将军饮马问题(讲)
八年级将军饮马问题例题讲解
八年级将军饮马问题例题讲解哎呀，今天咱们聊聊八年级的将军饮马问题，听名字就觉得特别有意思，对吧？咱们先来个开门见山，将军带着他的军队，经过一条河，得给马喝水。
这问题看似简单，但其实里面藏着不少小玄机，真的是个大考验，脑袋瓜得动一动。
想象一下，这将军带着一帮士兵，行军走到河边，嗨，口渴得不行，马儿们更是想喝水。
可是，问题来了，河边的水不深，能让马儿们喝到，但不让它们掉进水里。
将军一边心急如焚，一边得想办法。
怎么让这些马儿在喝水的时候不掉进河里呢？这时候就得用到一些小技巧了。
咱们可以想象一下，马儿们得排队，得一个一个地喝水。
将军心里想着，得控制好马儿的喝水速度，别让它们都挤在一起，这样容易出事。
也许能用一些方法，比如说把马儿们牵得远一些，慢慢地让它们喝，像是在参加比赛一样，嘿嘿，真是有意思的场景。
想想马儿们排成一队，乖乖的，一个个慢慢走过来喝水，真是可爱。
这时候就得算一算了，马儿们得喝多少水，每匹马喝水的速度又有多快。
嘿，可能是三两口就满足了，也可能是急着想喝个痛快，一口气喝个干净。
将军得根据情况来调整策略，真是够麻烦的。
不过，思来想去，最好的办法还是得让马儿们分批来，排着队，井然有序。
然后，咱们再来想象一下，如果马儿们不听话，乱跑，那可就麻烦了。
想象一下将军那个急得直挠头的样子，心里想着：这马儿也太不听话了！要不就得用点小办法，比如说放一块香饽饽在河边，吸引它们过来，嘿嘿，果然，马儿们就乖乖走过来喝水了。
就像小朋友看到喜欢的玩具一样，立马就冲过去了，真是太可爱了。
接着咱们来讨论一下，假设这条河不宽，马儿们很快就能喝到水，那将军得加快速度，不能让马儿们等太久。
想想那画面，马儿们都急得不行，口水都快流下来了，哈哈，真是个搞笑的场景。
将军这时候就得使出浑身解数，调整路线，确保马儿们能尽快喝水。
但是，事情总是没那么简单。
马儿喝水喝得急，可能还会打架，踩到脚，这可就不好了。
所以，将军得一边指挥，一边安抚，真是一场心力交瘁的战斗。
将军饮马(最完整讲义)
第1讲将军饮马模型➢知识点睛“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
一、定直线与两定点模型作法结论A、在直线l异侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA+最小.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA+最小.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最大.PBA、在直线l异侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最大.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最小.PB二、角到定点模型作法结论点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得PCD ∆周长最小.点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得MN PN +最小.点Q P 、在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得四边形PMNQ 周长最小.点M 在AOB ∠的外部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小.点M 在AOB ∠的内部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小.点Q P 、分别在AOB ∠的边OB OA 、是，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得MQ MN PN ++最小.二、两定点一定长模型作法结论如图在直线l 上找上两点N M 、（M 在左），使NB MN AM ++最小,且d MN =.如图，21//l l ，21l l 、之间的距离为d ，在21l l 、上分别找N M 、两点，使1l MN ⊥，且NB MN AM ++最小.如图，21//l l ，43//l l ,21l l 、之间的距离为1d ，43//l l 之间的距离为2d ，在21l l 、上分别找N M 、两点，使1l MN ⊥，在43l l 、上分别找Q P 、两点，使3l PQ ⊥且QB PQ NP MN AM ++++最小.如图，在⊙O 上找一点N ，在直线l 找一点M ,使得MN AM +最小.➢ 精讲精练例1：如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值．P OBAMN例2：如图，正方形ABCD 的边长是4，M 在DC 上，且DM =1， N 是AC 边上的一动点，则△DMN 周长的最小值．例3：如图，在Rt △ABO 中，∠OBA =90°，A （4,4），点C 在边AB 上，且AC :CB =1:3，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为( )A ．(2,2)B ．5(2，5)2C ．8(3，8)3D ．(3,3)第3题图 第4题图 第5题图例4：如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7例5：如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________． PDCBAA BCDMNNMDCBA例6：如图，在Rt △ABD 中，AB =6，∠BAD =30°，∠D =90°，N 为AB 上一点且BN =2AN ， M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值．例7：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ． D ．第7题图 第8题图 第9题图例8：如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是( ) A B ．2 C ．D ．4例9：如图，在菱形ABCD 中，AC =BD =6，E 是BC 的中点，P 、M 分别是AC 、AB 上的动点，连接PE 、PM ，则PE +PM 的最小值是( ) A ．6B ．C ．D ．4.5NMDBA E AFCDBNM DCBAEPDCBAM例10：如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5），D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是( ) A ．4(0,)3B ．5(0,)3C ．(0,2)D ．10(0,)3第10题图 第11题图 第12题图例11：如图，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =3，动点P 满足13PAB ABCD S S ∆=矩形，则点P 到A 、B 两点距离之和PA +PB 的最小值为( ) A ．B ．C ．D 例12：如图，矩形ABCD 中，AB =10，BC =5，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE =CG ，BF =DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为( )A ．B ．C ．D ．例13：如图，∠AOB =60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是( )A B C ．6D ．3第13题图 第14题图 CBH FGEDCB AA BMOPN例14：如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3,0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为 ．