解析几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

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高考数学全国卷分类汇编(解析几何)

2010-2017新课标全国卷分类汇编（解读几何）1．（2017课标全国Ⅰ，理10）已知F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，AB DE +的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性）cos AF P AF θ⋅+=∴同理1cos PAF θ=-，1cos P BF θ=+，∴22221cos sin P PAB θθ==-又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而24y x =，即2P =．∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θ21616sin 2θ=≥，当π4θ=取等号，即AB DE +最小值为16，故选A2．（2017课标全国Ⅰ，理15）已知双曲线2222:x y C a b-，（0a >，0b >）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为_______．【解析】如图，OA a =，AN AM b ==∵60MAN ∠=︒，∴AP =，OP =∴tan AP OP θ==又∵tan b aθ=b a =，解得223a b =∴e ==3．（2017课标全国Ⅰ，理20）（12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，，31P ⎛- ⎝⎭，41P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．【解析】（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P 又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b = ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==- 得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶，()()1122A x y B x y ，，，联立22440y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b +++-=122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -⋅=+，则22121211P A P By y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k --++=-+()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立．∴直线l 的方程为21y kx k =--当2x =时，1y =-，所以l 过定点()21-，．4．（2017课标全国Ⅱ，理9）若双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．332 【答案】A【解读】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d =，则点()2,0到直线0b x a y +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ．【考点】双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．5．（2017课标全国Ⅱ，理16）已知F 是抛物线x y C 8:2=的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则=FN . 【答案】6 【解读】试卷分析：如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解读式可得准线方程为2x =-，则2,4A N F F '==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．【考点】抛物线的定义、梯形中位线在解读几何中的应用．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．6．（2017课标全国Ⅱ，理20）（12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆12:22=+y x C 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足= (1)求点P 的轨迹方程； (2)设点Q 在直线3-=x 上，且1=⋅. 证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解：（1）设)(y x P ，，则)22(y x M ，，将点M 代入C 中得12222=+y x ，所以点P 的轨迹方程为222=+y x .（2）由题可知)01(，-F ，设)()3(n m P t Q ，，，-，则)1( )3(n m t ---=-=，，，， )3( )(n t m n m ---==，，，.由1=⋅得1322=-+--n tn m m ，由（1）有222=+n m ，则有033=-+tn m ，所以033 =-+=⋅tn m ，即过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .7．（2017课标全国Ⅲ，理1）已知集合A={}22(,)1x y x y +=│，B={}(,)x y y x =│，则A ⋂B 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解读】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，故AB 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即AB 元素的个数为2，故选B.8．（2017课标全国Ⅲ，理5）已知双曲线C 22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A. 221810x y -=B. 22145x y -=C. 22154x y -=D. 22143x y -=【答案】B【解读】∵双曲线的一条渐近线方程为y，则b a =① 又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①②解得2,a b =C 的方程为22145x y -=，故选B. 9．（2017课标全国Ⅲ，理10）已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为D.13【答案】A【解读】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴d a ==又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b = ∵222b ac =-，可得()2223a a c=-，即2223c a =∴c e a == A10．（2017课标全国Ⅲ，理12）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（） A ．3B．D ．2【答案】A【解读】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ．以A 为原点，AD 为x 轴正半轴， AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．∴BD = ∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD ．∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．()A O Dxy BP gCE12||||22||||||BCDBC CDSECBD BD⋅⋅⋅====△即C．∵P在C上．∴P点的轨迹方程为224(2)(1)5x y-+-=．设P点坐标00(,)x y，可以设出P点坐标满足的参数方程如下：21xyθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩而00(,)AP x y=，(0,1)AB =，(2,0)AD =．∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB ADλμλμμλ=+=+=∴112xμθ==+，1yλθ==+．两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=++=++≤(其中sinϕcosϕ=)当且仅当π2π2kθϕ=+-，k∈Z时，λμ+取得最大值3．11．（2017课标全国Ⅲ，理20）（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B 两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程.解：（1）设()()11222A x,y,B x,y,l:x my=+由222x myy x=+⎧⎨=⎩可得212240则4y my,y y--==-又()22212121212==故=224y yy yx,x,x x=4因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212-4==-14y y x x 所以OA ⊥OB故坐标原点O 在圆M 上.（2）由（1）可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m + 故圆心M 的坐标为()2+2，m m ，圆M 的半径r =由于圆M 过点P （4，-2），因此0AP BP =,故()()()()121244220x x y y --+++= 即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++= 由（1）可得1212=-4，=4y y x x ，所以2210m m --=，解得11或2m m ==-.当m=1时，直线l 的方程为x-y-2=0，圆心M 的坐标为（3,1），圆M ，圆M 的方程为()()223110x y -+-=当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91，-42⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆M 的半径为4，圆M 的方程为229185++4216x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.（2016课标全国Ⅰ，理5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）)3,1(-（B ）)3,1(-（C ）)3,0(（D ）)3,0(【解读】：222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距，∴焦距2224c m =⋅=，解得1m =∴13n -<<，故选A ．13.（2016课标全国Ⅰ，理10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于ED ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为|||M N MN y y =- （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8【解读】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设(0A x ，2pD ⎛- ⎝，点(0A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点2pD ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②；点(0A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③；联立①②③解得：4p =，焦点到准线的距离为4p =．故选B ．14.（2016课标全国Ⅰ，理20）（本小题满分12分）设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线两点，求四边形MPNQ【解读】：⑴圆A 整理为(x BE AC Q ∥，则C =∠EBD D ∴=∠∠，则EB ⑵221:143x yC +=；设:l x 联立1l C 与椭圆：24x x =⎧⎪⎨⎪⎩圆心A 到PQ 距离d ==F所以||PQ==，()2212111||||2234MPNQmS MN PQm+⎡∴=⋅=⋅==⎣+15.（2016课标全国Ⅱ，理4）圆2228130x y x y+--+=的圆心到直线10ax y+-=的距离为1，则a=（）（A）43-（B）34-（C（D）216.（2016课标全国Ⅱ，理11）已知12,F F是双曲线2222:1x yEa b-=的左，右焦点，点M在E上，1MF与x轴垂直，211sin3MF F∠=,则E的离心率为（）（A（B）32（C（D）217.（2016课标全国Ⅱ，理20）（本小题满分12分）已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解读】试卷分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.试卷解读：（I ）设，则由题意知，当时，的方程为，.由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为. 将代入得.解得或，所以.因此的面积.（II ）由题意，，.将直线的方程代入得. 由得，故.由题设，直线的方程为，故同理可得，由得，即.当时上式不成立，因此.等价于，即.由此得，或，解得.因此的取值范围是.考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.18.（2016课标全国Ⅲ，理11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点，,A B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF x⊥轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）（A）13（B）12（C）23（D）34【答案】A考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ba 或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．19.（2016课标全国Ⅲ，理16）已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =||CD =__________________.【答案】4考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解读几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．20.（2016课标全国Ⅲ，理20）（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解读；（Ⅱ）21y x =-．试卷解读：由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---.记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分（Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b a aba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=，所以AR FQ . ......5分（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE ABk k =可得)1(12≠-=+x x yb a .而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y .当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．【方法归纳】（1）解读几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．21.(2015课标全国Ⅰ，理5)已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<,则0y 的取值范围是（A)((B)( (C)((D)( 答案：A解读：由条件知F1(－，0)，F2(，0)，＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)，－3＜0.①又＝1，＝2+2.代入①得，∴－＜y0＜22.(2015课标全国Ⅰ，理14)一个圆经过椭圆221164x y+=的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的规范方程为答案：+y2＝解读：由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4，0)，(0，2)，(0，－2)，设圆心为(a，0)(a＞0)，所以＝4－a，解得a＝，故圆心为，此时半径r＝4－，因此该圆的规范方程是+y2＝23.(2015课标全国Ⅰ，理20)在直角坐标系xOy中，曲线2:4xC y=与直线:(0)l y kx a a=+>交于,M N两点。

第04讲+概率统计-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

第08讲+解析几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

全国高中数学联赛分类汇编专题解析几何

1、（2000一试3）已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是（） (A)33 (B) 233 (C) 33 (D) 633、（2002一试2）若实数x, y 满足(x+5)2+(y12)2=142，则x 2+y 2的最小值为( )(A ) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 【答案】B【解析】利用圆的知识结合数形结合分析解答，22x y +表示圆上的点（x,y ）到原点的距离。

4、（2002一试4）直线134=+yx 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有( )(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个【答案】B5、（2003一试2）设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是（）A. B. C. D.【答案】B6、（2003一试3）过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于（）(A)163(B)83(C)1633 (D) 8 3【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB所在直线方程为y=3x，弦的中点在y=pk=43上，即AB中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x－43)+43，令y=0，得点P的坐标为163．∴PF=163．选A．7、（2004一试2）已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ≠∅，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62]B ．(－62，62)C ．(－233，233]D ．[－233，233] 【答案】A【解析】点(0，b )在椭圆内或椭圆上，⇒2b 2≤3，⇒b ∈[－62，62]．选A ．8、（2005一试5）方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线【答案】C9、（2007一试5）设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（）【答案】A【解析】设圆O 1和圆O 2的半径分别是r 1、r 2，|O 1O 2|=2c ，则一般地，圆P 的圆心轨迹是焦点为O 1、O 2，且离心率分别是212r r c +和||221r r c -的圆锥曲线（当r 1=r 2时，O 1O 2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。

全国高中数学联赛分类汇编专题解析几何

2010-2017高考数学全国卷分类汇编(解析几何)

2010-2017新课标全国卷分类汇编（解析几何）1．（2017课标全国Ⅰ，理10）已知F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，AB DE +的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A 【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性）cos AF P AF θ⋅+=∴同理1cos P AF θ=-，1cos P BF θ=+，∴22221cos sin P PAB θθ==- 又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而24y x =，即2P =． ∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θ 21616sin 2θ=≥，当π4θ=取等号，即AB DE +最小值为16，故选A2．（2017课标全国Ⅰ，理15）已知双曲线2222:x y C a b-，（0a >，0b >）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为_______．【解析】如图，OA a =，AN AM b ==∵60MAN ∠=︒，∴AP =，OP =∴tan AP OP θ==又∵tan b aθ=b a =，解得223a b =∴e ==3．（2017课标全国Ⅰ，理20）（12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，，31P ⎛- ⎝⎭，41P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．【解析】（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P 又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得 222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b = ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，， 221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==- 得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶，()()1122A x y B x y ，，，联立22440y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b +++-= 122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -⋅=+，则22121211P A P By y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k --++=-+()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立．∴直线l 的方程为21y kx k =--当2x =时，1y =-，所以l 过定点()21-，．4．（2017课标全国Ⅱ，理9）若双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．332 【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d =，则点()2,0到直线0b x a y +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ．【考点】双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．5．（2017课标全国Ⅱ，理16）已知F 是抛物线x y C 8:2=的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则=FN . 【答案】6 【解析】试题分析：如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,4A N F F '==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．【考点】抛物线的定义、梯形中位线在解析几何中的应用．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．6．（2017课标全国Ⅱ，理20）（12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆12:22=+y x C 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足= (1)求点P 的轨迹方程； (2)设点Q 在直线3-=x 上，且1=⋅. 证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解：（1）设)(y x P ，，则)22(y x M ，，将点M 代入C 中得12222=+y x ，所以点P 的轨迹方程为222=+y x .（2）由题可知)01(，-F ，设)()3(n m P t Q ，，，-，则)1( )3(n m PF t OQ ---=-=，，，， )3( )(n t m n m ---==，，，.由1=⋅得1322=-+--n tn m m ，由（1）有222=+n m ，则有033=-+tn m ，所以033 =-+=⋅tn m PF OQ ，即过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .7．（2017课标全国Ⅲ，理1）已知集合A={}22(,)1x y x y +=│ ，B={}(,)x y y x =│，则A ⋂B 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，故AB 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即AB 元素的个数为2，故选B.8．（2017课标全国Ⅲ，理5）已知双曲线C 22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y += 有公共焦点，则C 的方程为A. 221810x y -=B. 22145x y -=C. 22154x y -=D. 22143x y -=【答案】B【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y ，则b a =① 又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①②解得2,a b =C 的方程为22145x y -=，故选B. 9．（2017课标全国Ⅲ，理10）已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为D.13【答案】A【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴d a ==又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b = ∵222b ac =-，可得()2223a a c=-，即2223c a =∴c e a == A10．（2017课标全国Ⅲ，理12）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（） A ．3B．CD ．2【答案】A【解析】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ．以A 为原点，AD 为x 轴正半轴， AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．∴BD = ∵BD 切C 于点E ．∴CE ⊥BD ．∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．12||||22||||||BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△即C． ∵P 在C 上．∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下：0021x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩而00(,)AP x y =，(0,1)AB =，(2,0)AD =．∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=∴0112x μθ==+，01y λθ==+．两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=++=++≤(其中sin ϕcos ϕ=) 当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3．()A O Dxy BP gCE11．（2017课标全国Ⅲ，理20）（12分）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程. 解：（1）设()()11222A x ,y ,B x ,y ,l :x my =+由222x my y x=+⎧⎨=⎩可得212240则4y my ,y y --==- 又()22212121212==故=224y y y y x ,x ,x x =4因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212-4==-14y y x x 所以OA ⊥OB故坐标原点O 在圆M 上.（2）由（1）可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m + 故圆心M 的坐标为()2+2，m m ，圆M 的半径r =由于圆M 过点P （4，-2），因此0AP BP =,故()()()()121244220x x y y --+++= 即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++= 由（1）可得1212=-4，=4y y x x ，所以2210m m --=，解得11或2m m ==-.当m=1时，直线l 的方程为x-y-2=0，圆心M 的坐标为（3,1），圆M ，圆M 的方程为()()223110x y -+-=当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91，-42⎛⎫⎪⎝⎭，圆M 的半径为4，圆M 的方程为229185++4216x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.（2016课标全国Ⅰ，理5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A）)3,1(-（B）)3,1(-（C）)3,0(（D）)3,0(【解析】：222213x ym n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n+->，∴223m n m-<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m=++-=，其中c是半焦距，∴焦距2224c m=⋅=，解得1m=∴13n-<<，故选A．13.（2016课标全国Ⅰ，理10）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于BA,两点，交C的准线于ED,两点，已知24=AB,52=DE，则C的焦点到准线的距离为（A）2 （B）4 （C）6 （D）8【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px=()0p>，设圆的方程为222x y r+=，如图：设(0A x，2pD⎛-⎝，点(0A x在抛物线22y px=上，∴82px=……①；点2pD⎛-⎝在圆222x y r+=上，∴2252pr⎛⎫+=⎪⎝⎭……②；点(0A x在圆222x y r+=上，∴228x r+=……③；联立①②③解得：4p=，焦点到准线的距离为4p=．故选B．14.（2016课标全国Ⅰ，理20）（本小题满分12分）设圆015222=-++xyx的圆心为A，直线l过点)0,1(B且与x轴不重合，l交圆A于DC,两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明EBEA+为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线1C，直线于QP,两点，求四边形MPNQ【解析】：⑴圆A整理为()221x y++=BE ACQ∥，则C EBD=∠∠，由ACEBD D∴=∠∠，则EB ED=，AE∴+F||MN =⑵ 221:43x y C +联立l 与椭圆圆心A 到所以||PQ =()2212111||||2234MPNQm S MN PQ m +⎡∴=⋅=⋅==⎣+15.（2016课标全国Ⅱ，理4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（）（A ）43-（B ）34-（C （D ）216.（2016课标全国Ⅱ，理11）已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（）（A （B ）32（C （D ）217.（2016课标全国Ⅱ，理20）（本小题满分12分）已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.试题解析：（I ）设，则由题意知，当时，的方程为，.由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为. 将代入得.解得或，所以.因此的面积.（II ）由题意，，.将直线的方程代入得. 由得，故.由题设，直线的方程为，故同理可得，由得，即.当时上式不成立，因此.等价于，即.由此得，或，解得.因此的取值范围是.考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.18.（2016课标全国Ⅲ，理11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点，,A B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF x⊥轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）（A）13（B）12（C）23（D）34【答案】A考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ba 或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．19.（2016课标全国Ⅲ，理16）已知直线l ：30mx y m ++=错误！未找到引用源。

