离散数学公式
离散数学重要公式定理汇总
关系的性质
一. 自反性
定义:设R是集合A中的关系，如果对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中自反关系。 即 R是A中自反的关系x(xAxRx) 例如： 在实数集合中,“”是自反关系，因
离散数学重要公式定理汇总
大一上
Formula
基本的等价公式
⑴ 对合律 PP ⑵ 幂等律 P∨PP P∧PP ⑶ 结合律 P∨(Q∨R)(P∨Q)∨R P∧(Q∧R)(P∧Q)∧R ⑷交换律 P∨QQ∨P P∧QQ∧P ⑸分配律 P∨(Q∧R)(P∨Q)∧(P∨R) P∧(Q∨R)(P∧Q)∨(P∧R) ⑹ 吸收律 P∨(P∧Q)P P∧(P∨Q)P ⑺德．摩根定律 (P∨Q)P∧Q (P∧Q)P∨Q
2013-12-16 7
Formula
• 蕴含的性质
*若AB且A为重言式，则B必为重言式 *若AB且BC，则AC (传递性) *若AB且AC，则A(B ∧ C) *若AB且C B，则(A∨C) B 证明见书P22
2013-12-16
8
conjunction
一、全功能真值表
2013-12-16 10
normal form
主析取范式定义 析取范式 A1∨A2∨...∨An, , 其中每个Ai (i=1,2..n) 都是小项，称之为主析取范式。 思考：主析取范式与析取范式的区别是什么？ 主析取范式的写法 方法Ⅰ：列真值表 ⑴列出给定公式的真值表。 ⑵找出真值表中每个“T”对应的真值指派再对 应的小项。 ⑶用“∨”联结上述小项，即可。
离散数学重要公式定理汇总分解
关系的性质
一. 自反性
定义 :设 R是集合 A中的关系，如果对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中自反关系。 即 R是A中自反的关系x(xAxRx) 例如： 在实数集合中 , “ ”是自反关系，因
例 邻居关系和朋友关系是对称关系。
四.反对称性
定义:设R为集合A中关系,若对任何x, y∈A,如果有 xRy,和yRx,就有x=y,则称R为A中反对称关系 。
R是A上反对称的 xy((xAyAxRyyRx) x=y) xy((xAyAxyxRy)y Rx) (P112) 由R的关系图看反对称性：两个不同的结点之间 最多有一条边。 从关系矩阵看反对称性：以主对角线为对称的两 个元素中最多有一个1。 另外对称与反对称不是完全对立的，有些关系它 既是对称也是反对称的，如空关系和恒等关系。
如 实数的大于关系>，父子关系是反自反的。 注意：一个不是自反的关系，不一定就是反自反
的。
三.对称性 定义:R是集合A中关系,若对任何x, y∈A,如果有
xRy,必有yRx,则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的
xy((xAyAxRy) yR方向相反的两 条边。 从关系矩阵看对称性：以主对角线为对 称的矩阵。
3
2018/10/25
Formula
等价公式(前10个)与集合论的公式比较： ⑴ 对合律 ~~AA ~A表示A的绝对补集 ⑵ 幂等律 A∪AA A ∩ A A ⑶ 结合律 A∪(B∪C)(A∪B)∪C； A∩(B∩C)(A∩B)∩C ⑷交换律 A∪BB∪A A∩BB∩A ⑸分配律 A∪(B∩C)(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)(A∩B)∪(A∩C) ⑹ 吸收律 A∪(A∩B)A A∩(A∪B)A
离散数学基本公式
离散数学基本公式离散数学是数学的一个重要分支，它主要研究的是非连续的、分离的对象，如集合、图论、数论、逻辑等。
在这些领域中，一些基本的公式和定理是理解和应用离散数学的关键。
以下是一些离散数学的基本公式：1、德摩根定律德摩根定律是布尔代数中的基本公式之一，它表示对于任何逻辑运算，如果我们把所有的否命题和原命题结合在一起，我们就会得到一个恒等式。
用符号表示为：P ∧ Q) ∨(¬P ∧¬Q) ≡ P ∨ QP ∨ Q) ∧(¬P ∨¬Q) ≡ P ∧ Q2.集合论中的互补律在集合论中，互补律表示对于任何集合A和它的补集A'，我们有：A ∪ A' = U,其中U是全集A ∩ A' = ∅,其中∅表示空集3.图论中的欧拉公式欧拉公式是图论中的一个基本公式，它表示对于一个连通无向图G，其顶点数v、边数e和欧拉数euler(G)之间有以下关系：euler(G) = v + e - 2其中euler(G)是图G的欧拉数，v是图G的顶点数，e是图G的边数。
