05-06概率论与随机过程试题(A卷)
随机过程考试真题
1、设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。
（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。
2、设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量； 且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。
令R t W t X +=)()(，求随机过程{}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。
3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个 顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。
求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。
4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3.007.08.02.0007.03.0P（1）求两步转移概率矩阵)2(P及当初始分布为0}3{}2{,1}1{000======X P X P X P时，经两步转移后处于状态2的概率。
（2）求马尔可夫链的平稳分布。
5设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ，转移概率矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010007.03.0000000100004.06.0003.04.03.0P求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。
6、设{}(),0N t t ≥是参数为λ的泊松过程，计算[]()()E N t N t s +。
7、考虑一个从底层启动上升的电梯。
以i N 记在i 第层进入电梯的人数。
假定i N 相互独立，且i N 是均值为i λ的泊松变量。
在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯，1ijj ip>=∑。
令j O ＝在第j 层离开电梯的人数。
（1）计算()j E O （2）j O 的分布是什么（3）j O 与k O 的联合分布是什么8、一质点在1，2，3点上作随机游动。
《概率论与随机过程》习题
《概率论与随机过程》第一章习题1. 写出下列随机试验的样本空间。
（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。
（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。
（4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
（5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。
（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。
（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。
（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
（9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。
（10） 测量一汽车通过给定点的速度。
（11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。
2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。
（1） A 发生，B 与C 不发生。
（2） A 与B 都发生，而C 不发生。
（3） A ，B ，C 都发生。
（4） A ，B ，C 中至少有一个发生。
（5） A ，B ，C 都不发生。
（6） A ，B ，C 中至多有一个发生。
（7） A ，B ，C 中至多有二个发生。
（8） A ，B ，C 中至少有二个发生。
3. 设{}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式（1）B A 。
（2）B A ⋃。
（3）B A 。
（4） BC A 。
（5）)(C B A ⋃。
4. 设{}20≤≤=x x S ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤=2341x x B ，具体写出下列各式。
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案随机过程是概率论与数理统计的重要理论基础之一。
通过研究随机过程，可以揭示随机现象的规律性，并应用于实际问题的建模与分析。
以下是一些关于随机过程的试题及答案，帮助读者更好地理解与掌握这一概念。
1. 试题：设随机过程X(t)是一个马尔可夫过程，其状态空间为S={1,2,3}，转移概率矩阵为：P =| 0.5 0.2 0.3 || 0.1 0.6 0.3 || 0.1 0.3 0.6 |(1) 计算X(t)在t=2时的转移概率矩阵。
(2) 求X(t)的平稳分布。
2. 答案：(1) 根据马尔可夫过程的性质，X(t)在t=2时的转移概率矩阵可以通过原始的转移概率矩阵P的2次幂来计算。
令Q = P^2，则X(t=2)的转移概率矩阵为：Q =| 0.37 0.26 0.37 || 0.22 0.42 0.36 || 0.19 0.36 0.45 |(2) 平稳分布是指随机过程的状态概率分布在长时间内保持不变的分布。
设平稳分布为π = (π1,π2, π3)，满足πP = π（即π为右特征向量），且所有状态的概率之和为1。
根据πP = π，可以得到如下方程组：π1 = 0.5π1 + 0.1π2 + 0.1π3π2 = 0.2π1 + 0.6π2 + 0.3π3π3 = 0.3π1 + 0.3π2 + 0.6π3解以上方程组可得到平稳分布：π = (0.25, 0.3125, 0.4375)3. 试题：设随机过程X(t)是一个泊松过程，其到达率为λ=1，即单位时间内到达的事件平均次数为1。
(1) 请计算X(t)在t=2时的累计到达次数的概率P{N(2)≤3}。
(2) 计算X(t)的平均到达速率。
4. 答案：(1) 泊松过程具有独立增量和平稳增量的性质，且在单位时间内到达次数服从参数为λ的泊松分布。
所以，P{N(2)≤3} = P{N(2)=0} + P{N(2)=1} + P{N(2)=2} +P{N(2)=3}，其中P{N(2)=k}表示在时间间隔[0,2]内到达的次数为k的概率。
北邮概率论与随机过程—学学期期末A卷