第07讲解三角形20092017全国高中数学联赛分类汇编

I T QPNMC BA ABC MN PTI I 2I 1ABCMNPQT I 2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第07讲：解三角形1、（2012一试2）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a B b A c -=，则tan tan AB的值是. 【答案】42、（2013一试3）在ABC ∆中，已知sin 10sin sin A B C =，cos 10cos cos A B C =,则tan A 的值为. 【答案】11.【解析】由于()()sin cos 10sin sin cos cos 10cos 10cos A A B C B C B C A -=-=-+=，所以sin 11cos A A =，故tan 11A =.3、（2014一试7）设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I .若点P 满足1=PI ，则ABC ∆与APC ∆的面积之比的最大值为__________. 【答案】3+52【解析】1PI P I =由知点在以为圆心的单位圆k 上.4、（2009二试1）如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧BC ⌒ 、AC ⌒的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ∆的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ．⑴求证：MP MT NP NT ⋅=⋅；⑵在弧AB ⌒（不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ∆，QCB △的内心分别为1I ，2I ，求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．【解析】⑴连NI ，MI ．由于PC MN ∥，P ，C ，M ，N 共圆，于是NP MI =，PM NI =．故四边形MPNI 为平行四边形．因此PMT PNT S S =△△（同底，等高）．又P ，N ，T ，M 四点共圆，故180TNP PMT ∠+∠=︒，由三角形面积公式于是PM MT PN NT ⋅=⋅．⑵因为1111NCI NCA ACI NQC QCI CI N ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以1NC NI =，同理2MC MI =．由MP MT NP NT ⋅=⋅得NT MTMP NP=．由⑴所证MP NC =，NP MC =，故12NT MTNI MI =．又因12I NT QNT QMT I MT ∠=∠=∠=∠，有12I NT I MT ∆∆∽．故12NTI MTI ∠=∠，从而1212I QI NQM NTM I TI ∠=∠=∠=∠．因此Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．学/科网5、（2010二试1）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK ⊥MN ，则A ，B ，D ，C 四点共圆．同理()()22222QK QO r KO r =-+-，所以2222PO PK QO QK -=-，故OK ⊥PQ ．由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是AQ APQN PM=．① 由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得1NB DE AQBD EA QN⋅⋅=，② 1MC DE APCD EA PM⋅⋅=．③ 由①，②，③可得NB MC BD CD =，所以ND MDBD DC=，故△DMN ∽△DCB ，于是DMN DCB ∠=∠，所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆. 注1：“2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长PK 至点F ，使得PK KF AK KE ⋅=⋅，④则P ，E ，F ，A 四点共圆，故PFE PAE BCE ∠=∠=∠，从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是PK PF PE PC ⋅=⋅，⑤⑤-④，得2PK PE PC AK KE =⋅-⋅=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）．注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．6、（2011二试1）如图，QP,分别是圆内接四边形ABCD的对角线BDAC,的中点．若DPABPA∠=∠，证明：CQBAQB∠=∠．从而有BQACBDACBDACCDAB⋅=⋅=⋅=⋅)21(21，即CDBQACAB=．又ACDABQ∠=∠，所以△ABQ∽△ACD，所以DACQAB∠=∠．延长线段AQ与圆交于另一点F，则DAFCAB∠=∠，故⋂⋂=DFBC．又因为Q为BD的中点，所以DQFCQB∠=∠．又DQFAQB∠=∠，所以CQBAQB∠=∠．7、（2012二试1）如图，在锐角ABC∆中，,,AB AC M N>是BC边上不同的两点，使得.BAM CAN∠=∠设ABC∆和AMN∆的外心分别为12,O O，求证：12,,O O A三点共线.【解析】证明：如图.连接12,AO AO,过A点作1AO的垂线AP交BC的延长线于点P,则AP是1O的切线.因此B PAC∠=∠, 因为,BAM CAN∠=∠所以AMP B BAM PAC CAN PAN∠=∠+∠=∠+∠=∠因而AP是AMN的外接圆2O的切线, 故2.AP AO⊥所以12,,O O A三点共线.8、（2013二试1）（本题满分40分）如图，AB是圆ω的一条弦，P为弧AB内一点，E、F为线段AB上两点，满足AE EF FB==.连接PE PF、并延长，与圆ω分别相交于点C D、.求证：【证明】连接AD，BC，CF，DE.由于AE=EF=FB，从而sin=2sinBC BCE B CP BEAC ACE A CP AE⋅∠==⋅∠点到直线的距离点到直线的距离. ○1同样sin=2sinAD ADF A PD AFBD BDF B PD BF⋅∠==⋅∠点到直线的距离点到直线的距离. ○2另一方面，由于BCE BCP BDP BDF∠=∠=∠=∠，AB CACE ACP ADP ADF ∠=∠=∠=∠，故将○1，○,2两式相乘可得4BC ADAC BD⋅=⋅，即由托勒密定理故由○3，○4得3AB CD AC BD ⋅=⋅, 即EF CD AC BD ⋅=⋅.学科&网9、（2014二试2）（本题满分40分）如图，在锐角三角形ABC 中，∠BAC ≠60°，过点B,C 分别作三角形ABC 的外接圆的切线BD,CE,且满足BD=CE=BC,直线DE 与AB ，AC 的延长线分别交于点F,G ，设CF 与BD 交于点M,CE 与BG 交于点N ，证明：AM=AN.10、(2015二试3)(本题满分50分)如图,ABC ∆内接于圆,O P 为BC 上一点,点K 在线段AP 上,使得BK 平分ABC ∠,过,,K P C 三点的圆Ω与边AC 交于点D ,连结BD 交圆Ω于点E ,连结PE 并延长与边AB 交于点F ,证明:2ABC FCB ∠=∠11、（2016一试9）（本题满分16分）在ABC ∆中，已知CB CA BC BA AC AB •=•+•32.求C sin 的最大值.【解析】由数量积的定义及余弦定理知，2cos 222a c b A cb AC AB -+==•.同理得，2222b c a BC BA -+=•，2222c b a CB CA -+=•.故已知条件化为即22232c b a =+. 等号成立当且仅当5:6:3::=c b a .因此C sin 的最大值是37. 12、（2016二试2）（本题满分40分）如图所示，在△ABC 中，X,Y 是直线BC 上两点（X,B,C,Y 顺次排列），使得BX·AC=CY·AB. 设△ACX ，△ABY 的外心分别为12,O O ，直线12O O 与AB,AC 分别交于点U 、V.证明：△AUV 是等腰三角形.【证明】作∠BAC 的内角平分线交BC 于点P,设△ACX 和△ABY 的外接圆分别为1w 和2w ，由内角平分线的性质知，BP AB CP AC =,由条件可得BX ABCY AC=,从而即CP·PX=BP·PY .故P 对圆1w 和2w 的幂相等，所以P 在1w 和2w 的根轴上.于是AP ⊥12O O ，这表明点U 、V 关于直线AP 对称，从而△AUV 是等腰三角形.13、（2017二试1）（本题满分40分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1T ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2T ，过点B I 、的圆3T 与1T ,2T 分别交于点,P Q （不同于点B ），设IP 与BQ 交于点R .证明：BR CR ⊥. 证明：连接,,,,.IB IC IQ PB PC。

新课标全国卷：2010-2017高考数学理科(解析几何)试题汇编

新课标全国卷：2021-2021高考数学理科(解析几何)试题汇编LtD2021-2021新课标全国卷分类汇编〔解析几何〕4、〔2021•新课标Ⅰ卷〕F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C 交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，那么|AB|+|DE|的最小值为〔〕A、16B、14C、12D、105、〔2021•新课标Ⅱ〕假设双曲线C：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的一条渐近线被圆〔x﹣2〕2+y2=4所截得的弦长为2，那么C的离心率为〔〕A、2B、C、D、2、〔2021•新课标Ⅲ〕双曲线C：﹣=1 〔a＞0，b＞0〕的一条渐近线方程为y= x，且与椭圆+ =1有公共焦点，那么C的方程为〔〕A、﹣=1B、﹣=1C、﹣=1D、﹣=16、〔2021•新课标Ⅲ〕椭圆C：=1〔a＞b＞0〕的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，那么C的离心率为〔〕A、B、C、D、10、〔2021•新课标Ⅰ卷〕双曲线C：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．假设∠MAN=60°，那么C的离心率为________ ．11、〔2021•新课标Ⅱ〕F 是抛物线C ：y 2=8x 的焦点，M是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．假设M 为FN 的中点，那么|FN|=________．19、〔2021•新课标Ⅰ卷〕椭圆C ： + =1〔a ＞b ＞0〕，四点P 1〔1，1〕，P 2〔0，1〕，P 3〔﹣1，〕，P 4〔1，〕中恰有三点在椭圆C 上．〔12分〕 (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．假设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为﹣1，证明：l 过定点．15、〔2021•新课标Ⅱ〕设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ： +y 2=1上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P满足 = ．〔Ⅰ〕求点P 的轨迹方程；〔Ⅱ〕设点Q 在直线x=﹣3上，且 • =1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．20、〔2021•新课标Ⅲ〕抛物线C ：y 2=2x ，过点〔2，0〕的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．〔Ⅰ〕证明：坐标原点O 在圆M 上；〔Ⅱ〕设圆M 过点P 〔4，﹣2〕，求直线l 与圆M 的方程．2021新课标1卷〔5〕方程132222=--+n m y n m x 错误!未指定书签。

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第4讲概率统计

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第04讲：概率统计1、（2009一试8）某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为一旅客820∶【答案】27【解析】旅客候车的分布列为候车时间的数学期望为10305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=2、（2010一试6）两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 【答案】12173、（2012一试8）某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示）【答案】61243【解析】用k P 表示第k 周用A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14k P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为34，公比为13-的等比数列.所以1131()443k k P --=-，即1311()434k k P -=-+，故761243P =4、（2014一试8）设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以21的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________. 【答案】342221219B C D -⨯-=点相连，且与，中至少一点相连，这样的情况数为（）（）22(3)AB AD DB 无边，也无CD 边，此时AC,CB 相连有2种情况，，相连也有2种情况，,,,,AC CB AD DB A B 但是其中均相连的情况被重复了一次，故可用折线连接的情况数为222+2-1=7.483++==.644以上三类情况数的总和为329748，故A,B 可用折线连接的概率为5、（2015一试5）在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为. 【答案】255【解析】设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意选出3条棱的方法共有312C =220种.下面考虑使3条棱两两异面的取法数，由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱，这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能，当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH.由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求的概率为8222055=.6、（2016一试4）袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为 . 【答案】3597、（2017一试6）在平面直角坐标系xoy 中，点集{(,y)|x,y 1,0,1}K x ==-，在K 中随机取出三个点，. 【答案】47【解析】易知K 中有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为3984C =种.将中的点按图标记为128,,,A ,A A O ，其中有814,A A 两点的情况，则剩下的一个点有7种取法，这样有7856⨯=个三点组（不计每组中三点的顺序），对每个(1,2,3,,8)i A i = ，K 中恰有15,A i I A ++两点与之距离为（这里下标按模8理解），因而恰有35{,,}(i 1,2,3,,8)i i i A A A ++= 这8个三点组被计了两次，从而满足条件的三点组个数为56848-=，进而所求概率为484847=.。

高考数学全国卷分类汇编解析几何

-高考数学全国卷分类汇编(解析几何）————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:20１0－2017新课标全国卷分类汇编（解析几何)1.（２0１7课标全国Ⅰ，理10）已知F 为抛物线C ：24y x =的交点,过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点,AB DE +的最小值为（）A ．16B ．14 Ｃ．12ﻩＤ．10【答案】A 【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴ﻫ易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性）ﻫcos AF P AF θ⋅+=∴ 同理1cos P AF θ=-,1cos P BF θ=+，∴22221cos sin P PAB θθ==-又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而24y x =，即2P =.ﻫ∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θﻫ21616sin 2θ=≥,当π4θ=取等号，即AB DE +最小值为16，故选A2．（2017课标全国Ⅰ,理15)已知双曲线2222:x y C a b-，(0a >，0b >)的右顶点为A ,以A 为圆心,b 为半径作圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点,若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为＿___＿__．【答案】233【解析】如图，OA a =，AN AM b ==ﻫ∵60MAN ∠=︒，∴32AP b =，222234OP OA PA a b =-=-∴2232tan 34b AP OP a b θ==-又∵tan b aθ=，∴223234bb a a b =-,解得223a b = ∴221231133b e a =+=+=3.(2017课标全国Ⅰ,理20）（１２分)已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，四点()111P ，,()201P ，，3312P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,4312P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，中恰有三点在椭圆C 上. (１)求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点,若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-,证明：l 过定点．【解析】（1）根据椭圆对称性,必过3P 、4P 又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点ﻫ将()2330112P P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，代入椭圆方程得 222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =,21b =ﻫ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．ﻫ(2)①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==- 得2m =,此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点,故不满足． ②当斜率存在时,设()1l y kx b b =+≠∶,()()1122A x y B x y ，，，ﻫ联立22440y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b +++-=ﻫ122814kb x x k -+=+,21224414b x x k -⋅=+,ﻫ则22121211P A P By y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k --++=-+ﻫ()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-,存在k 使得0∆>成立．∴直线l 的方程为21y kx k =--当2x =时,1y =-，所以l 过定点()21-，.4．(２017课标全国Ⅱ，理９)若双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为Ａ．2 Ｂ．3 C.2Ｄ.332【答案】A【解析】由几何关系可得,双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为22213d =-=，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为222023b a bd ca b +⨯===+，即2224()3c a c -=,整理可得224c a =，双曲线的离心率2242c e a ===.故选A. 【考点】双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率（或离心率的取值范围)，常见有两种方法:①求出a ,c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ,b ，c 的齐次式，结合ｂ2=c 2－a ２转化为a ，c 的齐次式,然后等式(不等式）两边分别除以ａ或ａ2转化为关于e 的方程(不等式),解方程(不等式）即可得e (e 的取值范围）.5.(2017课标全国Ⅱ，理１6)已知F 是抛物线x y C 8:2=的焦点,M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点,则=FN ．【答案】6 【解析】试题分析：如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F',作MB l ⊥与点B ,NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-,则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==,由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=.【考点】抛物线的定义、梯形中位线在解析几何中的应用．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础,它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化.如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题,可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化.6．(20１7课标全国Ⅱ,理2０)（１2分)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆12:22=+y x C 上,过M作x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足NM NP 2=.（１）求点P 的轨迹方程;（2）设点Q 在直线3-=x 上,且1=⋅PQ OP ．证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解:(1)设)(y x P ，，则)22(y x M ，,将点M 代入C 中得12222=+y x ，所以点P 的轨迹方程为222=+y x ．（2)由题可知)01(，-F ,设)()3(n m P t Q ，，，-，则)1( )3(n m PF t OQ ---=-=，，，， )3( )(n t m PQ n m OP ---==，，，．由1=⋅OQ OP 得1322=-+--n tn m m ,由(1)有222=+n m ,则有033=-+tn m ，所以033 =-+=⋅tn m PF OQ ，即过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .7.（201７课标全国Ⅲ，理１)已知集合Ａ={}22(,)1x y x y +=│ ，B ＝{}(,)x y y x =│,则A ⋂B 中元素的个数为A.3B.2 Ｃ．1 D ．０【答案】Ｂ【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合,B 表示直线y x =上所有点的集合，故AB 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2,即A B 元素的个数为2，故选B.8．(2017课标全国Ⅲ，理5）已知双曲线C 22221x y a b -= (a >0，ｂ>0)的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆221123x y += 有公共焦点，则Ｃ的方程为A. 221810x y -= Ｂ. 22145x y -= Ｃ. 22154x y -= D. 22143x y -=【答案】B【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为52y x =,则52b a =① 又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =,则2229a b c +==②由①②解得2,5a b ==,则双曲线C 的方程为22145x y -=,故选B. ９．（20１7课标全国Ⅲ,理10）已知椭圆C ：22221x y a b+=，(ａ>b >0)的左、右顶点分别为A 1，Ａ2，且以线段Ａ1Ａ２为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为Ａ．63 B.33 Ｃ．23Ｄ.13【答案】A【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴222abd a a b==+又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b = ∵222b ac =-，可得()2223a a c=-，即2223c a =∴63c e a ==，故选A10．(201７课标全国Ⅲ，理12）在矩形ABCD 中,1AB =,2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+,则λμ+的最大值为（） A ．３ﻩﻩB.22ﻩC.5ﻩ ﻩD ．２【答案】Ａ【解析】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ,连接CE .以A 为原点，AD 为x 轴正半轴,AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =. ∴22125BD =+=. ∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD .∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．12||||2222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△即C 的半径为255． ∵P 在C 上.∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=. 设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下:00225cos 5215sin 5x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩而00(,)AP x y =,(0,1)AB =，(2,0)AD =. ∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+= ∴0151cos 25x μθ==+,0215sin 5y λθ==+．两式相加得:222515sin 1cos 552552()()sin()552sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=+++=++≤ (其中5sin 5ϕ=，25cos 5ϕ=) 当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3.１１.（2017课标全国Ⅲ，理2０)(１2分)已知抛物线C ：ｙ2=２x ，过点(2,0)的直线l 交C 与A ，B 两点,圆Ｍ是以线段ＡＢ为直径的圆．()A O DxyB PCE(1）证明：坐标原点Ｏ在圆M 上;(２)设圆M 过点P （４，-2）,求直线l 与圆Ｍ的方程．解：（1）设()()11222A x ,y ,B x ,y ,l :x my =+由222x my y x =+⎧⎨=⎩可得212240则4y my ,y y --==- 又()22212121212==故=224y y y y x ,x ,x x =4因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212-4==-14y y x x 所以OA ⊥O Ｂ故坐标原点Ｏ在圆M 上.(2)由（1)可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m + 故圆心M 的坐标为()2+2，m m ,圆Ｍ的半径()2222r m m =++由于圆Ｍ过点P （4,-2）,因此0AP BP =,故()()()()121244220x x y y --+++= 即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++= 由(１）可得1212=-4，=4y y x x ，所以2210m m --=，解得11或2m m ==-.当m=1时,直线l 的方程为x-y-2=0,圆心M 的坐标为(3,1)，圆Ｍ的半径为10,圆Ｍ的方程为()()223110x y -+-=当12m =-时,直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91，-42⎛⎫⎪⎝⎭，圆M 的半径为854，圆M 的方程为229185++4216x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.(2016课标全国Ⅰ,理5)已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是(A ）)3,1(-ﻩﻩ（B ）)3,1(-(C ）)3,0( ﻩ(D))3,0(432112344224xEDABC【解析】：222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->,∴223m n m -<<由双曲线性质知:()()222234c m n m n m =++-=,其中c 是半焦距,∴焦距2224c m =⋅=，解得1m =∴13n -<<，故选Ａ.13.（２０16课标全国Ⅰ，理１0）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点,已知24=AB ，52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2 ﻩ(B ）4 ﻩ(Ｃ）６ﻩﻩ （Ｄ）8【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设()0,22A x ，,52pD ⎛⎫- ⎪⎝⎭,点()0,22A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点,52pD ⎛⎫- ⎪⎝⎭在圆222x y r +=上,∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②;点()0,22A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③;联立①②③解得:4p =，焦点到准线的距离为4p =.故选Ｂ.14.(2０1６课标全国Ⅰ,理２0)（本小题满分1２分)设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合,l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程; ﻩ(Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ,直线l 交1C 于N M ,两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于Q P ,两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【解析】：⑴圆A 整理为()22116x y ++=,A 坐标()1,0-，如图,BE AC ∥，则C EBD =∠∠,由,AC AD D C ==则∠∠， EBD D ∴=∠∠，则EB ED=，4||AE EB AE ED AD AB ∴+=+==>根据椭圆定义为一个椭圆,方程为22143x y +=，(0y ≠);F4 32112344224xQPNMAB()()2222222363634121||1||13434M Nm m mMN m y y mm m+++=+-=+=++⑵221:143x yC+=ﻩ；设:1l x my=+，因为PQ l⊥，设():1PQ y m x=--,联立1l C与椭圆:221143x myx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234690m y my++-=，则圆心A到PQ距离()22|11||2|11m mdm m---==++，所以2222224434||2||21611m mPQ AQ dm m+=-=-=++,())2222222121114342411||||2412,831223413431MPNQm m mS MN PQm m mm+++⎡∴=⋅=⋅⋅==∈⎣+++++15.（2０1６课标全国Ⅱ,理4)圆2228130x y x y+--+=的圆心到直线10ax y+-=的距离为1，则a=（）（A）43-（B）34-(C）3(D）２16.(２01６课标全国Ⅱ,理１１）已知12,F F是双曲线2222:1x yEa b-=的左,右焦点,点M在E上,1MF与x轴垂直,211sin3MF F∠=,则E的离心率为( )(A）2（B）32(C）3(Ｄ)２１７.（20１６课标全国Ⅱ，理20）(本小题满分１2分）已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点,斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点,点N 在E 上，MA NA ⊥．(Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时,求AMN ∆的面积;(Ⅱ)当2AM AN =时，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ)；（Ⅱ).【解析】试题分析:（Ⅰ)先求直线的方程，再求点的纵坐标,最后求的面积;(Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组,消去，用表示，从而表示,同理用表示，再由求.试题解析：(I)设，则由题意知，当时,的方程为,.由已知及椭圆的对称性知,直线的倾斜角为.因此直线的方程为.将代入得.解得或，所以.因此的面积．(ＩI)由题意，，.将直线的方程代入得.由得，故.由题设,直线的方程为,故同理可得，由得，即.当时上式不成立，因此.等价于,即.由此得，或，解得.因此的取值范围是．考点：椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系.18.(2016课标全国Ⅲ，理11)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点,,A B分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为（ )（A ）13 ﻩﻩ（B ）12 ﻩ（C ）23 ﻩ（D)34【答案】A考点:椭圆方程与几何性质.【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法:（1)直接求得,a c 的值，进而求得e 的值;(２)建立,,a b c 的齐次等式,求得ba 或转化为关于e 的等式求解；（3)通过特殊值或特殊位置，求出e .1９.(２０１6课标全国Ⅲ，理1６)已知直线l :330mx y m ++-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点,若23AB =,则||CD =_＿＿_＿_＿____＿____＿_.【答案】4考点:直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面,要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化),把它转化为代数问题；另一方面,由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密,因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件,利用几何知识使问题较为简捷地得到解决.２0.(20１6课标全国Ⅲ，理20)(本小题满分12分）已知抛物线C :22y x =的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点,交C 的准线于P Q ，两点．（Ｉ)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（ＩI ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ)21y x =-.试题解析:由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---.记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x ． .....3分（Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ,则222111k b a ab a ab a b a a b a k =-=-==--=+-=，所以AR FQ . ．.．.．.5分（Ⅱ)设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去)，11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E ．当AB 与x 轴不垂直时，由DE ABk k =可得)1(12≠-=+x x yb a .而y ba =+2,所以)1(12≠-=x x y .当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ...．１2分考点:1、抛物线定义与几何性质;2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法.【方法归纳】(１)解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明;（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法(相关点法）,利用代入法求解时必须找准主动点与从动点.2１.(2015课标全国Ⅰ,理5) 已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点,12,F F 是C 的两个焦点,若120MF MF ⋅<,则0y 的取值范围是（Ａ)33(,)33-(B) 33(,)66- (C) 2222(,)33- （D)2323(,)33-答案：A解析：由条件知F１(－，０),Ｆ2（，0),＝（－-x0,－y０)，＝（-x0,－y０)，－3<０．ﻩ①又＝1，＝2＋2.代入①得，∴-<y0<２2.(2015课标全国Ⅰ,理１4)一个圆经过椭圆221164x y+=的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为答案:+y2＝解析:由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为（4,0),（0，2),(0，－2),设圆心为(ａ，0)（ａ>0)，所以=４－a，解得a=，故圆心为,此时半径ｒ＝4－,因此该圆的标准方程是+ｙ2=23.(2015课标全国Ⅰ,理20）在直角坐标系xOy中,曲线2:4xC y=与直线:(0)l y kx a a=+>交于,M N两点。

