从位移、速度和力到向量的概念
从位移、速度、力到向量
子洲县职教中心 数学 导学案2013-2014学年第 一 学期 高二 年级 3班 组 姓名 编写者 王治强 审核者 使用时间2013年 10 月 日课题 :从位移、速度、力到向量学习目标:(1)理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别; (2)理解向量的几何表示 重点难点:向量及向量的有关概念、表示方法 自主学习 (一)、情景设置:如图,老鼠由A 向西北逃窜,猫在B 处向东追去,设问:猫能否追到老鼠?(画图)(二)、新课学习学习过程1、数量与向量的区别?2.向量的表示方法? ① ② ③④向量AB 的大小――长度称为向量的模,记作 .3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素: . 向量与有向线段的区别:(1) .(2) . 4、零向量、单位向量概念:① 叫零向量,记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.② 叫单位向量. 说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义:① 叫平行向量;②我们规定0与 平行.说明:(1)综合①、②才是平行向量的完整定义;(2)向量a、b、c平行,记作a ∥b∥c.6、相等向量定义: 叫相等向量。
说明:(1)向量a与b相等,记作a=b;(2)零向量与零向量相等; (3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向...线段的起点无关........7、共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量,这是因为(与有向线段.....的起点无关)....... 说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 合作交流 1.判断 (1)平行向量是否一定方向相同?ABCDA(起点)B(终点)a(2)不相等的向量是否一定不平行?(3)与零向量相等的向量必定是什么向量?(4)与任意向量都平行的向量是什么向量?(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?(6)两个非零向量相等的当且仅当什么?(7)共线向量一定在同一直线上吗?2.如图,设O 是正六边形ABCDEF 的中心,①分别写出图中与向量−→−OA 、−→−OB 、−→−OC 相等的向量;②分别写出图中与向量−→−OD 、−→−OE 、−→−OE 共线的向量.达标训练1.下列各量中不是向量的是( ) A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度 2.下列说法中错误..的是( ) A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是( ) A.一条线段 B.一段圆弧 C.圆上一群孤立点 D.一个单位圆4.下列命题正确的是( )A.a与b共线,b与c共线,则a与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行 5.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.①向量AB 与CD 是共线向量,则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上;②单位向量都相等;③任一向量与它的相反向量不相等;④四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB =DC⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0;⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.DEOAB CF。
从位移、速度、力到向量
§1从位移、速度、力到向量预习案学习目标1. 通过对物理中有关概念的分析,了解向量的实际背景,进而深刻理解向量的概念;2. 掌握向量的几何表示;3. 理解向量的模、零向量与单位向量的概念.4,在理解向量和平行向量的基础上掌握相等向量和共线向量的概念.重点:向量的有关概念。
难点:共线向量的理解。
知识学习1、向量的概念向量是的量;数量是的量;2,向量的表示法⑴我们常用带箭头的线段来表示向量,线段按一定比例画出,它的_________表示向量的大小,箭头的指向表示_________________⑵以A为起点,B为终点的有向线段记作AB(注:起点在前,终点在后). 已知AB,线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度,也称为模,记作AB.有向线段包含三个要素:起点,方向,长度.⑶有向线段也可用字母如a,b,c,表示.反思:⑴“向量就是有向线段,有向线段就是向量”的说法对吗?⑵为什么三要素中不包含终点?⑶数量能比较大小吗?向量呢?向量的模呢?3:两个特殊的向量零向量:_________________的向量;单位向量:_____________________的向量.平行向量:方向相同或相反的非零向量. 若向量a,b平行,记作://a b.规定:①零向量与任一向量平行,即对任意向量a,都有0//a.②零向量的方向不确定,是任意的.4,长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(equal vector)平行向量和共线向量5. 平行向量也叫做共线向量(collinear vectors).方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 如果a、b、c是平行向量,则可记为////a b c. 因为任一组平行向量都可以移动到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线向量.预习自测:1. 下列各量中不是向量的是( ).A .浮力B .风速C .位移D .密度2. 下列说法正确的是( ).A .向量AB 与向量BA 的长度不等B .两个有共同起点长度相等的向量,则终点相同C .零向量没有方向D .任一向量与零向量平行3. 某人南行100米,后向东行100米,则这时他位移的方向是( ).A .东偏南30B .南偏东30C .东偏南45D .南偏东254. 物理中的作用力与反作用力 一对平行向量.(是或不是)5、、下列说法中正确的有①向量可以比较大小;②零向量与任一向量平行;③向量就是有向线段;6、下列说法中正确的是①若//a b ,则a b =; ②若a b =,则a b =; ③若a b =,则//a b ; ④若a b =,则a b =.探究案例1 如下图,设O 是正六边形ABCDEF 的中心,分别写出图中与OD ,OE ,OF 相等的向量.变式:与AB 相等的向量有哪些?例2如下图所示,D 、E 、F 分别是正ABC ∆的各边中点,则在以A 、B 、C 、D 、E 、F 六个点中任意两点为起点与终点的向量中,找出与向量DE 平行的向量.注意:共线向量的端点不一定共线,注意向量的可以平行移动性.训练案1. 在四边形ABCD 中,AB DC =,则相等的向量是( ) .A.AD 与CB C.AC 与BDB.OB 与OD D.AO 与OC2. 判断下列说法的正误:①向量的模是一个正实数;②若两个向量平行,则两个向量相等;A B CC E③若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等;④温度有零上和零下温度,所以温度是向量;④非零向量a 的单位向量是a a .3. 下列命题中,正确的是( ). A.a b =⇒a b = B.a b >⇒a b > C.a b =⇒//a b D.0a =⇒0a = 4, 若AB AD =,且BA CD =,则四边形ABCD 的形状为( ).A.平行四边形B.菱形C.矩形D.等腰梯形5. B 、C 是线段AD 的三等分点,分别以图中各点为起点和终点,最多可以写出 个互不相同的向量.6. 下列命题中,说法正确的有 ①若a b =,b c =,则a c =;②若//a b ,//b c ,则//a c ;③若a b =,则a b =或a b =-;④若AB DC =,则A ,B ,C ,D 是一个平行四边形的四个顶点.7. 在腰为2,底边为3的等边ABC ∆中,则底边BC 上的中线向量AD 的模为A B C D。
空间向量的运用
空间向量的运用空间向量是三维空间中的一种表示方式,它可以用来描述物体的位置、方向和大小等特征。
在数学、物理学、工程学等领域中,空间向量被广泛应用于各种计算和分析问题中。
本文将介绍空间向量的基本概念和运用,并探讨其在几何、物理和工程等方面的具体应用。
一、空间向量的基本概念空间向量是由起点和终点确定的有向线段,具有大小和方向两个基本特征。
在三维空间中,空间向量通常用坐标表示,可以分为位移向量和力向量两类。
1. 位移向量:位移向量是用来描述物体在空间中移动的距离和方向,它的大小等于位移的长度,方向与位移的方向相同。
位移向量可以用起点坐标和终点坐标表示,也可以用分量表示。
2. 力向量:力向量是用来描述物体受力情况的向量,它的大小等于力的大小,方向与力的方向相同。
力向量通常用起点坐标和终点坐标表示,也可以用分量表示。
二、空间向量的运算空间向量的运算包括加法、减法、数乘等操作,这些运算可以对向量进行操作,得到新的向量。
1. 向量加法:向量加法是指将两个向量按照一定规则相加,得到一个新的向量。
向量的相加可以通过将两个向量的对应分量相加得到,或者通过平行四边形法则进行计算。
2. 向量减法:向量减法是指将一个向量减去另一个向量,得到一个新的向量。
向量的减法可以通过将两个向量的对应分量相减得到,或者通过平行四边形法则进行计算。
3. 数乘运算:数乘运算是指将一个向量乘以一个实数,得到一个新的向量。
数乘后的向量与原向量的方向相同,但大小变为原来的若干倍。
三、空间向量在几何中的运用空间向量在几何学中有许多应用,可以用来求解各种几何问题,比如计算线段长度、求解直线方程、判断点位置等。
1. 线段长度:通过计算线段的起点和终点坐标,可以得到线段的位移向量,进而计算线段的长度。
2. 直线方程:通过给定直线上的两个点或者一个点和一个方向向量,可以确定直线的方程,从而对直线进行分析和计算。
3. 判断点位置:通过已知点和一些向量信息,可以判断点的位置关系,比如点是否在直线上、是否在平面上等。
从位移、速度、力到向量
B A 上面的向量记为AB, A为向量的起点, B为向量的终点;
也可记为a
有向线段的三要素:起点、方向、长度 向线段的起点和终点字母表示,如 AB .
