等腰三角形(基础)巩固练习
等腰三角形性质定理(基础)巩固练习含答案
【巩固练习】一.选择题1. 已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为( )A．16 B．17C．16或17D．10或122.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．50°B．80° C．50°或80°D．40°或65°3. 将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4. 已知实数x，y满足|x−4|+(y−8)2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对∆沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若5. 如图，D是AB边上的中点，将ABC∠度数是（）∠=︒，则BDFB50A．60° B．70° C．80° D．不确定6. （2016•滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50° B．51°C．51.5°D．52.5°二.填空题7．如图，△ABC中，D为AC边上一点，AD＝BD＝BC，若∠A＝40°，则∠CBD＝_____°．8.（2016•泰州）如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α=40°，则∠β等于．9. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若△ADE的周长为8cm，则AB ＝_________cm．10.在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将三角形的周长分成了15和18两个部分，则底边长BC= ．11. 如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB=BC，∠ACD=110°，则∠EAB=______度．12. 如图，△ABC的周长为32，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为 .三.解答题13．已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．14. 如图，DE是△ABC边AB的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E．AE平分∠BAC．设∠B=x（单位：度），∠C=y（单位：度）．请讨论当△ABC为等腰三角形时，∠B为多少度？15.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 上任意一点，过D 分别向AB ，AC 引垂线，垂足分别为E ，F ，CG 是AB 边上的高．DE ，DF ，CG 的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；【解析】注意分类讨论.2. 【答案】C ；【解析】解：如图所示，△ABC 中，AB=AC ．有两种情况：①顶角∠A=50°；②当底角是50°时，∵AB=AC，∴∠B=∠C=50°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°﹣50°﹣50°=80°，∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．故选：C ．3. 【答案】B ；4. 【答案】B ；【解析】根据题意得4080x y -⎧⎨-⎩＝＝,解得48x y =⎧⎨=⎩. （1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．故选B ．5. 【答案】C ；【解析】AD ＝DF ＝BD ，∠B ＝∠BFD ＝50°，BDF ∠＝180°－50°－50°＝80°.6. 【答案】D ；【解析】根据等腰三角形的性质推出∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB ，∠BDE=∠BED ，根据三角形的外角性质求出∠B=25°，由三角形的内角和定理求出∠BDE ，根据平角的定义即可求出选项．二.填空题7. 【答案】20；【解析】∠A ＝∠ABD ＝40°，∠BDC ＝∠C ＝80°，所以∠CBD ＝20°.8.【答案】20°；【解析】解：过点A 作AD ∥l 1，如图，则∠BAD=∠β．∵l 1∥l 2，∴AD ∥l 2，∵∠DAC=∠α=40°．∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠β=∠BAD=∠BAC ﹣∠DAC=60°﹣40°=20°．故答案为20°．9. 【答案】8；【解析】DE ＝DC ，AC ＝BC ＝BE ，△ADE 的周长＝AD ＋DE ＋AE ＝AC ＋AE ＝AB ＝8.10.【答案】9或13；【解析】解：设等腰三角形的底边长为x ，腰长为y ，则根据题意，得或，解得或，经检验，这两组解均能构成三角形，所以底边长为9或13．故答案为：9或13．11.【答案】40；【解析】解：∵AB=BC ，∴∠ACB=∠BAC∵∠ACD=110°∴∠ACB=∠BAC=70°∴∠B=∠40°，∵AE ∥BD ，∴∠EAB=40°，故答案为40．12.【答案】8；【解析】解：∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=DC ．∵AB+AC+BC=32，即AB+BD+CD+AC=32，∴AC+DC=16∴AC+DC+AD=24∴AD=8．故填8．三.解答题13.【解析】证明：ED ⊥BC ；延长ED ，交BC 边于H ，∵AB ＝AC ，AE ＝AD ．∴设∠B ＝∠C ＝x ，则∠EAD ＝2x ，∴∠ADE ＝1802902xx ︒-=︒-即∠BDH ＝90°－x∴∠B ＋∠BDH ＝x ＋90°－x ＝90°，∴∠BHD ＝90°，ED ⊥BC.14.【解析】 解：由题意可知，AC ≠BC ，若 AB=AC ，此时，x=y ，即：180-3x=x ，得：x=45°；若 AB=BC ，此时，2x=y ，即：180-3x=2x ，得：x=36°．∴当△ABC 为等腰三角形时，∠B 分别为45°或36°．15.【解析】解：CG=DE+DF．理由如下：如图，连接AD，∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴AB•CG=AC•DE+AB•DF，∴AB=AC，∴CG=DE+DF．。
等腰三角形练习题(含答案)
等腰三角形练习题(含答案)等腰三角形第1课时：等腰三角形的性质1.已知等腰三角形的一个底角为50°，则其顶角为80°。
2.如图，△ABC中，AB=AC，BC=6cm，AD平分∠BAC，则BD=3cm。
3.如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为45°。
4.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为80°。
5.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB=AD=DC，∠BAD=40°，求∠C的度数为100°。
6.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE=AF。
证明：DE=DF。
第2课时：等腰三角形的判定1.在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，则△ABC为钝角三角形。
2.已知△ABC中，∠B=50°，∠A=80°，AB=5cm，则AC=5cm。
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD=DC，则△ABC为等腰三角形。
4.如图，已知△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD为∠ABC的平分线，则图中共有2个等腰三角形。
5.如图，D是△XXX的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且DE=DF。
证明：AB=AC。
6.如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G。
证明：△EFG是等腰三角形。
等边三角形第1课时：等边三角形的性质与判定1.如图，a∥b，等边△ABC的顶点B，C在直线b上，则∠1的度数为60°。
2.在△ABC中，∠A=60°，现有下面三个条件：①AB=AC；②∠B=∠C；③∠A=∠B。
能判定△ABC为等边三角形的有条件①、②、③。
3.如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，若AB=4，则AD=2.4.如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，连接AD交BC于点E，求∠BAD的度数为75°。
等腰三角形与直角三角形练习题
等腰三角形与直角三角形练习题一、等腰三角形练习题（一）基础巩固1、已知等腰三角形的一个内角为 80°，则它的另外两个内角分别是多少度？解：当 80°的角为顶角时，底角的度数为：（180° 80°）÷ 2 ＝ 50°，所以另外两个内角分别是 50°，50°。
当 80°的角为底角时，顶角的度数为：180° 80°× 2 ＝ 20°，所以另外两个内角分别是 80°，20°。
2、等腰三角形的两边长分别为 6 和 8，则其周长是多少？解：当腰长为 6 时，三边长分别为 6，6，8，因为 6 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时周长为 6 ＋ 6 ＋ 8 ＝ 20。
当腰长为 8 时，三边长分别为 8，8，6，因为 8 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时周长为 8 ＋ 8 ＋ 6 ＝ 22。
综上，其周长为 20 或 22。
3、一个等腰三角形的周长为 20，其中一边长为 8，求另外两边的长。
解：当 8 为腰长时，底边长为 20 8× 2 ＝ 4，因为 8 ＋ 4＞8，所以能组成三角形，此时另外两边长分别为 8，4。
当 8 为底边时，腰长为(20 8)÷ 2 ＝ 6，因为 6 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时另外两边长分别为 6，6。
（二）能力提升1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的度数为多少？解：当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角为 60°。
当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的外角为 60°，所以顶角为 120°。
综上，顶角的度数为 60°或 120°。
2、如图，在△ABC 中，AB ＝ AC，D 是 BC 边上的中点，∠B ＝30°，求∠1 和∠ADC 的度数。
等腰三角形的性质练习(含答案)
等腰三角形的性质一、基础能力平台1．选择题：（1）等腰三角形的底角与相邻外角的关系是（）A．底角大于相邻外角B．底角小于相邻外角C．底角大于或等于相邻外角D．底角小于或等于相邻外角（2）等腰三角形的一个内角等于100°，则另两个内角的度数分别为（）A．40°，40°B．100°，20°C．50°，50°D．40°，40°或100°，20°（3）等腰三角形中的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（）A．50°，50°，80°B．80°，80°，20°C．100°，100°，20°D．50°，50°，80°或80°，80°，20°（4）如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大15°，那么顶角为（）A．45°B．40°C．55°D．50°（5）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）A．顶角B．顶角的一半C．顶角的2倍D．底角的一半（6）已知：如图1所示，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A 的度数为（）A．30°B．45°C．36°D．72°（1）（2）（3）2．填空题：（1）如图2所示，在△ABC中，①因为AB=AC，所以∠________=∠______；②因为AB=AC，∠1=∠2，所以BD=_____，_____⊥______．（2）若等腰三角形的顶角与一个底角之和为110°，则顶角的度数为______．（3）已知等腰三角形的一个角是80°，则顶角为______．（4）在等腰三角形ABC中，一腰上的高是1cm，这条高与底边的夹角是450，则△ABC 的面积为________．（5）如图3所示，O为△ABC内一点，且OA=OB=OC，∠ABO=20°，∠BCO=30°，则∠CAO=______．3．等腰三角形两个内角的度数比为4：1，求其各个角的度数．4．如图，已知线段a和c，用圆规和直尺作等腰三角形ABC，使等腰三角形△ABC•以a和c为两边，这样的三角形能作几个？ac5．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数．6．如图所示，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点．（1）AF与CD垂直吗？请说明理由；（2）在你接连BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个．（不要求说明理由）7．如图，在△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE．AH与2BD•相等吗？请说明理由．二、拓展延伸训练右下图是人字型层架的设计图，由AB、AC、BC、AD四根钢条焊接而成，其中A、B、C、D均为焊接点，且AB=AC，D为BC的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点D．如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接的点是（）A．AC和BC，焊接点B B．AB和AC，焊接点AC．AD和BC，焊接点D D．AB和AD，焊接点A三、自主探究提高如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，且DA=DB=DC．（1）已知∠A=30°，求∠ACB的度数；（2）已知∠A=40°，求∠ACB的度数；（3）试改变∠A的度数，计算∠ACB的度数，你有什么发现吗？答案：【基础能力平台】1．（1）B（2）A（3）D（4）D（5）B（6）C 2．（1）①B C•②DC（或BC）AD⊥BC（2）40°（3）80°或20°（4）12cm2（5）40°3．80°80•° 20°或120°30°30°4．略5．108°6．（1）略（2）①BE∥CD②AF•⊥BE③△ACF≌△ADF④∠BCF=∠EDF等7．说明△BCE≌△AHE，得AH=BC，由等腰三角形的“三线合一”性质得BC=2BD，所以AH=2BD【拓展延伸训练】C【自主探究提高】（1）∠ACB=90°（2）∠ACB=90°（3）猜想：不论∠A•等于多少度（小于90°），∠ACB总等于90°。
等腰三角形的巩固训练
等腰三角形的巩固训练学习目标：1、针对等腰三角形的性质、判定做以巩固训练，强化同学们对等腰三角形知识的扎实掌握。
2、通过训练提高同学们应用等腰三角形知识的熟练性，同时进一步训练同学们分析几何问题的方法和能力，规范几何问题分析思维的严谨重点：等腰三角形知识的熟练应用难点：同学们应用等腰三角形的知识训练严谨的分析问题的方法和思路一、自我基础训练1、△ABC 中，AB=AC ，∠A=∠C ，则∠B=_______．2、等腰直角三角形的斜边的长为2，则斜边上高线的长为________3、如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则图中等腰三角形有_______个．4、等腰△ABC 中，∠A=70°，则∠B 的度数是5、三角形三个内角度数之比为1:1:,2，则这个三角形是 三角形。
6、如图，已知AC ∥BD ，OA=OC ，则下列结论不一定成立的是（ ）A 、∠B=∠DB 、∠A=∠BC 、OA=OBD 、AD=BC7、下列命题中正确的是（ ）A 、等腰三角形中角的平分线平分对边并且垂直于对边B 、等腰三角形的顶角一定是锐角C 、两底角相等的三角形是等腰三角形D 、有一个角的平分线垂直于对边的三角形是等腰三角形8、如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 中点，下列结论中不正确的是（ ）A 、∠B=∠CB 、AD ⊥BC C 、AD 平分∠BAC D 、AB=2BD9、如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）A 、锐角三角形．B 、直角三角形．C 、钝角三角形．D 、不能确定．以上训练再次提醒我们：（1）等腰三角形的等边与等角的相对性；（2）等腰三角形中三线合一的使用和条件设置特点；（3）线段中垂线与等腰三角形的紧密结合。
二、能力提高训练1、如图，△ABC 中，AC=AD=BD ，∠DAC=80°，则∠B= 。
2、如图，已知OC 平分∠AOB ，CDOB ，若OD=3cm ，则CD= 。
1.5等腰三角形(1)学、巩固案
图1D C B A §1.5 等腰三角形的轴对称性（1）预习导学预习课本P 23 ——P 24 ，思考：1. 等腰三角形是否轴对称图形？对称轴是什么？2. 等腰三角形的两个底角有何数量关系？3. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高有何位置关系？三、问题探究1. 把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，你发现什么？结论：2. 根据等腰三角形是轴对称图形的性质，你能发现图1中哪些角、边相等吗？等腰三角形还有什么性质？结论： （简称 ）结论：几何语言：如图，∵AB=AC ∴ 理由是： ∵AB=AC 且AD 平分∠BAC ∴ ， 理由是： 。
∵AB=AC 且AD ⊥BC ∴ ， 理由是： 。
∵AB=AC 且BD=CD ∴ ， 理由是： 。
321D B A 1DA例1. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，且AD=BD 。
找出图中相等的角并说明理由。
四、拓展延伸例2. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为40°。
求底角B 的大小。
五、检测反馈课本P 24 练习1、2、3 、P 24 4如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且AD=BD=BC ，求∠A 的度数。
六、学后记1. 等腰三角形的对称轴是什么？2. 等腰三角形有何性质。
随堂练习1.（1）如果等腰三角形的周长为10，底边长为4，那么腰长为。
（2）如果等腰三角形的周长为10，腰长为4，那么底边长为。
（3）如果等腰三角形的周长为12，一边长为5，那么另两边长分别为。
2. 在等腰三角形ABC中，∠A=4∠B.（1）若∠A是顶角，则∠C= °（2）若∠A是底角，则∠C= °3. 在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D在AB上。
（1）如果CD是角平分线，那么∠BCD= °（2）如果CD是高，那么∠BCD= °（3）如果CD=AD ，那么∠BCD= °（4）如果CD=CB ，那么∠BCD= °4．如图，AB⊥AC，点D在BC的延长线上，且AB=AC=CD.（1）∠ACB= °，∠ADB= °（2）画∠ABD的平分线叫AD于点E，则∠AEB= °。
【精品】等腰三角形性质及判定 基础知识点练习题
等腰三角形性质及判定等腰三角形的性质知识点一：等腰三角形的定义1.等腰三角形的两边的长为3和5，则其周长为_____________2.等腰三角形的两边的长分别为2和4，则取周长为__________3.等腰三角形的周长为29，其中一边长为7，则它的底边长为________4.等腰三角形的一个角为40°，则其余角度为_____________5.等腰三角形的一个角为120°，则其余角为____________知识点二等边对等角6.△ABC中，AB=AC,∠B=70°，则∠A的度数是___________7.如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE,∠D=80°，则∠B的度数为_________。
第7题第8题第9题8.如图，在△ABC中，AB=AC,AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC=___________9.如图，△ABC中，AB=AC,∠B=40°，CD=AC,则∠DAC=_________，∠DAB=__________-10.如图，△ABC中，AB=AC,AE平分△ABC的外角∠DAC,求证：AE∥BC。