2017年全国高考理科数学试题分类汇编之解析几何

一、选择题：1.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（） A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -=2.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A ．22144x y -= B ．22188x y -= C ．22148x y -= D ．22184x y -= 3.若双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．2BCD ．34.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（）A B C ．3D ．135.已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则||||AB DE +的最小值为（） A ．16B ．14C ．12D ．10二、填空题：6.若双曲线221y x m-=m =_________.7.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为________．8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右支与焦点为F 的抛物线22x py =（0p >）交于A ，B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .9.已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则||FN = ．三、解答题：10.（新课标1）已知椭圆C ：2222=1x y a b +（0a b >>），四点11,1P ()，20,1P ()，3–1P (，41P (中恰有三点在椭圆C 上.（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点.11.（新课标2）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .12.（新课标3）已知抛物线C ：22y x =，过点（20，）的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （42-，），求直线l 与圆M 的方程．13.（北京）已知抛物线C ：22y px =过点P （1，1），过点（0，12）作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.（1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A 为线段BM 的中点.14.（山东）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>距为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）如图，动直线l ：1y k x =交椭圆E 于A ，B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC的斜率为2k ，且12k k =M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T ，求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.15.（天津）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12，已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线的距离为12. （1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设上两点P ，Q 关于轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ与轴相交于点D ，若APD ∆的面积为AP 的方程.答案：BB ；AAA ；2；3；2y x =±；610.（1）2214x y +=；（2）(2,1)- 11.（1）222x y +=；（2）略12.（1）略；（2）当m=1时，直线l 的方程为x-y-2=0，圆心M 的坐标为（3,1），圆M 的半，圆M 的方程为()()223110x y -+-= 当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91，-42⎛⎫⎪⎝⎭，圆M 的半径为4，圆M 的方程为229185++4216x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13.（1）2y x =焦点坐标为（14，0），准线方程为14x =-；（2）略14.（1）2212x y +=；（2）SOT ∠的最大值为3π，取得最大值时直线l 的斜率为1k =15.（1）22413y x +=， 24y x =.（2）330x -=，或330x -=。

第02讲初等数论20092017全国高中数学联赛分类汇编 (1)

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第02讲：初等数论1、（2010一试8）方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解(,,)x y z 的个数是. 【答案】336675易知 100420096100331⨯=+⨯+k ，所以110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=，即3356713343351003=-⨯=k .从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为33667533567110031=++.2、（2011一试8）已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为．【答案】15 【解析】=n a C65400320020023n n n --⋅⋅．要使)951(≤≤n a n 为整数，必有65400,3200nn --均为整数，从而4|6+n ．当=n 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，3200n -和65400n-均为非负整数，所以n a 为整数，共有14个．当86=n 时，=86a C 5388620023-⋅⋅，在C !114!86!20086200⋅=中，!200中因数2的个数为1972200220022002200220022002200765432=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡，同理可计算得!86中因数2的个数为82，!114中因数2的个数为110，所以C 86200中因数2的个数为511082197=--，故86a 是整数．当92=n 时，=92a C 10369220023-⋅⋅，在C !108!92!20092200⋅=中，同样可求得!92中因数2的个数为88,!108中因数2的个数为105,故C 86200中因数2的个数为410588197=--，故92a 不是整数．因此，整数项的个数为15114=+．3、（2015一试8）对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤,若,,a b b c c d ><>,则称abcd 为P 类数,若,,a b b c c d <><,则称abcd 为Q 类数,用()N P 与()N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数,则()()N P N Q -的值为【答案】28599b a b c <≤<≤由及知，a 和c 分别有9-b 种取法，从而992200191019|=(9)26|85.b k b k ==⨯⨯-===∑∑A ()()285.N P N Q -=因此，学科@网4、（2016一试8）设4321,,,a a a a 是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++=++++则这样的有序数组),,,(4321a a a a 的个数为 . 【答案】40【解析】由柯西不等式知，2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++≥++++，等号成立的充分必要条件是433221a a a a a a ==，即4321,,,a a a a 成等比数列.于是问题等价于计算满足{1,2,3,},,,{4321⊆a a a a …,100}的等比数列4321,,,a a a a 的个数.设等比数列的公比1≠q ，且q 为有理数.记mn q =，其中n m ,为互素的正整数，且n m ≠. 先考虑m n >的情况.此时331314)(m n a m n a a ==，注意到33,n m 互素，故31ma l =为正整数. 相应地，4321,,,a a a a 分别等于l n l mn nl m l m 3223,,,，它们均为正整数.这表明，对任意给定的1>=mnq ，满足条件并以q 为公比的等比数列4321,,,a a a a 的个数，即为满足不等式1003≤l n 的正整数l 的个数，即]100[3n.由于10053>，故仅需考虑34,4,23,3,2=q 这些情况，相应的等比数列的个数为20113312]64100[]64100[]27100[]27100[]8100[=++++=++++. 当m n <时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列4321,,,a a a a . 综上可知，共有40个满足条件的有序数组),,,(4321a a a a .5、（2017一试4）若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是. 【答案】756、（2009二试3）设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C k m 与l 互素．【解析】证法一：对任意正整数t ，令(!)m k t l k =+⋅⋅．我们证明()C 1k m l =，．设p 是l 的任一素因子，只要证明：p/|C k m ．若p /|k !，则由1!C ()kkmi k m k i ==-+∏1[((!)]ki i tl k =≡+∏1ki i =≡∏()1!mod k p α+≡．及|!p k α，且pα+1/|k !，知|!C k m p k α且1α+p /|!C k m k ．从而p/|C km ．证法二：对任意正整数t ，令2(!)m k t l k =+⋅⋅，我们证明()C 1k m l =，．设p 是l 的任一素因子，只要证明：p/|C k m ．若p /|k !，则由 1!C ()==-+∏kkmi k m k i 21[((!)]ki i tl k =≡+∏1ki i =≡∏()!mod k p ≡．即p 不整除上式，故p/|C k m ．若|!p k ，设1α≥使|!p k α，但1/|!p k α+．12|(!)p k α+．故由11!C ()k kmi k m k i -==-+∏21[((!)]ki i tl k =≡+∏1ki i =≡∏()1!mod k p α+≡,及|!p k α，且pα+1/|k !，知|!C k m p k α且1α+p /|!C k m k ．从而p/|C km ．7、（2009二试4）在非负数构成的39⨯数表中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，，使⑶{}123min ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列．（ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭仍然具有性质()O ．【解析】（ⅰ）假设最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3不是取自数表S 的不同列．则存在一列不含任何i u ．不妨设2i i u x ≠，1i =，2，3．由于数表P 中同一行中的任何两个元素都不等，于是2i i u x <，1i =，2，3．另一方面，由于数表S 具有性质()O ，在⑶中取2k =，则存在某个{}0123i ∈，，使得002i i x u ≤．矛盾．（ⅱ）由抽届原理知，{}1112min x x ，，{}2122min x x ，，{}3132min x x ，中至少有两个值取在同一列．不妨设{}212222min x x x =，，{}313232min x x x =，．由前面的结论知数表S 的第一列一定含有某个i u ，所以只能是111x u =．同样，第二列中也必含某个i u ，1i =，2．不妨设222x u =．于是333u x =，即i u 是数表S 中的对角线上数字．下面证明33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ．从上面的选法可知{}{}*1212:min min i i i i i ik u x x x x x '==，，，，(13)i =，．这说明{}*111211min k x x x u >，≥，{}*313233min k x x x u >，≥．又由S 满足性质()O ．在⑶中取*k k =，推得*22k x u ≤，于是{}**2212222min k k u x x x x '==，，．下证对任意的k M ∈，存在某个1i =，2，3使得i ik u x '≥．假若不然，则{}12min ik i i x x x >，，1i =，3且*22k k x x >．这与*2k x 的最大性矛盾．因此，数表S '满足性质()O ．下证唯一性．设有k M ∈使得数表111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ，不失一般性，我们假定⑷{}221222322min u x x x x ==，， 3231x x <．由于3231x x <，2221x x <及（ⅰ），有{}11112111min k u x x x x ==，，．又由（ⅰ）知：或者()a {}3313233min k k u x x x x ==，，，或者{}2212222()min k k b u x x x x ==，，．如果()a 成立，由数表S 具有性质()O ，则{}11112111min k u x x x x ==，，，⑸{}22122222min k u x x x x ==，，， {}3313233min k k u x x x x ==，，．由数表S 满足性质()O ，则对于3M ∈至少存在一个{}123i ∈，，使得*i ik u x ≥．由*k I ∈及⑷和⑹式知，*1111k x x u >=，*3323k x x u >=．于是只能有*222k k x u x =≤．类似地，由S '满足性质()O 及k M ∈可推得*222k k x u x '=≤．从而*k k =．学*科网 8、（2010一试11）证明：方程02523=-+x x 恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列}{n a ，使得+++=32152a a a r r r . 若存在两个不同的正整数数列 <<<<n a a a 21和 <<<<nb b b 21满足52321321=+++=+++ b b b a a a r r r r r r ，去掉上面等式两边相同的项，有 +++=+++321321t t t s s s r r r r r r，这里 <<<<<<321321,t t t s s s ，所有的i s 与j t 都是不同的. 不妨设11t s <，则 ++=++<21211t t s s s r r r r r，112111111121211=--<--=++≤++<--rr r r r s t s t ，矛盾.故满足题设的数列是唯一的.9、（2010二试2）设k 是给定的正整数，12r k =+．记(1)()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥，()()l f r =(1)(()),2l f f r l -≥．证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如：112⎡⎤=⎢⎥⎢⎥，11=⎡⎤⎢⎥．【解析】记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()()m f r 为整数．下面我们对2()v k v =用数学归纳法．当0v =时，k 为奇数，1k +为偶数，此时()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭为整数．假设命题对1(1)v v -≥成立．对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式1212222v v v v v k αα++++=+⋅+⋅+，这里，0i α=或者1，1,2,i v v =++．于是 ()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭2122k k k =+++ 11211212(1)2()222v v v v v v v ααα-++++=+++⋅++⋅+++12k '=+， ① 这里1121122(1)2()22v v v v v v v k ααα-++++'=++⋅++⋅+++.显然k '中所含的2的幂次为1v -．故由归纳假设知，12r k ''=+经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，(1)()v f r +是一个整数，这就完成了归纳证明．10、（2010二试4）一种密码锁的密码设置是在正n边形12nA A A的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？设标有a的边有2i条，02ni⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦，标有b的边有2j条，22n ij-⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦．选取2i条边标记a的有2inC种方法，在余下的边中取出2j条边标记b的有22jn iC-种方法，其余的边标记c．由乘法原理，此时共有2inC22jn iC-种标记方法．对i，j求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为222222004n n ii jn n ii jC C-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭∑∑．①这里我们约定01C=．当n为奇数时，20n i->，此时2222122n ij n in ijC-⎡⎤⎢⎥⎣⎦---==∑．②代入①式中，得()()2222222221222000044222n n i n ni j i n i i n in n i n ni j i iC C C C-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦----====⎛⎫⎪==⎪⎪⎝⎭∑∑∑∑0022(1)(21)(21)n nk n k k n k k n nn nk kC C--===+-=++-∑∑31n=+．222222004n n ii jn n ii jC C-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭∑∑()12221412ni n iniC⎡⎤-⎢⎥⎣⎦--=⎛⎫⎪⨯+⎪⎪⎝⎭∑()222124233ni n i nniC⎡⎤⎢⎥⎣⎦--==+=+∑．综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n 为奇数时有31n +种；当n 为偶数时有33n +种．11、（2011二试2）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．【解析】令 2)()2)(1()(++++=n x x x x f ， ①将①的右边展开即知)(x f 是一个首项系数为1的正整数系数的n 次多项式．下面证明)(x f 满足性质（2）．对任意整数t ，由于4≥n ，故连续的n 个整数n t t t +++,,2,1 中必有一个为4的倍数，从而由①知)4(mod 2)(≡t f ．因此，对任意)2(≥k k 个正整数k r r r ,,,21 ，有 )4(mod 02)()()(21≡≡k k r f r f r f ．但对任意正整数m ，有)4(mod 2)(≡m f ，故)4)(mod ()()()(21k r f r f r f m f ≡/，从而)()()()(21k r f r f r f m f ≠．所以)(x f 符合题设要求．学&科网12、（2011二试3）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a j k ij ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．因此，当n 为偶数时，设m n 2=，则有∑∑∑-=-=-=+==121212)()()()(m mj j m j j n j j n r g r g r g r f2)1(2)1()2()1(1212-+-=-+-≤∑∑-+==m m m m j m j m m j m j 4222n m m m =<-=．当n 为奇数时，设12+=m n ，则有∑∑∑+==-=+==mm j jmj j n j j n r gr g r g r f 21212)()()()(∑∑+==-++-≤mm j mj j m j 212)12()1(422n m <=．13、（2011二试4）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值．【解析】首先证明A 中“坏格”不多于25个．用反证法．假设结论不成立，则方格表A 中至多有1个小方格不是“坏格”．由表格的对称性，不妨假设此时第1行都是“坏格”．设方格表A 第i 列从上到下填的数依次为9,,2,1,,, =i c b a i i i ．记9,,2,1,0,)(,11=+==∑∑==k c bT a S ki i ikk i ik ，这里000==T S ．即第2行至第3行、第1+m 列至第n 列组成一个“好矩形”，从而至少有2个小方格不是“坏格”，矛盾．类似地，也不存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(mod n n m m T S T S +≡+．因此上述断言得证．故)10(mod 59210)(999≡++++≡+≡≡∑∑∑=== k k k k k k k T S T S ，所以 )10(mod 055)(99090≡+≡+≡+∑∑∑===k k k k k k k T S T S ，矛盾！故假设不成立，即“坏格”不可能多于25个．另一方面，构造如下一个93⨯的方格表，可验证每个不填10的小方格都是“坏格”，此时有25个“坏格”．综上所述，“坏格”个数的最大值是25．14、（2012二试2）试证明：集合{}22,2,,2,n A =满足b N *∈，若21b a <-，（１）对每个a A ∈，及则(1)b b +一定不是2a的倍数；（２）对每个a A ∈（其中A 表示A 在Ｎ中的补集），且1a ≠，必存在b N *∈，21b a <-，使(1)b b +是2a 的倍数．【解析】证明:对任意的a A ∈,设2,,ka k N *=∈则122,k a +=如果b 是任意一个小于21a -的正整数,则1 1 12 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1111011112121b a+≤-则122ka m+=⋅下面给出(2)的三种证明方法:证法一:令1,12,kb mx b y+=+=消去b得12 1.k y mx+-=由于1(2,)1,k m+=这方程必有整数解;12kx x ty y mt+⎧=+⎪⎨=+⎪⎩其中00,(,)t z x y∈为方程的特解.把最小的正整数解记为(,),x y**则12kx*+<,故21,b mx a*=<-使(1)b b+是2a的倍数．证法二:由于1(2,)1,k m+=由中国剩余定理知,同余方程组10(mod2)1(mod)kxx m m+⎧=⎨=-⎩在区间1(0,2)k m+上有解,x b=即存在21,b a<-使(1)b b+是2a的倍数．证法三:由于(2,)1,m=总存在(,1),r r N r m*∈≤-使21(mod)r m=取,t N*∈使1,tr k>+则21(mod)tr m=存在1(21)(2)0,,tr kb q m q N+=--⋅>∈使021,b a<<-此时1,21,km b m++因而(1)b b+是2a的倍数．15.（2013二试4）（本题满分50分）设,n k为大于1的整数，2kn<.证明：存在2k个不被n整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组若干个数的和被n整除.【证明】先考虑n为2的幂的情形.设2,1rn r=≥，则r k<.取3个12r-及23k-个1，显然这些数均不被n整除.将这2k个数任意分成两组，则总有一组中含2个12r-，它们的和为2r，被n整除.现在设n不是2的幂，取2k个数为22211,1,2,2,,2,1,2,2,,2k k-------，因为n不是2的幂，故上述2k个数均不被n整除.若可将这些数分成两组，使得每一组中任意若干个数的和均不能被n整除.不妨设1在第一组，由于（-1）+1=0，被n整除，故两个-1必须在第二组；因（-1）+（-1）+2=0，被n整除，故2在第一组，进而推出-2在第二组. 现归纳假设1,2,,2l 均在第一组，而1,1,2,,2l ----均在第二组，这里12l k ≤<-，由于()()()()1112220l l +-+-+-++-+=，被n 整除，故12l +在第一组，从而12l +-在第二组.故由数学归纳法可知，221,2,2,,2k -在第一组，221,1,2,2,,2k ------在第二组.最后，由于()()()()21112220k k ---+-+-++-+=，16、（2014二试4）（本题满分50分）设整数122014,,,2014x x x 模互不同余，122014,,,y y y 整数模2014也互不同余.证明：可将122014,,,y y y 重新排列为122014,,,z z z ，使得112220142014,,,x z x z x z +++模4028互不同余.【证明】(mod 2),12.,i i y i k i k i ≡≡≤≤记k=1007,不妨设x 对每个整数17、（2015二试4）(本题满分50分)求具有下述性质的所有正整数k :对任意正整数(1)1,2k n n -+不整除()!!kn n . 18、（2016二试3）（本题满分50分）给定空间中10个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间的线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值.【解析】以这10个点为顶点，所连线段为边，得到一个10界简单图G ，我们证明G 的边数不超过15.边，否则就形成三角形，所以，121,,,n v v v +⋅⋅⋅之间恰有n 条边.对每个j (210)n j +≤≤，j v 至多与21,,n v v +⋅⋅⋅中的一个顶点相邻（否则设j v 与,(21)s t v v s t n ≤<≤+）相邻，则1,,,s j t v v v v 就对应了一个空间四边形的四个顶点，这与题设条件矛盾，从而21,,n v v +⋅⋅⋅与210,,n v v +⋅⋅⋅之间的边数至多10(1)9n n -+=-条.在210,,n v v +⋅⋅⋅这9n -个顶点之间，由于没有三角形，由托兰定理，至多2(9)[]4n -条边，因此G 的边数22(9)(9)25(9)[]9[]9[]15444n n k n n --≤+-+=+≤+=百度文库 - 让每个人平等地提升自我11 如图给出的图共有15条边，且满足要求，综上所述，所求边数的最大值为15.学科*网19、（2017二试3）（本题满分50分）将33×33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等，若相邻两个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.解：记分隔边的条数为L ，首先，将方格纸按如图分成三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56个分隔边，即L=56.20、（2017二试4）（本题满分50分）设,m n 均是大于1的整数，12.,,,n m n a a a ≥是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且12,,,n a a a 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个(1)i i n ≤≤，使得2||||||||(1)i a x x m m ≥+，这里||||y 表示实数y 到它最近的整数的距离. 证明：首先证明以下两个结论.结论1:存在整数121122,,,,+++c 1,||,1.n n n i c c c c a c a a c m i n =≤≤≤满足并且由于121211221,,,+++c 1.1n n n n a a a c c c c a c a a ==（，，，），由裴蜀定理，存在整数，满足（）下面证明,通过调整,存在一组12,,,n c c c 满足（1），且绝对值均不超过m,记因为12S 与S 均是非负整数,故通过有限次上述的调整,可得到一组12,,,n c c c ，。

