05-06概率论与随机过程试题(A卷)
随机过程考试真题
1、设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。
（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。
2、设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量； 且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。
令R t W t X +=)()(，求随机过程{}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。
3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个 顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。
求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。
4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3.007.08.02.0007.03.0P（1）求两步转移概率矩阵)2(P及当初始分布为0}3{}2{,1}1{000======X P X P X P时，经两步转移后处于状态2的概率。
（2）求马尔可夫链的平稳分布。
5设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ，转移概率矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010007.03.0000000100004.06.0003.04.03.0P求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。
6、设{}(),0N t t ≥是参数为λ的泊松过程，计算[]()()E N t N t s +。
7、考虑一个从底层启动上升的电梯。
以i N 记在i 第层进入电梯的人数。
假定i N 相互独立，且i N 是均值为i λ的泊松变量。
在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯，1ijj ip>=∑。
令j O ＝在第j 层离开电梯的人数。
（1）计算()j E O （2）j O 的分布是什么（3）j O 与k O 的联合分布是什么8、一质点在1，2，3点上作随机游动。
《概率论与随机过程》习题
《概率论与随机过程》第一章习题1. 写出下列随机试验的样本空间。
（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。
（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。
（4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
（5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。
（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。
（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。
（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
（9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。
（10） 测量一汽车通过给定点的速度。
（11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。
2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。
（1） A 发生，B 与C 不发生。
（2） A 与B 都发生，而C 不发生。
（3） A ，B ，C 都发生。
（4） A ，B ，C 中至少有一个发生。
（5） A ，B ，C 都不发生。
（6） A ，B ，C 中至多有一个发生。
（7） A ，B ，C 中至多有二个发生。
（8） A ，B ，C 中至少有二个发生。
3. 设{}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式（1）B A 。
（2）B A ⋃。
（3）B A 。
（4） BC A 。
（5）)(C B A ⋃。
4. 设{}20≤≤=x x S ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤=2341x x B ，具体写出下列各式。
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案随机过程是概率论与数理统计的重要理论基础之一。
通过研究随机过程，可以揭示随机现象的规律性，并应用于实际问题的建模与分析。
以下是一些关于随机过程的试题及答案，帮助读者更好地理解与掌握这一概念。
1. 试题：设随机过程X(t)是一个马尔可夫过程，其状态空间为S={1,2,3}，转移概率矩阵为：P =| 0.5 0.2 0.3 || 0.1 0.6 0.3 || 0.1 0.3 0.6 |(1) 计算X(t)在t=2时的转移概率矩阵。
(2) 求X(t)的平稳分布。
2. 答案：(1) 根据马尔可夫过程的性质，X(t)在t=2时的转移概率矩阵可以通过原始的转移概率矩阵P的2次幂来计算。
令Q = P^2，则X(t=2)的转移概率矩阵为：Q =| 0.37 0.26 0.37 || 0.22 0.42 0.36 || 0.19 0.36 0.45 |(2) 平稳分布是指随机过程的状态概率分布在长时间内保持不变的分布。