知识点三：等腰三角形的“三线合一”11.在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D，若AB=6，CD=4，则△ABC的周长为_________-12.在△ABC中，AB=AC,D为BC的中点，若∠BAD=20°，则∠C=_________13.如图，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证：DE=DF14.如图，已知AB=AC=AD,且AD∥BC，求证：∠C=2∠D15.在△ABC中，AC=AB,点D在AB上，BC=BD,∠ACD=15°，求∠B的度数。
16.如图，AB=AC=CD,AD=BD,求∠BAC的度数。
17.如图1.在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.(1)若∠A=50°，则∠DBC=__________,∠A= ,则∠DBC=____________(2)如图2，若∠BAC为钝角，猜想：∠DBC与∠BAC之间的数量关系，并给予证明。
专题20 等腰三角形存在性问题巩固练习(基础)-冲刺2021年中考几何专项复习(解析版)
等腰三角形存在性问题巩固练习1．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝21cm，点P从点B出发沿BC以2cm/s的速度移动到点C；同时，点Q从点A出发沿AD以1cm/s的速度移动到点D；当点P运动到点C时点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为ts是否存在点P，使△DPQ是等腰三角形？如果存在，求出所有符合条件的t的值；如果不存在，请说明理由．【分析】先表示出PQ，PD，DQ，再分三种情况讨论计算即可．【解答】解：如图，过点Q作QE⊥⊥BC，由题意得，AQ＝t，PE＝BP﹣BE＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t，）∴DQ＝21﹣t，PC＝21﹣2t，QE＝12，（0＜t≤212在R t△PQE中，PQ2＝122+t2，在R t△PCD中，PD2＝（21﹣2t）2+122，∵△DPQ是等腰三角形，①当PQ＝PD时，即：122+t2＝（21﹣2t）2+122，∴t＝7或t＝21（舍）；②当PQ＝DQ时，即：122+t2＝21﹣t，此方程无解，③当PD＝DQ时，（21﹣2t）2+122＝21﹣t，∴此方程无解．即：t＝7时，△DPQ是等腰三角形．【点评】此题是矩形的性质，主要考查了勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是表示出PD，DQ，PQ．2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（m，0），B（n，0），点A位于点B的右侧，且m，n是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个根，与y轴交于C（0，3）．在抛物线上的对称轴上是否存在点P，使得△PAC 为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】解方程求得A 和B 的坐标，求得对称轴，当A 是直角顶点时，求得过A 于AC 垂直的直线与抛物线的对称轴的交点，然后判断是否是等腰三角形；同理当C 是直角顶点时利用相同的方法判断；当AC 是等腰三角形的底边时，求得AC 的中垂线与对称轴的交点，然后判断是否是直角三角形即可．【解答】解：解方程x 2+2x ﹣3＝0得x 1＝﹣3，x 2＝1，则A 的坐标是（1，0），B 的坐标是（﹣3，0）．抛物线的对称轴是x ＝﹣1．设AC 的解析式是y ＝kx +b ，则{k +b =0b =3， 解得：{k =−3b =3， 则直线AC 的解析式是y ＝﹣3x +3．当A 是直角顶点时，过A 且垂直于AC 的直线解析式设是y =13x +c ， 把A 代入得：13+c ＝0，解得：c =−13，则解析式是y =13x −13． 令x ＝﹣1，则y =−13−13=−23，则交点是（﹣1，−23）．到A 的距离是√(−1−1)2+(−23)2=2√103，AC =√32+12=√10， 则三角形不是等腰三角形；同理，当C 时直角时，过C 于AC 垂直的直线的解析式是y =13x +3，与对称轴x ＝﹣1的交点是（﹣1，83）．到C 的距离是√(−1−1)2+(83)2=103≠AC ，则不是等腰直角三角形；当P 是直角，即AC 是斜边时，AC 的中点是（12，32），过这点且与AC 垂直的直线的解析式是y =13x +86．当x ＝﹣1时，y =−13+86=1．则与对称轴的交点是（﹣1，1）．则到A 的距离是√(−1−1)2+12=√5．∵（√5）2+（√5）2＝（√10）2，∴P 的坐标是（﹣1，1）．【点评】本题考查了二次函数与x 轴的交点以及等腰直角三角形的判定，正确进行讨论是关键．3．如图，直线l 1与直线l 2：y =34x 相交于点A （2a +1，3），且与y 轴交于点B （0，6）． （1）求a 的值；（2）求直线l 1的函数关系式；（3）直线l 平行于y 轴，分别交直线l 1，l 2、x 轴于点M 、N 、P ，设点P 的横坐标为t （t ＞0，t ≠4），在y 轴上是否存在点F ，使得△FMN 为等腰直角三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把点A （2a +1，3）代入y =34x ，即可求得a 的值；（2）利用待定系数法即可求得直线l 1的函数关系式；（3）分别利用t 表示出M 、N 的坐标，可表示出MN ，分∠FMN 、∠FNM 和∠MFN 为直角三种情况，分别求得F 点的坐标，表示出FM 、FN ，分别得到关于m 的方程可求得m ．【解答】解：（1）∵直线l 2：y =34x 经过点A （2a +1，3），∴3=34（2a +1），解得a =32；（2）设直线l 1的函数关系式y ＝kx +b ，∵点A （4，3），点B （0，6）．∴{4k +b =3b =6， 解得{k =−34b =6．∴直线l 1的函数关系式y =−34x +6；（3）∵P （t ，0）（t ＞0，t ≠4），则M （t ，−34t +6），N （t ，34t ）， ∴MN ＝|−32t +6|， Ⅰ）当∠FMN ＝90°且△FMN 为等腰三角形时，F （0，−34t +6），∴FM ＝MN ，即：t ＝|−32t +6|， 解得：t =125或t ＝12，Ⅱ）同理当∠FNM ＝90°且△FMN 为等腰三角形时，F （0，34t ），∴FN ＝MN ，即：t ＝|−32t +6|，解得：t =125或t ＝12，Ⅲ）当∠MFN ＝90°且△FMN 为等腰三角形时，F （0，3），∴FM 2＝t 2+（34t ﹣3）2， FN 2＝t 2+（34t ﹣3）2，MN 2＝（−32t +6）2，∴MN 2＝FM 2+FN 2，∴t 2+（34t ﹣3）2+t 2+（34t ﹣3）2＝（−32t +6）2，整理可得78t 2+18t ﹣18＝0，解得t =127或t ＝﹣12（舍去）； 综上可知存在使得△FMN 为等腰直角三角形的点F ，此时t 的值为125或127或12．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式和等腰三角形的判定、勾股定理等知识点的综合应用．掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键，在（3）中利用t 表示出FN 、FM 和MN 得到关于t 的方程是解题的关键，注意分类讨论思想和方程思想的应用．4．如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点A （−94，0），点C （0，3），点B 是x 轴上一点（位于点A 的右侧，以AB 为直径的圆恰好经过点C ）（1）求证△AOC ∽△COB ；（2）已知抛物线y ＝ax 2+bx +3经过A 、B 两点，求抛物线的解析式；（3）线段BC 上是否存在D ，使△BOD 为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可以得到∠ACB 是直角，再根据相似三角形的判定方法证明即可．（2）利用三角形相似求出点B 的坐标，然后根据A ，B 两点的坐标，重新假设抛物线的解析式，代入点C 坐标求出a 即可．（3）分别以OB 为底边和腰求出等腰三角形中点D 的坐标．【解答】（1）证明：∵以AB 为直径的圆恰好经过 点C ，∴∠ACB ＝90°，∵∠AOC ＝∠BOC ＝90°，∴∠ACO +∠BCO ＝90°，∠BCO +∠CBO ＝90°，∴∠ACO ＝∠CBO ，∴△△AOC ∽△COB ．（2）∵△AOC ∽△COB ，∴OC 2＝AO •OB ，∵A （−94，0），点C （0，3），∴AO =94，OC ＝3，又∵CO 2＝AO •OB ，∴32=94OB ，∴OB ＝4，∴B （4，0），∵抛物线经过B （4，0），A （−94，0），可以假设抛物线为y ＝a （x ﹣4）（x +94），把（0，3）代入得a =−13 ∴y =−13x 2+712x +3．（3）①OD ＝DB ，如图：D 在OB 的中垂线上，过D 作DH ⊥OB ，垂足是H ，则H 是OB 中点．ⅤDH =12OC ，OH =12OB ，∴D （2，32），②BD ＝BO ，如图：过D 作DG ⊥OB ，垂足是G ，∴BG OB =BD CB =DG OC ， ∵OB ＝4，CB ＝5，∴BD ＝OB ＝4，∴CD CB =15，∴BG 4=45=DG 3， ∴BG =165，DG =125， ∴OG ＝BO ﹣BG =45，∴D （ 45，125）．【点评】本题考查的是二次函数的综合题、圆的有关性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．5．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（3，1），动点A以每秒1个单位的速度从点O出发沿x轴正半轴运动，同时动点B以每秒2个单位的速度从点O出发沿y轴正半轴运动，作直线AB．设运动的时间为t秒，是否存在t，使△ABC是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【分析】运动的时间是t，则OA＝t，OB＝2t，利用勾股定理把AB2，BC2和AC2用t表示出来，然后利用勾股定理列方程求得t的值，然后判断t是否满足条件，以及是否是等腰三角形即可．【解答】解：运动的时间是t，则OA＝t，OB＝2t．在直角△OAB中，AB2＝OA2+OB2＝t2+（2t）2＝5t2，过C作CD⊥x轴于点D，则D的坐标是（3，0）．在直角△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝1+（3﹣t）2＝t2﹣6t+10，BC2＝32+（2t﹣1）2＝4t2﹣4t+10，当AB是斜边时，AB2＝AC2+BC2，则5t2＝t2﹣6t+10+4t2﹣4t+10，解得：t＝2．此时AB2＝20，AC2＝2，BC2＝18，此时不是等腰三角形，故不符合条件；当AC是斜边时，AC2＝AB2+BC2，则t2﹣6t+10＝5t2+（4t2﹣4t+10），解得：t＝0或﹣4（不符合题意，舍去）；当BC是斜边时，AB2+AC2＝BC2，则5t2+（t2﹣6t+10）＝4t2﹣4t+10，解得：t＝0（舍去），或1．当t＝1时，AB2＝5，AC2＝1﹣6+10＝5，此时AB＝AC．总之，当t＝1时，△ABC是等腰直角三角形．【点评】本题考查了一次函数与勾股定理的综合应用，正确进行讨论，利用m表示出AB2，BC2和AC2是关键．6．如图，直线y＝7x+7交x轴于点A，交y轴于点B．（1）S△AOB；（2）第一象限内是否存在点C，使△ABC为等腰直角三角形且∠ACB＝90°？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由直线解析式，分别令x 与y 为0求出y 与x 的值，确定出A 与B 坐标，进而求出OA 与OB 的长，即可求出三角形AOB 面积；（2）第一象限内存在点C ，使△ABC 为等腰直角三角形且∠ACB ＝90°，理由为：设C （x ，y ）（x ＞0，y ＞0），根据题意得BC 2＝AC 2，BC 2+AC 2＝AB 2，列出关于x 与y 的方程组，求出方程组的解得到x 与y 的值，即可确定出C 坐标．【解答】解：（1）对于直线y ＝7x +7，令x ＝0，得到y ＝7；令y ＝0，得到x ＝﹣1，∴A （﹣1，0），B （0，7），即OA ＝1，OB ＝7，则S △AOB =12OA •OB =72；（2）第一象限内存在点C ，使△ABC 为等腰直角三角形且∠ACB ＝90°，理由为：设C （x ，y ）（x ＞0，y ＞0），根据题意得：BC 2＝AC 2，BC 2+AC 2＝AB 2，即{(−1−x)2+y 2=x 2+(y −7)2(−1−x)2+y 2+x 2+(y −7)2=12+72， 解得：{x =3y =3． 此时C （3，3）．【点评】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，两点间的距离公式，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．7．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线l 1过点A （1，0）且与y 轴平行，直线l 2过点B （0，2）且与x 轴平行，直线l 1与l 2相交于P ．点E 为直线l 2上一点，反比例函数y =k x （k ＞0）的图象过点E 且与直线l 1相交于点F ．（1）若点E 与点P 重合，求k 的值；（2）连接OE 、OF 、EF ，若△OEF 的面积为△PEF 面积的2倍，求点E 的坐标；（3）当k ＞2时，在y 轴上是否存在一点G ，使△FEG 是等腰直角三角形？如果存在，求出G 点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）利用待定系数法即可解决．（2）分两种情形列方程解决问题：①如图2中，当E 在P 右边时，作EM ⊥x 轴于M ．设E （m ，2）则F （1，2m ），②如图3中，当E 在P 左边时，作EM ⊥x 轴于M ．设E （m ，2）则F （1，2m ），（3）分四种情形①如图4中，当E 在P 右边时，∠FEG ＝90°，EF ＝EG ，设E （m ，2），则F （1，2m ），②如图5中，当E 在P 右边时，∠GFE ＝90°，FG ＝FE ，作FM ⊥y 轴于M ．设E （m ，2），则F （1，2m ），③如图6中，当E在P左边时，∠FEG＝90°，EG＝EF．设E（m，2），则F（1，2m），④如图7中，当E在P 左边时，∠EFG＝90°，EF＝FG，作GM⊥PA于M．设E（m，2），则F（1，2m），利用全等三角形的性质，列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，由题意P（1，2），把P（1，2）代入y=kx得到，k＝2，∴k的值为2．（2）①如图2中，当E在P右边时，作EM⊥x轴于M．设E（m，2）则F（1，2m），∵S△OEF＝S△AOF+S梯形AMEF﹣S△OEM，S△AOF＝S△EOM，∴S△OEF＝S梯形AMEF，∵S△EOF＝2S△PEF，∴2+2m2•（m﹣1）＝2×12×（m﹣1）（2m﹣2），∴m＝3，此时E（3，2）②如图3中，当E在P左边时，作EM⊥x轴于M．设E（m，2）则F（1，2m），同理可得，2+2m2×（1﹣m）＝2×12（1﹣m）×（2﹣2m），∴m=13，此时E（13，2）综上所述，当E（3，2）或（13，2）时，△OEF的面积为△PEF面积的2倍．（3）如图4中，①当E在P右边时，∠FEG＝90°，EF＝EG，设E（m，2），则F（1，2m），∵∠EPF＝∠EBG，EF＝EG，∠FEP＝∠BEG，∴△FEP≌△EGB，∴PF＝BE，BG＝PE，∴m＝2m﹣2，∴m＝2，∴BG＝PE＝1，∴G（0，1）．②如图5中，当E在P右边时，∠GFE＝90°，FG＝FE，作FM⊥y轴于M．设E（m，2），则F（1，2m），由△FPE ≌△FMG ，得到FM ＝PF ，MG ＝PE ，∴2m ﹣2＝1，∴m =32，∴PE ＝MG =12，BG =12，∴G （0，52）．③如图6中，当E 在P 左边时，∠FEG ＝90°，EG ＝EF ．设E （m ，2），则F （1，2m ），由△EFP ≌△GEB ，得到，EB ﹣PF ，BG ＝PE ，∴m ＝2﹣2m ，∴m =13， ∴BG ＝PE =23，OG =43， ∴G （0，43）．∵k ＞2，此时E （13，2），不符合题意．④如图7中，当E 在P 左边时，∠EFG ＝90°，EF ＝FG ，作GM ⊥PA 于M ．设E （m ，2），则F （1，2m ），由△EFP≌△FGM得到PE＝FM，PF＝GM，∴2﹣2m＝1，，∴m=12，∴BG＝PF+FM=32∴OG=1，2），∴G（0，12，2），不符合题意；∵k＞2，此时E（12综上所述，满足条件的点G左边为（0，1）或（0，5）．2【点评】本题考查反比例函数综合题、待定系数法、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形的面积，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．8．如图，将抛物线y＝x2向右平移a个单位长度，顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形．（1）求a的值；（2）在图中的抛物线上是否存在点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求S；若不存在，请说明理由．△ABC【分析】（1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式y＝x2﹣2ax+a2，令其x＝0找出点B的坐标，根据△AOB 为等腰直角三角形即可得出关于a 的一元二次方程，解方程即可求出a 值；（2）作点B 关于抛物线对称轴对称的点C ，连接BC ，交抛物线的对称轴于点D ，根据等腰直角三角形的判定定理找出△ABC 为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B 的坐标即可得出点C 的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出S △ABC 的值．【解答】解：（1）平移后的抛物线的解析式为y ＝（x ﹣a ）2＝x 2﹣2ax +a 2，令y ＝x 2﹣2ax +a 2中x ＝0，则y ＝a 2，∴B （0，a 2）．∵△AOB 为等腰直角三角形，∴a ＝a 2，解得：a ＝1或a ＝0（舍去）．故a 的值为1．（2）作点B 关于抛物线对称轴对称的点C ，连接BC ，交抛物线的对称轴于点D ，如图所示．∵△AOB 为等腰直角三角形，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴∠BAD ＝45°．∵AD 为抛物线的对称轴，∴AB ＝AC ，∠CAD ＝∠BAD ＝45°，∴△ABC 为等腰直角三角形．∵点B （0，1），抛物线对称轴为x ＝1，∴点C 的坐标为（2，1）． S △ABC =12AB •AC =12×√2×√2=1．故在图中的抛物线上存在点C ，使△ABC 为等腰直角三角形，点C 的坐标为（2，1）且S △ABC ＝1．【点评】本题考查了平移的性质、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a 的一元二次方程；（2）找出点C 的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C 的位置．9．如图，OA 、OB 的长分别是关于x 的方程x 2﹣12x +32＝0的两根，且OA ＞OB ，点P 在AB 上，且PB ＝3PA ．请解答下列问题：（1）求点P 的坐标．（2）求直线AB 的解析式；（3）在坐标平面内是否存在点Q ，使得以A 、P 、O 、Q 为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）首先解x 2﹣12x +32＝0，即可求得点A 与B 的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线AB 的解析式；首先过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，由PB ＝3PA ，利用平行线分线段成比例定理，即可求得AH 的长，则可求得点P 的横坐标，代入一次函数解析式，即可求得点P 的坐标；（2）利用（1）的解题结果即可；（3）分别从PQ ∥AO ，AQ ∥PO ，AP ∥OQ 去分析，利用函数解析式与两点间的距离公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵x 2﹣12x +32＝0，∴（x ﹣4）（x ﹣8）＝0，解得：x 1＝4，x 2＝8．∵OA 、OB 的长分别是关于x 的方程x 2﹣12x +32＝0的两根，且OA ＞OB ，∴OA ＝8，OB ＝4．∴A （﹣8，0），B （0，4）．设直线AB 的解析式为y ＝kx +b ，则{−8k +b =0b =4， 解得：{k =12b =4， ∴直线AB 的解析式为：y =12x +4．过点P 作PH ⊥x 轴于点H ．设P（x，y），∴AH＝|﹣8﹣x|＝x+8．∵PH∥y轴，∴APPB =13，∴AHHO =13，即x+8−x =13．解得x＝﹣6．∵点P在y=12x+4上，∴y=12×（﹣6）+4＝1．