例15：如图，已知正比例函数y =kx （k >0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°，定点A 的坐标为（0，4），P 为y 轴上的一个动点，M 、N 为函数y =kx （k >0）的图像上的两个动点，则AM +MP +PN 的最小值为___________．第15题图例16：如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点B 在原点，点A 、C 在坐标轴上，点D 的坐标为（6，4），E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 边上两个动点，且PQ =2，要使四边形APQE 的周长最小，则点P 的坐示应为______________．例17：如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =4，AC 为对角线，E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点，且EF ⊥AC 于点M ，连接AF 、CE ，求AF +CE 的最小值．AB CD EFMx例18：如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，求PD+PE 的最小值。
将军饮马(最完整讲义)
第1讲将军饮马模型➢知识点睛一、“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题, 会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合, 在近年的中考和竞赛中经常出现, 而且大多以压轴题的形式出现。
二、定直线与两定点模型作法结论当两定点在直线异侧时, 在直线上找上点, 使最小.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最小.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最大.当两定点在直线异侧时, 在直线上找上点, 使最大.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最小.二、角到定点模型作法结论点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得周长最小.点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得最小.点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得四边形周长最小.点在的外部, 在射线上找一点, 使与点到射线的距离和最小.点在的内部, 在射线上找一点, 使与点到射线的距离和最小.点分别在的边是, 在上找一点, 在上找一点,使得最小.三、两定点一定长模型作法结论如图在直线上找上两点（在左）, 使最小,且.如图, , 之间的距离为, 在上分别找两点, 使, 且最小.如图, , ,之间的距离为, 之间的距离为, 在上分别找两点, 使, 在上分别找两点, 使且最小.如图, 在⊙上找一点, 在直线找一点,使得最小.➢精讲精练例1: 如图, 点P是∠AOB内任意一点, ∠AOB=30°, OP=8, 点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PMN周长的最小值.例2: 如图, 正方形ABCD 的边长是4, M 在DC 上, 且DM=1, N 是AC 边上的一动点, 则△DMN 周长的最小值.A ．例3: 如图, 在Rt △ABO 中, ∠OBA=90°, A （4,4）, 点C 在边AB 上, 且AC:CB=1:3, 点D 为OB 的中点, 点P 为边OA 上的动点, 当点P 在OA 上移动时, 使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为 B. ,C ．,D ．第3题图 第4题图 第5题图例4: 如图, 在△ABC 中, AC=BC, ∠ACB=90°, 点D 在BC 上, BD=3, DC=1, 点P 是AB 上的动点, 则PC+PD 的最小值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7例5：如图, 在等边△ABC 中, AB=6, N 为AB 上一点且BN=2AN, BC 的高线AD 交BC 于点D, M 是AD 上的动点, 连结BM, MN, 则BM+MN 的最小值是___________．A BCDMN例6: 如图, 在Rt △ABD 中, AB=6, ∠BAD=30°, ∠D=90°, N 为AB 上一点且BN=2AN, M 是AD 上的动点, 连结BM, MN, 则BM+MN 的最小值.例7: 如图, 在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°, AC=6. AB=12, AD 平分∠CAB, 点F 是AC 的中点, 点E 是AD 上的动点, 则CE+EF 的最小值为 A. 3 B. 4 C.D.第7题图 第8题图 第9题图A ．例8: 如图, 在锐角三角形ABC 中, BC=4, ∠ABC=60°, BD 平分∠ABC, 交AC 于点D, M 、N 分别是BD, BC 上的动点, 则CM+MN 的最小值是B. 2C.D. 4例9: 如图, 在菱形ABCD 中, AC=, BD=6, E 是BC 的中点, P 、M 分别是AC.AB 上的动点, 连接PE 、PM, 则PE+PM 的最小值是A. 6B.C.D. 4.5E AFCDBNM DCBAEPDCBAMA ．例10: 如图, 矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5）, D 是OB 的中点, E 是OC 上的一点, 当△ADE 的周长最小时, 点E 的坐标是B. C. D.第10题图 第11题图 第12题图例11: 如图, 在矩形ABCD 中, AB=6, AD=3, 动点P 满足, 则点P 到A.B 两点距离之和PA+PB 的最小值为A. B. C. D.例12: 如图, 矩形ABCD 中, AB=10, BC=5, 点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上, 且AE=CG, BF=DH, 则四边形EFGH 周长的最小值为A. B. C. D.例13: 如图, ∠AOB=60°, 点P 是∠AOB 内的定点且OP=, 若点M 、N 分别是射线OA.OB 上异于点O 的动点, 则△PMN 周长的最小值是A. B. C. 6 D. 3第13题图 第14题图CBH FGEDCB AABMOPN例14: 如图, ∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合, 点P 是OA 上的一动点, 点N （3,0）是OB 上的一定点, 点M 是ON 的中点, ∠AOB=30°, 要使PM+PN 最小, 则点P 的坐标为 .例15：如图, 已知正比例函数y=kx （k>0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°, 定点A 的坐标为（0, 4）, P 为y 轴上的一个动点, M 、N 为函数y=kx （k>0）的图像上的两个动点, 则AM+MP+PN 的最小值为___________．第15题图例16: 如图, 在平面直角坐标系中, 矩形ABCD 的顶点B 在原点, 点A.C 在坐标轴上, 点D 的坐标为（6, 4）, E 为CD 的中点, 点P 、Q 为BC 边上两个动点, 且PQ=2, 要使四边形APQE 的周长最小, 则点P 的坐示应为______________.例17：如图, 矩形ABCD 中, AD=2, AB=4, AC 为对角线, E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点, 且EF ⊥AC 于点M,连接AF 、CE, 求AF+CE 的最小值．x例18: 如图, 正方形ABCD的面积是12, △ABE是等边三角形, 点E在正方形ABCD内, 在对角线AC上有一点P, 求PD+PE的最小值。
