将军饮马强方法

将军饮马模型
一、背景知识：
【传说】
早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．
【问题原型】将军饮马造桥选址
【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；
三角形两边三边关系；轴对称；平移；
【解题思路】找对称点，实现折转直
二、将军饮马问题常见模型
1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小
例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB 最小.
作法：连接AB，与直线l的交点Q，
Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，
PA+PB最小，且最小值等于AB.
原理：两点之间线段最短。

证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，
在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ重合时取﹦)
例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小.
关键：找对称点
作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC.
原理：两点之间，线段最短
证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，
在⊿PAC中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ重合时取﹦)
2.两动一定型
例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．
作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．
原理：两点之间，线段最短
例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．
作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’ B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．
原理：两点之间，线段最短
3.两定两动型最值
例5：已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.
提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移
作法一：将点A向右平移长度d得到点A’，作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移长度d，得到点M。

作法二：作点A关于直线l的对称点A1，将点A1向右平移长度d得到点A2，连接A2 B，交直线l于点Q，将点Q向左平移长度d，得到点Q。

原理：两点之间，线段最短，最小值为A’’B+MN
例6：（造桥选址）将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为30米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？
转化数学问题：直线l1∥l2，在直线l1上找一个点C，直线l2上找一个点D，使得CD⊥l2,且AC＋BD＋CD最短．
作法：将点A沿CD方向向下平移CD长度d至点A’，连接A’B，交l2于点D，过点D作DC⊥l2于点C，连接AC．则桥CD即为所求．此时最小值为A’B+CD
原理：两点之间，线段最短，
4.垂线段最短型
例7：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC 最短．
原理：垂线段最短
点A是定点，OM，ON是定线，
点B、点C是OM、ON上要找的点，是动点．
作法：作点A关于OM的对称点A’，过点A’作A’C⊥ON，
交OM于点B，B、C即为所求。

例8：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之差最小，即PA-PB 最小.
作法：连接AB，作AB的中垂线与l的交点，即为所求点P
此时|PA-PB |=0
原理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
例9：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B距离之差最大，即|PA-PB|最大
作法：延长BA交l于点C，点C即为所求，
即点B、A、C三点共线时，最大值为AB的长度。

原理：三角形任意两边之差小于第三边
例10：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB|最大
作法：作点B关于l的对称点B，连接AB，
交交l于点P即为所求，最大值为AB的长度。

原理：三角形任意两边之差小于第三边
典型例题
1．（三角形）如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE = 2，求EM +EC 的最小值
【分析解答】点C 关于直线AD 的对称点是点B ，连接BE ，交AD 于点M ，则ME +MD 最小，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，
则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = BC 2 - CH 2 = 62 - 32 = 3 3
在直角△BHE 中，BE = BH 2 + HE 2 =
(33)2 + 12 = 27
2. （正方形）如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，且 DM ＝2，N 是 AC 上的一动点，DN ＋MN 的 最小值为 。

【分析解答】
即在直线 A C 上求一点 N ，使 D N +MN 最小
故作点 D 关于 A C 的对称点 B ，连接 B M ，
交 A C 于点 N 。

则 D N ＋ＭＮ＝BN ＋ＭＮ＝ＢＭ
线段ＢＭ的长就是 D N ＋ＭＮ的最小值
在直角△ＢＣＭ中，ＣＭ＝６，ＢＣ＝８，
则ＢＭ＝10
故 D N ＋ＭＮ的最小值是10
3.（二次函数）如图，在直角坐标系中，A ，B ，C 的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过 A ，B ， C 三点的抛物线的对称轴为直线 l ，D 为直线 l 上的一个动点，
(1)求抛物线的解析式；
(2)求当 AD +CD 最小时点 D 的坐标；
【分析解答】 (2)连接 BC ，交直线 l 于点 D ，则 DA +DC = DB +DC = BC ，BC 的长就是 AD +DC 的最小值，BC ：y = -x + 3则直线 BC 与直线 x = 1 的交点 D (1，2)
D B C M
E H M D A C
B E
4.（圆）已知⊙O 的直径CD为4，∠AOD 的度数为60°，点B是圆弧AD的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP 的值最小，并求BP+AP 的最小值．
【分析解答】
即是在直线C D 上作一点P，使P A+PB 的值最小作点A关于C D 的对称点A'，连接A'B，交CD 于点P，则A'B的长就是P A+PB的最小值连接O A'，OB，则∠A'OB=90°，OA' = OB = 4，根4
据勾股定理，A'B = 2。