向量的概念及表示优秀教案
向量的教案5篇
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高中数学平面向量教案向量的基本概念与表示方法
高中数学平面向量教案向量的基本概念与表示方法向量的基本概念与表示方法一、引言向量是物理、工程、计算机等领域中最基本的概念之一。
它不仅具有方向和大小，而且可以进行加法和数乘。
向量在几何表示中可以用箭头来表示，但是在数学中，我们需要用数学公式和符号来表示向量。
本教案主要介绍向量的基本概念和表示方法，以便高中数学学生学习和掌握。
二、向量的基本概念1.向量的定义向量是一个有大小和一个方向的标量，它可以进行加法和数乘。
向量可以表示为 a = (a1, a2)，其中a1和a2分别表示在x和y方向上的位移。
我们也可以用箭头表示向量，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
例如，图1中，箭头AB表示向量a。
图1：向量的表示法2.向量的运算向量的运算包括加法和数乘，下面分别介绍。
加法：向量的加法是指将两个向量相加的操作。
假设有向量a和向量b，它们的和可以表示为a+b，例如，图2中，向量a和向量b的和为向量c。
图2：向量的加法数乘：向量的数乘是指用一个标量乘以一个向量的操作。
假设有向量a和标量k，则k*a表示对向量a进行了伸缩变换，例如，图3中，向量a变为k*a。
图3：向量的数乘3.向量的模长和方向角向量的模长（也叫长度）是指向量的大小，可以用勾股定理求得，即：|a| = √(a1^2 + a2^2)其中a1和a2分别是向量a在x和y方向上的位移。
向量的方向角是指向量与x轴正方向之间的夹角，可以用反三角函数求得，即：θ = arctan(a2/a1)其中a1和a2分别是向量a在x和y方向上的位移。
4.向量的坐标表示向量可以用坐标表示，例如，向量a可以表示为(a1, a2)，其中a1和a2分别是向量在x和y方向上的位移。
向量的坐标表示法以及向量的加法和数乘在二维坐标系中可以得到明确的几何意义，是向量运算的基础。
三、向量的表示法在向量的表示中，我们需要用到向量的坐标表示法和向量的基本运算。
下面介绍向量的表示法。
苏教版数学高一必修4教案 2.1向量的概念及表示
2．1向量的概念及表示●三维目标1．知识与技能(1)理解、掌握向量的概念．(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等的概念．2．过程与方法在理解向量等有关概念的基础上，充分联系实际，培养学生解决生活实际问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过对向量的学习，使学生对现实生活中的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生对现实生活中的真善美的识别能力．(2)对学生进行辩证思维的教育.●重点难点重点：向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示．难点：向量的概念和共线向量的概念．●教学建议1．关于向量概念的教学教学时，建议教师从向量的物理背景出发，借助物理学中的位移、速度、力等矢量引出向量的概念，并指出向量具有“数”和“形”的双重特征．2．关于零向量、单位向量、相等向量和共线向量的教学教学时，建议教师类比数及向量的概念给出零向量、单位向量的概念；结合向量的两要素给出相等向量的定义；强调指出共线向量未必是在同一直线上的向量．由于零向量、单位向量、相等向量和共线向量是研究向量的基础，为增加学生对上述概念的感性认识，学习时建议教师对该知识点进行适当训练．●教学流程创设问题情境，引入向量的概念.⇒引导学生结合物理学中的位移、速度、力等矢量理解向量具有“数”和“形”的双重特征.⇒通过类比数与向量的概念，引导学生理解零向量、单位向量、相等向量、共线向量等概念.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握利用向量有关概念判断有关命题真假的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用有向线段表示向量的方法，并注意向量模的大小.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握写出图形中的相等共线向量的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念．2.理解零向量、单位向量、相等向量、共线(平行)向量、相反向量的含义．(重点、难点)3.理解向量的几何表示.向量及其有关概念(1)火车向正南方向行驶了50 km，行驶速度的大小为120 km/h，方向是正南．(2)起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．1．上述两个实例中涉及的物理量的特点是什么？【提示】它们的大小和方向都是确定的．2．上述实例中的速度和力，如何表示？【提示】可以用有向线段表示，也可以用字母表示．1．向量的概念向量：既有大小，又有方向的量叫向量．2．向量的表示(1)用有向线段表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．以A 为起点、B 为终点的向量记作AB →.向量AB →的大小称为向量的长度(或称为模)，记作|AB →|. (2)用字母表示向量通常在印刷时，用黑体小写字母a ，b ，c …表示向量，在手写时用带箭头的小写字母a →， b →， c →…表示向量．也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如AB →，CD →. 3．与向量有关的概念(1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0.(2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量． (3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (4)相反向量：长度相等且方向相反的向量叫相反向量．(5)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量平行.