这个公式在计算图的欧拉数或者判断一个图是否连通等方面都有重要应用。
4.数论中的费马小定理费马小定理是数论中的一个重要定理，它表示对于任何正整数n，如果它是质数p的幂次方，那么我们可以找到一个整数x，使得x的n 次方等于1（模p）。
用数学语言表示为：x^n ≡ x (mod p)其中n是正整数，p是质数，x是整数。
这个定理在密码学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
5.逻辑中的排中律和反证法排中律是指对于任何命题P，P或非P必定有一个是真命题。
反证法则是通过假设相反的命题成立来证明原命题的一种方法。
在证明过程中，如果假设的相反命题成立会导致矛盾，那么原命题就一定是正确的。
这些公式和定理只是离散数学中的一小部分，但它们是理解和应用离散数学的基础。
在学习的过程中，我们还需要掌握更多的公式和定理，以及它们的应用方法。
离散数学基本公式
一、基本等值式⑴双重否定律A A⑵幂等律A∧A A A∨A A⑶交换律A∧B B∧A A∨B B∨A⑷结合律A∨(B∨C)(A∨B)∨CA∧(B∧C)(A∧B)∧C⑸分配律A∨(B∧C)(A∨B)∧(A∨C)A∧(B∨C)(A∧B)∨(A∧C)(6)德摩根律(A∨B)A ∧B(A∧B)A ∨B(7)吸收律A∨(A∧B) AA∧(A∨B)A(8)零律A∨1 1 A∧00(9)同一律A∧1 AA∨0A(10)排中律A ∨A1(11)矛盾律A ∧A0(12)蕴含等值式A B A∨B(13)等价等值式A B (A B)∧(B A)A B (A∨B)∧(A ∨B)A B(A∧B)∨(A ∧ B )(14)假言易位A B B A(15)等价否定等值式A B A B(16)归谬论(A B)∧(A B) A二、推理定律——重言蕴涵式1.A (A B)附加律2.(A B)A化简律3.(A B)A B假言推理4.(A B)B A拒取式5.(A B)B A析取三段论6.(A B)(B C)(A C)假言三段论7.(A B)(B C)(A C)等价三段论8.(A B)(C D)(A C)(B D)构造性二难(A B)(A B)B构造性二难(特殊形式)9.(A B)(C D)(B D)(A C)破坏性二难三、量词辖域收缩与扩张x(A(x)∨B)xA(x)∨B x(A(x)∧B)xA(x)∧B x(A(x)→B)xA(x)→B x(B1/ 2→A(x))B→xA(x)x(A(x)∨B)xA(x)∨B x(A(x)∧B)xA(x)∧B x(A(x)→B )xA(x)→B x(B→A(x))B→xA(x)四、量词分配x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x) )xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)个体域为全体自然数; A(x)：x是偶数, B(x)：x是奇数;左1,右0x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)个体域为全体自然数; A(x)：x是偶数B(x)：x是奇数;左0,右 12/ 2。
离散数学公式
离散数学公式基本等值式1.双重否定律 A ⇔┐┐A2.幂等律 A ⇔ A∨A, A ⇔ A∧A3.交换律A∨B ⇔ B∨A，A∧B ⇔ B∧A4.结合律(A∨B)∨C ⇔ A∨(B∨C) (A∧B)∧C ⇔ A∧(B∧C)5.分配律A∨(B∧C) ⇔ (A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律）A∧(B∨C) ⇔ (A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律）6.德·摩根律┐(A∨B) ⇔┐A∧┐B ┐(A∧B) ⇔┐A∨┐B7.吸收律 A∨(A∧B) ⇔ A，A∧(A∨B) ⇔ A8.零律A∨1 ⇔ 1,A∧0 ⇔ 09.同一律A∨0 ⇔ A，A∧1 ⇔ A10.排中律A∨┐A ⇔ 111.矛盾律A∧┐A ⇔ 012.蕴涵等值式A→B ⇔┐A∨B13.等价等值式A↔B ⇔ (A→B)∧(B→A)14.假言易位A→B ⇔┐B→┐A15.等价否定等值式 A↔B ⇔┐A↔┐B16.归谬论(A→B)∧(A→┐B) ⇔┐A求给定公式范式的步骤(1)消去联结词→、↔(若存在)。
