29.1.1 平行投影与中心投影
数学人教版九年级下册29.1.1 平行投影与中心投影
3 物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下
它的影子，这就是________现象．形成投影应具备 的条件有：__________、__________、 __________．
知2－导
归 纳
由平行光线形成的投影叫做平行投影.
知2－讲
有时光线是一组互相平行的射线，例如探照灯中的光线(图1). 太阳离我们非常远，射到地面的太阳光也可以看成一组互相平行 的射线.由平行光线形成的投影叫做平行投影（parallel projection). 例如，物体在太阳光的照 射下形成的影子(简称日影)就是平行投 影.日影的方向可以反 映当地时据日影来观测 时间的.
A．A→B→C→D
C．C→D→A→B
B．D→B→C→A
D．A→C→B→D
知2－讲
根据不同时刻太阳光照射的方向和照射的角度去判 导引：
断，最早时太阳在东方，则影子在物体的西方，随
着时间的变化，影子的方向由西向东转动，影子的 长度先由长变短，然后由短变长．
知2－讲
总 结
物体在太阳光下的不同时刻，不但影子的大小
知1－讲
总 结
因为投影是在光线照射下形成的影子，所以在光
线移动时，物体的影子的大小、方向也随着变化；在
同等条件下(相同的投影线与投影面)，不同形状物体 的投影可能不同．
知1－练
1 下列现象属于投影的是（
A、眼影 C、轨迹
）
B、人影 D、素描画
知1－练
2 把下列物体与它们的投影用线连接起来．
知1－练
同．
2．中心投影的特点：(物体与其影子顶端连线所在直线
必过点光源)
(1)等高的物体垂直地面放置时，离点光源越近，影子越 短；离点光源越远，影子越长． (2)等长的物体平行于地面放置时，离点光源越近，影子 越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身
平行投影和中心投影.ppt
这种现象我们把它称为是投影.
想 一 想 ？
通过观察和自己的 认识 , 你是怎样来理解 投影的含义的?
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可 以留下这个物体的影子，这种现象叫做投
请同学们观察下列的投影的现象 , 它们 的投影过程有何不同?
概念:视图是指将物体按正投影向投影面 投射所得到的图形.
1.光线自物体的前面向后投射所得
三 视 图
到的投影称为主视图或正视图. 2.自上向下的称为俯视图. 3. 自左向右的称为左视图.
三视图能反映物体真实的形状和长、宽、高。
错误的三视图
—长未对正1
错误的三视图
—长未对正2
错误的三视图
—高不平齐1
S
投 射 方 向
中心投影
正投影
斜投影
投影
平行投影
中心投影
投影中心
S
投影线 投影 投影面
中心投影:投射线交于一点.
投影的分类: 平行投影
斜投影
正投影(本节主要学习利用正投 影绘制空间图形的三视图,并能 根据所给的三视图了解该空间 图形的基本特征.)
问题：只看投影能知道实物的形态吗？
那什么是空间图形的三视图呢?
错误的三视图
—高不平齐2
错误的三视图 —宽不相等1
错误的三视图 —宽不相等1
错误的三视图
人教版九年级数学下册第29章教学课件
ABCD ）放在三个不同位置:
D
C
D
D
A
B
A
C
A
B C
D'
A'
Q
C'
D'
C'
B' A'
B'
B D（' C'）
A（' B' ）
（1）纸板平 （2）纸板倾斜 （3）纸板垂直 行于投影面； 于投影面； 于投影面．
三种情形下纸板的正投影的形状、大小如何？
通过观察，我们可以发现：
（1）当P 平行于投影面 Q 时，P的正投影与 P的 _形__状__、__大__小__一__样__；
知识点2 平行投影
由平行光线形成的投影叫做平行投影.
探照灯发出的光线形成的投影是平行投影.
太阳光照射形成的投影也是平行投影.
因为太阳距离我们很远，射到地面的太阳 光可以看成一组互相平行的射线.
知识点3 中心投影
由同一点（点光源）发出的光线形成的投 影叫做中心投影.
物体在灯泡发出的光线照射下形成的影子 就是中心投影.
例2 确定图中路灯灯泡的位置，并画出小赵 在灯光下的影子．
解：因为灯泡为点光源，所以光线相交的位置即 为灯泡所在的位置；小赵在灯下的影子即如图所示.
随堂演练
基础巩固
1. 把下列物体与它们的投影用线连接起来.
2. 下面两幅图表示两根标杆在同一时刻 的投影.请在图中画出形成投影的光线.它们 是平行投影还是中心投影？并说明理由.
解：第（1）幅图为平行投影，因为其 投影线互相平行；第（2）幅图为中心投影， 因为其投影线集中于一点.
3. 小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩 形木框在地面上形成的投影不可能是（ A ）.
