带电粒子在磁场中运动之临界与极值问题

考点4.6 临界与极值问题

考点4.6.1 “放缩圆”方法解决极值问题

1、圆的“放缩”

当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度v 大小或磁场的

强弱B 变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r 随之变化．在确定粒

子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨道半径放缩，作

出一系列的轨迹，从而探索出临界条件．如图所示，粒子进入长方

形边界OABC 形成的临界情景为②和④.

1. （多选）如图所示，左、右边界分别为PP ′、QQ ′的匀强磁场的宽度为d ，磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向里.一个质量为m 、电荷量为q 的微观粒子，沿图示方向以速度v 0垂直射入磁场.欲使粒子不能从边界QQ ′射出，粒子入射速度v 0的最大值可能是( )

A.Bqd m

B.(2＋2)Bqd m

C.(2－2)Bqd m

D.2Bqd 2m

2. (2016·全国卷Ⅲ，18)平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂

直于纸面向外。一带电粒子的质量为m ，电荷量为q (q >0)。

粒子沿纸面以大小为v 的速度从OM 的某点向左上方射入磁

场，速度与OM 成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹

与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场。不计重

力。粒子离开磁场的出射点到两平面交线O 的距离为( )

A.mv 2qB

B.3mv qB

C.2mv qB

D.4mv qB

3. （多选）长为L 的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如下图所示，磁感应强度为B ，板间距离也为L ，板不带电，现有

质量为m ，电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )

A 、使粒子的速度v

B 、使粒子的速度v >5BqL 4m

C 、使粒子的速度v >BqL m

D 、使粒子速度BqL 4m

4. 如图所示，边长为L 的正方形ABCD 区域内存在磁感应强度方向垂

直于纸面向里、大小为B 的匀强磁场，一质量为m 、带电荷量为－q

的粒子从AB 边的中点处垂直于磁感应强度方向射入磁场，速度方向

与AB 边的夹角为30°.若要求该粒子不从AD 边射出磁场，则其速度

大小应满足( )

A ．v ≤2qBL m

B ．v ≥2qBL m

C ．v ≤qBL m

D ．v ≥qBL m

5. 如图所示，条形区域AA ′、BB ′中存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B ，

AA ′、BB ′为磁场边界，它们相互平行，条形区域的长度足够长，宽度为d .一束带正电的某种粒子从AA ′上的O 点以大小不同的速度沿着AA ′成60°角方向射

入磁场，当粒子的速度小于某一值v 0时，粒子在磁场区域内的运

动时间为定值t 0；当粒子速度为v 1时，刚好垂直边界BB ′射出磁

场．不计粒子所受重力．求：

(1) 粒子的比荷q m

； (2) 带电粒子的速度v 0和v 1.

6. 如图所示，两个同心圆，半径分别为r 和2r ，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向

里的匀强磁场，磁感应强度为B .圆心O 处有一放射源，放出粒子

的质量为m ，带电荷量为q ，假设粒子速度方向都和纸面平行．

(1) 图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA 与初速度方向夹角

为60°，要想使该粒子经过磁场第一次通过A 点，则初速度的大

小是多少？

(2) 要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？

7.如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大

值之间的各种数值．静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为m(不计重力)，从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为θ＝45°，孔Q到板的下端C 的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，求：

(1)两板间电压的最大值U m；

(2)CD板上可能被粒子打中的区域的长度x；

(3)粒子在磁场中运动的最长时间t m.

8.如图所示，OP曲线的方程为：y=1－0.4 6.25-x(x,y单位均为m)，在OPM区域存在水平

向右的匀强电场，场强大小E1=200N/C(设为I区)，PQ右边存在范围足够大的垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B=0.1T(设为Ⅱ区)，与x轴平行的刚上方(包括PN存在竖直向上的匀强电场，场强大小E2=100N／C(设为Ⅲ

区)，PN的上方h=3.125m处有一足够长的紧靠y轴

水平放置的荧光屏AB，OM的长度为a=6.25m。今

在曲线OP上同时由静止释放质量m=1.6×10-25 kg，

电荷量e=1.6×10-19C的带正电的粒子2000个(在OP

上按x均匀分布)。不考虑粒子之间的相互作用，不

计粒子重力，求：

(1)粒子进入Ⅱ区的最大速度值；

(2)粒子打在荧光屏上的亮线的长度和打在荧光屏上的粒子数；

(3)粒子从出发到打到荧光屏上的最长时间。

考点4.6.2 “旋转圆”方法解决极值问题2．定圆“旋转”

当带电粒子射入磁场时的速率v大小一定，但射入的方向变

化时，粒子做圆周运动的轨道半径r是确定的．在确定粒子

运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，

作出一系列轨迹，从而探索出临界条件，如图所示为粒子进

入单边界磁场时的情景．

【例题】如图所示，在0≤x≤3a区域内存在与xy平

面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.在t＝0

时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大

量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向

与y轴正方向的夹角分布在0－180°范围内．已知沿y

轴正方向发射的粒子在t＝t0时刻刚好从磁场边界上

P(3a，a)点离开磁场．求：

⑴、粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q/m；

⑵、此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围；

⑶、从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间．