∴P（﹣6，1）．（2）由（1）知，直线AB的解析式为：y=12x+4；（3）存在．如图①，若PQ∥AO，过点Q作QG⊥AO于G，过点P作PH⊥AO于H，∵梯形OAPQ是等腰梯形，∴AH＝OG＝8﹣6＝2，QG＝PH＝1，∴点Q的坐标为（﹣2，1）；如图②，若AQ ∥PO ，∵OP 的解析式为：y =−16x ，设直线AQ 的解析式为：y =−16x +m ， ∵A （﹣8，0），∴−16×（﹣8）+m ＝0，解得：m =−43，∴直线AQ 的解析式为：y =−16x −43， 设点Q 的坐标为：（x ，−16x −43）， ∵梯形APOQ 是等腰梯形，∴PA ＝OQ ，∴x 2+（−16x −43）2＝[﹣8﹣（﹣6）]2+12， 整理得：37x 2+16x ﹣116＝0，即（37x ﹣58）（x +2）＝0，解得：x =5837或x ＝﹣2（舍去），∴y =−16×5837−43=−5937，∴点Q 的坐标为：（5837，−5937）； 如图③，若AP ∥OQ ，∵直线AP 的解析式为：y =12x +4，∴直线OQ 的解析式为：y =12x ，设点Q 的坐标为（x ，12x ），∵AQ ＝OP ，∴（x +8）2+（12x ）2＝12+（﹣6）2， 整理得：5x 2+64x +108＝0，即：（5x +54）（x +2）＝0，解得：x =−545或x ＝﹣2（舍去），∴y =12×（−545）=−275，∴点Q 的坐标为（−545，−275）．综上，点Q 的坐标为（﹣2，1）或（5837，−5937）或（−545，−275）．【点评】此题属于一次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式、平行线分线段成比例定理、因式分解法解一元二次方程以及等腰梯形的性质．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．10．如图，过点C （0，﹣2）的抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点M 坐标为（2，﹣3），过点C 作CB ∥x 轴交抛物线于点B ，点P 在线段BC 上，CP ＝m ．（1）求B 点坐标，并用含m 的代数式表示PB 的长；（2）点A ，Q 分别为x 轴和抛物线上的动点，若恰好存在以CP 为边，点A ，C ，P ，Q 为顶点的平行四边形，求出所有符合条件的点Q 坐标；（3）是否存在m 值，使△MBP 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的m 值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由C 与B 关于抛物线的对称轴x ＝2对称，C （0，﹣2），可得B 点坐标为（4，﹣2），那么BC ＝4，再根据PB ＝BC ﹣CP 可用含m 的代数式表示PB 的长；（2）分两种情况进行讨论：①当CP 为一边时，CP ∥AQ ，则点Q 为抛物线与x 轴的交点坐标；②当CP 为对角线时，根据平行四边形相对的两个顶点到另一条对角线的距离相等求解；（3）先由M 、B 、P 三点的坐标，利用两点间的距离公式求出MB 2＝5，MP 2＝（m ﹣2）2+1，BP ＝4﹣m ．再分三种情况进行讨论：①由MP ＝MB 列出方程（m ﹣2）2+1＝5，解方程求出m 的值；②由MP ＝BP 列出方程（m ﹣2）2+1＝（4﹣m ）2，解方程求出m 的值；③由BP ＝MB 列出方程（4﹣m ）2＝5，解方程求出m 的值．【解答】解：（1）∵C 与B 关于抛物线的对称轴x ＝2对称，C （0，﹣2），∴B 点坐标为（4，﹣2），∵CP ＝m ，∴PB ＝BC ﹣CP ＝4﹣m ；（2）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点M 坐标为（2，﹣3），∴y ＝a （x ﹣2）2﹣3，将C （0，﹣2）代入，得a （0﹣2）2﹣3＝﹣2，解得a =14， ∴y =14（x ﹣2）2﹣3，即y =14x 2﹣x ﹣2． ∴当y ＝0时，14（x ﹣2）2﹣3＝0，解得x ＝2±2√3，∴抛物线与x 轴的交点坐标为（2﹣2√3，0）或（2+2√3，0）．点P 在线段BC 上，CB ∥x 轴，当CP 为一边时，CP ∥AQ ，则点Q 坐标为（2﹣2√3，0）或（2+2√3，0）；所以符合条件的点Q 坐标坐标为（2﹣2√3，0）或（2+2√3，0）；（3）∵M（2，﹣3），B（4，﹣2），P（m，﹣2），∴MB2＝（4﹣2）2+（﹣2+3）2＝5，MP2＝（m﹣2）2+（﹣2+3）2＝（m﹣2）2+1，BP＝4﹣m．当△MBP为等腰三角形时，分三种情况：①如果MP＝MB，那么（m﹣2）2+1＝5，解得m1＝0，m2＝4（不合题意舍去），所以m＝0；，②如果MP＝BP，那么（m﹣2）2+1＝（4﹣m）2，解得m=114；所以m=114③如果BP＝MB，那么（4﹣m）2＝5，解得m1＝4−√5，m2＝4+√5（不合题意舍去），所以m＝4−√5；综上所述，所有符合条件的m值为0或11或4−√5．4【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的性质，平行四边形、等腰三角形的性质，综合性较强，难度适中．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．x+5与坐标轴交于A、B两点，直线L2：y＝﹣2x+10与坐标轴交于C、D两点，两直线11．已知直线L1：y=12交于点P．（1）求P点坐标；（2）判别△PAC的形状，并说明理由；（3）在x轴上是否存在点Q，使△PAQ是等腰三角形？若存在，请直接写出Q点的坐标．x+5和y＝﹣2x+10组成方程组，方程组的解就是交点坐标；【分析】（1）将y=12（2）根据系数的积的比为﹣1，判断出两直线垂直，得到△PAC为直角三角形．（3）过P作PE⊥x轴于E，E点坐标为（2，0），根据勾股定理求出PA的长，直接求出Q1，Q2，Q4，作GQ3⊥AP，求出GQ3解析式，得到Q3的坐标．【解答】解：如图：（1）将y =12x +5和y ＝﹣2x +10组成方程组得{y =12x +5y =−2x +10， 解得{x =2y =6， 可得P （2，6）．（2）∵L 1：y =12x +5的比例系数为k ，L 2：y ＝﹣2x +10的比例系数为﹣2， 可得12×（﹣2）＝﹣1，∴∠APC ＝90°，△PAC 为直角三角形．（3）过P 作PE ⊥x 轴于E ， E 点坐标为（2，0）．∵P （2，6），A （﹣10，0），∴PA =√62+122=6√5，∴可见，OQ 1＝6√5−10，Q 1（6√5−10，0），Q 2（﹣6√5−10，0），作GQ 3⊥AP ，设GQ 3解析式为y ＝﹣2x +b ，H 坐标为（﹣4，3），将H （﹣4，3）代入y ＝﹣2x +b 得，3＝﹣2×（﹣4）+b ，解得b ＝﹣5，∴y ＝﹣2x ﹣5，当y ＝0时，x =−52，Q 3（−52，0），Q 4（14，0）．【点评】本题考查了一次函数综合题，熟悉函数和方程的关系，充分利用图形，根据一次函数的特点，分别求出各点的坐标再计算．12．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，CD＝3，直线MN过点A，∠BAN＝∠DBC，点P是直线MN上的一个动点（不与点A重合），点E在射线AD上，满足∠PBE＝∠BDC，设PA＝x，（1）如图①，若点P在射线AN上．求线段DE的长（用含x的代数式表示）并直接写出x的取值范围；（2）如图②．若点P在射线AM上，求BPEP的值；（3）设直线PE交直线AB于点F，是否存在x的值，使△PAF为等腰三角形？若存在，直接写出x的值：若不存在，请说明理由．【分析】（1）如图①中，作BF⊥AN于F．只要证明△ABP∽△DBE，可得PAED =ABDB，即xDE=35，由此即可解决问题．（2）只要证明△ABD∽△PBE，可得ABPB =ADEP，推出PBEP=ABAD=34．（3）①如图①中，当FA＝FP时，由△ABE∽△ADB，可得BA2＝AE•AD，求出DE即可解决问题．②如图③当AP＝AF时，只要证明EB＝EF即可解决问题．【解答】解：（1）如图①中，作BF⊥AN于F．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠AFB＝90°，∵∠ABF+∠BAF＝90°，∠ADB+∠ABD＝90°，∠BAF＝∠ADB，∴∠ABF＝∠ABD＝∠PBE，∴∠PBF＝∠ABE，∴△PBF∽△EBA，∴PBBE =BFBA，∴∠BPF＝∠AEB，∠APB＝∠BED，∴PBBF =BEAB，∵∠ABF＝∠PBE，∴△ABF∽△EBP，∴∠EPB＝∠AFB＝90°＝∠BAE，∵∠ABP＝∠EBD，∠APB＝∠BED，∴△ABP∽△DBE，∴PAED =ABDB，∴xDE =35，∴DE=53x，∵点E在射线AD上，点P不与A重合，∴0＜53x≤4，∴0＜x≤125．（2）如图②中，由（1）可知∠BPE ＝90°，∵∠BAD ＝∠BPE ，∠ABD ＝∠PBE ，∴△ABD ∽△PBE ，∴AB PB =AD EP ， ∴PB EP =AB AD =34．（3）①如图①中，当FA ＝FP 时，∠FAP ＝∠FPA ，∵△PBE ∽ABD ，∴∠PAB ＝∠FEB ，∵∠AFP ＝∠BFE ，∴∠APF ＝∠FBE ，∴∠ABE ＝∠ADB ，∵∠BAE ＝∠BAD ，∴△ABE ∽△ADB ，∴BA 2＝AE •AD ，∴AE =94，DE ＝4−94=74，∵DE =53x ，∴53x =74，∴x=2120，∴PA=2120．②如图③中，当AP＝AF时，∵∠F＝∠F，∠FPB＝∠FAC，∴△FPB∽△FAC，∴FPAF =FBEF，∴FPFB =AFEF，∵∠F＝∠F，∴△FAP∽△FEB，∴∠FPA＝∠FBE，∵∠F＝∠APF，∴∠F＝∠ABE，∴EF＝EB，∵AE⊥BF，∴AF＝AB＝AP＝3，综上所述，当AP的值为2120或3时，△PAF是等腰三角形．【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．。
(完整版)等腰三角形基础练习题
等腰三角形基础练习题一、填空题1.一个等腰三角形可以是________三角形，________三角形，_________三角形.2.一个等腰三角形底边上的_____、________和顶角的_________互相重合.3.如图，已知AB=AC，∠1=∠2，BD=5cm.那么BC________.4.如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，∠C=30°，BD=3cm，那么BC=________.5.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是________________.6.三角形一个角的平分线垂直于对边，那么，这个三角形是_____________.7.等边三角形两条中线相交所成的钝角的度数为_________.8.已知等腰三角形一个角为75°，那么，其余两个角的度数是_________.9.一个等腰三角形的周长是35cm，腰长是底边的2倍.那么腰长是，底边长是_______.10.如图，已知AB=AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于F点，过F点作DE∥BC，那么图中的等腰三角形有____个，它们是_________.11.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，那么______AB，如果D是AB的中点，那么____是等腰三角形，_______是等边三角形.12.如图，已知△ABC的边AB、BC的垂直平分线DE、MN交于O点，那么有OA=___=______，如果OH⊥AC，H为垂足，那么直线OH是AC的________.13.如图，已知AB=BC=CD=CE，∠CAE=25°，那么∠CEN=_______，∠MCE=_____.14.已知等腰三角形顶角是底角的10倍，腰长为10cm，那么这个三角形腰上的高为______..15.在线段、角、等腰三角形、直角三角形中，轴对称图形是________.二、选择题1、如图1-4-21，已知∠ABC=∠C=72°，BD是△ABC的平分线，那么图中等腰三角形有（）.（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个2、如图，已知△ABC中，∠B=∠ACB，CD⊥AB于D，那么下列两角关系正确的是（）.（A）∠A=∠B（B）∠A=∠ACD（C）∠A=∠DCB（D）∠A=2∠BCD 3.等腰三角形的两边长分别为8cm和6cm，那么它的周长为（）. （A）20cm（B）22cm（C）20cm或22cm（D）都不对4.如图，已知AB=AC，DE分别为AB、AC的中点，BE、CD交于G，AG的延长线交BC于F，那么图中全等三角形对数有（）.（A）4对（B）5对（C）6对（D）7对5.如图，AC=BC，∠1=∠2，那么AM是等腰三角形△ABC的（）. （A）顶角平分线（B）底角平分线（C）一腰的中线（D）底边上的中线6.如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，AD、AE分别是BA、CA的延长线，∠D=20°，那么△DEA是（）.（A）等腰三角形（B）等边三角形（C）等腰直角三角形（D）以上结论都不对7.如图，已知在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长是13cm，那么△ABC的周长是（）.（A）11.5cm(B)13cm(C)16cm(D)19cm8.下列图形中，不是轴对称图形的是（）.（A）等边三角形（B）等腰直角三角形（C）线段（D）三角形的内角平分线9.等腰三角形一底角的余角等于（）.（A）顶角（B）顶角的2倍（C）底边高与一腰所成的角（D）一腰上的高与另一腰所成的角10.如果三角形的三边a、b、c满足（a-b）(b-c)(c-a)=0，那么这个三角形是（）. （A）等腰三角形（B）直角三角形（C）等边三角形（D）锐角三角形11.一个等腰三角形，但不是等边三角形，它的角平分线、高、中线总数共有（）.（A）9条（B）7条（C）6条（D）5条12.等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（）. （A）25°（B）40°（C）25°或40°（D）以上都不对13.等腰三角形一边长为2，周长为4+7，那么，这个等腰三角形腰长为（）.（A）3.5+（B）2（C）3.52（D）以上都不对14.已知等腰三角形的一个外角等于70°，那么底角的度数是（）.（A）110°（B）55°（C）35°（D）以上都不对15.满足下列条件的图形是轴对称图形的是（）.（A）全等的两个图形（B）能互相重合的两个图形（C）沿一条直线对折，能互相重合的两图形（D）绕某点旋转180°后，能互相重合的两图形.三、计算、证明题1、如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∠ABC的平分线BD交AC于D.求：∠ADB和∠CDB的度数.2、如图，已知AD⊥BC，垂足为D，△BDE和△ADC都是等腰直角三角形，CE=5cm，求AB的长.3、如图，已知CE平分∠ACB，CE⊥DB.∠DAB=∠DBA，AC=18cm，△CDB的周长是28cm.求DB的长.4、如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAD=30°，AD=AE.求：∠EDC的度数.5、如图，已知△ABC是等边三角形，在AC、BC上各取一点D、E，使AD=CE，AE，BD相交于O.求∠BOE的度数.6、如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°,DE垂直平分AC，DE=2cm.求BC的长.7、如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2.求证：AD⊥BC.8、如图，已知△ABC是等边三角形，AD是∠BAC的平分线，△ADE是等边三角形.求证：BD=BE.9.如图，已知在△ABC和△DBC中，∠1=∠2，∠3=∠4，E是BC上一点.求证：∠5=∠6.10.如图，已知AB=AC，∠ABD=∠ACD. 求证：AD垂直平分BC.11.如图，已知在三角形ABC中，AB=AC，以AB，AC向上作等边三角形△ABD 和△ACE.求证：DE∥BC.12.如图1-4-38,已知在△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，BD=CE,DE交BC于F.求证：DF=EF.。
等腰三角形专项练习30题(有答案)OK
等腰三角形专项练习30题1．已知，如图，△ABC中，AB=AC，DE是AB的中垂线，点D在AB上，点E在AC上，若△ABC的周长为25cm，△EBC的周长为16cm，则AC的长度为（）A．16cm B．9cm C．8cm D．7cm2．在△ABC中，∠ABC=120°，若DE、FG分别垂直平分AB、BC，那么∠EBF为（）A．75°B．60°C．45°D．30°3．如图，AD=BC=BA，那么∠1与∠2之间的关系是（）A．∠1=2∠2 B．2∠1+∠2=180°C．∠1+3∠2=180°D．3∠1﹣∠2=180°4．如图，已知∠AOB=40°，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，CD交OA、OB于M、N两点，则∠MPN的度数是（）A．70°B．80°C．90°D．100°5．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°．∠BAC的平分线与线段AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是（）A．45°B．50°C．55°D．60°6．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（）A．B．C．D．7．如图所示，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC垂直平分BD；④BD平分∠ABC，其中正确的结论有（）A．①②B．①②③C．①②③④D．②③8．下列说法正确的是（）A．两个能重合的图形一定关于某条直线对称B．若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧C．到角两边距离相等的点在这个角的平分线上D．如果三角形一边的垂直平分线经过它的一个顶点，那么这个三角形一定是等腰三角形9．用一根长为a米的线围成一个等边三角形，测知这个等边三角形的面积为b平方米．现在这个等边三角形内任取一点P，则点P到等边三角形三边距离之和为（）米．A．B．C．D．10．在等腰直角△ABC（AB=AC≠BC）所在的三角形边上有一点P，使得△PAB，△PAC都是等腰三角形，则满足此条件的点有（）A．1个B．3个C．6个D．7个11．如图所示，在△ABC中，AB=AC，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点D，BD+CD=10cm，则AB的长为_________．12．如图，若等腰△ABC的腰长AB=10cm，AB的垂直平分线交另一腰AC于D，△BCD的周长为16cm，则底边BC是_________cm．13．已知实数x，y满足|x﹣4|+（y﹣8）2=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是_________．14．如图所示，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形有_________个．15．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=8，BC=5，则BD的长为_________．16．等腰△ABC的底边上高AD与底角平分线CE交于点P，EF⊥AD，F为垂足，则线段EB与线段EF的数量关系为_________．17．如图，在等腰在△ABC中，AB=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若在△BCE的周长为50，则底边BC的长为_________．18．等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，则这个三角形的腰长为_________．19．如图，已知D为等边三角形纸片ABC的边AB上的点，过点D作DG∥BC交AC于点G，DE⊥BC于点E，过点G作GF⊥BC于点F．把三角形纸片ABC分别沿DG，DE，GF按图示方式折叠，则图中阴影部分是_________三角形．20．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出一种情形）：_________．21．如图，已知等边△ABC边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°．求证：△AMN的周长等于2．22．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，说明：BC=DE+EF成立的理由．23．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．24．已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．25．如图，∠1=∠2，AB=AD，∠B=∠D=90°，请判断△AEC的形状，并说明理由．26．