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将军饮马问题

唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句

说:"白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河. "

诗中隐含着一个有趣的数学问题.

如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下

的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营.

请问怎样走才能使总的路程最短?

这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题.

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短?从此，这个被称为"将军饮马"的问题广泛流传.

将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段 a+b 这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军问题，然后利用轴对称解题。

一．六大模型

1.如图，直线l 和l 的异侧两点A、B，

在直线l 上求作一点P，使PA+PB 最小。

2.如图，直线l 和l 的同侧两点A、B，

在直线l 上求作一点P，使PA+PB 最小。

3.如图，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM，ON 上作点A，B。

使△PAB 的周长最小.

4.如图，点P，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM，ON 上作点A，B。

使四边形PAQB 的周长最小。

5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P，

使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小

6. .如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小

常见问题

首先明白几个概念，动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求点，

即那个不定的点。定点即为题目中固定的点。对称的点，作图所得的点，需要连

线的点。

1. 怎么对称，作谁的对称？。简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。或者说只有定点才可以去作对称的。（不确定的点作对称式没有意义的）那么作谁的对称点?首先要明确关于对称的对象肯定是一条线，而不是一个点。那么是哪一条线？一般而言都是动点所在直线。

2. 对称完以后和谁连接？

一句话：和另外一个定点相连。绝对不能和一个动点相连。明确一个概念：定点的对称点也是一个定点。例如模型二和模型三。

3. 所求点怎么确定？

首先一定要明白，所求点最后反应在图上一定是个交点。实际就是我们所画直线和已知直线的交点。

下面我们来看看将军饮马与二次函数结合的问题：

1.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）设交点式为y=a（x﹣1）（x﹣4），然后把C点坐标代入求出a=，于是得到抛物线解析式为y=x2﹣x+3；

（2）先确定抛物线的对称轴为直线x=，连结BC交直线x=于点P，如图，利用对称性

得到PA=PB，所以PA+PC=PC+PB=BC，根据两点之间线段最短得到PC+PA最短，于是可判断此时四边形PAOC的周长最小，然后计算出BC=5，再计算OC+OA+BC即可．

【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣4），

把C（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣4）=3，解得a=，

所以抛物线解析式为y=（x﹣1）（x﹣4），即y=x2﹣x+3；

（2）存在．

因为A（1，0）、B（4，0），

所以抛物线的对称轴为直线x=，

连结BC交直线x=于点P，如图，则PA=PB，PA+PC=PC+PB=BC，此时PC+PA最短，

所以此时四边形PAOC的周长最小，

因为BC==5，

所以四边形PAOC周长的最小值为3+1+5=9．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了最短路径问题．

2．（2015•上城区一模）设抛物线y=（x+1）（x﹣2）与x轴交于A、C两点（点A在

点C的左边），与y轴交于点B．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）已知点D在坐标平面内，△ABD是顶角为120°的等腰三角形，求点D的坐标；

（3）若点P、Q位于抛物线的对称轴上，且PQ=，求四边形ABQP周长的最小值．【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）令x=0，求出与y轴的坐标；令y=0，求出与x轴的坐标；

（2）分三种情况讨论：①当AB为底时，若点D在AB上方；若点D在AB下方；②当AB为腰时，A为顶点时，③当AB为腰时，A为顶点时；仔细解答即可．

（3）当AP+BQ最小时，四边形ABQP的周长最小，根据轴对称最短路径问题解答．

【解答】解：（1）当x=0时，y=﹣；

当y=0时，x=﹣1或x=2；

则A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0）；

（2）如图，Rt△ABO中，OA=1，OB=，

∴AB=2，∠ABO=30°，∠BAO=60°，

∴△ABD是顶角为120°的等腰三角形．

①当AB为底时，若点D在AB上方，由∠ABO=∠BAD=30°，AB=2，得D1（0，﹣），

若点D在AB下方，由∠BAD=∠DBA=30°，AB=2，得D2（﹣1，﹣），

②当AB为腰时，A为顶点时，

∵∠DAB=120°，∠OAB=60°，AD=AB=2，

∴点D在y轴或x轴上，

若D在y轴上，得D3（0，），若D在x轴上，得D4（﹣3，0）；

③当AB为腰时，A为顶点时，

若点D在第三象限，

∵∠DBO=150°，BD=2，得D5（﹣1，﹣2）；

若点D在第四象限时，

∵DB∥x轴，BD=2，得D6（2，﹣），

∴符合要求的点D的坐标为（0，﹣），（﹣1，﹣），（0，），（﹣3，0），（﹣1，﹣

2），（2，﹣）；

（3）当AP+BQ最小时，四边形ABQP的周长最小，

把点B向上平移个单位后得到B1（0，﹣），

∵BB1∥PQ，且BB1=PQ，

∴四边形BB1PQ是平行四边形，

∴BQ=B1P，

∴AP+BQ=AP+B1P，

要在直线x=上找一点P，使得AP+B1P最小，

作点B1关于直线x=的对称点，得B2（1，﹣），

则AB2就是AP+BQ的最小值，AB2==，

AB=2，PQ=，

∴四边形ABQP的周长最小值是+2．