专题07 最值模型之将军饮马精讲练(11大模型)(解析版)
专题07最值模型之将军饮马精讲练（11大模型）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________模型背景【模型来历】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【考点】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平行四边形--平移；【解题思路】学会化归，移花接木，化折为直【核心思想】共线与垂线段最短。
模型精讲一、两动一定型（2种模型）：两定点到直线上一动点的距离和最小。
例1-1：如图1-1在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.【证明】图1-2。
PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.图1-2lPABP'lAB图1-1反思：解决本题很简单，但却点明了将军饮马的解题思路。
【变式】例1-2 如图1-3，如图，定点A 和定点B 在定直线l 的同侧 要求：在直线l 上找一点P ，使得PA+PB 值最小 。
作法：图1-41.作A 关于直线CD 对称点A’。
2.连A’B 。
3.交点P 就是要求点。
连线长A’B 就是PA+PB 最小值。
【证明】：图1-5在l 上任取异于点P 的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB ，即AP´+BP´>AP+BP ∴P 为直线AB 与直线l 的交点时，PA+PB 最小.二、造桥选址，移花接木。
华东师大版八年级数学下册“将军饮马模型”专题讲义及解析
华东师大版八年级数学下册“将军饮马模型”专题讲义及解析华东师大版八年级数学下册“将军饮马模型”专题讲义及解析一、背景知识：据传说，古罗马时代有一位名叫XXX的学者，他精通数学和物理。
有一天，一位罗马将军前来请教他一个难题：每天他从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题被称为“将军饮马”问题，据说XXX很快解决了它，从此这个问题流传至今。
二、将军饮马问题常见模型1.两定一动型：两个定点到一个动点的距离和最小例1：在一条定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A和B的距离之和最小，即PA+PB最小。
作法：连接AB，与直线l的交点Q即为所求点，当动点P跑到点Q处时，PA+PB最小，且最小值等于AB。
原理：两点之间线段最短。
证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在三角形PAB中，由三边关系可知：AP+PB≧AB（当且仅当PQ重合时取等）。
例2：在一条定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A和B的距离之和最小，即PA+PB的和最小。
关键：找对称点。
作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所求点，当动点P跑到点Q处时，PA+PB和最小，且最小值等于AC。
原理：两点之间，线段最短。
证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在三角形PAC中，由三边关系可知：AP+PC≧AC（当且仅当PQ重合时取等）。
2.两动一定型例3：在∠XXX的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短。
作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△XXX即为所求。
原理：两点之间，线段最短。
例4：在∠XXX的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短。
作法：首先，我们作点A关于OM的对称点A'，作点B关于ON的对称点B'，然后连接A'B'，交OM于点C，交ON于点D，最后连接AC和BD，四边形ABCD即为所求。
将军饮马专题ppt课件
第8题图
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1 综合训练
1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为AB的中点，M、N是CD上的两 动点，且MN＝1，则EM＋EN的最小值为____。
1 综合训练
2. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个 动点，则下列线段的长等于AP＋EP最小值的是 ____。
之
间
，
线
段
最
短
2
用模型战试题
每一个试题都是模型，每一种模型都有方法
综合训练
针对训练1
2
1. 如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AB 边上一点，且AE＝2，则线段EF＋CF的最小值为( B ) A. 3 B. 2 3 C. 2 D. 2
第1题图
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2 针对训练2
两动一定型 2
例7
在∠MON的内部 有一点A，在OM上找 一点B，在ON上找一 点C，使得△BAC周长
最短．
在 OM上找一点C，在 ON上找一点D，使 得四边形ABCD周 长最短．
例9
在∠MON的内部 有一点A，在OM上 找一点B，在ON上 找一点C，使得AB ＋BC最短．
【传说】
早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学 和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程 去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去 河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短 ？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决 了它．
从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至 今．
A. 3 B. 2 3 C. 3 1 D. 3 2
将军饮马讲解
对“连”口诀最短路径问题
最短路径知识点三 ③双定双动：对“连”口诀:先对称后平移（先平移后对称），连接出最短 方法一：先对称后平移
技巧：作对称（同侧变异侧）---对称点平移定长线段（“一定两动”化“两定一动”）---连接两定点--动点反向平移定长线段---连接所得点.
对“连”口诀最短路径问题
最短路径知识点三 ③双定双动：对“连”口诀:先对称后平移（先平移后对称），连接出最短 方法二：先平移后对称
∴BC+AC = B’C+AC = B’A．
∴BC ’ +AC ’ = B’C ’ +AC ’
在△AB ’ C’中，AB ’ <C < BC ’ +AC ’ ，即AC+BC最小．
知识点
对“连”口诀 横批：对 勾 模 型
对
如图，在I上找一点P,使PA+PB最小
连
称
接
一
出
定
最
点
短
对“连”口诀最短路径问题
最短路径必考高频三大类型 ①双定单动：对“连”口诀:对称1动点，连接出最短 ②单定双动：对“连”口诀:双对称此定点，连接出最短 ③双定双动：对“连”口诀:先对称后平移（先平移后对称），连接出最短
对“连”口诀最短路径问题
最短路径必考知识点一 ①双定单动：对“连”口诀:对称1动点，连接出最短
定点双 对 称
连 接出最短
关键点：动点所在的直线为对称轴
对“连”口诀最短路径问题
最短路径知识点三 ③双定双动：对“连”口诀:先对称后平移（先平移后对称），连接出最短
