ，DE ①AC ，垂足为E ，且AE ＝AB ． （1）求证：BC ＝DE ；（2）若①DAC ＝40°，求①CDE 的度数．【答案】（1）见解析；（2）20° 【分析】（1）根据ASA 证明①ABC ①①AED ，由全等三角形的性质即可求证；（2）根据①ABC ①①AED 可得AC =AD ，根据等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】证明：①DE ①AC ，①B =90°， ①①B =①AED =90°， ①AC 平分①DAB ， ①①BAC =①EAD ，21 在①ABC 和①AED 中，BAC EADAB AE B AED∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，①①ABC ①①AED （ASA ），①BC =DE ；（2）①①ABC ①①AED ，①AC =AD ，①①ACD =①ADC ，①①DAC =40°，DE ①AC ，①①ACD =①ADC =70°，①ADE =50°，①①CDE =20°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．22．（2021·浙江九年级二模）已知：如图，在五边形ABCDE 中，AB AE =，B E ∠=∠，BC ED =．（1）求证：ABC AED ≌△△．（2）当//AC DE ，40ADE ∠=︒时，求ACD ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）70︒【分析】（1）利用SAS 即可证明结论；（2）结合（1）可得AC =AD ，根据等腰三角形的性质即可求出①ACD 的度数．【详解】（1）证明：①AB AE =①B E ∠=∠①BC ED =①()ABC AED SAS ≌△△（2）①//AC DE ，40ADE ∠=︒①40CAD ADE ∠=∠=︒①ABC AED ≌△△①AC AD = ①()1180702ACD CAD ∠=︒-∠=︒ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用边角边证明①ABC ①①AED ． 23．（2021·温州市第十二中学九年级）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，//FB EA 交EC 于H 点，EA FB =，AB CD =．（1）求证：ACE BDF ≌；（2）若CH BC =，50A ∠=︒，求D ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）80°【分析】（1）由//EA FB ，利用同位角相等可得EAC FBD ∠=∠．由AB CD =，利用等式性质可得AC BD =，可证()ACE BDF SAS ≌；（2）由//FB EA 可得=50EAC FBD ∠=∠︒，由CH BC =利用等角对等边，可求50HBC BHC ∠=∠=︒．利用三角形内角和可得80ECA ∠=︒．利用ACE BDF ≌性质，可得80ECA D ∠=∠=︒．【详解】（1）证明：①//EA FB ，①EAC FBD ∠=∠．①AB CD =，①AB BC CD BC +=+，即AC BD =，在ACE 和BDF 中，①AC BD EAC FBD EA FB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①()ACE BDF SAS ≌．23 （2）解：//FB EA ，①=50EAC FBD ∠=∠︒，①CH BC =，①50HBC BHC ∠=∠=︒．①180505080ECA ∠=︒-︒-︒=︒．①ACE BDF ≌，①80ECA D ∠=∠=︒．【点睛】本题考查平行线性质，等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，三角形内角和，掌握平行线性质，等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，三角形内角和是解题关键．。
北师大版八年级数学下册 等腰三角形(基础)巩固练习 含答案解析
【巩固练习】一.选择题1.（2016•曲靖一模）等腰三角形中一个外角等于100°，则另两个内角的度数分别为（）A．40°，40°B．80°，20°C．50°，50°D．50°，50°或80°，20°2. 用反证法证明命题：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF，证明的第一个步骤是（）A. 假设CD∥EF ;B. 假设AB∥EFC. 假设CD和EF不平行D. 假设AB和EF不平行3. 将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（A. 4个B. 3个C. 2个）D. 1个4. 已知实数 x，y 满足|x−4|+(y−8)2＝0，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对5. 如图，D是AB 边上的中点，将沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若AB CB 50，则BD F度数是（）A．60°B．70°C．80°D．不确定6.（2015•永州模拟）在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二.填空题7．如图，△ABC中，D为AC边上一点，AD＝BD＝BC，若∠A＝40°，则∠CBD＝_____°．8.（2015•嘉峪关模拟）等腰三角形的两边长分别是2和5，那么它的周长是．9.用反证法证明“如果同位角不相等，那么这两条直线不平行“的第一步应假设_________.10. 等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是.11.如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△AB C是等腰三角形的是_________ ．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．12. 如图，△ABC 的周长为32，且AB=AC ，AD⊥BC 于D，△ACD 的周长为24，那么AD 的长为.三.解答题13．已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．14.（2016春•安岳县期末）等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成了21和27两个部分，求等腰三角形的底边和腰长．15.用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D；【解析】解：∵外角等于100°，∴这个内角为80°，=50°，此时另两个内角的度当这个80°角为顶角时，则底角为数分别为50°，50°；当这个80°角为底角时，则另一个底角为80°，顶角为20°，此时可得另两个内角的度数分别为80°，20°；故选D．2.【答案】C；【解析】用反证法证明CD∥EF时，应先假设CD与EF不平行．故选C．3.【答案】B；4.【答案】B；【解析】根据题意得4＝0x,y 8＝0解得4x.y 8（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．故选B．5.【答案】C；BDF【解析】AD＝DF＝BD，∠B＝∠BFD＝50°，＝180°－50°－50°＝80°.6.【答案】D；【解析】解：如图，∵以点O为圆心，以OA为半径画弧，交x轴于点B、C；以点A为圆心，以AO为半径画弧，交x轴于一点D（点O除外），∴以OA为腰的等腰三角形有3个；作OA的垂直平分线，交x轴于一点，∴以OA为底的等腰三角形有1个，综上所述，符合条件的点P共有4个，故选：D．二.填空题7.【答案】20；【解析】∠A＝∠ABD＝40°，∠BDC＝∠C＝80°，所以∠CBD＝20°.8.【答案】12；【解析】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、5，∵2+2=4＜5，∴不能组成三角形，②2是底边长时，三角形的三边分别为2、5、5，能组成三角形，周长=2+5+5=12，综上所述，它的周长是12．故答案为：12．9.【答案】两直线平行；【解析】根据已知条件和反证法的特点进行证明，即可求出答案.10.【答案】70°或40°；【解析】解：（1）当70°角为顶角，顶角度数即为70°；（2）当70°为底角时，顶角=180°-2×70°=40°．故答案为：70°或40°.11.【答案】②③④；【解析】：②当∠B A D=∠C A D时，∵A D是∠B A C的平分线，且A D是BC边上的高；则△A B D≌△A C D，∴△B A C是等腰三角形；③延长D B至E，使BE=A B；延长D C至F，使CF=A C；连接AE、A F；∵A B+B D=C D+A C，∴DE=DF，又AD⊥B C；∴△AEF是等腰三角形；∴∠E=∠F；∵A B=BE，∴∠A B C=2∠E；同理，得∠A C B=2∠F；∴∠A B C=∠A C B，即A B=A C，△A B C是等腰三角形；④△A B C中，A D⊥BC，根据勾股定理，得：2222A B﹣B D=A C﹣C D，即（A B+B D）（A B﹣B D）=（A C+C D）（A C﹣C D）；∵A B﹣B D=A C﹣C D，∴A B+B D=A C+C D；∴两式相加得，2A B=2A C；∴A B=A C，∴△A B C是等腰三角形故填②③④．12.【答案】8；【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．∵AB+AC+BC=32，即AB+BD+CD+AC=32，∴AC+DC=16∴AC+DC+AD=24∴AD=8．故填8．三.解答题13.【解析】证明：ED⊥BC；延长ED，交BC边于H，∵AB＝AC，AE＝AD．∴设∠B＝∠C＝x，则∠EAD＝2x，1802x∴∠ADE＝90x2即∠BDH＝90°－x∴∠B＋∠BDH＝x＋90°－x＝90°，∴∠BHD＝90°，ED⊥BC.14.【解析】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，则有或，解得：或，此时两种情况都符合三角形三边关系定理，答：等腰三角形的腰长为14，底边长为20；或腰长为18，底边长为12．15.【解析】证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，则它们大于或者等于90°；根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或者等于180°；则该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾；所以假设错误，原命题正确；即等腰三角形的底角是锐角．∴△A B C是等腰三角形故填②③④．12.【答案】8；【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．∵AB+AC+BC=32，即AB+BD+CD+AC=32，∴AC+DC=16∴AC+DC+AD=24∴AD=8．故填8．三.解答题13.【解析】证明：ED⊥BC；延长ED，交BC边于H，∵AB＝AC，AE＝AD．∴设∠B＝∠C＝x，则∠EAD＝2x，1802x∴∠ADE＝90x2即∠BDH＝90°－x∴∠B＋∠BDH＝x＋90°－x＝90°，∴∠BHD＝90°，ED⊥BC.14.【解析】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，则有或，解得：或，此时两种情况都符合三角形三边关系定理，答：等腰三角形的腰长为14，底边长为20；或腰长为18，底边长为12．15.【解析】证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，则它们大于或者等于90°；根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或者等于180°；则该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾；所以假设错误，原命题正确；即等腰三角形的底角是锐角．∴△A B C是等腰三角形故填②③④．12.【答案】8；【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．∵AB+AC+BC=32，即AB+BD+CD+AC=32，∴AC+DC=16∴AC+DC+AD=24∴AD=8．故填8．三.解答题13.【解析】证明：ED⊥BC；延长ED，交BC边于H，∵AB＝AC，AE＝AD．∴设∠B＝∠C＝x，则∠EAD＝2x，1802x∴∠ADE＝90x2即∠BDH＝90°－x∴∠B＋∠BDH＝x＋90°－x＝90°，∴∠BHD＝90°，ED⊥BC.14.【解析】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，则有或，解得：或，此时两种情况都符合三角形三边关系定理，答：等腰三角形的腰长为14，底边长为20；或腰长为18，底边长为12．15.【解析】证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，则它们大于或者等于90°；根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或者等于180°；则该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾；所以假设错误，原命题正确；即等腰三角形的底角是锐角．∴△A B C是等腰三角形故填②③④．12.【答案】8；【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．∵AB+AC+BC=32，即AB+BD+CD+AC=32，∴AC+DC=16∴AC+DC+AD=24∴AD=8．故填8．三.解答题13.【解析】证明：ED⊥BC；延长ED，交BC边于H，∵AB＝AC，AE＝AD．∴设∠B＝∠C＝x，则∠EAD＝2x，1802x∴∠ADE＝90x2即∠BDH＝90°－x∴∠B＋∠BDH＝x＋90°－x＝90°，∴∠BHD＝90°，ED⊥BC.14.【解析】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，则有或，解得：或，此时两种情况都符合三角形三边关系定理，答：等腰三角形的腰长为14，底边长为20；或腰长为18，底边长为12．15.【解析】证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，则它们大于或者等于90°；根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或者等于180°；则该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾；所以假设错误，原命题正确；即等腰三角形的底角是锐角．。
等腰三角形典型题解析
B
E
∴△ABC≌△AED（SAD） ∴AC=AD（全等三角形的对应边相等）
C FD
又∵△ACD 中 AF 是 CD 边的中线（已知）
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∴AF⊥CD（等腰三角形底边上的高和底边上的中线互相重合）
三、练习
（一）、选择题
1．等腰三角形的对称轴是（ ）
A．顶角的平分线
B．底边上的高
C．底柱 BD、DE 要多长？
B D
以发现在 Rt△AED 与 Rt△ACB 中，由于∠A=30°， A E C
1
1
AB，又由 D 是 AB 的中点，所以 DE= AB．
2
4
[例]等腰三角形的底角为 15°，腰长为 2a，求腰上的高．
分析：观察图形可
1
所 以 DE= AD， BC=
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A D
E
B
C
答案： 10．60°或 120° 11．∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°， ∴在 Rt△ADC 中 CD=2AD， ∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°， ∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴BC=3AD 12．①∵∠ACB=∠DCE=60°，
⊥CD.