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：CF=CH；③判断△CFH的形状并说明理由．27．如图：△ABC是等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，求AD的长．28．如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F．（1）证明：∠CAE=∠CBF；（2）证明：AE=BF．29．如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA，AE=CD，AD与BE交于点P，BQ⊥AD于点Q，求证：BP=2PQ．30．如图，△ABE和△BCD都是等边三角形，且每个角是60°，那么线段AD与EC有何数量关系？请说明理由．参考答案：1．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵△ABC的周长为25cm，△EBC的周长为16cm，AC=AB，∴2AC+BC=25cm，BE+CE+BC=AE+EC+BC=AC+BC=16cm，即，解得：AC=9cm，故选B2．解：∵DE、FG分别垂直平分AB、BC，∴AE=BE，BF=CF，∴∠A=∠ABE，∠C=∠CBF，∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∠ABC=120°，∴∠A+∠C=60°，∴∠ABE+∠CBF=60°，∴∠EBF=120°﹣60°=60°，故选B3．解：∵AB=BC，∴∠1=∠BCA，∵AB=AD，∴∠B=∠2，∵∠1+∠B+∠ACB=180°，∴2∠1+∠2=180°．故选B4．解：∵P关于OA、OB的对称∴OA垂直平分PC，OB垂直平分PD∴CM=PM，PN=DN∴∠PMN=2∠C，∠PNM=2∠D，∵∠PRM=∠PTN=90°，∴在四边形OTPR中，∴∠CPD+∠O=180°，∴∠CPD=180°﹣40°=140°∴∠C+∠D=40°∴∠MPN=180°﹣40°×2=100°故选D．5．解：如图，延长AO交BC于点M，连接BO，∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣50°）÷2=65°，∵AO是∠BAC的平分线，∴∠BAO=25°，又∵OD是AB的中垂线，∴∠OBA=∠OAB=25°，∴∠OBM=∠OCM=60°﹣25°=40°，∴∠BOM=∠COM=90°﹣40°=50°，由折叠性可知，∠OCM=∠COE，∴∠MOE=∠COM﹣∠COE=50°﹣40°=10°，∴∠OEM=90°﹣10°=80°，∵由折叠性可知，∠OEF=∠CEF，∴∠CEF=（180°﹣80°）÷2=50°．故选：B6．解：设BM=x，CN=y则BP=2x，PC=2y，PM=x，PN=yAM+AN=2BC﹣（BM+CN）=3（x+y），故==≈0.7887．故选D7．解：在Rt△ABC和Rt△ADC中，AB=AD，AC=AC，所以Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．所以∠ACB=∠ACD，∠BAC=∠DAC，即AC平分∠BAD，CA平分∠BCD．故①②正确；在△ABD中，AB=AD，∠BAO=∠DAO，所以BO=DO，AO⊥BD，即AC垂直平分BD．故③正确；不能推出∠ABO=∠CBO，故④不正确．故选B8．解：A、两个能重合的图形不一定关于某条直线对称，故错误；B、两个图形关于某条直线对称，它们的对应点有可能位于对称轴上，故错误；C、同一平面内，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，故错误；D，正确，故选D9．解：等边三角形周长为a，则边长为，设P到等边三角形的三边分别为x、y、z，则等边三角形的面积为b=××（x+y+z）解得x+y+z=，故选C10．解：∵△ABC是等腰直角三角形，（AB=AC≠BC）所在的三角形边上有一点P，使得△PAB，△PAC都是等腰三角形，∴有一个满足条件的点﹣斜边中点，∴符合条件的点有1个．故选A．11．解：∵ED是边AB边上的中垂线，∴AD=BD；又∵BD+CD=10cm，AB=AC，∴BD+CD=AD+DC=AC=AB=10cm，即AB=10cm．故答案是：10cm12．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴BD+CD=AC，∵AB=AC=10cm，BD+CD+BC=AB+BC=16cm，∴BC=16﹣AB=16﹣10=6cm．故答案为：6cm13．解：根据题意得，x﹣4=0，y﹣8=0，解得x=4，y=8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4=8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长=4+8+8=20，所以，三角形的周长为20．故答案为：2014．解：∵将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上．∴EF∥DG，∠E=∠D=60°，∴∠ENM=∠D=60°，∠MGD=∠E=60°，∴EM=NM=EN，DM=GM=DG，∴△MEN，△MDG是等边三角形．∵∠A=∠B=30°，∴MA=MB，∴△ABM是等腰三角形．∴图中等腰三角形有3个15．解：延长BD与AC交于点E，∵∠A=∠ABD，∴BE=AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD，∴∠EBC=∠BEC，∴△BEC为等腰三角形，∴BC=CE，∵BE⊥CD，∴2BD=BE，∵AC=8，BC=5，∴CE=5，∴AE=AC﹣EC=8﹣5=3，∴BE=3，∴BD=1.5．故选A．16．解：延长EF交AC于点Q，∵EF⊥AD，AD⊥BC∴EQ∥BC∴∠QEC=∠ECB∵CE平分∠ACB∴∠ECB=QCE∴∠QEC=∠QCE∴QE=QC∵QE∥BC，且△ABC为等腰三角形∴△AQE为等腰三角形∴AQ=AE，QE=2EF∴BE=CQ=2EF．故答案为：BE=2EF．17．解：∵DE垂直且平分AB，∴BE=AE．由BE+CE=AC=AB=27，∴BC=50﹣27=2318．解：设AB=AC=2X，BC=Y，则AD=CD=X，∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成15和6两部分，∴有两种情况：1、当3X=15，且X+Y=6，解得，X=5，Y=1，∴三边长分别为10，10，1；2、当X+Y=15且3X=6时，解得，X=2，Y=13，此时腰为4，根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，而4+4=8＜13，故这种情况不存在．∴腰长只能是10．故答案为1019．解：∵三角形ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵根据题意知道点B和点C经过折叠后分别落在了点I和点H处，∴∠DIH=∠B=60°，∠GHI=∠C=60°，∴∠HJI=60°，∴∠DIH=∠GHI=∠HJI=60°，∴阴影部分是等边三角形，故答案为：等边．20．答：由①③条件可判定△ABC是等腰三角形．证明：∵∠EBO=∠DCO，∠EOB=∠DOC，（对顶角相等）BE=CD，∴△EBO≌△DCO，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形21．解：延长AC到E，使CE=BM，连接DE，（如图）∵BD=DC，∠BDC=120°，∴∠CBD=∠BCD=30°，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°，∴△BMD≌△CDE，∴∠BDM=∠CDE，DM=DE，又∵∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=60°，∴∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM，又∵DN=DN，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=NE=NC+CE=NC+BM，所以△AMN周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2．22．解：∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，∠C是直角，∴CD=DF，∠DBC=∠DBE，∠DFB=∠C，∴△BCD≌△BFD，∴BC=BF，∵DE∥BC，∴∠DBC=∠EDB，即∠DBC=∠DBE，∴△BDE是等腰三角形，∴BE=DE，∴BF=BC=DE+EF23．（1）证明：在等腰直角三角形ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°．又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°．∴∠BDE=45°．又∵BF∥AC，∴∠CBF=90°．∴∠BFD=45°=∠BDE．∴BF=DB．又∵D为BC的中点，∴CD=DB．即BF=CD．在△CBF和△ACD中，，∴△CBF≌△ACD（SAS）．∴∠BCF=∠CAD．又∵∠BCF+∠GCA=90°，∴∠CAD+∠GCA=90°．即AD⊥CF．（2）△ACF是等腰三角形，理由为：连接AF，如图所示，由（1）知：CF=AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，∴BE垂直平分DF，∴AF=AD，∵CF=AD，∴CF=AF，∴△ACF是等腰三角形．24．解：∵BP=PQ=QC=AP=AQ，∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°，∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ．又∵∠BAP+∠ABP=∠APQ，∠C+∠CAQ=∠AQP，∴∠BAP=∠CAQ=30°．∴∠BAC=120°．故∠BAC的度数是120°25．解：△AEC是等腰三角形．理由如下：∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠3，即∠BAC=∠DAE，又∵AB=AD，∠B=∠D，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴AC=AE．即△AEC是等腰三角形26．①证明：∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS）；②∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACH=60°．∴∠BCF=∠ACH，在△BCF和△ACH中，，∴△BCF≌△ACH（ASA），∴CF=CH；③∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等边三角形27．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；又∵AE=CD，在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD；∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；∵BQ⊥AD，∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°﹣60°=30°；∵PQ=3，∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；又∵PE=1，∴AD=BE=BP+PE=728．（1）证明：在等腰△ABC中，∵CH是底边上的高线，∴∠ACH=∠BCH，在△ACP和△BCP中，，∴△ACP≌△BCP（SAS），∴∠CAE=∠CBF（全等三角形对应角相等）；（2）在△AEC和△BFC中，∴△AEC≌△BFC（ASA），∴AE=BF（全等三角形对应边相等）．29．证明：∵AB=BC=CA，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，在△ABE和△CAD中∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE=∠CAD，∵∠BPQ=∠ABE+∠BAP，∴∠BPQ=∠CAD+∠BAP=∠CAB=60°，∵BQ⊥AD∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ．30．解：AD=EC．证明如下：∵△ABC和△BCD都是等边三角形，每个角是60°∴AB=EB，DB=BC，∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABE+∠EBC=∠DBC+∠EBC即∠ABD=∠EBC在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC（SAS）∴AD=EC。
【基础练习】《等腰三角形》(数学沪科版八上)【含答案】
15.3 《等腰三角形》基础练习第 1 课时《等腰三角形的性质定理及推论》一、选择题1．已知等腰三角形的顶角为40°，则这个等腰三角形的底角为（）A．40°B．70°C． 100 °D．140 °2．若等腰三角形中有两边长分别为 2 和5，则这个三角形的第三条边长为（）A．2 或5B． 3C． 4D． 53．如图，AB∥ CD， AD=CD，∠ 1=65 °，则∠ 2 的度数是（）A．50°B．60°C． 65°D．70°4．如图， AD，CE分别是△ ABC的中线和角均分线．若AB=AC，∠ CAD=20°，则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C． 40°D． 70°5．若实数 m、n 知足等式 |m ﹣ 2|+=0，且 m、 n 恰巧是等腰△ ABC 的两条边的边长，则△ ABC的周长是（）A．12B．10C．8 D．66．若等腰三角形的一个外角等于140 °，则这个等腰三角形的顶角度数为（）A．40°B．100 °C． 40°或 70°D． 40°或 100 °7．如图，已知DE∥ BC， AB=AC，∠ 1=125 °，则∠ C 的度数是（）A．55°B．45°C． 35°D． 65°8．如图，△ ABC中， AD⊥ BC， AB=AC，∠ BAD=30°，且 AD=AE，则∠ EDC等于（）A．10°B． 12.5 °C． 15°D． 20°二、填空题9．等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为．10．一个等腰三角形的两边长分别为4cm 和 9cm ，则它的周长为cm．11．已知等腰三角形的一个外角为130 °，则它的顶角的度数为．12．如图，△ ABC中．点 D 在 BC边上， BD=AD=AC， E 为 CD 的中点．若∠CAE=16°，则∠ B 为度．13．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特点值”，记作k，若 k=，则该等腰三角形的顶角为度．三、解答题14．如图，点D、 E 在△ ABC 的 BC 边上， AB=AC，AD=AE．求证： BD=CE．15．如图，△ ABC是等边三角形，BD 是中线，延伸BC 至 E，CE=CD，（1）求证： DB=DE．（2）在图中过 D 作 DF⊥ BE交 BE于 F，若 CF=4，求△ ABC 的周长．第2课时一、选择题1．以以下各组数据为边长，能够组成等腰三角形的是（）A．1， 1， 2B． 1，1，3C． 2，2， 1D． 2，2，52．在△ABC 中，其两个内角以下，则能判断△ABC为等腰三角形的是（）A．∠ A=40°，∠ B=50B．∠ A=40°，∠ B=60°C．∠ A=40°，∠ B=70D．∠ A=40°，∠ B=80°AB 于点E，3．如图，在△ABC中，∠ A=36°，∠ C=72°，点 D 在AC 上， BC=BD， DE∥ BC交则图中等腰三角形共有（）A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个4．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A， B 是两格点，假如 C 也是图中C 的个数是（）的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点A．6B． 8C．9D．105．以下条件中，不可以判断△ABC 是等腰三角形的是（）A．a=3，b=3 ，c=4B． a： b： c=2： 3： 4C．∠ B=50°，∠ C=80°D．∠ A：∠ B：∠ C=1： 1：26．已知△ ABC 的三条边长分别为3，4，6，在△ ABC所在平面内画一条直线，将△ABC切割成两个三角形，使此中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5 条B．6 条C．7 条D．8 条7．以下三角形，不必定是等边三角形的是（）A．有两个角等于60°的三角形B．有一个外角等于120 °的等腰三角形C．三个角都相等的三角形D．边上的高也是这边的中线的三角形8．如图， A、B 两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为 1 的正方形，点 C 也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则切合条件是点C共有（）个．A．8B．9C． 10D． 11二、填空题9．如图，在△ABC中，∠ ACB=90°，∠ BAC=40°，在直线 AC上找点 P，使△ ABP 是等腰三角形，则∠ APB的度数为．10．如图已知OA=a， P 是射线 ON 上一动点，∠ AON=60°，当 OP=时，△ AOP为等边三角形．11．如图，在3× 3 的网格中有A、B 两点，任取一个格点E，则知足△EAB是等腰三角形的点 E 有个．12．在△ ABC中，∠ A=80°，当∠ B= 13．如图，以下 4 个三角形中，均有这个三角形分红两个小等腰三角形的是时，△ ABC 是等腰三角形．AB=AC，则经过三角形的一个极点的一条直线不可以够将（填序号）．三、解答题14．如图， BD 是△ ABC的角均分线，DE∥ BC 交 AB 于点 E．（1）求证： BE=DE；（2）若 AB=BC=10，求 DE 的长．15．已知：如图，AB=AC，∠ ABD=∠ ACD，求证： BD=CD．第3课时一、选择题1．如图∠ AOP=∠ BOP=15°， PC∥ OA， PD⊥ OA，若 PC=10，则 PD 等于（）A．10B．C． 5D．2.52．如图，在Rt△ ABC中，∠C=90°， AB=2BC，则∠A=（）A．15°B． 30°C． 45°D． 60°3．如图，在Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ A=30°， BC=4cm，则 AB 等于（）A．9 cm B． 8 cm C． 7cm D． 6cm4．如图，在等边△ABC中，BD 均分∠ABC交AC于点D，过点D 作 DE⊥BC于点E，且AB=6，则 EC的长为（）A 3B 4.5C 1.5D 7.55．△ ABC中，∠A：∠ B：∠ C=1： 2： 3，最小边BC=3cm，则最长边AB 的长为（）A．9cm B． 8cm C． 7cm D． 6cm6．如图，在△ABC中，∠ ACB=90°， CD是高，∠A=30°，AB=8，则BD=（）A．2B．3C． 4D．67．某市为了美化环境，计划在以下图的三角形空地上栽种草皮，已知这类草皮每平方米售价为 a 元，则购置这类草皮起码需要（）A．450a 元B． 225a 元C．150a 元D． 300a 元8．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=6m，∠ A=30°，则 DE等于（）A．1.5m B． 2m C． 2.5m D． 3m二、填空题9．在 Rt△ ABC中，∠ A=30°，∠ B=90°， AC=10，则 BC=10．如图，在△A BC 中，∠ ACB=90°，∠ A=30°，以点 C 为圆心， CB 长为半径作圆弧，交AB 于点 D，若 CB=4，则 BD 的长为．11．如图，在Rt△ ABC 中，∠ C=90°，∠ ABC=60°， AB 的垂直均分线分别交AB 与 AC 于点 D 和点 E，若 CE=2，则 AB 的长为12．已知等腰三角形的底角为15°，腰长为 8cm，则腰上的高为．13．如图，在△A BC 中，∠ B=∠ C=60°，点 D 在 AB 边上， DE⊥ AB，并与 AC 边交于点E．如果 AD=1， BC=6，那么 CE等于．三、解答题14．如图，在△A BC 中， BA=BC，∠ B=120°，线段AB 的垂直均分线MN 交 AC 于点 D，且AD=8cm．求：（1）∠ ADG 的度数；（2）线段 DC的长度．15．某轮船由西向东航行，在 A 处测得小岛 P 的方向是北偏东 75°，又持续航行 7 海里后，在 B处测得小岛 P 的方向是北偏东 60°，求：（ 1）此时轮船与小岛P 的距离 BP 是多少海里．（2）小岛点 P 方圆 3 海里内有暗礁，假如轮船持续向东履行，请问轮船有没有触礁的危险？请说明原因．参照答案第1课时1．解：∵等腰三角形的顶角为50°，∴这个等腰三角形的底角为：（ 180°﹣ 40°）÷ 2=70°，应选： B．2．