将军饮马问题讲

4. 如图，点 边的距离之和最小

类型一、基本模式

类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）

2、如图所示，如果将军从马棚 M 出发，先赶到河 OA 上的某一位置 P ，再马上赶到河 OB 上

的某一位置 Q ，然后立即返回校场 N ．请为将军重新设计一条路线 （即选择点 P 和 Q ）， 使得总路程 MP ＋ PQ ＋QN 最短．

3、将军要检阅一队士兵，要求 （如图所示 ） ：队伍长为 a ，沿河 OB 排开（从点 P 到点 Q ）；将 军从马棚 M 出发到达队头 P ，从 P 至 Q 检阅队伍后再赶到校场 N ．请问：在什么位置列队 （即 选择点 P 和 Q ），可以使得将军走的总路程 MP ＋PQ ＋ QN 最短?

将军饮马问题

变式】如图所示，将军希望从马棚 OB 上的某一位置 Q ．请为将军设计一条路线 MP ＋PQ 最短．

，再马上赶到河

P 到

5 已知∠ MON内有一点 P，P 关于 OM，ON的对称点分别是和，分别交 OM, ON于点

A、B，已知＝ 15，则△ PAB 的周长为( )

A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24

6. 已知∠ AOB，试在∠ AOB内确定一点 P，如图，使 P 到 OA、OB的距离相等，并且到 M、N

两点的距离也相等 .

7、已知∠ MON＝ 40

， P为∠ MON内一定点， OM上有一点 A，ON上有一点 B，当△

PAB的周

边上一动点，则 DP长的最小值为

练习

1、已知点A在直线l 外，点P为直线l 上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l 上运动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，长取最小值时，求∠APB的度数 .

8. 如图，在四边形ABCD中，∠ A＝

90°，

ADB＝∠ C.若 P 是

请作出定点 B ；若不存在，

请说明理由．

2、 如图，在公路 a 的同旁有两个仓库 A 、 B ，现需要建一货物中转站，要求到 A 、

B 两仓 库的距离和最短，这个中转站 M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？

A

B

a

3、 已知： A 、B 两点在直线 l 的同侧， 在l 上求作一点 M ，使得 |AM BM |最小．

4、如图，正方形 ABCD 中， AB 8， M 是DC 上的一点，且 DM 2， N 是 AC 上的一动 点，求 DN MN 的最小值与最大值．

5、如图，已知∠ AOB 内有一点 最小。试画出图形，并说明理由。

A 、B, 在坐标轴上找两点 C 、D,使得四边形 ABCD 的

周长最小。

.A

6、如图，直角坐标系中有两点 M

P ，试分别在边

7、如图，村庄 A 、B 位于一条小河的两侧，若河岸 a 、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸 垂直的桥 CD ，问桥址应如何选择，才能使 A 村到 B 村的路程最近？

最小时，求 a 的值 .

10、如图，在等腰梯形 ABCD 中， AB=CD=AD=，2∠ D=120°，点 E 、F 是底边 AD 与 BC 的中点， 连接 EF ，在线段 EF 上找一点 P ，使 BP+AP 最短．

练习

1、观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）

A ．1 个

B ．2个

C ．3个

D ．4 个

2、以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

3、在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是

4 ,当 x 为何值时， y 的值最小， 并求出这个最小值

9、在平面直角坐标系中， A(1，-3) 、B(4 ，-1) P(a,0) 、 N(a+2,0), 当四边形 PABN 的周长

A ．等边三角形

B ．矩形

C ．等腰梯形

D ．平行四边形

8、y x 2

1

(9 x

)2

4、在等边三角形、 正方形、菱形和等腰梯形这四个图形中， 是中心对称图形的个数

为 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4 个

5、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，

我们 把这样的图形变换叫做滑动．对．称．变．换．． ．在自然界和日常生活中， 大量地存在这种图形变 换（如图甲）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质， 你认为在滑．动．对．称．变．换． 过程中，

两个对应三角形（如图乙）的对应点所具有的性质是 （ ） （A ） 对应点连线与对称轴垂直 （B ） （C ） 对应点连线被对称轴垂直平分 （D ）

6、对右图的对称性表述，正确的是（ ）．

D ．既不是轴对称图形又不是中心对称图形

对应点连线被对称轴平分

A ．轴对称图形

B ．中心对称图形

C ．既是轴对称图形又是中心对称图形

7、如图，△ A ′ B ′ C

′是由△ ABC 经过变换得到的，则这个变换过程是 A ）平移

B ）轴对称 （

C ）旋转

D ）平移后再轴对称

A ′B

B ′B

C ′

A

C

8、如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C 的坐标分别为（ 3，0），（0，1），点D 是线段

1

BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y ＝－x＋b 交折线OAB 于点E．

2

（1）记△ ODE的面积为S，求S关于b 的函数关系式；

（2）当点E 在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，

9、探究OA1B1C1 与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由 .

【答案】（1）由题意得 B（ 3，1）．

3

若直线经过点A（3， 0）时，则b＝

2

5

若直线经过点B（3， 1）时，则b＝

2

若直线经过点C（0， 1）时，则b＝1

3 ①若直线与折线OAB的交点在

OA上时，即 1

2

此时E（ 2b，0）

11

∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b

22 35 ②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即3