北京邮电大学2010——2011学年第2 学期3学时《概率论与随机过程》期末考试（A ）一． 填空题.1 设随机事件,A B 满足()( )P AB P A B =, 且()P A p =, 则()P B = 1-p2. 设每次实验中事件A 出现的概率为p ,在三次独立重复试验中, A 至少出现一次的概率为1927, 则p = 1/3 3. 随机变量X 服从参数为1的泊松分布(1)π,则2(())P X E X ==112e - 4. 设随机变量X 服从正态分布2(10,0.02)N ，记22()u xx du -Φ=⎰，且已知(2.5)0.9938Φ=，则((9.95,10.05))P x ∈= ０．９８７６5. 已知随机变量X 服从均匀分布(1,6)U ，则矩阵20001010A X⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的特征值全为实根的概率为 ４／５6. 已知随机变量X 的密度函数为||1(),2x f x e x -=-∞<<+∞，则(01)P X <<= 11(1)2e -- 7. 设连续型随机变量X 的分布函数为()F x ，则0y >时，2ln(())Y F X =-的概率密度函数()Y f y ＝ 212y e - 8. 已知随机变量X 服从均值为１的指数分布，则min{,2}Y X =的分布函数()F y ＝0,0,1,02,1, 2.xx e x x -≤⎧⎪-<<⎨⎪≥⎩9. 已知随机变量(,)X Y 服从二维正态分布22(1,2,1,2,0.5)，则21Z X Y =++的概率密度函数()f z 2(5)x --10. 设,X Y 的联合概率密度为(2)2,0,0,(,)0,x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它，, 则概率(1,2)P X Y ><=14(1)e e --- 11. 设随机过程2()X t X Yt Zt =++, 其中,,X Y Z 是相互独立的随机变量, 且均值都为零, 方差都为1, 则相关函数(,)X R s t = 221st s t ++12. 设{(),0}W t t ≤<+∞是参数为2σ的维纳过程, 则[((3)(1))((4)(1))]E W W W W --=22σ13. 设平稳高斯过程{().0}X t t ≥的均值为零, 相关函数为2||1()4X R e ττ-=, 则对任意固定的0t , 0()X t 的概率密度函数()f x 22x - 14. 设离散时间离散状态齐次马尔可夫链{}n X 的状态空间是{0,1,2},平稳分布为111,,244π⎧⎫=⎨⎬⎩⎭, 若000111(0),(1),(2)244P X P X P X ======, 则方差100()D X = 11/1615. 设}),({+∞<<-∞t t X 为平稳随机过程，功率谱密度为212)(ωω+=X S , 则其平均功率为 1二. （１5分）设某餐厅每天接待300名顾客, 并设每位顾客的销费额(元)服从均匀分布(40,100)U , 且顾 客的消费相互独立. 求:(1) 该餐厅的日营业额的期望和方差; (2) 平均每天有多少位顾客消费额超过50元;(3) 用中心极限定理估计该餐厅日营业额超过21750的概率. 解. (1) 设,1,2,...,300i X i =是第i 位顾客的消费额, 则由题意,1,40100,()600,ix X f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它， 设X表示该餐厅的日消费额, 则3001.ii X X ==∑ 因为 ()70i E X =, 则21300300(60/12)90000.DY DX =⨯==21000EX =(5’) (2 ) 设Y 是消费额超过50元的顾客数. 则1(300,(50))(300,5/6)YB P X B >=, 所以300(5/6)250.EY =⨯= (5’)(3) 由中心极限定理得12300(...21750)1(2.5)0.0062.P X X X P +++>⎛⎫=>=-Φ= (5’) 三．（１5分）设二维随机变量(,)X Y 具有概率密度(1), 0,0,(,)3x y k ex y f x y -+⎧>>⎪=⎨求(1)系数k ; (2)边缘概率密度(),()X Y f x f y ，并问,X Y 是否独立, 为什么? (3)求条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y . 解.(1) 0,01(,)3x Y f x y dxdy k >>=⇒=⎰⎰(3’)(2) (1)0,0,()(,)0,0,x y x X xedy e x f x f x y dy x +∞-+-+∞-∞⎧=>⎪==⎨⎪≤⎩⎰⎰(1)201,0,(1)()(,)0,0,x y Y xe dx y y f y f x y dx y +∞-++∞-∞⎧=>⎪+==⎨⎪≤⎩⎰⎰(6’)由于(,)()()X Y f x y f x f y ≠,所以不独立.(3) 当0x >时, (1)|(,)(|)()x y xy Y X xX f x y xe f y x xe f x e-+--===, 当0y >时, (1)2(1)|2(,)(|)(1)1()(1)x y x y X Y Y f x y xe f x y y xe f y y -+-+===++ (6’)四．（１5分）设齐次马氏链}0,{≥n X n 的状态空间为}2,1,0{=E ，一步转移概率矩阵为110221102211022P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 初始分布为0001{0}{1}{2}3P X P X P X ====== (1) 求124 {1,1,2}P X X X ===;(2) 求02,X X 的相关系数02X X ρ;(3) 证明马氏链}0,{≥n X n 具有遍历性，并求其极限分布．解 (1) 2111244111(2)424111442P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,124 {1,1,2}P X X X ====20111120()(2)0i i P X i p p p ===∑ (5’)(2) 2X 的分布率(2)(0)(2)(1/3,1/3,1/3)p p P ==02,X X 的联合分布率02021,2/3EX EX DX DX ==== 027/6EX X =1/4ρ== (5’)(3) 由P(2)知马氏链遍历,由01210,0,1,2,iP i ππππππ=⎧⎪++=⎨⎪≥=⎩得平稳分布为(1/3,1/3,1/3). (5’) 五．（１0分）设某线性系统的脉冲响应函数为22,0()0,0t e t h t t -⎧≥=⎨<⎩，将平稳过程{})()(∞+-∞∈，，t t X 输入到该系统后, 输出平稳过程{})()(∞+-∞∈，，t t Y 的谱密度为424()1336Y S ωωω=++，求：(1)输入平稳过程的{})()(∞+-∞∈，，t t X 的谱密度)(ωX S ； (2)自相关函数)(τX R ； (3)输入与输出的互谱密度)(ωXY S ．解： 2222,024()(),|()|240,0t e t h t H H i t ωωωω-⎧≥=↔==⎨++<⎩，(1) 22()1(),|()|(9)Y X S S H ωωωω==+ (4分) (2) 3||11()(),26i X X R S e d e ωτττωωπ+∞--∞==⎰ (3分) (3) 22()()()(2)(9)X Y X S H S i ωωωωω==++． (3分)。
