将军饮马1
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• 1、如图，在直线异侧两个点 A 和 B，在直线上求 一点 P。使得PA+PB 最短（题眼）。
一般做法：作点 A（B）关于 直线的对称点， 连接 A’B，A’B 与直线交 点即为所求点。A’B即为最 短距离。
Fra Baidu bibliotek
理由：A’为 A 的对称点，所以无论 P 在 直线任何位置都能得到AP=A’P。所以 PA+PB=PA’+PB。这样问题就化成了 求 A’ 到 B 的最短距离，直接相连就可以 了。
• 3、如图，在∠OAB 内有两点 P、Q，在 OA和 OB 各 找一个点 M、N，使得四边形PMNQ 周长最短（题 眼）。
一般做法：题目中 PQ 距离 固定。所以只是求PM+MN+QN 的最短距离。最终P’Q’+PQ， 即为所求最短周长。M、N 即 为所求的点。
理由：作完对称后，由 于 P’M=PM，Q’N=QN，所以 PM+MN+QN=P’M+MN+Q’N。所 以就化成了求 P’到 Q’的 最短距离，所以相连即可。
常见问题
1. 怎么对称，作谁的对称？ 首先明白几个概念，动点、定点、对称点。动点一般就是 题目中的所求点，即那个不定的点。定点即为题目中固定 的点。对称的点，作图所得的点，需要连线的点。怎么对 称。简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。 或者说只有定点才可以去作对称的。 那么作谁的对称点？首先要明确关于对称的对象肯定是一 条线，而不是一个点。那么是哪一条线？一般而言都是动 点所在直线。
4. 对称的点可以随便选吗？ 理论上来说，只要是定点，可以选择来对称。但事实上， 为了方便解题，一般对称点是有所选择的。选择原则如下： 对称点方便确定、方便计算长度。 5. 将军饮马一定是求最短距离吗？ 肯定不是。或者说求最短距离是将军饮马中的最简单一类 题目。根据将军饮马的基本模型可以拓展出很多题型。根 本原因是因为在作轴对称过程中不但是作了点的对称，还 作了边长和角度的对称！或者说边长和角度的对称才是最 关键。
2. 对称完以后和谁连接？ 接下来对称完以后和谁连接？一句话：和另外一个顶点相 连。绝对不能和一个动点相连。明确一个概念：定点的对 称点也是一个定点。例如模型二和模型三。 3. 所求点怎么确定？ 最后所求点怎么确定？首先一定要明白，所求点最后反应 在图上一定是个交点。实际就是我们所画直线和已知直线 的交点。
将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题 （轴对称是工具，最短距离是题眼）
所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法 就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味 着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出 现线段 a+b 这样的条件或者问题。一旦出现 可以快速联想到将军问题，然后利用轴对称解 题。
将军饮马最常见的三大模型
例：如图，M为矩形ABCD对角线BD上一动点， N为边BC上的动点，已知AB=6,BC=8,求 MN+MC的最值。
解析：要求MN+MC的最小值，那么这三个点，谁是 定点呢，如何构造对称点？
由于点C’与点C是关于BD轴对 称，所以MC=MC’,也就是说 要求MN+MC的最小值，只要求 MC’+MN的最小值，假设N点 为BC上定点，那么可以根据两 点之间线段最短，可知，当 C’,M,N三点在同一条直线上时， 其值最小，现在点N为BC上的动 点，又如何确定其C’M+MN的 最小值呢，不错根据垂线段最短， 可知C’N⊥BC时，其值最小。
• 2、如图，在∠OAB 内有一点 P，在 OA 和 OB 各找 一个点 M、N，使得△PMN 周长最短（题眼）。
一般做法：作点 P 关于 OA 和 OB 的对称点P1、P2。连接 P1、 P2。 则P1P2与 OA、OB的交点即为所求 点。P1P2即为最短周长。
理由：对称过后，PM=P1M，PN=P2N。所以 PM+PN+MN=P1M+P2N+MN。所以问题就化成了 求 P1到 P2的最短距离，直接相连就可以 了。
“将军饮马”模型
平面几何中涉及最值问题的相关定理或公理有： ① 线段公理：两点之间，线段最短. 并由此 得到三角形三边关系； ② 垂线段的性质：从直线外一点到这条直线 上各点所连的线段中,垂线段最短. 在一些“线段的最值”的问题中，通过翻 折运动，把一些线段进行转化即可应用 ①、 ② 的基本图形，并求得最值，这类问题一般 被称之为“将军饮马”问题。