向量的有关概念(1)单位向量一定相等； (2)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(3)若AB →＝CD →，则点A 与点C 重合，点B 与点D 重合； (4)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； (5)若向量a ＝b ，则a ∥b ； (6)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .【思路探究】 从概念的理解出发，结合具体实例进行判断．【自主解答】 (1)不正确．向量有大小和方向两个要素，单位向量的模一定是1，但方向不一定相同，所以单位向量不一定相等．(2)正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .(3)不正确．这是因为AB →＝CD →时，应有|AB →|＝|CD →|及由A 到B 与由C 到D 的方向相同，但不一定有A 与C 重合，B 与D 重合．(4)不正确．“大于”、“小于”对于向量来说是没有意义的．(5)正确．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．(6)不正确．对于非零向量命题正确，但当b ＝0时，满足a ∥b ，b ∥c ，但a 与c 不一定共线．1．在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)．2．涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量． 3．对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可．下列说法：①方向相同或相反的向量是平行向量；②零向量的长度是0；③长度相等的向量叫相等向量；④共线向量是在一条直线上的向量．其中正确的命题是________．(填序号)【解析】 方向相同或相反的非零向量才是平行向量，所以①不正确；长度相等，方向相同的向量才叫相等向量，所以③不正确；共线向量也叫平行向量，它们不一定在一条直线上，也可能在平行直线上，所以④不正确；零向量的长度为0，所以②正确．【答案】 ②向量的表示50°行驶了200千米到达点C ，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D.(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.【思路探究】 解答本题应首先确定指向标，然后再根据行驶方向确定有关向量，进而求解．【自主解答】 (1)如图．(2) 由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，即AB ∥CD. 又∵|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD. ∴四边形ABCD 为平行四边形．∴|AD →|＝|BC →|＝200(千米)．用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向或长度(模)，选择合适的比例关系作出向量．在如图2－1－1的方格纸中，画出下列向量．图2－1－1(1)|OA →|＝3，点A 在点O 正西方向； (2)|OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向．【解】 取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，相应的向量如图所示：相等向量与共线向量图2－1－2如图2－1－2所示，在△ABC 中，三边长均不相等，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 这6点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：(1)与EF →共线的向量； (2)与EF →长度相等的向量； (3)与EF →相等的向量．【思路探究】 (1)与EF →共线的向量即与之方向相同或相反的向量；(2)与EF →长度相等即表示向量的线段与EF 长度相等；(3)与EF →相等的向量即与之共线且长度相等的向量．【自主解答】 (1)∵E ，F 分别是AC ，AB 的中点，∴EF ∥BC ， ∴与EF →共线的向量为FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.(2)∵D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，∴BD ＝DC ＝12BC ，EF ＝12BC.∵AB ，BC ，AC 均不相等，∴与EF →长度相等的向量为FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量为DB →，CD →.1．寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．图2－1－3如图2－1－3，D ，E ，F 分别是△ABC 各边上的中点，四边形BCMF 是平行四边形，请分别写出：(1)与CM →模相等且共线的向量； (2)与ED →相等的向量； (3)与BF →相反的向量．【解】 (1)DE →，ED →，BF →，FB →，FA →，AF →，MC →. (2)FB →，AF →，MC →. (3)FB →，AF →，ED →，MC →.对向量的有关概念理解不透彻致误判断下列说法是否正确： (1)向量就是有向线段； (2)AB →＝BA →；(3)若向量AB →与向量CD →平行，则线段AB 与CD 平行； (4)若|a |＝|b |，则a ＝±b ；(5)若AB →＝DC →，则ABCD 是平行四边形． 【错解】 以上说法都正确．【错因分析】 (1)向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．因此，有向线段是向量的一种表示方法，不能说向量就是有向线段．(2)AB →与BA →的长度相等，但方向相反，故当AB →是非零向量时，AB →与BA →不相等． (3)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，故若AB →与CD →平行，则线段AB 与CD 可能平行，也可能共线．(4)由|a |＝|b |，仅能说明两向量的模相等，但方向却不能确定，故(4)不正确．