问题：本题拓展为在直线l上找两个动点P、Q（PQ两动点间距离为定值），使得AP+PQ+BQ 的距离之和最短，又该如何处理呢？（“两动一定型”）
将军饮马问题讲义
将军饮马问题之阳早格格创做唐往诗人李颀的诗《古从军止》启头二句道:"黑日登山视烽火，薄暮饮马傍接河."诗中隐含着一个有趣的数教问题.如图所示，诗中将军正在瞅视烽火之后从山足下的A面出收，走到河边饮马后再到B面宿营.请问何如走才搞使总的路途最短?那个问题早正在古罗马时代便有了，传道亚历山大乡有一位粗通数教战物理的教者，名喊海伦.一天，一位罗马将军博程去考察他，背他请教一个百思不得其解的问题.将军每天从军营A出收，先到河边饮马，而后再去河岸共侧的B天启会，该当何如走才搞使路途最短?今后，那个被称为"将军饮马"的问题广大流传.将军饮马问题=轴对于称问题=最短距离问题（轴对于称是工具，最短距离是题眼）.所谓轴对于称是工具，即那类问题最时常使用的搞法便是做轴对于称.而最短距离是题眼，也便表示着归类那类的题手段缘由.比圆题目时常会出现线段a+b 那样的条件大概者问题.一往出现不妨赶快偶像到将军问题，而后利用轴对于称解题.一．六大模型1.如图，曲线l 战l 的同侧二面A、B，正在曲线l 上供做一面P，使PA+PB 最小.2.如图，曲线l 战l 的共侧二面A、B，正在曲线l 上供做一面P，使PA+PB 最小.3.如图，面P 是∠MON 内的一面，分别正在OM，ON 上做面A，B.使△PAB 的周少最小.4.如图，面P，Q 为∠MON 内的二面，分别正在OM，ON 上做面A，B.使四边形PAQB 的周少最小.5.如图，面A 是∠MON 中的一面，正在射线ON 上做面P，使PA 取面P 到射线OM 的距离之战最小6. .如图，面A 是∠MON 内的一面，正在射线ON 上做面P，使PA 取面P 到射线OM 的距离之战最小罕睹问题最先明黑几个观念，动面、定面、对于称面.动面普遍便是题目中的所供面，即那个大概的面.定面即为题目中牢固的面.对于称的面，做图所得的面，需要连线的面.1. 怎么对于称，做谁的对于称？.简朴道所有题目需要做对于称的面，皆是题手段定面.大概者道惟有定面才不妨去做对于称的.（不决定的面做对于称式不意思的）那么做谁的对于称面?最先要粗确闭于对于称的对于象肯定是一条线，而不是一个面.那么是哪一条线？普遍而止皆是动面天圆曲线.2. 对于称完以去战谁对接？一句话：战其余一个定面贯串.千万于不克不迭战一个动面贯串.粗确一个观念：定面的对于称面也是一个定面.比圆模型二战模型三.3. 所供面怎么决定？最先一定要明黑，所供面末尾反应正在图上一定是个接面.本量便是咱们所绘曲线战已知曲线的接面.底下咱们去瞅瞅将军饮马取二次函数分离的问题：1.如图，扔物线y=ax2+bx+c通过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三面．（1）供扔物线的剖析式；（2）如图，正在扔物线的对于称轴上是可存留面P，使得四边形PAOC的周少最小？若存留，供出四边形PAOC周少的最小值；若不存留，请证明缘由．【分解】（1）设接面式为y=a（x﹣1）（x﹣4），而后把C面坐标代进供出a=，于是得到扔物线剖析式为y=x2﹣x+3；（2）先决定扔物线的对于称轴为曲线x=，连结BC接曲线x=于面P，如图，利用对于称性得到PA=PB，所以PA+PC=PC+PB=BC，根据二面之间线段最短得到PC+PA最短，于是可推断此时四边形PAOC的周少最小，而后估计出BC=5，再估计OC+OA+BC即可．【解问】解：（1）设扔物线剖析式为y=a（x﹣1）（x﹣4），把C（0，3）代进得a•（﹣1）•（﹣4）=3，解得a=，所以扔物线剖析式为y=（x﹣1）（x﹣4），即y=x2﹣x+3；（2）存留．果为A（1，0）、B（4，0），所以扔物线的对于称轴为曲线x=，连结BC接曲线x=于面P，如图，则PA=PB，PA+PC=PC+PB=BC，此时PC+PA最短，所以此时四边形PAOC的周少最小，果为BC==5，所以四边形PAOC周少的最小值为3+1+5=9．【面评】原题考查了待定系数法供二次函数的剖析式：正在利用待定系数法供二次函数闭系式时，要根据题目给定的条件，采用妥当的要领设出闭系式，进而代进数值供解．普遍天，当已知扔物线上三面时，常采用普遍式，用待定系数法列三元一次圆程组去供解；当已知扔物线的顶面大概对于称轴时，常设其剖析式为顶面式去供解；当已知扔物线取x轴有二个接面时，可采用设其剖析式为接面式去供解．也考查了最短路径问题．2．（2015•上乡区一模）设扔物线y=（x+1）（x﹣2）取x轴接于A、C二面（面A正在面C的左边），取y轴接于面B．（1）供A、B、C三面的坐标；（2）已知面D正在坐标仄里内，△ABD是顶角为120°的等腰三角形，供面D的坐标；（3）若面P、Q位于扔物线的对于称轴上，且PQ=，供四边形ABQP周少的最小值．【考面】二次函数概括题．【分解】（1）令x=0，供出取y轴的坐标；令y=0，供出取x 轴的坐标；（2）分三种情况计划：①当AB为底时，若面D正在AB上圆；若面D正在AB下圆；②当AB为腰时，A为顶面时，③当AB为腰时，A为顶面时；小心解问即可．（3）当AP+BQ最小时，四边形ABQP的周少最小，根据轴对于称最短路径问题解问．【解问】解：（1）当x=0时，y=﹣；当y=0时，x=﹣1大概x=2；则A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0）；（2）如图，Rt△ABO中，OA=1，OB=，∴AB=2，∠ABO=30°，∠BAO=60°，∴△ABD是顶角为120°的等腰三角形．①当AB为底时，若面D正在AB上圆，由∠ABO=∠BAD=30°，AB=2，得D1（0，﹣），若面D正在AB下圆，由∠BAD=∠DBA=30°，AB=2，得D2（﹣1，﹣），②当AB为腰时，A为顶面时，∵∠DAB=120°，∠OAB=60°，AD=AB=2，∴面D正在y轴大概x轴上，若D正在y轴上，得D3（0，），若D正在x轴上，得D4（﹣3，0）；③当AB为腰时，A为顶面时，若面D正在第三象限，∵∠DBO=150°，BD=2，得D5（﹣1，﹣2）；若面D正在第四象限时，∵DB∥x轴，BD=2，得D6（2，﹣），∴切合央供的面D的坐标为（0，﹣），（﹣1，﹣），（0，），（﹣3，0），（﹣1，﹣2），（2，﹣）；（3）当AP+BQ最小时，四边形ABQP的周少最小，把面B进取仄移个单位后得到B1（0，﹣），∵BB1∥PQ，且BB1=PQ，∴四边形BB1PQ是仄止四边形，∴BQ=B1P，∴AP+BQ=AP+B1P，要正在曲线x=上找一面P，使得AP+B1P最小，做面B1闭于曲线x=的对于称面，得B2（1，﹣），则AB2便是AP+BQ的最小值，AB2==，AB=2，PQ=，∴四边形ABQP的周少最小值是+2．【面评】原题考查了二次函数概括题，波及二次函数取x轴的接面、取y轴的接面、等腰三角形的本量、勾股定理等真量，存留性问题的出现使得易度删大．。
[精选]将军饮马问题(讲)资料
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类型一、基本模式类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题） 2、如图所示，如果将军从马棚M 出发，先赶到河 0A 上的某一位置 P ,再马上赶到河 0B 上的某一位置Q,然后立即返回校场 N.请为将军重新设计一条路线 （即选择点P 和Q ）, 使得总路程M 卉PQ+ QN 最短.0B 上的某一位置 Q.请为将军设计一条路线（即选择点P 和Q ）,使得总路程 M 卉PQ 最短.3、将军要检阅一队士兵，要求 （如图所示）：队伍长为a ,沿河0B 排开（从点P 到点Q ）;将 军从马棚M 出发到达队头P ,从P 至Q 检阅队伍后再赶到校场 N.请问：在什么位置列队（即 选择点P 和Q ）,可以使得将军走的总路程 皿卉PQ^ QN 最短？将军饮马问题【变式】如图所示，将军希望从马棚4.如图，点 边的距离之和最小，再马上赶到河P 至 U 0A5已知/ MON内有一点P, P关于OM ON的对称点分别是召和R, 隅分别交OM, ON于点A B,已知=15,则厶PAB的周长为（A. 15 B 7.5 C. 10 D. 246. 