最短路径问题(将军饮马问题)

两点之间，线段最短.
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将军饮马问题：
两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就 有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的 学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜 访他，向他请教一个百思不得其解的问题：
将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途 中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程 最短？
这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。
C
B N
M A
O
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变式2：
M
作法:(1)作点A关于OM的对称点A' ,
点B关于ON的对称点B'.
(2)连结A'和B'，交OM于C，交ON于D。. A
则点C、D为所求。
B.
.
N
.D
A.' .C
O
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B'
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课堂小结：
本节课研究问题的基本过程是什么？
把实际问题变成数学问题或数学模型 →推理 →猜想 →证明 ↓
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如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要 到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？
B
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A
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作法：
（1）作点B关于直线 MN 的对称点 B'
（2）连结B'A，交MN于点 P； 所以 点P就是所求的点．
A
B
M
N
P
B'
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证明：
A B
在MN 上任取另一点P'， M
N 河边
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如图:已知 MON 内一点A
求作:OM上一点B,ON 上一点C,使 AB+BC+AC最小
作法: (1)作点A关于OM、
ON的对称点A'、A''
.A' B.
O
M
.A .N C .A''
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(2)连结A'和A''，交OM于B,交ON于C, 则点B、C为所求。
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变式1：
已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC 上分别确定一点Q和R，使△PQR的周长最短吗？
应用到实际问题中← 得出结论
今天我们学习了最短路径的相关问题，我们应 该怎么样找到它们的最短路径呢？
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1、确定对称轴，找出定点的对称点。
2、连接对称点与另一点确定所求位置点（连接各 对称点确定所求位置点）。
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课后拓展：
在矩形ABCD中，在边和对角线AD、BD上有两个动点M、 N,当M、N运动到何处时，BM+MN最短？
——将军饮马问题及延伸
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为什么有的人会经常践踏草地呢？
两点之间，线段最短
禁止践 绿地里本没有路，走的人多了…踏…
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在公路l两侧有两村庄，现要在公路l旁修建一
所候车亭P，要使候车亭到两村庄的距离之和最短， 试确定候车亭P的位置。
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A P
l
B
★思考：本题运用了 .
N
P
P'
连结BP、BP'、AP' 、B'P' ． B'
∵ 直线MN是点B、B'的对称轴，点P、P'在对称轴 上，∴BP=B'P，BP'=B'P'．
∴ BP+AP=B'P+AP =B'A． ∴ BP'+AP'= B'P'+AP'
在△AB'P'中，AB'<AP'+B'P'，
∴ BP+AP < BP'+AP'，即AP+BP最小．
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变式1：
已知：P、Q是△ABC的边AB、 AC上的点，你能 在BC上确定一点R， 使△PQR的周长最短吗？
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如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地 OM吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地 A问：这位将军怎样走路程最短？
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M 草地
O
.驻地A
M A'
N
B'
B A
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变式1：
已 求知 作： ：点MCO和N点内D两,使点得A点、CB在. OM上，点D在ON
上，且AC+CD+BD+AB最短。
AM
'
C
A
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B
O
N
DHale Waihona Puke Baidu
B'
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变式2：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有 黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，试 问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边 OM、ON后，反弹击中黑球？
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两点在两相交直线内部
如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马 厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边 饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的 最短路线。
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答案：如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩 牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后 回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.
A
M
D
N
B
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C
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