分析：要证明 AF⊥CD，而点 F 是 CD 的中点，联想到这是等腰三角形特有的性质，于是连接 AC、
AD，证明 AC=AD，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论．
在△ABC 和△AED 中
证 明 ： 连 接 AC、 AD A
AB AE(三 三 ) ABC AED(三 三 ) BC ED(三 三 )
等边三角形
一、复习知识要点
1．三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．
中考数学复习 《等腰三角形》练习题含答案
中考数学复习等腰三角形一、选择题1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( C )A．5B．6C．8D．10【解析】∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴BD＝AB2－AD2＝4，∴BC＝2BD＝8，故选C.,第1题图),第2题图) 2．如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于( A ) A．20°B．25°C．28°D．30°3．如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是( D ) A．北偏东55°B．北偏西55°C．北偏东35°D．北偏西35°,第3题图),第4题图) 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为( B )A．40°B．36°C．80°D．25°5．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是( C )A．6 B．3 C．2.5 D．2【解析】如图，以BC 为边作等腰直角三角形△EBC ，延长BE 交AD 于F ，得△ABF 是等腰直角三角形，作EG ⊥CD 于G ，得△EGC 是等腰直角三角形，在矩形ABCD 中剪去△ABF ，△BCE ，△ECG 得到四边形EFDG ，此时剩余部分的面积最小，最小值为4×6－12×4×4－12×3×6－12×3×3＝2.5，故选C. 二、填空题6．等腰三角形两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长为__17__．【解析】腰只能为7，故周长为7＋7＋3＝17.7．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，BE ⊥AC ，EF ＝BF ，则∠E FC 的度数是__45°__．,第7题图) ,第8题图)8．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝12BC ，等边△BEF 的顶点F 在BC 上，边EF 交AD 于点P ，若BE ＝10，BC ＝14，则PE 的长为__4__．9．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若AP 1＝P 1P 2＝P 2P 3＝…＝P 13P 14＝P 14A ，则∠A 的度数是__12°__．【解析】设∠A ＝x ，∵AP 1＝P 1P 2＝P 2P 3＝…＝P 13P 14＝P 14A ，∴∠A ＝∠AP 2P 1＝∠AP 13P 14＝x ，∴∠P 2P 1P 3＝∠P 13P 14P 12＝2x ，∴∠P 3P 2P 4＝∠P 12P 13P 11＝3x ，……，∠P 7P 6P 8＝∠P 8P 9P 7＝7x ，∴∠AP 7P 8＝7x ，∠AP 8P 7＝7x .在△AP 7P 8中，∠A ＋∠AP 7P 8＋∠AP 8P 7＝180°，即x ＋7x ＋7x ＝180°，解得x ＝12°.10．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB 的平分线交BC 于D ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为E .若BC ＝3，则DE 的长为__1__．【解析】∵DE 垂直平分AB ，∴DA ＝DB ，∴∠B ＝∠DAB ，∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝∠DAB ，∵∠C ＝90°，∴3∠CAD ＝90°，∴∠CAD ＝30°，∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，CD ⊥AC ，∴CD ＝DE ＝12BD ，∵BC ＝3，∴CD ＝DE ＝1. 三、解答题11．如图，在△ABC 中，AB ，AC 的垂直平分线分别交BC 于E ，F 两点，∠B ＋∠C ＝60°.(1)求∠EAF 的度数；(2)若BC ＝13，求△AEF 的周长．解：(1)∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ，∴∠DAE ＝∠B.∵GF 是AC 的垂直平分线，∴AF ＝CF ，∴∠CAF ＝∠C.∵∠B ＋∠C ＝60°，∴∠BAE ＋∠CAF ＝60°.∵∠BAC ＝120°，∴∠EAF ＝∠BAC －(∠BAE ＋∠CAF )＝60°(2)由(1)知AE ＝BE ，AF ＝FC.∴C △AEF ＝AE ＋AF ＋EF ＝BE ＋EF ＋FC ＝BC ＝1312．如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，垂足为D .(1)写出图中所有的等腰三角形，不需证明；(2)请你判断AD 与BE 是否垂直，并说明理由；(3)如果BC ＝12，求AB ＋AE 的长．解：(1)△ABD ，△EAD ，△CDE ，△ABC(2)AD ⊥BE.理由：∵∠BAE ＝∠BDE ，∠ABE ＝∠DBE ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△DBE (AAS )，∴AB ＝BD ，又∠ABE ＝∠DBE, AD ⊥BE(3)∵∠C ＝∠DEC ＝45°，∴CD ＝DE ，∴AE ＝DE ＝DC ，∴AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC ＝1214．有一面积为53的等腰三角形，它的一个内角是30°，求以它的腰长为边的正方形的面积． 解：如图1中，当∠A ＝30°，AB ＝AC 时，设AB ＝AC ＝a ，作BD ⊥AC 于D ，∵∠A＝30°，∴BD ＝12AB ＝12a ，∴12·a·12a ＝53，∴a 2＝203，∴以△ABC 的腰长为边的正方形的面积为20 3.如图2中，当∠ABC ＝30°，AB ＝AC 时，作BD ⊥CA 交CA 的延长线于D ，设AB ＝AC ＝a ，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝30°，∴∠BAC ＝120°，∠BAD ＝60°，在Rt △ABD 中，∵∠D ＝90°，∠BAD ＝60°，∴BD ＝32a ，∴12·a·32a ＝53，∴a 2＝20，∴以△ABC 的腰长为边的正方形的面积为2014．如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，P 是AC 边上一动点，由A 向C 运动(与A ，C 不重合)，Q 是CB 延长线上一点，由B 向CB 延长线方向运动(Q 不与B 重合)，连结PQ 交AB 于D .若两点同时出发，以相同的速度每秒1个单位运动，运动时间为t .(1)当∠PQC ＝30°时，求t 的值；(2)过P 作PE ⊥AB 于E ，过Q 作QF ⊥AB ，交AB 的延长线于F ，请找出图中在运动过程中的一对全等三角形，并加以证明；(3)在(2)的条件下，当P ，Q 在运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果变化，请说明理由．解：(1)t＝2(2)△APE≌△BQF或△EPD≌△FQD，证明略(3)ED的长度不变，ED＝3。
【基础练习】《等腰三角形》(数学沪科版八上)【含答案】
15.3 《等腰三角形》基础练习第 1 课时《等腰三角形的性质定理及推论》一、选择题1．已知等腰三角形的顶角为40°，则这个等腰三角形的底角为（）A．40°B．70°C． 100 °D．140 °2．若等腰三角形中有两边长分别为 2 和5，则这个三角形的第三条边长为（）A．2 或5B． 3C． 4D． 53．如图，AB∥ CD， AD=CD，∠ 1=65 °，则∠ 2 的度数是（）A．50°B．60°C． 65°D．70°4．如图， AD，CE分别是△ ABC的中线和角均分线．若AB=AC，∠ CAD=20°，则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C． 40°D． 70°5．若实数 m、n 知足等式 |m ﹣ 2|+=0，且 m、 n 恰巧是等腰△ ABC 的两条边的边长，则△ ABC的周长是（）A．12B．10C．8 D．66．若等腰三角形的一个外角等于140 °，则这个等腰三角形的顶角度数为（）A．40°B．100 °C． 40°或 70°D． 40°或 100 °7．如图，已知DE∥ BC， AB=AC，∠ 1=125 °，则∠ C 的度数是（）A．55°B．45°C． 35°D． 65°8．如图，△ ABC中， AD⊥ BC， AB=AC，∠ BAD=30°，且 AD=AE，则∠ EDC等于（）A．10°B． 12.5 °C． 15°D． 20°二、填空题9．等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为．10．一个等腰三角形的两边长分别为4cm 和 9cm ，则它的周长为cm．11．已知等腰三角形的一个外角为130 °，则它的顶角的度数为．12．如图，△ ABC中．点 D 在 BC边上， BD=AD=AC， E 为 CD 的中点．若∠CAE=16°，则∠ B 为度．13．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特点值”，记作k，若 k=，则该等腰三角形的顶角为度．三、解答题14．如图，点D、 E 在△ ABC 的 BC 边上， AB=AC，AD=AE．求证： BD=CE．15．如图，△ ABC是等边三角形，BD 是中线，延伸BC 至 E，CE=CD，（1）求证： DB=DE．（2）在图中过 D 作 DF⊥ BE交 BE于 F，若 CF=4，求△ ABC 的周长．第2课时一、选择题1．以以下各组数据为边长，能够组成等腰三角形的是（）A．1， 1， 2B． 1，1，3C． 2，2， 1D． 2，2，52．在△ABC 中，其两个内角以下，则能判断△ABC为等腰三角形的是（）A．∠ A=40°，∠ B=50B．∠ A=40°，∠ B=60°C．∠ A=40°，∠ B=70D．∠ A=40°，∠ B=80°AB 于点E，3．如图，在△ABC中，∠ A=36°，∠ C=72°，点 D 在AC 上， BC=BD， DE∥ BC交则图中等腰三角形共有（）A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个4．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A， B 是两格点，假如 C 也是图中C 的个数是（）的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点A．6B． 8C．9D．105．以下条件中，不可以判断△ABC 是等腰三角形的是（）A．a=3，b=3 ，c=4B． a： b： c=2： 3： 4C．∠ B=50°，∠ C=80°D．∠ A：∠ B：∠ C=1： 1：26．已知△ ABC 的三条边长分别为3，4，6，在△ ABC所在平面内画一条直线，将△ABC切割成两个三角形，使此中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5 条B．6 条C．7 条D．8 条7．以下三角形，不必定是等边三角形的是（）A．有两个角等于60°的三角形B．有一个外角等于120 °的等腰三角形C．三个角都相等的三角形D．边上的高也是这边的中线的三角形8．如图， A、B 两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为 1 的正方形，点 C 也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则切合条件是点C共有（）个．A．8B．9C． 10D． 11二、填空题9．如图，在△ABC中，∠ ACB=90°，∠ BAC=40°，在直线 AC上找点 P，使△ ABP 是等腰三角形，则∠ APB的度数为．10．如图已知OA=a， P 是射线 ON 上一动点，∠ AON=60°，当 OP=时，△ AOP为等边三角形．11．如图，在3× 3 的网格中有A、B 两点，任取一个格点E，则知足△EAB是等腰三角形的点 E 有个．12．在△ ABC中，∠ A=80°，当∠ B= 13．如图，以下 4 个三角形中，均有这个三角形分红两个小等腰三角形的是时，△ ABC 是等腰三角形．AB=AC，则经过三角形的一个极点的一条直线不可以够将（填序号）．三、解答题14．如图， BD 是△ ABC的角均分线，DE∥ BC 交 AB 于点 E．（1）求证： BE=DE；（2）若 AB=BC=10，求 DE 的长．15．已知：如图，AB=AC，∠ ABD=∠ ACD，求证： BD=CD．第3课时一、选择题1．如图∠ AOP=∠ BOP=15°， PC∥ OA， PD⊥ OA，若 PC=10，则 PD 等于（）A．10B．C． 5D．2.52．如图，在Rt△ ABC中，∠C=90°， AB=2BC，则∠A=（）A．15°B． 30°C． 45°D． 60°3．如图，在Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ A=30°， BC=4cm，则 AB 等于（）A．9 cm B． 8 cm C． 7cm D． 6cm4．如图，在等边△ABC中，BD 均分∠ABC交AC于点D，过点D 作 DE⊥BC于点E，且AB=6，则 EC的长为（）A 3B 4.5C 1.5D 7.55．△ ABC中，∠A：∠ B：∠ C=1： 2： 3，最小边BC=3cm，则最长边AB 的长为（）A．9cm B． 8cm C． 7cm D． 6cm6．如图，在△ABC中，∠ ACB=90°， CD是高，∠A=30°，AB=8，则BD=（）A．2B．3C． 4D．67．某市为了美化环境，计划在以下图的三角形空地上栽种草皮，已知这类草皮每平方米售价为 a 元，则购置这类草皮起码需要（）A．450a 元B． 225a 元C．150a 元D． 300a 元8．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=6m，∠ A=30°，则 DE等于（）A．1.5m B． 2m C． 2.5m D． 3m二、填空题9．在 Rt△ ABC中，∠ A=30°，∠ B=90°， AC=10，则 BC=10．如图，在△A BC 中，∠ ACB=90°，∠ A=30°，以点 C 为圆心， CB 长为半径作圆弧，交AB 于点 D，若 CB=4，则 BD 的长为．11．如图，在Rt△ ABC 中，∠ C=90°，∠ ABC=60°， AB 的垂直均分线分别交AB 与 AC 于点 D 和点 E，若 CE=2，则 AB 的长为12．已知等腰三角形的底角为15°，腰长为 8cm，则腰上的高为．13．如图，在△A BC 中，∠ B=∠ C=60°，点 D 在 AB 边上， DE⊥ AB，并与 AC 边交于点E．如果 AD=1， BC=6，那么 CE等于．三、解答题14．如图，在△A BC 中， BA=BC，∠ B=120°，线段AB 的垂直均分线MN 交 AC 于点 D，且AD=8cm．求：（1）∠ ADG 的度数；（2）线段 DC的长度．15．某轮船由西向东航行，在 A 处测得小岛 P 的方向是北偏东 75°，又持续航行 7 海里后，在 B处测得小岛 P 的方向是北偏东 60°，求：（ 1）此时轮船与小岛P 的距离 BP 是多少海里．（2）小岛点 P 方圆 3 海里内有暗礁，假如轮船持续向东履行，请问轮船有没有触礁的危险？请说明原因．参照答案第1课时1．解：∵等腰三角形的顶角为50°，∴这个等腰三角形的底角为：（ 180°﹣ 40°）÷ 2=70°，应选： B．2．解：当腰为 5 时，依据三角形三边关系可知此状况建立，这个三角形的第三条边长为5；当腰长为 2 时，依据三角形三边关系可知此状况不建立；应选： D．3．解：∵ AB∥ CD，∴∠ 1=∠ ACD=65°，∵ AD=CD，∴∠ DCA=∠ CAD=65°，∴∠ 2 的度数是： 180°﹣ 65°﹣ 65°=50°．应选： A．4．解：∵ AD 是△ ABC 的中线， AB=AC，∠ CAD=20°，∴∠ CAB=2∠ CAD=40°，∠ B=∠ ACB=（180°﹣∠ CAB）=70°．∵ CE是△ ABC的角均分线，∴∠ ACE= ∠ ACB=35°．应选： B．5．解：∵ |m ﹣ 2|+=0，∴m﹣2=0， n﹣ 4=0，解得 m=2， n=4，当 m=2 作腰时，三边为 2，2， 4，不切合三边关系定理；当 n=4 作腰时，三边为2， 4， 4，切合三边关系定理，周长为：2+4+4=10．应选： B．6．解：①若顶角的外角等于140 °，那么顶角等于 40°，两个底角都等于70°；②若底角的外角等于140°，那么底角等于40°，顶角等于100°．应选： D．7．解：∵∠ 1=125 °，∴∠ ADE=180°﹣125°=55°，∵DE∥BC， AB=AC，∴AD=AE，∠ C=∠ AED，∴∠ AED=∠ ADE=55°，又∵∠ C=∠ AED，∴∠C=55°．应选：A．8．解：∵△ ABC中， AD⊥ BC， AB=AC，∠ BAD=30°，∴∠ DAC=∠BAD=30°（等腰三角形的顶角均分线、底边上的中线、底边上的高互相重合），∵AD=AE（已知），∴∠ ADE=75°∴∠ EDC=90°﹣∠ADE=15°．应选： C．9．解：∵等腰三角形底角相等，∴180°﹣50°×2=80°，∴顶角为 80°．故填 80°．10．解：①当腰是4cm ，底边是9cm 时：不知足三角形的三边关系，所以舍去．②当底边是4cm，腰长是9cm 时，能组成三角形，则其周长=4+9+9=22cm．故填 22．11．解：当50°为顶角时，其余两角都为65°、 65°，当50°为底角时，其余两角为50°、80°，所以等腰三角形的顶角为 50°或 80°．故答案为： 50°或 80°．12．解：∵ AD=AC，点 E 是 CD 中点，∴AE⊥ CD，∴∠ AEC=90°，∴∠ C=90°﹣∠CAE=74°，∵ AD=AC，∴∠ADC=∠C=74°，∵ AD=BD，∴2∠ B=∠ ADC=74°，∴∠ B=37°，故答案为 37°．13．解：∵△ ABC中， AB=AC，∴∠ B=∠ C，“特点值”，记作k，若k=，∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的∴∠ A：∠ B=1： 2，即 5∠ A=180°，∴∠ A=36°，故答案为： 36．14．证明：如图，过点 A 作 AP⊥ BC于 P．∵ AB=AC，∴BP=PC；∵ AD=AE，∴DP=PE，∴BP﹣ DP=PC﹣ PE，∴BD=CE．15．（ 1）证明：∵△ ABC是等边三角形，BD 是中线，∴∠ ABC=∠ ACB=60°．∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．又∵ CE=CD，∴∠ CDE=∠CED．又∵∠ BCD=∠ CDE+∠CED，∴∠ CDE=∠CED=∠ BCD=30°．∴∠ DBC=∠ DEC．∴ DB=DE（等角平等边）；（2）∵∠ CDE=∠ CED= ∠ BCD=30°，∴∠ CDF=30°，∵ CF=4，∴ DC=8，∵ AD=CD，∴ AC=16，∴△ ABC的周长 =3AC=48．第2课时1．解： A、∵ 1+1=2，∴本组数据不可以够组成等腰三角形；故本选项错误；B、∵ 1+1＜ 3，∴本组数据不可以够组成等腰三角形；故本选项错误；C、∵1+2＞2，且有两边相等，∴本组数据能够组成等腰三角形；故本选项正确；D、∵ 2+2＜5，∴本组数据不可以够组成等腰三角形；故本选项错误；应选： C．2．解；当顶角为∠A=40°时，∠ C=70°≠ 50°，当顶角为∠ B=50°时，∠ C=65°≠40°所以 A 选项错误．