概率论与随机过程试题
08-09概率论与随机过程试题(A卷)(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--08-09概率论与随机过程试题(A 卷)一、填空题（每空3分，共30分）1. 设()0.3P A =，()0.6P B =，()0.8P B A =，则()________P A B =.2. 设随机变量X 的分布率为{}!k P X k ak λ==（0, 1, 2, ; 0k λ=>为常数）则a =________.3.设X 和Y 为两个随机变量，且3(0,0)7P X Y ≥≥=，4(0)(0)7P X P Y ≥=≥=，则{max(,)0}P X Y ≥=____________.4. 设随机变量X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数，且每次射击命中目标的概率为，则()E X =_______________，2()E X =_________________.5. 设随机变量X 服从[1, ]b -上的均匀分布，若由切比雪夫不等式有2{|1|}3P X ε-<≥，则b =________，ε=________. 6. 若随机过程()cos , (,)Y t X t t ω=∈-∞+∞，其中ω是常数，X 服从[0，1]上的均匀分布，则()Y t 的状态空间是____________________________.7. 设{(),}X t t T ∈是二阶矩过程，如果对任意,t t T τ+∈，[()]E X t =__________________，[()()]E X t X t τ+=_________________，则称{(), }X t t T ∈为宽平稳过程或广义平稳过程.二、计算题（共70分）1.（本小题8分）有三个箱子分别编号为1，2，3，1号箱装有1个红球，4个白球；2号箱装有2个红球，3个白球；3号箱装有3个红球。
北邮概率论与随机过程—学第学期期末A卷
北京邮电大学2010——2011学年第 2 学期3学时《概率论与随机过程》期末考试（A ）一．填空题.1设随机事件,A B 满足()()P AB P A B ,且()P A p , 则()P B 1-p2.设每次实验中事件A 出现的概率为p ,在三次独立重复试验中,A 至少出现一次的概率为1927, 则p =1/33.随机变量X 服从参数为1的泊松分布(1),则2(())P X E X =112e4.设随机变量X 服从正态分布2(10,0.02)N ，记221()2uxx edu ，且已知(2.5)0.9938，则((9.95,10.05))P x０．９８７６5.已知随机变量X 服从均匀分布(1,6)U ，则矩阵2000101AX 的特征值全为实根的概率为４／５6.已知随机变量X的密度函数为||1(),2x f x ex，则(01)P X11(1)2e 7.设连续型随机变量X 的分布函数为()F x ，则0y时，2ln(())Y F X 的概率密度函数()Y f y ＝212y e8.已知随机变量X 服从均值为１的指数分布，则min{,2}Y X 的分布函数()F y ＝0,0,1,02,1,2.xx e xx 9.已知随机变量(,)X Y 服从二维正态分布22(1,2,1,2,0.5)，则21ZX Y 的概率密度函数()f z ＝2(5)24126x e10.设,X Y 的联合概率密度为(2)2,0,0,(,)0,x y ex y f x y 其它，, 则概率(1,2)P X Y =14(1)e e 11.设随机过程2()X t XYt Zt , 其中,,X Y Z 是相互独立的随机变量, 且均值都为零, 方差都为1, 则相关函数(,)X R s t =221st s t12.设{(),0}W t t 是参数为2的维纳过程, 则[((3)(1))((4)(1))]E W W W W =2213.设平稳高斯过程{().0}X t t 的均值为零, 相关函数为2||1()4X R e, 则对任意固定的0t , 0()X t 的概率密度函数()f x =2222x e14.设离散时间离散状态齐次马尔可夫链{}n X 的状态空间是{0,1,2},平稳分布为111,,244, 若111(0),(1),(2)244P X P X P X , 则方差100()D X =11/1615.设}),({t t X 为平稳随机过程，功率谱密度为212)(X S ,则其平均功率为1二. （１5分）设某餐厅每天接待300名顾客, 并设每位顾客的销费额(元)服从均匀分布(40,100)U , 且顾客的消费相互独立. 求:(1)该餐厅的日营业额的期望和方差; (2)平均每天有多少位顾客消费额超过50元;(3)用中心极限定理估计该餐厅日营业额超过21750的概率.解. (1) 设,1,2,...,300i X i是第i 位顾客的消费额, 则由题意, 1,40100,()600,ix X f x 其它，设X 表示该餐厅的日消费额, 则3001.i i XX 因为()70i E X , 则21300300(60/12)90000.DYDX 21000EX(5’)(2 ) 设Y 是消费额超过50元的顾客数. 则1(300,(50))(300,5/6)Y B P X B , 所以300(5/6)250.EY (5’)(3) 由中心极限定理得12300123001230012300(...21750) (21000)2175021000(...)(...)1(2.5)0.0062.P X X X X X X P D X X X D X X X (5’)三．（１5分）设二维随机变量(,)X Y 具有概率密度求(1)系数k ; (2)边缘概率密度(),()X Y f x f y ，并问,X Y 是否独立, 为什么? (3)求条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y .(1),0,0,(,)30,x y k e x y f x y 其他.解.(1) 0,01(,)3x Y f x y dxdy k (3’)(2)(1),0,()(,)0,0,x y xX xe dy e xf x f x y dyx (1)201,0,(1)()(,)0,0,x y Y xedx y y f y f x y dxy(6’)由于(,)()()X Y f x y f x f y ,所以不独立.(3) 当0x时, (1)|(,)(|)()x y xyY X xX f x y xe f y x xef x e,当0y时, (1)2(1)|2(,)(|)(1)1()(1)x y x y X Y Y f x y xe f x y y xef y y (6’)四．（１5分）设齐次马氏链}0,{nX n 的状态空间为}2,1,0{E，一步转移概率矩阵为110221102211022P，初始分布为001{0}{1}{2}3P X P X P X (1) 求124{1,1,2}P X X X ;(2) 求02,X X 的相关系数02X X ;(3)证明马氏链}0,{nX n 具有遍历性，并求其极限分布．