(2)否定号的消去(利用双重否定律)或内移(利用德摩根律)。
(3)利用分配律：利用∧对∨的分配律求析取范式，∨对∧的分配律求合取范式。
推理定律--重言蕴含式(1) A ⇒ (A∨B) 附加律(2) (A∧B) ⇒ A 化简律(3) (A→B)∧A ⇒ B 假言推理(4) (A→B)∧┐B ⇒┐A 拒取式(5) (A∨B)∧┐B ⇒ A 析取三段论(6) (A→B) ∧(B→C) ⇒ (A→C) 假言三段论(7) (A↔B) ∧(B↔C) ⇒ (A ↔ C) 等价三段论(8) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) ⇒(B∨D) 构造性二难(A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) ⇒ B 构造性二难(特殊形式)(9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D) ⇒(┐A∨┐C)破坏性二难设个体域为有限集D={a1,a2,…,an},则有（1）∀xA(x) ⇔ A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)（2）∃xA(x) ⇔ A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则（1）┐∀xA(x) ⇔∃x┐A(x)（2）┐∃xA(x) ⇔∀x┐A(x)设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，B中不含x的出现，则（1）∀x(A(x)∨B) ⇔∀xA(x)∨B∀x(A(x)∧B) ⇔∀xA(x)∧B∀x(A(x)→B) ⇔∃xA(x)→B∀x(B→A(x)) ⇔ B→∀xA(x)（2）∃x(A(x)∨B) ⇔∃xA(x)∨B∃x(A(x)∧B) ⇔∃xA(x)∧B∃x(A(x)→B) ⇔∀xA(x)→B∃x(B→A(x)) ⇔ B→∃xA(x)设A(x)，B(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则（1）∀x(A(x)∧B(x)) ⇔∀xA(x)∧∀xB(x)（2）∃x(A(x)∨B(x)) ⇔∃xA(x)∨∃xB(x)全称量词“∀”对“∨”无分配律。
离散数学公式
离散数学公式
离散数学是一门利用数学原理研究离散复杂系统的科学，是一门多维而全面的学科，其研究范围涵盖了计算机科学、逻辑学、概率论和组合数学等领域。
关系公式：若集合X和Y之间存在一对一的函数关系，则X到Y的映射关系可以用公式f：X→Y表示，其中•x∈X表示x是X集合中的一个元素，•f（x）∈Y表示f（x）是Y集合中的一个元素，•f：X→Y表示Y集合的每个元素都可以通过函数f映射回X集合中的一个元素。
函数关系公式：若集合X和Y之间存在可定义的函数关系，则可以用f：X→Y表示，其中•f：X→Y表示函数f把X集合中的元素映射到Y集合中，•f（x）表示x在X集合中的元素映射到Y集合中的元素。
算数逻辑公式：若集合X和Y之间存在逻辑关系，则可以用公式
x∈X⊃y∈Y表示，其中•x∈X表示x是X集合中的一个元素，•y∈Y表示y是Y集合中的一个元素，•x∈X⊃y∈Y表示若x属于X集合，则y属于Y集合。
什么是离散数学全概率公式
什么是离散数学全概率公式离散数学中的全概率公式是一种用于计算条件概率的重要公式。
它是基于条件概率和边缘概率的概率计算规则，可以在给定不同条件下计算事件的概率。
全概率公式的数学表达为：P(A)=P(A，B1)∙P(B1)+P(A，B2)∙P(B2)+...+P(A，Bn)∙P(Bn)其中，P(A)表示事件A的概率，P(B1),P(B2),...,P(Bn)表示互斥且构成样本空间的一系列事件B1,B2,...,Bn。
而P(A，B1),P(A，B2),...,P(A，Bn)表示事件A在给定条件B1,B2,...,Bn下的条件概率。
全概率公式的意义在于它允许我们通过知道条件概率和边缘概率来计算任意事件的概率。
它可以帮助我们解决一些复杂的概率问题，特别是在实际应用中，当我们需要计算一些事件的概率，但无法直接获得这个概率值时，可以使用全概率公式进行计算。
全概率公式的证明可以通过条件概率的定义来进行推导。