特别注意:把有向线段(即向量)任意 平移,向量不变,即看作同一向量,因 为向量的大小和方向没有改变。
a
c 等小写字母表示;或用表示有 2.字母表示法: 用 a、 b、
(4).下列说法正确的是 ( A ) A) 方向相同或相反的向量是平行向量. B) 零向量是 0 . C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量.
(5).已知a、b是任意两个向量,下列条件: ①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反; ④a=0或b=0; ⑤ a与b都是单位向量. 其中是向量a与b平行的充分不必要条件是①③④ _____.
(1)若a = b,b = c,则a = c。
(2)若|a|=0,则a = 0
(3)若|a|=|b|,则a = b (4)两个向量a、b相等的充要条件是 |a|=|b| a ∥b (5)若A、B、C、D是不共线的四点,则AB=DC是
四边形ABCD是平形四边形的充要条件。
其中正确的个数是( A.0 B. 1 C. 2
(1)错 (4)对
(2)错 (5)错
(3)错
例2:已知O为正六边形ABCDEF的中心,在图中 所标出的向量中:
( 1 )试找出与FE共线的向量;
(2)确定与FE相等的向量;
(3) OA与BC相等吗?
解:( 1 ) OA, BC (2) BC (3)因为方向相反,所以不 相等。
E
D
F A
O
B
C
例3:在4 5达到方格中有一个向量 AB,以图中 的格点为起点和终点作 向量,其中与AB相等的
从力位移加速度到向量教学设计
从位移、速度、力到向量教学设计:龙涛1、教材的作用和地位向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的,是近代数学中重要和基本的数学概念之一,有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后,全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算,从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。
向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景.在本章中,学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题。
2、教学目标(1)知识目标:理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义;(2)技能目标:理解向量的几何表示,会用字母表示向量;(3)能力目标:了解平行向量、共线向量和相等向量的意义,并会判断向量间平行(共线)、相等的关系;(4)德育目标:通过对向量的学习,使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识,培养学生的唯物辩证思想和分析辨别能力。
3、教学重点:本节重点是向量的概念,相等向量的概念,向量的几何表示。
4、教学难点:向量概念的理解5、学法:引入向量概念之后,随之带来一系列相关概念是比较多的,如零向量,单位向量,相等向量,平行向量,共线向量.对于它们要抓住本质特征,让学生分析比较这些概念的区别与联系.由于向量同时具有几何图象的特征,在学习时还要辩清它们在图形中表现相等、平行的意义,且图形还可以从简单到复杂逐步分清向量所对应的有向线段的身份,地位和作用. 对于单位向量与以前的单位长度的区别要给学生讲解清楚,单位向量不止一个,因为要表示不同的方向.讲清基本概念后,可让学生归纳数量和向量的区别和联系.6、教具:多媒体或实物投影仪,尺规7、授课类型:新授课8、教学过程【活动阶段】通过采取实际问题的方式引入课题,让学生初步接触现实生活中除了数量之外的一些(物理)量问题1:(多媒体演示)老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追去,设问:猫能否追到老鼠?学生:猫的速度再快也没用,因为方向错了。
向量的概念与性质
向量的概念与性质向量,作为研究物理、数学等学科中的基本概念之一,具有广泛的应用价值。
在本文中,我们将讨论向量的概念以及其所具有的一些重要性质。
一、向量的概念向量可以被理解为带有方向和大小的量,常用以描述位移、速度、力等物理量。
向量通常用箭头表示,箭头的长度表示向量的大小,箭头的方向表示向量的方向。
例如,位移向量可以表示一个物体从初始位置到最终位置的位移情况,速度向量可以表示运动物体在某一时刻的速度大小和方向。
二、向量的性质1. 向量的加法和乘法运算向量的加法定义为两个向量相加得到的结果,其几何意义为将一个向量平移至另一个向量的尾部,连接两个向量的首尾即可得到结果向量。
向量的乘法通常有数量积和向量积两种形式,数量积的结果为一个标量,表示两个向量之间的夹角关系;向量积的结果为一个向量,垂直于原向量所在的平面。
2. 向量的共线性若两个向量的方向相同或相反,称它们共线;若两个向量的大小和方向都相同,称它们相等;若一个向量的大小为零,称它为零向量。
共线向量有以下性质:共线向量的数量积为零,零向量与任何向量的数量积为零。
3. 向量的投影向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度,用于衡量一个向量在某个方向上的分量。
投影的大小等于向量的模长与两向量之间夹角的余弦值的乘积。
4. 向量的线性运算向量具有线性运算的性质,即向量与标量的乘法和向量的加法满足以下规则:若a是一个实数,u、v、w是任意向量,则有:(a*u) + (a*v) = a*(u+v);a*(u+v) = (a*u) + (a*v) = a*u + a*v。
5. 向量的单位化向量的单位化是将一个向量的大小调整为1,其方向不变。
通过将向量除以其模长即可得到单位向量,单位向量用帽子 (^) 表示。
单位向量在物理中有着重要的应用,例如在力学中,单位向量常用于表示力的方向。
总结向量作为一种重要的数学概念,具有广泛的应用。
通过向量的加法和乘法运算,我们可以对向量进行各种运算操作。
北师大版高中数学必修第二册《位移、速度、力与向量的概念》评课稿
北师大版高中数学必修第二册《位移、速度、力与向量的概念》评课稿一、课程概述《位移、速度、力与向量的概念》是北师大版高中数学必修第二册中的一节课。
本课程主要介绍了位移、速度、力以及向量的基本概念和相关的计算方法。
通过学习该课程,学生将能够理解和运用这些概念,为后续学习物理学打下基础。
二、教材分析《位移、速度、力与向量的概念》这节课是数学必修第二册的一部分。
教材采用了北师大版的教材,该教材在内容和难度上都与国家教育要求相符合。
本节课的内容紧密结合了实际生活中的运动问题,通过一系列的案例引导学生进行思考和分析。
三、教学目标通过本节课的学习,学生应该能够达到以下教学目标:1.理解位移、速度、力和向量的含义和定义;2.掌握位移、速度、力和向量的基本计算公式和方法;3.在实际问题中应用位移、速度、力和向量的概念、公式和方法;4.培养学生的逻辑思维、问题解决和数学建模能力。