解(1) 2111244111(2)424111442P P,124{1,1,2}P X X X =20111120()(2)0i i P X i p p p (5’)(2)2X 的分布率(2)(0)(2)(1/3,1/3,1/3)p p P 02,X X 的联合分布率0X 2X 0 1 2 0 1/6 1/12 1/12 1 1/12 1/6 1/12 21/121/121/6221,2/3EX EX DX DX 027/6EX X 0202021/4EX X EX EX DX DX (5’)(3) 由P(2)知马氏链遍历,由01210,0,1,2,iPi 得平稳分布为(1/3,1/3,1/3). (5’)五．（１0分）设某线性系统的脉冲响应函数为22,0()0,te t h t t，将平稳过程)()(，，tt X 输入到该系统后, 输出平稳过程)()(，，tt Y 的谱密度为424()1336Y S ，求：(1)输入平稳过程的)()(，，tt X 的谱密度)(X S ；(2)自相关函数)(X R ；(3)输入与输出的互谱密度)(XY S ．解：2222,024()(),|()|240,te t h t H H it，(1)22()1(),|()|(9)Y X S S H (4分)(2)3||11()(),26i X X R S e de(3分)(3)22()()()(2)(9)XY X S H S i ．(3分)。
概率论期末考试试卷试题A卷包括答案
07 级?概率论?期末考试试题 A 卷及答案一、填空题〔总分值 15 分〕：1.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，那么“第一卷及第五卷出现在旁边〞的概率为1。
1023!1解答： p15!102.设 P( A) p, P( B)q, P( A B)r , 那么 P( AB )r q。
解答： P( AB )P( A B)P[( A B) B)] P( A B) P(B)r q3.设随机变量的分布列为P( X k )a k, k0,1,2,...3则a =2. 3解答： 1a a113 a a2k 03k12334. 设随机变量为与， D=25,D=36,,0.4 ,那么 D( -)= 37.解答：D ()D D 2 cov(, ),cov(,) D DD () D D 2 D D,25 36 2 5 6 0.4 375. 设随机变量服从几何分布 P(k )q k 1 p,k 1,2,... 。
那么的特征函数f (t )。
解 : f t E(e it)e itk q k1 p pe it qe it itk 1pe it .k1k 11qe二、单项选择题〔总分值15 分〕：1.设 .A 、 B、 C 为三个事件 , 用 A、 B、 C 的运算关系表示“三个事件至多一个发生〞为(④).① A B C .②AB C A BC AB C③ABC .④ A BC ABC ABC A BC2. 以下函数中， ()可以作为连续型随机变量的分布函数.①. F x e xx0②G xe x x01x01x0③ x0x0④ H x0x01e x x0 1 e x x03. 下面是几个随机变量的概率分布，其中期望不存在的为〔②〕。
① P(k )n p k (1p) n k ,0 p 1, k 0,1,..., n .k② P((1) k 3k)1, k 1,2,... .k3kk③ P(k )e,0, k0,1,2.. .k!④ . P(k )(1p)k 1 p, 0p 1, k1,2,...4. 设( ,) 服从二维正态分布 N ( a1 , a2 ; 1 2 ,22 ; r ) ，r0是,独立的〔③ 〕。
西安邮电学院2005-2006第一学期通信工程专业《概率论与随机过程》期末考试A卷及答案
上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线7．设}0,{≥n X n 是具有三个状态0，1，2的齐次马氏链，一步转移概率矩阵为,4/14/304/12/14/104/14/3210210⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P 初始分布0(0){}13,0,1,2i p P X i i ====试求(1)}1,0{20==X X P ；(2)}1{2=X P ；(3)0135{1,1,1,2}P X X X X ====．8. 考虑随机电报信号．信号)(t X 由只取I +或I -的电流给出(图1画出了)(t X 的一条样本曲线)．这里2/1})({})({=-==+=I t X P I t X P ，而正负号在区间),(τ+t t 内变化的次数),(τ+t t N 是随机的，且假设),(τ+t t N 服从泊松分布，亦即事件}),({k t t N A k =+=τ的概率为,)()(λτλτ-=e kA P k k ,2,1,0=k ．其中0>λ是单位时间内变号次数的数学期望，试讨论)(t X 的平稳性．图1上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线概率论与随机过程试题参考答案（A ）一、计算题（共8小题，每小题满分10分，共80分）1. 由题意大家是围圆桌就座，所以只要这些人就座的相对位置一样，那么就是相同的就坐方式.因此a 位男士和b 位女士不同的就座方式共有:()!1)!(-+=++b a ba b a 种当2a b +=，只有一种就坐方式，因此所求概率1P =；当2a b +>时，把甲乙两人看作一人，则()1-+b a 人的就座方式共为()!2-+b a 种;又甲乙两人的不同就座方式为2种，所以甲乙两人坐在一起的概率为:2(2)!2(1)!(1)a b P a b a b ⨯+-==+-+-. 2. 随机变量X 的所有可能取值为3，4，5. 而且35110P X C =1(=3)=，2335310C C P X C =11(=4)=，2435610C C P X C =11(=5)=.因此345~136101010X ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3()()0;<=≤=当时，X F X P X x 134()()(3)10≤<=≤===当时，;X F X P X x P X 445()()(3)(4);10≤<=≤==+==当时，X F X P X x P X P X 5()()(3)(4)(5)1≥=≤==+=+==当时，X F X P X x P X P X P X .所求分布函数为0,3;1,34;10()4,45;101, 5.x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩3. 因为X 与Y 相互独立，所以()()()⎩⎨⎧>≤≤=⋅=-其他,00,10,,y x e y f x f y x f y Y X由卷积公式得()()()()dx x z f x f dx x z x f z f Y X Z -⋅=-=⎰⎰+∞∞-+∞∞-,又由已知可知，当⎩⎨⎧>-≤≤010x z x ，亦即⎩⎨⎧<≤≤zx x 10时，上述积分的被积函数不等于零，即可得()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥≥-=⋅>-=⋅=------⎰⎰0001,111,11010z z e dx e z e e dx e z f z zx z z x z Z4. XY的分布律为Y X ⋅所以0831831)(=⨯+⨯-=X E ，0831831)(=⨯+⨯-=Y E ，0821821)(=⨯-⨯=XY E ， 故Cov(,)()()()0X Y E XY E X E Y =-=，即X 和Y 是不相关的。