我们知道，条件概率P(A，B)定义为：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B的交集的概率，P(B)表示事件B的概率。
根据概率的加法规则，我们可以将事件A∩B分解成互斥的事件，并用它们的概率之和表示：P(A∩B)=P(A∩B1)+P(A∩B2)+...+P(A∩Bn)将上式代入条件概率的定义中，我们可以得到：P(A，B)=[P(A∩B1)+P(A∩B2)+...+P(A∩Bn)]/P(B)由于B1,B2,...,Bn是样本空间的一个分割，所以它们的概率之和为1，即P(B1)+P(B2)+...+P(Bn)=1、将其代入上式，我们可以得到：P(A，B)=[P(A∩B1)/P(B)]+[P(A∩B2)/P(B)]+...+[P(A∩Bn)/P(B)]再进一步，我们可以将每个条件概率与P(A，B)相乘，然后用边缘概率来代替交集的概率，得到全概率公式：P(A，B)∙P(B)=P(A∩B1)+P(A∩B2)+...+P(A∩Bn)上式表明，给定事件B发生的条件下，事件A发生的概率等于事件A 在各个条件B1,B2,...,Bn下发生的概率之和。
离散数学判断公式类型
离散数学判断公式类型离散数学是一门研究离散对象及其性质、关系和运算的数学学科。
在离散数学中，有许多重要的公式和定理，可以帮助我们判断公式的类型。
本文将介绍几种常见的公式类型，并对其进行简要解释。
一、命题逻辑公式命题逻辑是离散数学的一个重要分支，它研究命题之间的逻辑关系。
在命题逻辑中，我们常常会遇到命题的合取、析取和否定等运算。
命题逻辑公式指的是由命题变量、逻辑运算符和括号组成的表达式。
例如，p∧q表示命题p和命题q的合取，p∨q表示命题p和命题q的析取，¬p表示命题p的否定。
命题逻辑公式可以通过真值表或推理规则来进行验证。
二、谓词逻辑公式谓词逻辑是命题逻辑的扩展，它引入了谓词和量词的概念。
谓词逻辑公式是由谓词变量、量词、逻辑运算符和括号组成的表达式。
谓词逻辑公式可以表示关于个体和关系的命题。
例如，∀x (P(x)→Q(x))表示对于所有的个体x，如果P(x)成立，则Q(x)也成立。
谓词逻辑公式可以通过真值表或归纳法来进行验证。
三、集合论公式集合论是离散数学的另一个重要分支，它研究集合及其性质、关系和运算。
在集合论中，我们常常会遇到集合的交、并、补和差等运算。
集合论公式是由集合变量、集合运算符和括号组成的表达式。
例如，A∩B表示集合A和集合B的交集，A∪B表示集合A和集合B的并集，A\B表示集合A和集合B的差集。
集合论公式可以通过集合图或Venn图来进行验证。
四、图论公式图论是离散数学的重要分支之一，它研究图及其性质、关系和运算。
在图论中，我们常常会遇到图的顶点数、边数和度数等概念。
图论公式是由图变量、图运算符和括号组成的表达式。
例如，V表示图的顶点数，E表示图的边数，deg(v)表示图中顶点v的度数。
图论公式可以通过图的表示和计算来进行验证。
五、组合数学公式组合数学是离散数学的另一个重要分支，它研究组合结构及其性质、关系和计数。
在组合数学中，我们常常会遇到排列、组合和二项式系数等概念。
离散数学基本公式
离散数学基本公式离散数学是数学中的一个重要分支，主要研究离散对象及其关系的数学结构。
离散数学中有很多基本公式，下面将介绍一些常用的公式。
1.排列公式：排列是从一个集合中取出特定元素组成一定长度的有序排列。
对于n个不同元素中取r个元素排列的个数表示为P(n,r)，其计算公式为：P(n,r)=n!/(n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*(n-2)*...*12.组合公式：组合是从一个集合中取出特定元素组成一定长度的无序组合。
对于n个不同元素中取r个元素组合的个数表示为C(n,r)，其计算公式为：C(n,r)=n!/(r!*(n-r)!)3.二项式定理：二项式定理是将一个二次多项式展开为一系列项的求和，其公式为：(a+b)^n=C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+C(n,2)*a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)*a^0*b^n4.递推公式：递推公式是通过前一项或前几项的值求得下一项的值。
在离散数学中，递推公式经常用来求解递归关系式。
例如，斐波那契数列的递推公式为：F(n)=F(n-1)+F(n-2)其中，F(n)表示斐波那契数列的第n项，F(0)=0，F(1)=15.布尔代数公式：布尔代数是离散数学中研究命题逻辑的一种代数结构。