设平稳分布为π = (π1,π2, π3)，满足πP = π（即π为右特征向量），且所有状态的概率之和为1。
根据πP = π，可以得到如下方程组：π1 = 0.5π1 + 0.1π2 + 0.1π3π2 = 0.2π1 + 0.6π2 + 0.3π3π3 = 0.3π1 + 0.3π2 + 0.6π3解以上方程组可得到平稳分布：π = (0.25, 0.3125, 0.4375)3. 试题：设随机过程X(t)是一个泊松过程，其到达率为λ=1，即单位时间内到达的事件平均次数为1。
(1) 请计算X(t)在t=2时的累计到达次数的概率P{N(2)≤3}。
(2) 计算X(t)的平均到达速率。
4. 答案：(1) 泊松过程具有独立增量和平稳增量的性质，且在单位时间内到达次数服从参数为λ的泊松分布。
所以，P{N(2)≤3} = P{N(2)=0} + P{N(2)=1} + P{N(2)=2} +P{N(2)=3}，其中P{N(2)=k}表示在时间间隔[0,2]内到达的次数为k的概率。
北邮概率论与随机过程—学学期期末A卷
北京邮电大学2010——2011学年第2 学期3学时《概率论与随机过程》期末考试（A ）一． 填空题.1 设随机事件,A B 满足()( )P AB P A B =, 且()P A p =, 则()P B = 1-p2. 设每次实验中事件A 出现的概率为p ,在三次独立重复试验中, A 至少出现一次的概率为1927, 则p = 1/3 3. 随机变量X 服从参数为1的泊松分布(1)π,则2(())P X E X ==112e - 4. 设随机变量X 服从正态分布2(10,0.02)N ，记22()u xx du -Φ=⎰，且已知(2.5)0.9938Φ=，则((9.95,10.05))P x ∈= ０．９８７６5. 已知随机变量X 服从均匀分布(1,6)U ，则矩阵20001010A X⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的特征值全为实根的概率为 ４／５6. 已知随机变量X 的密度函数为||1(),2x f x e x -=-∞<<+∞，则(01)P X <<= 11(1)2e -- 7. 设连续型随机变量X 的分布函数为()F x ，则0y >时，2ln(())Y F X =-的概率密度函数()Y f y ＝ 212y e - 8. 已知随机变量X 服从均值为１的指数分布，则min{,2}Y X =的分布函数()F y ＝0,0,1,02,1, 2.xx e x x -≤⎧⎪-<<⎨⎪≥⎩9. 已知随机变量(,)X Y 服从二维正态分布22(1,2,1,2,0.5)，则21Z X Y =++的概率密度函数()f z 2(5)x --10. 设,X Y 的联合概率密度为(2)2,0,0,(,)0,x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它，, 则概率(1,2)P X Y ><=14(1)e e --- 11. 设随机过程2()X t X Yt Zt =++, 其中,,X Y Z 是相互独立的随机变量, 且均值都为零, 方差都为1, 则相关函数(,)X R s t = 221st s t ++12. 设{(),0}W t t ≤<+∞是参数为2σ的维纳过程, 则[((3)(1))((4)(1))]E W W W W --=22σ13. 设平稳高斯过程{().0}X t t ≥的均值为零, 相关函数为2||1()4X R e ττ-=, 则对任意固定的0t , 0()X t 的概率密度函数()f x 22x - 14. 设离散时间离散状态齐次马尔可夫链{}n X 的状态空间是{0,1,2},平稳分布为111,,244π⎧⎫=⎨⎬⎩⎭, 若000111(0),(1),(2)244P X P X P X ======, 则方差100()D X = 11/1615. 设}),({+∞<<-∞t t X 为平稳随机过程，功率谱密度为212)(ωω+=X S , 则其平均功率为 1二. （１5分）设某餐厅每天接待300名顾客, 并设每位顾客的销费额(元)服从均匀分布(40,100)U , 且顾 客的消费相互独立. 求:(1) 该餐厅的日营业额的期望和方差; (2) 平均每天有多少位顾客消费额超过50元;(3) 用中心极限定理估计该餐厅日营业额超过21750的概率. 解. (1) 设,1,2,...,300i X i =是第i 位顾客的消费额, 则由题意,1,40100,()600,ix X f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它， 设X表示该餐厅的日消费额, 则3001.ii X X ==∑ 因为 ()70i E X =, 则21300300(60/12)90000.DY DX =⨯==21000EX =(5’) (2 ) 设Y 是消费额超过50元的顾客数. 则1(300,(50))(300,5/6)YB P X B >=, 所以300(5/6)250.EY =⨯= (5’)(3) 由中心极限定理得12300(...21750)1(2.5)0.0062.P X X X P +++>⎛⎫=>=-Φ= (5’) 三．（１5分）设二维随机变量(,)X Y 具有概率密度(1), 0,0,(,)3x y k ex y f x y -+⎧>>⎪=⎨求(1)系数k ; (2)边缘概率密度(),()X Y f x f y ，并问,X Y 是否独立, 为什么? (3)求条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y . 解.(1) 0,01(,)3x Y f x y dxdy k >>=⇒=⎰⎰(3’)(2) (1)0,0,()(,)0,0,x y x X xedy e x f x f x y dy x +∞-+-+∞-∞⎧=>⎪==⎨⎪≤⎩⎰⎰(1)201,0,(1)()(,)0,0,x y Y xe dx y y f y f x y dx y +∞-++∞-∞⎧=>⎪+==⎨⎪≤⎩⎰⎰(6’)由于(,)()()X Y f x y f x f y ≠,所以不独立.