(完整word版)随机过程试题带答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为1λ的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 Γ 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为 (n)n P P = 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为(n)j i ij i Ip (n)p p ∈=⋅∑ 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
1．为it(e-1)e λ。
2． 1(sin(t+1)-sin t)2ωω。
3． 1λ4． Γ 5． 212t,t,;e,e 33⎧⎫⎨⎬⎩⎭。
6．(n)nP P =。
随机过程考试试题及答案详解
随机过程考试试题及答案详解1、（15分）设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。
（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。
【理论基础】 （1（2F (（3(F （4，（1)(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤=其他,0,1)(tC x C t x f ，一维分布函数⎪⎩⎪⎨⎧+>+≤≤-<=t C x t C X C tCx C x x F ,1,,0)(；（2）根据相关定义，均值函数C tt EX t m X +==2)()(； 相关函数2)(231)]()([),(C t s Cst t X s X E t s R X +++==； 协方差函数12)]}()()][()({[),(stt m t X s m s X E t s B X X X =--=（当t s =时为方差函数） 【注】)()()(22X E X E X D -=；)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X -=求概率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)()(''y x y f x y y f x f t ==2、（15分）设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量；且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。
令R t W t X +=)()(，求随机过程{}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。
【解答】此题解法同1题。
依题意，|)|,0(~)(2t N t W σ，)4,1(~N R ，因此R t W t X +=)()(服从于正态分布。
故：均值函数1)()(==t EX t m X ；相关函数5)]()([),(==t X s X E t s R X ；协方差函数4)]}()()][()({[),(=--=t m t X s m s X E t s B X X X （当t s =时为方差函数） 3、（10分）设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案一、选择题1. 随机过程是研究什么的对象？A. 确定性系统B. 随机性系统C. 静态系统D. 动态系统答案：B2. 下列哪项不是随机过程的特点？A. 可预测性B. 随机性C. 连续性D. 状态的不确定性答案：A3. 随机过程的数学描述通常使用什么？A. 概率分布B. 微分方程C. 差分方程D. 以上都是答案：A4. 马尔可夫链是具有什么特性的随机过程？A. 独立性B. 无记忆性C. 均匀性D. 周期性答案：B5. 以下哪个是随机过程的数学工具？A. 傅里叶变换B. 拉普拉斯变换C. 特征函数D. 以上都是答案：D二、简答题1. 简述什么是随机过程的遍历性。
答：遍历性是随机过程的一种特性，指的是在足够长的时间内，随机过程的统计特性不随时间变化而变化，即时间平均与遍历平均相等。
2. 解释什么是泊松过程，并给出其主要特征。
答：泊松过程是一种计数过程，它描述了在固定时间或空间内随机发生的事件次数。
其主要特征包括：事件在时间或空间上独立发生，事件的发生具有均匀性，且在任意小的时间段内，事件发生的概率与该时间段的长度成正比。
三、计算题1. 假设有一个泊松过程，其平均事件发生率为λ。
计算在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率。
答：在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率由泊松分布给出，公式为：\[ P(N(t) = n) = \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^n}{n!} \]2. 考虑一个具有两个状态的马尔可夫链，其状态转移概率矩阵为：\[ P = \begin{bmatrix}p_{11} & p_{12} \\p_{21} & p_{22}\end{bmatrix} \]如果初始时刻在状态1的概率为1，求在第k步时处于状态1的概率。
答：在第k步时处于状态1的概率可以通过马尔可夫链的状态转移矩阵的k次幂来计算，即：\[ P_{11}^{(k)} = p_{11}^k + p_{12} p_{21} (p_{11}^{k-1} + p_{12} p_{21}^{k-2} + \ldots) \]四、论述题1. 论述随机过程在信号处理中的应用及其重要性。
概率论与随机过程
2013/2014学年第 1学期《概率统计和随机过程》试卷（A ）一、填空题（共42分，每格3分）1．设A, B, C 是三个事件，则事件“A 、B 、C 都不发生”可表示为C B A 熟练掌握事件的运算2．设有10个产品，其中有2个是次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为0.2基本的古典概率要会做。
例如：第1章练习二1－23．已知5.0)(,3.0)(,7.0)(=-==B A P B P A P ，则2.0)(=B A P 关键公式：)()()()(AB P A P B A P B A P -=-=B A ,不相容 Φ=⇔AB ；B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔4．设随机变量)1.0,10(~B X ，Y 服从参数2.0=λ的指数分布，且Y X 、相互独立，则1)5(=+-Y X E ；9.25)5(=+-Y X D1) 重要分布的定义性质：例如：对.)(])1[(),,(~最大时，k X P p n k p n B X =+=对.)(][),(~最大时，k X P k X ==λλπ2）二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的期望、方差要熟记 3) 期望、方差的性质，如c Y bE X aE c bY aX E ++=++)()()( ；)()()(22Y D b X D a c bY aX D +=++； 22)()(EX DX X E +=等。
