零极点对系统的性能影响分析

G0（s）的阶跃响应
Matlab指令：
G=zpk([],[,],[1])
sys=feedback(G,1)
step(sys)
得到图形：
图2 原函数的阶跃响应曲线
由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
曲线最大峰值为，稳态值为，
上升时间tr=
超调时间tp=
调节时间ts=，
超调量 =%
3 增加零点后的开环传递函数G1（s）的性能分析
4.综合数据，分析零点对系统性能的影响
5.在G0（s）上增加极点，使开环传递函数为G2（s），绘制系统的根轨迹，分析系统的稳定性；
6.取不同的开环传递函数G2（s）极点的值，绘制系统的阶跃响应曲线得到系统的暂态性能（包括上升时间，超调时间，超调量，调节时间）；
7.综合数据，分析极点对系统性能的影响。
step(num,den);
h = findobj(gcf, 'Type','line');
set(h, 'LineWidth', 3);
图17 的阶跃响应曲线
由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
曲线最大峰值为，稳态值为，
上升时间tr=
超调时间tp=
调节时间ts=50s，
超调量 =%
4.2.4当p=10的阶跃响应
set(h,'LineWidth', 3);
得到图：
图25
由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
曲线最大峰值为，稳态值为，
上升时间tr=
超调时间tp=
调节时间ts=，
超调量 =%
可对消偶极子
取增加的极点p=-1和零点s=组成一对开环偶极子。那么可以得到的闭环传递函数为：
Matlab指令：
num=[1,];
4增加极点后的开环传递函数G2（s）的性能分析
为了分析开环传递函数的极点对系统性能的影响，现在在原开环传递函数的表达式上单独增加一个极点S=-p,并改变p值大小，即离原点的距离，分析比较系统性能的变化。所以增加零点后的开环传递函数为：
G2(s)的根轨迹
因为后面利用阶跃响应来分析时将取的极点均在实轴的负半轴，那么只要了解其中一个开环传递函数稳定，那么其它的稳定也可以推知。所以取p=1画出根轨迹来观察系统的稳定性。
增加零点后对系统性能的影响分析
根据图2，图4，图5，图6，图7，图8，可以得到原函数以及在原开环传递函数上增加一个零点s=a，a分别取,,1,10,100的系统性能参数。如以下表1所示：
表1
根据表1可画出lga与各个指标的关系曲线，如以下图9，图10，图11，图12和图13。因为原函数中的lga的值为负无穷，所以无法在图中直接反映，所以图9，图10，图11，图12和图13五个图反映的是，零点距离原点的远近对系统性能的影响。
当p=1时，开环传递函数G2(s)的表达式为
Matlab指令：
num=[1];
den=[1,,,];
rlocus(num,den);
h = findobj(gcf, 'Type','line');
set(h, 'LineWidth', 3);
得到图：
图14原函数G0(s)的根轨迹
根据G(s)的根轨迹可得：根轨迹均在左半平面，只是多了一个极点，系统仍然是稳定的，并且可以推知，只要极点在实轴的负半轴上，系统都是稳定的。
3.2.1当a=的阶跃响应
当a=时，对应的闭环传递函数为
Matlab指令：
num=[100,1];
den=[1,,];
step(num,den)
grid on
得到图
图4 的阶跃响应曲线
由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
曲线最大峰值为，稳态值为，
上升时间tr=
超调时间tp=
调节时间ts=197s，
超调量 =%
set(h, 'LineWidth', 3);
得到图：
图16 的阶跃响应曲线
由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
曲线最大峰值为，稳态值为，
上升时间tr=
超调时间tp=
调节时间ts=，
超调量 =%
4.2.3当p=1的阶跃响应
当p=1时，对应的闭环传递函数为
Matlab指令：
num=[1];
den=[1,,,];
图9曲线峰值Mr与lg（a）的关系
图10上升时间tr与lg（a）的关系
图11 超调时间与lg（a）的关系
图12调节时间与lg（a）的关系
图13 超调量与lg（a）的关系
结论：