而(5)中，A ，B ，C ，D 可能落在同一条直线上，故(5)不正确．【防范措施】 首先，要清楚向量的两要素：大小和方向；其次，要对共线向量、单位向量、相等向量、零向量有深入的理解，考虑问题要全面，注意零向量的特殊性．【正解】 以上说法都不正确．1．如果有向线段AB 表示一个向量，通常我们就说向量AB →，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．2．共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义．1．下列说法正确的是________． ①若|a |＝0，则a ＝0； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③向量AB →与向量BA →是相反向量； ④若a ∥b ，则a ＝b .【解析】 ①不正确，若|a |＝0，则a ＝0；由于相等向量的长度相等且方向相同，故②④不正确；③显然正确．【答案】 ③图2－1－42．如图2－1－4所示，E ，F 分别为△ABC 的边AB ，AC 的中点，则与向量EF →共线的向量有________(将图中适合条件的向量全写出来)．【解析】 ∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC ， ∴适合条件的向量为FE →，BC →，CB →. 【答案】 FE →，BC →，CB →3．若四边形ABCD 是矩形，则下列命题中不正确的是________． ①AB →与CD →共线；②AC →与BD →相等；③AD →与CB →是相反向量；④AB →与CD →的模相等．【解析】 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，故①，④正确； AC ＝BD ，但AC →与BD →的方向不同，故②不正确； AD ＝CB 且AD ∥CB ，AD →与CB →的方向相反，故③正确． 【答案】 ②4．在直角坐标系中，画出下列向量，使它们的起点都是原点O. (1)|a |＝2，a 的方向与x 轴正方向成60°，与y 轴正方向成30°；(2)|a |＝4，a 的方向与x 轴正方向成30°，与y 轴正方向成120°. 【解】 所求向量及其向量的终点坐标如图所示：一、填空题1．若a 为任一非零向量，b 为单位向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1；⑤a |a |＝b .其中正确的是________．(填序号)【解析】 |a |不一定大于1，|b |＝1，∴①④不正确；a 和b 不一定平行.a|a |是与a 方向相同的单位向量，所以②⑤不正确；a 为非零向量，显然有|a |＞0. 只有③正确． 【答案】 ③2．若a ＝b ，且|a |＝0，则b ＝________. 【解析】 ∵a ＝b ，且|a |＝0，∴a ＝b ＝0. 【答案】 0图2－1－53．如图2－1－5所示，四边形ABCE 为等腰梯形，D 为CE 的中点，且EC ＝2AB ，则与AB →相等的向量有________．【解析】 易知四边形ABDE 为平行四边形，则AB →＝ED →， 又∵D 是CE 的中点，则ED →＝DC →. 【答案】 DC →，ED →4．某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进1003米，则此人位移的方向是________．【解析】 如图所示，此人从点A 出发，经点B ，到达点C ，则tan ∠BAC ＝1003100＝3，∴∠BAC ＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°.【答案】 南偏东30°5．给出以下4个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0，其中能使a 与b 共线成立的是________．【解析】 两向量共线只需两向量方向相同或相反．①a ＝b ，两向量方向相同；②|a |＝|b |两向量方向不确定；④|a |＝0或|b |＝0即为a ＝0或b ＝0 ，因为零向量与任一向量平行，所以④成立．综上所述，答案应为①③④. 【答案】 ①③④图2－1－66．如图2－1－6，已知正方形ABCD 边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________. 【解析】 正方形的对角线长为22， ∴|OA →|＝ 2. 【答案】27．四边形ABCD 满足AD →＝BC →且|AC →|＝|BD →|，则四边形ABCD 的形状是________． 【解析】 由四边形ABCD 满足AD →＝BC →可知，四边形ABCD 为平行四边形． 又|AC →|＝|BD →|，即平行四边形ABCD 对角线相等，从而可知四边形ABCD 为矩形． 【答案】 矩形8．设O 是正方形ABCD 的中心，则①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO →＝BO →.其中，所有表示正确的序号为________．【解析】 如图，正方形的对角线互相平分，∴AO →＝OC →，①正确；AO →与AC →的方向相同，所以AO →∥AC →，②正确；AB →与CD →的方向相反，所以AB →与CD →共线，③正确；尽管|AO →|＝|BO →|，然而AO →与BO →的方向不相同，所以AO →≠BO →，④不正确．【答案】 ①②③二、解答题图2－1－79．设在平面上给定了一个四边形ABCD ，如图2－1－7所示，点K ，L ，M ，N 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：KL →＝NM →.【证明】 ∵N ，M 分别是AD ，DC 的中点，则NM →＝12AC →，同理KL →＝12AC →，故KL →＝NM →.图2－1－810．如图2－1－8所示菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，∠DAB ＝60°，分别以A ，B ，C ，D ，O 中的不同两点为起点与终点的向量中，(1)写出与DA →平行的向量；(2)写出与DA →模相等的向量．【解】 由题意可知，(1)与DA →平行的向量有：AD →，BC →，CB →；(2)与DA →模相等的向量有：AD →，BC →，CB →，AB →，BA →，DC →，CD →，BD →，DB →.11．