将军饮马强方法

将军饮马模型

一、背景知识：

【传说】

早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．

【问题原型】将军饮马造桥选址

【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；

三角形两边三边关系；轴对称；平移；

【解题思路】找对称点，实现折转直

二、将军饮马问题常见模型

1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小

例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB 最小.

作法：连接AB，与直线l的交点Q，

Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，

PA+PB最小，且最小值等于AB.

原理：两点之间线段最短。

证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，

在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ重合时取﹦)

例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小.

关键：找对称点

作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC.

原理：两点之间，线段最短

证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，

在⊿PAC中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ重合时取﹦)

2.两动一定型

例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．

作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．

原理：两点之间，线段最短

例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．

作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’ B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．

原理：两点之间，线段最短

3.两定两动型最值

例5：已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.

提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移

作法一：将点A向右平移长度d得到点A’，作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移长度d，得到点M。

作法二：作点A关于直线l的对称点A1，将点A1向右平移长度d得到点A2，连接A2 B，交直线l于点Q，将点Q向左平移长度d，得到点Q。

原理：两点之间，线段最短，最小值为A’’B+MN

例6：（造桥选址）将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为30米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？

转化数学问题：直线l1∥l2，在直线l1上找一个点C，直线l2上找一个点D，使得CD⊥l2,且AC＋BD＋CD最短．

作法：将点A沿CD方向向下平移CD长度d至点A’，连接A’B，交l2于点D，过点D作DC⊥l2于点C，连接AC．则桥CD即为所求．此时最小值为A’B+CD

原理：两点之间，线段最短，

4.垂线段最短型

例7：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC 最短．

原理：垂线段最短

点A是定点，OM，ON是定线，

点B、点C是OM、ON上要找的点，是动点．

作法：作点A关于OM的对称点A’，过点A’作A’C⊥ON，

交OM于点B，B、C即为所求。

例8：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之差最小，即PA-PB 最小.

作法：连接AB，作AB的中垂线与l的交点，即为所求点P

此时|PA-PB |=0

原理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

例9：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B距离之差最大，即|PA-PB|最大

作法：延长BA交l于点C，点C即为所求，

即点B、A、C三点共线时，最大值为AB的长度。

原理：三角形任意两边之差小于第三边

例10：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB|最大

作法：作点B关于l的对称点B，连接AB，

交交l于点P即为所求，最大值为AB的长度。

原理：三角形任意两边之差小于第三边

典型例题

1．（三角形）如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE = 2，求EM +EC 的最小值

【分析解答】点C 关于直线AD 的对称点是点B ，连接BE ，交AD 于点M ，则ME +MD 最小，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，

则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = BC 2 - CH 2 = 62 - 32 = 3 3

在直角△BHE 中，BE = BH 2 + HE 2 =

(33)2 + 12 = 27

2. （正方形）如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，且 DM ＝2，N 是 AC 上的一动点，DN ＋MN 的 最小值为 。

【分析解答】

即在直线 A C 上求一点 N ，使 D N +MN 最小

故作点 D 关于 A C 的对称点 B ，连接 B M ，

交 A C 于点 N 。则 D N ＋ＭＮ＝BN ＋ＭＮ＝ＢＭ

线段ＢＭ的长就是 D N ＋ＭＮ的最小值

在直角△ＢＣＭ中，ＣＭ＝６，ＢＣ＝８，

则ＢＭ＝10

故 D N ＋ＭＮ的最小值是10

3.（二次函数）如图，在直角坐标系中，A ，B ，C 的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过 A ，B ， C 三点的抛物线的对称轴为直线 l ，D 为直线 l 上的一个动点，

(1)求抛物线的解析式；

(2)求当 AD +CD 最小时点 D 的坐标；

【分析解答】 (2)连接 BC ，交直线 l 于点 D ，则 DA +DC = DB +DC = BC ，BC 的长就是 AD +DC 的最小值，BC ：y = -x + 3则直线 BC 与直线 x = 1 的交点 D (1，2)

D B C M

E H M D A C

B E