布尔代数中有一些常见的公式，如德·摩根定律：¬(p∧q)=¬p∨¬q¬(p∨q)=¬p∧¬q其中，¬表示取非操作，∧表示逻辑与操作，∨表示逻辑或操作。
6.常用等式：在离散数学中，还有一些常用的等式，如：a+(a*b)=aa∨(a∧b)=aa∧(a∨b)=a这些等式在布尔代数、集合论等离散数学的领域中经常被使用。
7.容斥原理：容斥原理是离散数学中常用的一种求解集合问题的方法，其公式为：A1∪A2∪...∪An，=，A1，+，A2，+...+，An，-，A1∩A2，-，A1∩A3，-...+(-1)^(n+1)*，An-1∩An，+...+(-1)^(n+1)*，A1∩A2∩...∩A其中，A，表示集合A的元素个数。
离散数学公式大全总结
离散数学公式大全总结离散数学是数学中的一个分支，涵盖了许多概念和公式。
以下是一些离散数学中常见的公式和概念的总结：1. 集合理论：集合并：$A \cup B = {x | x \in A \text{或} x \in B}$集合交：$A \cap B = {x | x \in A \text{且} x \in B}$集合补：$A' = {x | x \notin A}$集合差：$A - B = {x | x \in A \text{且} x \notin B}$幂集：如果$A$有$n$个元素，$P(A)$有$2^n$个子集。
容斥原理：$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$2. 排列和组合：排列数：$P(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!}$组合数：$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}$二项定理：$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n}C(n, k)a^{n-k}b^k$3. 图论：手握定理：$2 \cdot \text{边数} = \sum \text{度数}$欧拉图：一个连通图是欧拉图，当且仅当每个顶点的度数都是偶数。
哈密顿图：包含图中每个顶点的圈。
图着色：给定图中的顶点，用尽量少的颜色对它们进行着色，使得相邻的顶点颜色不相同。
图的最短路径：Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法用于找到图中的最短路径。
4. 布尔代数：布尔变量：$0$表示假，$1$表示真。
逻辑与：$A \land B$逻辑或：$A \lor B$逻辑非：$\lnot A$逻辑与门：$AND$逻辑或门：$OR$逻辑非门：$NOT$布尔恒等定律：$A \land 1 = A$，$A \lor 0 = A$德·摩根定律：$\lnot (A \land B) = \lnot A \lor \lnot B$，$\lnot (A \lor B) = \lnot A \land \lnot B$5. 树和图：树的顶点数与边数关系：$V = E + 1$二叉树的性质：最多有$2^k$个叶子节点，高度为$h$的二叉树最多有$2^{h+1} - 1$个节点。
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基本等值式1.双重否定律 A Û┐┐A2.幂等律 A Û A∨A, A Û A∧A3.交换律A∨B Û B∨A，A∧B Û B∧A4.结合律(A∨B)∨C Û A∨(B∨C) (A∧B)∧C Û A∧(B∧C)5.分配律A∨(B∧C) Û (A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律）A∧(B∨C) Û (A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律）6.德·摩根律┐(A∨B) Û┐A∧┐B ┐(A∧B) Û┐A∨┐B7.吸收律A∨(A∧B) Û A，A∧(A∨B) Û A8.零律A∨1 Û 1,A∧0 Û 09.同一律A∨0 Û A，A∧1 Û A10.排中律A∨┐A Û 111.矛盾律A∧┐A Û 012.蕴涵等值式A→B Û┐A∨B13.等价等值式A«B Û (A→B)∧(B→A)14.假言易位A→B Û┐B→┐A15.等价否定等值式A«B Û┐A«┐B16.归谬论(A→B)∧(A→┐B) Û┐A求给定公式范式的步骤(1)消去联结词→、«(若存在)。