通过这些教学目标的达成,学生将能够全面理解和运用位移、速度、力和向量的概念,为后续学习和应用打下坚实的基础。
四、教学重点与难点本节课的教学重点如下:1.位移、速度、力和向量的概念和定义;2.位移、速度、力和向量的基本计算公式和方法。
本节课的教学难点如下:1.向量的加法和减法运算;2.掌握向量的模长和方向角的计算方法;3.几何问题的向量表示和分解。
针对这些重点和难点,教师应采取合适的教学方法和策略,引导学生加深理解和掌握。
五、教学内容与步骤5.1 教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个方面:1.位移的概念和计算方法;2.速度的概念和计算方法;3.力的概念和计算方法;4.向量的概念和计算方法。
5.2 教学步骤本节课的教学步骤如下:步骤一:引入通过一个日常生活中的运动场景或问题引入本节课的内容,激发学生的学习兴趣和思考。
步骤二:位移的概念和计算方法首先介绍位移的概念和定义,然后介绍位移的计算方法和公式。
通过具体的例子,引导学生理解位移的概念和计算方法,并进行相关的练习。
必修4-2.1 从力、速度、位移到向量
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本课所学的知识点有哪些? 向量的概念及几何表示; 零向量、单位向量、相等向量、共线向量.
你有何收获?
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1、P75习题2-4,A组1、2、3、4, 2、高中同步测控优化设计“训练与测评 ”P13 3、预习:P76、§2从位移的合成到向量的加法
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向量a与b相等,记作a b .
因此,当用有向线段 表示向量时,起点可以任 意选取,同向且等长的有 向线段都表示同一向量, 或者说向量可以在平面内 平行移动 .
A1B1 A2 B2 A3 B3
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B1 B2
B3 A2 A1 A3
4、平行向量: 如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合, 则称这两个向量平行或共线 .
哈尔滨
北京
重庆 广州
上海
5
飞机向东北方向飞行了150km,飞行时间为半 小时,那么飞行速度的大小是300km/h,方向是 东北 . 假如学校位于你家东偏北30°方向,距离你家 2000m . 从家到学校,可能有长短不同的几条路 . 无论走那条路,你的位移都是东偏北30°方向移 动了 2000m .
B(终点)
A(起点)
有向线段的三个要素:起点、方向、长度
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2、向量的几何表示:用有向线段表示 .
向量AB 的大小,也就是有向线 段 AB 的长度(也称 模),记作| AB | .
长度为0 的向量称为零向量,记 作0 或0.
长度为单位1的向量,叫作单位向量 .
思考: “向量就是有向线段, 有向线段就是向量.”的说法 对吗?
F 图2-7
解 (1)在以A,B,C,D,E,F为起点或终点的 向量中,与向量DE相等的向量有:AF和FC; (2)在以A,B,C,D,E,F为起点或终点的向 量中,与向量DF相等的向量有:BE,EB,EC, CE,BC,CB,FD .
2020年高中数学必修第二册: 位移、速度、力与向量的概念 导学案(北师大版)
第二章平面向量及其应用第1节从位移、速度、力到向量第1课时位移、速度、力与向量的概念⑴通过对位移、速度、力等实例的分析,形成平面向量的概念;⑵学会平面向量的表示方法,理解向量集形与数于一身的基本特征;1.通过实例分析,形成平面向量的概念.2.会表示向量,并理解向量的基本特征.1.向量的概念:既有_____又有______的量叫向量2.向量的两要素:_______、_________.3.向量AB(或a)的大小,即长度(也称______),记作:_______或________.4.模长为0的向量叫做________,记作:_______5.模长为1的向量叫做________,记作:_______一、情景引入,温故知新情景1:学校位于小明家北偏东60°方向,距离小明家2000m,从小明家到学校,可能有长短不同的几条路.无论走哪条路,位移都是向北偏东60°方向移动了2000m(如图2-1).θ=,出手速率为v=28.35m/s(如情景2:某著名运动员投掷标枪时,其中一次记录为:出手角度43.242图2-2).情景3:如图2-3,汽车沿倾斜角为 的坡路向上行驶,汽车的牵引力为F问题:1上面三个情境中反映的物理量有什么共同的特点?2.请再举出一些含有类似性质的物理量实例进行分析,与同学交流向量的历史大约公元前350年前,古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量,两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到.二、探索新知探究一向量的概念情境1. .老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追去.猫能否追到老鼠?情境2. 民航从北京飞往重庆、广州、上海、哈尔滨等地的航班,这些航班的位移相同吗?情景3:起重机吊装物体时,物体既受到竖直向下的重力作用,同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用.当拉力的大小超过重力的大小时,物体即被吊起思考:1物理中,既有大小又有方向的量,叫作什么?.2.在数学中,既有大小又有方向的量又叫作什么呢?归纳新知:向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量向量的两要素:大小(模)、方向.(定义向量的模)问题1.现实生活中有哪些量既有大小又有方向?问题2.哪些量只有大小没有方向?例1.下列量中哪些是向量?悬挂物受到的拉力,压强,摩擦力,频率,加速度.问题:数量与向量的区别是什么?练习1:给出下列物理量:①密度;②路程;③速度;④质量;⑤功;⑥位移.下列说法正确的是( )A.①②③是数量,④⑤⑥是向量B.②④⑥是数量,①③⑤是向量C.①④是数量,②③⑤⑥是向量D.①②④⑤是数量,③⑥是向量例2.如图,某人上午从A到达了B,下午从B到达了C,请在图上用有向线段表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天内的位移.练习2.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000 km到达乙地,再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000。
如何使用向量表示物体的运动?