已知/ AOB试在/ AOB内确定一点P,如图，使P到OA OB的距离相等，并且到M N 两点的距离也相等•7、已知/ MON= 40 ° , P为/ MON内一定点，OM上有一点A, ON上有一点B,当△ PAB的周长取最小值时，求/ APB的度数.8. 如图，在四边形ABCD中，/ A= 90°, AD= 4,连接BD, BD丄CD / ADB=Z C.若P是BC边上一动点，贝U DP长的最小值为_______.练习1、已知点A在直线I夕卜，点P为直线I上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线I上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点 B ;若不存在，请说明理由.A■2、如图，在公路a 的同旁有两个仓库 A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到 A 、B 两仓 库的距离和最短，这个中转站 M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？A.■BA■----------------------------------------------------- a3、 已知：A 、B 两点在直线I 的同侧， 在I 上求作一点 M ，使得|AM -BM |最小.4、 如图，正方形 ABCD 中，AB =8, M 是DC 上的一点，且 DM =2 , N 是AC 上的一动 点，求DN MN 的最小值与最大值.A B,在坐标轴上找两点 C 、D,使得四边形ABCD 勺周长最小。
最短路径(将军饮马)问题(知识梳理与考点分类讲解)(人教版)(教师版) 24-25学年八年级数学上册
专题13.10最短路径（将军饮马）问题（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【模型一：两定交点型】如图1，直线l和l的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB 最小；图1【模型二：两定一动型】如图2，直线l和l的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB 最小（同侧转化为异侧）；图2【模型三：一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。
使△PAB的周长最小。
图3【模型四：两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。
使四边形PAQB的周长最小。
图4【模型五：一定两动（垂线段最短）型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
图5【模型六：一定两动，找（作）对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON 上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
图6【考点1】两定一动型；【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；【考点3】一定两动（垂线段最短）型；【考点4】两定两动型；【考点5】一定两动（等线段）转化型；.第二部分【题型展示与方法点拨】【考点1】两定一动型；【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC ∆中，3,4AB AC ==，EF 垂直平分BC ，交AC 于点D ，则ABP 周长的最小值是（）A ．12B ．6C ．7D ．8【答案】C 【分析】本题主要考查了，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P 的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，根据题意知点B 关于直线EF 的对称点为点C ，故当点P 与点D 重合时，AP BP +的值最小，即可得到ABP 周长最小．解：∵EF 垂直平分BC ，∴点B ，C 关于EF 对称．∴当点P 和点D 重合时，AP BP +的值最小．此时AP BP AC +=，∵3,4AB AC ==，ABP ∴ 周长的最小值是347AP BP AB AB AC ++=+=+=，故选：C ．【变式】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在ABC V 中，1216AB AC ==，，20BC =．将ABC V 沿射线BM 折叠，使点A 与BC 边上的点D 重合，E 为射线BM 上的一个动点，则CDE 周长的最小值．【答案】24【详解】设BM 与AC 的交点为点F ，连接AE ，DF 先根据折叠的性质可得12BD AB ==，DF AF =，DE AE =，BDF BAF ∠=∠，再根据两点之间线段最短可得当点E 与点F 重合时，CDE 周长最小，进而求解即可．解：如图，设BM 与AC 的交点为点F ，连接AE ，DF ，由折叠的性质得：12BD AB ==，DF AF =，DE AE =，BDF BAF ∠=∠，20128CD BC BD ∴=-=-=，CDE ∴ 周长8CD DE CE AE CE =++=++，要使CDE 周长最小，只需AE CE +最小，由两点之间线段最短可知，当点E 与点F 重合时，最小值为AC ，∴CDE 周长为：681624AC +=+=．故答案为：24．【点拨】本题考查了折叠的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；【例2】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，45MON ∠=︒，P 为MON ∠内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上一点，当PAB 的周长取最小值时，APB ∠的度数为（）A ．45︒B ．90︒C ．100︒D ．135︒【答案】B 【分析】本题主要考查了最短路线问题、四边形的内角和定理、轴对称的性质等知识点，掌握两点之间线段最短的知识画出图形是解题的关键．如图：作P 点关于OM ON 、的对称点A B ''、，连接A B ''，此时PAB 的周长最小为A B ''，求出A B ''即可．解：如图：作P 点关于OM ON 、的对称点A B ''、，然后连接A B ''，∵点A '与点P 关于直线OM 对称，点B '与点P 关于ON 对称，∴A P OM B P ON A A AP B B BP ''''⊥⊥==，，，，∴A APA B BPB ''''∠=∠∠=∠，，∵A P OM B P ON ''⊥⊥，，∴180MON A PB ''∠+∠=︒，∴18045135A PB ''∠=︒-︒=︒，在A B P ''△中，由三角形的内角和定理可知：18013545A B ''∠+∠=︒-︒=︒，∴45A PA BPB ''∠+∠=︒，∴1354590APB ∠=︒-︒=︒．故选：B ．【变式】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，45AOB ∠=︒，点M N 、分别在射线OA OB 、上，5MN =，15OMN S = ，点P 是直线MN 上的一个动点，点P 关于OA 的对称点为1P ，点P 关于OB 的对称点为2P ，连接1OP 、2OP 、12PP ，当点P 在直线MN 上运动时，则12OPP 面积的最小值是．【考点3】一定两动型（垂线段最短）；【例3】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在ABC V 中，3AB =，4BC =，5AC =，AB BC ⊥，点P 、Q 分别是边BC 、AC 上的动点，则AP PQ +的最小值等于（）A ．4B ．245C ．5D ．275【答案】B 【分析】作A 过于BC 的对称点A '，过点A '作A Q AC '⊥，交AC 于点Q ，交BC 于点P ，根据对称可得：AP PQ A P PQ A Q ''+=+≥，得到当,,A P Q '三点共线时，AP PQ +最小，再根据垂线段最短，得到A Q AC '⊥时，A Q '最小，进行求解即可．