当顶角为∠ B=60°时，∠ A=60°≠40°，当∠ A=40°时，∠ B=70°≠ 60°，所以 B 选项错误．当顶角为∠ A=40°时，∠ C=70°=∠ B，所以 C 选项正确．当顶角为∠ A=40°时，∠ B=70°≠ 80°，当顶角为∠ B=80°时，∠ A=50°≠40°所以 D 选项错误．应选： C．3．解：∵在△ABC中， AB=AC，∠ A=36°，∴∠ ABC=∠ C==72°，△ ABC是等腰三角形，∵BD 均分∠ ABC，∴∠ABD=∠ DBC=36°，∵DE∥BC，∴∠ EDB=∠ DBC=36°，∴∠ ABD=∠ EDB=∠A，∴AD=BD， EB=ED，即△ ABD 和△ EBD是等腰三角形，∵∠ BDC=180°﹣∠ DBC﹣∠ C=72°，∴∠ BDC=∠ C，∴BD=BC，即△ BCD是等腰三角形，∵DE∥BC，∴∠ AED=∠ ABC，∠ ADE=∠ C，∴∠ AED=∠ ADE，∴AE=AD，即△ AED是等腰三角形．∴图中共有 5 个等腰三角形．应选： C．4．解：如图，分状况议论：① AB 为等腰△ ABC的底边时，切合条件的C点有 6 个；② AB 为等腰△ ABC此中的一条腰时，切合条件的 C 点有4 个．应选： D．5．解： A、∵ a=3， b=3，c=4，∴ a=b，∴△ ABC是等腰三角形；B、∵ a： b： c=2： 3： 4∴ a≠ b≠ c，∴△ ABC不是等腰三角形；C、∵∠ B=50°，∠ C=80°，∴∠ A=180°﹣∠ B﹣∠ C=50°，∴∠ A=∠ B，∴ AC=BC，∴△ ABC是等腰三角形；D、∵∠ A：∠ B：∠ C=1： 1： 2，∵∠ A=∠ B，∴ AC=BC，∴△ ABC是等腰三角形．应选： B．6．解：以下图：当 BC1=AC1， AC=CC2，AB=BC3， AC4=CC4， AB=AC5， AB=AC6， BC7=CC7时都能获得切合题意的等腰三角形．应选： C．7．解： A、依占有两个角等于60°的三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；B、有一个外角等于120 °的等腰三角形，则内角为60°的等腰三角形，此三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；C、三个角都相等的三角形，内角必定为60°是等边三角形，不合题意，故此选项错误；D、边上的高也是这边的中线的三角形，也可能是等腰三角形，故此选项正确．应选：D．8．解：①点 C 以点 A 为标准，AB 为底边，切合点 C 的有 5 个；②点 C 以点 B 为标准， AB 为等腰三角形的一条边，切合点 C 的有4 个．所以切合条件的点C共有 9 个．应选： B．9．解：∵在Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ A=40°，∴当 AB=BP1时，∠ BAP1=∠ BP1A=40°，当 AB=AP3 时，∠ ABP3=∠AP3B= ∠ BAC= × 40°=20°，当 AB=AP4 时，∠ ABP4=∠AP4B= ×（ 180°﹣40°）=70°，当 AP2=BP2时，∠ BAP2=∠ ABP2，∴∠ AP2B=180°﹣ 40°× 2=100°，∴∠ APB 的度数为： 20°、40°、70°、 100°．故答案为： 20°或 40°或 70°或 100°．10．解：∵ AON=60°，∴当 OA=OP=a时，△ AOP 为等边三角形．故答案是： a．11．解：如图，知足△ EAB是等腰三角形的点 E 有5 个，故答案为： 5．12．解：∵∠A=80°，∴①当∠ B=80°时，△ ABC是等腰三角形；②当∠ B=（ 180°﹣ 80°）÷ 2=50°时，△ ABC 是等腰三角形；③当∠ B=180°﹣ 80°× 2=20°时，△ ABC是等腰三角形；故答案为： 80°、 50°、20°．13．解：由题意知，要求“被一条直线分红两个小等腰三角形”，①中分红的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和 36°，72°72°，能；②不可以；③明显原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；④中的为36°， 72， 72°和 36°， 36°， 108°，能．故答案为：②14．（ 1）证明：∵ BD 是△ ABC 的角均分线，∴∠ EBD=∠ CBD．∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD．∴∠EDB=∠ EBD．∴BE=DE．（ 2）∵ AB=BC， BD 是△ ABC 的角均分线，∴ AD=DC．∵DE∥BC，∴，∴．∴DE=5．15．证明：连结BC．∵AB=AC（已知），∴∠ 1=∠ 2（等边平等角）．又∠ ABD=∠ ACD（已知），∴∠ ABD﹣∠ 1=∠ ACD﹣∠ 2（等式运算性质）．即∠ 3=∠ 4．∴ BD=DC（等角平等边）．第3课时1．解：∵ PC∥ OA，∴∠ CPO=∠ POA，∵∠ AOP=∠ BOP=15°，∴∠ AOP=∠ BOP=∠ CPO=15°，过点 P 作∠ OPE=∠CPO交于 AO 于点 E，则△ OCP≌△ OEP，∴PE=PC=10，∵∠ PEA=∠OPE+∠ POE=30°，∴PD=10× =5．应选： C．2．解：∵在Rt△ ABC中，∠ C=90°， AB=2BC，即 BC= AB，∴∠ A=30°，应选： B．3．解：∵在Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ A=30°， BC=4cm，∴AB=2BC=8cm，应选： B．4．解：∵△ ABC是等边三角形，∴∠ C=60°， AC=AB=BC=6，∵BD 均分∠ ABC交 AC 于点 D，∴CD= AC=3，∵ DE⊥BC，∴∠ CDE=30°，∵EC= CD=1.5．应选： C．5．解：设∠ A、∠ B、∠ C 分别为 k、2k、 3k，则 k+2k+3k=180°，解得 k=30°，2k=60 °，3k=90 °，∵最小边BC=3cm，∴最长边AB=2BC=2×3=6cm．应选： D．6．解：∴ CD 是高，∴∠ BDC=90°，∵∠ ACB=90°，∠ A=30°，∴∠ B=60°，BC= AB=× 8=4，∴∠ BCD=30°，∴BD= BC=2，应选： A．7．解：如图，作BH⊥ AC于 H，则∠ ABH=180°﹣∠ BAC=30°，在 Rt△ ABH 中， BH= AB=10，所以 S△ ABC=× 10× 30=150，所以购置这类草皮起码需要150a 元．应选： C．8．解：∵立柱BC、 DE 垂直于横梁AC，∴BC∥ DE，∵D是 AB中点，∴ AD=BD，∴ AE： CE=AD： BD，∴ AE=CE，∴ DE 是△ ABC的中位线，∴DE= BC，在 Rt△ ABC中， BC= AB=3，∴ DE=1.5．应选： A．9．解：∵∠ A=30°，∠ B=90°，∴BC= AC=5，故答案为： 5．10．解：如图，过 C 点作 BD 的垂直均分线交BD 于点 E，∵在△ ABC中，∠ ACB=90°，∠ A=30°， BC=4，∴∠ BCE=∠ A=30°， BE=BD，∴BE=2∴BD=2BE=4故答案为： 4．11．解：∵在Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ ABC=60°，∴∠ A=30°，∵DE 是线段 AB 的垂直均分线，∴ EA=EB， ED⊥ AB，∴∠ A=∠ EBA=30°，∴∠ EBC=∠ ABC﹣∠ EBA=30°，又∵ BC⊥ AC， ED⊥ AB，∴DE=CE=2．在直角三角形ADE 中， DE=2，∠ A=30°，∴AE=2DE=4，∴ AD==2 ，∴ AB=2AD=4．故答案为： 4．12．解：如图，过C作CD⊥AB，交BA延长线于D，∵∠ B=15°，AB=AC，∴∠ DAC=30°，∵CD 为 AB 上的高， AC=8cm，∴CD= AC=4cm．故答案为： 4cm．13．解：∵在△ABC 中，∠ B=∠ C=60°，∴∠ A=60°，∵DE⊥AB，∴∠ AED=30°，∵AD=1，∴AE=2，∵ BC=6，∴AC=BC=6，∴CE=AC﹣ AE=6﹣ 2=4，故答案为 4．14．解：（1 ）∵在△ ABC中，已知BA=BC，∴∠ A=∠ C（等边平等角）；又∵∠ B=120°，∴∠ A=（180°﹣120°）=30°（三角形内角和定理），∴∠ ADG=90°﹣30°=60°；（ 2）连结 BD．∵ AB 的垂直均分线DG 交 AC 于点 D，∴AD=BD，∠ A=∠ABD=30°，∴∠ CBD=90°；由（ 1）知∠ A=∠ C=30°，∴BD= CD（ 30°所对的直角边是斜边的一半），∴CD=2AD=2BD，∴AC=AD+CD=AD+2AD=3AD；又∵ AD=8cm，∴DC=16cm．15．解：（1 ）过 P 作 PD⊥AB 于点 D，∵∠ PBD=90°﹣ 60°=30°且∠ PBD=∠ PAB+∠ APB，∠ PAB=90﹣ 75=15°∴∠ PAB=∠ APB，∴BP=AB=7（海里）．（ 2）作 PD⊥ AB于 D，∵ A 处测得小岛 P 在北偏东 75°方向，∴∠ PAB=15°，∵在 B 处测得小岛 P 在北偏东 60°方向，∴∠ APB=15°，∴AB=PB=7海里，∵∠ PBD=30°，∴PD= PB=3.5＞ 3，∴该船持续向东航行，没有触礁的危险．。
专题19等腰三角形、等边三角形、直角三角形(基础巩固练习)解析版
2021年中考数学专题19 等腰、等边三角形、直角三角形（基础巩固练习，共50个小题）一、选择题（共20小题）：1.（2020•毕节市）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（）A．13 B．17 C．13或17 D．13或10【答案】B【解析】解：①当腰是3，底边是7时，不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是3，腰长是7时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．故选：B．2.（2020•福建）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）A．10 B．5 C．4 D．3【答案】B【解析】解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，∴CD＝5．故选：B．3.（2020•呼伦贝尔）如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是（）A．25°B．20°C．30°D．15°【解析】解：∵AB＝AC，∠C＝∠ABC＝65°，∴∠A＝180°﹣65°×2＝50°，∵MN垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝50°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°，故选：D．4.（2020•兰州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D＝（）A．40°B．50°C．60°D．80°【答案】B【解析】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠C＝∠B＝40°，∵DE⊥BC于点E，∴∠D＝90°﹣∠C＝50°，故选：B．5.（2020•青海）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（）A．55°，55°B．70°，40°或70°，55°C．70°，40°D．55°，55°或70°，40°【解析】解：分情况讨论：（1）若等腰三角形的顶角为70°时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；（2）若等腰三角形的底角为70°时，顶角为180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：D．6.（2020•临沂）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°【答案】D【解析】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ACB＝70°，∵CD∥AB，∴∠ACD＝180°﹣∠A＝140°，∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝70°．故选：D．7.（2020•自贡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°【答案】D【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝40°，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC=1（180°﹣40°）＝70°，2∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，故选：D．8.（2020•巴中）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，DE∥AB，AD＝3，CE＝5，则AC的长为（）A．9 B．8 C．6 D．7【答案】B【解析】解：∵∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD=1∠BAC＝60°，2∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE＝60°，∠DEC＝∠BAC＝120°，∴∠AED＝60°，∴∠ADE＝∠AED，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝3，∴AC＝AE+CE＝3+5＝8，故选：B．9.（2020•铜仁市）已知等边三角形一边上的高为2√3，则它的边长为（）A．2 B．3 C．4 D．4√3【答案】C【解析】解：根据等边三角形：三线合一，)2+(2√3)2，设它的边长为x，可得：x2=(x2解得：x＝4，x＝﹣4（舍去），故选：C．10.（2019•天水）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A．（1，1）B．（1，√3）C．（√3，1）D．（√3，√3）【答案】B【解析】解：过点B 作BH ⊥AO 于H 点，∵△OAB 是等边三角形，∴OH ＝1，BH =√3．∴点B 的坐标为（1，√3）．故选：B ．11.（2019•铜仁市）如图，四边形ABCD 为菱形，AB ＝2，∠DAB ＝60°，点E 、F 分别在边DC 、BC 上，且CE =13CD ，CF =13CB ，则S △CEF ＝（ ）A ．√32B ．√33C ．√34D ．√39 【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD 为菱形，AB ＝2，∠DAB ＝60°∴AB ＝BC ＝CD ＝2，∠DCB ＝60°∵CE =13CD ，CF =13CB∴CE ＝CF =23∴△CEF 为等边三角形∴S △CEF =√34×(23)2=√39故选：D ．12.（2018•扬州）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（）A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC【答案】C【解析】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE．又∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE．故选：C．13.（2020•常州）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，∵点M是BC的中点．BC，∴MH=12∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，故选：A．14.（2019•陕西）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝52°，BE为AC边上的中线，AD平分∠BAC，交BC边于点D，过点B作BF⊥AD，垂足为F，则∠EBF的度数为（）A．19°B．33°C．34°D．43°【答案】B【解析】解：∵∠ABC＝90°，BE为AC边上的中线，AC＝AE，∴∠BAC＝90°﹣∠C＝90°﹣52°＝38°，BE=12∴∠BAC＝∠ABE＝38°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAF=1∠BAC＝19°，2∴∠BOF ＝∠BAD+∠ABE ＝19°+38°＝57°，∵BF ⊥AD ，∴∠BFO ＝90°，∴∠EBF ＝90°﹣∠BOF ＝90°﹣57°＝33°；故选：B ．15.（2020•赤峰）如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝3，把Rt △ABC 沿直线BC 向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，则四边形ABC'A'的面积是（ ）A ．15B ．18C ．20D ．22【答案】A【解析】解：∵把Rt △ABC 沿直线BC 向右平移3个单位长度得到△A'B'C'， ∴A ′A ＝CC ′＝3，AA ′∥BC ′，在Rt △ABC 中，∵AB ＝5，AC ＝3，∴BC =√52−32=4，∵AA ′∥BC ′，∴四边形ABC ′A ′是梯形，∴四边形ABC'A'的面积=12（AA ′+BC ′）•AC =12×（3+4+3）×3＝15，故选：A ．16.（2020•绵阳）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，DF ∥BC ，∠ABC 的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】解：过E作EM⊥BC，交FD于点N，∵DF∥BC，∴EN⊥DF，∴EN∥HG，∴∠DEN＝∠DHG，∠END＝∠HGD，∴△END∽△HGD，∴ENHG =EDHD，∵E为HD中点，∴EDHD =12，∴ENHG =12，即HG＝2EN，∴∠DNM＝∠NMC＝∠C＝90°，∴四边形NMCD为矩形，∴MN＝DC＝2，∵BE 平分∠ABC ，EA ⊥AB ，EM ⊥BC ，∴EM ＝AE ＝3，∴EN ＝EM ﹣MN ＝3﹣2＝1，则HG ＝2EN ＝2．故选：B ．17.（2020•包头）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，BE ⊥CD ，交CD 的延长线于点E ．若AC ＝2，BC ＝2√2，则BE 的长为（ ）A ．2√63B ．√62C ．√3D ．√2【答案】A【解析】解：方法1：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝2√2，由勾股定理得AB =√AC 2+BC 2=√22+(2√2)2=2√3，∵D 是AB 的中点，∴BD ＝CD =√3，设DE ＝x ，由勾股定理得（√3）2﹣x 2＝（2√2）2﹣（√3+x ）2，解得x =√33， ∴在Rt △BED 中，BE =2−DE 2=√(√3)2−(√33)2=2√63．方法2：三角形ABC 的面积=12×AC ×BC =12×2×2√2=2√2，∵D 是AB 中点，∴△BCD 的面积＝△ABC 面积×12=√2，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝2√2，由勾股定理得AB =√AC 2+BC 2=√22+(2√2)2=2√3，∵D 是AB 的中点，∴CD =√3，∴BE =√2×2÷2×2÷√3=2√63．故选：A ． 18.（2020•陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，若BD 是△ABC 的高，则BD 的长为（ ）A ．1013√13B ．913√13C ．813√13D ．