向量是一种数学工具,可以用来描述物体在空间中的位置和运动。
在物理学中,向量被广泛应用于描述物体的运动,包括力学、电磁学、光学和量子力学等领域。
在本篇文章中,我们将介绍如何使用向量表示物体的运动。
首先,我们需要了解向量的基本概念。
向量可以用起点和终点的坐标表示,也可以用长度和方向表示。
在物理学中,我们通常使用长度和方向来表示向量。
长度是指向量的模长,即向量的长度或大小。
方向是指向量的方向或指向,即向量所指的方向。
接下来,我们将介绍如何使用向量表示物体的位移。
位移是指物体在空间中的位置变化。
在物理学中,我们通常使用向量来表示位移。
位移可以用起点和终点的坐标表示,也可以用长度和方向表示。
在物理学中,我们通常使用位移来描述物体在空间中的位置变化。
例如,如果一个物体从点A移动到点B,我们可以使用向量AB来表示它的位移。
接下来,我们将介绍如何使用向量表示物体的速度。
速度是指物体在空间中的运动速度。
在物理学中,我们通常使用向量来表示速度。
速度可以用长度和方向表示。
例如,如果一个物体以速度v从点A移动到点B,我们可以使用向量v来表示它的速度。
接下来,我们将介绍如何使用向量表示物体的加速度。
加速度是指物体在空间中的运动加速度。
在物理学中,我们通常使用向量来表示加速度。
加速度可以用长度和方向表示。
例如,如果一个物体以加速度a从点A移动到点B,我们可以使用向量a来表示它的加速度。
最后,我们将介绍如何使用向量表示物体的力。
力是指物体在空间中的受力作用。
在物理学中,我们通常使用向量来表示力。
力可以用长度和方向表示。
例如,如果一个物体受到力F 的作用从点A移动到点B,我们可以使用向量F来表示它的力。
总之,向量是一种数学工具,可以用来描述物体在空间中的位置和运动。
在物理学中,我们通常使用向量来表示物体的位移、速度、加速度和力等物理量。
通过使用向量来描述物体的运动,我们可以更好地理解物体的运动规律,从而更好地解决物理问题。
向量知识点总结初中
向量知识点总结初中1. 向量的概念:向量是具有大小和方向的量,用来表示位移、速度、力等物理量。
在几何上,向量表示空间中的一条有方向的线段。
2. 向量的表示:向量通常用有向线段、箭头等图形表示,也可以用分量表示。
在数学上,向量常用加粗的字母,如a、b、c等表示。
二、向量的运算:1. 向量的加法:向量的加法满足三角形法则,即两个向量相加的结果是一个新的向量,其起点和终点分别为两个向量的起点和终点。
2. 向量的数乘:向量的数乘是指一个向量乘以一个标量,结果是一个新的向量,其大小是原向量大小的倍数,方向与原向量相同或相反。
3. 向量的减法:向量的减法可以看作是向量加法的逆运算,即将被减向量改变方向再与减向量做加法。
4. 向量的数量积:向量的数量积又称点积,结果是一个标量,其大小等于两个向量的模的乘积与这两个向量夹角的余弦值的乘积。
5. 向量的向量积:向量的向量积又称叉积,结果是一个向量,其大小等于两个向量的模的乘积与这两个向量夹角的正弦值的乘积,方向由右手定则确定。
三、向量的坐标表示:1. 二维向量的坐标表示:二维向量可以用坐标表示为一个有序二元组(a, b),其中a为向量在x轴上的投影,b为向量在y轴上的投影。
2. 三维向量的坐标表示:三维向量可以用坐标表示为一个有序三元组(a, b, c),其中a为向量在x轴上的投影,b为向量在y轴上的投影,c为向量在z轴上的投影。
四、向量的模和方向角:1. 向量的模:向量的模是用来表示向量大小的量,通常用|a|表示,可以通过勾股定理计算得到。
2. 向量的方向角:向量的方向角是指向量与坐标轴正方向的夹角,通常用α、β、γ表示。
可以通过三角函数计算得到。
五、向量的线性相关和线性无关:1. 线性相关:若存在不全为零的实数k1、k2,使得k1a + k2b = 0,则称向量a、b线性相关。
2. 线性无关:若a、b线性相关,且k1 = 0、k2 = 0,则称向量a、b线性无关。
初中数学向量的定义与运算
初中数学向量的定义与运算一、向量的定义向量是指具有大小和方向的物理量。
在数学中,向量通常用一条具有箭头标记的有向线段表示,箭头表示向量的方向,线段长度表示向量的大小。
向量可以用于描述位移、速度、力、力矩等物理量。
二、向量的表示方法1. 简化表示法:通常情况下,向量用大写的字母如AB表示,其中A和B表示向量的起点和终点。
这种表示方法简洁明了,常用于平面上的向量。
2. 分量表示法:对于在直角坐标系中的向量,可以用坐标表示。
例如,向量AB可以用(x2-x1, y2-y1)来表示,其中(x1, y1)和(x2, y2)分别是向量AB的起点和终点的坐标。
三、向量的运算1. 向量加法:向量加法是指将两个向量按照一定的规则相加得到一个新的向量。
向量相加的结果是一个新的向量,其起点与第一个向量的起点相同,终点与最后一个向量的终点相同。
向量加法满足交换律和结合律。
2. 向量减法:向量减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
向量减法的运算规则是将被减向量取负后与减向量相加。
向量减法可以转化为向量加法来处理。
3. 数乘运算:数乘运算指的是将一个向量与一个实数相乘,得到一个新的向量。
数乘运算改变了向量的大小但保持了方向。
当实数为负时,数乘运算还会改变向量的方向。
四、向量的运算性质1. 加法满足交换律和结合律:对于任意向量a、b、c,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)。
2. 数乘运算与加法的分配律:对于任意向量a、b和实数k,有k(a+b)=ka+kb。
3. 数乘运算与数乘运算的分配律:对于任意向量a和实数k1、k2,有(k1+k2)a=k1a+k2a。
五、向量的模、方向角和单位向量1. 向量的模:向量的模表示向量的大小,通常用|a|表示,等于向量的长度。
2. 向量的方向角:向量的方向角表示向量与某个坐标轴或平面的夹角。
3. 单位向量:单位向量是指模等于1的向量。
单位向量可以用一个小写的字母加一个帽子表示,例如ĉ。
北师大版必修4高中数学第2章平面向量11.1位移速度和力1.2向量的概念
1.准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方 向,然后根据向量的大小确定向量的终点.用有向线段来表示向量是 向量的几何表示,必须确定起点、长度和终点,三者缺一不可.
2.起点相同,长度也相同的向量的终点组成以该起点为圆心、 向量长度为半径的圆.