第08讲解析几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编含解析

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第08讲：解析几何1、（2009一试2)已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A横坐标范围为．【答案】[]36，【解析】设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，得d 36a ≤≤．2、（2009一试5)椭圆22221x y a b+=()0a b >>上任意两点P ，Q ,若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为．【答案】22222a b a b + 【解析】设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有222221cos sin a b OP θθ=+ ①222221sin cos a b OQ θθ=+ ②①+②得22221111a b OP OQ+=+．于是当OP OQ ==时，OP OQ 达到最小值22222a b a b +．3、(2010一试3）双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界)整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是.【答案】98004、（2011一试7）直线012=--y x 与抛物线xy 42=交于B A ,两点,C 为抛物线上的一点,︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为．【答案】)2,1(-或)6,9(-即0)(24)(21212212214=⋅++-+⋅++-y y t y y t x x t x x t ，即03161424=---t t t，即0)14)(34(22=--++t t t t．显然0142≠--t t，否则01222=-⋅-t t，则点C 在直线012=--y x 上,从而点C 与点A或点B 重合．所以0342=++t t，解得3,121-=-=t t．故所求点C 的坐标为)2,1(-或)6,9(-．5、（2012一试4)抛物线22(0)ypx p =>的焦点为F，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是.【答案】1【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3ABAF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()2AF BF AF BF +≥+-22().2AF BF MN +==当且仅当AF BF =时等号成立。