5．设）（）（3~,2~ππY X ，且Y X 、相互独立，则)5(π～Y X +二项分布也有可加性。
）（）（p n B Y p n B X ,~,,~21且Y X 、相互独立， 则),(21p n n B Y X ++～6．设X 的分布律为35.04.015.01.02101PX -，则9.1)(2=X E22)()(EX DX X E +=7．设2(),()E X D X μσ==，则由契比雪夫不等式有：1615)4(≥<-σμX P 契比雪夫不等式：.)(,1)(22εεμεεμDXX P DXX P <≥--≥<-中心极限定理等。
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案一、选择题1. 关于随机过程的描述，错误的是：A. 随机过程是一种由随机变量组成的集合B. 随机过程是一种在时间上有序排列的随机变量序列C. 随机过程可以是离散的，也可以是连续的D. 随机过程是一种确定性的数学模型答案：D2. 以下哪种过程不是随机过程？A. 白噪声过程B. 马尔可夫过程C. 布朗运动D. 正态分布答案：D3. 随机过程的一阶矩描述的是：A. 均值B. 方差C. 偏度D. 峰度答案：A4. 当随机过程的各个时间点上的随机变量是独立同分布时，该随机过程为：A. 马尔可夫过程B. 马尔可夫链C. 平稳随机过程D. 白噪声过程答案：B5. 下列关于马尔可夫过程的说法中，正确的是：A. 当前状态只与上一状态有关，与历史状态无关B. 当前状态只与历史状态有关，与上一状态无关C. 当前状态只与上一状态和历史状态有关D. 当前状态与所有历史状态均无关答案：A二、填空题1. 随机过程中，时域函数常用的表示方法是__________。
答案：概率分布函数或概率密度函数2. 马尔可夫过程的状态转移概率只与__________相关。
答案：当前状态和下一状态3. 随机过程的时间参数称为__________。
答案：时刻或时间点4. 白噪声过程的自相关函数是一个__________函数。
答案：冲激函数5. 平稳随机过程的自相关函数只与__________相关。
答案：时间差三、解答题1. 请简要解释随机过程的概念。
随机过程是一种由随机变量组成的集合，表示一个在时间上有序排列的随机变量序列。
它可以是离散的，也可以是连续的。
随机过程的描述通常包括概率分布函数或概率密度函数，以及相关的统计特征，如均值、方差等。
随机过程可以用于对随机现象进行建模和分析。
2. 请简要说明马尔可夫过程的特点及应用。
马尔可夫过程是一种具有马尔可夫性质的随机过程，即当前状态只与上一状态有关，与历史状态无关。
其状态转移概率只与当前状态和下一状态相关。
随机过程试题及解答
2016随机过程(A ）解答1、（15分）设随机过程V t U t X +⋅=)(,),0(∞∈t ，U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。
1) 求)(t X 的一维概率密度函数；2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。
3) 求)(t X 的二维概率密度函数； 解：由于U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量，所以V t U t X +⋅=)(也服从正态分布，且: {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==⋅+=⋅+=+{}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==⋅+=+=+故： （1） )(t X的一维概率密度函数为：()222218(1)(),x t t t f x ex ---+=-∞≤≤∞(2） )(t X 的均值函数为:()22m t t =+；相关函数为：{}{}(,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =⋅=⋅+⋅⋅+{}{}{}22()13()413st E U s t E U V E V st s t =⋅++⋅⋅+=⋅++⋅+协方差函数为：(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-⋅=+（3）相关系数：(,)s t ρρ====)(t X 的二维概率密度函数为：2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x eρ⎧⎫⎡⎤-----⎪⎪+⎢⎥⎨⎬-++⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭=2、（12分)某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。
问在10：00—14：00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10：00-14：00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少? 解：到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个是随机过程的数学定义？A. 一系列随机变量B. 一系列确定的函数C. 一系列随机函数D. 一系列确定的变量答案：C2. 随机过程的期望值函数E[X(t)]随时间t的变化特性是：A. 确定性B. 随机性C. 非线性D. 线性答案：A3. 马尔可夫链是具有以下哪个特性的随机过程？A. 无记忆性B. 有记忆性C. 独立性D. 相关性答案：A4. 泊松过程是一种：A. 连续时间随机过程B. 离散时间随机过程C. 连续空间随机过程D. 离散空间随机过程答案：A5. 布朗运动是：A. 一个确定的函数B. 一个随机过程C. 一个确定的变量D. 一个随机变量答案：B二、简答题（每题5分，共20分）1. 简述什么是平稳随机过程，并给出其数学特征。
答案：平稳随机过程是指其统计特性不随时间变化的随机过程。
数学上，如果一个随机过程的任意时刻的一维分布和任意两个时刻的二维分布都不随时间平移而改变，则称该过程为严格平稳过程。
2. 解释什么是遍历定理，并说明其在随机过程中的重要性。
答案：遍历定理是随机过程中的一个基本定理，它提供了时间平均与概率平均之间的联系。
在随机过程中，如果一个随机过程是遍历的，那么对于任意的观测时间点，其时间平均值将趋向于其期望值，这一点在统计推断和信号处理等领域具有重要应用。
3. 描述什么是随机过程的平稳增量，并给出其数学定义。
答案：随机过程的平稳增量是指在固定时间间隔内，随机过程增量的分布不随时间变化。
数学上，如果对于任意的非负整数n和任意的实数h，随机过程{X(t+h) - X(t)}与{X(h) - X(0)}具有相同的分布，则称该随机过程具有平稳增量。
4. 简述什么是马尔可夫性质，并给出一个实际应用的例子。
答案：马尔可夫性质是指一个随机过程的未来发展只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
具有马尔可夫性质的随机过程称为马尔可夫链。