2.一辆消防车从 A 地去 B 地执行任务,先从 A 地向北偏东 30°方向行驶 2 千米到 D 地,然后 从 D 地沿北偏东 60°方向行驶 6 千米到达 C 地, 从 C 地又向南偏西 30°方向行驶了 2 千米才到达 B 地.
→ OA.
1.向量共线有三种情形: ①共线且同向;②共线且反向;③有一个是零向量. 2.向量的平行与直线平行的关系 两条直线平行时,直线上的有向线段平行,两向量平行时,表示 向量的有向线段所在直线不一定平行,也可能重合.若直线 m,n,l, m∥n,n∥l,则 m∥l;若向量 a,b,c,a∥b,b∥c,而 a,c 不一定 平行.
向量的表示 【例 2】 一艘军舰从基地 A 出发向东航行了 200 海里到达基地 B,然后改变航线向东偏北 60°航行了 400 海里到达 C 岛,最后又改 变航线向西航行了 200 海里到达 D 岛. (1)试作出向量A→B,B→C,C→D;
(2)求|A→D |.
[思路探究] 准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定 向量的方向,然后结合向量的大小确定向量的终点.
(1)在如图所示的坐标系中画出A→D,D→C,C→B,A→B; (2)求 B 地相对于 A 地的位置向量.
[解] (1)向量A→D,D→C,C→B,A→B如图所示.
(2)由题意知A→D=B→C,∴AD 綊 BC, ∴四边形 ABCD 为平行四边形, ∴A→B=D→C, ∴B 地相对于 A 地的位置向量为“北偏东 60°,6 千米”.
数学教案向量的基本运算
数学教案向量的基本运算数学教案:向量的基本运算一、引言在数学中,向量是一个重要的概念,它可以用来描述物理空间中的位移、速度和力等物理量。
向量的基本运算包括加法、减法和数乘运算,它们在数学和物理学中有着广泛的应用。
本教案将从理论和实践两个方面,详细介绍向量的基本运算。
二、向量的表示与性质向量通常用有序数组表示,如(A1, A2, A3)。
向量的性质包括大小、方向和共线性。
大小由向量的模表示,方向由箭头指向确定,共线性由向量的比例关系决定。
三、向量的加法运算1. 向量的三要素及图解法:两个向量相加所得的和向量,大小等于两个向量大小之和,方向与第一个向量和第二个向量的连接方向相同。
2. 分量法:将向量分解为水平方向和垂直方向上的分量,然后分别对应相加。
3. 示例题:根据图示求两个向量的和向量。
四、向量的减法运算1. 向量的定义及图解法:两个向量相减所得的差向量,大小等于两个向量大小之差,方向与第一个向量和第二个向量的连接方向相反。
2. 分量法:将向量分解为水平方向和垂直方向上的分量,然后分别对应相减。
3. 示例题:根据图示求两个向量的差向量。
五、向量的数乘运算1. 向量的定义及图解法:一个向量乘以一个实数所得的向量,向量的大小等于实数与向量大小的乘积,方向与原向量相同(正数)或相反(负数)。
2. 分量法:将向量的分量分别乘以实数。
3. 示例题:根据图示求向量的数乘。
六、向量的基本运算的性质1. 加法和减法的性质:交换律、结合律、零向量和负向量。
2. 数乘的性质:分配律、加法的结合律、单位向量。
七、实际应用1. 位移向量:描述物体在空间中的位置变化。
2. 速度向量:描述物体在空间中的运动状态。
3. 力向量:描述物体受力及其方向。
八、小结通过本教案的学习,我们了解了向量的基本运算,包括加法、减法和数乘运算。
向量运算不仅在数学中有着广泛的应用,而且在物理学和工程学等领域也具有重要的意义。
在实际问题中,我们可以通过运用向量的基本运算来描述物体的位置、运动和受力等情况,提高问题解决的效率。
北师版数学高一-必修4学案 -1.2 位移、速度和力 向量的概念
§1 从位移、速度、力到向量1.1 位移、速度和力 1.2 向量的概念[学习目标] 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量,掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示,了解有向线段与向量的联系与区别,会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念,会辨识图形中这些相关的概念.[知识链接]1.力和位移都是既有大小,又有方向的量,在物理学常称为矢量,在数学中叫作向量;而把那些只有大小,没有方向的量称为数量,在物理学常称为标量. 2.已知下列各量:①力;②功;③速度;④质量;⑤温度;⑥位移;⑦加速度;⑧重力;⑨路程;⑩密度. 其中是数量的有②④⑤⑨⑩,是向量的有①③⑥⑦⑧. 3.向量与数量有什么联系和区别?答 联系是向量与数量都是有大小的量;区别是向量有方向且不能比较大小,数量无方向且能比较大小. [预习导引]1.向量:既有大小,又有方向的量叫作向量.2.向量的几何表示:以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →. 3.向量的有关概念:(1)零向量:长度为0的向量,叫作零向量,记作0或0→. (2)单位向量:长度为单位1的向量叫作单位向量. (3)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫作相等向量.(4)平行向量(共线向量):如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合,则称这两个向量平行或共线.①记法:向量a 平行于b ,记作a ∥b . ②规定:零向量与任一向量平行.要点一 向量的概念 例1 给出下列各命题: (1)零向量没有方向; (2)若|a |=|b |,则a =b ; (3)单位向量都相等; (4)向量就是有向线段;(5)两相等向量若其起点相同,则终点也相同; (6)若a =b ,b =c ,则a =c ; (7)若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ;(8)若四边形ABCD 是平行四边形,则AB →=CD →,BC →=DA →. 其中正确命题的序号是________. 答案 (5)(6)解析 (1)该命题不正确,零向量不是没有方向,只是方向不确定; (2)该命题不正确,|a |=|b |只是说明这两向量的模相等,但其方向未必相同; (3)该命题不正确,单位向量只是模为单位长度1,而对方向没要求;(4)该命题不正确,有向线段只是向量的一种表示形式,但不能把两者等同起来;(5)该命题正确,因两相等向量的模相等,方向相同,故当它们的起点相同时,其终点必重合; (6)该命题正确.由向量相等的定义知,a 与b 的模相等,b 与c 的模相等,从而a 与c 的模相等;又a 与b 的方向相同,b 与c 的方向相同,从而a 与c 的方向也必相同,故a =c ; (7)该命题不正确.因若b =0,则对两不共线的向量a 与c ,也有a ∥0,0∥c ,但a ≠c ; (8)该命题不正确.如图所示,显然有AB →≠CD →,BC →≠DA →.规律方法 要充分理解与向量有关的概念,明白它们各自所表示的含义,搞清楚它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键. 跟踪演练1 下列命题中,正确的是( ) A .a ,b 是两个单位向量,则a 与b 相等 B .若向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量 C .两个相等的向量,起点、方向、长度必须都相同 D .