解：作A 过于BC 的对称点A '，过点A '作A Q AC '⊥，交AC 于点Q ，交BC 于点P ，【变式】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，5AB =，AD 是ABC V 的角平分线，若P Q 、分别是AD 和AC 边上的动点，则PC PQ +的最小值是．AD 是BAC ∠的平分线，1QAD Q AD∴∠=∠在AQD 与1AQ D 中【考点4】两定两动型；【例4】如图，已知24AOB ∠=︒，OP 平分AOB ∠，1OP =，C 在OA 上，D 在OB 上，E 在OP 上．当CP CD DE ++取最小值时，此时PCD ∠的度数为（）A ．36︒B ．48︒C ．60︒D ．72︒【答案】D 【分析】作点P 关于OA 的对称点P'，作点E 关于OB 的对称点'E ，连接'OP 、'PP 、'OE 、'EE 、''P E ，则由轴对称知识可知=''CP CD DE CP CD DE ++++，所以依据垂线段最短知：当''P C D E 、、、在一条直线上，且'''P E OE ⊥时，CP CD DE ++取最小值，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质可以'P C PC =，'E D ED =，'1OP OP ==，=''CP CD DE CP CD DE ++++，'P OE ∠''P C D E 、、、在一条直线上，且''P E ''=9048=42OP E ∠︒-︒︒，'='''=7842CP P OP P OP E ∠∠-∠︒-︒=【答案】44βα-=︒【分析】本题考查轴对称—最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．OQM OQM NQP '∴∠=∠=∠，OPQ ∠∴1(180)2PQN AOB α∠=︒-=∠+∠44βα∴-=︒，故答案为：44βα-=︒．【考点5】一定两动（等线段）转化型；【例5】（20-21八年级上·湖北鄂州·期中）如图，AD 为等腰△ABC 的高，其中∠ACB =50°，AC =BC ，E ，F 分别为线段AD ，AC 上的动点，且AE =CF ，当BF ＋CE 取最小值时，∠AFB 的度数为（）A ．75°B ．90°C ．95°D ．105°【答案】C 【分析】先构造△CFH 全等于△AEC ，得到△BCH 是等腰直角三角形且FH=CE ，当FH+BF 最小时，即是BF+CE 最小时，此时求出∠AFB 的度数即可．解：如图，作CH ⊥BC ，且CH=BC ，连接HB ，交AC 于F ，此时△BCH 是等腰直角三角形且FH+BF 最小，∵AC=BC ，∴CH=AC ，∵∠HCB=90°，AD ⊥BC ，∴AD//CH ，∵∠ACB=50°，∴∠ACH=∠CAE=40°，∴△CFH ≌△AEC ，∴FH=CE ，∴FH+BF=CE+BF 最小，此时∠AFB=∠ACB+∠HBC=50°+45°=95°．故选：C ．【点拨】本题考查全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，有一定难度．【变式】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在ABC V 中，80CAB ∠=︒，2AB =，3AC =，点E 是边AB 的中点，CAB ∠的角平分线交BC 于点D ．作直线AD ，在直线AD 上有一点P ，连结PC 、PE ，则PC PE -的最大值是．∵CAB ∠的角平分线交∴FAP ∠∠=∵AP AP =，∴APF APE ≌∴PF PE =，第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2020·湖北·中考真题）如图，D 是等边三角形ABC 外一点．若8,6BD CD ==，连接AD ，则AD 的最大值与最小值的差为．【答案】12【分析】以CD 为边向外作等边三角形CDE ，连接BE ，可证得△ECB ≌△DCA 从而得到BE=AD ，再根据三角形的三边关系即可得出结论．解：如图1，以CD 为边向外作等边三角形CDE ，连接BE ，∵CE=CD ，CB=CA ，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA ，∴△ECB ≌△DCA （SAS ），∴BE=AD ，∵DE=CD=6，BD=8，∴8-6<BE<8+6，∴2<BE<14，∴2<AD<14．∴则AD 的最大值与最小值的差为12．故答案为：12【点拨】本题考查三角形全等与三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD 转化为BE 从而求解，是一道较好的中考题．【例2】（2020·新疆·中考真题）如图，在ABC V 中，90,60,4A B AB ∠=∠=︒=︒，若D 是BC 边上的动点，则2AD DC +的最小值为．在Rt DFC △中，30DCF ∠=︒，12DF DC ∴=，122()2AD DC AD DC +=+2()AD DF =+，∴当A ，D ，F 在同一直线上，即此时，60B ADB ∠=∠=︒，2、拓展延伸【例1】（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，AC 、BD 在AB 的同侧，点M 为线段AB 中点，2AC =，8BD =，8AB =，若120CMD ∠=︒，则CD 的最大值为（）A ．18B ．16C ．14D ．12【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．如图，作点A 关于CM 的对称点A '，点B 关于DM 的对称点B '，证明'' A MB 为等边三角形，即可解决问题．解：如图，作点A 关于CM 的对称点A '，点B 关于DM 的对称点B '，∵120CMD ∠=︒，∴60∠+∠=︒AMC DMB ，∴60''∠+∠=︒CMA DMB ，∴60''∠=︒A MB ，∵MA MB MA MB ''===，∴'' A MB 为等边三角形∵14CD CA A B B D CA AM BD ''''<++=++=，∴CD 的最大值为14，故选：C ．【例2】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，锐角ABC V 中，302A BC ∠=︒=，，ABC V 的面积是6，D 、E 、F 分别是三边上的动点，则DEF 周长的最小值是（）A ．3B ．4C ．6D ．7∴AM AE AN ==，MF =∵BAC BAD DAC ∠=∠+∠∴MAN MAB BAD ∠=∠+∠∴(2MAN BAE EAC ∠=∠+∠。
将军饮马问题(讲)电子教案
将军饮马问题(讲)将军饮马问题类型一、基本模式类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短．3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短?4. 如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小5已知∠MON内有一点P，P关于OM，ON的对称点分别是和，分别交OM, ON于点A、B，已知＝15，则△PAB 的周长为（）A. 15 B 7.5 C. 10 D. 246. 已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N 两点的距离也相等.7、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.8. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为______.练习1、已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P 在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．2、如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？aBA3、 已知：A 、B 两点在直线l 的同侧， 在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．4、如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN +的最小值与最大值．NMD CB A5、如图，已知∠AOB 内有一点P ，试分别在边OA 和OB 上各找一点E 、F ，使得△PEF 的周长最小。