一架飞机从A 点向西北飞行200 km 到达B 点，再从B 点向东飞行100 2 km 到达C 点，最后从C 点向南偏东60°飞行50 2 km 到达D 点，求飞机从D 点飞回A 点的位移．【解】 如图所示，由|AB →|＝200 km ，|BC →|＝100 2 km ，知C 在A 的正北100 2 km 处．又由|CD →|＝50 2 km ，∠ACD ＝60°，知∠CDA ＝90°，所以∠DAC ＝30°，所以|DA →|＝50 6 km.故DA →的方向为南偏西30°，长度为50 6 km.如图，已知四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，又AB →＝DC →.求证：CN綊MA.【思路探究】 要证CN ∥MA 且CN ＝MA ，只需证四边形AMCN 是平行四边形，而四边形AMCN 是平行四边形，可以通过AN →＝MC →得证．【自主解答】 由条件AB →＝DC →可知AB ＝DC 且AB ∥DC ，从而四边形ABCD 为平行四边形，从而AD →＝BC →.又M ，N 分别是BC ，AD 的中点，于是AN →＝MC →，所以AN ＝MC 且AN ∥MC ，所以四边形AMCN 是平行四边形，从而CN ＝MA 且CN ∥MA ，即CN 綊MA.1．若AB →＝DC →，且四点A ，B ，C ，D 不共线，则四边形ABCD 为平行四边形，反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →＝DC →.2．利用向量相等或共线证明平行、相等问题：(1)证明线段相等，只需证明相应向量的长度(模)相等．(2)证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD ，BC 上的点，且CN →＝MA →，证明：四边形DNBM 是平行四边形．【证明】 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ，BC 平行且相等．又∵CN →＝MA →，∴四边形CNAM 为平行四边形，∴AN ，MC 平行且相等，∴DN ，MB 平行且相等，∴四边形DNBM 是平行四边形．。
向量的概念及表示教案
向量的概念及表示一、教学目标：1. 让学生理解向量的概念，知道向量是有大小和方向的量。
2. 让学生掌握向量的表示方法，包括字母表示和坐标表示。
3. 让学生学会向量的加减法和数乘运算。
二、教学内容：1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量，可以用来表示物体的位移、速度等。
2. 向量的表示方法：（1）字母表示：用大写字母表示向量，如\( \vec{a} \)，\( \vec{b} \) 等。
（2）坐标表示：用小写字母加上坐标轴上的坐标表示，如\( \vec{a} = (a_x, a_y) \)，\( \vec{b} = (b_x, b_y) \) 等。
3. 向量的加减法：（1）向量加法：\( \vec{a} + \vec{b} = (\vec{a}_x + \vec{b}_x, \vec{a}_y + \vec{b}_y) \)。
（2）向量减法：\( \vec{a} \vec{b} = (\vec{a}_x \vec{b}_x, \vec{a}_y \vec{b}_y) \)。
4. 向量的数乘：（1）数乘向量：\( k\vec{a} = (ka_x, ka_y) \)，其中\( k \) 是实数。
三、教学重点与难点：1. 重点：向量的概念、表示方法以及向量的加减法和数乘运算。
2. 难点：向量的坐标表示以及向量的加减法和数乘运算的坐标表示。
四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解向量的概念和表示方法。
2. 采用练习法，让学生通过例题和练习掌握向量的加减法和数乘运算。
3. 采用提问法，检查学生对向量知识的理解和掌握程度。
五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，如物体位移、速度等，引入向量的概念。
2. 讲解向量的概念，引导学生理解向量有大小和方向。
3. 讲解向量的表示方法，包括字母表示和坐标表示。
4. 讲解向量的加减法，让学生掌握向量加减法的运算规则。
5. 讲解向量的数乘，让学生掌握向量数乘的运算规则。
数学教学设计：向量的概念及表示
教学设计2。
1 向量的概念及表示错误!教学分析1．本节是本章的入门课,概念较多，但难度不大．学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形、实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念．由于向量来源于物理，并且兼具“数"和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用．位移是物理中的基本量之一，也是几何研究的重要对象．几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．位移简明地表示了点的位置之间的相对关系，它是向量的重要的物理模型．力是常见的物理量．重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量．物理中还有其他力，让学生举出物理学中力的其他一些实例，目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系，以此更加自然地引入向量概念，并建立学习向量的认知基础．2．在类比数量的抽象过程引出向量的概念后,为了使学生更好地理解向量概念，可采用与数量概念比较的方法，引导学生认识年龄、身高、长度、面积、体积、质量等量是“只有大小，没有方向的量”，同时给出“时间、路程、功是向量吗？速度、加速度是向量吗？”的思考题．通过这样的比较,可以使学生在区分相似概念的过程中更深刻地把握向量概念．实数与数轴上的点是一一对应的，数量常常用数轴上的一个点表示．教科书通过类比实数在数轴上的表示，给出了向量的几何表示-—用有向线段表示向量．用有向线段表示向量，赋予了向量一定的几何意义．有向线段使向量的“方向”得到了表示，那么，向量的大小又该如何表示呢？