共线的单位向量必是相等向量 答案 B解析 若a 与b 中有一个是零向量,则a 与b 是平行向量,即向量a 与b 共线,与前提矛盾,所以a 与b 都是非零向量. 要点二 向量的表示例2 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:(1)OA →,使|OA →|=42,点A 在点O 北偏东45°; (2)AB →,使|AB →|=4,点B 在点A 正东; (3)BC →,使|BC →|=6,点C 在点B 北偏东30°.解 (1)由于点A 在点O 北偏东45°处,所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等.又|OA →|=42,小方格边长为1,所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A 位置可以确定,画出向量OA →如图所示.(2)由于点B 在点A 正东方向处,且|AB →|=4,所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点B 位置可以确定,画出向量AB →如图所示.(3)由于点C 在点B 北偏东30°处,且|BC →|=6,依据勾股定理可得:在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3,纵向小方格数为33≈5.2,于是点C 位置可以确定,画出向量BC →如图所示.规律方法 在画图时,向量是用有向线段来表示的,用有向线段的长度表示向量的大小,用箭头所指的方向表示向量的方向.应该注意的是有向线段是向量的表示,并不是说向量就是有向线段.跟踪演练2 中国象棋中规定:马走“日”字.下图是中国象棋的半个棋盘,若马在A 处,可跳到A 1处,也可跳到A 2处,用向量AA 1→或AA 2→表示马走了“一步”.试在图中画出马在B ,C 处走了“一步”的所有情况.解 根据规则,画出符合要求的所有向量. 马在B 处走了“一步”的情况如图(1)所示; 马在C 处走了“一步”的情况如图(2)所示.要点三 相等向量与共线向量例3 如图所示,O 为正方形ABCD 对角线的交点,四边形OAED 、OCFB 都是正方形.(1)写出与AO →相等的向量; (2)写出与AO →共线的向量; (3)向量AO →与CO →是否相等?→相等的向量为:OC→、BF→、ED→.解(1)与AO→共线的向量为:OA→、OC→、CO→、AC→、CA→、ED→、DE→、BF→、FB→.(2)与AO→与CO→不相等,因为AO→与CO→的方向相反,所以它们不相等.(3)向量AO规律方法判断一组向量是否相等,关键是看这组向量是否方向相同、长度相等,与起点和终点的位置无关.对于共线向量,则只要判断它们是否同向或反向即可.跟踪演练3如图,在正方形ABCD中,M,N分别为AB和CD的中点,在以A,B,C,D,M,N为起点和终点的所有向量中,相等的向量分别有多少对?解不妨设正方形的边长为2,则以A,B,C,D,M,N为起点和终点的向量中:→=DC→,BA→=CD→,AD→=BC→,DA→=CB→,AD→=MN→,DA→=NM→,(1)模为2的相等向量共有8对,AB→=MN→,CB→=NM→.BC→同向的有MB→,DN→,NC→,这四个向量组成相等的向(2)模为1的相等向量有12对,其中与AM量有6对,即AM→=→,AM→=DN→,AM→=NC→,MB→=DN→,MB→=NC→,DN→=NC→,同理与AM→反向的也有6对.MB→=MC→,NA→=CM→,MD→=BN→,DM→=NB→.(3)模为5的相等向量共有4对,AN1.下列说法正确的是()A.零向量没有大小,没有方向B.零向量是唯一没有方向的向量C.零向量的长度为0D.任意两个单位向量方向相同答案C解析零向量的长度为0,方向是任意的,故A,B错误,C正确.任意两个单位向量的长度相等,但方向不一定相同,故D错误.2.如图,在四边形ABCD 中,若AB →=DC →,则图中相等的向量是( )A.AD →与CB →B.OB →与OD →C.AC →与BD →D.AO →与OC →答案 D解析 ∵AB →=DC →,∴四边形ABCD 是平行四边形,∴AC 、BD 互相平分,∴AO →=OC →. 3.如图,在△ABC 中,若DE ∥BC ,则图中是共线向量的有________.答案 ED →与CB →,AD →与BD →,AE →与CE →解析 观察图形,并结合共线向量的定义可得解.4.在四边形ABCD 中,AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|,则四边形ABCD 的形状是________. 答案 梯形解析 ∵AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|,∴AB ∥DC ,且AB ≠DC ,∴四边形ABCD 是梯形.1.向量是既有大小又有方向的量,从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征,因此借助于向量,我们可以将某些代数问题转化为几何问题,又将几何问题转化为代数问题,故向量能起数形结合的桥梁作用.2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.平行向量是指向量所在直线平行或重合,是一种广义的平行.3.注意两个特殊向量——零向量和单位向量,零向量与任何向量都平行,单位向量有无穷多个,起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.一、基础达标 1.有下列说法:①若向量a 与向量b 不平行,则a 与b 方向一定不相同; ②若向量AB →,CD →满足|AB →|>|CD →|,且AB →与CD →同向,则AB →>CD →; ③若|a |=|b |,则a ,b 的长度相等且方向相同或相反; ④由于零向量方向不确定,故其不能与任何向量平行. 其中,正确说法的个数是( ) A .1 B .2 C .3D .4答案 A解析 对于①,由共线向量的定义知,两向量不平行,方向一定不相同,故①正确; 对于②,因为向量不能比较大小,故②错误;对于③,由|a |=|b |,只能说明a ,b 的长度相等,不能确定它们的方向,故③错误; 对于④,因为零向量与任一向量平行,故④错误. 2.下列说法中错误的是( )A .有向线段可以表示向量但不是向量,且向量也不是有向线段B .若向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量C .长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D .方向相反的两个非零向量必不相等 答案 C解析 长度相等但方向相反的两个向量一定共线,由向量的概念及向量的模的意义可判断A 、B 、D 选项内容都是正确的. 3.给出下列六个命题:①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; ②若|a |=|b |,则a =b ;③若AB →=DC →,则四边形ABCD 是正方形; ④平行四边形ABCD 中,一定有AB →=DC →; 其中不正确的命题的个数为( ) A .2 B .3 C .4 D .5答案 B解析 不正确的是①②③.4.设O 是正方形ABCD 的中心,则向量AO →,BO →,OC →,OD →是( ) A .相等的向量B .平行的向量C .有相同起点的向量D .模相等的向量答案 D解析 这四个向量的模相等.5.