(2)否定号的消去(利用双重否定律)或内移(利用德摩根律)。
(3)利用分配律：利用∧对∨的分配律求析取范式，∨对∧的分配律求合取范式。
推理定律--重言蕴含式(1) A Þ (A∨B) 附加律(2) (A∧B) Þ A化简律(3) (A→B)∧A Þ B假言推理(4) (A→B)∧┐B Þ┐A 拒取式(5) (A∨B)∧┐B Þ A析取三段论(6) (A→B) ∧ (B→C) Þ (A→C) 假言三段论(7) (A«B) ∧ (B«C) Þ (A « C) 等价三段论(8) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) Þ(B∨D) 构造性二难(A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) Þ B 构造性二难(特殊形式)(9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D) Þ(┐A∨┐C) 破坏性二难设个体域为有限集D={a1,a2,…,an},则有（1）"xA(x) Û A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)（2）$xA(x) Û A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则（1）┐"xA(x) Û $x┐A(x)（2）┐$xA(x) Û "x┐A(x)设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，B中不含x的出现，则（1） "x(A(x)∨B) Û "xA(x)∨B"x(A(x)∧B) Û "xA(x)∧B"x(A(x)→B) Û $xA(x)→B"x(B→A(x)) Û B→"xA(x)（2） $x(A(x)∨B) Û $xA(x)∨B$x(A(x)∧B) Û $xA(x)∧B$x(A(x)→B) Û "xA(x)→B$x(B→A(x)) Û B→$xA(x)设A(x)，B(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则（1）"x(A(x)∧B(x)) Û "xA(x)∧"xB(x)（2）$x(A(x)∨B(x)) Û $xA(x)∨ $xB(x)全称量词“"”对“∨”无分配律。
存在量词“$”对“∧”无分配律。
UI规则。
UG规则。
EG规则。
A(c)xA(x)或A(y)xA(x)∴∀∴∀xA(x)A(y)∀∴xA(x)A(c)∃∴EI 规则。
A ∪B ＝{x|x ∈A ∨x ∈ B } 、 A ∩B ＝{x|x ∈A ∧x ∈B } A －B ＝{x|x ∈A ∧x ÏB } 幂集 P(A)＝{x | x ÍA}对称差集 A ÅB ＝(A －B)∪(B －A)A ÅB ＝(A ∪B)－(A ∩B)绝对补集 ～A ＝{x|x Ï A }广义并 ∪A ＝{x | $z(z ∈A ∧x ∈z)} 广义交 ∩A ＝{x | "z(z ∈A →x ∈z)} 设 A ＝{{a,b,c},{a,c,d},{a,e,f}} B ＝{{a}} C ＝{a,{c,d}} 则 ∪A ＝{a,b,c,d,e,f}∪B ＝{a}∪C ＝a ∪{c,d} ∪Æ＝Æ ∩A ＝{a} ∩B ＝{a}∩C ＝a ∩{c,d}集合恒等式 幂等律 A ∪A ＝A A ∩A ＝A 结合律 (A ∪B)∪C ＝A ∪(B ∪C) (A ∩B)∩C ＝A ∩(B ∩C) 交换律 A ∪B ＝B ∪A A ∩B ＝B ∩AA(c)xA(x)∴∃分配律A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)同一律A∪Æ＝A A∩E＝A零律A∪E＝E A∩Æ＝Æ排中律A∪～A＝E矛盾律 A∩～A＝Æ吸收律 A∪(A∩B)＝A A∩(A∪B)＝A德摩根律 A－(B∪C)＝(A－B)∩(A－C) A－(B∩C)＝(A－B)∪(A－C)～(B∪C)＝～B∩～C～(B∩C)＝～B∪～C～Æ＝E～E＝Æ双重否定律～(～A)＝A集合运算性质的一些重要结果A∩BÍA，A∩BÍBAÍA∪B，BÍA∪BA－BÍAA－B＝A∩～BA∪B＝B Û AÍB Û A∩B＝A Û A－B＝ÆAÅB＝BÅA(AÅB)ÅC＝AÅ(BÅC)AÆÅ＝AAÅA＝ÆAÅB＝AÅC Þ B＝C对偶(dual)式：一个集合表达式，如果只含有∩、∪、～、Æ、E、＝、Í、Ê，那么同时把∩与∪互换，把Æ与E互换，把Í与Ê互换，得到式子称为原式的对偶式。