1.增加不同的零点对系统参数有不同的影响；
2.曲线峰值与超调量受到影响后的值与原值没有重合，上升时间，超调时间与调节时间与原值有重合；
8.增加一对离原点近的偶极子和一对距离原点远的偶极子来验证偶极子对消的规律。
2原开环传递函数G0（s）的性能分析
G0（s）的根轨迹
取原开环传递函数为：
Matlab指令：
num=[1];
den=[1,,];
rlocus(num,den);
得到图形：
图1 原函数G0(s)的根轨迹
根据原函数的根轨迹可得：系统的两个极点分别是和，分离点为，零点在无限远处，系统是稳定的。
3.2.3当a=1的阶跃响应
当a=1时，对应的闭环传递函数为
Matlab指令
num=[1,1];
den=[1,,];
step(num,den)
grid on
得到图
图6 的阶跃响应曲线
由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
由图可知，曲线最大峰值为，稳态值为，
上升时间tr=
超调时间tp=
调节时间ts=，
超调量 =%
不可对消偶极子
取增加的极点p=和零点s=组成一对开环偶极子，那么可以得到的闭环传递函数为：
为了得到新传递函数的性能参数，画出闭环传递函数的阶跃响应曲线。
Matlab指令：
num=[1,];
den=[1,,,];
step(num,den);
h = findobj(gcf,'Type','line');
根据图2，图24以及图25的可以的得到的数据如表3。
表3
由表3可以看出，增加距离原点远的偶极子（可对消偶极子）比增加距离原点近的偶极子（不可对消偶极子）的对各个参数的影响都要小。并且可对消偶极子消去后对系统系能几乎没有影响，在工程计算中，完全可以忽略。
参考文献
[1] 胡寿松,自动控制原理(第六版).北京：科学出版社，2013
den=[1,,,];
step(num,den);
h = findobj(gcf,'Type','line');
set(h,'LineWidth', 3);
得到图：
图26
由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
曲线最大峰值为，稳态值为，
上升时间tr=
超调时间tp=
调节时间ts=，
超调量 =%
增加偶极子对系统性能的影响分析
当p=10时，对应的闭环传递函数为
Matlab指令：
num=[1];
den=[,,,];
step(num,den);
h = findobj(gcf, 'Type','line');
set(h, 'LineWidth', 3);
图18 的阶跃响应曲线
由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
曲线最大峰值为，稳态值为，
图19 的阶跃响应曲线
由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
曲线最大峰值为，稳态值为，
上升时间tr=
超调时间tp=
调节时间ts=10s，
超调量 =%
增加极点后对系统性能的影响分析
根据图2，图15，图16，图17，图18，图19，可以得到原函数以及在原开环传递函数上增加一个零点s=-p，p分别取,,1,10,100的系统性能参数。如以下表2所示：
3.随着a的增加（或者说随着零点渐渐远离零点），曲线峰值受到的影响（取绝对值来看）和超调量受到的影响均是先增后减；上升时间受到的影响，超调时间受到的影响，调节时间受到的影响均是先减后增再减；
4.当a=100时，也就是零点距离原点最远时，增加的零点对系统的影响最小，可以预见，当零点与原点的距离趋近于无穷远时，系统性能受到的影响趋近于0。
3.2.2当a=的阶跃响应
当a=时，对应的闭环传递函数为
Matlab指令：
num=[10,1];
den=[1,,];
step(num,den)
grid on
得到图
图5 的阶跃响应曲线
由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
由图可知，曲线最大峰值为，稳态值为，
上升时间tr=
超调时间tp=
调节时间ts=，
超调量 =%
零极点对系统性能的影响分析
1任务步骤
1.分析原开环传递函数G0（s）的性能，绘制系统的阶跃响应曲线得到系统的暂态性能（包括上升时间，超调时间，超调量，调节时间）；
2.在G0（s）上增加零点，使开环传递函数为G1（s），绘制系统的根轨迹,分析系统的稳定性；