一般做法：作点 A（B）关于 直线的对称点， 连接 A’B，A’B 与直线交 点即为所求点。A’B即为最 短距离。
Fra Baidu bibliotek
理由：A’为 A 的对称点，所以无论 P 在 直线任何位置都能得到AP=A’P。所以 PA+PB=PA’+PB。这样问题就化成了 求 A’ 到 B 的最短距离，直接相连就可以 了。
• 3、如图，在∠OAB 内有两点 P、Q，在 OA和 OB 各 找一个点 M、N，使得四边形PMNQ 周长最短（题 眼）。
一般做法：题目中 PQ 距离 固定。所以只是求PM+MN+QN 的最短距离。最终P’Q’+PQ， 即为所求最短周长。M、N 即 为所求的点。
理由：作完对称后，由 于 P’M=PM，Q’N=QN，所以 PM+MN+QN=P’M+MN+Q’N。所 以就化成了求 P’到 Q’的 最短距离，所以相连即可。
常见问题
1. 怎么对称，作谁的对称？ 首先明白几个概念，动点、定点、对称点。动点一般就是 题目中的所求点，即那个不定的点。定点即为题目中固定 的点。对称的点，作图所得的点，需要连线的点。怎么对 称。简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。 或者说只有定点才可以去作对称的。 那么作谁的对称点？首先要明确关于对称的对象肯定是一 条线，而不是一个点。那么是哪一条线？一般而言都是动 点所在直线。
4. 对称的点可以随便选吗？ 理论上来说，只要是定点，可以选择来对称。但事实上， 为了方便解题，一般对称点是有所选择的。选择原则如下： 对称点方便确定、方便计算长度。 5. 将军饮马一定是求最短距离吗？ 肯定不是。或者说求最短距离是将军饮马中的最简单一类 题目。根据将军饮马的基本模型可以拓展出很多题型。根 本原因是因为在作轴对称过程中不但是作了点的对称，还 作了边长和角度的对称！或者说边长和角度的对称才是最 关键。
2. 对称完以后和谁连接？ 接下来对称完以后和谁连接？一句话：和另外一个顶点相 连。绝对不能和一个动点相连。明确一个概念：定点的对 称点也是一个定点。例如模型二和模型三。 3. 所求点怎么确定？ 最后所求点怎么确定？首先一定要明白，所求点最后反应 在图上一定是个交点。实际就是我们所画直线和已知直线 的交点。
将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题 （轴对称是工具，最短距离是题眼）
所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法 就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味 着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出 现线段 a+b 这样的条件或者问题。一旦出现 可以快速联想到将军问题，然后利用轴对称解 题。
将军饮马最常见的三大模型
例：如图，M为矩形ABCD对角线BD上一动点， N为边BC上的动点，已知AB=6,BC=8,求 MN+MC的最值。
解析：要求MN+MC的最小值，那么这三个点，谁是 定点呢，如何构造对称点？
由于点C’与点C是关于BD轴对 称，所以MC=MC’,也就是说 要求MN+MC的最小值，只要求 MC’+MN的最小值，假设N点 为BC上定点，那么可以根据两 点之间线段最短，可知，当 C’,M,N三点在同一条直线上时， 其值最小，现在点N为BC上的动 点，又如何确定其C’M+MN的 最小值呢，不错根据垂线段最短， 可知C’N⊥BC时，其值最小。
• 2、如图，在∠OAB 内有一点 P，在 OA 和 OB 各找 一个点 M、N，使得△PMN 周长最短（题眼）。
一般做法：作点 P 关于 OA 和 OB 的对称点P1、P2。连接 P1、 P2。 则P1P2与 OA、OB的交点即为所求 点。P1P2即为最短周长。
理由：对称过后，PM=P1M，PN=P2N。所以 PM+PN+MN=P1M+P2N+MN。所以问题就化成了 求 P1到 P2的最短距离，直接相连就可以 了。
“将军饮马”模型
平面几何中涉及最值问题的相关定理或公理有： ① 线段公理：两点之间，线段最短. 并由此 得到三角形三边关系； ② 垂线段的性质：从直线外一点到这条直线 上各点所连的线段中,垂线段最短. 在一些“线段的最值”的问题中，通过翻 折运动，把一些线段进行转化即可应用 ①、 ② 的基本图形，并求得最值，这类问题一般 被称之为“将军饮马”问题。