例如，在天气预报中，明天的天气可能只与今天的天气有关，而与前几天的天气无关，这就是马尔可夫性质的一个实际应用。
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项是随机过程的典型特征？A. 确定性B. 可预测性C. 无记忆性D. 独立增量性答案：D2. 马尔可夫链的哪一性质表明，系统的未来状态只依赖于当前状态，而与过去状态无关？A. 独立性B. 无记忆性C. 齐次性D. 可逆性答案：B3. 布朗运动是一个连续时间的随机过程，其增量具有什么性质？A. 独立性B. 正态分布C. 独立增量性D. 所有选项都正确答案：D4. 随机过程的平稳性指的是什么？A. 过程的分布随时间不变B. 过程的均值随时间不变C. 过程的方差随时间不变D. 过程的自相关函数随时间不变答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果随机过程的任意时刻的分布函数不随时间变化，则称该随机过程是________。
答案：平稳的2. 随机过程的自相关函数R(t,s)表示在时刻t和时刻s的随机变量的________。
答案：相关性3. 随机游走过程是一类具有________性质的随机过程。
答案：独立增量4. 泊松过程是一种描述在固定时间间隔内随机事件发生次数的随机过程，其特点是事件的发生具有________。
答案：无记忆性三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述什么是马尔可夫过程，并给出其数学定义。
答案：马尔可夫过程是一种随机过程，其未来的状态只依赖于当前状态，而与过去状态无关。
数学上，如果对于任意的n，以及任意的时间序列t1, t2, ..., tn，满足P(Xt+1 = x | Xt = x_t, Xt-1 = x_t-1, ..., X1 = x_1) = P(Xt+1 = x | Xt = x_t)，则称随机过程{Xt}为马尔可夫过程。
2. 描述布朗运动的三个基本性质。
答案：布朗运动的三个基本性质包括：1) 布朗运动的增量是独立的；2) 布朗运动的增量服从正态分布；3) 布朗运动具有连续的样本路径。
3. 什么是平稳随机过程？请给出其数学定义。
2005年《随机过程》课程试卷答案及评分标准
2005-2006年第一学期研究生随机过程试题答案及评分标准一、（10分）设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，求（1）X 的特征函数)(t ϕ；（2）利用特征函数计算X 的数学期望及方差。
解：（1） ∑∞====0}{)()(k itk itX k X P e eE t ϕ…………………………..3分 ∑∑∞=-∞=-==00!)(!k k it k k itk k e e k e eλλλλ……………………..5分 )1(it e e -=λ ……………………………………………….6分（2） 由)()0()(k k k X E i =ϕ得λλϕλ=-='-==-0)1(|)0()(t it e e ie i i X E it …………………….8分 22)0()(λλϕ+=''-=X E所以 λ=-=22)]([)()(X E X E X D ……………………………10分二、（15分）设随机过程∑=+-=101)()(k V t i k k e Ut X ，其中k U 服从参数为2的指数分布，k V 服从（0,2）上的均匀分布，且k U ,k V （k=1,2,……10）以及它们之间都是相互独立的。
求)(t X 的均值函数和协方差函数。
解：)(t X 的均值函数为][)()(101)(∑=+-==k V t i k X k e U E t EX t m ……………………….4分∑=+-=101)(][)(k V t i kk e E U E ……………………………..6分 )2cos 2(sin 252121020)(i i e dx e it x t i -+==-+-⎰ …….8分)(t X 的协方差函数为)()(])()([),(t m s m t X s X E t s B X X X -= …………………..11分而 ∑∑≤≠≤---=--+=10101))(101)(2)()()(j k iV iV t s i j k k t s i k j k e e e U U e U t X s X4sin 2455)]12(cos 2[sin 161905)()()()(210])()([2)()(22)()(10101))()(t s i t s i t s i t s i j k iV iV j k t s i t s i e e e e e E e E U E U E e e t X s X E j k --------≤≠≤-----+=-+⨯+=+=∑..14分⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=--------4sin 21154sin 254sin 2455),(2)(2)(2)()(t s i t s i t s i t s i X e e e e t s B ……15分 三、（15分）设某服务台在],0(t 内接待的顾客数)(t X 是具有强度（每分钟）为1=λ的泊松过程，求（1） 三分钟内接待3个顾客的概率；（2） 第三分钟内接待第三个顾客的概率。
概率论与随机过程A卷及答案
重庆邮电大学08-09学年度第一学期（试题及参考答案）概率论与随机过程考试试题（A ）（时间120分钟）一、填空与选择题（30分，每题3分）1、从1，2，3，4，5中任取三个，三个数中没有数1的概率为 25 .2、已知正态随机变量X 的概率密度函数为1221)(-+-=x x ex f π，则()E X ＝1 ，()D X = 12 。
3、已知()0.5,p A =()0.6,p B =()0.4,p B A =则()AB p = 0.4 。
4、连续型随机变量X 的分布函数为20 0() 0 1 1 1x F x Ax x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪≥⎩则A = 15、已知~(1,4)X N ，~(0,3)Y N ，则~(1,7)X Y N - 6、设{}0),(≥t t X 是强度为λ的泊松过程，则对),0[,+∞∈∀t s ，且t s <，有=-))()((s X t X D()t s λ-。
7、设)0)(()(>t t Y t X 和是两个相互独立的、分别具有强度为λ和μ的泊松过程，则随机过程)()()(t Y t X t S +=的强度为_λμ+___。
8、设随机变量X 与Y 的相关系数0XY ρ=，则下列错误的是（ D ）————密———————————— —封————————————线————————————————————————————年级：专业： 班级：姓名：学号：—————————————————————————————————————————————————————————————(A)()()()E XY E X E Y =; (B)()()()D X Y D X D Y +=+; (C)()()()D X Y D X D Y -=+; (D)X 与Y 相互独立。