2017年全国各地高考数学分类汇编7-解析几何

2017年全国各地高考数学分类汇编7-解析几何一、选择题（共12小题；共60分）1. 若双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x−2)2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为( )A. 2B. √3C. √2D. 2√332. 过抛物线C:y2=4x的焦点F，且斜率为√3的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )A. √5B. 2√2C. 2√3D. 3√33. 若a>1，则双曲线x2a2−y2=1的离心率的取值范围是( )A. (√2,+∞)B. (√2,2)C. (1,√2)D. (1,2)4. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，离心率为√2．若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A. x24−y24=1 B. x28−y28=1 C. x24−y28=1 D. x28−y24=15. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx−ay+2ab=0相切，则C的离心率为( )A. √63B. √33C. √23D. 136. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx−ay+2ab=0相切，则C的离心率为( )A. √63B. √33C. √22D. 137. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√52x，且与椭圆x212+y23=1有公共焦点，则C的方程为( )A. x28−y210=1 B. x24−y25=1 C. x25−y24=1 D. x24−y23=18. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线方程为( )A. x24−y212=1 B. x212−y24=1 C. x23−y2=1 D. x2−y23=19. 已知F是双曲线C：x2−y23=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)．则△APF的面积为( )A. 13B. 12C. 23D. 3210. 已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则∣AB∣+∣DE∣的最小值为( )A. 16B. 14C. 12D. 1011. 椭圆x 29+y 24=1 的离心率是 ( )A. √133B. √53C. 23D. 5912. 设 A ，B 是椭圆 C:x 23+y 2m =1 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足 ∠AMB =120∘，则 m 的取值范围是 ( ) A. (0,1]∪(9,+∞) B. (0,√3]∪[9,+∞)C. (0,1]∪[4,+∞)D. (0,√3]∪[4,+∞)二、填空题（共11小题；共55分）13. 在平面直角坐标系 xOy 中，A (−12,0)，B (0,6)，点 P 在圆 O:x 2+y 2=50 上．若 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20，则点 P 的横坐标的取值范围是．14. 设抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，准线为 l ．已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A ．若 ∠FAC =120∘，则圆的方程为．15. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x 23−y 2=1 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P ，Q ，其焦点是 F 1，F 2，则四边形 F 1PF 2Q 的面积是． 16. 双曲线x 2a2−y 29=1(a >0) 的一条渐近线方程为 y =35x ，则 a = ．17. 三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中 A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 B i 的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1,2,3．（1）记 Q i 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q 1，Q 2，Q 3 中最大的是．（2）记 p i 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p 1，p 2，p 3 中最大的是．18. 已知双曲线 C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的右顶点为 A ，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A ，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M ，N 两点，若 ∠MAN =60∘，则 C 的离心率为． 19. 若双曲线 x 2−y 2m=1 的离心率为 √3，则实数 m = ．20. 已知 F 是抛物线 C ：y 2=8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N ．若 M 为 FN的中点，则 ∣FN ∣= ．21. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的右支与焦点为 F 的抛物线 x 2=2py (p >0) 交于 A ，B 两点，若 ∣AF∣+∣BF∣=4∣OF∣，则该双曲线的渐近线方程为．22. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的右支与焦点为 F 的抛物线 x 2=2py (p >0) 交于 A ，B 两点，若 ∣AF ∣+∣BF ∣=4∣OF ∣，则该双曲线的渐近线方程为．23. 已知点 P 在圆 x 2+y 2=1 上，点 A 的坐标为 (−2,0)，O 为原点，则 AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为．三、解答题（共17小题；共221分）24. 在直角坐标系中 xOy ，曲线 y =x 2+mx −2 与 x 轴交于 A ，B 两点，点 C 的坐标为 (0,1)，当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现 AC ⊥BC 的情况?说明理由；（2）证明过 A ，B ，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值．25. 已知抛物线 C:y 2=2px 过点 P (1,1)．过点 (0,12) 作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M ，N ，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP ，ON 交于点 A ，B ，其中 O 为原点．（1）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A 为线段 BM 的中点．26. 设 A ，B 为曲线 C ：y =x 24上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4．（1）求直线 AB 的斜率；（2）设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM ⊥BM ，求直线 AB 的方程．27. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，离心率为 12，两准线之间的距离为 8．点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，过点 F 1 作直线 PF 1 的垂线 l 1，过点 F 2 作直线 PF 2 的垂线 l 2．（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）若直线 l 2，l 2 的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标．28. 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 1 的极坐标方程为 ρcosθ=4．（1）M 为曲线 C 1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 ∣OM ∣⋅∣OP ∣=16%,，求点 P 的轨迹C 2 的直角坐标方程；（2）设点 A 的极坐标为 (2,π3)，点 B 在曲线 C 2 上，求 △OAB 面积的最大值．29. 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 1 的极坐标方程为 ρcosθ=4．（1）M 为曲线 C 1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 ∣OM∣⋅∣OP∣=16，求点 P 的轨迹 C 2的直角坐标方程；（2）设点 A 的极坐标为 (2,π3)，点 B 在曲线 C 2 上，求 △OAB 面积的最大值．30. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 {x =−8+t,y =t 2（t 为参数），曲线 C 的参数方程为 {x =2s 2,y =2√2s （s 为参数）．设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值．31. 已知矩阵 A =[0110]，B =[1002]．（1）求 AB ；（2）若曲线 C 1:x 28+y 22=1 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线 C 2，求 C 2 的方程．32. 已知抛物线 C ：y 2=2x ，过点 (2,0) 的直线 l 交 C 于 A ，B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；（2）设圆 M 过点 P (4,−2)，求直线 l 与圆 M 的方程．33. 设椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左焦点为 F ，右顶点为 A ，离心率为 12．已知 A 是抛物线 y 2=2px (p >0) 的焦点，F 到抛物线的准线 l 的距离为 12．（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设 l 上两点 P ，Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B （B 异于 A ），直线 BQ 与 x轴相交于点 D ．若 △APD 的面积为 √62，求直线 AP 的方程．34. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为 √22，椭圆 C 截直线y =1 所得线段的长度为 2√2．（1）求椭圆 C 的方程；（2）动直线 l:y =kx +m (m ≠0) 交椭圆 C 于 A ，B 两点，交 y 轴于点 M%.．点 N 是 M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为 ∣NO ∣．设 D 为 AB 的中点，DE ，DF 与 ⊙N 分别相切于点 E ，F%,，求 ∠EDF 的最小值．35. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左焦点为 F (−c,0)，右顶点为 A ，点 E 的坐标为 (0,c )，△EFA 的面积为 b 22．（1）求椭圆的离心率；（2）设点 Q 在线段 AE 上，∣FQ ∣=32c ，延长线段 FQ 与椭圆交于点 P ，点 M ，N 在 x 轴上，PM ∥QN ，且直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c ，四边形 PQNM 的面积为 3c ．（i ）求直线 FP 的斜率；（ii ）求椭圆的方程．36. 如图，已知抛物线 x 2=y ，点 A (−12,14)，B (32,94)，抛物线上的点 P (x,y )(−12<x <32)，过点 B作直线 AP 的垂线，垂足为 Q ．（1）求直线 AP 斜率的取值范围；（2）求 ∣PA ∣⋅∣PQ ∣ 的最大值．37. 已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A (−2,0)，B (2,0)，焦点在 x 轴上，离心率为 √32．（1）求椭圆 C 的方程；（2）点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M ，N ，过 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E ．求证：△BDE 与 △BDN 的面积之比为 4:5．38. 设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C:x 22+y 2=1 上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N ，点 P 满足NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．（1）求点 P 的轨迹方程；（2）设点 Q 在直线 x =−3 上，且 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =1．证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F ．39. 已知椭圆 C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，四点 P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3(−1,√32)，P 4(1,√32) 中恰有三点在椭圆 C 上．（1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P 2 点且与 C 相交于 A ，B 两点，若直线 P 2A 与直线 P 2B 的斜率的和为 −1，证明：l 过定点．40. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为 √22，焦距为 2．（1）求椭圆 E 的方程．（2）如图，该直线 l:y =k 1x −√32 交椭圆 E 于 A ，B 两点，C 是椭圆 E 上的一点，直线 OC 的斜率为 k 2，且看 k 1k 2=√24，M 是线段 OC 延长线上一点，且 ∣MC ∣:∣AB ∣=2:3，⊙M 的半径为 ∣MC ∣，OS ，OT 是 ⊙M 的两条切线，切点分别为 S ，T ，求 ∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线 l 的斜率．答案第一部分 1. A【解析】双曲线 C:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0) 的一条渐近线为：bx +ay =0，圆 (x −2)2+y 2=4 的圆心 (2,0)，半径为 2，双曲线 C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的一条渐近线被圆 (x −2)2+y 2=4 所截得的弦长为 2，可得圆心到直线的距离为：√22−12=√3=√a 2+b 2，解得：4c 2−4a 2c 2=3，可得 e 2=4，即 e =2． 2. C【解析】抛物线 C:y 2=4x 的焦点 F (1,0)，且斜率为 √3 的直线：y =√3(x −1)，过抛物线 C:y 2=4x 的焦点 F ，且斜率为 √3 的直线交 C 于点 M （M 在 x 轴上方），可知：{y 2=4x,y =√3(x −1),解得 M(3,2√3)．由 l 为抛物线的准线，点 N 在 l 上，且 MN 垂直于 l ，可得 N(−1,2√3)，NF 的方程为：y =−√3(x −1)，即 √3x +y −√3=0，则 M 到直线 NF 的距离为：√3+2√3−√3∣√3+1=2√3．3. C4. B【解析】设双曲线的左焦点 F (−c,0)，离心率 e =ca =√2，c =√2a ，则双曲线为等轴双曲线，即 a =b ，双曲线的渐近线方程为 y =±ba x =±x ，则经过 F 和 P (0,4) 两点的直线的斜率 k =4−00+c=4c ，则 4c=1，c =4，则 a =b =2√2，所以双曲线的标准方程：x 28−y 28=1．5. A【解析】以线段 A 1A 2 为直径的圆与直线 bx −ay +2ab =0 相切， √a 2+b 2=a ，化为：a 2=3b 2．所以椭圆 C 的离心率 e =ca=√1−b 2a 2=√63． 6. A【解析】以线段 A 1A 2 为直径的圆与直线 bx −ay +2ab =0 相切，√a 2+b 2=a ，化为：a 2=3b 2．所以椭圆 C 的离心率 e =ca=√1−b 2a 2=√63． 7. B8. D【解析】双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的右焦点为 F ，点 A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为 2 的等边三角形（O 为原点），可得 c =2，ba =√3，即b 2a 2=3，c 2−a 2a 2=3，解得 a =1，b =√3，双曲线的焦点坐标在 x 轴，所得双曲线方程为：x 2−y 23=1．9. D10. A【解析】如图，l 1⊥l 2，直线 l 1 与 C 交于 A ，B 两点，直线 l 2 与 C 交于 D ，E 两点，要使 ∣AB ∣+∣DE ∣ 最小，则 A 与 D ，B 与 E 关于 x 轴对称，即直线 DE 的斜率为 1，又直线 l 2 过点 (1,0)，则直线 l 2 的方程为 y =x −1，联立方程组 {y 2=4x,y =x −1, 则 y 2−4y −4=0，所以 y 1+y 2=4，y 1y 2=−4所以 ∣DE ∣=√1+1k2⋅∣y 1−y 2∣=√2×√32=8，所以 ∣AB ∣+∣DE ∣ 的最小值为 2∣DE ∣=16．方法二：设直线 l 1 的倾斜角为 θ，则 l 2 的倾斜角为 π2+θ，根据焦点弦长公式可得 ∣AB ∣=2p sin 2θ=4sin 2θ， ∣DE ∣=2p sin 2(π2−θ)=2p cos 2θ=4cos 2θ．所以 ∣AB ∣+DE ∣=4sin 2θ+4cos 2θ=4sin 2θcos 2θ=16sin 22θ．因为：0<sin 22θ≤1，所以当 θ=45∘ 时，∣AB ∣+∣DE ∣ 最小，最小值为 16．11. B 12. A 【解析】假设椭圆的焦点在 x 轴上，则 0<m <3 时，假设 M 位于短轴的端点时，∠AMB 取最大值，要使椭圆 C 上存在点 M 满足 ∠AMB =120∘，∠AMB ≥120∘，∠AMO ≥60∘，tan∠AMO =√3√m≥tan60∘=√3，解得：0<m ≤1．当椭圆的焦点在 y 轴上时，m >3，假设 M 位于短轴的端点时，∠AMB 取最大值，要使椭圆 C 上存在点 M 满足 ∠AMB =120∘，∠AMB ≥120∘，∠AMO ≥60∘，tan∠AMO =√m√3≥tan60∘=√3，解得：m ≥9，所以 m 的取值范围是 (0,1]∪[9,+∞)．第二部分 13. [−5√2,1]【解析】根据题意，设 P (x 0,y 0)，则有 x 02+y 02=50，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12−x 0,−y 0)⋅(−x 0,6−y 0)=(12+x 0)x 0−y 0(6−y 0)=12x 0+6y +x 02+y 02≤20,化为：12x 0−6y 0+30≤0，即 2x 0−y 0+5≤0，表示直线 2x −y +5≤0 以及直线下方的区域，联立 {x 02+y 02=50,2x 0−y 0+5=0,解可得 x 0=−5 或 x 0=1，结合图形分析可得：点 P 的横坐标 x 0 的取值范围是 [−5√2,1]．14. (x +1)2+(y −√3)2=1 15. 2√3 16. 5 17. Q 1；p 2【解析】（1）若 Q i 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，Q 1=A 1的纵坐标+B 1的纵坐标； Q 2=A 2的纵坐标+B 2的纵坐标，Q 3=A 3的纵坐标+B 3的纵坐标，由已知中图象可得：Q 1，Q 2，Q 3 中最大的是 Q 1；（2）若 p i 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p i 为 A i B i 中点与原点连线的斜率，故 p 1，p 2，p 3 中最大的是 p 2．18. 2√33【解析】双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A(a,0)，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN=60∘，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30∘=√32b，可得：√a2+b2=√32b，即ac=√32，可得离心率为：e=2√33．19. 220. 6【解析】抛物线C：y2=8x的焦点F(2,0)，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，点M为FN 的中点，可知M的横坐标为1，则M的纵坐标为±2√2，∣FN∣=2∣FM∣=2√(1−2)2+(±2√2−0)2=6．21. y=±√22x【解析】把x2=2py(p>0)代入双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，可得：a2y2−2pb2y+a2b2=0，所以y A+y B=2pb2a2，因为∣AF∣+∣BF∣=4∣OF∣，所以y A+y B+2×p2=4×p2，所以2pb2a2=p，所以ba =√22，所以该双曲线的渐近线方程为：y=±√22x．22. y=±√22x【解析】把x2=2py(p>0)代入双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，可得：a2y2−2pb2y+a2b2=0，所以y A+y B=2pb2a2，因为∣AF∣+∣BF∣=4∣OF∣，所以y A+y B+2×p2=4×p2，所以2pb2a2=p，所以ba =√22．所以该双曲线的渐近线方程为：y=±√22x．23. 6第三部分24. （1）曲线y=x2+mx−2与x轴交于A，B两点，可设 A (x 1,0)，B (x 2,0)，则 x 1，x 2 是方程 x 2+mx −2=0 的两根，有 Δ>0，由韦达定理可得 x 1x 2=−2，若 AC ⊥BC ，则 k AC ⋅k BC =−1，即有 1−00−x 1⋅1−00−x 2=−1，即为 x 1x 2=−1 这与 x 1x 2=−2 矛盾，故不出现 AC ⊥BC 的情况．（2）设过 A ，B ，C 三点的圆的方程为 x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2−4F >0)，由题意可得 y =0 时，x 2+Dx +F =0 与 x 2+mx −2=0 等价．可得 D =m ，F =−2，圆的方程即为 x 2+y 2+mx +Ey −2=0，由圆过 C (0,1)，可得 0+1+0+E −2=0，可得 E =1，则圆的方程即为 x 2+y 2+mx +y −2=0，再令 x =0，可得 y 2+y −2=0，解得 y =1或−2．即有圆与 y 轴的交点为 (0,1)，(0,−2)，则过 A ，B ，C 三点的圆在 x 轴上截得的弦长为 1−(−2)=3，所以过 A ，B ，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 3．25. （1）因为 y 2=2px 过点 P (1,1)，所以 1=2p ，解得 p =12，所以抛物线方程为 y 2=x ，所以焦点坐标为 (14,0)，准线为 x =−14．（2）设过点 (0,12) 的直线方程为 y =kx +12，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，所以直线 OP 为 y =x ，直线 ON 为：y =y 2x 2x ，由题意知 A (x 1,x 1)，B (x 1,x 1y 2x 2)，由 {y =kx +12,y 2=x 可得 k 2x 2+(k −1)x +14=0，所以 x 1+x 2=1−k k 2，x 1x 2=14k 2，所以 y 1+x 1y 2x 2=kx 1+12+x 1(kx 2+12)x 2=2kx 1+x 1+x 22x 2=2kx 1+1−k k 22×14k 2x 1=2kx 1+(1−k )⋅2x 1=2x 1，所以 A 为线段 BM 的中点．26. （1）设 A (x 1,x 124)，B (x 2,x 224) 为曲线 C ：y =x 24上两点，则直线 AB 的斜率为 k =x 124−x 224x 1−x 2=14(x 1+x 2)=14×4=1；（2）设直线 AB 的方程为 y =x +t ，代入曲线 C ：y =x 24，可得 x 2−4x −4t =0，即有 Δ>0，x 1+x 2=4，x 1x 2=−4t ，再由 y =x 24 的导数为 yʹ=12x ，设 M (m,m 24)，可得 M 处切线的斜率为 12m ，由 C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，可得 12m =1，解得 m =2，即 M (2,1)，由 AM ⊥BM 可得，k AM ⋅k BM =−1，即为x 124−1x 1−2⋅x 224−1x 2−2=−1，化为 x 1x 2+2(x 1+x 2)+20=0，即为 −4t +8+20=0，解得 t =7，满足 Δ>0，则直线 AB 的方程为 y =x +7．27. （1）由题意可知：椭圆的离心率 e =ca =12，则 a =2c, ⋯⋯①椭圆的准线方程 x =±a 2c ，由 2×a 2c=8, ⋯⋯②由 ①② 解得：a =2，c =1，则 b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆的标准方程：x 24+y 23=1．（2）方法一：设 P (x 0,y 0)，x 0=1 时，l 1 与 l 2 相交于点 F 1，与题设不符，当 x 0≠1 时，则直线 l 2 的斜率 k 2=x 0−1y 0，直线 l 2 的方程 y =−x 0−1y 0(x −1)，直线 PF 1 的斜率 k PF 1=y 0x 0+1，则直线 l 1 的斜率 k 1=−x 0+1y 0，直线 l 1 的方程 y =−x 0+1y 0(x +1)，联立 {y =x 0−1y 0(x −1),y =x 0+1y 0(x +1), 解得：{x =−x 0,y =x 02−1y 0, 则 Q (−x 0,x 02−1y 0)，由 P ，Q 在椭圆上，P ，Q 的横坐标互为相反数，纵坐标应相等或相反，则 y 0=x 02−1y 0或x 02−1y 0=−y 0，所以 y 02=x 02−1 或 x 02+y 02=1，则 {x 024+y 023=1,y 02=x 02−1, 解得：{x 02=167,y 02=97, 则 {x 0=±4√77,y 0=±3√77, 或 {x 02+y 02=1,x 024+y 023=1, 无解，又 P 在第一象限，所以 P 的坐标为： P (4√77,3√77)．方法二：设 P (m,n )，由 P 在第一象限，则 m >0，n >0，当 m =1 时，k PF 2 不存在，解得：Q 与 F 1 重合，不满足题意，当 m ≠1 时，k PF 2=nm−1，k PF 1=nm+1，由 l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2，则 k l 1=−m+1n，k l 2=m−1n，直线 l 1 的方程 y =−m+1n(x +1) ⋯⋯①，直线 l 2 的方程 y =−m−1n(x −1), ⋯⋯②联立解得：x =−m ，则 Q (−m,m 2−1n)，由 Q 在椭圆方程，由对称性可得：m 2−1n=±n 2，即 m 2−n 2=1，或 m 2+n 2=1，由 P (m,n )，在椭圆方程，{m 2−1=n 2,m 24+n 23=1, 解得：{m 2=167,n 2=97 或 {1−m 2=n 2,m 24+n 23=1, 无解，又 P 在第一象限，所以 P 的坐标为：P (4√77,3√77)． 28. （1）曲线 C 1 的直角坐标方程为：x =4%,，设 P (x,y )，M (4,y 0)，则 yx =y 04，所以 y 0=4y x，因为 ∣OM ∣∣OP ∣=16，所以 √x 2+y 2√16+y 02=16，即 (x 2+y 2)(1+y 2x 2)=16，所以 x 4+2x 2y 2+y 4=16x 2，即 (x 2+y 2)2=16x 2．两边开方得：x 2+y 2=4x ，整理得：(x −2)2+y 2=4(x ≠0)，所以点 P 的轨迹 C 2 的直角坐标方程：(x −2)2+y 2=4(x ≠0)．（2）点 A 的直角坐标为 A(1,√3)，显然点 A 在曲线 C 2 上，∣OA ∣=2，所以曲线 C 2 的圆心 (2,0) 到弦 OA 的距离 d =√4−1=√3，所以 △AOB 的最大面积 S =12∣OA ∣⋅(2+√3)=2+√3． 29. （1）曲线 C 1 的直角坐标方程为：x =4，设 P (x,y )，M (4,y 0)，则 yx =y 04，所以 y 0=4y x，因为 ∣OM∣∣OP∣=16，所以 √x 2+y 2√16+y 02=16，即 (x 2+y 2)(1+y 2x 2)=16，所以 x 4+2x 2y 2+y 4=16x 2，即 (x 2+y 2)=16x 2，两边开方得：x 2+y 2=4x ，整理得：(x −2)2+y 2=4(x ≠0)，所以点 P 的轨迹 C 2 的直角坐标方程：(x −2)2+y 2=4(x ≠0)．（2）设点 B 的坐标为 (ρs ,α)(ρs >0)，由题设知 ∣OA∣=2，ρs =4cosα，于是 △OAB 面积S =12∣OA∣⋅ρs sin∠AOB =4cosα⋅∣∣sin (α−π3)∣∣=2∣∣∣sin (2α−π3)−√32∣∣∣≤2+√3,当 α=−π12 时，S 取得最大值 2+√3，所以 △OAB 面积的最大值为 2+√3．30. 直线 l 的直角坐标方程为 x −2y +8=0，设 P(2s 2,2√2s)，所以 P 到直线 l 的距离 d =∣2√2s+8∣√5=√2s−2)2√5，所以当 s =√2 时，d 取得最小值√5=4√55． 31. （1） AB =[0110][1002]=[0210]．（2）设点 P (x,y ) 为曲线 C 1 的任意一点，点 P 在矩阵 AB 的变换下得到点 Pʹ(x 0,y 0)，则 [0210][x y ]=[2yx]，即 x 0=2y ，y 0=x ，所以 x =y 0，y =x 02，所以 y 028+x 028=1，即 x 02+y 02=8，所以曲线 C 2 的方程为 x 2+y 2=8．32. （1）方法一：当直线 l 的斜率不存在时，A (2,2)，B (2,−2)，则 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2)，所以 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以坐标原点 O 在圆 M 上；当直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程 y =k (x −2)，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， {y =k (x −2),y 2=2x,整理得：k 2x 2−(4k 2+2)x +4k 2=0，所以 x 1x 2=4，4x 1x 2=y 12y 22=(y 1y 2)2，由 y 1y 2<0，得 y 1y 2=−4，由 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0，得 OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以坐标原点 O 在圆 M 上，综上可知：坐标原点 O 在圆 M 上．方法二：设直线 l 的方程 x =my +2， {x =my +2,y 2=2x, 整理得：y 2−2my −4=0，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，所以 y 1y 2=−4，由 (y 1y 2)2=4x 1x 2，得 x 1x 2=4，因为 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0，所以 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以坐标原点 O 在圆 M 上．（2）当直线 l 斜率不存在时，圆 M 的方程为 (x −2)2+y 2=4，此时圆 M 不过点 P (4,−2)，不满足条件；当直线 l 斜率存在时，由（1）可知：x 1x 2=4，x 1+x 2=4k 2+2k 2，y 1+y 2=2k ，y 1y 2=−4，圆 M 过点 P (4,−2)，则 AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−x 1,−2−y 1)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−x 2,−2−y 2)，由 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得 (4−x 1)(4−x 2)+(−2−y 1)(−2−y 2)=0，整理得：k 2+k −2=0，解得：k =−2 或 k =1，当 k =−2 时，直线 l 的方程为 y =−2x +4，且 x 1+x 2=92，y 1+y 2=−1，则 M (94,−12)，半径为 r =∣MP∣=√(4−94)2+(−2+12)2=√854，所以圆 M 的方程 (x −94)2+(y +12)2=8516．当直线斜率 k =1 时，直线 l 的方程为 y =x −2，同理求得 M (3,1)，则半径为 r =∣MP∣=√10，所以圆 M 的方程为 (x −3)2+(y −1)2=10，综上可知：直线 l 的方程为 y =−2x +4，圆 M 的方程 (x −94)2+(y +12)2=8516 或直线 l 的方程为 y =x −2，圆 M 的方程为 (x −3)2+(y −1)2=10． 33. （1）设 F 的坐标为 (−c,0)，依题意可得 {ca =12,a =p2,a −c =12,解得 a =1，c =12，p =2，于是 b 2=a 2−c 2=34．所以，椭圆的方程为 x 2+4y 23=1，抛物线的方程为 y 2=4x ．（2）直线 l 的方程为 x =−1，设直线 AP 的方程为 x =my +1(m ≠0)，联立方程组 {x =−1,x =my +1,解得点 P (−1,−2m )，故 Q (−1,2m )．联立方程组 {x =my +1,x 2+4y 23=1,消去 x ，整理得 (3m 2+4)y 2+6my =0，解得 y =0，或 y =−6m3m 2+4．所以 B (−3m 2+43m 2+4,−6m3m 2+4)，所以直线 BQ 的方程为 (−6m3m 2+4−2m )(x +1)−(−3m 2+43m 2+4+1)(y −2m )=0，令 y =0，解得 x =2−3m 23m 2+2，故 D (2−3m 23m 2+2,0)，所以 ∣AD ∣=1−2−3m 23m 2+2=6m 23m 2+2，又因为 △APD 的面积为 √62，所以 12×6m 23m 2+2×2∣m∣=√62，整理得 3m 2−2√6∣m ∣+2=0，解得 ∣m ∣=√63，所以 m =±√63，所以直线 AP 的方程为 3x +√6y −3=0，或 3x −√6y −3=0． 34. （1）因为椭圆 C 的离心率为 √22，所以a 2−b 2a 2=12，a 2=2b 2%,，因为椭圆 C 截直线 y =1 所得线段的长度为 2√2%,，所以椭圆 C 过点 (√2,1)%,，因为 2a 2+1b 2=1%,，所以 b 2=2，a 2=4%,，所以椭圆 C 的方程为x 24+y 22=1．（2）设 A ，B 的横坐标为 x 1，x 2，则 A (x 1,kx 1+m )，B (x 2,kx 2+m )，D (x 1+x 22,k 2(x 1+x 2)+m)，联立 {x 24+y 22=1,y =kx +m%sinα2=EN DN=ON DN =2m1+2k 2√k 4+3k 2+1=22√k 4+3k 2+1可得 (1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−4=0，所以 x 1+x 2=−4km1+2k 2，所以 D (−2km1+2k 2,m1+2k 2)%sin α2=EN DN =ONDN =2m1+2k 2√k 4+3k 2+1=22√k 4+3k 2+1，因为 M (0,m )，则 N (0,−m )，所以 ⊙N 的半径为 ∣m ∣，∣DN ∣=√(m 1+2k 2+m)2+(−2km 1+2k 2)2=∣2m∣1+2k 2√k 4+3k 2+1，设 ∠EDF =α，所以sin α2=EN DN=ON DN =2m1+2k 2√k 4+3k 2+1=22√k 4+3k 2+1令 y =22√k 4+3k 2+1，则 yʹ=22√k 4+3k 2+1(k 4+3k 2+1) 当 k =0 时，sin α2 取得最小值，最小值为 12，所以 ∠EDF 的最小值是 60∘．35. （1）设椭圆的离心率为 e ．由已知，可得 12(c +a )c =b 22．又由 b 2=a 2−c 2，可得 2c 2+ac −a 2=0，即 2e 2+e −1=0．又因为 0<e <1，解得 e =12．所以，椭圆的离心率为 12．（2）（i ）依题意，设直线 FP 的方程为 x =my −c (m >0)，则直线 FP 的斜率为 1m ．由（1）知 a =2c ，可得直线 AE 的方程为 x2c +yc =1，即 x +2y −2c =0，与直线 FP 的方程联立，可解得 x =(2m−2)c m+c ，y =3cm+2，即点 Q 的坐标为 ((2m−2)c m+c,y =3cm+2)．由已知 ∣FQ ∣=3c2，有 [(2m−2)c m+c+c]2+(3cm+2)2=(3c 2)2，整理得 3m 2−4m =0，所以 m =43，即直线 FP 的斜率为 43．（ii ）由 a =2c ，可得 b =√3c ，故椭圆方程可以表示为x 24c 2+y 23c 2=1．由（i ）得直线 FP 的方程为 3x −4y +3c =0，与椭圆方程联立 {3x −4y +3c =0,x 24c 2+y 23c 2=1. 消去 y ，整理得 7x 2+6cx −13c 2=0，解得 x =−13c 7(舍去)，或 x =c ．因此可得点 P (c,3c2)，进而可得 ∣FP ∣=√(c +c )2+(3c 2)2=5c 2，所以 ∣PQ ∣=∣FP ∣−∣FQ ∣=5c2−3c 2=c ．由已知，线段 PQ 的长即为 PM 与 QN 这两条平行直线间的距离，故直线 PM 和 QN 都垂直于直线 FP ．因为 QN ⊥FP ，所以 ∣QN ∣=∣FQ ∣⋅tan∠QFN =3c 2×34=9c 8，所以三角形 FQN 的面积为 12∣FQ ∣∣QN ∣=27c 232，同理三角形 FPM 的面积等于 75c 232，由四边形 PQNM 的面积为 3c ，得75c 232−27c 232=3c ，整理得 c 2=2c ，又由 c >0，得 c =2．所以，椭圆的方程为x 216+y 212=1．36. （1）由题可知 P (x,x 2)，−12<x <32，所以 k AP =x 2−14x+12=x −12∈(−1,1)，故直线 AP 斜率的取值范围是：(−1,1)．（2）由（1）知 P (x,x 2)，−12<x <32，所以 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12−x,14−x 2)，设直线 AP 的斜率为 k ，则 AP:y =kx +12k +14，BP:y =−1k x +32k +94，联立直线 AP ，BP 方程可知 Q (3+4k−k 22k 2+2,9k 2+8k+14k 2+4)，故 PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+k−k 2−k 31+k 2,−k 4−k 3+k 2+k1+k 2)，又因为 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1−k,−k 2−k )，故−∣PA ∣⋅∣PQ ∣=PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+k )3(k−1)1+k 2+k 2(1+k )3(k−1)1+k 2=(1+k )3(k −1),所以 ∣PA ∣⋅∣PQ ∣=(1+k )3(1−k )，令 f (x )=(1+x )3(1−x )，−1<x <1，则 fʹ(x )=(1+x )2(2−4x )=−2(1+x )2(2x −1)，由于当 −1<x <−12 时 fʹ(x )>0，当 12<x <1 时 fʹ(x )<0，故 f (x )max =f (12)=2716，即 ∣PA ∣⋅∣PQ ∣ 的最大值为 2716． 37. （1）由椭圆的焦点在 x 轴上，设椭圆方程：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，则 a =2，e =ca=√32，则 c =√3，b 2=a 2−c 2=1，所以椭圆 C 的方程x 24+y 2=1；（2）设 D (x 0,0)(−2<x 0<2)，M (x 0,y 0)，N (x 0,−y 0)，y 0>0，由 M ，N 在椭圆上，则x 024+y 02=1，则 x 02=4−4y 02，则直线 AM 的斜率 k AM =y 0−0x 0+2=y 0x 0+2，直线 DE 的斜率 k DE =−x 0+2y 0，直线DE 的方程：y =−x 0+2y 0(x −x 0)，直线 BN 的斜率 k BN =−y 0x0−2，直线 BN 的方程 y =−yx 0−2(x −2)，{y =−x 0+2y 0(x −x 0),y =−y 0x 0−2(x −2),解得：{x =4x 0+25,y =45y 0, 过 E 做 EH ⊥x 轴，△BHE ∽△BDN ，则 ∣EH∣=4y 05，则 ∣EH∣∣ND∣=45，所以 △BDE 与 △BDN 的面积之比为 4:5．38. （1）设 M (x 0,y 0)，由题意可得 N (x 0,0)，设 P (x,y )，由点 P 满足 NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得 (x −x 0,y )=√2(0,y 0)，可得 x −x 0=0，y =√2y 0，即有 x 0=x ，y 0=√2，代入椭圆方程x 22+y 2=1，可得 x 22+y 22=1，即有点 P 的轨迹方程为圆 x 2+y 2=2．（2）设 Q (−3,m )，P(√2cosα,√2sinα)(0≤α<2π)，OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，可得 (√2cosα,√2sinα)⋅(−3−√2cosα,m −√2sinα)=1，即为 −3√2cosα−2cos 2α+√2msinα−2sin 2α=1，解得 m =√2cosα)√2sinα，即有 Q √2cosα)√2sinα)，椭圆x 22+y 2=1 的左焦点为 F (−1,0)，由 k OQ =√2cosα√2sinα，k PF =√2sinα√2cosα+1，由 k OQ ⋅k PF =−1，可得过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F ．39. （1）根据椭圆的对称性，P 3(−1,√32)，P 4(1,√32) 两点必在椭圆 C 上，又 P 4 的横坐标为 1，所以椭圆必不过 P 1(1,1)，所以 P 2(0,1)，P 3(−1,√32)，P 4(1,√32) 三点在椭圆 C 上，把 P 2(0,1)，P 3(−1,√32) 代入椭圆 C ，得：{1b 2=1,1a 2+34b 2=1,解得 a 2=4，b 2=1，所以椭圆 C 的方程为x 24+y 2=1．（2） ①当斜率不存在时，设 l ：x =m ，A (m,y A )，B (m,−y A )，因为直线 P 2A 与直线 P 2B 的斜率的和为 −1，所以 k P 2A +k P 2B =y A −1m+−y A −1m=−2m=−1，解得 m =2，此时 l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设 l ：y =kx +b (b ≠1)，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，联立 {y =kx +b,x 2+4y 2−4=0,整理，得 (1+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−4=0， x 1+x 2=−8kb1+4k 2，x 1x 2=4b 2−41+4k 2，则k P 2A +k P 2B=y 1−1x 1+y 2−1x 2=x 2(kx 1+b )−x 2+x 1(kx 2+b )−x 1x 1x 2=8kb 2−8k−8kb 2+8kb1+4k 24b 2−41+4k 2=8k (b−1)4(b+1)(b−1)=−1,又 b ≠1，所以 b =−2k −1，此时 Δ=−64k ，存在 k ，使得 Δ>0 成立，所以直线 l 的方程为 y =kx −2k −1，当 x =2 时，y =−1，所以 l 过定点 (2,−1)．40. （1）由题意知，{ca=√22,2c =2,a 2=b 2+c 2,解得 a =√2，b =1．所以椭圆 E 的方程为x 22+y 2=1；（2）设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，联立 {x 22+y 2=1,y =k 1x −√32,得 (4k 12+2)x 2−4√3k 1x −1=0．由题意得 Δ=64k 12+8>0．x 1+x 2=2√3k 12k 12+1，x 1x 2=−12(2k 12+1)．所以 ∣AB ∣=√1+k 12∣x 1−x 2∣=√2⋅√1+k 12√1+8k 121+2k 12．由题意可知圆 M 的半径 r 为 r =23∣AB ∣=2√23√1+k 12√1+8k 121+2k 12．由题意设知，k 1k 2=√24，所以 k 2=√24k 1．因此直线 OC 的方程为 y =√24k 1x ．联立 {x 22+y 2=1,y =√24k 1x, 得 x 2=8k 121+4k 12，y 2=11+4k 12．因此，∣OC ∣=√x 2+y 2=√1+8k 121+4k 12．由题意可知，sin∠SOT 2=r r+∣OC∣=11+∣OC∣r ．而 ∣OC∣r =√1+8k 121+4k 122√23√1+k 11+8k 11+2k 12=√2412√1+4k 1√1+k 1．令 t =1+2k 12，则 t >1，1t ∈(0,1)，因此，∣OC∣r =2√2t 2+t−1=2√2+1t −1t 2=2√−(1t −12)2+94≥1. 当且仅当 1t =12，即 t =2 时等式成立，此时 k 1=±√22．所以 sin∠SOT2≤12，因此 ∠SOT 2≤π6．所以∠SOT的最大值为π．3综上所述，∠SOT的最大值为π，3取得最大值时直线l的斜率为k1=±√2．2。