一个自然的想法是用有向线段的长度来表示，从而引出向量的模、零向量及单位向量等概念，为学习向量作了很好的铺垫．3．数学中，引进一个新的量后,首先要考虑的是如何规定它的“相等"，这是讨论这个量的基础．如何规定“相等向量"呢?由于向量涉及大小和方向，因此把“长度相等且方向相同的向量”规定为相等向量是非常自然的．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量,只要不改变它的方向和大小，就可以任意平行移动．因此，用有向线段表示向量时,可以任意选取有向线段的起点，这为用向量处理几何问题带来方便,并使平面上的向量与向量的坐标得以一一对应．教学时可结合例题、习题说明这种思想．4．共线向量和平行向量是研究向量的基础，由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向）到一条直线上，这给问题的研究带来方便．教学中,要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上，只要两个向量平行就是共线向量．当然，在同一直线上的向量也是平行向量．要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆，教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念．三维目标1．通过实例，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念和确定平面向量的两个要素，搞清数量与向量的区别．2．理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念，并能判断向量之间的关系,并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量．3．在教学过程中，应充分根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系，揭示向量可以平移这一特性．4．通过本节学习，培养学生从数学的角度思考生活中实际问题的习惯．加强数学的应用意识，切实做到学以致用．用联系、发展的观点观察世界．重点难点教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量．教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．教具准备实物投影仪,多媒体课件．课时安排1课时错误!导入新课思路1。
向量的概念教案
向量的概念教案教案1：向量的概念与表示教学目标：1. 了解向量的概念及其在几何和物理中的应用；2. 掌握向量的表示方法，能够将向量在坐标系中表示出来；3. 理解向量的相等、相反与零向量的概念。
教学内容：1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量，可以表示为有向线段。
向量可以用来表示力、速度、位移等物理量。
2. 向量的表示方法：用一个有向线段来表示向量，线段的长度表示向量的大小，线段的方向与向量的方向相同。
3. 坐标系中的向量表示：使用坐标系中的点表示向量，起点为坐标原点，终点位置的坐标表示向量。
4. 向量的相等：若两个向量的大小和方向相同，则它们相等。
5. 向量的相反：若一个向量的大小为a，方向与另一个向量相反，则它们互为相反向量，即一个为-a。
教学步骤：1. 引入向量的概念，介绍向量在几何和物理中的应用。
2. 通过实例引导学生理解向量的表示方法，绘制有向线段，让学生观察和描述向量的大小和方向。
3. 引入坐标系中的向量表示方法，让学生通过绘制坐标系和线段来表示向量。
4. 给出几个向量，让学生根据给定的坐标系计算并表示出这些向量。
5. 阐述向量的相等、相反和零向量的概念，通过实例让学生理解并判断相等、相反的向量以及零向量。
6. 练习：给出一些向量的大小和方向，让学生判断并表示出相应的向量。
教学资源：1. 向量的概念和表示的PPT；2. 坐标系的绘图纸和直尺；3. 练习题目。
教学评估：1. 在课堂上进行口头提问，让学生回答向量的概念、表示方法以及向量的相等、相反和零向量的判断；2. 练习题目的完成情况和正确率。
教案2：向量的基本运算教学目标：1. 掌握向量的加法和减法运算方法；2. 理解向量加法与减法的几何意义；3. 理解向量的数乘运算。
教学内容：1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量的相应分量相加。
在坐标系中，将两个向量的起点放在一起，终点与终点相连，所得的向量为两个向量的和向量。
2. 向量的减法：向量的减法是指将两个向量的相应分量相减。
向量的概念及表示教学案
向量的概念及表示教学案向量的线性运算（一）教学案【教学重点与难点】：重点：如何作两个向量的和向量 难点：对向量加法定义的理解. 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题【复习】：1.向量的概念 2.平行向量、相等向量的概念。
【情景设置】：利用向量的表示，从景点O 到景点A 的位移为→--OA ，从景点A 到景点B 的位移为→--AB ，那么经过这两次位移后游艇的合位移是→--OB ，向量→--OA ,→--OB ,→--OC 三者之间有什么关系？二、研探新知1.向量的加法向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。
表示：→--AB −→−+BC =→--AC ．规定：零向量与任一向量a ，都有00a a a +=+=．【注意】：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）作法：在平面内任意取一点O ，作→--OA =a ，→--AB =a ，则→--OB =→--OA +→--AB =a +b2.向量的加法法则 （1）共线向量的加法：（2）不共线向量的加法：1.平行四边形法则 2.三角形法则3.向量加法的运算律（1）向量加法的交换律： （2）向量加法的结合律：三、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1如右图：作出下列向量： （1）−→−OA +−→−OC （2）−→−BC +−→−FE （3）−→−OA +−→−FE变式：已知矩形ABCD 中，宽为2，长为−→−AB a = ，−→−BC =b，−→−AC =c ，试作出向量a b c ++，并求出其模的大小。