3.取不同的开环传递函数G1（s）零点的值，绘制系统的阶跃响应曲线得到系统的暂态性能（包括上升时间，超调时间，超调量，调节时间）；
表2
根据表1可画出lgp与各个指标的关系曲线，如以下图20，图21，图22，图23和图24。因为原函数中的lga的值为负无穷，所以无法在图中直接反映，所以图20，图21，图22，图23和图24五个图反映的是，极点距离原点的远近对系统性能的影响。
图20曲线峰值Mr与lg（p）的关系
图21上升时间tr与lg（p）的关系
3.2.5当a=100的阶跃响应
当a=10时，对应的闭环传递函数为
Matlab指令
num=[,1];
den=[1,,];
step(num,den)
grid on
得到图
图8 的阶跃响应曲线
由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
由图可知，曲线最大峰值为，稳态值为，
上升时间tr=
超调时间tp=
调节时间ts=，
超调量 =%
增加不同极点时G2（s）的阶跃响应
4.2.1当p=的阶跃响应
当p=时，对应的闭环传递函数为：
Matlab指令：
num=[1];
den=[100,81,,];
step(num,den);
h = findobj(gcf, 'Type','line');
set(h, 'LineWidth', 3);
得到图：
图22超调时间与lg（p）的关系
图23调节时间与lg（p）的关系
图24超调量与lg（p）的关系
结论：
1.增加不同的极点对系统参数有不同ຫໍສະໝຸດ Baidu影响；
2.比较观察增加零点时的系统参数（以上升时间tr为例）的变化，可以发现，在某些区间（x1<a=p<x2）内，存在： ，则 ，说明了极点与零点对系统系能的影响的差别；
当a=1时，开环传递函数的表达式为：
Matlab指令：
num=[1,1];
den=[1,,];
rlocus(num,den)
得到图
图3G1（s）的根轨迹曲线
根据G1（s）的根轨迹可得：根轨迹均在左半平面，只是多了一个零点，系统仍然是稳定的，并且可以推知，只要零点在实轴的负半轴上，系统都是稳定的。
增加不同零点时G1（s）的阶跃响应
3.2.4当a=10的阶跃响应
当a=10时，对应的闭环传递函数为
Matlab指令
num=[,1];
den=[1,,];
step(num,den)
grid on
得到图
图7 的阶跃响应曲线
由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
由图可知，曲线最大峰值为，稳态值为，
上升时间tr=
超调时间tp=
调节时间ts=，
超调量 =%
图15 的阶跃响应曲线
由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
曲线最大峰值为，稳态值为，
上升时间tr=
超调时间tp=
调节时间ts=，
超调量 =%
4.2.2当p=的阶跃响应
当p=时，对应的闭环传递函数为
num=[1];
den=[10,9,,];
step(num,den);
h = findobj(gcf, 'Type','line');
3.系统参数的变化有可能是随着p值的增加而震荡，但是数据量偏少，不能下结论；
4.同时可以预见，当零点与原点的距离趋近于无穷远时，系统性能受到的影响趋近于0。
5.偶极子对系统性能影响的验证
相距很近的闭环零点极点常被称为偶极子，经验指出，如果闭环零、极点之间的距离比它们本身的模值小一个数量级，则这一对闭环零极点就构成偶极子。偶极子中，远离原点的偶极子，其影响基本可略；接近原点的偶极子，其影响必须考虑。出于本报告只是验证该规律，所以不可对消偶极子和可对消偶极子各取一对。
为了分析开环传递函数的零点对系统性能的影响，现在在原开环传递函数的表达式上单独增加一个零点S=-a,并改变a值大小，即离虚轴的距离，分析比较系统性能的变化。所以增加零点后的开环传递函数为：开环传递函数表达式：
G1（s）的根轨迹
因为后面利用阶跃响应来分析时将取的零点均在实轴的负半轴，那么只要了解其中一个开环传递函数稳定，那么其它的稳定也可以推知。所以取a=1画出根轨迹来观察系统的稳定性。
上升时间tr=
超调时间tp=
调节时间ts=，
超调量 =%
4.2.5当p=100的阶跃响应
当p=100时，对应的闭环传递函数为
Matlab指令：
num=[1];
den=[,,,];
step(num,den);
h = findobj(gcf, 'Type','line');
set(h, 'LineWidth', 3);