解：当腰为 5 时，依据三角形三边关系可知此状况建立，这个三角形的第三条边长为5；当腰长为 2 时，依据三角形三边关系可知此状况不建立；应选： D．3．解：∵ AB∥ CD，∴∠ 1=∠ ACD=65°，∵ AD=CD，∴∠ DCA=∠ CAD=65°，∴∠ 2 的度数是： 180°﹣ 65°﹣ 65°=50°．应选： A．4．解：∵ AD 是△ ABC 的中线， AB=AC，∠ CAD=20°，∴∠ CAB=2∠ CAD=40°，∠ B=∠ ACB=（180°﹣∠ CAB）=70°．∵ CE是△ ABC的角均分线，∴∠ ACE= ∠ ACB=35°．应选： B．5．解：∵ |m ﹣ 2|+=0，∴m﹣2=0， n﹣ 4=0，解得 m=2， n=4，当 m=2 作腰时，三边为 2，2， 4，不切合三边关系定理；当 n=4 作腰时，三边为2， 4， 4，切合三边关系定理，周长为：2+4+4=10．应选： B．6．解：①若顶角的外角等于140 °，那么顶角等于 40°，两个底角都等于70°；②若底角的外角等于140°，那么底角等于40°，顶角等于100°．应选： D．7．解：∵∠ 1=125 °，∴∠ ADE=180°﹣125°=55°，∵DE∥BC， AB=AC，∴AD=AE，∠ C=∠ AED，∴∠ AED=∠ ADE=55°，又∵∠ C=∠ AED，∴∠C=55°．应选：A．8．解：∵△ ABC中， AD⊥ BC， AB=AC，∠ BAD=30°，∴∠ DAC=∠BAD=30°（等腰三角形的顶角均分线、底边上的中线、底边上的高互相重合），∵AD=AE（已知），∴∠ ADE=75°∴∠ EDC=90°﹣∠ADE=15°．应选： C．9．解：∵等腰三角形底角相等，∴180°﹣50°×2=80°，∴顶角为 80°．故填 80°．10．解：①当腰是4cm ，底边是9cm 时：不知足三角形的三边关系，所以舍去．②当底边是4cm，腰长是9cm 时，能组成三角形，则其周长=4+9+9=22cm．故填 22．11．解：当50°为顶角时，其余两角都为65°、 65°，当50°为底角时，其余两角为50°、80°，所以等腰三角形的顶角为 50°或 80°．故答案为： 50°或 80°．12．解：∵ AD=AC，点 E 是 CD 中点，∴AE⊥ CD，∴∠ AEC=90°，∴∠ C=90°﹣∠CAE=74°，∵ AD=AC，∴∠ADC=∠C=74°，∵ AD=BD，∴2∠ B=∠ ADC=74°，∴∠ B=37°，故答案为 37°．13．解：∵△ ABC中， AB=AC，∴∠ B=∠ C，“特点值”，记作k，若k=，∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的∴∠ A：∠ B=1： 2，即 5∠ A=180°，∴∠ A=36°，故答案为： 36．14．证明：如图，过点 A 作 AP⊥ BC于 P．∵ AB=AC，∴BP=PC；∵ AD=AE，∴DP=PE，∴BP﹣ DP=PC﹣ PE，∴BD=CE．15．（ 1）证明：∵△ ABC是等边三角形，BD 是中线，∴∠ ABC=∠ ACB=60°．∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．又∵ CE=CD，∴∠ CDE=∠CED．又∵∠ BCD=∠ CDE+∠CED，∴∠ CDE=∠CED=∠ BCD=30°．∴∠ DBC=∠ DEC．∴ DB=DE（等角平等边）；（2）∵∠ CDE=∠ CED= ∠ BCD=30°，∴∠ CDF=30°，∵ CF=4，∴ DC=8，∵ AD=CD，∴ AC=16，∴△ ABC的周长 =3AC=48．第2课时1．解： A、∵ 1+1=2，∴本组数据不可以够组成等腰三角形；故本选项错误；B、∵ 1+1＜ 3，∴本组数据不可以够组成等腰三角形；故本选项错误；C、∵1+2＞2，且有两边相等，∴本组数据能够组成等腰三角形；故本选项正确；D、∵ 2+2＜5，∴本组数据不可以够组成等腰三角形；故本选项错误；应选： C．2．解；当顶角为∠A=40°时，∠ C=70°≠ 50°，当顶角为∠ B=50°时，∠ C=65°≠40°所以 A 选项错误．当顶角为∠ B=60°时，∠ A=60°≠40°，当∠ A=40°时，∠ B=70°≠ 60°，所以 B 选项错误．当顶角为∠ A=40°时，∠ C=70°=∠ B，所以 C 选项正确．当顶角为∠ A=40°时，∠ B=70°≠ 80°，当顶角为∠ B=80°时，∠ A=50°≠40°所以 D 选项错误．应选： C．3．解：∵在△ABC中， AB=AC，∠ A=36°，∴∠ ABC=∠ C==72°，△ ABC是等腰三角形，∵BD 均分∠ ABC，∴∠ABD=∠ DBC=36°，∵DE∥BC，∴∠ EDB=∠ DBC=36°，∴∠ ABD=∠ EDB=∠A，∴AD=BD， EB=ED，即△ ABD 和△ EBD是等腰三角形，∵∠ BDC=180°﹣∠ DBC﹣∠ C=72°，∴∠ BDC=∠ C，∴BD=BC，即△ BCD是等腰三角形，∵DE∥BC，∴∠ AED=∠ ABC，∠ ADE=∠ C，∴∠ AED=∠ ADE，∴AE=AD，即△ AED是等腰三角形．∴图中共有 5 个等腰三角形．应选： C．4．解：如图，分状况议论：① AB 为等腰△ ABC的底边时，切合条件的C点有 6 个；② AB 为等腰△ ABC此中的一条腰时，切合条件的 C 点有4 个．应选： D．5．解： A、∵ a=3， b=3，c=4，∴ a=b，∴△ ABC是等腰三角形；B、∵ a： b： c=2： 3： 4∴ a≠ b≠ c，∴△ ABC不是等腰三角形；C、∵∠ B=50°，∠ C=80°，∴∠ A=180°﹣∠ B﹣∠ C=50°，∴∠ A=∠ B，∴ AC=BC，∴△ ABC是等腰三角形；D、∵∠ A：∠ B：∠ C=1： 1： 2，∵∠ A=∠ B，∴ AC=BC，∴△ ABC是等腰三角形．应选： B．6．解：以下图：当 BC1=AC1， AC=CC2，AB=BC3， AC4=CC4， AB=AC5， AB=AC6， BC7=CC7时都能获得切合题意的等腰三角形．应选： C．7．解： A、依占有两个角等于60°的三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；B、有一个外角等于120 °的等腰三角形，则内角为60°的等腰三角形，此三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；C、三个角都相等的三角形，内角必定为60°是等边三角形，不合题意，故此选项错误；D、边上的高也是这边的中线的三角形，也可能是等腰三角形，故此选项正确．应选：D．8．解：①点 C 以点 A 为标准，AB 为底边，切合点 C 的有 5 个；②点 C 以点 B 为标准， AB 为等腰三角形的一条边，切合点 C 的有4 个．所以切合条件的点C共有 9 个．应选： B．9．解：∵在Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ A=40°，∴当 AB=BP1时，∠ BAP1=∠ BP1A=40°，当 AB=AP3 时，∠ ABP3=∠AP3B= ∠ BAC= × 40°=20°，当 AB=AP4 时，∠ ABP4=∠AP4B= ×（ 180°﹣40°）=70°，当 AP2=BP2时，∠ BAP2=∠ ABP2，∴∠ AP2B=180°﹣ 40°× 2=100°，∴∠ APB 的度数为： 20°、40°、70°、 100°．故答案为： 20°或 40°或 70°或 100°．10．解：∵ AON=60°，∴当 OA=OP=a时，△ AOP 为等边三角形．故答案是： a．11．解：如图，知足△ EAB是等腰三角形的点 E 有5 个，故答案为： 5．12．解：∵∠A=80°，∴①当∠ B=80°时，△ ABC是等腰三角形；②当∠ B=（ 180°﹣ 80°）÷ 2=50°时，△ ABC 是等腰三角形；③当∠ B=180°﹣ 80°× 2=20°时，△ ABC是等腰三角形；故答案为： 80°、 50°、20°．13．解：由题意知，要求“被一条直线分红两个小等腰三角形”，①中分红的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和 36°，72°72°，能；②不可以；③明显原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；④中的为36°， 72， 72°和 36°， 36°， 108°，能．故答案为：②14．（ 1）证明：∵ BD 是△ ABC 的角均分线，∴∠ EBD=∠ CBD．∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD．∴∠EDB=∠ EBD．∴BE=DE．（ 2）∵ AB=BC， BD 是△ ABC 的角均分线，∴ AD=DC．∵DE∥BC，∴，∴．∴DE=5．15．证明：连结BC．∵AB=AC（已知），∴∠ 1=∠ 2（等边平等角）．又∠ ABD=∠ ACD（已知），∴∠ ABD﹣∠ 1=∠ ACD﹣∠ 2（等式运算性质）．即∠ 3=∠ 4．∴ BD=DC（等角平等边）．第3课时1．解：∵ PC∥ OA，∴∠ CPO=∠ POA，∵∠ AOP=∠ BOP=15°，∴∠ AOP=∠ BOP=∠ CPO=15°，过点 P 作∠ OPE=∠CPO交于 AO 于点 E，则△ OCP≌△ OEP，∴PE=PC=10，∵∠ PEA=∠OPE+∠ POE=30°，∴PD=10× =5．应选： C．2．解：∵在Rt△ ABC中，∠ C=90°， AB=2BC，即 BC= AB，∴∠ A=30°，应选： B．3．解：∵在Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ A=30°， BC=4cm，∴AB=2BC=8cm，应选： B．4．解：∵△ ABC是等边三角形，∴∠ C=60°， AC=AB=BC=6，∵BD 均分∠ ABC交 AC 于点 D，∴CD= AC=3，∵ DE⊥BC，∴∠ CDE=30°，∵EC= CD=1.5．应选： C．5．解：设∠ A、∠ B、∠ C 分别为 k、2k、 3k，则 k+2k+3k=180°，解得 k=30°，2k=60 °，3k=90 °，∵最小边BC=3cm，∴最长边AB=2BC=2×3=6cm．应选： D．6．解：∴ CD 是高，∴∠ BDC=90°，∵∠ ACB=90°，∠ A=30°，∴∠ B=60°，BC= AB=× 8=4，∴∠ BCD=30°，∴BD= BC=2，应选： A．7．解：如图，作BH⊥ AC于 H，则∠ ABH=180°﹣∠ BAC=30°，在 Rt△ ABH 中， BH= AB=10，所以 S△ ABC=× 10× 30=150，所以购置这类草皮起码需要150a 元．应选： C．8．解：∵立柱BC、 DE 垂直于横梁AC，∴BC∥ DE，∵D是 AB中点，∴ AD=BD，∴ AE： CE=AD： BD，∴ AE=CE，∴ DE 是△ ABC的中位线，∴DE= BC，在 Rt△ ABC中， BC= AB=3，∴ DE=1.5．应选： A．9．解：∵∠ A=30°，∠ B=90°，∴BC= AC=5，故答案为： 5．10．解：如图，过 C 点作 BD 的垂直均分线交BD 于点 E，∵在△ ABC中，∠ ACB=90°，∠ A=30°， BC=4，∴∠ BCE=∠ A=30°， BE=BD，∴BE=2∴BD=2BE=4故答案为： 4．11．解：∵在Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ ABC=60°，∴∠ A=30°，∵DE 是线段 AB 的垂直均分线，∴ EA=EB， ED⊥ AB，∴∠ A=∠ EBA=30°，∴∠ EBC=∠ ABC﹣∠ EBA=30°，又∵ BC⊥ AC， ED⊥ AB，∴DE=CE=2．在直角三角形ADE 中， DE=2，∠ A=30°，∴AE=2DE=4，∴ AD==2 ，∴ AB=2AD=4．故答案为： 4．12．解：如图，过C作CD⊥AB，交BA延长线于D，∵∠ B=15°，AB=AC，∴∠ DAC=30°，∵CD 为 AB 上的高， AC=8cm，∴CD= AC=4cm．故答案为： 4cm．13．解：∵在△ABC 中，∠ B=∠ C=60°，∴∠ A=60°，∵DE⊥AB，∴∠ AED=30°，∵AD=1，∴AE=2，∵ BC=6，∴AC=BC=6，∴CE=AC﹣ AE=6﹣ 2=4，故答案为 4．14．解：（1 ）∵在△ ABC中，已知BA=BC，∴∠ A=∠ C（等边平等角）；又∵∠ B=120°，∴∠ A=（180°﹣120°）=30°（三角形内角和定理），∴∠ ADG=90°﹣30°=60°；（ 2）连结 BD．∵ AB 的垂直均分线DG 交 AC 于点 D，∴AD=BD，∠ A=∠ABD=30°，∴∠ CBD=90°；由（ 1）知∠ A=∠ C=30°，∴BD= CD（ 30°所对的直角边是斜边的一半），∴CD=2AD=2BD，∴AC=AD+CD=AD+2AD=3AD；又∵ AD=8cm，∴DC=16cm．15．解：（1 ）过 P 作 PD⊥AB 于点 D，∵∠ PBD=90°﹣ 60°=30°且∠ PBD=∠ PAB+∠ APB，∠ PAB=90﹣ 75=15°∴∠ PAB=∠ APB，∴BP=AB=7（海里）．（ 2）作 PD⊥ AB于 D，∵ A 处测得小岛 P 在北偏东 75°方向，∴∠ PAB=15°，∵在 B 处测得小岛 P 在北偏东 60°方向，∴∠ APB=15°，∴AB=PB=7海里，∵∠ PBD=30°，∴PD= PB=3.5＞ 3，∴该船持续向东航行，没有触礁的危险．。
七年级数学下等腰三角形基础训练(无答案)
七年级下等腰三角形基础训练班级 姓名 学号1. “等腰三角形的三线合一”具体是指 ，2. 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是 ，3. 如果等腰三角形的底角是80°，那么它的顶角的度数是 ，4. 如果等腰三角形的两边长分别为5cm 和8cm ，那么它的周长等于 ，5. 如果等腰三角形底角的外角等于100°，那么它的顶角的度数是 ，6. 如果等腰三角形的两边长分别为4和7，第三边的长度为奇数，那么第三边长为 ，7. 等腰△ABC 的底边BC 长为5cm ，一腰上的中线把三角形分成两个三角形，且这两个三角形周长之差为3cm ，则等腰三角形的腰长为 ，8. 如图，如果点E 、B 、C 在一直线上，且BA=BD=DC ，∠C=35，那么∠ABE= ，9. 如图，如果△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，且AD=BD ，AC=CD ，那么∠BAC= ，10. 如图，AD//BC ，BD 平分∠ABC ，BD=BC.若∠C=70°，则∠A 等于 ,11. 等腰三角形的两个角的比为5：2，则项角 度。
12.如图，将等腰△ABC （AB=AC ）绕点B 顺时针旋转，使A 点落在BC 边上的点1A 处，点C 落在点1C 处，如果A 、1A 、1C 三点在一直线上，那么∠BAC= ，13. 如图，如果等腰三角形的顶角为α°，那么一腰上的高和底边的夹角等于多少度？14. 如图,△ABC中,AB=AC(1)已知AD⊥BC,BD=10cm,求BC的长.(2)已知AD是BC的中线,∠1=44°,求∠2的度数.15. 如图,已知在△ABC中,AB=AC,且EB=BD=DC=CF, ∠A=40°,求∠EDF的度数.12E FB CD16. 如图,B.E.C在一条直线上, ∠B=∠C=90°,AE=DE,AB=EC(1)求证: ∠BAE=∠CED,(2)求∠EAD的度数.B。
等腰三角形经典练习题(5套)附带详细答案
练习一一、选择题1．等腰三角形的周长为26㎝，一边长为6㎝，那么腰长为（）Ａ．6㎝Ｂ．10㎝Ｃ．6㎝或10㎝Ｄ．14㎝2．已知△ABC，AB =AC，∠B=65°，∠C度数是( )A．50°B．65°C．70°D．75°3．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）A．过顶点的直线B．底边的垂线C．顶角的平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线二、填空题4．等腰三角形的两个_______相等（简写成“____________”）．5．已知△ABC，AB =AC，∠A=80°，∠B度数是_________．6．等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形的顶角的度数是_______________．7．等腰三角形的腰长是6，则底边长5，周长为__________．三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．（写出每步证明的重要依据）9．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数一、选择题1．B2．B3．C二、填空题4．底角，等边对等角5．50°6．36°或90°7．16或17三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．证明：∵AB=AD（已知）∴∠ABD=∠ADB（等边对等角）∵AD∥BC（已知）∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）∴∠ABD=∠CBD（等量代换）∴BD平分∠ABC．（角平分线定义）9．45练习2一、选择题1．△ABC是等边三角形，D、E、F为各边中点，则图中共．有正三角形( )A．2个B．3个C．4个D．5个2．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则BC：AB等于( )A．2：1 B．1：2 C．1：3 D．2 ：3二、填空题3．等边三角形的周长为6㎝，则它的边长为________．4．等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是__________．5．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是_____三角形．6．△ABC中，∠AC B=90°∠B=60°，BC=3㎝，则AB=_______．三、解答题7．△ABC是等边三角形，点D在边BC上，DE∥AC，△BDE是等边三角形吗？试说明理由．8．已知：如图，P，Q是△ABC边上BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．9．已知：△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，∠A=30°，求证：△BDC是等边三角形．一、选择题1．D2．B二、填空题3．2㎝4．120°5．等边6．6㎝三、解答题7．△ABC是等边三角形．理由是∵△ABC是等边三角形AQ CPB∴∠A =∠B =∠C=60° ∵DE ∥AC ，∴∠BED =∠A=60°，∠BDE =∠C =60° ∴∠B =∠BED =∠BDE ∴△ABC 是等边三角形 8．∠BAC=120°9．证明：∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知）∴∠A +∠B=90°（直角三角形两锐角互余） ∴∠B= 90°－∠A= 90°－30°=60° ∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知） ∴BC=（在直角三角形中，一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半）∴△BDC 是等边三角形（有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形）。
专题19等腰三角形、等边三角形、直角三角形(基础巩固练习)解析版