2017年高考试题分类汇编(解析几何)

2017年高考试题分类汇编（解析几何）考点1 直线与圆的方程1.（2017·天津文科）设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若120FAC ∠=，则圆的方程为 . 22(1)(1x y -+=2.（2017·全国卷Ⅲ文科）在直角坐标系xoy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于,A B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（Ⅰ）能否出现AC BC ⊥的情况？说明理由；不能出现（Ⅱ）证明过,,A B C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 3 考点2 椭圆的方程与性质考法1 椭圆的方程1.（2017·全国卷Ⅰ理科）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>），四点1(1,1)P ，2(0,1)P ，3(1,2P -，4(1,2P 中恰有三点在椭圆C 上. （Ⅰ）求C 的方程. 2214x y +=（Ⅱ）设直线l 不经过点2P 且与C 相交于,A B 两点.若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点.2.（2017·全国卷Ⅱ文科理科）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =. （Ⅰ）求点P 的轨迹方程. 222x y +=（Ⅱ）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .3.（2017·北京文科）已知椭圆C 的两个顶点分别为(2,0)A -，(2,0)B ，焦点在x（Ⅰ）求椭圆C的方程.221 4xy+=（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点,M N,过D 作AM的垂线交BN于点E.求证：BDE∆与BDN∆的面积之比为4:5．4.（2017·天津理科）设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12.已知A是抛物线22(0)y px p=>的焦点，F到抛物线的准线l的距离为12.（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程.22413yx+=, 24y x=.（Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D.若APD△AP的方程.5.（2017·山东理科）在平面直角坐标xOy中，椭圆E:22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为2，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程.221 2xy+=6.（2017·山东文科）在平面直角坐标xOy中，椭圆E:22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为,椭圆C截直线1y=所得线段的长度为（Ⅰ）求椭圆C的方程.221 42x y+=考法2 椭圆的性质1.（2017·浙江卷）椭圆22194x y +=的离心率是 BA.3 B. 3C. 23D. 592.（2017·全国卷Ⅰ文科）设,A B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C上存在点M 满足120AMB ∠=，则m 的取值范围是 AA ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞3.（2017·全国卷Ⅲ文科理科）已知椭圆C ：22221x y a b+=(a >0b >)的左、右顶点分别为12,A A ,且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．3B ．3C ．3D ．13A考点2 抛物线的方程与性质1.（2017·全国卷Ⅰ理科）已知F 为抛物线C :24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，直线2l 与C 交于,D E 两点，则AB DE +的最小值为 A A ．16 B ．14 C ．12 D ．102.（2017·全国卷Ⅱ理科）已知F 是抛物线:C 28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN = ．163.（2017·全国卷Ⅱ文科）过抛物线C :24y x =的焦点F 交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为 C4.（2017·全国卷Ⅰ文科）设,A B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4.（Ⅰ）求直线AB 的斜率； 1k =.（Ⅱ）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程. 7y x =+5.（2017·全国卷Ⅲ文科理科）已知抛物线C ：22y x =，过点(2,0)的直线l 交C 与AB 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（Ⅰ）证明：坐标原点O 在圆M 上；（Ⅱ）设圆M 过点(4,2)P -，求直线l 与圆M 的方程．当1m =时，20x y --=,22(3)(1)10x y -+-=；当12m =-时，240x y +-=,229185()()4216x y -++=.6.（2017·北京理科）已知抛物线C ：22y px =过点(1,1)P .过点1(0,)2作直线l 与抛物线C 交于不同的两点,M N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点,A B ，其中O 为原点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；2y x =. （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点. 考点3 双曲线的方程与性质考法1 双曲线的方程1.（2017·全国卷Ⅲ理科）已知双曲线C ：22221x y a b -= (0a >,0b >)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 B A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 2.（2017·天津卷文科）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为 DA.221412x y -=B.221124x y -= C.2213x y -= D. 2213y x -= 3.（2017·天津卷理科）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，离心若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 BA.22144x y -= B.22188x y -= C.22148x y -= D.22184x y -= 4．（2017·全国卷Ⅰ文科）已知F 是双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3).则APF ∆的面积为 D A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2考法2 双曲线的性质考向1 双曲线的离心率1.（2017·北京卷文科理科）若双曲线221y x m-=则实数m =_．2 2.（2017·全国卷Ⅰ理科）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点.若60MAN ∠=，则C 的离心率为_____.e =3.（2017·全国卷Ⅱ理科）若双曲线:C 22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 A A ．2 B4.（2017·全国卷Ⅱ文科）若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A. +∞）B. 2）C. D. 12（，） C 考向2 双曲线的渐近线1.（2017·全国卷Ⅲ文科）双曲线22219x y a -=（0a >）的一条渐近线方程为35y x =，则a = . 5a = 2．（2017·山东卷）在平面直角坐标系xoy 中,双曲线22221x y a b-=(00)a b >>，的右支与焦点为F 的抛物线22x py =(0)p >,交于,A B 两点,若AF BF +4OF =,则该双曲线的渐近线方程为 . y x =.。

第04讲概率统计20092017全国高中数学联赛分类汇编 (1)

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第04讲：概率统计1、（2009一试8）某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻概率一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）．【答案】27【解析】旅客候车的分布列为候车时间（分）1030507090概率候车时间的数学期望为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=2、（2010一试6）两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 【答案】12173、（2012一试8）某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示）【答案】61243【解析】用k P 表示第k 周用A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14kP ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为34，公比为13-的等比数列.所以1131()443k k P --=-，即1311()434k k P -=-+，故761243P =4、（2014一试8）设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以21的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________. 【答案】345、（2015一试5）在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为.【答案】255【解析】设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意选出3条棱的方法共有312C =220种. 下面考虑使3条棱两两异面的取法数，由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即A B 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱，这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能，当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH.学科*网由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求的概率为8222055=. 6、（2016一试4）袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为 . 【答案】3597、（2017一试6）在平面直角坐标系xoy 中，点集{(,y)|x,y 1,0,1}K x ==-，在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为. 【答案】47【解析】易知K 中有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为3984C =种.将中的点按图标记为128,,,A ,A A O ，其中有8对点之间的距离为5，由对称性，考虑取14,A A 两点的情况，则剩下的一个点有7种取法，这样有7856⨯=个三点组（不计每组中三点的顺序），对每个(1,2,3,,8)i A i =，K 中恰有15,A i I A ++两点与之距离为5（这里下标按模8理解），因而恰有35{,,}(i 1,2,3,,8)i i i A A A ++=这8个三点组被计了两次，从而满足条件的三点组个数为56848-=，进而所求概率为484847=.。