713√13 【答案】D【解析】解：由勾股定理得：AC =2+32=√13，∵S △ABC ＝3×3−12×1×2−12×1×3−12×2×3=3.5，∴12AC ⋅BD =72，∴√13⋅BD =7，∴BD=7√13，故选：D．1319.（2020•德阳）已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（）A．2 B．2√2−2 C．2√2+2 D．2√2【答案】B【解析】解：∵等腰直角三角形ABC的腰长为4，∴斜边AB＝4√2，∵点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，∴点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝2√2，∴CM=12∵PC＝2，∴PM＝CM﹣CP＝2√2−2，故选：B．20.（2020•威海）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）．已知AB＝40cm，则图中阴影部分的面积为（）A．25cm2B．100cm2C．50cm2D．75cm23【答案】C【解析】解：如图：设OF＝EF＝FG＝x（cm），∴OE＝OH＝2x，在Rt△EOH中，EH＝2√2x，由题意EH＝20cm，∴20＝2√2x，∴x＝5√2，∴阴影部分的面积＝（5√2）2＝50（cm2）故选：C．二、填空题（共16小题）：21.（2020•齐齐哈尔）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是．【答案】10或11【解析】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，∵此时能组成三角形，∴周长＝3+3+4＝10；②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，此时能组成三角形，所以周长＝3+4+4＝11．综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．故答案为：10或11．22.（2020•眉山）如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝10，边AC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ．若△ABD 的周长为26，则DE 的长为 ．【答案】154【解析】解：作AM ⊥BC 于M ，∵边AC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ，∴∠AED ＝90°，AE ＝CE =12AC =12×10=5，AD ＝CD ，∴∠DAC ＝∠C ，∵△ABD 的周长为26，∴AB+BD+AD ＝AB+BD+CD ＝AB+BC ＝26，∵AB ＝AC ＝10，∴BC ＝16，∠B ＝∠C ，∴∠B ＝∠DAC ，∵∠ACB ＝∠DCA ，∴△ABC ∽△DAC ，∴AM DE =BC AC ，∵AB ＝AC ，∴BM=12BC＝8，∴AM=√AB2−BM2=√102−82=6，∴6DE =1610，∴DE=154，故答案为154．23.（2020•滨州）在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为．【答案】80°【解析】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∴∠C＝∠B＝50°，∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°．故答案为：80°．24.（2020•恩施州）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝30°，∠1＝80°，则∠2＝．【答案】40°【解析】解：如图，延长CB交l1于点D，∵AB＝BC，∠C＝30°，∴∠C＝∠4＝30°，∵l1∥l2，∠1＝80°，∴∠1＝∠3＝80°，∵∠C+∠3+∠2+∠4＝180°，即30°+80°+∠2+30°＝180°，∴∠2＝40°．故答案为：40°．25.（2020•黄冈）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝度．【答案】40°【解析】解：∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝35°，∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝70°．∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝70°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故答案为：40．26.（2020•常州）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝°．【答案】30【解析】解：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°．故答案为：30．27.（2019•哈尔滨）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为．【答案】2√7【解析】解：如图，连接AC交BD于点O∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4∵CE∥AB∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°∴∠DAO＝∠ACE＝30°∴AE＝CE＝6∴DE＝AD﹣AE＝2∵∠CED＝∠ADB＝60°∴△EDF是等边三角形∴DE＝EF＝DF＝2∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2∴OC=√CF2−OF2=2√3∴BC=√BO2+OC2=2√728.（2020•岳阳）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝°．【答案】70【解析】解：在Rt△ABC中，∵∠A＝20°，∴∠B＝90°﹣∠A＝70°，∵CD是斜边AB上的中线，∴BD＝CD，∴∠BCD＝∠B＝70°，故答案为70．29.（2020•绵阳）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为．【答案】3√3−2【解析】解：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O 作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，AD＝2，∴OM=12∵AB∥CD，∴∠GCF＝∠B＝60°，∴∠DGO＝∠CGF＝30°，∵AD＝BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∴∠ADC＝∠BCD＝120°，∴∠DOG＝30°＝∠DGO，∴DG＝DO＝2，∵CD＝4，∴CG＝2，∴OG＝2√3，GF=√3，OF＝3√3，∴ME≥OF﹣OM＝3√3−2，∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为3√3−2．30.（2020•宿迁）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC＝12，AD＝8，则DE的长为．【答案】5【解析】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD＝6，∴∠ADB＝90°，∴AB=√AD2+BD2=√82+62=10，∵AE＝EB，∴DE=1AB＝5，2故答案为5．31.（2020•雅安）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝．【答案】20【解析】解：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2，∵AD＝2，BC＝4，∴AB2+CD2＝22+42＝20．故答案为：20．32.（2020•苏州）如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC＝．【答案】1【解析】解：设AE＝ED＝x，CD＝y，∴BD＝2y，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，∴AB2＝4x2+4y2，∴x2+y2＝1，在Rt△CDE中，∴EC2＝x2+y2＝1∵EC＞0∴EC＝1．另解：依据AD⊥BC，BD＝2CD，E是AD的中点，即可得判定△CDE∽△BDA，且相似比为1：2，∴CEAB =12，即CE＝1．故答案为：133.（2020•安顺）如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则边BC的长为．【答案】4√5【解析】解：延长BD到F，使得DF＝BD，∵CD⊥BF，∴△BCF是等腰三角形，∴BC＝CF，过点C作CH∥AB，交BF于点H∴∠ABD＝∠CHD＝2∠CBD＝2∠F，∴HF＝HC，∵CH∥AB，∴∠ABE＝∠CHE，∠BAE＝∠ECH，∴EH＝CE，∵EA＝EB，∴AC＝BH，∵BD＝8，AC＝11，∴DH＝BH﹣BD＝AC﹣BD＝3，∴HF＝HC＝8﹣3＝5，在Rt△CDH，∴由勾股定理可知：CD＝4，在Rt△BCD中，∴BC=√82+42=4√5，故答案为：4√534.（2020•丹东）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥AC，AD＝AC，∠BAD＝105°，点E和点F分别是AC和CD的中点，连接BE，EF，BF，若CD＝8，则△BEF的面积是．【答案】2√3【解析】解：过点E作EH⊥BF于H．∵AD＝AC，∠DAC＝90°，CD＝8，∴AD＝AC＝4√2，∵DF＝FC，AE＝EC，AD＝2√2，EF∥AD，∴EF=12∴∠FEC＝∠DAC＝90°，∵∠ABC＝90°，AE＝EC，∴BE＝AE＝EC＝2√2，∴EF＝BE＝2√2，∵∠BAD＝105°，∠DAC＝90°，∴∠BAE＝105°﹣90°＝15°，∴∠EAB＝∠EBA＝15°，∴∠CEB＝∠EAB+∠EBA＝30°，∴∠FEB＝90°+30°＝120°，∴∠EFB＝∠EBF＝30°，∵EH⊥BF，∴EH=12EF=√2，FH=√3EH=√6，∴BF＝2FH＝2√6，∴S△EFB =12•BF•EH=12×2√6×√2=2√3．故答案为2√3．35.（2020•十堰）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．若AE＝3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为．【答案】19【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3，∴AC＝2AE＝6，AD＝DC，∵AB+BD+AD＝13，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BD+AD+AC＝13+6＝19．故答案为：19．36.（2020•青海）如图，△ABC中，AB＝AC＝14cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且△DBC的周长是24cm，则BC＝cm．【答案】10＝24cm，【解析】解：∵C△DBC∴BD+DC+BC＝24cm①，又∵MN垂直平分AB，∴AD＝BD②，将②代入①得：AD+DC+BC＝24cm，即AC+BC＝24cm，又∵AC＝14cm，∴BC＝24﹣14＝10cm．故填10．三、解答题（共14小题）：37.（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：DE ＝DF ；（2）若∠BDE ＝40°，求∠BAC 的度数．【答案】(1)见解析；(2)80°.【解析】（1）证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ，在△BED 与△CFD 中，{∠BED =∠CFD∠B =∠C BD =CD，∴△BED ≌△CFD （AAS ），∴DE ＝DF ；（2）解：∵∠BDE ＝40°，∴∠B ＝50°，∴∠C ＝50°，∴∠BAC ＝80°．38.（2019•攀枝花）如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，BE 是AC 边上的中线，且BD ＝CE ．求证：（1）点D 在BE 的垂直平分线上；（2）∠BEC ＝3∠ABE ．【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】解：（1）连接DE，∵CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵BE是AC边上的中线，∴AE＝CE，∴DE＝CE，∵BD＝CE，∴BD＝DE，∴点D在BE的垂直平分线上；（2）∵DE＝AE，∴∠A＝∠ADE，∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB，∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∴∠A＝∠ADE＝2∠ABE，∵∠BEC＝∠A+∠ABE，∴∠BEC＝3∠ABE．39.（2019•重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数；（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．【答案】(1)48°；(2)见解析.【解析】解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°，又∠C＝42°，∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣42°＝48°；（2）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∵EF∥AC，∴∠F＝∠CAD，∴∠BAD＝∠F，∴AE＝FE．40.（2019•重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；【答案】(1)54°；(2)见解析.【解析】（1）解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°，∵BD＝CD，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE=1∠ABC，2∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE，∴∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE．41.（2020秋•河北区期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数．【答案】(1)30°；(2)见解析.【解析】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°，∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣60°＝30°．（2）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°，∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∴△DEC是等边三角形，∴CE＝CD，∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，∴∠CEF＝∠F＝30°，∴EC＝CF，42.（2020秋•道外区期中）如图1，已知等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，连接DE．（1）若DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形；（2）如图2，若D、E分别为AB、AC中点，连接CD、BE，CD与BE相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（△ADE与△ABC除外）【答案】(1)见解析；(2)△DEF和△BFC都为等腰三角形.【解析】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴∠A＝∠ADE＝∠AED，∴△ADE是等边三角形．（2）解：△BDE，△DEC，△DEF和△BFC为等腰三角形．由（1）可知，AB＝AC，∠＝60°，∵D、E分别为AB、AC中点，∴AD=12AB，AE=12AC，∴△ADE为等边三角形，AB，∴AD＝DE=12∴BD＝DE，即△BDE为等腰三角形，同理△DEC为等腰三角形．∵AB＝BC，E为AC的中点，∴∠ABE＝∠CBE＝30°，∵∠ADE＝∠ABC＝60°，∴DE∥BC，∴∠EBC＝∠DEB＝30°，同理∠BCD＝∠EDC＝30°，∴FB＝FC，DF＝EF．即△DEF和△BFC都为等腰三角形．43.（2020•海淀区一模）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接DF．（1）求证：△ABF是等边三角形；（2）若∠CDF＝45°，CF＝2，求AB的长度．【答案】(1)见解析；(2)√3+.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝60°，∴∠DAB＝120°，∵AF平分∠DAB，∴∠FAB＝60°，∴∠FAB＝∠ABF＝60°，∴∠FAB＝∠ABF＝∠AFB＝60°，∴△ABF是等边三角形；（2）作FG⊥DC于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝60°，∴DC∥AB，DC＝AB，∴∠FCG＝∠ABC＝60°，∴∠GFC＝30°，∵CF＝2，∠FGC＝90°，∴CG＝1，FG=√3，∵∠FDG＝45°，∠FGD＝90°，∴∠FDG＝∠DFG＝45°，∴DG＝FG=√3，∴DC＝DG+CG=√3+1，∴AB=√3+1，即AB的长度是√3+1．44.（2018•无锡）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝m，BC＝n，m＞n，点P是边AB上一点，连结CP，将△ACP沿CP翻折得到△QCP．（1）若m＝4，n＝3，且PQ⊥AB，求BP的长；（2）连结BQ，若四边形BCPQ是平行四边形，求m与n之间的关系式．【答案】(1)PB=125+95=215；(2)m=√3n.【解析】解：（1）如图，作CH⊥AB于H．由翻折的性质可知：∠APC＝∠QPC，∵PQ⊥PA，∴∠APQ＝90°，∴∠APC＝∠QPC＝135°，∵∠QPB ＝90°，∴∠BPC ＝45°，∵CH ⊥AB ，∴CH ＝PH ，在Rt △ABC 中，AB =2+BC 2=√32+42=5，∵12•AB •CH =12•AC •BC ，∴CH =125，BH =2−CH 2=95， ∴PB ＝PH+BH =125+95=215．（2）如图2中，连接BQ ．由翻折不变性可知：PA ＝PQ ，∠QPC ＝∠APC ，∵四边形BCPQ 是平行四边形，∴PQ ＝BC ＝PA ＝n ，PQ ∥BC ，∴∠QPC+∠PCB ＝180°，∴∠PCB＝∠BPC，∴PB＝BC＝n，∴AP＝PB＝n，AB＝2n，在Rt△ABC中，则有（2n）2＝m2+n2，∴m2＝3n2，∵m＞0．n＞0，∴m=√3n．45.（2020秋•齐河县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CE垂直于AB于点E，D是AB的中点．（1）求证：AE＝ED；（2）若AC＝2，求DE的长．【答案】(1)见解析；(2)1.