将军饮马问题

将军饮马问题

问题概述

路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题

方法原理

1.两点之间，线段最短；

2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；

4.垂线段最短.

基本模型

1.

已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；

要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小

解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,

PA+PB的最小值即为线段AB的长度

理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，

在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP

∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.

2.

已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧

要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）

解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，

点P即为所求；

理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，

由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则

需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.

3.

已知：如图，定点A 、B 分布在定直线l 的同侧（A 、B 两

点到l 的距离不相等）

要求：在直线l 上找一点P ，使︱PA-PB ︱的值最大

解：连接BA 并延长，交直线l 于点P ，点P 即为所求；

理由：此时︱PA-PB ︱=AB ，在l 上任取异于点P 的一点P ´，

连接AP ´、BP ´，由三角形的三边关系知︱P ´A-P ´B ︱

即︱P ´A-P ´B ︱<︱PA-PB ︱

4. 已知：如图，定点A 、B 分布在定直线l 的两侧（A 、B 两

点到l 的距离不相等）

要求：在直线l 上找一点P ，使︱PA-PB ︱的值最大

解：作点B 关于直线l 的对称点B ´，连接B ´A 并延长交

于点P ，点P 即为所求；

理由：根据对称的性质知l 为线段BB ´的中垂线，由中垂

线的性质得：PB=PB ´，要使︱PA-PB ︱最大，则需

︱PA-PB ´︱值最大 ，从而转化为模型3.

典型例题1-1

如图，直线y=23x+4与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 、D 分

别为线段AB 、OB 的中点，点P 为OA 上一动点，当PC+PD 最小时，

点P 的坐标为_________，此时PC+PD 的最小值为_________.

【分析】符合基本模型2的特征，作点D 关于x 轴的对称点D'，连

接CD'交x 轴于点P ，此时PC+PD 值最小，由条件知CD 为△BAO 的中位线，OP 为 △

CDD'的中位线，易求OP 长，从而求出P 点坐标；PC+PD 的最小值即CD'长，可用勾

股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算.

【解答】连接CD ，作点D 关于x 轴的对称点D ′，连接CD ′交x 轴于点P ，此时PC+PD 值最

小．令y=23x+4中x=0，则y=4，∴点B 坐标（0，4）；令y=23x+4中y=0，则23x+4=0，

解得：x=﹣6，∴点A 的坐标为（﹣6，0）．∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴CD 为△BAO 的中位线，∴CD ∥x 轴，且CD=21

AO=3，

∵点D ′和点D 关于x 轴对称，∴O 为DD ′的中点，

D ′（0，-1），∴OP 为△CDD ′的中位线，∴OP=21CD=23，

∴点P 的坐标为（﹣32，0）．在Rt △CDD ′中，

CD ′=22D D CD '+=2243+=5，即PC+PD 的最小值为5.

【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C 、点P 坐标；若题型变

化，C 、D 不是AB 和OB 中点时，则先求直线CD ′的解析

式，再求其与x 轴的交点P 的坐标.

典型例题1-2

如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（0，1），点B

的坐标为（32，﹣2），点P 在直线y=﹣x 上运动，当|PA ﹣PB|最

大时点P 的坐标为_________，|PA ﹣PB|的最大值是_________.

【分析】符合基本模型4的特征，作A 关于直线y=﹣x 对称点C ，

连接BC ，可得直线BC 的方程；求得BC 与直线y=﹣x 的

交点P 的坐标；此时|PA ﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，

再用两点之间的距离公式求此最大值.

【解答】作A 关于直线y=﹣x 对称点C ，易得C 的坐标为（﹣1，0）；连接BC ，可得直线BC

的方程为y=﹣54x ﹣54，与直线y=﹣x 联立解得交点坐标P 为（4，﹣4）；此时|PA ﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，最大值BC=2223

)2()1(-++=241

；

【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4，需作一次对称点，连线得交点.

变式训练1-1

已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A （5，0），

OB=4√5，点P 是对角线OB 上的一个动点，D （0，1），当CP+DP 最短

时，点P 的坐标为（ ）

A ．（0，0）

B ．（1，12）

C ．（65，35）

D ．（107，57） 变式训练1-2

如图，菱形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，AC=2，