若a 是任一非零向量,b 是模为1的向量,下列各式:①|a |>|b |;②a ∥b ;③|a |>0;④|b |=±1.其中正确的是( )A .①④B .③C .①②③D .②③ 答案 B解析 a 任一非零向量,故|a |>0.6.如图,等腰梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点P ,点E ,F 分别在两腰AD ,BC 上,EF 过点P ,且EF ∥AB ,则( )A.AD →=BC →B.AC →=BD →C.PE →=PF →D.EP →=PF → 答案 D解析 由平面几何知识知,AD →与BC →方向不同,故AD →≠BC →;AC →与BD →方向不同,故AC →≠BD →;PE →与PF →模相等而方向相反,故PE →≠PF →;EP →与PF →模相等且方向相同,故EP →=PF →.7.如图,在四边形ABCD 中,AB →=DC →,N 、M 分别是AD 、BC 上的点,且CN →=MA →.求证:DN →=MB →.证明 ∵AB →=DC →, ∴|AB →|=|CD →|且AB ∥CD , ∴四边形ABCD 是平行四边形, ∴|DA →|=|CB →|,且DA ∥CB . 又∵DA →与CB →的方向相同,∴CB →=DA →.同理可证,四边形CNAM 是平行四边形, ∴CM →=NA →.∵|CB →|=|DA →|,|CM →|=|NA →|, ∴|DN →|=|MB →|.∵DN ∥MB 且DN →与MB →的方向相同, ∴DN →=MB →. 二、能力提升8.以下命题:①若AB →=DC →,则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点;②若m =n ,n =k ,则m =k ;③单位向量都是共线向量.其中,正确命题的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3 答案 B解析 ①A 、B 、C 、D 四点可能共线;③单位向量的模相等,但方向不确定,所以未必共线. 9.给出下列四个条件:①a =b ;②|a |=|b |;③a 与b 方向相反;④|a |=0或|b |=0.其中能使a ∥b 成立的条件是________. 答案 ①③④解析 因为a =b ⇒a ∥b ,即①能够使a ∥b 成立;由于|a |=|b |并没有确定a 与b 的方向,即②不能够使a ∥b 成立;因为a 与b 方向相反时,a ∥b ,即③能够使a ∥b 成立;因为零向量与任意向量共线,所以|a |=0或|b |=0时,a ∥b 能够成立.故使a ∥b 成立的条件是①③④. 10.一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点,然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 点,最后又改变方向,向东行驶了100 km 到达D 点. (1)作出向量AB →、BC →、CD →; (2)求|AD →|.解 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示:(2)由题意,易知AB →与CD →方向相反,故AB →与CD →共线, 又|AB →|=|CD →|,∴在四边形ABCD 中,AB 綊CD . ∴四边形ABCD 为平行四边形. ∴AD →=BC →,∴|AD |→=|BC →|=200 km.11.如图,已知矩形ABCD 中,设点集M ={A ,B ,C ,D },求集合T ={PQ →|P 、Q ∈M ,且PQ →=0}.解 集合T ={PQ →|P 、Q ∈M ,且PQ →≠0}中的元素为非零向量PQ →,且向量的起点与终点分别为矩形的顶点ABCD .这些向量为AB →,AC →,AD →,BA →,BC →,BD →,CB →,CA →,CD →,DA →,DB →,DC →. 由于AB →=DC →,AD →=BC →,BA →=CD →,DA →=CB →,根据集合元素的互异性,得集合T ={AB →,AC →,AD →,BD →,CD →,CA →,DA →,DB →}. 12.如图所示,已知AA ′→=BB ′→=CC ′→.求证:(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′; (2)AB →=A ′B ′→,AC →=A ′C ′→. 证明 (1)∵AA ′→=BB ′→, ∴|AA ′→|=|BB ′→|,且AA ′→∥BB ′→.打印版高中数学 又∵A 不在BB ′→上,∴AA ′∥BB ′.∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形.∴|AB →|=|A ′B ′→|.同理|AC →|=|A ′C ′→|,|BC →|=|B ′C ′→|.∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)由(1)知,四边形AA ′B ′B 是平行四边形,∴AB →∥A ′B ′→,且|AB →|=|A ′B ′→|.∴AB →=A ′B ′→.同理可证AC →=A ′C ′→.三、探究与创新13.如图,在平行四边形ABCD 中,O 是两对角线AC ,BD 的交点,设点集S ={A ,B ,C ,D ,O },向量集合T ={MN →|M ,N ∈S ,且M ,N 不重合},试求集合T 中元素的个数.解 由题意知,集合T 中的元素实质上是S 中任意两点连成的有向线段,共有20个,即AB →,AC →,AD →,AO →;BA →,BC →,BD →,BO →;CA →,CB →,CD →,CO →;DA →,DB →,DC →,DO →;OA →,OB →,OC →,OD →.由平行四边形的性质可知,共有8对向量相等,即AB →=DC →,AD →=BC →,DA →=CB →,BA →=CD →,AO →=OC →,OA →=CO →,DO →=OB →,OD →=BO →.∵集合中元素具有互异性,∴集合T 中的元素共有12个.。
小学生数学认识数学中的向量
小学生数学认识数学中的向量向量是数学中的一种重要概念,它在几何学、物理学以及计算机科学等领域有着广泛的应用。
对于小学生来说,了解和认识向量是非常有益的,可以帮助他们更好地理解数学概念和解决实际问题。
本文将介绍向量的概念、性质以及一些简单的应用,以帮助小学生认识数学中的向量。
一、向量的定义和表示方法向量可以用于描述空间中的位移、速度、力等物理量,它是由大小和方向组成的。
在数学中,向量通常用有向线段来表示。
一个向量通常用字母加箭头来表示,比如A B⃗,表示从点A到点B的有向线段。
除了用有向线段表示向量外,向量还可以用坐标表示。
在平面直角坐标系中,一个二维向量可以用两个有序实数表示。
比如向量P Q⃗可以表示为(Px, Py),其中Px为横坐标,Py为纵坐标。
类似地,在三维空间中,一个三维向量可以用三个有序实数表示。
二、向量的性质1. 向量的大小:向量的大小又称为向量的模或向量的长度,用||A B⃗||表示。
在平面上,向量A B⃗的大小可以由两点的坐标计算得出,即||A B⃗||=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。
在三维空间中,向量的大小计算方式类似。
2. 向量的方向:向量的方向可以由两点确定,即向量从一个点指向另一个点。
在数学中,可以用一个角度表示向量的方向。