20092017全国高中数学联赛分类汇编第06讲计数原理.docx

2009-2017 全国高中数学联赛分类汇编第06 讲：计数原理1、（ 2010 一试 8）方程x y z 2010 满足 x y z 的正整数解 ( x, y, z) 的个数是.【答案】 336675易知 131003 6k20091004 ，所以 6k2009 1004 3 10031 200610052009 3 2 1 200610052004 ，即 k1003 335334 335671 .从而满足 x y z 的正整数解的个数为 11003335671 336675 .2、（ 2011 一试 5）现安排7 名同学去参加 5 个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）【答案】 15000【解析】由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：（ 1）有一个项目有 3 人参加，共有C735! C515! 3600 种方案；（ 2）有两个项目各有 2 人参加，共有1(C72C52 ) 5!C52 5! 11400 种方案；2所以满足题设要求的方案数为36001140015000．1n3、（ 2011 一试 8）已知a n C200n200n(n 1,2, ,95) ，则数列{ a n}中整数项的个数为．3 62【答案】 15n200n4005 n 【解析】 a n 3 32．C2006要使 a n (1 n95 )为整数，必有200n , 4005n均为整数，从而 6 | n 4 ．36当 n 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时， 200n 和 4005n 均为非负整数，所以 an为整数，36当 n 86 时，8638586200!a8620032，在 C 200中， 200!中因数 2 的个数为C86! 114!200200200200200200200 197 ，223245672 22 22同理可计算得 86! 中因数 2 的个数为 8 2， 114! 中因数 2 的个数为 110，所以 C 20086 中因数 2 的个数为197 82 1105 ，故 a 86 是整数．当 n92 时， a 92C 20092 336 2 10 ，在 C 20092200! 中，同样可求得 92! 中因数 2 的个数为 88, 108! 中因数 2 的个92! 108!数为 105, 故 C 20086 中因数 2 的个数为 197 88 105 4 ，故 a 92 不是整数．因此，整数项的个数为14 1 15 ．4、（ 2013 一试 6）从 1,2， , ， 20 中任取 5 个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为.【答案】232 3235 、（ 2015 一试 8）对四位数 abcd (1 a 9,0 b, c, d 9) ,若 a b, b c, c d , 则称 abcd 为 P 类数 ,若ab, b c, c d , 则称 a b c d 为 Q 类数 , 用 N ( P) 与 N (Q ) 分别表示 P 类数与 Q 类数的个数 , 则 N (P) N (Q) 的值为【答案】 285【解析】分别记 P 类数、 Q 类数的全体为 A,B ，再将个位数为零的 P 类数全体记为 A 0 ,个位数不等于零的P类数全体记为A 1 .对任一四位数 abcd A 1 , 将其对应到四位数 dcba,注意到 a b,b c, c d 1,故 dcba B.反之，每个 dcbaB 唯一对应于 A 1中的元素 abcd.这建立了 A 1与B 之间的一一对应，因此有N (P) N (Q) | A | | B | | A 0 | | A 1 | | B | | A 0 |.下面计算 |A 0 |: 对任一四位数 abc0 A 0 , b 可取 0,1，，9，对其中每个b,999 10 19由 b a 9及 bc9知， a 和 c 分别有 9-b 种取法，从而 |A 0 |=(9 b) 2 k 2285.bk 16因此， N ( P) N (Q)285.6、（ 2016 一试 8）设 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 是 1， 2， , ， 100 中的 4 个互不相同的数，满足(a 11 a 22 a 32 )(a 22 a 32 a 42 ) (a 1a 2a 2 a 3 a 3 a 4 )2 则这样的有序数组 ( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) 的个数为.【答案】 40先考虑 n m 的情况 .此时 a 4a 1 ( n) 3a 1n 3，注意到m 3 , n 3 互素，故 la 1 为正整数 . 相应地， a 1 , a 2 , a 3 , a 4 分别等于mm 3m 3m l , m nl , mn l , n l，它们均为正整数 .q n1 ，满足条件并以 q为公比的等比3223这表明，对任意给定的m数列 a 1 ,a 2 ,a 3 , a 4 的个数，即为满足不等式n 3l 100 的正整数 l 的个数，即 [100] .2,3, 3 ,4, 4n 3由于 53100 ，故仅需考虑 q这些情况，相应的等比数列的个数为2 3[ 100] [ 100 ] [100 ] [100][100]123 3 1 120 .82727 6464当 nm 时，由对称性可知，亦有20 个满足条件的等比数列a 1 ,a 2 , a 3, a 4 .综上可知，共有40 个满足条件的有序数组(a 1 , a 2 , a 3 ,a 4 ) .学科 *网是.【答案】 75【解析】考虑平稳数abc .若b=0,则 a=1, c {0,1},有两个平稳数.若b则a{1,2},c{0,1,2},有2 3=6个平稳数. 1,若2b则a,c {b1,b,b1},有7 3个平稳数. 8,3=63若b9,则 a,c{8,9} ，有 22=4个平稳数 .综上可知，平稳数的个数是2+6+63+4=75个平稳数 .8、（2010 二试 4）一种密码锁的密码设置是在正n 边形A A A 的每个顶点处赋值0 和 1 两个数中的一个，1 2n同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？同，标有a 和b的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记，，，a b c使得标有 a 和 b 的边都是偶数条的方法数的 4 倍．设标有 a 的边有2i条，0i n，标有 b 的边有2j 条， 0 j n 2i．选取 2i 条边标记a的有C n2i 22种方法，在余下的边中取出 2 j 条边标记b的有C n2 j2i 种方法，其余的边标记 c ．由乘法原理，此时共有C n2 i C n2 j2 i种标记方法．对i ， j 求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为n n 2i2C n2i 2C n2 j2i．4①i 0j 0这里我们约定C001．n 2i2C n2 j2i 2n 2 i 1．当 n 为奇数时，n2i 0 ，此时②j0n n 2i n n2 2 22代入①式中，得4C n 2iC n 2 j 2i 4C n 2i 2n 2i 12C n 2 i 2n 2ii 0j 0i 0inn3nC n k 2n kC n k 2n k ( 1)k(2 1)n(2 1)n1．kk 0当 n 为偶数时，若 inna ，此时只有一种标记方，则②式仍然成立；若 i，则正 n 边形的所有边都标记22法．于是，当 n 为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为n n 2inn221224C n 2iC n 2 j 2i4 1C n 2i 2n 2i 12 4C n 2 i 2n 2i 13n 3 ．i 0j 0i 0i 0综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当 n 为奇数时有 3n 1种；当 n 为偶数时有 3n 3种．。

2010-2017高考数学全国卷分类汇编(解析几何)

HW 数学复习资料 2010-2017 新课标全国卷分类汇编（解析几何）解析几何2010-2017 新课标全国卷分类汇编（解析几何）1．（ 2017 课标全国Ⅰ，理 10）已知 F 为抛物线 C ： 24y x 的交点，过F 作两条互相垂直 l 1 ， l 2 ，直线 l 1 与 C 交于 A 、 B 两点，直线 l 2 与 C 交于 D ， E 两点， AB DE 的最小值为（） A ． 16 B ． 14 C ． 12D ． 10【答案】 A 【解析】设A B 倾斜角为．作 AK 1 垂直准线， AK 2 垂直 x 轴 AF cosGFAK（几何关系） 1易知 A KAF 1（抛物线特性）PPGP P2 2 ∴ AF cosP AF同理 PAF，1 cosP 2P2PBF， ∴22AB 1 cos1 cos sin又 DE 与 AB 垂直，即 DE 的倾斜角为 π 2DE2sin2P 2P 2π cos2，而24yx ，即 P 2 ．11ABDE 2P∴22sincos4 2 2 sin cos 2 2sin cos422sin cos1 4 42 sin 2162sin 2≥ 16 ，当π取等号，即 ABDE 最小值为 16 ，故选A42．（ 2017 课标全国Ⅰ，理 15）已知双曲线 C : 2 2x y 2 2a b，（ a 0 ， b 0 ）的右顶点为 A ，以 A 为圆心， b 为半径作圆 A ，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M ， N 两点，若 MAN 60 ，则C 的离心率为 _______．2 3【答案】3 【解析】如图，1HW 数学复习资料2010-2017 新课标全国卷分类汇编（解析几何）解析几何OA a ，AN AM b∵MAN 60 ，∴ 3AP b ，22 2 23 2 OP OA PA a b4∴tanAPOP32b32 2a b4又∵tanba ，∴3b22 23a b4ba，解得a2 3b2∴ e2b1 12a1 2 33 33．（2017课标全国Ⅰ，理20）（12 分）已知椭圆 C ：2 2x y2 2 1a ba b 0 ，四点P1 1，1 ，P2 0，1 ，3 3P ，， 41 P ，中恰有三点在椭圆 C 上．1 32 2（1）求C 的方程；（2）设直线l不经过P点且与 C 相交于 A 、B 两点，若直线P2 A与直线P2 B 的斜率的和为1，证明：l 过2定点．【解析】（1）根据椭圆对称性，必过P3 、P4 又P4 横坐标为1，椭圆必不过P，所以过P2 ，P3 ，P4 三点13P 0，1 ，P 1，代入椭圆方程得将2 3212b13 ，解得a24 ， 2 1b1 4 12 2a b∴椭圆C 的方程为：2x42 1y ．（2）①当斜率不存在时，设l : x m，A m，y ，B m，yA Ak k P A P B2 2 y 1 y 1 2A Am m m1得m 2 ，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l∶y kx b b 1 ，A x ，y ，B x ，y1 12 22HW 数学复习资料2010-2017 新课标全国卷分类汇编（解析几何）解析几何y kx b联立 2 2x 4y 4 0 ，整理得 2 2 21 4k x 8kbx 4b 4 08kb x x1 2 21 4k ，24b 4 x x1 2 21 4k，则k kP A P B2 2 y 1 y 11 2x x1 2x kx b x x kx b x2 1 2 1 2 1x x1 22 28kb 8k 8kb 8kb21 4k24b 421 4k8k b 14 b 1 b 1 1，又b 1 b 2k 1，此时64k ，存在k 使得0成立．∴直线l 的方程为y kx 2k 1当x 2 时，y 1，所以l 过定点 2 ， 1 ．2 2x y4．（2017课标全国Ⅱ，理9）若双曲线 C : 1(a 0，b 0) 的一条渐近线被圆2 2a b2 y2(x 2) 4所截得的弦长为 2 ，则C 的离心率为2 3A．2 B． 3 C． 2 D．3【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线2 2x y2 2 1 0, 0a ba b的渐近线方程为bx ay 0 ，圆心2,0 到渐近线距离为 2 2d 2 1 3 ，则点2,0 到直线b x a y 0 的距离为d 2b a 0 2b2 2a bc 3 ，即2 24(c a )2c3，整理可得2 4 2c a ，双曲线的离心率e2c2 4 2a．故选A．【考点】双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式 e ca；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c 的齐次式，2 2 2 结合 b ＝c －a2转化为a，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a 转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)．25．（2017课标全国Ⅱ，理16）已知F 是抛物线C : y 8x 的焦点，M 是C上一点，FM的延长线交y 轴于点N . 若M 为FN 的中点，则FN . 【答案】6【解析】3HW 数学复习资料2010-2017 新课标全国卷分类汇编（解析几何）解析几何试题分析：如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F' ，作MB l 与点B ，NA l 与点 A ，由抛物线的解析式可得准线方程为x 2 ，则A N 2 , F F ' 4，在直角梯形ANFF' 中，中位线AN FF 'BM 3，由抛物线的定义有：2MF MB 3，结合题意，有MN MF 3，故FN FM NM 3 3 6．【考点】抛物线的定义、梯形中位线在解析几何中的应用．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．2x2 6．（2017课标全国Ⅱ，理20）（12 分）设O为坐标原点，动点M 在椭圆 1C : y 上，2过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P满足NP 2NM .(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x 3上，且OP PQ 1. 证明：过点P且垂直于OQ 的直线l 过 C 的左焦点 F .2 y2 2 x解：（1）设P( x，y) ，则) ，所以点P的轨迹方程M (x，y ，将点M 代入C中得 12 2 22 y2为x 2.（2）由题可知 F ( 1，0) ，设Q(3，t)，P( m，n)，则OQ ( 3，t)，PF ( 1 m，n)，OP (m，n)，PQ ( 3 m，t n).由OP OQ 1得3m 1 ，由（1）2 tn n2 mm2 n2 ，则有3 3m tn 0，所以OQ PF 3 3m tn 0，即过点有 2P且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .7．（2017课标全国Ⅲ，理1）已知集合A= 2 2(x, y│) x y 1 ，B= (x, y│)y x ，则A B 中元素的个数为A．3 B．2 C．1 D．0【答案】 B4HW 数学复习资料2010-2017 新课标全国卷分类汇编（解析几何）解析几何【解析】A表示圆 2 2x y 1 上所有点的集合， B 表示直线y x 上所有点的集合，故A B 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B 元素的个数为2，故选B.8．（2017课标全国Ⅲ，理5）已知双曲线 C2 2x y2 2 1a b(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为5y x ,2且与椭圆2 2x y12 31 有公共焦点，则 C 的方程为A.2 2x y8 101 B.2 2x y4 51 C.2 2x y5 41 D.2 2x y4 31【答案】 B5 b 5【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y x，则①2 a 2 2 2x y2 2 2又∵椭圆 a b c 9②1与双曲线有公共焦点，易知 c 3，则12 32 2x y由①②解得a 2,b 5 ，则双曲线 C 的方程为 14 5，故选B.9．（2017课标全国Ⅲ，理10）已知椭圆C：2 2x y，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，2 2 1a b且以线段A1A2 为直径的圆与直线bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为A.63B.33C.23D.13【答案】 A【解析】∵以A1 A2 为直径为圆与直线bx ay 2ab 0 相切，∴圆心到直线距离 d 等于半径，∴2abd a2 2a b又∵a 0,b 0 ，则上式可化简为 2 3 2a b∵ 2 2 2b ac ，可得 2 3 2 2a a c ，即22ca23∴ e ca63，故选A10．（2017课标全国Ⅲ，理12）在矩形ABCD 中，AB 1 ，AD 2 ，动点P 在以点 C 为圆心且与BD 相切5HW 数学复习资料 2010-2017 新课标全国卷分类汇编（解析几何）解析几何的圆上．若A P AB AD ，则的最大值为（） A ．3 B ． 2 2C ． 5D ．2【答案】 A【解析】由题意，画出右图．设 BD 与 C 切于点 E ，连接C E ．以 A 为原点， AD 为 x 轴正半轴，AB 为 y 轴正半轴建立直角坐标系，则C 点坐标为 (2,1) ． ∵ | CD | 1， | BC | 2 ． ∴ BD12225 ．∵ BD 切 C 于点 E ．y∴ CE ⊥ BD ．P g∴ CE 是 Rt △BCD 中斜边B D 上的高．1 2| BC | | CD | 2222S△ BCD| EC |5| BD | |BD |55即 C 的半径为 2 5 5．P C ∵在上．CBEA O D x( )∴ P 点的轨迹方程为2 24 (x 2)(y 1)5．设 P 点坐标 (x 0 , y 0 ) ，可以设出 P 点坐标满足的参数方程如下：x225 cos 5y215 sin 5而 AP (x 0 , y 0 ) ， AB (0,1)， AD (2,0) ． ∵ APAB AD (0,1) (2,0) (2 , )∴21 5y15 sin ．x1cos ，525两式相加得：251 5 sin1cos5 52 55222 ( ) ( ) sin( )5 5 2 sin( ) ≤ 3(其中sin55，cos2 55)当且仅当π22kπ，k Z时，取得最大值3．6HW 数学复习资料2010-2017 新课标全国卷分类汇编（解析几何）解析几何11．（2017课标全国Ⅲ，理20）（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l 交C 与A,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P（4，-2），求直线l 与圆M 的方程.解：（1）设A x ,y,B x , y ,l : x my1 12 2 2由x my2y 2x2可得 2 y 2my 4 0,则y y41 2又22 2y yy y1 2 1 2x1 = ,x2= ,故x1 x2 = =42 2 4因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y y1 2x x1 2-4= =-14所以OA⊥OB故坐标原点O 在圆M 上.（2）由（1）可得 2y1+y2 =2m,x1 +x2=m y1+y2 +4=2m 4故圆心M 的坐标为m m ，圆M 的半径2 +2，2 +2，22 2 2 r m m由于圆M 过点P（4，-2），因此AP BP 0 ,故x x y y1 42 4 1 2 2 2 0 即x x x x y y y y1 2 4 1+ 2 1 2 2 1 2 20 0由（1）可得y1 y2 =-4 ，x1x2=4 ，所以 22m m 1 0，解得1 m 1或m .2当m=1 时，直线l 的方程为x-y-2=0，圆心M 的坐标为（3,1），圆M 的半径为10 ，圆M 的方程为 2 2x 3 y 1 10当1m 时，直线l 的方程为2x y 4 0，圆心M 的坐标为29 1，-4 2，圆M 的半径为854，圆M 的方程为2 29 1 85+ +x y4 2 162 2x y12.（2016课标全国Ⅰ，理5）已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的2 2m n 3m n距离为4，则n 的取值范围是7HW 数学复习资料 2010-2017 新课标全国卷分类汇编（解析几何）解析几何（A ） ( 1,3 )（B ） ( 1, 3)（C ） (0 ,3)（D ） (0, 3)【解析】：22xy221 mn 3m n表示双曲线，则 2 3 2mn mn，∴2 2m n 3m由双曲线性质知： 223 24 2cm nm n m ，其中 c 是半焦距，∴焦距 2c 2 2 m 4 ，解得 m 1∴ 1 n 3，故选A ．13（. 2016 课标全国Ⅰ，理 10）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A,B 两点，交 C 的准线于 D ,E两点，已知 AB 4 2 , DE 2 5 ，则 C 的焦点到准线的距离为（A ）2 （B ）4（C ）6（D ）8【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为 2y px p 0 ，设圆的方程为 2 222x y r ，如图：设 p A x 0,2 2 ， D, 5 ，点 2A x 0,2 2 在抛物线 2 2 y px 上，∴ p 8 2px ⋯ ⋯ ①；点 D, 5 在圆22 2 2x y r 上，2pF∴2A x 0 ,2 2在圆r ⋯ ⋯ ②；点522 2 2x y r上，∴22x r ⋯ ⋯ ③；联立①②③解得： p4 ， 0 8焦点到准线的距离为 p 4 ．故选B ．13.（2016 课标全国Ⅰ，理 20）（本小题满分 12 分）2yx 2设圆 x215 0的圆心为 A ，直线 l 过点 B(1,0) 且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C, D两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E ．（Ⅰ）证明E AEB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点 E 的轨迹为曲线 C 1 ，直线 l 交 C 1于 M , N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点，求四边形M PNQ 面积的取值范围． 4 3【解析】：⑴圆 A 整理为 2 2xy，A 坐标 1,0 ，如图，1162CQ BE ∥AC ，则 ∠C ∠EBD ，由 ACAD ,则∠ D ∠C ，1Ax ∠∠，则EB ED ，AEEB AE ED AD 4 | AB |EBD D根据椭圆定义为一个椭圆，方程为2 2x y4 31，( y 0 )；4 2 2 4BE123D48HW 数学复习资料2010-2017 新课标全国卷分类汇编（解析几何）解析几何⑵2 2x yC1 : 1；设l : x my 1 ，因为PQ⊥l ，设PQ : y m x 1 ，4 3P 432 2 236m 36 3m 4 12 m 12 22| MN | 1 m | y y | 1 mM N2 23m 4 3m 41Nx my 1A2 23m 4 y 6my 9 0 则4 2 2 4B，1联立l与椭圆C1 ： 2 2x y4 31Q M2圆心A到PQ 距离d| m 1 1 | | 2m |2 21 m 1 m，34所以 2 2| PQ | 2 | AQ | d 2 162 24m 4 3m 42 21 m 1 m，2 2 212 1m m m1 1 4 3 4 24 1 1S | MN | | PQ | 24 12,8 3 MPNQ2 2 212 2 3m 4 1 m 3m 4 32m 114.（2016课标全国Ⅱ，理4）圆 2 2 2 8 13 0x y x y 的圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，则a= （）（A） 43 （B） 34 （C）3 （D）215.（2016课标全国Ⅱ，理11）已知F1, F2 是双曲线E2 2x y: 12 2的左，右焦点，点M 在E 上，MF1 与xa b轴垂直，sin1MF F ,则E 的离心率为（）2 13（A） 2 （B）32（C） 3 （D）29HW 数学复习资料2010-2017 新课标全国卷分类汇编（解析几何）解析几何16.（2016课标全国Ⅱ，理20）（本小题满分12 分）已知椭圆E:2 2x yt 31的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k 0) 的直线交E 于A,M 两点，点N 在 E 上，MA NA．（Ⅰ）当t 4,| AM | | AN | 时，求AMN 的面积；（Ⅱ）当2 AM AN 时，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.试题解析：（I ）设，则由题意知，当时，的方程为，.10HW 数学复习资料2010-2017 新课标全国卷分类汇编（解析几何）解析几何由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为. 因此直线的方程为.将代入得. 解得或，所以.因此的面积.（II ）由题意，，.将直线的方程代入得.由得，故.由题设，直线的方程为，故同理可得，由得，即.当时上式不成立，因此. 等价于，即. 由此得，或，解得.因此的取值范围是.考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.17.（2016课标全国Ⅲ，理11）已知O为坐标原点，F 是椭圆C ：2 2x y2 2 1(a b 0)a b 的左焦点，A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，,与y 轴交于点 E .若直线BM 经过OE 的中点，则 C 的离心率为（）1 12 3（A）3（B）2 （C）3 （D）4【答案】A11HW 数学复习资料2010-2017 新课标全国卷分类汇编（解析几何）解析几何考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得a,c的值，进而求得 e 的b值；（2）建立a, b,c 的齐次等式，求得置，求出e．a或转化为关于e的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位19（. 2016课标全国Ⅲ，理16）已知直线l ：mx y 3m 3 0 错误！未找到引用源。