有序对<x,y>具有以下性质：（1）当x≠y时，<x,y>≠<y,x>。
（2）<x,y>＝<u,v>的充分必要条件是x＝u且y＝v。
笛卡儿积的符号化表示为A×B＝{<x,y>|x∈A∧y∈B}如果|A|=m,|B|=n,则|A×B|=mn。
笛卡儿积的运算性质(1)对任意集合A，根据定义有A×Æ＝Æ, Æ×A＝Æ(2)一般的说，笛卡儿积运算不满足交换律，即A×B≠B×A (当 A≠Æ∧ B≠Æ∧ A≠B 时)(3)笛卡儿积运算不满足结合律，即(A×B)×C≠A×(B×C) (当 A≠Æ∧ B≠Æ∧ C≠Æ时)(4)笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律，即A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) (B∪C)×A=(B×A)∪(C×A)A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) (B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)(5)AÍC ∧ BÍD Þ A×B Í C×D常用的关系对任意集合A，定义全域关系 EA={<x,y>|x ∈A ∧y ∈A}=A ×A 恒等关系 IA={<x,x>|x ∈A}空关系 Æ小于或等于关系：LA={<x,y>|x,y ∈A ∧x ≤y}，其中 A ÍR 。
整除关系：DB={<x,y>|x,y ∈B ∧x 整除y}，其中 A ÍZ* ，Z*是非零整数集 包含关系：R Í＝{<x,y>|x,y ∈A ∧x Íy}，其中 A 是集合族。
关系矩阵和关系图设 A={1,2,3,4}，R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}， 则R 的关系矩阵和关系图分别是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=001000011000011M R定义域 dom R ＝ {x | $y(<x,y>∈R )} 值域 ran R ＝{y | $ x(<x,y>∈R)} 域 fld R ＝dom R ∪ ran R例 求R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}的定义域、值域和域。
解答 dom R ＝{1,2,4} ran R ＝{2,3,4} fld R ＝{1,2,3,4}逆 R-1＝{<x,y>|<y,x>∈R}右复合 F °G ＝{<x,y> | $t(<x,t>∈F ∧<t,y>∈G)}限制 R ↑A={<x,y>|xRy ∧x ∈A} 像 R[A]=ran(R ↑A)例 设R ＝{<1,2>，<1,3>，<2,2>，<2,4>，<3,2>}R ↑{1}＝{<1,2>，<1,3>} R ↑Æ ＝Æ R ↑{2,3}＝{<2,2>，<2,4>}，<3,2>} R[{1}]＝{2,3} R[Æ] ＝Æ R[{3}]＝{2}设F 是任意的关系，则 (1)(F-1)-1＝F(2)dom F-1＝ran F ，ran F-1＝dom F 设F ，G ，H 是任意的关系，则 (1)(F °G)°H ＝F °(G °H) (2)(F °G)-1＝G-1 ° F-1设R 为A 上的关系，则R ° IA ＝IA ° R ＝R 设F ，G ，H 是任意的关系，则 (1) F °(G ∪H)＝F °G ∪F °H (2) (G ∪H)°F ＝G °F ∪H °F (3) F °(G ∩H)ÍF °G ∩F °H (4) (G ∩H)°F ÍG °F ∩H °F设F为关系，A,B为集合，则(1) F ↑(A∪B)＝F↑A∪F↑B(2) F[A∪B]＝F[A]∪F[B](3) F↑(A∩B)＝F↑A∩F↑B(4) F[A∩B]ÍF[A]∩F[B]关系的幂运算设R为A上的关系，n为自然数，则R 的n次幂定义为：（1） R0＝{<x,x>|x∈A}＝IA（2） Rn+1＝Rn ° R幂运算的性质设A为n元集，R是A上的关系，则存在自然数s和t,使得Rs=Rt。