将军饮马问题(讲)

类型一、基本模式

类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）

2、如图所示，如果将军从马棚

上的某一位置 Q ,然后立即返回校场

Q ）,使得总路程 MP +PQ + QN 最短.

OB 上的某一位置 Q .请为将军设计一条路线 （即选择点P 和Q ）,使得总路程 MP +PQ 最短.

3、将军要检阅一队士兵，要求 （如图所示）：队伍长为a ,沿河0B 排开（从点P 到点Q ）;将 军从马棚M 出发到达队头P,从P 至Q 检阅队伍后再赶到校场 N .请问：在什么位置列队（即

将军饮马问题

fl

M 出发，先赶到河 0A 上的某一位置 P ,再马上赶到河 0B

N .请为将军重新设计一条路线 （即选择点P 和

【变式】如图所示，将军希望从马棚 M 出发, 先赶到河OA 上的某一位置P ,再马上赶到河

A

OA 边的距离之和最小

P 到

练习

1、已知点A 在直线 直线I 上运动时，点 请说明理由.

I 外，点P 为直线I 上的一个动点，探究是否存在一个定点

B ，当点P 在 P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点 B ;若不存在，

5已知/ MON 内有一点P , P 关于OM , ON 的对称点分别是 百和均,分别交OM, ON

于点A 、B,已知耳时=15,则^ PAB 的周长为（

6. 已知/ AOB ,试在/ AOB 内确定一点 P ,如图，使 P 到OA 、OB 的距离相等，并且到 N 两点的距离也相等.

7、已知/ MON = 40°, P 为/ MON 内一定点，OM 上有一点 A , ON 上有一点B ,当△ PAB 的周长取最

小值时，

A. 15

B 7.5 C. 10

D. 24

求/ APB 的度数

.

8.如图，在四边形 ABCD 中，/ A = 90°, AD = 4,连接 BD , BD 丄 CD,/ ADB =/ C 若 P 是

BC 边上一动点，则 DP 长的最小值为

5、如图，已知/ AOB 内有一点P ,试分别在边 OA 和0B 上各找一点 E 、F ,使得△ PEF 的周 长最小。

试画出图形，并说明理由。

6、如图，直角坐标系中有两点 A 、B,在坐标轴上找两点 C D,使得四边形ABCD 的周长最小。

.A

2、

如图，在公路a 的同旁有两个仓库 A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到 库的距离和最短，这个中转站 M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？

A 、

B 两仓

已知：A 、B 两点在直线I 的同侧， 在I 上求作一点M ，使得| AM BM |最小.

如图，正方形 ABCD 中，AB 8, M 是DC 上的一点，且 DM 2 , N 是AC 上的一动 点，求DN MN 的最小值与最大值.

M

N

7、如图，村庄 A 、B 位于一条小河的两侧，若河岸 a 、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸 垂直的桥CD,问桥址应如何选择，才能使 A 村到B 村的路程最近？

Jf g xp ，当X 为何值时，y 的值最小，并求出这个最小值.

A(1, -3)、B(4, -1)、P(a,0)、N(a+2,0),当四边形 PABN 的周长最小

ABCD 中，AB=CD=AD=2 / D=120°，点 E 、F 是底边 AD 与 BC 的中 EF 上

找一点P ,使BP+AP 最短.

9、在平面直角坐标系中, 时，求a 的值.

10、如图，在等腰梯形 点，连接EF 在线段

练习

1、观察下列银行标志, O

从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有（

A . 1个

B . 2个 C. 3个

D . 4个

2、 以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

A .等边三角形

B .矩形

C .等腰梯形

3、 在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ）

D .平行四边形

£

4、在等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形这四个图形中，是中心对称图形的个数为 (

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

5、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们

把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换(如图甲).结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中, 两个对应三角形(如图乙)的对应点所具有的性质是

(A)对应点连线与对称轴垂直(C)

对应点连线被对称轴垂直平分

图甲口图乙

( ) (B)对应点连线被对称轴平分(D)对应点连线互相平行

6、对右图的对称性表述, 正确的是(

).

A.轴对称图形 B .中心对称图形C.既是轴对称图形又是中心对称图形

D.既不是轴对称图形又不是中心对称图形

7、如图，△ A B' C是由△ ABC经过变换得到的，则这个变换过程是

(A)平移(B)轴对称(C)旋转(D)平移后再轴对称

A

B

C

A'B

B'B

C

&如图所示，四边形 OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(3, 0), ( 0, 1 )，点D 是线段

1

BC 上的动点(与端点 B 、C 不重合)，过点D 作直线y = — — x + b 交折线OAB 于点E.

2

(1) 记^ ODE 的面积为S,求S 关于b 的函数关系式；

(2) 当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形 OA 1B 1C 1,

9、探究OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，

若不变，求出该重叠部分的

面积；若改变，请说明理由.

①若直线与折线 OAB 的交点在OA 上时，即

此时 E (2b , 0)

1 1

--S= — OE • CO= — X 2b X 1 = b

2

②若直线与折线

此时E ( 3， bl ),

D (2b —2, 1)

【答案】(1) 若直线经过点 若直线经过点 若直线经过点 由题意得B (3, 1). b = 3

2

b= § 2

b = 1

A (3, 0)时，则

B ( 3, 1 )时，则

C (0 , 1 )时，则

3

1

3 5 OAB 的交点在BA 上时，即一< b < -，如图2