(3) 当0x >时, (1)|(,)(|)()x y xy Y X xX f x y xe f y x xe f x e-+--===, 当0y >时, (1)2(1)|2(,)(|)(1)1()(1)x y x y X Y Y f x y xe f x y y xe f y y -+-+===++ (6’)四．（１5分）设齐次马氏链}0,{≥n X n 的状态空间为}2,1,0{=E ，一步转移概率矩阵为110221102211022P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 初始分布为0001{0}{1}{2}3P X P X P X ====== (1) 求124 {1,1,2}P X X X ===;(2) 求02,X X 的相关系数02X X ρ;(3) 证明马氏链}0,{≥n X n 具有遍历性，并求其极限分布．解 (1) 2111244111(2)424111442P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,124 {1,1,2}P X X X ====20111120()(2)0i i P X i p p p ===∑ (5’)(2) 2X 的分布率(2)(0)(2)(1/3,1/3,1/3)p p P ==02,X X 的联合分布率02021,2/3EX EX DX DX ==== 027/6EX X =1/4ρ== (5’)(3) 由P(2)知马氏链遍历,由01210,0,1,2,iP i ππππππ=⎧⎪++=⎨⎪≥=⎩得平稳分布为(1/3,1/3,1/3). (5’) 五．（１0分）设某线性系统的脉冲响应函数为22,0()0,0t e t h t t -⎧≥=⎨<⎩，将平稳过程{})()(∞+-∞∈，，t t X 输入到该系统后, 输出平稳过程{})()(∞+-∞∈，，t t Y 的谱密度为424()1336Y S ωωω=++，求：(1)输入平稳过程的{})()(∞+-∞∈，，t t X 的谱密度)(ωX S ； (2)自相关函数)(τX R ； (3)输入与输出的互谱密度)(ωXY S ．解： 2222,024()(),|()|240,0t e t h t H H i t ωωωω-⎧≥=↔==⎨++<⎩，(1) 22()1(),|()|(9)Y X S S H ωωωω==+ (4分) (2) 3||11()(),26i X X R S e d e ωτττωωπ+∞--∞==⎰ (3分) (3) 22()()()(2)(9)X Y X S H S i ωωωωω==++． (3分)。
概率论与随机过程试题
08-09概率论与随机过程试题(A卷)(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--08-09概率论与随机过程试题(A 卷)一、填空题（每空3分，共30分）1. 设()0.3P A =，()0.6P B =，()0.8P B A =，则()________P A B =.2. 设随机变量X 的分布率为{}!k P X k ak λ==（0, 1, 2, ; 0k λ=>为常数）则a =________.3.设X 和Y 为两个随机变量，且3(0,0)7P X Y ≥≥=，4(0)(0)7P X P Y ≥=≥=，则{max(,)0}P X Y ≥=____________.4. 设随机变量X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数，且每次射击命中目标的概率为，则()E X =_______________，2()E X =_________________.5. 设随机变量X 服从[1, ]b -上的均匀分布，若由切比雪夫不等式有2{|1|}3P X ε-<≥，则b =________，ε=________. 6. 若随机过程()cos , (,)Y t X t t ω=∈-∞+∞，其中ω是常数，X 服从[0，1]上的均匀分布，则()Y t 的状态空间是____________________________.7. 设{(),}X t t T ∈是二阶矩过程，如果对任意,t t T τ+∈，[()]E X t =__________________，[()()]E X t X t τ+=_________________，则称{(), }X t t T ∈为宽平稳过程或广义平稳过程.二、计算题（共70分）1.（本小题8分）有三个箱子分别编号为1，2，3，1号箱装有1个红球，4个白球；2号箱装有2个红球，3个白球；3号箱装有3个红球。
北邮概率论与随机过程—学第学期期末A卷
北京邮电大学2010——2011学年第 2 学期3学时《概率论与随机过程》期末考试（A ）一．填空题.1设随机事件,A B 满足()()P AB P A B ,且()P A p , 则()P B 1-p2.设每次实验中事件A 出现的概率为p ,在三次独立重复试验中,A 至少出现一次的概率为1927, 则p =1/33.随机变量X 服从参数为1的泊松分布(1),则2(())P X E X =112e4.设随机变量X 服从正态分布2(10,0.02)N ，记221()2uxx edu ，且已知(2.5)0.9938，则((9.95,10.05))P x０．９８７６5.已知随机变量X 服从均匀分布(1,6)U ，则矩阵2000101AX 的特征值全为实根的概率为４／５6.已知随机变量X的密度函数为||1(),2x f x ex，则(01)P X11(1)2e 7.设连续型随机变量X 的分布函数为()F x ，则0y时，2ln(())Y F X 的概率密度函数()Y f y ＝212y e8.已知随机变量X 服从均值为１的指数分布，则min{,2}Y X 的分布函数()F y ＝0,0,1,02,1,2.xx e xx 9.