2021年中考数学专题19 等腰、等边三角形、直角三角形（基础巩固练习，共50个小题）一、选择题（共20小题）：1.（2020•毕节市）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（）A．13 B．17 C．13或17 D．13或10【答案】B【解析】解：①当腰是3，底边是7时，不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是3，腰长是7时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．故选：B．2.（2020•福建）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）A．10 B．5 C．4 D．3【答案】B【解析】解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，∴CD＝5．故选：B．3.（2020•呼伦贝尔）如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是（）A．25°B．20°C．30°D．15°【解析】解：∵AB＝AC，∠C＝∠ABC＝65°，∴∠A＝180°﹣65°×2＝50°，∵MN垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝50°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°，故选：D．4.（2020•兰州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D＝（）A．40°B．50°C．60°D．80°【答案】B【解析】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠C＝∠B＝40°，∵DE⊥BC于点E，∴∠D＝90°﹣∠C＝50°，故选：B．5.（2020•青海）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（）A．55°，55°B．70°，40°或70°，55°C．70°，40°D．55°，55°或70°，40°【解析】解：分情况讨论：（1）若等腰三角形的顶角为70°时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；（2）若等腰三角形的底角为70°时，顶角为180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：D．6.（2020•临沂）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°【答案】D【解析】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ACB＝70°，∵CD∥AB，∴∠ACD＝180°﹣∠A＝140°，∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝70°．故选：D．7.（2020•自贡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°【答案】D【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝40°，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC=1（180°﹣40°）＝70°，2∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，故选：D．8.（2020•巴中）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，DE∥AB，AD＝3，CE＝5，则AC的长为（）A．9 B．8 C．6 D．7【答案】B【解析】解：∵∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD=1∠BAC＝60°，2∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE＝60°，∠DEC＝∠BAC＝120°，∴∠AED＝60°，∴∠ADE＝∠AED，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝3，∴AC＝AE+CE＝3+5＝8，故选：B．9.（2020•铜仁市）已知等边三角形一边上的高为2√3，则它的边长为（）A．2 B．3 C．4 D．4√3【答案】C【解析】解：根据等边三角形：三线合一，)2+(2√3)2，设它的边长为x，可得：x2=(x2解得：x＝4，x＝﹣4（舍去），故选：C．10.（2019•天水）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A．（1，1）B．（1，√3）C．（√3，1）D．（√3，√3）【答案】B【解析】解：过点B 作BH ⊥AO 于H 点，∵△OAB 是等边三角形，∴OH ＝1，BH =√3．∴点B 的坐标为（1，√3）．故选：B ．11.（2019•铜仁市）如图，四边形ABCD 为菱形，AB ＝2，∠DAB ＝60°，点E 、F 分别在边DC 、BC 上，且CE =13CD ，CF =13CB ，则S △CEF ＝（ ）A ．√32B ．√33C ．√34D ．√39 【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD 为菱形，AB ＝2，∠DAB ＝60°∴AB ＝BC ＝CD ＝2，∠DCB ＝60°∵CE =13CD ，CF =13CB∴CE ＝CF =23∴△CEF 为等边三角形∴S △CEF =√34×(23)2=√39故选：D ．12.（2018•扬州）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（）A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC【答案】C【解析】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE．又∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE．故选：C．13.（2020•常州）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，∵点M是BC的中点．BC，∴MH=12∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，故选：A．14.（2019•陕西）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝52°，BE为AC边上的中线，AD平分∠BAC，交BC边于点D，过点B作BF⊥AD，垂足为F，则∠EBF的度数为（）A．19°B．33°C．34°D．43°【答案】B【解析】解：∵∠ABC＝90°，BE为AC边上的中线，AC＝AE，∴∠BAC＝90°﹣∠C＝90°﹣52°＝38°，BE=12∴∠BAC＝∠ABE＝38°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAF=1∠BAC＝19°，2∴∠BOF ＝∠BAD+∠ABE ＝19°+38°＝57°，∵BF ⊥AD ，∴∠BFO ＝90°，∴∠EBF ＝90°﹣∠BOF ＝90°﹣57°＝33°；故选：B ．15.（2020•赤峰）如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝3，把Rt △ABC 沿直线BC 向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，则四边形ABC'A'的面积是（ ）A ．15B ．18C ．20D ．22【答案】A【解析】解：∵把Rt △ABC 沿直线BC 向右平移3个单位长度得到△A'B'C'， ∴A ′A ＝CC ′＝3，AA ′∥BC ′，在Rt △ABC 中，∵AB ＝5，AC ＝3，∴BC =√52−32=4，∵AA ′∥BC ′，∴四边形ABC ′A ′是梯形，∴四边形ABC'A'的面积=12（AA ′+BC ′）•AC =12×（3+4+3）×3＝15，故选：A ．16.（2020•绵阳）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，DF ∥BC ，∠ABC 的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】解：过E作EM⊥BC，交FD于点N，∵DF∥BC，∴EN⊥DF，∴EN∥HG，∴∠DEN＝∠DHG，∠END＝∠HGD，∴△END∽△HGD，∴ENHG =EDHD，∵E为HD中点，∴EDHD =12，∴ENHG =12，即HG＝2EN，∴∠DNM＝∠NMC＝∠C＝90°，∴四边形NMCD为矩形，∴MN＝DC＝2，∵BE 平分∠ABC ，EA ⊥AB ，EM ⊥BC ，∴EM ＝AE ＝3，∴EN ＝EM ﹣MN ＝3﹣2＝1，则HG ＝2EN ＝2．故选：B ．17.（2020•包头）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，BE ⊥CD ，交CD 的延长线于点E ．若AC ＝2，BC ＝2√2，则BE 的长为（ ）A ．2√63B ．√62C ．√3D ．√2【答案】A【解析】解：方法1：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝2√2，由勾股定理得AB =√AC 2+BC 2=√22+(2√2)2=2√3，∵D 是AB 的中点，∴BD ＝CD =√3，设DE ＝x ，由勾股定理得（√3）2﹣x 2＝（2√2）2﹣（√3+x ）2，解得x =√33， ∴在Rt △BED 中，BE =2−DE 2=√(√3)2−(√33)2=2√63．方法2：三角形ABC 的面积=12×AC ×BC =12×2×2√2=2√2，∵D 是AB 中点，∴△BCD 的面积＝△ABC 面积×12=√2，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝2√2，由勾股定理得AB =√AC 2+BC 2=√22+(2√2)2=2√3，∵D 是AB 的中点，∴CD =√3，∴BE =√2×2÷2×2÷√3=2√63．故选：A ． 18.（2020•陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，若BD 是△ABC 的高，则BD 的长为（ ）A ．1013√13B ．913√13C ．813√13D ．713√13 【答案】D【解析】解：由勾股定理得：AC =2+32=√13，∵S △ABC ＝3×3−12×1×2−12×1×3−12×2×3=3.5，∴12AC ⋅BD =72，∴√13⋅BD =7，∴BD=7√13，故选：D．1319.（2020•德阳）已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（）A．2 B．2√2−2 C．2√2+2 D．2√2【答案】B【解析】解：∵等腰直角三角形ABC的腰长为4，∴斜边AB＝4√2，∵点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，∴点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝2√2，∴CM=12∵PC＝2，∴PM＝CM﹣CP＝2√2−2，故选：B．20.（2020•威海）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）．已知AB＝40cm，则图中阴影部分的面积为（）A．25cm2B．100cm2C．50cm2D．75cm23【答案】C【解析】解：如图：设OF＝EF＝FG＝x（cm），∴OE＝OH＝2x，在Rt△EOH中，EH＝2√2x，由题意EH＝20cm，∴20＝2√2x，∴x＝5√2，∴阴影部分的面积＝（5√2）2＝50（cm2）故选：C．二、填空题（共16小题）：21.（2020•齐齐哈尔）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是．【答案】10或11【解析】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，∵此时能组成三角形，∴周长＝3+3+4＝10；②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，此时能组成三角形，所以周长＝3+4+4＝11．综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．故答案为：10或11．22.（2020•眉山）如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝10，边AC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ．若△ABD 的周长为26，则DE 的长为 ．【答案】154【解析】解：作AM ⊥BC 于M ，∵边AC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ，∴∠AED ＝90°，AE ＝CE =12AC =12×10=5，AD ＝CD ，∴∠DAC ＝∠C ，∵△ABD 的周长为26，∴AB+BD+AD ＝AB+BD+CD ＝AB+BC ＝26，∵AB ＝AC ＝10，∴BC ＝16，∠B ＝∠C ，∴∠B ＝∠DAC ，∵∠ACB ＝∠DCA ，∴△ABC ∽△DAC ，∴AM DE =BC AC ，∵AB ＝AC ，∴BM=12BC＝8，∴AM=√AB2−BM2=√102−82=6，∴6DE =1610，∴DE=154，故答案为154．23.（2020•滨州）在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为．【答案】80°【解析】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∴∠C＝∠B＝50°，∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°．故答案为：80°．24.（2020•恩施州）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝30°，∠1＝80°，则∠2＝．【答案】40°【解析】解：如图，延长CB交l1于点D，∵AB＝BC，∠C＝30°，∴∠C＝∠4＝30°，∵l1∥l2，∠1＝80°，∴∠1＝∠3＝80°，∵∠C+∠3+∠2+∠4＝180°，即30°+80°+∠2+30°＝180°，∴∠2＝40°．故答案为：40°．25.（2020•黄冈）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝度．【答案】40°【解析】解：∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝35°，∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝70°．∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝70°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故答案为：40．26.（2020•常州）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝°．【答案】30【解析】解：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°．故答案为：30．27.（2019•哈尔滨）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为．【答案】2√7【解析】解：如图，连接AC交BD于点O∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4∵CE∥AB∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°∴∠DAO＝∠ACE＝30°∴AE＝CE＝6∴DE＝AD﹣AE＝2∵∠CED＝∠ADB＝60°∴△EDF是等边三角形∴DE＝EF＝DF＝2∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2∴OC=√CF2−OF2=2√3∴BC=√BO2+OC2=2√728.（2020•岳阳）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝°．【答案】70【解析】解：在Rt△ABC中，∵∠A＝20°，∴∠B＝90°﹣∠A＝70°，∵CD是斜边AB上的中线，∴BD＝CD，∴∠BCD＝∠B＝70°，故答案为70．29.（2020•绵阳）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为．【答案】3√3−2【解析】解：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O 作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，AD＝2，∴OM=12∵AB∥CD，∴∠GCF＝∠B＝60°，∴∠DGO＝∠CGF＝30°，∵AD＝BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∴∠ADC＝∠BCD＝120°，∴∠DOG＝30°＝∠DGO，∴DG＝DO＝2，∵CD＝4，∴CG＝2，∴OG＝2√3，GF=√3，OF＝3√3，∴ME≥OF﹣OM＝3√3−2，∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为3√3−2．30.（2020•宿迁）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC＝12，AD＝8，则DE的长为．【答案】5【解析】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD＝6，∴∠ADB＝90°，∴AB=√AD2+BD2=√82+62=10，∵AE＝EB，∴DE=1AB＝5，2故答案为5．31.（2020•雅安）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝．【答案】20【解析】解：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2，∵AD＝2，BC＝4，∴AB2+CD2＝22+42＝20．故答案为：20．32.（2020•苏州）如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC＝．【答案】1【解析】解：设AE＝ED＝x，CD＝y，∴BD＝2y，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，∴AB2＝4x2+4y2，∴x2+y2＝1，在Rt△CDE中，∴EC2＝x2+y2＝1∵EC＞0∴EC＝1．另解：依据AD⊥BC，BD＝2CD，E是AD的中点，即可得判定△CDE∽△BDA，且相似比为1：2，∴CEAB =12，即CE＝1．故答案为：133.（2020•安顺）如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则边BC的长为．【答案】4√5【解析】解：延长BD到F，使得DF＝BD，∵CD⊥BF，∴△BCF是等腰三角形，∴BC＝CF，过点C作CH∥AB，交BF于点H∴∠ABD＝∠CHD＝2∠CBD＝2∠F，∴HF＝HC，∵CH∥AB，∴∠ABE＝∠CHE，∠BAE＝∠ECH，∴EH＝CE，∵EA＝EB，∴AC＝BH，∵BD＝8，AC＝11，∴DH＝BH﹣BD＝AC﹣BD＝3，∴HF＝HC＝8﹣3＝5，在Rt△CDH，∴由勾股定理可知：CD＝4，在Rt△BCD中，∴BC=√82+42=4√5，故答案为：4√534.（2020•丹东）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥AC，AD＝AC，∠BAD＝105°，点E和点F分别是AC和CD的中点，连接BE，EF，BF，若CD＝8，则△BEF的面积是．【答案】2√3【解析】解：过点E作EH⊥BF于H．∵AD＝AC，∠DAC＝90°，CD＝8，∴AD＝AC＝4√2，∵DF＝FC，AE＝EC，AD＝2√2，EF∥AD，∴EF=12∴∠FEC＝∠DAC＝90°，∵∠ABC＝90°，AE＝EC，∴BE＝AE＝EC＝2√2，∴EF＝BE＝2√2，∵∠BAD＝105°，∠DAC＝90°，∴∠BAE＝105°﹣90°＝15°，∴∠EAB＝∠EBA＝15°，∴∠CEB＝∠EAB+∠EBA＝30°，∴∠FEB＝90°+30°＝120°，∴∠EFB＝∠EBF＝30°，∵EH⊥BF，∴EH=12EF=√2，FH=√3EH=√6，∴BF＝2FH＝2√6，∴S△EFB =12•BF•EH=12×2√6×√2=2√3．故答案为2√3．35.（2020•十堰）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．若AE＝3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为．【答案】19【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3，∴AC＝2AE＝6，AD＝DC，∵AB+BD+AD＝13，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BD+AD+AC＝13+6＝19．故答案为：19．36.（2020•青海）如图，△ABC中，AB＝AC＝14cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且△DBC的周长是24cm，则BC＝cm．【答案】10＝24cm，【解析】解：∵C△DBC∴BD+DC+BC＝24cm①，又∵MN垂直平分AB，∴AD＝BD②，将②代入①得：AD+DC+BC＝24cm，即AC+BC＝24cm，又∵AC＝14cm，∴BC＝24﹣14＝10cm．故填10．三、解答题（共14小题）：37.（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：DE ＝DF ；（2）若∠BDE ＝40°，求∠BAC 的度数．【答案】(1)见解析；(2)80°.【解析】（1）证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ，在△BED 与△CFD 中，{∠BED =∠CFD∠B =∠C BD =CD，∴△BED ≌△CFD （AAS ），∴DE ＝DF ；（2）解：∵∠BDE ＝40°，∴∠B ＝50°，∴∠C ＝50°，∴∠BAC ＝80°．38.（2019•攀枝花）如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，BE 是AC 边上的中线，且BD ＝CE ．