【解析】（1）证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AB，∴CD＝AD＝BD=12∴∠DCB＝∠B，∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠DCB＝30°，∠A＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠A＝∠ADC，∴AC＝DC，∵CE垂直于AB于点E，∴AE＝ED；（2）解：∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∵∠A＝60°，∴∠ACE＝30°，AC，∴AE=12∵AC＝2，AE＝DE，∴DE＝AE＝1．46.（2020秋•农安县期末）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求证：CE＝CF；（2）若CD＝2，求DF的长．【答案】(1)见解析；(2)4.【解析】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∵DE∥AB，∴∠B＝EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∵EF⊥ED，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝30°∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，∴∠F＝∠FEC＝30°，∴CE＝CF．（2）由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∴CE＝DC＝2．又∵CE＝CF，∴CF＝2．∴DF＝DC+CF＝2+2＝4．47.（2020秋•松江区期末）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC中点，点F是BD中点．（1）求证：EF⊥BD；（2）过点D作DH⊥AC于H点，如果BD平分∠HDE，求证：BA＝BC．【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】（1）证明：∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，点E 是AC 中点，∴DE =12AC ，BE =12AC ，∴DE ＝BE ，∵点F 是BD 中点，∴EF ⊥BD ；（2）证明：设AC ，BD 交于点O ，∵DH ⊥AC ，EF ⊥BD ，∴∠DHO ＝∠EFO ＝90°，∵∠DOH ＝∠BOE ，∴∠HDF ＝∠OEF ，∵DE ＝BE ，∴∠EDO ＝∠EBO ，∵BD 平分∠HDE ，∴∠HDF ＝∠BDE ，∴∠OEF ＝∠OBE ，∵∠OEF+∠EOF＝90°，∴∠EOF+∠EBO＝90°，∴∠BEO＝90°，∴BE⊥AC，∴BA＝BC．48.（2020秋•南海区期末）在△ABC中，（1）如图1，AC＝15，AD＝9，CD＝12，BC＝20，求△ABC的面积；（2）如图2，AC＝13，BC＝20，AB＝11，求△ABC的面积．【答案】(1)S△ABC ＝150；(2)S△ABC=42.1575.【解析】解：（1）∵CD2+AD2＝144+81＝225，AC2＝225，∴CD2+AD2＝CA2，∴△△ADC是直角三角形，∴∠ADC＝90°，∴CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴BD=√BC2−CD2=16，∴AB＝AD+DB＝16+9＝25，∴S△ABC =12×25×12＝150；（2）过C作CD⊥BA的延长线于点D，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，设AD为x，DB＝（x+11），由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2，CD2＝BC2﹣DB2，即AC2﹣AD2＝BC2﹣DB2，则132﹣x2＝202﹣（x+11）2，解得：x＝10.5，∴CD=2−AD2=√132−10．52≈7.665，∴S△ABC =12AB⋅CD=12×11×7.665=42.1575．49.（2020春•米东区期末）如图1，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC．（1）求证：∠ACE＝∠ABC；（2）求证：∠ECD+∠EBC＝∠BEC；（3）求证：∠CEF＝∠CFE．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析. 【解析】证明：（1）∵CE⊥AD，∠ACD＝90°，∵∠ACE+∠ECD＝∠D+∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠D．∵∠D＝∠ABC，∴∠ACE＝∠ABC；（2）∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，∴∠ACB＝∠DAC，∴AD∥BC，∵CE⊥AD，∴CE⊥BC，∴∠BEC+∠EBC＝90°，∵∠D+∠ECD＝90°，∠D＝∠ABC，∴∠ABC+∠ECD＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC∴2∠EBC+∠ECD＝90°，∴2∠EBC+∠ECD＝∠BEC+∠EBC，即∠EBC+∠ECD＝∠BEC；（3）∵∠ABF+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFE，∴∠ABF+∠CFE＝90°，∵∠CBE+∠CEF＝90°，∠ABF＝∠CAE，∴∠CEF＝CFE．50.（2020秋•锦江区校级期末）如图1，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是AB上一点，且AC＝8，∠DCA＝45°，AE⊥BC于点E，交CD于点F．（1）如图1，若AB＝2AC，求AE的长；（2）如图2，若∠B＝30°，求△CEF的面积；（3）如图3，点P是BA延长线上一点，且AP＝BD，连接PF，求证：PF+AF＝BC【答案】(1)AE=8√5=16√55；(2)S△ECF＝8（2−√3）；(3)见解析.【解析】（1）解：如图1中，∵AB＝2AC，AC＝8，∴AB＝16，∵∠BAC＝90°，∴BC=√AC2+AB2=√82+162=8√5，∵AE⊥BC，∴S△ABC =12•BC•AE=12•AC•AB，∴AE=8√5=16√55．（2）解：如图2中，在CE上取一点T，使得FJ＝CJ，连接FJ．∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴∠ACE＝90°﹣30°＝60°，∵AE⊥BC，AC＝8，∴CE＝AC•cos60°＝4，∵∠DCA＝45°，∴∠FCE＝∠ACE﹣∠ACD＝15°，∵JF＝JC，∴∠JFC＝∠JCF＝15°，∴∠EJF＝∠JFC+∠JCF＝30°，设EF＝m，则FJ＝JC＝2m，EJ=√3m，∴√3m+2m＝4，∴m＝4（2−√3），∴EF＝4（2−√3），∴S△ECF =12×4×4（2−√3）＝8（2−√3）．（3）证明：如图3中，过A点作AM⊥CD于点M，与BC交于点N，连接DN．∵∠BAC＝90°，AC＝AD，∴AM⊥CD，AM＝DM＝CM，∠DAM＝∠CAM＝∠ADM＝∠ACD＝45°，∴DN＝CN，∴∠NDM＝∠NCM，∵AE⊥BC，∴∠ECF+∠EFC＝∠MAF+∠AFM＝90°，∵∠AFM＝∠EFC，∴∠MAF＝∠ECF，∴∠MAF＝∠MDN，∵∠AMF＝∠AMN，∴△AMF≌△DMN（ASA），∴AF＝DN＝CN，∵∠BAC＝90°，AC＝AD，∴∠DAM＝∠CAM＝∠ADM＝∠ACD＝45°，∴∠NAP＝∠CDB＝135°，∵∠MAF＝∠MDN，∴∠PAF＝∠BDN，∵AP＝DB，∴△APF≌△DBN（SAS），∴PF＝BN，∵AF＝CN，∴PF+AF＝CN+BN，即PF+AF＝BC．。
解等腰三角形的性质的练习题
解等腰三角形的性质的练习题1. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以点D为底边BC的中点，连接AD。
证明：△ABD≌△ACD。
解析：首先，根据等腰三角形的定义，AB=AC。
其次，由于D为BC的中点，所以BD=DC。
再根据SSS（边边边）对应的性质，我们可以得出△ABD≌△ACD。
也就是说，两个三角形的三边分别对应相等，从而可以得出两个三角形全等。
2. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以AB为底边，且与AC相交于点D的高为AH。
证明：∠HAB=∠HAC。
解析：首先，我们知道等腰三角形ABC的两边AB和AC相等，所以可以得出∠A=∠B=∠C。
又因为AD为高，所以∠HAD=90°，而角HAB是等腰三角形ABC的顶角，所以角HAB也等于∠C。
综上所述，可以得出∠HAB=∠HAC。
3. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以AB为底边，且与AC相交于点D的中线DE。
证明：DE=BC/2。
解析：首先，我们知道等腰三角形ABC的两边AB和AC相等，所以可以得出DE=BC/2。
这是因为DE是底边BC的中线，所以根据中线分割定理，DE等于底边BC的一半，即DE=BC/2。
4. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以角A的平分线AM为旋转轴，将△ABC旋转180°得到△ADE。
证明：△ADE≌△ABC。
解析：首先，我们需要说明如何将△ABC旋转180°得到△ADE。
根据题意，我们以角A的平分线AM为旋转轴，将△ABC旋转180°。
旋转后，点A和点D重合，点B和点E重合，点C不动。
根据旋转的定义，可以得出△ADE≌△ABC。
5. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以角A的平分线AM为旋转轴，将△ABC旋转180°得到△ADE。
证明：BD=DC，BE=EC。
解析：如前一题所述，旋转后，点A和点D重合，点B和点E重合，点C不动。
由等腰三角形的定义可知，BD=DC，BE=EC。
初中数学：等腰三角形练习(含答案)
初中数学：等腰三角形练习（含答案）一、选择题1、等腰三角形一底角为50°,则顶角的度数为（）A、65B、70C、80D、40【答案】C【解析】试题分析：根据三角形的内角和定理求解.解：等腰三角形的顶角度数=180°-50°-50°=80°.故应选C考点：等腰三角形的性质2、如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的角平分线,则图中等腰三角形共有（）A． 5个B． 6个C．7个D．8个【答案】D【解析】试题分析：根据等腰三角形两底角相等和∠A=36°,求出∠ABC和∠ACB的度数,再根据角平分线的定义求出∠ABD、∠CBD、∠ACE、∠BCE的度数,利用三角形外角定理求出∠BOE、∠COD的度数,根据等角对等边进行判断.解：如下图所示,∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°,∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴∠ABD=∠C BD=∠ACE=∠BCE=∠A=36°,∴△ABD、△BCD、△ACE、△BCE、△OBC是等腰三角形；∴∠BEC=∠A+∠ACE=72°,∠BOE=∠BCE+∠CBD=72°,∴∠BEC=∠BOE,同理可得：∠CDO=∠COD,∴△BOE、△COD是等腰三角形；又△ABC是等腰三角形,∴共有8个等腰三角形.故应选D.考点：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形的判定3、下列条件中不能确定是等腰三角形的是（）A．三条边都相等的三角形B．一条中线把面积分成相等的两部分的三角形C．有一个锐角是45°的直角三角形D．一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形【答案】D【解析】试题分析：根据等腰三角形的定义和等腰三角形的判定定理进行判断.解：A选项、三条边都相等的三角形是特殊的等腰三角形,故A选项正确；B选项、三角形任何一条边上的中线都能把三角形分成面积相等的两个三角形,故B选项错误；C选项、有一个锐角是45°的直角三角形的另一个锐角也是45°,根据等角对等边可得这是一个等腰三角形,故C选项正确；D选项、如果一个外角的平分线平行于三角形一边,利用平行线的性质可证三角形的两个角相等,根据等角对等边可证这是一个等腰三角形,故D选项正确.故应选B考点：等腰三角形的判定4、下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=30°,∠B=60°B．∠A=50°,∠B=80°C． AB=AC=2,BC=4 D．AB=3,BC=7,周长为13【答案】B【解析】试题分析：根据等腰三角形的判定定理进行判断.解：A选项、若∠A=30°,∠B=60°,则∠C=90°,不能判定△ABC为等腰三角形；B选项、若∠A=50°,∠B=80°,则∠C=50°,根据等角对等边能判定△ABC为等腰三角形；C选项、若AB=AC=2,BC=4,因为2+2=4,所以不能构成三角形；D选项、若AB=3,BC=7,周长为13,则AC=3,因为3+3<7,所以不能构成三角形.故应选B.考点：等腰三角形的判定5、已知下列各组数据,可以构成等腰三角形的是（）A． 1,2,1 B．2,2,1 C． 1,3,1 D．2,2,5【答案】B【解析】试题分析：根据三角形三边的关系进行判断.解：A选项、因为1+1=2,所以不能构成三角形；B选项、因为2+1>2,能构成三角形,所以可以构成等腰三角形；C选项、因为1+1<3,所以不能构成三角形；D选项、因为2+2<5,所以不能构成三角形.故应选B.考点：三角形三边关系6、小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形,其中两条较长直角边在同一直线上,则图中等腰三角形的个数是（）Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1【答案】B【解析】试题分析：根据直角三角形的性质求出各角的度数,根据等角对等边进行判断. 解：∵∠B=∠E=60°,∴∠A=∠D=30°,∴△MAD是等腰三角形；∵∠EMG-∠A+∠D=60°,∴△EGM是等腰三角形；同理可证△BHM是等腰三角形.∴共有三个等腰三角形.故应选B考点：1.直角三角形的性质；2.等腰三角形的判定二、填空题7、一个等腰三角形的两边分别为3cm和4cm,则它的周长为_________；【答案】10cm或11cm【解析】试题分析：根据三角形的周长公式分情况进行计算.解：当三角形三边分别是3cm、3cm、4cm时,三角形的周长是3+3+4=10cm；当三角形三边分别是3cm、4cm、4cm时,三角形的周长是3+4+4=11cm.故答案是10cm或11cm.考点：等腰三角形的性质8、在方格纸上有一个△ABC,它的顶点位置如图所示,则这个三角形是三角形.【答案】等腰【解析】试题分析：根据点A在BC的垂直平分线上,可证AB=AC,所以这个三角形是等腰三角形.解：∵点A在BC的垂直平分线上,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.故答案是等腰.考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的定义9、如果一个三角形有两个角分别为80°,50°,则这个三角形是_________三角形．【答案】等腰【解析】试题分析：根据三角形内角和求出三角形的另一个内角,根据等角对等边进行判断.解：∵第三个角=180°-50°-80°=50°.∴这个三角形是等腰三角形.故答案是等腰.考点：等腰三角形的判定10、用若干根火柴（不折断）紧接着摆成一个等腰三角形,一边用了10根火柴,则至少还要用_________根火柴．【答案】11【解析】试题分析：根据用10根火柴组成的边是等腰三角形的底边和腰,分两种情况进行讨论.解：当用10根火柴组成的边是等腰三角形的底边时,则每个腰上至少用6根火柴棍,∴共需要12根火柴棍；当用10根火柴组成的边是等腰三角形的腰时,则另一个腰上需要用10根火柴棍,底边至少用1根火柴,∴共需要11根火柴棍.∴至少还要用11根火柴.故答案是11.考点：1.等腰三角形的定义；2.三角形三边关系11、如图,△ABC是等腰三角形,且AB=AC,BM,CM分别平分∠ABC,∠ACB,DE 经过点M,且DE∥BC,则图中有_________个等腰三角形．【答案】5【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB,根据平行线的性质可证∠ADE=∠AED,根据角平分线的性质可证∠DBM=∠MBC=∠DMB=∠EMC=∠ECM=∠BCM,根据等角对等边进行证明.解：∵△ABC是等腰三角形,∴∠ABC=∠ACB,∵DE∥BC,∴∠ADE=∠AED,∴△ADE是等腰三角形；∵BM平分∠ABC,∴∠DBM=∠CBM,∵BC∥DE,∴∠DMB=∠CBM,∴∠DBM=∠DMB,∴△DBM是等腰三角形,同理可得△EMC是等腰三角形；又∵∠ABC=∠ACB,∴∠MBC=∠MCB,∴△MBC是等腰三角形.∵△ABC是等腰三角形.∴共有5个等腰三角形.故答案是5.考点：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形的判定三、解答题12、已知：如图,OA平分∠BAC,∠1=∠2．求证：△ABC是等腰三角形．【答案】证明见解析【解析】试题分析：首先过点O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,根据角平分线的性质可证OE=OF,根据HL可证Rt△OBE≌Rt△OCF,利用全等三角形的性质可证∠5=∠6,所以可证∠ABC=∠ACB,根据等角对等边可证结论成立.证明：如下图所示,过点O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,∵AO平分∠BAC,∴OE=OF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．∵∠1=∠2,∴OB=OC．∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．∴∠5=∠6．∴∠1+∠5=∠2+∠6．即∠ABC=∠ACB．∴AB=AC．∴△ABC是等腰三角形．考点：1.角平分线的性质；2.等腰三角形的判定定理；3.全等三角形的判定和性质13、如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,CD平分∠ACB,试说明△BCD是等腰三角形．【答案】证明见解析【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质求出∠B=∠ACB=72°,根据角平分线的定义可以求出∠ACD=∠A=36°,根据三角形外角的性质可以求出∠ADB=72°,再根据等角对等边可证结论成立.证明：∵∠A=36°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=72°,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠A=36°,∴∠BDC=∠A+∠ACD,∴∠BDC=∠B=72°,∴△BCD是等腰三角形．考点：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形的判定14、如图,ABC△中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC分别交AB、AC于D、E,已知△ADE的周长为20cm,且BC=12cm,求△ABC的周长【答案】32cm.【解析】试题分析：首先根据角平分线的性质可证∠DBF=∠FBC,根据平行线的性质可证∠DFB=∠DBF,所以可证BD=DF,同理可证EC=EF,所以可证AD+AE+DF+EF=20cm,再根据BC的长度求出△ABC的周长.解：∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点F,∴∠DBF=∠FBC,又∵DE∥BC,∴∠DFB=∠FBC,∴∠DFB=∠DBF,∴BD=DF,同理EC=EF,∵△ADE的周长为20cm,∴AD+AE+DF+EF=20cm,∴AD+AE+BD+EC=AB+AC=20cm又∵BC=12cm,∴AB+AC+BC=32cm即△ABC的周长为32cm.考点：1.等腰三角形的判定；2.等腰三角形的性质。