已知随机变量(,)X Y 服从二维正态分布22(1,2,1,2,0.5)，则21ZX Y 的概率密度函数()f z ＝2(5)24126x e10.设,X Y 的联合概率密度为(2)2,0,0,(,)0,x y ex y f x y 其它，, 则概率(1,2)P X Y =14(1)e e 11.设随机过程2()X t XYt Zt , 其中,,X Y Z 是相互独立的随机变量, 且均值都为零, 方差都为1, 则相关函数(,)X R s t =221st s t12.设{(),0}W t t 是参数为2的维纳过程, 则[((3)(1))((4)(1))]E W W W W =2213.设平稳高斯过程{().0}X t t 的均值为零, 相关函数为2||1()4X R e, 则对任意固定的0t , 0()X t 的概率密度函数()f x =2222x e14.设离散时间离散状态齐次马尔可夫链{}n X 的状态空间是{0,1,2},平稳分布为111,,244, 若111(0),(1),(2)244P X P X P X , 则方差100()D X =11/1615.设}),({t t X 为平稳随机过程，功率谱密度为212)(X S ,则其平均功率为1二. （１5分）设某餐厅每天接待300名顾客, 并设每位顾客的销费额(元)服从均匀分布(40,100)U , 且顾客的消费相互独立. 求:(1)该餐厅的日营业额的期望和方差; (2)平均每天有多少位顾客消费额超过50元;(3)用中心极限定理估计该餐厅日营业额超过21750的概率.解. (1) 设,1,2,...,300i X i是第i 位顾客的消费额, 则由题意, 1,40100,()600,ix X f x 其它，设X 表示该餐厅的日消费额, 则3001.i i XX 因为()70i E X , 则21300300(60/12)90000.DYDX 21000EX(5’)(2 ) 设Y 是消费额超过50元的顾客数. 则1(300,(50))(300,5/6)Y B P X B , 所以300(5/6)250.EY (5’)(3) 由中心极限定理得12300123001230012300(...21750) (21000)2175021000(...)(...)1(2.5)0.0062.P X X X X X X P D X X X D X X X (5’)三．（１5分）设二维随机变量(,)X Y 具有概率密度求(1)系数k ; (2)边缘概率密度(),()X Y f x f y ，并问,X Y 是否独立, 为什么? (3)求条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y .(1),0,0,(,)30,x y k e x y f x y 其他.解.(1) 0,01(,)3x Y f x y dxdy k (3’)(2)(1),0,()(,)0,0,x y xX xe dy e xf x f x y dyx (1)201,0,(1)()(,)0,0,x y Y xedx y y f y f x y dxy(6’)由于(,)()()X Y f x y f x f y ,所以不独立.(3) 当0x时, (1)|(,)(|)()x y xyY X xX f x y xe f y x xef x e,当0y时, (1)2(1)|2(,)(|)(1)1()(1)x y x y X Y Y f x y xe f x y y xef y y (6’)四．（１5分）设齐次马氏链}0,{nX n 的状态空间为}2,1,0{E，一步转移概率矩阵为110221102211022P，初始分布为001{0}{1}{2}3P X P X P X (1) 求124{1,1,2}P X X X ;(2) 求02,X X 的相关系数02X X ;(3)证明马氏链}0,{nX n 具有遍历性，并求其极限分布．解(1) 2111244111(2)424111442P P,124{1,1,2}P X X X =20111120()(2)0i i P X i p p p (5’)(2)2X 的分布率(2)(0)(2)(1/3,1/3,1/3)p p P 02,X X 的联合分布率0X 2X 0 1 2 0 1/6 1/12 1/12 1 1/12 1/6 1/12 21/121/121/6221,2/3EX EX DX DX 027/6EX X 0202021/4EX X EX EX DX DX (5’)(3) 由P(2)知马氏链遍历,由01210,0,1,2,iPi 得平稳分布为(1/3,1/3,1/3). (5’)五．（１0分）设某线性系统的脉冲响应函数为22,0()0,te t h t t，将平稳过程)()(，，tt X 输入到该系统后, 输出平稳过程)()(，，tt Y 的谱密度为424()1336Y S ，求：(1)输入平稳过程的)()(，，tt X 的谱密度)(X S ；(2)自相关函数)(X R ；(3)输入与输出的互谱密度)(XY S ．解：2222,024()(),|()|240,te t h t H H it，(1)22()1(),|()|(9)Y X S S H (4分)(2)3||11()(),26i X X R S e de(3分)(3)22()()()(2)(9)XY X S H S i ．(3分)。
概率论期末考试试卷试题A卷包括答案
07 级?概率论?期末考试试题 A 卷及答案一、填空题〔总分值 15 分〕：1.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，那么“第一卷及第五卷出现在旁边〞的概率为1。
1023!1解答： p15!102.设 P( A) p, P( B)q, P( A B)r , 那么 P( AB )r q。