例2．如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水的流速为h km /2，求船实际航行的速度的大小与方向。
变式：一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为h km /4，求水流的速度。
四、巩固深化，反馈矫正1.一艘船距对岸，以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速。
高一数学向量的概念及表示教案1 苏教版 教案
高一数学向量的概念及表示教案江苏省西亭高级中教学目标：1．理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向）；2．能正确地表示向量，初步学会求向量的模；3．注意向量的特点：可以平行移动（长度、方向确定，起点不确定）。
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量。
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系。
教具：多媒体投影仪，三角板。
教学过程：一、问题情境：请大家看这样一个问题，湖面上有O、A、B三个景点。
景点O与景点A相距1500米，景点A与景点B相距2000米。
一游艇将游客从景点O送至景点A,从景点O到景点A有一个位移，半小时后游艇又将游客从景点A送至景点B,从景点A到景点B也有一个位移。
想一想：位移与距离这两个量有什么不同？位移既有大小又有方向距离只有大小没有方向提问：现实生活中还有那些既有大小又有方向的量？（力、速度、加速度等）数学中把既有大小又有方向的量叫做向量。
向量与实际生活密切联系，在测量学、航海、军事等方面有着广泛的应用。
这一节课我们就一起来学习向量。
（板书）二、学生活动：阅读课本 P57－58完成下列问题:1.什么是向量?2.怎么表示向量?3.向量的大小是什么?4.有哪些特殊向量?5.向量间有什么特殊关系?三、建构数学：1、向量的概念：既有大小又有方向的量称为向量。
2、向量的表示：有向线段：具有方向的线段.记作: AB(注：起点写在终点前).有向线段的三要素：起点、方向、长度.向量的几何表示法：用一条有向线段AB来表示.有向线段的长度表示向量的大小箭头所指的方向表示向量的方向向量的字母表示法：用字母a、b、c(黑体字)或来表示.手写时写成:a3、向量的模：向量AB的大小称为向量AB的长度（模），记作|AB|。
3、两个特殊向量：①零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0。
注意：0与0的含义与书写区别。
②单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。
向量的概念及表示教案
向量的概念及表示教学目标：1. 了解向量的概念，掌握向量的表示方法。
2. 能够运用向量表示物体在空间中的位置和运动。
3. 掌握向量的加法、减法和数乘运算。
教学内容：第一章：向量的概念1.1 向量的定义1.2 向量的性质1.3 向量的表示方法第二章：向量的加法和减法2.1 向量加法的定义和性质2.2 向量减法的定义和性质2.3 三角形法则和平行四边形法则第三章：向量的数乘3.1 向量数乘的定义和性质3.2 向量数乘的意义和应用3.3 向量的长度和方向第四章：向量的几何应用4.1 向量在直角坐标系中的应用4.2 向量在几何图形中的应用4.3 向量在物体运动中的应用第五章：向量的线性组合5.1 向量的线性组合定义和性质5.2 向量线性组合的意义和应用5.3 向量空间和基底的概念教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和讨论来理解向量的概念和表示方法。
2. 利用图形和实物模型，直观地展示向量的几何意义和应用。
3. 通过例题和练习题，让学生掌握向量的运算规则和应用技巧。
教学评价：1. 课堂讲解和讨论的参与度。
2. 作业和练习题的正确率和完成情况。
3. 期末考试的成绩和表现。
教学资源：1. 教学PPT和幻灯片。
2. 图形和实物模型。
3. 练习题和测试题。
教学计划：1. 第一章：2课时2. 第二章：3课时3. 第三章：2课时4. 第四章：3课时5. 第五章：2课时教学步骤：1. 引入向量的概念，引导学生思考向量的定义和性质。
2. 讲解向量的表示方法，如箭头表示法和坐标表示法。
3. 通过图形和实物模型，展示向量的几何意义和应用。
4. 讲解向量的加法和减法运算，引导学生掌握三角形法则和平行四边形法则。
5. 讲解向量的数乘运算，引导学生理解向量数乘的意义和应用。
6. 通过例题和练习题，让学生巩固向量的运算规则和应用技巧。
7. 引导学生思考向量的线性组合的概念和性质。
8. 讲解向量的线性组合的意义和应用，如基底的概念。
向量的坐标表示及其运算教案
向量的坐标表示及其运算教案第一章：向量的概念及其坐标表示1.1 向量的定义引导学生回顾初中阶段所学到的向量概念，向量是有大小和方向的量。
解释向量在高中数学中的重要性，特别是在坐标系中的运用。
1.2 向量的表示方法介绍向量的表示方法，包括用箭头表示和用字母表示。
强调在坐标系中，向量可以用有序数对(a, b) 表示，其中a 表示向量在x 轴上的分量，b 表示向量在y 轴上的分量。
1.3 向量的模解释向量的模是指向量的大小，用||v|| 表示。
引导学生利用坐标系计算向量的模，即||v|| = √(a²+ b²)。
第二章：向量的加法和减法2.1 向量的加法解释向量的加法是指将两个向量首尾相接，形成一个新的向量。
引导学生利用坐标系进行向量的加法运算，即将对应分量相加。
2.2 向量的减法解释向量的减法是指从第一个向量中减去第二个向量，即加上第二个向量的相反向量。
引导学生利用坐标系进行向量的减法运算，即将对应分量相减。
第三章：向量的数乘3.1 向量的数乘概念解释向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
强调数乘不改变向量的方向，只改变向量的大小。
3.2 向量的数乘运算引导学生利用坐标系进行向量的数乘运算，即将每个分量与实数相乘。
举例说明数乘运算的性质，如a(b·c) = (a·b)c 等。
第四章：向量的点积4.1 向量的点积概念解释向量的点积是指两个向量的对应分量相乘后相加的结果，用v·w 表示。