人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：等腰三角形
专题13.3 等腰三角形知识点1：等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、 底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．知识点2：等边三角形1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形．2.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
知识点3：直角三角形的一个定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【例题1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．【例题2】证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=AB ．【例题7】已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）A ．B ．C ．D ．不能确定【例题3】如图，已知AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 与BD 交于点O ，AC=BD.求证：(1)BC=AD ；(2)△OAB 是等腰三角形.一、选择题1.已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）12C AA．B．C．D．不能确定2.如图所示，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（）A．AC＞BC B．AC=BC C．∠A＞∠ABC D．∠A=∠ABC3．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．1个B．2个C．3个D．3个以上4.如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A．2+2B．2+C．4 D．3二、解答题5.已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．6.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．求证：AE=CE．7.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC （如图）．求证：AB=AC ．8.已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ．求证：AB=AD ．9.证明：等腰三角形两底角的平分线相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 是△ABC 的平分线．求证：BD=CE ．10.证明：等腰三角形两腰上的高相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BE 、CF 分别是△ABC 的高．E DCAB11.证明：等腰三角形两腰上的中线相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 分别是两腰上的中线．求证：BD=CE ．12.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高．求：CD 的长．13．已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°．求证：BD=AB ．14.已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．求证：其中一条是另一条的2倍．已知：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ，BD 是∠ABC 的平分线．1415.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AB ．求证：∠BAC=30°．16.已知，如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形．求证：AN=BM ．17．一个直角三角形房梁如图所示，其中BC ⊥AC ，∠BAC=30°，AB=10cm ， CB 1⊥AB ，B 1C ⊥AC 1，垂足分别是B 1、C 1，那么BC 的长是多少？18.如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AC 的垂直平分线交AB 于E ，D 为垂足，连接EC ．（1）求∠ECD 的度数；（2）若CE=5，求BC 长．12专题13.3 等腰三角形知识点1：等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、 底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．知识点2：等边三角形1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形．2.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形经典练习题(5套)附带详细答案
练习一一、选择题1．等腰三角形的周长为26㎝，一边长为6㎝，那么腰长为（）Ａ．6㎝Ｂ．10㎝Ｃ．6㎝或10㎝Ｄ．14㎝2．已知△ABC，AB =AC，∠B=65°，∠C度数是( )A．50° B．65° C．70° D． 75°3．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）A．过顶点的直线B．底边的垂线C．顶角的平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线/二、填空题4．等腰三角形的两个_______相等（简写成“____________”）．5．已知△ABC，AB =AC，∠A=80°，∠B度数是_________．6．等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形的顶角的度数是_______________．7．等腰三角形的腰长是6，则底边长5，周长为__________．三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．（写出每步证明的重要依据）[9．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数.一、选择题1．B2．B3．C二、填空题4．底角，等边对等角~5．50°6．36°或90°7．16或17三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．证明：∵AB=AD（已知）∴∠ABD=∠ADB（等边对等角）∵AD∥BC（已知）∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）∴∠ABD=∠CBD（等量代换）|∴BD平分∠ABC．（角平分线定义）9．45练习2一、选择题1．△ABC是等边三角形，D、E、F为各@边中点，则图中共．有正三角形( )A．2个 B．3个C．4个 D．5个2．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则BC：AB等于 ( )A． 2：1 B．1：2 C．1：3 D．2 ：3二、填空题3．等边三角形的周长为6㎝，则它的边长为 ________．4．等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是__________．5．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是_____三角形．6．△ABC中，∠AC B=90°∠B=60°，BC=3㎝，则AB=_______．—三、解答题7．△ABC是等边三角形，点D在边BC上，DE∥AC，△BDE是等边三角形吗试说明理由．8．已知：如图，P，Q是△ABC边上BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．《9．已知：△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，∠A=30°，求证：△BDC是等边三角形．一、选择题[AQ CPB1．D 2．B二、填空题 3．2㎝ 4．120° 5．等边 6．6㎝ 三、解答题7．△ABC 是等边三角形．理由是 ∵△ABC 是等边三角形；∴∠A =∠B =∠C=60° ∵DE ∥AC ，∴∠BED =∠A=60°，∠BDE =∠C =60° ∴∠B =∠BED =∠BDE ∴△ABC 是等边三角形 8．∠BAC=120°9．证明：∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知）∴∠A +∠B=90°（直角三角形两锐角互余）》∴∠B= 90°－∠A= 90°－30°=60°∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知） ∴BC=（在直角三角形中，一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半）∴△BDC 是等边三角形（有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形）。
第一章第01讲 等腰三角形的性质与判定(6类热点题型讲练)(解析版)
第01讲 等腰三角形的性质与判定(6类热点题型讲练)1.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力.2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容，能证明等腰三角形的性质.3.有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性.知识点01 等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一）图形：如下所示；符号：在ABC D 中，AB ＝AC ，1212,,;,,;,12.BD CD AD BC AD B BD CD AD BC C BD CD Ð=Ðìï=^Ð=Ð^Ð=Ðíï^î==若则若则若，则 知识点02 等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)21D C B A题型01根据等腰三角形腰相等求第三边或周长【例题】（2023上·河南商丘·八年级商丘市实验中学校考阶段练习）一个等腰三角形的两条边长分别为8cm 和4cm，则第三边的长为cm．【答案】8【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，是解题的关键．【详解】解：①若一腰长为8cm，则底边为4cm，则第三边的长为8cm，488+>，故能组成三角形；②若一腰长为4cm，则底边为8cm，则第三边的长为4cm，+=，故不能组成三角形．448故答案为：8．【变式训练】解得：4a =，5b =，当4为等腰三角形的腰长，5为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的周长为44513++=，当5为等腰三角形的腰长，4为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的周长为55414++=，故答案为：13或14．题型02 根据等腰三角形等边对等角求角的度数题型03 根据等腰三角形三线合一进行求解【答案】25【详解】解：如图，作BE∵AB BC =，∴AE CE =，∵AC CD ^，90BAD Ð=°∴EBA BAE BAE Ð+Ð=Ð+Ð【答案】10【详解】解：AB Q 5BD CD \==，210BC BD \==，故答案为：10．(1)求AF 的长．(2)求CD 的长．【详解】（1）解：连接AF ，如下图，根据题意，90BAC Ð=°，AB ∴222(2)BC AB AC =+=+∴190452B ACB Ð=Ð=´°=°，∵F 为BC 中点，题型04 根据等腰三角形三线合一进行证明 (1)若106BAC DAE ÐÐ=°，(2)求证：BD EC =．【详解】（1）解：∵AB AC =(1∵,AB AC AD AE ==，∴,BF CF DF EF ==，∴BD CE =.【变式训练】1．（2023上·山东威海·七年级校联考期中）如图，已知AB AE ABC AED BC ED =Ð=Ð=，，，点F 是CD 的中点，连接AF ，请判断AF 与CD 的位置关系．【答案】垂直【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质：连接AC AD ，，证明ABC AED ≌△△，得到AC AD =，根据等腰三角形三线合一的性质得到AF CD ^，熟练掌握全等三角形的判定定理及等腰三角形的性质是解题的关键．【详解】答：AF CD^连接AC AD ，∵AB AE ABC AED BC ED =Ð=Ð=，，∴ABC AED≌△△∴AC AD=又∵点F 是CD 的中点∴AF CD ^．2．如图，在ABC V 中，AB AC =，40BAC а=，AD 是BC 边上的高．线段AC 的垂直平分线交AD 于点E ，交AC 于点F ，连接BE ．(1)试问：线段AE 与BE 的长相等吗？请说明理由；(2)求EBD Ð的度数．【详解】（1）解：线段AE 与BE 的长相等，理由如下：连接CE ，如图所示：=，AD∵AB AC=，∴BD CD∴AD为BC的垂直平分线，∵点E在AD上，=，∴BE CE又∵线段AC的垂直平分线交题型05根据等角对等边证明等腰三角形Ð，【例题】（2023上·广西玉林·八年级统考期中）如图，点E在BA的延长线上，已知AD平分CAE ∥．求证：ABCAD BCV是等腰三角形．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质与角平分线的定义，先根据平行线的性质得到EAD B CAD C Ð=ÐÐ=Ð，，再由角平分线的定义和等量代换得到B C Ð=Ð，即可证明ABC V 是等腰三角形．【详解】证明：∵AD BC ∥，∴EAD B CAD C Ð=ÐÐ=Ð，，∵AD 平分CAE Ð，∴EAD CAD Ð=Ð，∴B C Ð=Ð，∴ABC V 是等腰三角形．【变式训练】【答案】ABC V 是等腰三角形，理由见解析【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形外角的性质，角平分线的定义，设4ACD x Ð=，3ECD x =∠，由角平分线的定义得到1【答案】证明见解析【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，证明根据角平分线的定义可得，以及直线平行的性质证明题型06 等腰三角形的性质和判定综合应用【例题】如图，在ABC V 中，AB AC =，D 是BC 边的中点，连接AD ，BE 平分ABC Ð交AC 于点E ．(1)若40C Ð=°，求BAD Ð的度数；(2)过点E 作EF BC ∥交AB 于点F ，求证：BEF △是等腰三角形．(3)若BE 平分ABC V 的周长，AEF △的周长为15，求ABC V 的周长．【详解】（1）解：AB AC =Q ，C ABC \Ð=Ð，∵40C Ð=°，∴40ABC Ð=°，AB AC =Q ，D 为BC 的中点，AD BC \^，90BDA \Ð=°，∴90904050BAD ABC °°°°Ð=-Ð=-=；（2）证明：BE Q 平分ABC Ð，ABE EBC \Ð=Ð，又∵EF BC ∥，∴EBC BEF Ð=Ð，∴EBF FEB Ð=Ð，BF EF \=，BEF \V 是等腰三角形；（3）解：AEF QV 的周长为15，15AE AF EF \++=，BF EF =Q ，15AE AF BF \++=，即15AE AB +=，BE Q 平分ABC V 的周长，=15AE AB BC CE \++=，ABC \V 的周长+1515=30AE AB BC CE ++=+．【变式训练】1．如图，在ABC V 中，AB AC =，D 为CA 延长线上一点，DE BC ^于点E ，交AB 于点F ．(1)求证：ADF △是等腰三角形(1)试判断折叠后重叠部分△的面积．(2)求重叠部分AFC△【详解】（1）解：AFC∵四边形ABCD是长方形，∥，∴AD BC一、单选题1．（2023上·河南许昌·八年级统考期中）等腰三角形的一个底角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）．A ．20°B ．80°C ．100°D ．20°或100°【答案】A【分析】本题主要查了等腰三角形的性质．根据“等腰三角形两底角相等”，即可求解．【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为80°，∴等腰三角形的顶角为180808020°-°-°=°．故选：A2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，在ABC V 中，,AB AC AD =为BC 边上的中线，30B Ð=°，则CAD Ð的度数为（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°【答案】B【解析】略3．（2023上·广东珠海·八年级校考阶段练习）下列条件中，可以判定ABC V 是等腰三角形的是（ ）A ．40B Ð=°，80C Ð=°B ．123A BC ÐÐÐ=::::C ．2A B CÐ=Ð+ÐD ．三个角的度数之比是2:2:1【答案】D【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．利A．16【答案】A【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题关键是掌握并会运用全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质定理．二、填空题【答案】117°/117度【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理与外角的性质，根据等边对等角可得54BAC BCA °Ð=Ð=，CAE CEA Ð=Ð127CAE ACB Ð=Ð=°，1BAD Ð=Ð【答案】10°，80°，140°或20°【详解】本题考查了等腰三角形的性质，先利用三角形内角和定理可得：AP AB =时；当AP AB =时；当BA BP =解：∵130ABC Ð=°，30ACB Ð=°，+ ∵BAC Ð是ABP V 的一个外角，∴20BAC APB ABP Ð=Ð+Ð=°，∵AB AP =，∵AB AP =，20BAP Ð=°，∴180802BAP ABP APB °-ÐÐ=Ð==°；当BA BP =时，如图：∵BA BP =，∴20BAP BPA Ð=Ð=°，∴180140ABP BAP BPA Ð=°-Ð-Ð=°；当PA PB =时，如图：∵PA PB =，∴20BAP ABP Ð=Ð=°；综上所述：当ABP V 是等腰三角形时，故答案为：10°，80°，140°或20°．11．（2023上·广东汕尾·八年级校联考阶段练习）用一条长为21cm 的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少?(1)求BD的长．(2)求BE的长．【答案】(1)4 (2)5，AE CD ^Q ，AD AC =AE \平分CAD Ð，CAE DAE \Ð=Ð，在CAE V 和DAE V 中，当AD BC^时，Q AB AC=，\142BD CD BC===，Q DEFV的周长DE DF EF=++，\DEFV的周长CE EF CD=+++(1)若120BAC Ð=°，求BAD Ð(2)求证：ADF △是等腰三角形．【答案】(1)60度(2)见解析(1)求证：BD CE =；(2)若BD AD =，B DAE Ð=Ð，求【答案】(1)见解析(2)108BAC Ð=°∵,AB AC AD AE ==.∴,BF CF DF EF ==,∴BD CE =.（2）∵,AB AC AD AE ==，AF ^∴BAF CAF Ð=Ð，DAF EAF Ð=Ð【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对角对等边．（1）平行线的性质结合角平分线平分角，得到B C Ð=Ð，即可得出结果；（2）平行线的性质结合角平分线平分角，得到A ABC CB =Ð∠，进而得到AB AC =即可；（3）同法（2）可得：BD DE =，利用AB AD BD =+，求解即可；（4）同法（2）得到,FD BD CE EF ==，推出ADE V 的周长等于+AB AC ，即可得出结果；（5）同法（2）得到,PD BD PE CE ==，推出PDE △的周长等于BC 的长即可．掌握平行线加角平分线往往存在等腰三角形，是解题的关键．【详解】解：（1）∵AE BC ∥，∴,DAE B CAE C Ð=ÐÐ=Ð，∵AE 平分DAC Ð，∴DAE CAE Ð=Ð，∴B C Ð=Ð，∴ABC V 是等腰三角形；故答案为：等腰；（2）∵BC 平分ABD Ð，AC BD ∥，∴,ABC DBC ACB DBC Ð=ÐÐ=Ð，∴A ABC CB =Ð∠，∴3AB AC ==；故答案为：3；（3）同法（2）可得：7BD DE ==，∴5712AB AD BD =+=+=；故答案为：12；（4）同法（2）可得：,FD BD CE EF ==，∴ADE V 的周长30AD AE DE AD AE DF EF AD AE BD CE AB AC =++=+++=+++=+=；故答案为：30；（5）同法（2）可得：,PD BD PE CE ==，∴PDE △的周长5cm PD PE DE BD CE DE BC =++=++==；故答案为：5cm ．理解概念：（1）如图1，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，CD AB ^，请写出图中两对概念应用：（2）如图2，在ABC V 中，CD 为角平分线，40A Ð=°，60B Ð=°．求证：动手操作：（3）当ACD V 是等腰三角形，DA DC =时，如图，则50ACD A Ð=Ð=°，BCD Ð=∴100ACB ACD BCD Ð=Ð+=°∠当ACD V 是等腰三角形，DA AC =则65ACD ADC Ð=Ð=°，BCD Ð∴5065115ACB Ð=°+°=°；当ACD V 是等腰三角形，CD AC =则1803ACD BCD B °-Ð=Ð=Ð=∴2603ACB ACD BCD Ð=+=∠∠当BCD △是等腰三角形，DB =则BDC BCD Ð=Ð，设BDC BCD x Ð=Ð=，则B Ð=则1802ACD B x Ð=Ð=°-，由题意得，180250x x °-+°=，230x °。