9、当A 、B 同时发生时，事件C 必然发生，则有（B ） (A)()()()1-+≤B p A p C p ；(B)()()()1-+≥B p A p C p ; (C)()()AB p C p =； (D) ()()B A p C p ⋃=. 10、设随机变量X 服从二项分布,且() 2.4,() 1.44E X D X ==,则该二项分布的参数,n p 的值是( B ) (A)4,0.6n p ==； (B)6,0.4n p ==; (C)8,0.3n p ==； (D)24,0.1n p ==二、计算（共70分）1、（10分）发报台分别以0.7和0.3的概率发出信号0和1，由于通信系统受到干扰，当发出信号0时，收报台分别以0.8和0.2的概率收到信号0和1；又当发出信号1时，收报台分别以0.9及0.1的概率收到信号1和0。
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 随机过程的数学定义中，通常需要满足哪些条件？A. 样本空间、概率测度、随机变量B. 样本空间、概率测度、随机函数C. 样本空间、随机变量、随机函数D. 概率测度、随机变量、随机函数答案：B2. 马尔可夫链的无记忆性指的是什么？A. 过程的未来状态仅依赖于当前状态B. 过程的未来状态仅依赖于过去的状态C. 过程的未来状态依赖于当前和过去的状态D. 过程的未来状态依赖于所有历史状态答案：A3. 在随机过程中，如果一个过程的任何有限维分布都是联合正态的，则称该过程为什么？A. 正态过程B. 高斯过程C. 联合正态过程D. 多元正态过程答案：B4. 以下哪个不是平稳随机过程的性质？A. 一阶矩不随时间变化B. 任意两个不同时间点的协方差仅依赖于时间差C. 过程的均值随时间变化D. 过程的自相关函数仅依赖于时间差答案：C5. 随机过程的谱密度函数与自相关函数之间的关系是什么？A. 互为傅里叶变换B. 互为拉普拉斯变换C. 互为Z变换D. 互为梅林变换答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果随机过程的样本路径是连续的，则称该过程为_________。
答案：连续过程2. 随机过程的样本函数是定义在时间轴上的_________。
答案：随机变量3. 对于一个平稳过程，其自相关函数R(τ)仅依赖于时间差τ，而不依赖于绝对时间t，即R(t1, t2) = R(t1 - t2) = R(τ)，其中τ = t2 - t1。
这种性质称为_________。
答案：时间平移不变性4. 随机过程的遍历性是指过程的_________等于其统计平均。
答案：时间平均5. 随机过程的遍历性分为_________遍历性和_________遍历性。
答案：强，弱三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述什么是泊松过程，并给出其概率质量函数。
答案：泊松过程是一种描述在固定时间或空间间隔内随机事件发生次数的随机过程。
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05-06概率论与随机过程试题（A ）
一、选择题
1．设0<P(A)<1,0<P(B)<1, 1=+)|()|(B A P B A P 则( ).
（A ）事件A 与B 不相容 （B ）事件A 与B 相互对立
（C ）事件A 与B 不独立 （D ）事件A 与B 相互独立
2．设连续型随机变量X 的分布函数为x B A x F arctan )(-= )(+∞<<-∞x ，则常数A 、B 分别等于( ).
（A ）
π1、21； （B ）21、π1；（C ）π1、2
1-；（D ）21、π1-. 3．设相互独立的两个随机变量X 和Y 均服从参数为21的0-1分布，则随机变量},max{Y X Z =的分布律是( ).
4．将一枚硬币重复掷次，以和分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 和Y 的相关系数等于( ).
（A ） 1 （B ） 0 （C ） 0.5 (D) 1-
5．设随机变量 ,,,,n X X X 21相互独立，且服从同一分布，其分布函数为b x
a x F arctan )(π1
+=，0≠b ，则辛钦大数定理对此序列( ).
（A ）适应 （B ）无法判别（C ）当常数b a ,取适当的数值时适应 （D ）不适应
二、计算题（共9小题，每小题满分10分，共90分）
1．设C B A ,,是三个事件，,41)()()(===C P B P A P 1()(),8P AB P BC == ()0P AC =．求：（1）C B A ,,都发生的概率；（2）C B A ,,至少有一个发生的概率；(3) C B A ,,都不发生的概率．
2． 设随机变量X 的密度函数为, 0 1,()0, .ax x f x <<⎧=⎨⎩其他 试求：（1）常3. 设随机变
量X 在1，2，3，4四个整数中等可能地取值，另一个随机变量Y 在1～X 中等可能地取一整数值．试求(,)X Y 的分布律及关于Y X ,的边缘分布律．
4. 设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为221,2,(,)20,
.x y f x y π⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他 试验证
X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的．数a ；
（2）X 的分布函数()F x ． 5．某单位内部有260部电话分机，每部分机有4%的时间使用外线与外界通话，可以认为每部电话分机用不用外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能以95%把握保证各分机在用外线时不必等候．（(1.64)0.9495Φ=，(1.65)0.9505Φ=，(1.66)0.9515Φ=）
6. 研究一机械装置，设它在),0[t 内发生“震动”的次数)(t N 是强度为5（次/h ）的泊松过程，并且当第100次“震动”发生时，此机械装置发生故障，试求(1)这一装置寿命的概率密度；(2)这一装置的平均寿命；（3）相继两次“震动”时间间隔的概率密度；（4）相继两次“震动”的平均时间.
7．设齐次马氏链}1),({≥n n X 的状态空间}2,1,0{=I ，一步转移概率矩阵为
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2/12/1003/23/16/13/12/1P ， 它的初始状态的概率分布为
1{(0)0}6P X == ，2{(0)1},3P X ==1{(0)2}6
P X ==， 试求概率}2)2(,0)1(,1)0({===X X X P 及极限分布。
8. 设),(),cos(
)(+∞-∞∈+=t t a t X Θω，其中a 和ω是常数，Θ是在)2,0(π上服从均匀分布的随机变量．讨论随机过程()cos()X t a t ω=+Θ的各态历经性．
9．有两箱同种类的零件，第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品，今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取两次做不放回抽样，求：（1）第一次取得零件是一等品的概率；（2）已知第一次取得的零件是一等品，第二次取到的零件也是一等品的概率。