强调点积的计算结果是一个标量，而不是向量。
4.2 向量的点积运算引导学生利用坐标系进行向量的点积运算，即将对应分量相乘后相加。
举例说明点积的性质，如v·w = w·v、v·(w+z) = v·w + v·z 等。
第五章：向量的叉积5.1 向量的叉积概念解释向量的叉积是指两个非共线的向量形成的平行四边形的面积，用v×w 表示。
大学向量的概念的教案
一、教学目标1. 知识目标：使学生理解向量的概念，掌握向量的表示方法。
2. 能力目标：培养学生运用向量知识解决实际问题的能力。
3. 情感目标：激发学生对向量学习的兴趣，培养学生的数学思维。
二、教学重点与难点1. 教学重点：向量的概念、向量的表示方法。
2. 教学难点：向量的几何表示和向量的运算。
三、教学过程一、导入1. 提问：同学们在生活中有哪些现象可以用向量来描述？2. 学生回答，教师总结：向量在物理、工程、计算机等领域都有广泛的应用，如力、速度、加速度等。
二、新课讲解1. 向量的概念（1）向量的定义：向量是既有大小又有方向的量。
（2）向量的表示方法：向量可以用有向线段表示，有向线段的起点表示向量的起点，终点表示向量的终点。
（3）向量的性质：向量具有方向性、大小、相加、数乘等性质。
2. 向量的几何表示（1）有向线段表示：向量的几何表示就是用一条有向线段来表示向量，有向线段的起点表示向量的起点，终点表示向量的终点。
（2）向量坐标表示：在直角坐标系中，向量可以用一对有序实数（坐标）来表示。
3. 向量的运算（1）向量加法：两个向量的和等于它们的终点与起点的连线。
（2）向量减法：两个向量的差等于它们的终点与起点的连线，但方向相反。
（3）向量数乘：一个向量乘以一个实数，相当于向量的大小乘以实数的大小，方向不变。
三、课堂练习1. 根据向量的定义和表示方法，写出下列向量的表示：（1）一个向东的向量，大小为5；（2）一个向北的向量，大小为3；2. 计算下列向量的和与差：（1）向量a = (2, 3)，向量b = (1, -1)；（2）向量a = (4, -2)，向量b = (-3, 5)。
四、总结1. 向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段或坐标表示。
2. 向量具有方向性、大小、相加、数乘等性质。
3. 向量的运算包括加法、减法和数乘。
五、课后作业1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 思考向量在实际生活中的应用，如力、速度、加速度等。
向量的概念及表示教案
课题：向量的概念及表示教学类型：新知课教学目标：(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示;(2)了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念;(3)学会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.教学方法：启发式教学教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示教学难点：向量概念的理解.教具：幻灯片教学过程：一、情景设置在现实生活中，我们会遇到很多量。
其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如距离、质量、身高、时间、密度、以及体检中的视力、肺活量等。
然而还有一些量，如位移、力、速度、加速度等，不仅有大小而且还有方向，这种量就是我们本章所要研究的向量。
向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，接下来，我们将学习向量的概念。
二、讲授新课1．向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
2．向量的表示方法：（1）几何表示法：用有向线段表示向量，长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
（2）用字母等表示； ①用有向线段字母表示：AB →.（A 为起点、B 为终点）； ②用小写字母表示：a 、b 、c ；（印刷用a ，书写用a ）注：小写字母表示平面向量时，字母上的箭头不能省略。
3．向量的有关概念：（1）大小：向量的模：向量AB →的大小称为向量的长度（或称为模），记作|AB→|. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0. 思考：0与0的含义与书写区别.（3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。
4、平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作a //b 。
②我们规定0与任一向量平行5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：(1)向量a 与b 相等，记作a =b(2)零向量与零向量相等；(3)任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，A(起点) B 终点a并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．. 6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.注：(1)平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；(2)共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.7、相反向量 对于任一向量a 有-（-a ）=a 。
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向量的概念及表示
执教:张亮点评:孔凡海
【教学目标】
一、通过对实例的引入，了解向量概念产生的实际背景；
二、理解平面向量和向量相等的概念；
三、掌握向量的几何表示；
四、了解向量的长度、零向量、单位向量、平行向量等概念。
【重点难点】
重点：向量的概念和向量的几何表示；
难点：向量概念的理解
【点评】
知识技能，数学思考，问题解决，情感态度。
目标明确有效，重点突出。
为组织、引导学生开展有效学习活动奠定了方向。