等腰三角形知识点+经典例题
第一讲等腰三角形【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.~作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形；.(2)∠B＝∠C；(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.(（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形中重要线段的性质…等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。
专题20 等腰三角形存在性问题巩固练习(基础)-冲刺2021年中考几何专项复习(解析版)
等腰三角形存在性问题巩固练习1．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝21cm，点P从点B出发沿BC以2cm/s的速度移动到点C；同时，点Q从点A出发沿AD以1cm/s的速度移动到点D；当点P运动到点C时点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为ts是否存在点P，使△DPQ是等腰三角形？如果存在，求出所有符合条件的t的值；如果不存在，请说明理由．【分析】先表示出PQ，PD，DQ，再分三种情况讨论计算即可．【解答】解：如图，过点Q作QE⊥⊥BC，由题意得，AQ＝t，PE＝BP﹣BE＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t，）∴DQ＝21﹣t，PC＝21﹣2t，QE＝12，（0＜t≤212在R t△PQE中，PQ2＝122+t2，在R t△PCD中，PD2＝（21﹣2t）2+122，∵△DPQ是等腰三角形，①当PQ＝PD时，即：122+t2＝（21﹣2t）2+122，∴t＝7或t＝21（舍）；②当PQ＝DQ时，即：122+t2＝21﹣t，此方程无解，③当PD＝DQ时，（21﹣2t）2+122＝21﹣t，∴此方程无解．即：t＝7时，△DPQ是等腰三角形．【点评】此题是矩形的性质，主要考查了勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是表示出PD，DQ，PQ．2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（m，0），B（n，0），点A位于点B的右侧，且m，n是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个根，与y轴交于C（0，3）．在抛物线上的对称轴上是否存在点P，使得△PAC 为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】解方程求得A 和B 的坐标，求得对称轴，当A 是直角顶点时，求得过A 于AC 垂直的直线与抛物线的对称轴的交点，然后判断是否是等腰三角形；同理当C 是直角顶点时利用相同的方法判断；当AC 是等腰三角形的底边时，求得AC 的中垂线与对称轴的交点，然后判断是否是直角三角形即可．【解答】解：解方程x 2+2x ﹣3＝0得x 1＝﹣3，x 2＝1，则A 的坐标是（1，0），B 的坐标是（﹣3，0）．抛物线的对称轴是x ＝﹣1．设AC 的解析式是y ＝kx +b ，则{k +b =0b =3， 解得：{k =−3b =3， 则直线AC 的解析式是y ＝﹣3x +3．当A 是直角顶点时，过A 且垂直于AC 的直线解析式设是y =13x +c ， 把A 代入得：13+c ＝0，解得：c =−13，则解析式是y =13x −13． 令x ＝﹣1，则y =−13−13=−23，则交点是（﹣1，−23）．到A 的距离是√(−1−1)2+(−23)2=2√103，AC =√32+12=√10， 则三角形不是等腰三角形；同理，当C 时直角时，过C 于AC 垂直的直线的解析式是y =13x +3，与对称轴x ＝﹣1的交点是（﹣1，83）．到C 的距离是√(−1−1)2+(83)2=103≠AC ，则不是等腰直角三角形；当P 是直角，即AC 是斜边时，AC 的中点是（12，32），过这点且与AC 垂直的直线的解析式是y =13x +86．当x ＝﹣1时，y =−13+86=1．则与对称轴的交点是（﹣1，1）．则到A 的距离是√(−1−1)2+12=√5．∵（√5）2+（√5）2＝（√10）2，∴P 的坐标是（﹣1，1）．【点评】本题考查了二次函数与x 轴的交点以及等腰直角三角形的判定，正确进行讨论是关键．3．如图，直线l 1与直线l 2：y =34x 相交于点A （2a +1，3），且与y 轴交于点B （0，6）． （1）求a 的值；（2）求直线l 1的函数关系式；（3）直线l 平行于y 轴，分别交直线l 1，l 2、x 轴于点M 、N 、P ，设点P 的横坐标为t （t ＞0，t ≠4），在y 轴上是否存在点F ，使得△FMN 为等腰直角三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把点A （2a +1，3）代入y =34x ，即可求得a 的值；（2）利用待定系数法即可求得直线l 1的函数关系式；（3）分别利用t 表示出M 、N 的坐标，可表示出MN ，分∠FMN 、∠FNM 和∠MFN 为直角三种情况，分别求得F 点的坐标，表示出FM 、FN ，分别得到关于m 的方程可求得m ．【解答】解：（1）∵直线l 2：y =34x 经过点A （2a +1，3），∴3=34（2a +1），解得a =32；（2）设直线l 1的函数关系式y ＝kx +b ，∵点A （4，3），点B （0，6）．∴{4k +b =3b =6， 解得{k =−34b =6．∴直线l 1的函数关系式y =−34x +6；（3）∵P （t ，0）（t ＞0，t ≠4），则M （t ，−34t +6），N （t ，34t ）， ∴MN ＝|−32t +6|， Ⅰ）当∠FMN ＝90°且△FMN 为等腰三角形时，F （0，−34t +6），∴FM ＝MN ，即：t ＝|−32t +6|， 解得：t =125或t ＝12，Ⅱ）同理当∠FNM ＝90°且△FMN 为等腰三角形时，F （0，34t ），∴FN ＝MN ，即：t ＝|−32t +6|，解得：t =125或t ＝12，Ⅲ）当∠MFN ＝90°且△FMN 为等腰三角形时，F （0，3），∴FM 2＝t 2+（34t ﹣3）2， FN 2＝t 2+（34t ﹣3）2，MN 2＝（−32t +6）2，∴MN 2＝FM 2+FN 2，∴t 2+（34t ﹣3）2+t 2+（34t ﹣3）2＝（−32t +6）2，整理可得78t 2+18t ﹣18＝0，解得t =127或t ＝﹣12（舍去）； 综上可知存在使得△FMN 为等腰直角三角形的点F ，此时t 的值为125或127或12．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式和等腰三角形的判定、勾股定理等知识点的综合应用．掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键，在（3）中利用t 表示出FN 、FM 和MN 得到关于t 的方程是解题的关键，注意分类讨论思想和方程思想的应用．4．如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点A （−94，0），点C （0，3），点B 是x 轴上一点（位于点A 的右侧，以AB 为直径的圆恰好经过点C ）（1）求证△AOC ∽△COB ；（2）已知抛物线y ＝ax 2+bx +3经过A 、B 两点，求抛物线的解析式；（3）线段BC 上是否存在D ，使△BOD 为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可以得到∠ACB 是直角，再根据相似三角形的判定方法证明即可．（2）利用三角形相似求出点B 的坐标，然后根据A ，B 两点的坐标，重新假设抛物线的解析式，代入点C 坐标求出a 即可．（3）分别以OB 为底边和腰求出等腰三角形中点D 的坐标．【解答】（1）证明：∵以AB 为直径的圆恰好经过 点C ，∴∠ACB ＝90°，∵∠AOC ＝∠BOC ＝90°，∴∠ACO +∠BCO ＝90°，∠BCO +∠CBO ＝90°，∴∠ACO ＝∠CBO ，∴△△AOC ∽△COB ．（2）∵△AOC ∽△COB ，∴OC 2＝AO •OB ，∵A （−94，0），点C （0，3），∴AO =94，OC ＝3，又∵CO 2＝AO •OB ，∴32=94OB ，∴OB ＝4，∴B （4，0），∵抛物线经过B （4，0），A （−94，0），可以假设抛物线为y ＝a （x ﹣4）（x +94），把（0，3）代入得a =−13 ∴y =−13x 2+712x +3．（3）①OD ＝DB ，如图：D 在OB 的中垂线上，过D 作DH ⊥OB ，垂足是H ，则H 是OB 中点．ⅤDH =12OC ，OH =12OB ，∴D （2，32），②BD ＝BO ，如图：过D 作DG ⊥OB ，垂足是G ，∴BG OB =BD CB =DG OC ， ∵OB ＝4，CB ＝5，∴BD ＝OB ＝4，∴CD CB =15，∴BG 4=45=DG 3， ∴BG =165，DG =125， ∴OG ＝BO ﹣BG =45，∴D （ 45，125）．【点评】本题考查的是二次函数的综合题、圆的有关性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．5．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（3，1），动点A以每秒1个单位的速度从点O出发沿x轴正半轴运动，同时动点B以每秒2个单位的速度从点O出发沿y轴正半轴运动，作直线AB．设运动的时间为t秒，是否存在t，使△ABC是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【分析】运动的时间是t，则OA＝t，OB＝2t，利用勾股定理把AB2，BC2和AC2用t表示出来，然后利用勾股定理列方程求得t的值，然后判断t是否满足条件，以及是否是等腰三角形即可．【解答】解：运动的时间是t，则OA＝t，OB＝2t．在直角△OAB中，AB2＝OA2+OB2＝t2+（2t）2＝5t2，过C作CD⊥x轴于点D，则D的坐标是（3，0）．在直角△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝1+（3﹣t）2＝t2﹣6t+10，BC2＝32+（2t﹣1）2＝4t2﹣4t+10，当AB是斜边时，AB2＝AC2+BC2，则5t2＝t2﹣6t+10+4t2﹣4t+10，解得：t＝2．此时AB2＝20，AC2＝2，BC2＝18，此时不是等腰三角形，故不符合条件；当AC是斜边时，AC2＝AB2+BC2，则t2﹣6t+10＝5t2+（4t2﹣4t+10），解得：t＝0或﹣4（不符合题意，舍去）；当BC是斜边时，AB2+AC2＝BC2，则5t2+（t2﹣6t+10）＝4t2﹣4t+10，解得：t＝0（舍去），或1．当t＝1时，AB2＝5，AC2＝1﹣6+10＝5，此时AB＝AC．总之，当t＝1时，△ABC是等腰直角三角形．【点评】本题考查了一次函数与勾股定理的综合应用，正确进行讨论，利用m表示出AB2，BC2和AC2是关键．6．如图，直线y＝7x+7交x轴于点A，交y轴于点B．（1）S△AOB；（2）第一象限内是否存在点C，使△ABC为等腰直角三角形且∠ACB＝90°？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由直线解析式，分别令x 与y 为0求出y 与x 的值，确定出A 与B 坐标，进而求出OA 与OB 的长，即可求出三角形AOB 面积；（2）第一象限内存在点C ，使△ABC 为等腰直角三角形且∠ACB ＝90°，理由为：设C （x ，y ）（x ＞0，y ＞0），根据题意得BC 2＝AC 2，BC 2+AC 2＝AB 2，列出关于x 与y 的方程组，求出方程组的解得到x 与y 的值，即可确定出C 坐标．【解答】解：（1）对于直线y ＝7x +7，令x ＝0，得到y ＝7；令y ＝0，得到x ＝﹣1，∴A （﹣1，0），B （0，7），即OA ＝1，OB ＝7，则S △AOB =12OA •OB =72；（2）第一象限内存在点C ，使△ABC 为等腰直角三角形且∠ACB ＝90°，理由为：设C （x ，y ）（x ＞0，y ＞0），根据题意得：BC 2＝AC 2，BC 2+AC 2＝AB 2，即{(−1−x)2+y 2=x 2+(y −7)2(−1−x)2+y 2+x 2+(y −7)2=12+72， 解得：{x =3y =3． 此时C （3，3）．【点评】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，两点间的距离公式，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．7．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线l 1过点A （1，0）且与y 轴平行，直线l 2过点B （0，2）且与x 轴平行，直线l 1与l 2相交于P ．点E 为直线l 2上一点，反比例函数y =k x （k ＞0）的图象过点E 且与直线l 1相交于点F ．（1）若点E 与点P 重合，求k 的值；（2）连接OE 、OF 、EF ，若△OEF 的面积为△PEF 面积的2倍，求点E 的坐标；（3）当k ＞2时，在y 轴上是否存在一点G ，使△FEG 是等腰直角三角形？如果存在，求出G 点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）利用待定系数法即可解决．（2）分两种情形列方程解决问题：①如图2中，当E 在P 右边时，作EM ⊥x 轴于M ．设E （m ，2）则F （1，2m ），②如图3中，当E 在P 左边时，作EM ⊥x 轴于M ．设E （m ，2）则F （1，2m ），（3）分四种情形①如图4中，当E 在P 右边时，∠FEG ＝90°，EF ＝EG ，设E （m ，2），则F （1，2m ），②如图5中，当E 在P 右边时，∠GFE ＝90°，FG ＝FE ，作FM ⊥y 轴于M ．设E （m ，2），则F （1，2m ），③如图6中，当E在P左边时，∠FEG＝90°，EG＝EF．设E（m，2），则F（1，2m），④如图7中，当E在P 左边时，∠EFG＝90°，EF＝FG，作GM⊥PA于M．设E（m，2），则F（1，2m），利用全等三角形的性质，列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，由题意P（1，2），把P（1，2）代入y=kx得到，k＝2，∴k的值为2．（2）①如图2中，当E在P右边时，作EM⊥x轴于M．设E（m，2）则F（1，2m），∵S△OEF＝S△AOF+S梯形AMEF﹣S△OEM，S△AOF＝S△EOM，∴S△OEF＝S梯形AMEF，∵S△EOF＝2S△PEF，∴2+2m2•（m﹣1）＝2×12×（m﹣1）（2m﹣2），∴m＝3，此时E（3，2）②如图3中，当E在P左边时，作EM⊥x轴于M．设E（m，2）则F（1，2m），同理可得，2+2m2×（1﹣m）＝2×12（1﹣m）×（2﹣2m），∴m=13，此时E（13，2）综上所述，当E（3，2）或（13，2）时，△OEF的面积为△PEF面积的2倍．（3）如图4中，①当E在P右边时，∠FEG＝90°，EF＝EG，设E（m，2），则F（1，2m），∵∠EPF＝∠EBG，EF＝EG，∠FEP＝∠BEG，∴△FEP≌△EGB，∴PF＝BE，BG＝PE，∴m＝2m﹣2，∴m＝2，∴BG＝PE＝1，∴G（0，1）．②如图5中，当E在P右边时，∠GFE＝90°，FG＝FE，作FM⊥y轴于M．设E（m，2），则F（1，2m），由△FPE ≌△FMG ，得到FM ＝PF ，MG ＝PE ，∴2m ﹣2＝1，∴m =32，∴PE ＝MG =12，BG =12，∴G （0，52）．③如图6中，当E 在P 左边时，∠FEG ＝90°，EG ＝EF ．设E （m ，2），则F （1，2m ），由△EFP ≌△GEB ，得到，EB ﹣PF ，BG ＝PE ，∴m ＝2﹣2m ，∴m =13， ∴BG ＝PE =23，OG =43， ∴G （0，43）．∵k ＞2，此时E （13，2），不符合题意．④如图7中，当E 在P 左边时，∠EFG ＝90°，EF ＝FG ，作GM ⊥PA 于M ．设E （m ，2），则F （1，2m ），由△EFP≌△FGM得到PE＝FM，PF＝GM，∴2﹣2m＝1，，∴m=12，∴BG＝PF+FM=32∴OG=1，2），∴G（0，12，2），不符合题意；∵k＞2，此时E（12综上所述，满足条件的点G左边为（0，1）或（0，5）．2【点评】本题考查反比例函数综合题、待定系数法、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形的面积，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．8．如图，将抛物线y＝x2向右平移a个单位长度，顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形．（1）求a的值；（2）在图中的抛物线上是否存在点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求S；若不存在，请说明理由．