将军饮马问题(解析版)
将军饮马问题模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿营。
问如何行走才能使总的路程最短。
模型一(两点在河的异侧)：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。
方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
模型二(两点在河的同侧)：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。
方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B'，连接AB',与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB'的长。
模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小。
方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P'、P''，连接P'P''，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P'P''的长。
模型四如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。
方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P'、Q'，连接P'Q'，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P'Q')的长。
数学模型社团第16讲 将军饮马问题
数学模型社团第16讲 将军饮马问题早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B 开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现.【例1】（2019秋•丰台区期末）如图，在ABC ∆中，3AB =，4AC =，5BC =，EF 是BC 的垂直平分线，P 是直线EF 上的任意一点，则PA PB +的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【例2】（2019秋•邳州市期末）如图，60AOB ∠=︒，点P 是AOB ∠内的定点且OP =点M ，N 分别是射线OA ，OB 上异于点O 的动点，则PMN ∆周长的最小值是( )A B C ．3 D ．6【例3】（2017•内江）如图，已知直线12//l l ，1l 、2l 之间的距离为8，点P 到直线1l 的距离为6，点Q 到直线2l 的距离为4，PQ =1l 上有一动点A ，直线2l 上有一动点B ，满足2AB l ⊥，且PA AB BQ ++最小，此时PA BQ += ．【例4】（2020•河北区模拟）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，5AD =，连接AC ，O 是AC 的中点，M 是AD 上一点，且1MD =，P 是BC 上一动点，则PM PO -的最大值为 ．【同步训练】1．（2020•安徽模拟）Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，8BC =，D ，E 是AB 和BC 上的动点，连接CD ，DE ，则CD DE +的最小值为( )A ．8B C D ．3252．（2020•恩施州）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在AB 上且1BE =，F 为对角线AC 上一动点，则BFE ∆周长的最小值为( )A．5B．6C．7D．8 3．（2020•绥化一模）如图所示，正方形ABCD的面积为12，ABE∆是等边三角形，点E在正方形内，在对角线AC上找到一点P，使PD PE+的和最小，则这个和的最小值是()A B C．3D4．（2020秋•常州期中）如图，45∠内部一条射线，点D为射线OCAOB∠=︒，OC为AOB上一点，OD E、F分别为射线OA、OB上的动点，则DEF∆周长的最小值是( )A B．2C．D．45．（2019秋•碑林区校级月考）在正方形ABCD中，8AD=，2DE=，F为直线BD上一点，G为BC的中点，||-的最大值为()EF GFA．6B．2C．D．6．（2020•黑龙江）如图，在边长为4的正方形ABCD中，将ABD∆沿射线BD平移，得到+的最小值为．∆，连接EC、GC．求EC GCEGF。
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类型一、基本模式类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）2、如图所示，如果将军从马棚上的某一位置 Q ,然后立即返回校场Q ）,使得总路程 MP +PQ + QN 最短.OB 上的某一位置 Q .请为将军设计一条路线 （即选择点P 和Q ）,使得总路程 MP +PQ 最短.3、将军要检阅一队士兵，要求 （如图所示）：队伍长为a ,沿河0B 排开（从点P 到点Q ）;将 军从马棚M 出发到达队头P,从P 至Q 检阅队伍后再赶到校场 N .请问：在什么位置列队（即将军饮马问题flM 出发，先赶到河 0A 上的某一位置 P ,再马上赶到河 0BN .请为将军重新设计一条路线 （即选择点P 和【变式】如图所示，将军希望从马棚 M 出发, 先赶到河OA 上的某一位置P ,再马上赶到河AOA 边的距离之和最小P 到练习1、已知点A 在直线 直线I 上运动时，点 请说明理由.I 外，点P 为直线I 上的一个动点，探究是否存在一个定点B ，当点P 在 P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点 B ;若不存在，5已知/ MON 内有一点P , P 关于OM , ON 的对称点分别是 百和均,分别交OM, ON于点A 、B,已知耳时=15,则^ PAB 的周长为（6. 已知/ AOB ,试在/ AOB 内确定一点 P ,如图，使 P 到OA 、OB 的距离相等，并且到 N 两点的距离也相等.7、已知/ MON = 40°, P 为/ MON 内一定点，OM 上有一点 A , ON 上有一点B ,当△ PAB 的周长取最小值时，A. 15B 7.5 C. 10D. 24求/ APB 的度数.8.如图，在四边形 ABCD 中，/ A = 90°, AD = 4,连接 BD , BD 丄 CD,/ ADB =/ C 若 P 是BC 边上一动点，则 DP 长的最小值为5、如图，已知/ AOB 内有一点P ,试分别在边 OA 和0B 上各找一点 E 、F ,使得△ PEF 的周 长最小。
试画出图形，并说明理由。
6、如图，直角坐标系中有两点 A 、B,在坐标轴上找两点 C D,使得四边形ABCD 的周长最小。