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2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第08讲：解析几何1、（2009一试2）已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为．【答案】[]36，【解析】设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，得d 36a ≤≤．2、（2009一试5）椭圆22221x y a b+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为．【答案】22222a b a b+【解析】设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有222221cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ②①+②得22221111a b OP OQ+=+．于是当OP OQ =OP OQ 达到最小值22222a b a b +．3、（2010一试3）双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是. 【答案】98004、（2011一试7）直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为．【答案】)2,1(-或)6,9(-即0)(24)(21212212214=⋅++-+⋅++-y y t y y t x x t x x t ，即03161424=---t t t ，即0)14)(34(22=--++t t t t ．显然0142≠--t t ，否则01222=-⋅-t t ，则点C 在直线012=--y x 上，从而点C 与点A 或点B 重合．所以0342=++t t ，解得3,121-=-=t t ．故所求点C 的坐标为)2,1(-或)6,9(-．5、（2012一试4）抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是. 【答案】1【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()2AF BF AF BF +≥+-22().2AF BF MN +== 当且仅当AF BF =时等号成立.故MN AB的最大值为1.6、（2013一试2）在平面直角坐标系xOy 中，点A B 、在抛物线24y x =上，满足4OA OB ⋅=-，F 是抛物线的焦点.则OFA OFB S s ∆∆⋅=. 【答案】2.【解析】点F 坐标为()1,0.设()11,A x y ，()22,B x y ，则2114y x =，2224y x =，故()2121212121416OA OB x x y y y y y y -=⋅=+=+，即()21218016y y +=，故128y y =-.212121112224OFA OFB S S OF y OF y OF y y ∆∆⎛⎫⎛⎫⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.7、（2013一试7）若实数,x y 满足x -x 的取值范围是. 【答案】{}[]04,20.如图所示，在aOb 平面内，点(),a b 的轨迹是以()1,2为圆心，,0a b ≥的部分，即点O 与弧ACB 的并集.因此{}02,25⎡⎤⎣⎦，从而{}[]2204,20x a b =+∈.学%科网8、（2014一试6）设椭圆Γ的两个焦点是21,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点Q P ,，若||||212F F PF =，且||4||311QF PF =，则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为__________.【解析】11||4,||3,PF QF ==记椭圆T 的长轴，短轴的长度分别为2a,2b,焦距为212||||2,F F c ==2c,则PF 且由椭圆的定义知，12122||||||||2 4.a QF QF PF c =+=+=+PF 2121||||||||2 1.QF PF QF c =+-=+于是PF11||2||5H PF F H QH ==设为线段的中点，则，，21.F H PF ⊥且有由勾股定理知，2222222121||-||||||||QF QH F H F F F H ==-222221)5(2)2,5,7c c c a +-=-==即（解得b T =因此椭圆的短轴与长轴的比值为b a =9、（2016一试7）双曲线C 的方程为1322=-y x ，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作直线与双曲线C 的右半支交于点P ，Q ，使得PQ F 1∠=90°，则PQ F 1∆的内切圆半径是 . 【答案】17- 【解析】10、（2017一试3）在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的方程为221910x y +=，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为.【答案】2【解析】易知(3,0),F(0,1).P 3cos ),[0,],2A πθθθ∈设的坐标是（则113313cos sin )).2222=OAPF OAF OFP S S S OAPF θθθθθϕϕθ∆∆=+=⋅+⋅⋅=+=+=其中当11、（2009一试9）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【解析】由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k x kmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834kmx x k+=-+ ()()()222184344480km k m ∆=-+-> ①由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k x kmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223kmx x k +=- ()()()2222243120km k m ∆=-+-+> ②因为0AC BD +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得2282343km kmk k-=+-．所以20km =或2241343k k-=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得m -<．因m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得k <k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．12、（2010一试10）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值. 【解析】解法一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则 2,22210210y y y x x x +==+=， 01221221212123666y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=.线段AB 的垂直平分线的方程是)2(30--=-x y y y . （1）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,32320<<-y .AB=]4))[(91(2122120yyyyy-++=))122(44)(91(2220--+=yyy)12)(9(3222yy-+= .定点)0,5(C到线段AB的距离2229)0()25(yyCMh+=-+-==.2229)12)(9(3121yyyhABSABC+⋅-+=⋅=∆)9)(224)(9(2131222yyy+-+=32220)392249(2131yyy++-++≤7314= .当且仅当222249yy-=+，即y=A B或66((33A B-时等号成立.所以，ABC∆面积的最大值为7314.2222122112))656665(21(tt tt ttSABC--+=∆221221)5()(23+-=t ttt)5)(5)(24(23212121++-=t tt tt t3)314(23≤,所以7314≤∆ABC S , 当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ，即 ,6571-=t 6572+-=t,66((33A B +或A B -时等号成立.所以，ABC ∆面积的最大值是7314.13、（2011一试11）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．【解析】（1）设直线l ：m x y +=31，),(),,(2211y x B y x A ．将m x y +=31代入143622=+y x 中，化简整理得03696222=-++m mx x ．上式中，分子)23)(231()23)(231(1221--++--+=x m x x m x)2(26))(22(322121--+-+=m x x m x x )2(26)3)(22(2369322----+-⋅=m m m m 0122626312322=+-+--=m m m m ，从而，0=+P B P A k k ．又P 在直线l 的左上方，因此，APB ∠的角平分线是平行于y 轴的直线，所以△PAB 的内切圆的圆心在直线23=x 上．（2）若︒=∠60APB 时，结合（1）的结论可知3,3-==P B P A k k ．直线PA 的方程为：)23(32-=-x y ，代入143622=+y x 中，消去y 得0)3313(18)331(69142=-+-+x x ．它的两根分别是1x 和23，所以14)3313(18231-=⋅x ，即14)3313(231-=x ．所以7)133(23|23|)3(1||12+=-⋅+=x PA ．同理可求得7)133(23||-=PB ．1||||sin 60211)1)277249PAB S PA PB ∆=⋅⋅⋅︒=⋅⋅⋅=所以．14、（2012一试11）如图5，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为4，且6OB OD ==．（１）求证：||||OA OC ⋅为定值；（２）当点A 在半圆22(2)4x y -+=（24x ≤≤）上运动时，求点C 的轨迹．(2)设(,),(22cos ,2sin ),C x y A αα+其中(),22XMA ππαα=∠-≤≤则2XOC α∠=. 因为2222(22cos )(2sin )8(1cos )16cos,2OA αααα=++=+=所以4cos2OA α=由(1)的结论得cos5,2OC α=所以cos5.2x OC α==从而sin5tan[5,5].22y OC αα==∈-故点C 的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为(5,5),(5,5)A B - 学科/网15、（2013一试11）（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，12A A 、分别为椭圆的左、右顶点，12F F 、分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点.若平面中两个点Q R 、满足11QA PA ⊥，22QA PA ⊥,11RF PF ⊥,22RF PF ⊥，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明.【解析】令c ，则()1,0A a -，()2,0A a ，()1,0F c -，()2,0F c .设()00,P x y ，()11,Q x y ，()22,R x y ，其中2200221x y a b+=，00y ≠.由11QA PA ⊥，22QA PA ⊥可知()()1110100AQ A P x a x a y y ⋅=+++=，○1 ()()2210100A Q A P x a x a y y ⋅=--+=○2根据11RF PF ⊥,22RF PF ⊥，同理可得22000,x c R x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因此2222200000x a x c b QR y y y --=-=，由于(]00,y b ∈，故QR b ≥（其中等号成立的充分必要条件是0y b =，即点P 为()0,b ±）.16、（2014一试9）（本题满分16分）平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上一个动点，满足条件：过P 可作抛物线x y 42=的两条切线，两切点连线P l 与PO 垂直.设直线P l 与PO ，x 轴的交点分别为R Q ,，（1）证明：R 是一个顶点. （2）求||||QR PQ 的最小值. 【解析】(1)设P 点的坐标为(a,b)(0)b ≠,易知0a ≠,记两切点A B ，的坐标为1122,),,),x y x y （（则PA PB ，的方程分别为11222()12()2yy x x yy x x =+=+（）（）而点P 的坐标为(a,b)同时满足（1）（2），故A ，B 的坐标均满足方程by=2(x+a)(3)，故（3）就是直线AB 的方程. 直线PO 与AB 的斜率分别为22=-1,a=-2b b PO AB a b a b⊥与，由知，故从而（3）即为2y=(2),x b-故AB 与x 轴的交点R 是定点（2,0）.(2)因为a=-2，故直线PO 的斜率12.24b b PR k =-=-k ，直线的斜率设=OPR α∠，则α为锐角，且212121()()1||1824||||||tan 2||2||24b bk k PQ b b b QR k k b b α+--++====≥=--+||||PQ b QR =±当时，的最小值为17、（2015一试11）(本题满分20分)在平面直角坐标系xOy 中,12,F F 分别是椭圆2212x y +=的左,右焦点,设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B ,焦点2F 到直线l 的距离为d .如果直线11,,AF l BF 的斜率成等差数列,求d 的取值范围.由于点A 、B 不重合，且直线l 的斜率存在，故12,x x 是方程（1）的两个不同实根，因此有（1）的判别式 22222=4)4(21)(22)8(21)0km k m k m ∆-+-=+->（，即2221.(2)k m +>由直线11AF l BF 、、的斜率121211y yk x x ++、、依次成等差数列， 12112212+2,,11y yk y kx m y kx m x x ==+=+++又，所以 122112)(1))(1)2(1)(1).kx m x kx m x k x x +++++=++（（化简并整理得12)(2)0m k x x -++=（假如m k =，则直线L 的方程为y=kx+k,即l 经过点11,0F （-），不符合条件. 因此必有122=0x x ++，故由方程（1）及韦达定理知，12241()2,.(3)212km x x m k k k=-+==++即由22212321=2k m k k +>+（）、（）知，（）化简得2214k k >，这等价于||2k >反之当m,k 满足（3及）||k >l 必不经过点1F （否则将导致,m k =与（3）矛盾），注意到||k >，令t =(1t ∈上式可改写为21313()().(4)222t t t t ⋅+=⋅+d=考虑到函数13()()2f t t t=⋅+在[1上单调递减，故由（4）得(1),f d f <<即d ∈ 18、（2016一试11）（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 是x 轴正半轴上的一个动点.以F 为焦点，O 为顶点作抛物线C .设P 是第一象限内C 上的一点，Q 是x 轴负半轴上一点，使得PQ 为C 的切线，且｜PQ ｜=2.圆21,C C 均与直线OP 相切于点P ，且均与轴相切.求点F 的坐标，使圆1C 与2C 的面积之和取到最小值.【解析】设抛物线C 的方程是)0(22>=p px y ，点Q 的坐标为)0)(0,(>-a a ，并设21,C C 的圆心分别为),(),,(222111y x O y x O .设直线PQ 的方程为)0(>-=m a my x ，将其与C 的方程联立，消去x 可知0222=+-pa pmy y . 因为PQ 与C 相切于点P ，所以上述方程的判别式为024422=∙-=∆pa m p ，解得pa m 2=.进而可知，点P 的坐标为)2,(),(pa a y x P P =.于是 )2(2221|0|1||2a p a pa pa y m PQ P +=∙+=-+=.由｜PQ ｜=2可得4242=+pa a ①结合①，就有2221342a pa a y y -=+=②由21,,O P O 共线，可得212121212122y y N O M O PO P O y y y y y pa pay P P ===--=--. 化简得212122y y pa y y =+③ 令2221y y T +=，则圆21,C C 的面积之和为T π.根据题意，仅需考虑T 取到最小值的情况. 根据②、③可知，212221212212242)(y y y y pay y y y T -=-+= 22222221)2)(34()34(2)34(444aa a a a a ---=----=.学科*网作代换21a t -=，由于024442>=-=pa a t ，所以0>t .于是4324132413)1)(13(+=+∙≥++=++=tt t t t t t T . 上式等号成立当且仅当33=t ，此时3111-=-=t a ，因此结合①得， 331333311122-=-=-=-=t t a a p从而F 的坐标为)0,331()0,2(-=p .。

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