大学物理：第24章量子物理的基本概念(第3节)

(r)
Hˆ (r)
T (t)
左右两边同除
(r )T
(t)
得
i
dT (t) dt
1 T (t)
1 (r )
Hˆ
(r )
13
i
dT (t dt
)
T
1 (t)
1 (r )
Hˆ
(r )
令＝E
上式 左边是 t 的函数
右边是
r
的函数
且两变量相互独立
两边必须等 于同一个常 量时才成立
得到两个独立的方程
i
分布的概率密度。粒子的坐标算符 xˆ 在状态(x)
上的平均值为
x
2
x ( x) dx
*( x) xˆ ( x)dx
受此启发，有平均值假定：
在任意状态(x)上力学量 Fˆ 的平均值为
F *( x) Fˆ ( x) dx
20
二.量子力学给出的重要结果 量子力学解题的一般思路
1.由粒子运动的实际情况 正确地写出势函数U(x)
10
怎么解方程？ 数学上好用的办法是分离变量求解 物理上能不能用这个好用的办法
要看是否可将波函数分离变量 当满足一定的物理条件时波函数可分离变量 即 将波函数中的位置和时间分解出来 物理问题通常都满足分离变量的条件
11
i
(r,t)
[
2
2
U (r,t)]
(r ,t)
t
2m
当粒子在一个与时间无关的有势场中运动时
E
(r )T
(t)
C
E
(r )
e
i
Et
18
5.平均值的假定（本课介绍的第3个假设） 量子力学唯一可以和实验进行比较的是力学量 的平均值
假设存在N(大数)个相同的状态，分别在这
些态上测量某一力学量，所得测量结果按状态
数N的算术平均值，称为该力学量在状态上
的平均值。
19
按玻恩统计诠释，波函数模方代表粒子空间
dT (t) dt
E T (t )
Hˆ
(r )
E
(r )
14
i
dT (t) dt
E T (t )
(1)
Hˆ
(r )
E
(r )
(2)
解方程（1）得
T
(t)
Ce
i
Et
－振动因子
15
讨论
T
(t)
Ce
i
Et
－振动因子
1 ) E 的量纲是能量的量纲
所以E 代表粒子的能量
2 ) C 可以是复数
3 ) 从推导过程可知
t
2m x2
三维有势场中粒子的薛定谔方程是
i
(r,t)
[
2
2
U (r,t)]
(r ,t)
t
2m
8
薛定谔方程是线性齐次方程，保证了叠加原
理成立：若1和2是方程的解，则它们的线性 组合（C11＋C22）也一定是方程的解。
算符只是一种抽象的数学记号，本身并不象经 典力学中的力学量那样具有实在的物理含义。
一维有势场U(x,t) 中的粒子
•经典关系式
E Px2 U (x, t) 2m
•替换后关系式
Eˆ Pˆx2 U (x,t) 2m
• 令其作用于波函数 (x,t)
•得到一维有势场中粒子满足的薛定谔方程
i
t
(x,
t)
[
2 2m
2 x2
U
(x,
t)]
(x,
t)
7
一维有势场中粒子满足的薛定谔方程
i (x,t) [ 2 2 U (x,t)] (x, t)
即
U U(r)
与时间 t 无关
2
2
U (r )
Hˆ
不显含时间
2m
这时波函数就可分离变量求解
波函数写成
(r ,
t)
(r )T
(t)
12
i
(r ,t)
[
2
2
U (r,t)]
(r ,t)
t
2m
将
(r,t) (r )T (t)
代入
i
(r ,t)
Hˆ
(r,t)
t
得
i
dT (t) dt
2
自由粒子波函数：
(x,t)
Ae
i
(
px x
E
t)
微分,得到方程
(x,t)
t
－i
E
(x,t)
(x,t)
x
i
px
(x,t)
2 (x,t) px2 (x,t)
x2
2
注意到
替代关系 i E
t
i
x
px
2
2 x2
px2
3
非相对论粒子有关系式 E＝ px2 2m
物理量与 算符替代
i E t
§3 简说量子力学动力学 一.几个基本假设 1.薛定谔方程（本课介绍的第1个假设） 自由粒子满足的方程是：
i
t
( x, t )
2 2m
2 x2
(x,
t)
猜的过程给人以启示 得到物理量与算符的替代关系
1
薛定谔
Erwin Schrodinger 奥地利人 1887-1961
创立量子力学
获1933年诺贝尔 物理学奖
2.代入定态薛定谔方程 3.解方程 4.解出能量本征值和相应的本征函数 5.求出概率密度分布及其他力学量或平均值
21
例1 粒子进入势垒
1.势函数
U(x )
=
0 U0
x<0 x>0
讨论入射能量 E <U0情况
U(x)
假设原子 中的电子 想从原子 中出来。
物理要求的解 这就意味着能量只能取分立的值--量子化17
只有一些特定的E 值才能使定态薛定谔 方程的解满足波函数的物理条件
即单值 有限 连续 归一
•特定的E值称为能量本征值
•各E值所对应的E (r叫) 能量本征函数
•故该方程又称为：能量本征值方程
•定态: 能量取确定值的状态
•定态波函数:
E
(r ,t)
方程(1)的解与具体势函数无关
所以在类似问题中作为已知结果使用
4 ) 物理上主要任务是解方程(2)
16
Hˆ
(r )
E
(r )
(2)
定态薛定谔方程
2 2m
2
U
(r)
(r )
E
(r )
方程的解是什么呢?
•依赖于
U
(r )
的具体形式
•从数学上讲 给定一个E 就有相应的解 •从物理上讲 只有特殊的E 才能得到满足
x , xi
yˆ
y , yj
zˆ zk
z
5
量的经函典数力学F 中F的(r力, p学) 量例一如能般量是和粒轨子道的角坐动标量和动
E
p
2
U (r )
Lrp
2m
量子力学假定：
量子力学中有经典对应的力学量仍可写成坐标 和动量的函数，只是动量用算符代替
p
pˆ
i
i
x
j
y
k
z
i
6
3. 薛定谔方程的写出过程
但正是由于引进了力学量算符，加上用波函数 表达状态，理论上才能解释微观体系的实验结 果。这些实验结果用经典力学是无法解释的。
9
4.定态薛定谔方程
有势场中粒子的薛定谔方程是
i
(r,t)
[
2
2
U (r,t)]
(r ,t)
t
2m
物理上通过解方程得到波函数
下面需要回答的问题是:
怎么解薛定谔方程?
物理上波函数一般形式?
关系
2
2 x2
p
2 x
令其作用于波函数 (x上, t)
得自由粒子的薛定谔方程
i
t
(x,t) 2 2m
2 x2
(x, t)
4
2.力学量用算符表达（本课介绍的第2个假设）
动量用算符表达
pˆ x
i
x
,
pˆ y
i
y
,
pˆ z
Байду номын сангаас
i
z
pˆ
i
i
x
j
y
k
z
i
坐标用算符表达
xˆ rˆ