.A2、如图，在公路a 的同旁有两个仓库 A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到 库的距离和最短，这个中转站 M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？A 、B 两仓已知：A 、B 两点在直线I 的同侧， 在I 上求作一点M ，使得| AM BM |最小.如图，正方形 ABCD 中，AB 8, M 是DC 上的一点，且 DM 2 , N 是AC 上的一动 点，求DN MN 的最小值与最大值.MN7、如图，村庄 A 、B 位于一条小河的两侧，若河岸 a 、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸 垂直的桥CD,问桥址应如何选择，才能使 A 村到B 村的路程最近？Jf g xp ，当X 为何值时，y 的值最小，并求出这个最小值.A(1, -3)、B(4, -1)、P(a,0)、N(a+2,0),当四边形 PABN 的周长最小ABCD 中，AB=CD=AD=2 / D=120°，点 E 、F 是底边 AD 与 BC 的中 EF 上找一点P ,使BP+AP 最短.9、在平面直角坐标系中, 时，求a 的值.10、如图，在等腰梯形 点，连接EF 在线段练习1、观察下列银行标志, O从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有（A . 1个B . 2个 C. 3个D . 4个2、 以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（A .等边三角形B .矩形C .等腰梯形3、 在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ）D .平行四边形£4、在等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形这四个图形中，是中心对称图形的个数为 (A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换(如图甲).结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中, 两个对应三角形(如图乙)的对应点所具有的性质是(A)对应点连线与对称轴垂直(C)对应点连线被对称轴垂直平分图甲口图乙( ) (B)对应点连线被对称轴平分(D)对应点连线互相平行6、对右图的对称性表述, 正确的是().A.轴对称图形 B .中心对称图形C.既是轴对称图形又是中心对称图形D.既不是轴对称图形又不是中心对称图形7、如图，△ A B' C是由△ ABC经过变换得到的，则这个变换过程是(A)平移(B)轴对称(C)旋转(D)平移后再轴对称ABCA'BB'BC&如图所示，四边形 OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(3, 0), ( 0, 1 )，点D 是线段1BC 上的动点(与端点 B 、C 不重合)，过点D 作直线y = — — x + b 交折线OAB 于点E.2(1) 记^ ODE 的面积为S,求S 关于b 的函数关系式；(2) 当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形 OA 1B 1C 1,9、探究OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.①若直线与折线 OAB 的交点在OA 上时，即此时 E (2b , 0)1 1--S= — OE • CO= — X 2b X 1 = b2②若直线与折线此时E ( 3， bl ),D (2b —2, 1)【答案】(1) 若直线经过点 若直线经过点 若直线经过点 由题意得B (3, 1). b = 32b= § 2b = 1A (3, 0)时，则B ( 3, 1 )时，则C (0 , 1 )时，则31<bW -，如图 25-a ,3 5 OAB 的交点在BA 上时，即一< b < -，如图2由题意知，DM // NE , DN// ME ，•四边形DNEM 为平行四边形 根据轴对称知，/ MED =/ NED又/ MDE =/ NED, •/ MED =/ MDE , • MD = ME ,；平行四边形 过点D 作DH 丄OA ,垂足为H ,i由题易知，tan / DEN=—, DH = i , • HE = l ,l设菱形DNEM 的边长为a ,则在RtA DHM 中，由勾股定理知:ll l5a(l a ) i ，- a -5• - S 四边形 DNEM = NE • DH =—4•••矩形OA i B i C i 与矩形OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为•- S = S 矩一($△ OCD + & OAE + &DBE )i3 - [-(lb -i) l i 5 iX i + — X(5-lb ).(l b )+ - X 3(b3)] = |b b ll llb b l 3 2 5 2 (l )如图 形OABC 的重叠部分的面积即为四边形 本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！ 3，设O i A i 与CB 相交于点M , OA 与GB i 相交于点N , DNEM 的面积。
则矩形OA i B i C i 与矩DNEM 为菱形.io .如图，在平面直角坐标系中，△ABC (-i,3 )。
(i )画出△ ABC 关于x 轴对称的^ A i B i C i , (l )画出△ ABC 绕原点O 顺时针方向旋转(3)将^ A l B l C l 平移得到^ A 3B 3C 3，使点的三个顶点的坐标分别为A ( 0,i ),B (-i,i ), C，点C l 的对应点是C 3 (4, -i ),在坐标系中画出^并写出点C i 的坐标；90°后得到的^ A i B i C i ,并写出点 C 的坐标；， A l的对应点是A 3,点B l 的对应点是B 3A 3B 3C 3，并写出点 A 3, B 3的坐标。
【答案】(1)C1(-1,-3) (2)C2(3,1) (3)A3(2,-2),B3(2,-1) 11、分别按下列要求解答：(1)在图1中,将^ ABC先向左平移5个单位,再作关于直线AB的轴对称图形，经两次变换后得到△ A1B1 C.画出△ A1B1C1；.(2)在图2中,△ ABC经变换得到△ A2B2C2.描述变换过程【答案】(1)如图.(2)将^ ABC先关于点A作中心对称图形，再向左平移2个单位，得到△ A2B2C2.(变换过程不唯一)12径CD上找一点P,使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.径CD 上找一点P ,使BP+AP 的值最小，并求 BP+AP 的最小值. 12、(1)观察发现如题26(a)图，若点A , B 在直线I 同侧，在直线I 上找一点P ,使AP+BP 的值最小.做法如下：作点 B 关于直线I 的对称点B ，连接AB ，与直线I 的交点就是所求的点 P 再如题26(b)图，在等边三角形 ABC 中，AB=2,点E 是AB 的中点，AD 是高，在 AD 上 找一点P ,使BP+PE 的值最小.做法如下：作点 B 关于AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这 点就是所求的点⑵实践运用已知O O 的直径CD 为4, AD 的度数为60°,点B 是A D 的中点，在直P,故BP+PE 的最小值为 A fi 题18(a)图 2 题18(b)图 如题26(c)图,题18(c)图(3)拓展延伸如题26(d)图，在四边形 ABCD 的对角线AC 上找一点P ,使/ APB=/APD.保留 作图痕迹，不必写出作法.所以/ AEB=15°,因为B 关于CD 的对称点所以/ BOE=60°, 所以△ OBE 为等边三角形， 所以/ OEB=60°, 所以/ OEA=45° 又因为OA=OE , 所以△ OAE 为等腰直角三角形,所以 AE=2j2.AC 于P 即可,13、如图所示，A 、B 两村之间有一条河，河宽为 要使AB 两村路程最近，请确定修桥的地点。
连接 OA 、OB 、OE ，连接AE 交CD与一点P , AP+BP 最短，因为 ，点B 是A D 的中点,a ,现要在河上修一座垂直于河岸的桥， (I (n)桥建在何处才能使 AB 两村到桥的距离相E , 0 I 0 fAD 的度数为60° (3)找B 关于AC 对称点E ,连DE 延长交C？。