△ABC【分析】（1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式y＝x2﹣2ax+a2，令其x＝0找出点B的坐标，根据△AOB 为等腰直角三角形即可得出关于a 的一元二次方程，解方程即可求出a 值；（2）作点B 关于抛物线对称轴对称的点C ，连接BC ，交抛物线的对称轴于点D ，根据等腰直角三角形的判定定理找出△ABC 为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B 的坐标即可得出点C 的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出S △ABC 的值．【解答】解：（1）平移后的抛物线的解析式为y ＝（x ﹣a ）2＝x 2﹣2ax +a 2，令y ＝x 2﹣2ax +a 2中x ＝0，则y ＝a 2，∴B （0，a 2）．∵△AOB 为等腰直角三角形，∴a ＝a 2，解得：a ＝1或a ＝0（舍去）．故a 的值为1．（2）作点B 关于抛物线对称轴对称的点C ，连接BC ，交抛物线的对称轴于点D ，如图所示．∵△AOB 为等腰直角三角形，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴∠BAD ＝45°．∵AD 为抛物线的对称轴，∴AB ＝AC ，∠CAD ＝∠BAD ＝45°，∴△ABC 为等腰直角三角形．∵点B （0，1），抛物线对称轴为x ＝1，∴点C 的坐标为（2，1）． S △ABC =12AB •AC =12×√2×√2=1．故在图中的抛物线上存在点C ，使△ABC 为等腰直角三角形，点C 的坐标为（2，1）且S △ABC ＝1．【点评】本题考查了平移的性质、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a 的一元二次方程；（2）找出点C 的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C 的位置．9．如图，OA 、OB 的长分别是关于x 的方程x 2﹣12x +32＝0的两根，且OA ＞OB ，点P 在AB 上，且PB ＝3PA ．请解答下列问题：（1）求点P 的坐标．（2）求直线AB 的解析式；（3）在坐标平面内是否存在点Q ，使得以A 、P 、O 、Q 为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）首先解x 2﹣12x +32＝0，即可求得点A 与B 的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线AB 的解析式；首先过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，由PB ＝3PA ，利用平行线分线段成比例定理，即可求得AH 的长，则可求得点P 的横坐标，代入一次函数解析式，即可求得点P 的坐标；（2）利用（1）的解题结果即可；（3）分别从PQ ∥AO ，AQ ∥PO ，AP ∥OQ 去分析，利用函数解析式与两点间的距离公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵x 2﹣12x +32＝0，∴（x ﹣4）（x ﹣8）＝0，解得：x 1＝4，x 2＝8．∵OA 、OB 的长分别是关于x 的方程x 2﹣12x +32＝0的两根，且OA ＞OB ，∴OA ＝8，OB ＝4．∴A （﹣8，0），B （0，4）．设直线AB 的解析式为y ＝kx +b ，则{−8k +b =0b =4， 解得：{k =12b =4， ∴直线AB 的解析式为：y =12x +4．过点P 作PH ⊥x 轴于点H ．设P（x，y），∴AH＝|﹣8﹣x|＝x+8．∵PH∥y轴，∴APPB =13，∴AHHO =13，即x+8−x =13．解得x＝﹣6．∵点P在y=12x+4上，∴y=12×（﹣6）+4＝1．∴P（﹣6，1）．（2）由（1）知，直线AB的解析式为：y=12x+4；（3）存在．如图①，若PQ∥AO，过点Q作QG⊥AO于G，过点P作PH⊥AO于H，∵梯形OAPQ是等腰梯形，∴AH＝OG＝8﹣6＝2，QG＝PH＝1，∴点Q的坐标为（﹣2，1）；如图②，若AQ ∥PO ，∵OP 的解析式为：y =−16x ，设直线AQ 的解析式为：y =−16x +m ， ∵A （﹣8，0），∴−16×（﹣8）+m ＝0，解得：m =−43，∴直线AQ 的解析式为：y =−16x −43， 设点Q 的坐标为：（x ，−16x −43）， ∵梯形APOQ 是等腰梯形，∴PA ＝OQ ，∴x 2+（−16x −43）2＝[﹣8﹣（﹣6）]2+12， 整理得：37x 2+16x ﹣116＝0，即（37x ﹣58）（x +2）＝0，解得：x =5837或x ＝﹣2（舍去），∴y =−16×5837−43=−5937，∴点Q 的坐标为：（5837，−5937）； 如图③，若AP ∥OQ ，∵直线AP 的解析式为：y =12x +4，∴直线OQ 的解析式为：y =12x ，设点Q 的坐标为（x ，12x ），∵AQ ＝OP ，∴（x +8）2+（12x ）2＝12+（﹣6）2， 整理得：5x 2+64x +108＝0，即：（5x +54）（x +2）＝0，解得：x =−545或x ＝﹣2（舍去），∴y =12×（−545）=−275，∴点Q 的坐标为（−545，−275）．综上，点Q 的坐标为（﹣2，1）或（5837，−5937）或（−545，−275）．【点评】此题属于一次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式、平行线分线段成比例定理、因式分解法解一元二次方程以及等腰梯形的性质．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．10．如图，过点C （0，﹣2）的抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点M 坐标为（2，﹣3），过点C 作CB ∥x 轴交抛物线于点B ，点P 在线段BC 上，CP ＝m ．（1）求B 点坐标，并用含m 的代数式表示PB 的长；（2）点A ，Q 分别为x 轴和抛物线上的动点，若恰好存在以CP 为边，点A ，C ，P ，Q 为顶点的平行四边形，求出所有符合条件的点Q 坐标；（3）是否存在m 值，使△MBP 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的m 值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由C 与B 关于抛物线的对称轴x ＝2对称，C （0，﹣2），可得B 点坐标为（4，﹣2），那么BC ＝4，再根据PB ＝BC ﹣CP 可用含m 的代数式表示PB 的长；（2）分两种情况进行讨论：①当CP 为一边时，CP ∥AQ ，则点Q 为抛物线与x 轴的交点坐标；②当CP 为对角线时，根据平行四边形相对的两个顶点到另一条对角线的距离相等求解；（3）先由M 、B 、P 三点的坐标，利用两点间的距离公式求出MB 2＝5，MP 2＝（m ﹣2）2+1，BP ＝4﹣m ．再分三种情况进行讨论：①由MP ＝MB 列出方程（m ﹣2）2+1＝5，解方程求出m 的值；②由MP ＝BP 列出方程（m ﹣2）2+1＝（4﹣m ）2，解方程求出m 的值；③由BP ＝MB 列出方程（4﹣m ）2＝5，解方程求出m 的值．【解答】解：（1）∵C 与B 关于抛物线的对称轴x ＝2对称，C （0，﹣2），∴B 点坐标为（4，﹣2），∵CP ＝m ，∴PB ＝BC ﹣CP ＝4﹣m ；（2）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点M 坐标为（2，﹣3），∴y ＝a （x ﹣2）2﹣3，将C （0，﹣2）代入，得a （0﹣2）2﹣3＝﹣2，解得a =14， ∴y =14（x ﹣2）2﹣3，即y =14x 2﹣x ﹣2． ∴当y ＝0时，14（x ﹣2）2﹣3＝0，解得x ＝2±2√3，∴抛物线与x 轴的交点坐标为（2﹣2√3，0）或（2+2√3，0）．点P 在线段BC 上，CB ∥x 轴，当CP 为一边时，CP ∥AQ ，则点Q 坐标为（2﹣2√3，0）或（2+2√3，0）；所以符合条件的点Q 坐标坐标为（2﹣2√3，0）或（2+2√3，0）；（3）∵M（2，﹣3），B（4，﹣2），P（m，﹣2），∴MB2＝（4﹣2）2+（﹣2+3）2＝5，MP2＝（m﹣2）2+（﹣2+3）2＝（m﹣2）2+1，BP＝4﹣m．当△MBP为等腰三角形时，分三种情况：①如果MP＝MB，那么（m﹣2）2+1＝5，解得m1＝0，m2＝4（不合题意舍去），所以m＝0；，②如果MP＝BP，那么（m﹣2）2+1＝（4﹣m）2，解得m=114；所以m=114③如果BP＝MB，那么（4﹣m）2＝5，解得m1＝4−√5，m2＝4+√5（不合题意舍去），所以m＝4−√5；综上所述，所有符合条件的m值为0或11或4−√5．4【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的性质，平行四边形、等腰三角形的性质，综合性较强，难度适中．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．x+5与坐标轴交于A、B两点，直线L2：y＝﹣2x+10与坐标轴交于C、D两点，两直线11．已知直线L1：y=12交于点P．（1）求P点坐标；（2）判别△PAC的形状，并说明理由；（3）在x轴上是否存在点Q，使△PAQ是等腰三角形？若存在，请直接写出Q点的坐标．x+5和y＝﹣2x+10组成方程组，方程组的解就是交点坐标；【分析】（1）将y=12（2）根据系数的积的比为﹣1，判断出两直线垂直，得到△PAC为直角三角形．（3）过P作PE⊥x轴于E，E点坐标为（2，0），根据勾股定理求出PA的长，直接求出Q1，Q2，Q4，作GQ3⊥AP，求出GQ3解析式，得到Q3的坐标．【解答】解：如图：（1）将y =12x +5和y ＝﹣2x +10组成方程组得{y =12x +5y =−2x +10， 解得{x =2y =6， 可得P （2，6）．（2）∵L 1：y =12x +5的比例系数为k ，L 2：y ＝﹣2x +10的比例系数为﹣2， 可得12×（﹣2）＝﹣1，∴∠APC ＝90°，△PAC 为直角三角形．（3）过P 作PE ⊥x 轴于E ， E 点坐标为（2，0）．∵P （2，6），A （﹣10，0），∴PA =√62+122=6√5，∴可见，OQ 1＝6√5−10，Q 1（6√5−10，0），Q 2（﹣6√5−10，0），作GQ 3⊥AP ，设GQ 3解析式为y ＝﹣2x +b ，H 坐标为（﹣4，3），将H （﹣4，3）代入y ＝﹣2x +b 得，3＝﹣2×（﹣4）+b ，解得b ＝﹣5，∴y ＝﹣2x ﹣5，当y ＝0时，x =−52，Q 3（−52，0），Q 4（14，0）．【点评】本题考查了一次函数综合题，熟悉函数和方程的关系，充分利用图形，根据一次函数的特点，分别求出各点的坐标再计算．12．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，CD＝3，直线MN过点A，∠BAN＝∠DBC，点P是直线MN上的一个动点（不与点A重合），点E在射线AD上，满足∠PBE＝∠BDC，设PA＝x，（1）如图①，若点P在射线AN上．求线段DE的长（用含x的代数式表示）并直接写出x的取值范围；（2）如图②．若点P在射线AM上，求BPEP的值；（3）设直线PE交直线AB于点F，是否存在x的值，使△PAF为等腰三角形？若存在，直接写出x的值：若不存在，请说明理由．【分析】（1）如图①中，作BF⊥AN于F．只要证明△ABP∽△DBE，可得PAED =ABDB，即xDE=35，由此即可解决问题．（2）只要证明△ABD∽△PBE，可得ABPB =ADEP，推出PBEP=ABAD=34．（3）①如图①中，当FA＝FP时，由△ABE∽△ADB，可得BA2＝AE•AD，求出DE即可解决问题．②如图③当AP＝AF时，只要证明EB＝EF即可解决问题．【解答】解：（1）如图①中，作BF⊥AN于F．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠AFB＝90°，∵∠ABF+∠BAF＝90°，∠ADB+∠ABD＝90°，∠BAF＝∠ADB，∴∠ABF＝∠ABD＝∠PBE，∴∠PBF＝∠ABE，∴△PBF∽△EBA，∴PBBE =BFBA，∴∠BPF＝∠AEB，∠APB＝∠BED，∴PBBF =BEAB，∵∠ABF＝∠PBE，∴△ABF∽△EBP，∴∠EPB＝∠AFB＝90°＝∠BAE，∵∠ABP＝∠EBD，∠APB＝∠BED，∴△ABP∽△DBE，∴PAED =ABDB，∴xDE =35，∴DE=53x，∵点E在射线AD上，点P不与A重合，∴0＜53x≤4，∴0＜x≤125．（2）如图②中，由（1）可知∠BPE ＝90°，∵∠BAD ＝∠BPE ，∠ABD ＝∠PBE ，∴△ABD ∽△PBE ，∴AB PB =AD EP ， ∴PB EP =AB AD =34．（3）①如图①中，当FA ＝FP 时，∠FAP ＝∠FPA ，∵△PBE ∽ABD ，∴∠PAB ＝∠FEB ，∵∠AFP ＝∠BFE ，∴∠APF ＝∠FBE ，∴∠ABE ＝∠ADB ，∵∠BAE ＝∠BAD ，∴△ABE ∽△ADB ，∴BA 2＝AE •AD ，∴AE =94，DE ＝4−94=74，∵DE =53x ，∴53x =74，∴x=2120，∴PA=2120．②如图③中，当AP＝AF时，∵∠F＝∠F，∠FPB＝∠FAC，∴△FPB∽△FAC，∴FPAF =FBEF，∴FPFB =AFEF，∵∠F＝∠F，∴△FAP∽△FEB，∴∠FPA＝∠FBE，∵∠F＝∠APF，∴∠F＝∠ABE，∴EF＝EB，∵AE⊥BF，∴AF＝AB＝AP＝3，综上所述，当AP的值为2120或3时，△PAF是等腰三角形．【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．。
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等腰三角形基础练习题
一、填空题
1.一个等腰三角形可以是________三角形，________三角形，_________三角形.
2.一个等腰三角形底边上的_____、________和顶角的_________互相重合.
3.如图，已知AB=AC，∠1=∠2，BD=5cm.那么BC________.
4.如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，∠C=30°，BD=3cm，那么
BC=________.
5.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是________________.
6.三角形一个角的平分线垂直于对边，那么，这个三角形是_____________.
7.等边三角形两条中线相交所成的钝角的度数为_________.
8.已知等腰三角形一个角为75°，那么，其余两个角的度数是_________.
9.一个等腰三角形的周长是35cm，腰长是底边的2倍.那么腰长是，底边长是
_______.
10.如图，已知AB=AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于F点，过F点作DE∥BC，那么图中的等腰三角形有____个，它们是_________.
11.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，那么______AB，如果D 是AB的中点，那么____是等腰三角形，_______是等边三角形.
12.如图，已知△ABC的边AB、BC的垂直平分线DE、MN交于O点，那么有OA=___=______，如果OH⊥AC，H为垂足，那么直线OH是AC的________.
13.如图，已知AB=BC=CD=CE，∠CAE=25°，那么∠CEN=_______，∠MCE=_____.
14.已知等腰三角形顶角是底角的10倍，腰长为10cm，那么这个三角形腰上的高为______.
.15.在线段、角、等腰三角形、直角三角形中，轴对称图形是________.
二、选择题
1、如图1-4-21，已知∠ABC=∠C=72°，BD是△ABC的平分线，那么图中等腰三角形有（）.
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
2、如图，已知△ABC中，∠B=∠ACB，CD⊥AB于D，那么下列两角关系正确的是（）.
（A）∠A=∠B（B）∠A=∠ACD（C）∠A=∠DCB（D）∠A=2∠BCD 3.等腰三角形的两边长分别为8cm和6cm，那么它的周长为（）. （A）20cm（B）22cm（C）20cm或22cm（D）都不对4.如图，已知AB=AC，DE分别为AB、AC的中点，BE、CD交于G，AG的延长线交BC于F，那么图中全等三角形对数有（）.
（A）4对（B）5对（C）6对（D）7对
5.如图，AC=BC，∠1=∠2，那么AM是等腰三角形△ABC的（）. （A）顶角平分线（B）底角平分线（C）一腰的中线（D）底边上的中线
6.如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，AD、AE分别是BA、CA的延长线，∠D=20°，那么△DEA是（）.
（A）等腰三角形（B）等边三角形（C）等腰直角三角形（D）以上结论都不对7.如图，已知在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长是13cm，那么△ABC的周长是（）.
（A）11.5cm(B)13cm(C)16cm(D)19cm
8.下列图形中，不是轴对称图形的是（）.
（A）等边三角形（B）等腰直角三角形（C）线段（D）三角形的内角平分线
9.等腰三角形一底角的余角等于（）.
（A）顶角（B）顶角的2倍（C）底边高与一腰所成的角（D）一腰上的高与另一腰所成的角
10.如果三角形的三边a、b、c满足（a-b）(b-c)(c-a)=0，那么这个三角形是（）. （A）等腰三角形（B）直角三角形（C）等边三角形（D）锐角三角形
11.一个等腰三角形，但不是等边三角形，它的角平分线、高、中线总数共有（）.
（A）9条（B）7条（C）6条（D）5条
12.等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（）. （A）25°（B）40°（C）25°或40°（D）以上都不对13.等腰三角形一边长为2，周长为4+7，那么，这个等腰三角形腰长为（）.
（A）3.5+（B）2（C）3.52（D）以上都不对14.已知等腰三角形的一个外角等于70°，那么底角的度数是（）.
（A）110°（B）55°（C）35°（D）以上都不对
15.满足下列条件的图形是轴对称图形的是（）.
（A）全等的两个图形
（B）能互相重合的两个图形
（C）沿一条直线对折，能互相重合的两图形
（D）绕某点旋转180°后，能互相重合的两图形.
三、计算、证明题
1、如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∠ABC的平分线BD交AC于
D.
求：∠ADB和∠CDB的度数.
2、如图，已知AD⊥BC，垂足为D，△BDE和△ADC都是等腰直角三角形，CE=5cm，求AB的长.
3、如图，已知CE平分∠ACB，CE⊥DB.∠DAB=∠DBA，AC=18cm，△CDB的周长是28cm.求DB的长.
4、如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAD=30°，AD=AE
.求：∠EDC的度数.
5、如图，已知△ABC是等边三角形，在AC、BC上各取一点D、E，使AD=CE，AE，BD相交于O.求∠BOE的度数.
6、如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°,DE垂直平分AC，DE=2cm.求BC的长.
7、如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2.求证：AD⊥BC.
8、如图，已知△ABC是等边三角形，AD是∠BAC的平分线，△ADE是等边三角形.求证：BD=BE.
9.如图，已知在△ABC和△DBC中，∠1=∠2，∠3=∠4，E是BC上一点.
求证：∠5=∠6.
10.如图，已知AB=AC，∠ABD=∠ACD. 求证：AD垂直平分BC.
11.如图，已知在三角形ABC中，AB=AC，以AB，AC向上作等边三角形△ABD 和△ACE.求证：DE∥BC.
12.如图1-4-38,已知在△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，BD=CE,DE交BC于F.
求证：DF=EF.。