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何的工具。
向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，方向反映了向量形的特征，向量是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现。
向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质。
由于向量的几何性质，以及向量、点、序偶之间的对应关系，于是，可以把图形的基本结构转化为向量运算，把图形的基本性质转化为向量的运算律，这就是几何问题代数化处理。
这样，几何中添线、补图等技巧让位于代数中的通法，也就是作为思辩数学的几何问题让位于作为算法数学的代数问题。
【教学过程】
一、设置情境
情景在如图所示的情景中，猫能否追上老鼠？
合作探究看下面哪些量是与众不同的：
（1）线段的长度（2）物体的质量
（3）物体的体积（4）物体所受重力
（前三个都是数量，即只有大小，而物体所受重力是矢量，既有大小又有方向）
【点评】
根据学生的生活经验，通过问题、设疑来创设思维的情境，引起认识的需要；通过揭露矛盾来引发思考，激发学习的兴趣。
通过学生活动，感知数学，进行意义建构。
物理中的力、速度、加速度以及几何中的有向线段等概念是向量概念的原型。
由物理上的位移、速度等引入向量概念，贴近学生已有的经验，比较自然，也体现了“最近发展区”原理的运用。
二、探索研究
问题一情景中向我们呈现了一个新的量，那么我们怎样用数学的形式对这一量进行描述呢？
1．向量的定义
既有大小又有方向的量叫向量。
师：你还能举出一些向量的例子吗？
师：在这一概念中你认为关键词有哪些？
板书向量的二要素大小和方向
师：我们怎样用符号来表示向量呢重力加速度是一个向量，那么在物理中我们是用什么表示它的呢？
2．向量的表示方法
①几何表示法——向量常用有向线段表示
师：那么有向线段是怎样表示向量的大小和方向呢？
有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
以A为起点、B为终点的向量记为：。
大小记为：││
板书有向线段的三要素起点、终点、长度。
②字母表示法：可表示为
练习1．温度有零上和零下之分，温度是向量吗为什么？
2．向量和同一个向量吗为什么？
师：我们只是用有向线段来表示向量，那么有向线段是向量吗向量是有向线段吗
【点评】
注意到学生由于受物理背景的影响而导致认知的偏差，明确数学上的向量是“自由“向量，只有大小和方向两个要素，与起点无关。
消除由于物理中力的引入而导致的误解。
问题二数量中有“0”，“1”……，比如0度。
向量中有没有与之类似的量，如果有又怎样定义这些特殊的量呢
【点评】
通过类比联想，认识向量这个“二元”数。
从已知的有理数的相似性，推断未知的向量的相似性，进行猜想。
并不满足于对相似性的模糊认
识，坚持把它们的相似性用准确的数学形式表达出来。
经历数学发现过程，体会合情推理在数学发现中的作用，发展学生的创新意识和创新能力。
逐步让学生学会建构数学知识。
3．特殊的向量。
(1) 零向量长度为零的向量，记为
(2) 单位向量长度等于一个单位的向量
师：这些向量都是从向量二要素中的大小这一特性去定义的，那么有没有方向的特殊的向量呢？
问题三数量中有两数相等和两数互为相反数等特殊情况，你怎么考虑向量中的类似问题
【点评】
设法造成学生“愤”、“悱”的状态，使他们想求明而不得，想说却不能。
然后引导他们去探索、去发现，提出解决问题的门径，引导学生“自得”。
4．向量间的关系
（1）平行向量方向相同或者相反的向量。
若与平行，记作 //
规定与任一向量平行，即 //
师：你能画出一组平行向量吗？
师：如果我们把一组平行向量的起点全部移到同一点，这时它们是不是平行向量这时各向量的终点之间有什么关系？
生：是平行向量，a//b，各向量的终点都在同一条直线上。
师：对！由此，我们把平行向量又叫做共线向量。
(2) 相等向量大小相等方向相同的向量，记 =
（3）相反向量与大小相等方向相反的向量，记-
【例1】判断下列命题真假或给出问题的答案
（1）任一向量与它的相反向量不相等
（2）平行向量的方向一定相同
（3）不相等的向量一定不平行
（4）模相等的两个平行向量是相等的向量
【例2】如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在如图所标出的向量FE、OA、OD、OC、CB中：
（1）试找出与 OA 共线的向量
（2）找出与 OA 相等的向量
（3） OA 与 FE 相等吗
【点评】
新课的巩固工作主要通过课堂练习来完成，学生通过当堂的练习（包括变式练习），领悟新知识，记忆新知识。
对有关概念的内涵进一步挖掘、外延进一步界定；不同概念进一步比较区分。
同时为后继的学习打好基础（知识技能、思想方法）。
【见仁见智】
本教案的设计思路大致可以概括为：
问题情境（提出问题）→学生活动（体验向量）→意义建构（探索研
究向量）→数学理论（建立向量概念）→数学运用（辨别、解释、解决简单问题）→回顾反思（理解、联系、整合、拓广）。
在问题情境设置中，设计的问题贴近学生，通过问题来激发学生的认知兴趣，在问题中培养学生的比较、鉴别、归纳的思维能力；在探索研究概念中，精心设计问题串，脉络清楚，类比联想，建构数学知识，使得看起来一大堆零散的有关概念得以系统有序地认识；在巩固认识概念中，通过例题的讲解和变式练习达到对重点概念的重点掌握，注重概念的辨析，突出概念的本质特征。
在新课程的实验阶段，学生在课堂上“自主探索、合作交流”，师生对“教与学的方式的改变”必然会有一个适应的过程，要注意以下问题：一是组织学生开展的探索活动是必要的，但不必事事都探索；二是“教学方式的改变”并不意味着教师不能进行必要的讲授；三是起始课，给学生以数学的全貌，给学生以正确的数学观，如何让学生学会建构数学，数学如何建构，虽然这是高考不考的，但这是对学生受益终身的。
学生探索空间的大小，取决于教师所设计“问题”的难易程度。
这里要特别指出的是，必须给学生的探索活动以足够的“自由度”。
如果教师在组织学生进行探索时自己暗暗地设定一个具体的“目标”，并要学生达到它，那么这样的“探索”活动就会妨碍学生“富有个性地学习”，甚至在实际上成为了另一种形式的“注入”。
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