解答： P( AB )P( A B)P[( A B) B)] P( A B) P(B)r q3.设随机变量的分布列为P( X k )a k, k0,1,2,...3则a =2. 3解答： 1a a113 a a2k 03k12334. 设随机变量为与， D=25,D=36,,0.4 ,那么 D( -)= 37.解答：D ()D D 2 cov(, ),cov(,) D DD () D D 2 D D,25 36 2 5 6 0.4 375. 设随机变量服从几何分布 P(k )q k 1 p,k 1,2,... 。
那么的特征函数f (t )。
解 : f t E(e it)e itk q k1 p pe it qe it itk 1pe it .k1k 11qe二、单项选择题〔总分值15 分〕：1.设 .A 、 B、 C 为三个事件 , 用 A、 B、 C 的运算关系表示“三个事件至多一个发生〞为(④).① A B C .②AB C A BC AB C③ABC .④ A BC ABC ABC A BC2. 以下函数中， ()可以作为连续型随机变量的分布函数.①. F x e xx0②G xe x x01x01x0③ x0x0④ H x0x01e x x0 1 e x x03. 下面是几个随机变量的概率分布，其中期望不存在的为〔②〕。
① P(k )n p k (1p) n k ,0 p 1, k 0,1,..., n .k② P((1) k 3k)1, k 1,2,... .k3kk③ P(k )e,0, k0,1,2.. .k!④ . P(k )(1p)k 1 p, 0p 1, k1,2,...4. 设( ,) 服从二维正态分布 N ( a1 , a2 ; 1 2 ,22 ; r ) ，r0是,独立的〔③ 〕。
西安邮电学院2005-2006第一学期通信工程专业《概率论与随机过程》期末考试A卷及答案
上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线7．设}0,{≥n X n 是具有三个状态0，1，2的齐次马氏链，一步转移概率矩阵为,4/14/304/12/14/104/14/3210210⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P 初始分布0(0){}13,0,1,2i p P X i i ====试求(1)}1,0{20==X X P ；(2)}1{2=X P ；(3)0135{1,1,1,2}P X X X X ====．8. 考虑随机电报信号．信号)(t X 由只取I +或I -的电流给出(图1画出了)(t X 的一条样本曲线)．这里2/1})({})({=-==+=I t X P I t X P ，而正负号在区间),(τ+t t 内变化的次数),(τ+t t N 是随机的，且假设),(τ+t t N 服从泊松分布，亦即事件}),({k t t N A k =+=τ的概率为,)()(λτλτ-=e kA P k k ,2,1,0=k ．其中0>λ是单位时间内变号次数的数学期望，试讨论)(t X 的平稳性．图1上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线概率论与随机过程试题参考答案（A ）一、计算题（共8小题，每小题满分10分，共80分）1. 由题意大家是围圆桌就座，所以只要这些人就座的相对位置一样，那么就是相同的就坐方式.因此a 位男士和b 位女士不同的就座方式共有:()!1)!(-+=++b a ba b a 种当2a b +=，只有一种就坐方式，因此所求概率1P =；当2a b +>时，把甲乙两人看作一人，则()1-+b a 人的就座方式共为()!2-+b a 种;又甲乙两人的不同就座方式为2种，所以甲乙两人坐在一起的概率为:2(2)!2(1)!(1)a b P a b a b ⨯+-==+-+-. 2. 随机变量X 的所有可能取值为3，4，5. 而且35110P X C =1(=3)=，2335310C C P X C =11(=4)=，2435610C C P X C =11(=5)=.因此345~136101010X ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3()()0;<=≤=当时，X F X P X x 134()()(3)10≤<=≤===当时，;X F X P X x P X 445()()(3)(4);10≤<=≤==+==当时，X F X P X x P X P X 5()()(3)(4)(5)1≥=≤==+=+==当时，X F X P X x P X P X P X .所求分布函数为0,3;1,34;10()4,45;101, 5.x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩3. 因为X 与Y 相互独立，所以()()()⎩⎨⎧>≤≤=⋅=-其他,00,10,,y x e y f x f y x f y Y X由卷积公式得()()()()dx x z f x f dx x z x f z f Y X Z -⋅=-=⎰⎰+∞∞-+∞∞-,又由已知可知，当⎩⎨⎧>-≤≤010x z x ，亦即⎩⎨⎧<≤≤zx x 10时，上述积分的被积函数不等于零，即可得()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥≥-=⋅>-=⋅=------⎰⎰0001,111,11010z z e dx e z e e dx e z f z zx z z x z Z4. XY的分布律为Y X ⋅所以0831831)(=⨯+⨯-=X E ，0831831)(=⨯+⨯-=Y E ，0821821)(=⨯-⨯=XY E ， 故Cov(,)()()()0X Y E XY E X E Y =-=，即X 和Y 是不相关的。
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05-06概率论与随机过程试题（A ）
一、选择题
1．设0<P(A)<1,0<P(B)<1, 1=+)|()|(B A P B A P 则( ).