求证：（1）点D 在BE 的垂直平分线上；（2）∠BEC ＝3∠ABE ．【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】解：（1）连接DE，∵CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵BE是AC边上的中线，∴AE＝CE，∴DE＝CE，∵BD＝CE，∴BD＝DE，∴点D在BE的垂直平分线上；（2）∵DE＝AE，∴∠A＝∠ADE，∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB，∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∴∠A＝∠ADE＝2∠ABE，∵∠BEC＝∠A+∠ABE，∴∠BEC＝3∠ABE．39.（2019•重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数；（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．【答案】(1)48°；(2)见解析.【解析】解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°，又∠C＝42°，∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣42°＝48°；（2）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∵EF∥AC，∴∠F＝∠CAD，∴∠BAD＝∠F，∴AE＝FE．40.（2019•重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；【答案】(1)54°；(2)见解析.【解析】（1）解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°，∵BD＝CD，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE=1∠ABC，2∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE，∴∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE．41.（2020秋•河北区期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数．【答案】(1)30°；(2)见解析.【解析】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°，∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣60°＝30°．（2）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°，∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∴△DEC是等边三角形，∴CE＝CD，∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，∴∠CEF＝∠F＝30°，∴EC＝CF，42.（2020秋•道外区期中）如图1，已知等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，连接DE．（1）若DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形；（2）如图2，若D、E分别为AB、AC中点，连接CD、BE，CD与BE相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（△ADE与△ABC除外）【答案】(1)见解析；(2)△DEF和△BFC都为等腰三角形.【解析】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴∠A＝∠ADE＝∠AED，∴△ADE是等边三角形．（2）解：△BDE，△DEC，△DEF和△BFC为等腰三角形．由（1）可知，AB＝AC，∠＝60°，∵D、E分别为AB、AC中点，∴AD=12AB，AE=12AC，∴△ADE为等边三角形，AB，∴AD＝DE=12∴BD＝DE，即△BDE为等腰三角形，同理△DEC为等腰三角形．∵AB＝BC，E为AC的中点，∴∠ABE＝∠CBE＝30°，∵∠ADE＝∠ABC＝60°，∴DE∥BC，∴∠EBC＝∠DEB＝30°，同理∠BCD＝∠EDC＝30°，∴FB＝FC，DF＝EF．即△DEF和△BFC都为等腰三角形．43.（2020•海淀区一模）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接DF．（1）求证：△ABF是等边三角形；（2）若∠CDF＝45°，CF＝2，求AB的长度．【答案】(1)见解析；(2)√3+.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝60°，∴∠DAB＝120°，∵AF平分∠DAB，∴∠FAB＝60°，∴∠FAB＝∠ABF＝60°，∴∠FAB＝∠ABF＝∠AFB＝60°，∴△ABF是等边三角形；（2）作FG⊥DC于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝60°，∴DC∥AB，DC＝AB，∴∠FCG＝∠ABC＝60°，∴∠GFC＝30°，∵CF＝2，∠FGC＝90°，∴CG＝1，FG=√3，∵∠FDG＝45°，∠FGD＝90°，∴∠FDG＝∠DFG＝45°，∴DG＝FG=√3，∴DC＝DG+CG=√3+1，∴AB=√3+1，即AB的长度是√3+1．44.（2018•无锡）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝m，BC＝n，m＞n，点P是边AB上一点，连结CP，将△ACP沿CP翻折得到△QCP．（1）若m＝4，n＝3，且PQ⊥AB，求BP的长；（2）连结BQ，若四边形BCPQ是平行四边形，求m与n之间的关系式．【答案】(1)PB=125+95=215；(2)m=√3n.【解析】解：（1）如图，作CH⊥AB于H．由翻折的性质可知：∠APC＝∠QPC，∵PQ⊥PA，∴∠APQ＝90°，∴∠APC＝∠QPC＝135°，∵∠QPB ＝90°，∴∠BPC ＝45°，∵CH ⊥AB ，∴CH ＝PH ，在Rt △ABC 中，AB =2+BC 2=√32+42=5，∵12•AB •CH =12•AC •BC ，∴CH =125，BH =2−CH 2=95， ∴PB ＝PH+BH =125+95=215．（2）如图2中，连接BQ ．由翻折不变性可知：PA ＝PQ ，∠QPC ＝∠APC ，∵四边形BCPQ 是平行四边形，∴PQ ＝BC ＝PA ＝n ，PQ ∥BC ，∴∠QPC+∠PCB ＝180°，∴∠PCB＝∠BPC，∴PB＝BC＝n，∴AP＝PB＝n，AB＝2n，在Rt△ABC中，则有（2n）2＝m2+n2，∴m2＝3n2，∵m＞0．n＞0，∴m=√3n．45.（2020秋•齐河县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CE垂直于AB于点E，D是AB的中点．（1）求证：AE＝ED；（2）若AC＝2，求DE的长．【答案】(1)见解析；(2)1.【解析】（1）证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AB，∴CD＝AD＝BD=12∴∠DCB＝∠B，∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠DCB＝30°，∠A＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠A＝∠ADC，∴AC＝DC，∵CE垂直于AB于点E，∴AE＝ED；（2）解：∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∵∠A＝60°，∴∠ACE＝30°，AC，∴AE=12∵AC＝2，AE＝DE，∴DE＝AE＝1．46.（2020秋•农安县期末）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求证：CE＝CF；（2）若CD＝2，求DF的长．【答案】(1)见解析；(2)4.【解析】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∵DE∥AB，∴∠B＝EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∵EF⊥ED，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝30°∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，∴∠F＝∠FEC＝30°，∴CE＝CF．（2）由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∴CE＝DC＝2．又∵CE＝CF，∴CF＝2．∴DF＝DC+CF＝2+2＝4．47.（2020秋•松江区期末）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC中点，点F是BD中点．（1）求证：EF⊥BD；（2）过点D作DH⊥AC于H点，如果BD平分∠HDE，求证：BA＝BC．【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】（1）证明：∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，点E 是AC 中点，∴DE =12AC ，BE =12AC ，∴DE ＝BE ，∵点F 是BD 中点，∴EF ⊥BD ；（2）证明：设AC ，BD 交于点O ，∵DH ⊥AC ，EF ⊥BD ，∴∠DHO ＝∠EFO ＝90°，∵∠DOH ＝∠BOE ，∴∠HDF ＝∠OEF ，∵DE ＝BE ，∴∠EDO ＝∠EBO ，∵BD 平分∠HDE ，∴∠HDF ＝∠BDE ，∴∠OEF ＝∠OBE ，∵∠OEF+∠EOF＝90°，∴∠EOF+∠EBO＝90°，∴∠BEO＝90°，∴BE⊥AC，∴BA＝BC．48.（2020秋•南海区期末）在△ABC中，（1）如图1，AC＝15，AD＝9，CD＝12，BC＝20，求△ABC的面积；（2）如图2，AC＝13，BC＝20，AB＝11，求△ABC的面积．【答案】(1)S△ABC ＝150；(2)S△ABC=42.1575.【解析】解：（1）∵CD2+AD2＝144+81＝225，AC2＝225，∴CD2+AD2＝CA2，∴△△ADC是直角三角形，∴∠ADC＝90°，∴CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴BD=√BC2−CD2=16，∴AB＝AD+DB＝16+9＝25，∴S△ABC =12×25×12＝150；（2）过C作CD⊥BA的延长线于点D，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，设AD为x，DB＝（x+11），由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2，CD2＝BC2﹣DB2，即AC2﹣AD2＝BC2﹣DB2，则132﹣x2＝202﹣（x+11）2，解得：x＝10.5，∴CD=2−AD2=√132−10．52≈7.665，∴S△ABC =12AB⋅CD=12×11×7.665=42.1575．49.（2020春•米东区期末）如图1，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC．（1）求证：∠ACE＝∠ABC；（2）求证：∠ECD+∠EBC＝∠BEC；（3）求证：∠CEF＝∠CFE．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析. 【解析】证明：（1）∵CE⊥AD，∠ACD＝90°，∵∠ACE+∠ECD＝∠D+∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠D．∵∠D＝∠ABC，∴∠ACE＝∠ABC；（2）∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，∴∠ACB＝∠DAC，∴AD∥BC，∵CE⊥AD，∴CE⊥BC，∴∠BEC+∠EBC＝90°，∵∠D+∠ECD＝90°，∠D＝∠ABC，∴∠ABC+∠ECD＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC∴2∠EBC+∠ECD＝90°，∴2∠EBC+∠ECD＝∠BEC+∠EBC，即∠EBC+∠ECD＝∠BEC；（3）∵∠ABF+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFE，∴∠ABF+∠CFE＝90°，∵∠CBE+∠CEF＝90°，∠ABF＝∠CAE，∴∠CEF＝CFE．50.（2020秋•锦江区校级期末）如图1，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是AB上一点，且AC＝8，∠DCA＝45°，AE⊥BC于点E，交CD于点F．（1）如图1，若AB＝2AC，求AE的长；（2）如图2，若∠B＝30°，求△CEF的面积；（3）如图3，点P是BA延长线上一点，且AP＝BD，连接PF，求证：PF+AF＝BC【答案】(1)AE=8√5=16√55；(2)S△ECF＝8（2−√3）；(3)见解析.【解析】（1）解：如图1中，∵AB＝2AC，AC＝8，∴AB＝16，∵∠BAC＝90°，∴BC=√AC2+AB2=√82+162=8√5，∵AE⊥BC，∴S△ABC =12•BC•AE=12•AC•AB，∴AE=8√5=16√55．（2）解：如图2中，在CE上取一点T，使得FJ＝CJ，连接FJ．∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴∠ACE＝90°﹣30°＝60°，∵AE⊥BC，AC＝8，∴CE＝AC•cos60°＝4，∵∠DCA＝45°，∴∠FCE＝∠ACE﹣∠ACD＝15°，∵JF＝JC，∴∠JFC＝∠JCF＝15°，∴∠EJF＝∠JFC+∠JCF＝30°，设EF＝m，则FJ＝JC＝2m，EJ=√3m，∴√3m+2m＝4，∴m＝4（2−√3），∴EF＝4（2−√3），∴S△ECF =12×4×4（2−√3）＝8（2−√3）．（3）证明：如图3中，过A点作AM⊥CD于点M，与BC交于点N，连接DN．∵∠BAC＝90°，AC＝AD，∴AM⊥CD，AM＝DM＝CM，∠DAM＝∠CAM＝∠ADM＝∠ACD＝45°，∴DN＝CN，∴∠NDM＝∠NCM，∵AE⊥BC，∴∠ECF+∠EFC＝∠MAF+∠AFM＝90°，∵∠AFM＝∠EFC，∴∠MAF＝∠ECF，∴∠MAF＝∠MDN，∵∠AMF＝∠AMN，∴△AMF≌△DMN（ASA），∴AF＝DN＝CN，∵∠BAC＝90°，AC＝AD，∴∠DAM＝∠CAM＝∠ADM＝∠ACD＝45°，∴∠NAP＝∠CDB＝135°，∵∠MAF＝∠MDN，∴∠PAF＝∠BDN，∵AP＝DB，∴△APF≌△DBN（SAS），∴PF＝BN，∵AF＝CN，∴PF+AF＝CN+BN，即PF+AF＝BC．。
等腰三角形练习题
等腰三角形基础知识巩固：1．等腰三角形定义：2．等腰三角形的性质：3．等腰三角形的判定：【知识点简单运用】例1、如图，在△ABC中，ACAB=，D在AC上，且,BD BC AD==求△ABC各角的度数。
练习：1、如图△ABC是等腰直角三角形（AB=AC,∠BAC=90°），AD是底边BC上的高，标出∠B，∠C，∠BAD，∠DAC的度数，图中有哪些相等的线段？A2、如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°.求∠B和∠C的度数。
例2：求证：如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。
（写出已知和求证，画出图形）随堂练习：1．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC=_____°（1）（2）2．如图2，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=________度．3.等腰△ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P•运动的时间应为________．动手操作：拿出一张类似于如图（1）的矩形纸张，按照虚线对折如图（2），按（3）中的线段剪开，得到图形（4），DE 、DF 分别是边AC 、BC 上的高线，观察DF 与DE 的关系，并给予证明。
（1） （2） （3） （4） （5）如果DE 、DF 是两边上的中线或者是∠ADC ，∠BDC 的平分线，它们还相等吗？【例题经典】根据等腰三角形的性质寻求规律 例1．在△ABC 中，AB=AC ，∠1=12∠ABC ，∠2=12∠ACB ，BD 与CE 相交于点O ，如图，∠BOC 的大小与∠A 的大小有什么关系？ 若∠1=13∠ABC ，∠2=13∠ACB ，则∠BOC 与∠A 大小关系如何？ 若∠1=1n ∠ABC ，∠2=1n∠ACB ，则∠BOC 与∠A 大小关系如何？【分析】在上述条件由特殊到一般的变化过程中，根据等腰三角形的性质，∠1=∠2，∠ABD=∠ACE ， 即可得到∠1=12∠ABC ，∠2=12∠ACB 时，∠BOC=90°+12∠A ； ∠1=13∠ABC ，∠2=13∠ACB 时，∠BOC=120°+13∠A ； ∠1=1n ∠ABC ，∠2=1n ∠ACB 时，∠BOC=1n n·180°+∠A ．【点评】在例1图中，若AE=1n AB ，AD=1nAC ．类似上题方法同样可证得BD=CE ．•上述规律仍然存在．练习：如图，在下列三角形中若AB=AC ，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是 。
(完整版)等腰三角形基础题练习
等腰三角形基础题练习1．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为(）2．若等腰三角形的两边长分别为5和6,则这个等腰三角形的周长为()A. 11B. 16C。
17 D. 16或173．已知一等腰三角形的两边长x，y满足方程组错误!则此等腰三角形的周长为__ __．4．如图，AC平分∠BAD，CD⊥AD，CB⊥AB，连结B D。
，图中等腰三角形有__ _ 对5．已知等腰三角形ABC的底边BC的长为8，且|AC－BC｜＝2，则腰AC的长为（）A．10或6 B．10C．6 D．8或66．若等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数是．7．有一个等腰三角形，三边长分别为3x－2，4x－3,6－2x,则这个等腰三角形的周长为8如图,在▱ABCD中，，,的平分线交BA的延长线于点E，则AE的长为9如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且的度数为,则的度数是A. B. C. D。
10如果一个等腰三角形的一个角为，则这个三角形的顶角为11如图，中，，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和E，则的周长是12已知a、b、c是的三条边,且满足，则是A。
锐角三角形B。
钝角三角形C。
等腰三角形 D. 等边三角形13如图，下列条件不能推出是等腰三角形的是A.B。
，C. ，D。
，14如图,在中,,，,AD平分，交BC于点D,于E，则______ ．15如图,，OC平分，如果射线OA上的点E满足是等腰三角形，那么的度数为______．16如图，在中，，，，点P从点B开始以的速度向点C移动，当要以AB为腰的等腰三角形时,则运动的时间为______．17平行四边形ABCD中，的角平分线BE将边AD分成长度为5cm和6cm的两部分，则平行四边形ABCD 的周长为______cm．18如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12,腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F,若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则的周长的最小值为______．19如图,中，点D在边BC上，若，，则______度20如图，在中,,AB的垂直平分线MN交AC于D点若BD平分，则______21.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB，AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD,且∠EDC=40°,则∠ABC的度数为°22。
专题17 等腰三角形存在性巩固练习(提优)-冲刺2020年中考几何专项复习(解析版)
