将军饮马问题讲义

将军饮马问题

唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:"白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河."

诗中隐含着一个有趣的数学问题• 如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营. 请问怎样走才能使总的路程最短？

这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走

才能使路程最短？从此，这个被称为”将军饮马”的问题广泛流传•

将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。所谓

轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段a+b这样的条件或者问题。一旦出现可以

快速联想到将军问题，然后利用轴对称解题。

5•如图，点A是/ MON 外的一点，在射线ON上作点P, 使PA与

点P到射线0M的距离之和最小

6..如图，点A是/ MON 内的一点，在射线

常见问题

首先明白几个概念，动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求点，即那个不定的点。定点即为题目中固定的点。对称的点，作图所得的点，需要连线的点。

1. 怎么对称，作谁的对称？。简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。或

者说只有定点才可以去作对称的。(不确定的点作对称式没有意义的)那么作谁的对称点

首先要明确关于对称的对象肯定是一条线，而不是一个点。那么是哪一条线？一般而言都是

动点所在直线。

2. 对称完以后和谁连接？

一句话：和另外一个定点相连。绝对不能和一个动点相连。明确一个概念：定点的对称点也是一个定点。例如模型二和模型三。

3. 所求点怎么确定？

首先一定要明白，所求点最后反应在图上一定是个交点。实际就是我们所画直线和已知直线

的交点。

下面我们来看看将军饮马与二次函数结合的问题：

1.如图，抛物线y=ax+bx+c 经过A( 1，0)、B(4，0)、C(0，3)三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形PAOC勺周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由. 11

C

V L

【分析】(1)设交点式为y=a (x- 1) (x- 4),然后把C点坐标代入求出a亠，于是得到抛

4

物线解析式为y=—x2-——x+3;

4 4

(2)先确定抛物线的对称轴为直线x&，连结BC交直线x一于点P,如图，利用对称性

得到PA=PB所以PA+PC=PC+PB=BC艮据两点之间线段最短得到PC+PA最短，于是可判断此时四边形PAOC勺周长最小，然后计算出BC=5,再计算OC+OA+B即可.

【解答】解：(1)设抛物线解析式为 y=a (x - 1) (x -4), 把 C (0, 3)代入得 a? (- 1) ? (- 4) =3,解得 a 仝, 所以抛物线解析式为 氓 (x - 1) (x - 4),即y 弓x 2-乎x+3; (2)存在.

因为 A ( 1, 0)、B (4, 0), 所以抛物线的对称轴为直线 x 丄,

2

连结BC 交直线x —于点P,如图，贝U PA=PB PA+PC=PC+PB=BQt 匕时PC+PA 最短,

2

所以此时四边形 PAOC 勺周长最小， 因为 BC=； |、-=5,

在利用待定系数法求二次函数关系式 时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当

已知抛物线上三点时， 常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解； 当已知抛物 线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 可选择

设其解析式为交点式来求解•也考查了最短路径问题.

点C 的左边)，与y 轴交于点B.

(1 )求A 、B 、C 三点的坐标；

(2) 已知点D 在坐标平面内，△ ABD 是顶角为120°的等腰三角形，求点 D 的坐标; (3) 若点P 、Q 位于抛物线的对称轴上，且

PQ=—，求四边形 ABQF 周长的最小值. 【考点】二次函数综合题.

x 轴有两个交点时, 2. (2015?上城区一模)设抛物线 (x+1) (x - 2)与x 轴交于A 、C 两点(点A 在

3+1+5=9.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:

3

3

【分析】(1)令x=0,求出与y 轴的坐标；令y=0,求出与x 轴的坐标；

(2) 分三种情况讨论：①当 AB 为底时，若点 D 在AB 上方；若点D 在AB 下方；②当AB 为 腰时，A 为顶点时，③当 AB 为腰时，A 为顶点时；仔细解答即可.

(3) 当AP+BQ 最小时，四边形 ABQP 的周长最小，根据轴对称最短路径问题解答. 【解答】解: (1) 当 x=0时,y=-|f 」； 当 y=0 时，x= - 1 或 x=2 ；

则 A (- 1, 0), B (0，-術)，C (2, 0)； (2)如图，Rt △ ABO 中，OA=1 OB= _；, • AB=2 M ABO=30，/ BAO=60 , • △ ABD 是顶角为120°的等腰三角形.

D 在 AB 下方，由/ BAD M DBA=30 , AB=2 得 D 2 (-2® (2, - V3)；

(3)当AP+BQ 最小时，四边形 ABQP 的周长最小， 把点B 向上平移二个单位后得到B 1 ( 0 ,

3

•/ BB 1 // PQ 且 BB=PQ •四边形BBPQ 是平行四边形， • BQ=BP , • AP+BQ=AP+iB ),

要在直线X#；上找一点 P ,使得AP+BP 最小， 作点B 1关于直线X 」的对称点，得B2 (1, - ' ' ■'),

2 3

则AB 就是AP+BQ 勺最小值，AB= ■:. (爭

AB =2

P Q 「,

•四边形ABQP 的周长最小值是

:;+2.

①当 AB 为底时，若点 D 在AB 上方，由/ ABO M BAD=30 ,

AB=2,得 D (0 ,-

3

),

若点 AB 为腰时，A 为顶点时,

② 当 •••/ DAB=120 , M OAB=60 , AD=AB=2

•••点D 在y 轴或x 轴上，

若D 在y 轴上，得D 3 (0,：；),若D 在x 轴上, ③ 当AB 为腰时，A 为顶点时， 若点D 在第三象限，

•••/ DBO=150 , BD=2 得 D 5 (- 1, - 2_ '；)； 若点D 在第四象限时，

•••DB//x 轴,BD=2 得 D 6 (2,-.-；), 得 D 4 (- 3, 0)；

•••符合要求的点 D 的坐标为(0，-

L)

(0,

, (- 3, 0) , (- 1,

，(-1 ,