（A ）事件A 与B 不相容 （B ）事件A 与B 相互对立
（C ）事件A 与B 不独立 （D ）事件A 与B 相互独立
2．设连续型随机变量X 的分布函数为x B A x F arctan )(-= )(+∞<<-∞x ，则常数A 、B 分别等于( ).
（A ）
π1、21； （B ）21、π1；（C ）π1、2
1-；（D ）21、π1-. 3．设相互独立的两个随机变量X 和Y 均服从参数为21的0-1分布，则随机变量},max{Y X Z =的分布律是( ).
4．将一枚硬币重复掷次，以和分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 和Y 的相关系数等于( ).
（A ） 1 （B ） 0 （C ） 0.5 (D) 1-
5．设随机变量 ,,,,n X X X 21相互独立，且服从同一分布，其分布函数为b x
a x F arctan )(π1
+=，0≠b ，则辛钦大数定理对此序列( ).
（A ）适应 （B ）无法判别（C ）当常数b a ,取适当的数值时适应 （D ）不适应
二、计算题（共9小题，每小题满分10分，共90分）
1．设C B A ,,是三个事件，,41)()()(===C P B P A P 1()(),8P AB P BC == ()0P AC =．求：（1）C B A ,,都发生的概率；（2）C B A ,,至少有一个发生的概率；(3) C B A ,,都不发生的概率．
2． 设随机变量X 的密度函数为, 0 1,()0, .ax x f x <<⎧=⎨⎩其他 试求：（1）常3. 设随机变
量X 在1，2，3，4四个整数中等可能地取值，另一个随机变量Y 在1～X 中等可能地取一整数值．试求(,)X Y 的分布律及关于Y X ,的边缘分布律．
4. 设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为221,2,(,)20,
.x y f x y π⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他 试验证
X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的．数a ；
（2）X 的分布函数()F x ． 5．某单位内部有260部电话分机，每部分机有4%的时间使用外线与外界通话，可以认为每部电话分机用不用外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能以95%把握保证各分机在用外线时不必等候．（(1.64)0.9495Φ=，(1.65)0.9505Φ=，(1.66)0.9515Φ=）
6. 研究一机械装置，设它在),0[t 内发生“震动”的次数)(t N 是强度为5（次/h ）的泊松过程，并且当第100次“震动”发生时，此机械装置发生故障，试求(1)这一装置寿命的概率密度；(2)这一装置的平均寿命；（3）相继两次“震动”时间间隔的概率密度；（4）相继两次“震动”的平均时间.
7．设齐次马氏链}1),({≥n n X 的状态空间}2,1,0{=I ，一步转移概率矩阵为
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2/12/1003/23/16/13/12/1P ， 它的初始状态的概率分布为
1{(0)0}6P X == ，2{(0)1},3P X ==1{(0)2}6
P X ==， 试求概率}2)2(,0)1(,1)0({===X X X P 及极限分布。
8. 设),(),cos(
)(+∞-∞∈+=t t a t X Θω，其中a 和ω是常数，Θ是在)2,0(π上服从均匀分布的随机变量．讨论随机过程()cos()X t a t ω=+Θ的各态历经性．
9．有两箱同种类的零件，第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品，今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取两次做不放回抽样，求：（1）第一次取得零件是一等品的概率；（2）已知第一次取得的零件是一等品，第二次取到的零件也是一等品的概率。