等腰三角形存在性问题巩固练习（提优）1．在平面直角坐标系中，点A（，），B（，），动点C在x轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（）A．2B．3C．4D．5【解答】B【解析】如图，，∵AB所在的直线是y＝x，∴设AB的中垂线所在的直线是y＝﹣x+b，∵点A（，，∴AB把x y代入y＝﹣x+b，解得b，∴AB，，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴的交点为点C2、C3；，，∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴没有交点．综上，可得若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为3．故选：B．2．平面直角坐标系中，已知A（﹣5，0），点P在第二象限，△AOP是以OA为腰的等腰三角形，且面积为10，则满足条件的P点坐标为．【解答】（﹣3，4）或（﹣8，4）或（﹣2，4）【解析】设P（m，n）．∵A（﹣5，0），∴OA＝5，∵S△POA＝10，∴5×n＝10，∴n＝4，当OP＝OA＝5时，m2+42＝52，∴m＝±3，∵m＜0，∴m＝﹣3，∴P（﹣3，4），当AP′＝5时，（m+5）2+42＝52，∴m＝﹣2或﹣8，∴P′（﹣8，4）或（﹣2，4）．故答案为（﹣3.4）或（﹣8，4）或（﹣2，4）．3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，在直线AC或BC上取点M，使得△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有个．【解答】8【解析】如图所示：①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB＝AM）；②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM＝BA）．③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA＝MB），交直线BC于点M8；∴符合条件的点有8个．4．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的动点，当点O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的点P坐标．【解答】见解析【解析】如图所示，满足条件的点P有8个，其坐标分别为P1（5，0）、P2（8，0）、P3（0，5）、P4（0，6）、P5（﹣5，0）、P6（0，﹣5）、P7（0，）、P8，0）．5．如图，已知在平面直角坐标系中，A（0，﹣1）、B（﹣2，0）、C（4，0）（1）求△ABC的面积；（2）在y轴上是否存在一个点D，使得△ABD是以AB为底的等腰三角形，若存在，求出点D坐标；若不存，说明理由．（3）有一个P（﹣4，a），使得S△P AB＝S△ABC，请你求出a的值．【解答】（1）3；（2）D（0，）；（3）a的值为4或﹣2【解析】（1）∵A（0，﹣1）、B（﹣2，0）、C（4，0），∴AO＝1，BC＝6，∴△ABC的面积＝6×1＝3；（2）存在一个点D，使得△ABD是以AB为底的等腰三角形．如图所示，设D（0，a），则AD＝1+a，OD＝a，∵BD＝AD＝1+a，∠BOD＝90°，∴Rt△BOD中，OD2+OB2＝BD2，∴a2+22＝（a+1）2，解得a＝∴D（0，）；（3）在x轴负半轴上取点D（﹣4，0），过D作x轴的垂线l，则点P在该垂线l上，过C作CP∥AB，交l于点P，则S△P AB＝S△ABC，∵A（0，﹣1）、B（﹣2，0），∴直线AB的解析式为y x﹣1，设直线CP解析式为y x+b，把C（4，0）代入，可得0＝﹣2+b，解得b＝2，∴直线CP解析式为y x+2，∴F（0，2），当x＝﹣4时，y＝2+2＝4，∴P（﹣4，4）；当点P'在x轴下方时，设过P'且平行于AB的直线交y轴于E，则AE＝AF＝3，∴OE＝4，即E（0，﹣4），∴直线P'E解析式为y x﹣4，当x＝﹣4时，y＝2﹣4＝﹣2，∴P'（﹣4，﹣2），∴a的值为4或﹣2．6．如图，已知：AD平分∠CAE，AD∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形．（2）当∠CAE等于多少度时△ABC是等边三角形？证明你的结论．【解答】（1）见解析；（2）当∠CAE＝120°时△ABC是等边三角形【解析】（1）证明：∵AD平分∠CAE，∴∠EAD＝∠CAD，∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠CAD＝∠C，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．故△ABC是等腰三角形．（2）当∠CAE＝120°时△ABC是等边三角形．∵∠CAE＝120°，AD平分∠CAE，∴∠EAD＝∠CAD＝60°，∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B＝60°，∠CAD＝∠C＝60°，∴∠B＝∠C＝60°，∴△ABC是等边三角形．7．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C出发，沿线段CA向点A运动，到达A点后停止运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．（1）当t为何值时，△PBC是等腰三角形；（2）过点P作PH⊥AB，垂足为H，当H为AB中点时，求t的值．【解答】（1）t为3秒时，△PBC为等腰三角形；（2）【解析】（1）∵∠C＝90°，∴当△PBC为等腰三角形时，其必为等腰直角三角形，∴BC＝PC，由题意可知PC＝2t，且BC＝6cm，∴2t＝6，解得t＝3，即当t为3秒时，△PBC为等腰三角形；（2）在Rt△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝8cm，∵PH⊥AB，且H为AB中点，∴PH垂直平分AB，∴PB＝P A，由题意可知PC＝2tcm，则PB＝P A＝（8﹣2t）cm，在Rt△PBC中，由勾股定理可得PB2＝CB2+CP2，即（8﹣2t）2＝62+（2t）2，解得t即当H为AB中点时t的值为．8．如图，在平面直角系中，点A、B分别在x轴、y轴上，A（8，0），B（0，6），点P从点B出发，沿BA 以每秒1个单位的速度向点A运动，点Q从点A出发，沿AO以每秒1个单位的速度向点O运动，点P、Q同时出发，当点Q到达点O时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t秒．（1）连接PQ，过点Q作QC⊥AO交AB于点C，用含t的代数式表示C点坐标；（2）在整个运动过程中，当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？【解答】（1）C（8﹣t t）；（2）当t时，△CPQ为等腰三角形．【解析】（1）由题意得：AQ＝BP＝t，∴OQ＝OA﹣AQ＝8﹣t，∵CQ⊥AO，BO⊥AO，∴CQ∥BO，∴△ACQ∽△ABO，，∴，∴CQ t，∴C（8﹣t）；（2）①当CP＝CQ时，如图1，在Rt△ACQ，在Rt△AOB中，AB＝10，∴PC＝AB﹣PB﹣AC＝10﹣t﹣t，t＝10﹣t﹣t，t＝②当CP＝PQ时，如图2，过P作PD⊥CQ于D，∴CD＝DQ，∵PD∥AQ，∴CP＝P A，由①得：AC＝t，∴AP＝AC t，＝10﹣t，，③当CQ＝CP时，如图3，∵CQ＝CP t，∴AP＝AC﹣CP t＝∴10﹣t，t＝；④当CQ＝PQ时，如图4，过Q作QE⊥AB于E，cos∠QCA＝cos∠OBA，∴CE∴CE＝PE∵AC＝CP+AP；综上所述，当t或时，△CPQ为等腰三角形．9．如图，在平面直角坐标系中有一点A，OA＝16，动点P从A开始以每秒2个单位的速度向x轴负半轴运动，动点Q从0开始以每秒1个单位的速度向y轴正半轴运动，P，Q同时出发，设时间为t；（1）当t为何值时，三角形OPQ为等腰三角形；（2）当t为何值时，三角形OPQ的面积为15．【解答】（1）当t为16秒时，三角形OPQ为等腰三角形；（2）当t为3或5或4+秒时，三角形OPQ的面积为15.【解析】（1）①当P在x轴正半轴上时，OP＝16﹣2t，OQ＝t，∵∠POQ＝90°，∴当OP＝OQ时，三角形OPQ为等腰三角形，此时，16﹣2t＝t，解得t②当P在x轴负半轴上时，OP＝2t﹣16，OQ＝t，∵∠POQ＝90°，∴当OP＝OQ时，三角形OPQ为等腰三角形，此时，2t﹣16＝t，解得t＝16；综上所述，当t16秒时，三角形OPQ为等腰三角形；（2）①当P在x轴正半轴上时，OP＝16﹣2t，OQ＝t，∵∠POQ＝90°，三角形OPQ的面积为15，∴16﹣2t）×t＝15，解得t＝3或5；②当P在x轴负半轴上时，OP＝2t﹣16，OQ＝t，∵∠POQ＝90°，三角形OPQ的面积为15，∴2t﹣16）×t＝15，解得t＝4+或4﹣（舍去），综上所述，当t为3或5或4+秒时，三角形OPQ的面积为15．。
等腰三角形强化练习(打印)题(含答案)
ED C AF1.等腰三角形练习题(第一课时)一、选择题1．等腰三角形的对称轴是（ ）A ．顶角的平分线B ．底边上的高C ．底边上的中线D ．底边上的高所在的直线 2．等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ） A ．17cm B ．22cm C ．17cm 或22cm D ．18cm3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40° C ．40° D ．80° 5．如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ）A ．80° B ．90° C ．100° D ．108°ECAFG二、填空题 6．等腰△ABC 的底角是60°，则顶角是________度． 7．等腰三角形“三线合一”是指___________．8．等腰三角形的顶角是n °，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________． 9．如图，△ABC 中AB=AC ，EB=BD=DC=CF ，∠A=40°，则∠EDF•的度数是_____．10．△ABC 中，AB=AC ．点D 在BC 边上（1）∵AD 平分∠BAC ，∴_______=________；________⊥_________； （2）∵AD 是中线，∴∠________=∠________；________⊥________； （3）∵AD ⊥BC ，∴∠________=∠_______；_______=_______．三、解答题11．已知△ABC 中AB=AC ，AD ⊥BC 于D ，若△ABC 、△ABD 的周长分别是20cm 和16cm ，•求AD 的长．AB C DAB C D练习题(第二课时)一、选择题1．如图1，已知OC 平分∠AOB ，CD ∥OB ，若OD=3cm ，则CD 等于（ ）A ．3cmB ．4cmC ．1.5cmD ．2cmD C AE D ABFEDCBH F（1） (2) (3)2．△ABC 中AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，则图中的等腰三角形有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．如图2，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②DE=BD+CE ；•③△ADE 的周长等于AB 与AC 的和；④BF=CF ．其中正确的有（ ）A ．①②③ B ．①②③④ C ．①② D ．①4．如图3，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，角平分线AE 交CD 于H ，EF ⊥AB 于F ，则下列结论中不正确的是（ ）A ．∠ACD=∠B B ．CH=CE=EF C ．CH=HD D ．AC=AF 二、填空题5．△ABC 中，∠A=65°，∠B=50°，则AB ：BC=_________．6．已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，要使AD•∥BC ，•则△ABC•的边一定满足________． 7．△ABC 中，∠C=∠B ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，•AE=•2cm ，•且DE•∥BC ，•则AD=________． 三、解答题9．如图，已知AB=AC ，E 、D 分别在AB 、AC 上，BD 与CE 交于点F ，•且∠ABD=•∠ACE ， 求证：BF=CF ．四、探究题11．如图，AF 是△ABC 的角平分线，BD ⊥AF 交AF 的延长线于D ，DE ∥AC•交AB 于E ， 求证：AE=BE ．ECABFE D ABF2.等边三角形练习题一、选择题1．正△ABC 的两条角平分线BD 和CE 交于点I ，则∠BIC 等于（ ） A ．60° B ．90° C ．120° D ．150°2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）A ．①②③ B ．①②④ C ．①③ D ．①②③④3．如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ，则△DEF•的形状是（ ）A ．等边三角形B ．腰和底边不相等的等腰三角形C ．直角三角形D ．不等边三角形D ABF21EDCA B4．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠B=30°，AD=2cm ，则AB 的长度是（ ） A ．2cm B ．4cm C ．8cm D ．16cm5．如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1=∠2，BE=CD ，则对△ADE 的形状最准备的判断是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．不能确定形状 二、填空题7．已知AD 是等边△ABC 的高，BE 是AC 边的中线，AD 与BE 交于点F ，则∠AFE=______． 8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．9．△ABC 中，∠B=∠C=15°，AB=2cm ，CD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ，•则CD•的长度是_______． 三、解答题10．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC•于点D ，•求证：•BC=3AD.D CAB11．如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE•都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，①求证：△BCE ≌△ACD ；②求证：CF=CH ；③判断△CFH•的形状并说明理由．EDAH F等腰三角形测试题（1）1、等腰三角形的一边长为2，周长是7，则另外两边的长为________。
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【巩固练习】
一.选择题
1. 已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为( )
A．16 B．17C．16或17D．10或12
2. 若一个三角形的三个外角度数比为2：3：3，则这个三角形是（）
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
3.（2015•陕西）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB 上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）
A．2个B．3个 C．4个 D．5个
4. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC
于E，那么下列结论正确的有( )
①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝DB＋CE；
③AD＋DE＋AE＝AB＋AC；④BF＝CF.
A．1个B．2个C．3个D．4个
5. 等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（）
A.105°
B.120°
C.135°
D.150°
6. 如图，等边三角形ABC中，D为BC的中点，BE平分∠ABC交AD 于E，若△CDE的面积等
于1，则△ABC的面积等于（）
A．2 B．4 C．6 D．12
二.填空题
7．如图，△ABC中，D为AC边上一点，AD＝BD＝BC，若∠A＝40°，则∠CBD＝_____°．8. 等腰三角形的顶角比其中一个底角大30°，则顶角的度数为．
9. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若
△ADE的周长为8cm，则AB ＝_________cm．
10.△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且AE=CD=BF，则△DEF为_____
三角形.
11.（2015•徐州模拟）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC与∠DCB的平分线相交于点H，过H作AD的平分线交AB于E，交CD于F．若BE=3，CF=2，则EF= ．
12. 如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，若CD＝1.8cm，则BC＝______．
三.解答题
13. 已知，如图，△ADC是等边三角形，B是DC边中点，E在AC延长线上且CE＝BC.请判断
△ABE的形状并证明你的结论.
14.（2015春•山亭区期末）如图，AD∥BC，∠BAC=70°，DE⊥AC于点E，∠D=20°．（1）求∠B的度数，并判断△ABC的形状；
（2）若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．
15. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ
分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ＋AQ＝AB＋BP．
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】C；
【解析】注意分类讨论.
2. 【答案】D；
【解析】三个外角度数分别为360°×＝90°，360°×＝135°，135°，所以三角
形为等腰直角三角形.
3. 【答案】D；
4. 【答案】C；
【解析】①②③正确.
5. 【答案】B；
【解析】等边△ABC的两条高线相交于O，∠OAB＝∠OBA＝30°，故∠AOB＝120°. 6. 【答案】C；
【解析】AE＝2DE，△ABC的面积是△CDE面积的6倍.
二.填空题
7. 【答案】20；
【解析】∠A＝∠ABD＝40°，∠BDC＝∠C＝80°，所以∠CBD＝20°.
8. 【答案】80°；
【解析】设顶角为x，则底角为x－30°，所以x＋x－30°＋x－30°＝180°，x＝80°.
9. 【答案】8；
【解析】DE＝DC，AC＝BC＝BE，△ADE的周长＝AD＋DE＋AE＝AC＋AE＝AB＝8.
10.【答案】等边；
【解析】利用SAS可以判定△EAF≌△FBD≌△DCE，从而可得，EF=FD=DE，即△DEF为等边三角形.
11.【答案】5；
【解析】∵EF∥BC，∴∠HBC=∠EHB，又∵∠EBH=∠HBC，∴∠EBH=∠EHB，
∴EH=BE=3，同理，HF=CF=2，∴EF=EH+HF=2+3=5.
12.【答案】1.8cm；
【解析】连接BD，∠ABD＝∠ADB，因为∠B＝∠D，所以∠CBD＝∠CDB，所以CD＝BD.
三.解答题
13.【解析】
△ABE 为等腰三角形.
证明：∵△ADC 是等边三角形，B 是DC 边中点 ∴∠ACD ＝60°，∠DAB ＝∠CAB ＝30° 又∵CE ＝BC ，
∴∠CBE ＝∠CEB ，
∵∠CBE ＋∠CEB ＝∠ACD ＝60°
∴∠CEB ＝30°
在△ABE 中，∠CAB ＝∠CEB ＝30° ∴△ABE 为等腰三角形.
14.【解析】
解：（1）∵DE⊥AC 于点E ，∠D=20°，
∴∠CAD=70°，
∵AD∥BC，
∴∠C=∠CAD=70°，
∵∠BAC=70°，
∴∠B=40°，AB=AC ，
∴△ABC 是等腰三角形；
（2）∵延长线段DE 恰好过点B ，DE⊥AC， ∴BD⊥AC，
∵△ABC 是等腰三角形，
∴DB 是∠ABC 的平分线．
15.【解析】
证明：延长AB 至E ，使BE ＝BP ，连接EP
∵在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝40°， ∴∠ABC ＝80°
∴∠E ＝∠BPE ＝802︒
＝40°
∵AP 、BQ 分别为∠BAC 、∠ABC 的角平分线， ∴∠QBC ＝40°，∠BAP ＝∠CAP
∴BQ ＝QC （等角对等边）
在△AEP 与△ACP 中，
EAP CAP
E C AP AP
∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AEP ≌△ACP （AAS ）
∴AE ＝AC
∴AB ＋BE ＝AQ ＋QC ，即AB ＋BP ＝AQ ＋BQ.。