常见的表示方式有使用与x轴正方向的夹角,也可以使用方向角。
除此之外,向量的方向还可以用单位向量表示,即大小为1的向量。
3. 向量的运算:向量可以进行加法和乘法运算。
向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
向量的乘法有数量乘和点乘两种。
数量乘是指将向量的大小与一个实数相乘得到新的向量,而点乘则是将两个向量的对应坐标相乘并相加得到一个实数。
三、向量的应用1. 几何问题:向量在几何问题中有着广泛的应用。
可以用向量来表示线段的长度和方向,从而可以解决许多几何问题,比如求两条线段的夹角、判断线段是否平行等。
2. 运动问题:向量可以用于描述物体的位移和速度。
高中数学关于向量的知识点详解
【导语】⾼中数学学习的知识点⽐较的多,学⽣要学会将知识点归纳掌握,下⾯⽆忧考将为⼤家带来关于向量的知识点的介绍,希望能够帮助到⼤家。
1.向量的基本概念 (1)向量 既有⼤⼩⼜有⽅向的量叫做向量.物理学中⼜叫做⽮量.如⼒、速度、加速度、位移就是向量. 向量可以⽤⼀条有向线段(带有⽅向的线段)来表⽰,⽤有向线段的长度表⽰向量的⼤⼩,⽤箭头所指的⽅向表⽰向量的⽅向.向量也可以⽤⼀个⼩写字母a,b,c表⽰,或⽤两个⼤写字母加表⽰(其中前⾯的字母为起点,后⾯的字母为终点) (5)平⾏向量 ⽅向相同或相反的⾮零向量,叫做平⾏向量.平⾏向量也叫做共线向量. 若向量a、b平⾏,记作a∥b. 规定:0与任⼀向量平⾏. (6)相等向量 长度相等且⽅向相同的向量叫做相等向量. ①向量相等有两个要素:⼀是长度相等,⼆是⽅向相同,⼆者缺⼀不可. ②向量a,b相等记作a=b. ③零向量都相等. ④任何两个相等的⾮零向量,都可⽤同⼀有向线段表⽰,但特别要注意向量相等与有向线段的起点⽆关. 2.对于向量概念需注意 (1)向量是区别于数量的⼀种量,既有⼤⼩,⼜有⽅向,任意两个向量不能⽐较⼤⼩,只可以判断它们是否相等,但向量的模可以⽐较⼤⼩. (2)向量共线与表⽰它们的有向线段共线不同.向量共线时,表⽰向量的有向线段可以是平⾏的,不⼀定在同⼀条直线上;⽽有向线段共线则是指线段必须在同⼀条直线上. (3)由向量相等的定义可知,对于⼀个向量,只要不改变它的⼤⼩和⽅向,它是可以任意平⾏移动的,因此⽤有向线段表⽰向量时,可以任意选取有向线段的起点,由此也可得到:任意⼀组平⾏向量都可以平移到同⼀条直线上. 3.向量的运算律 (1)交换律:α+β=β+α (2)结合律:(α+β)+γ=α+(β+γ) (3)数量加法的分配律:(λ+µ)α=λα+µα (4)向量加法的分配律:γ(α+β)=γα+γβ ⾼中数学学习的窍门 1不乱买辅导书。
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B
( 2)方 向 不 同 的 两 个 向 量 定 一不 平 行 ; ( 3)向 量 就 是 有 向 线 段 ; (4)向 量0 0; (5)向 量AB大 于 向 量 CD . 其中正确命题的个数是 A.0
B .1 C .2 D.2
1.下 列 说 法 是 否 正 确 A.若 | a || b |, 则a b B .若 | a | 0, 则a 0 C .若 | a || b |, 则a b或a b D .若 a // b, 则a b E .若 a b, 则 | a || b | F .若 a b, 则a与b不 是 共 线 向 量 G .若 a 0, 则 a 0
2.有向线段的三要素:起点、方向、长度 以A为起点、B为终点的有向线段记作 AB
AB
uu u r 即为线段AB的长度记作 | AB(读为模) |
3. 向量如何表示?
①几何表示——向量常用有向线段表示:有向线段的长 度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向。
向量AB
A B
②代数表示也可以为: a、b、c…
小结
位移、速度和力这些物理量都是既有大小,又 有方向的量,在物理中称为矢量。
一、向量的概念
向量:即有大小又有方向的量
向量的模
向量的长度
(数量:只有大小,没有方向的量) 例1.判断下列哪些是向量? 浮力、密度、质量、路程、面积 向量有:浮力
二、向量的表示
1.有向线段——具有方向和长度的线段
B A
单位向量:长度为1的向量.
注:零向量,单位向量都是只限制大小,不确定方向的.
5.平行向量:方向相同或相反的非零向量叫 平行向量又叫共线向量.
a // b
注意:我们规定,零向量与任一向量平行,即对 任意向量 a , 都有 0 // a
6.相等向量
长度相等且方向相同的向量叫相等向量
a b A4 c a=b=c
从位移、速度和力
向量的概念
学习目标
1.了解向量产生的物理背景及几何背景。 2. 理解向量的概念、几何表示。 3. 理解零向量、单位向量、相等向量和共线 向量的含义。
思考?
老鼠由A向西北逃窜,猫 在B处向东追去。猫能否 追到老鼠?
A
B
不能,因为方向错了。
民航每天都有从北京飞往 上海、广州、重庆、哈尔 滨等地的航班。每次飞行 都是民航客机的一次位移.北京
=A2B2=A3B3=A4B4
B3
注:1.若向量 a b相等,则记为 a= b ; 2.任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来 表示,并且与有向线段的起点无关。
练 习 : 判 断 下 列 命 题否 是正 确 (1)向 量AB和 向 量BA长 度 相 等 ;
例2.如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与 OA、OB、OC 相等的向量。
解:OA=CB=DO=EF
OB=DC=EO=FA OC=AB=ED=FO
C
B
A
O
F
D
E
课堂小结:
向量的表示AB或a 有向线段 向 向量的大小 (长度、模) 单位向量 与零向量 相等向量 量 向量的方向
平行向量 (共线向量)
印刷体中用黑体小写字母a、b、c…表示
uu u r uur uuu r 或 AB, BA, BC
大小记作: a , b , c
uu u r uuu r uuu r 或 | AB |,| BC |,| BC |
说明1: 我们所说的向量,与起点无关,用有向线段表示向量时,
起点可以取任意位置。所以数学中的向量也叫自由向量. 如图:他们都表示
某著名运动员投掷标枪时,标枪的初速度是: 平均出手角度θ=43.242 平均出手速度大小为v=28.35m/s
F
G
起重机吊装物体时,物体既受到竖直向下的重力作用,同时又 受到竖直向上的起重机拉力的作用。
拉力的大小超过重力时,物体被吊起。
F θ
汽车爬坡时,牵引力大小为F.
方向倾斜向上,与水平方向成θ角.
a a
同一个向量。
练习: 1.向量 AB 和 BA 同一个向量吗?为什么?
不是,方向不同
说明2: 有向线段与向量的区别: 有向线段:有固定起点、大小、方向
向量:可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。
B D B D
A
C
A
C
有向线段AB、CD 是不同的。
向量 AB、CD 是同一个 向量。
4.零向量: 长度为0的向量,记为 0 ;
哈尔滨
重庆
上海
由于飞行的距离和方向各 不相同,因此,它们是不同 的位移.
广州
从家到学校,可能有 长短不同的几条路
北
学校 30 家
东
无论走哪条路,你的位移都是向东偏 北 30 方向移动了2000m
飞机向东北飞行了150km, 飞行时间为半小时,飞行 的速度为?
北
东
大小是300km/h,方向是东北.