向量的概念及表示优秀教案

向量的概念及表示

执教:张亮点评:孔凡海

【教学目标】

一、通过对实例的引入，了解向量概念产生的实际背景；

二、理解平面向量和向量相等的概念；

三、掌握向量的几何表示；

四、了解向量的长度、零向量、单位向量、平行向量等概念。

【重点难点】

重点：向量的概念和向量的几何表示；

难点：向量概念的理解

【点评】

知识技能，数学思考，问题解决，情感态度。目标明确有效，重点突出。为组织、引导学生开展有效学习活动奠定了方向。

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何的工具。向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，方向反映了向量形的特征，向量是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现。向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质。由于向量的几何性质，以及向量、点、序偶之间的对应关系，于是，可以把图形的基本结构转化为向量运算，把图形的基本性质转化为向量的运算律，这就是几何问题代数化处理。这样，几何中添线、补图等技巧让位于代数中的通法，也就是作为思辩数学的几何问题让位于作为算法数学的代数问题。

【教学过程】

一、设置情境

情景在如图所示的情景中，猫能否追上老鼠？

合作探究看下面哪些量是与众不同的：

（1）线段的长度（2）物体的质量

（3）物体的体积（4）物体所受重力

（前三个都是数量，即只有大小，而物体所受重力是矢量，既有大小又有方向）

【点评】

根据学生的生活经验，通过问题、设疑来创设思维的情境，引起认识的需要；通过揭露矛盾来引发思考，激发学习的兴趣。通过学生活动，感知数学，进行意义建构。

物理中的力、速度、加速度以及几何中的有向线段等概念是向量概念的原型。由物理上的位移、速度等引入向量概念，贴近学生已有的经验，比较自然，也体现了“最近发展区”原理的运用。

二、探索研究

问题一情景中向我们呈现了一个新的量，那么我们怎样用数学的形式对这一量进行描述呢？

1．向量的定义

既有大小又有方向的量叫向量。

师：你还能举出一些向量的例子吗？

师：在这一概念中你认为关键词有哪些？

板书向量的二要素大小和方向

师：我们怎样用符号来表示向量呢重力加速度是一个向量，那么在物理中我们是用什么表示它的呢？

2．向量的表示方法

①几何表示法——向量常用有向线段表示

师：那么有向线段是怎样表示向量的大小和方向呢？

有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

以A为起点、B为终点的向量记为：。大小记为：││

板书有向线段的三要素起点、终点、长度。

②字母表示法：可表示为

练习1．温度有零上和零下之分，温度是向量吗为什么？

2．向量和同一个向量吗为什么？

师：我们只是用有向线段来表示向量，那么有向线段是向量吗向量是有向线段吗

【点评】

注意到学生由于受物理背景的影响而导致认知的偏差，明确数学上的向量是“自由“向量，只有大小和方向两个要素，与起点无关。消除由于物理中力的引入而导致的误解。

问题二数量中有“0”，“1”……，比如0度。向量中有没有与之类似的量，如果有又怎样定义这些特殊的量呢

【点评】

通过类比联想，认识向量这个“二元”数。从已知的有理数的相似性，推断未知的向量的相似性，进行猜想。并不满足于对相似性的模糊认

识，坚持把它们的相似性用准确的数学形式表达出来。经历数学发现过程，体会合情推理在数学发现中的作用，发展学生的创新意识和创新能力。逐步让学生学会建构数学知识。

3．特殊的向量。

(1) 零向量长度为零的向量，记为

(2) 单位向量长度等于一个单位的向量

师：这些向量都是从向量二要素中的大小这一特性去定义的，那么有没有方向的特殊的向量呢？

问题三数量中有两数相等和两数互为相反数等特殊情况，你怎么考虑向量中的类似问题

【点评】

设法造成学生“愤”、“悱”的状态，使他们想求明而不得，想说却不能。然后引导他们去探索、去发现，提出解决问题的门径，引导学生“自得”。

4．向量间的关系

（1）平行向量方向相同或者相反的向量。若与平行，记作 //

规定与任一向量平行，即 //

师：你能画出一组平行向量吗？

师：如果我们把一组平行向量的起点全部移到同一点，这时它们是不是平行向量这时各向量的终点之间有什么关系？

生：是平行向量，a//b，各向量的终点都在同一条直线上。

师：对！由此，我们把平行向量又叫做共线向量。

(2) 相等向量大小相等方向相同的向量，记 =

（3）相反向量与大小相等方向相反的向量，记-

【例1】判断下列命题真假或给出问题的答案

（1）任一向量与它的相反向量不相等

（2）平行向量的方向一定相同

（3）不相等的向量一定不平行

（4）模相等的两个平行向量是相等的向量

【例2】如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在如图所标出的向量FE、OA、OD、OC、CB中：

（1）试找出与 OA 共线的向量

（2）找出与 OA 相等的向量

（3） OA 与 FE 相等吗

【点评】

新课的巩固工作主要通过课堂练习来完成，学生通过当堂的练习（包括变式练习），领悟新知识，记忆新知识。对有关概念的内涵进一步挖掘、外延进一步界定；不同概念进一步比较区分。同时为后继的学习打好基础（知识技能、思想方法）。

【见仁见智】

本教案的设计思路大致可以概括为：

问题情境（提出问题）→学生活动（体验向量）→意义建构（探索研