《平行投影与中心投影》
汇报人： 2024-01-10
目录
• 投影的定义与分类 • 平行投影 • 中心投影 • 平行投影与中心投影的比较 • 实际案例分析
01
投影的定义与分类
投影的定义
01
投影是指将三维物体通过某种方 式映射到二维平面上，从而将三 维信息转化为二维信息的过程。
02
在几何学中，投影通常分为平行 投影和中心投影两种类型。
中心投影
常用于绘制透视图、电影放映、幻灯片等，能够产生逼真的立体感效果。
05
实际案例分析
使用平行投影的案例
建筑设计图纸
在建筑设计过程中，通常使用平 行投影法将建筑物的三维形态投 影到二维图纸上，以便进行施工
和规划。
地图制作
地图的制作也是基于平行投影法， 将地球表面的三维地形投影到二维 平面上，以便于表示各地的地理位 置和相对关系。
平行投影的性质
01 02
形状不变性
在平行投影中，物体的形状不会发生改变，即物体的各个面在投影面上 都有对应的投影。这是因为投影线与投影面保持平行，不会产生透视效 果。
大小不变性
在平行投影中，物体的大小也不会发生改变。这是因为物体各点到投影 线的距离保持一致，不会因为角度的变化而产生缩放效应。
03
平行性
中心投影的性质
中心投影可以产生物体的真实图像， 即物体在投影面上的形状和大小与实 际形状和大小一致。
中心投影的图像是单面的，即只有一 个投影面上的图像，没有立体感。
当物体与投影中心之间的距离和投影 面与投影中心之间的距离发生变化时 ，物体在投影面上的形状和大小也会 相应地发生变化。
中心投影的应用
中心投影
光线通过一点与投影面垂直，将 三维物体投影到二维平面上。
29.1投影(第1课时)课件人教版数学九年级下册
第29章 投影与视图 29.1 投影
第1课时 平行投影与中心投影
学习目标
1.了解投影、投影线、投影面、平行投影和中心投 影的概念。
2.了解平行投影和中心投影的含义、特征、区别与 联系。
3.能利用平行投影和中心投影的相关知识解决实际 问题。
回顾旧知
我们小学阶段已经学过观察物体，根据学习过的知识判 断下面这些图分别是谁看到的？
8．两个人的影子在两个相反的方向，这说明( C ) A．他们站在阳光下 B．他们站在路灯下 C．他们站在路灯的两侧 D．他们站在月光下 9．如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子( B )
A.越长 B．越短 C．一样长 D．随时间变化而变化
平行投影和1中0心投．影有如什么图区别是和联两系呢根? 标杆AC，BD及它们在灯光下的影子，请在图中画出光源的位置
F
求平行投影中相关线段的长的方法 解决与平行投影有关的作图与计算问题，往往根据 平行投影的性质画出投影线，得到相关的线段，从 而根据同一时刻，不同物体的物高与影长成正比， 求得线段的长.
4.如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大 到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为 30 cm，幻灯片到屏幕 的距离为 1.5 m，且幻灯片中图形的高度为 10 cm，则屏幕上 图形的高度为 60 cm.
例如，物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影．
解：连接A′C，B′D并延长，交点P即为光源的位置；
根据点光源、物体边缘上的点及它在影子上的对应点在同一条直线上，先找两个物体边缘上的点及其在影子上的对应点，再分别过两个物体边缘上的点及其在影子上的对应点画直
线，两条直线的交点即为点光源.
第29章 投影与视图全章教案
第二十九章投影与视图29.1投影（1）学习目标1、经历实践探索，了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念；2、了角平行投影和中心投影的区别。
3、使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。
学习重点理解平行投影和中心投影的特征；学习难点在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影。
教学互动设计备注（一）创设情境你看过皮影戏吗?皮影戏又名“灯影子”，是我国民间一种古老而奇特的戏曲艺术，在关中地区很为流行。
皮影戏演出简便，表演领域广阔，演技细腻，活跃于广大农村，深受农民的欢迎。
（二）你知道吗北京故宫中的日晷闻名世界,是我国光辉出灿烂文化的瑰宝.它是我国古代利用日影测定时刻的仪器,它由“晷面”与“晷针”组成，当太阳光照在日晷中轴上产生投影，晷针的影子就会投向晷面，随着时间的推移，晷针的影的长度发生变化,晷针的影子在晷面上慢慢移动，聪明的古人以此来显示时刻．问题：那什么是投影呢？出示投影让学生感受在日常生活中的一些投影现象。
一般地.用光线照射物体.在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.有时光线是一组互相平行的射线.例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线(如图).由平行光线形成的投影是平行投影.例如.物体在太阳光的照射下形成的影子(简称日影)就是平行投影.由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.例如.物体在灯泡发出的光照射下形成影子就是中心投影.（三）问题探究（在课前布置，以数学学习小组为单位）探究平行投影和中心投影和性质和区别1、以数学习小组为单位，观察在太阳光线下，木杆和三角形纸板在地面的投影。
2、不断改变木杆和三角形纸板的位置，什么时候木杆的影子成为一点，三角形纸板的影子是一条线段？当木杆的影子与木杆长度相等时，你发现木杆在什么位置？三角形纸板在什么位置时，它的影子恰好与三角形纸板成为全等图形？还有其他情况吗？（四）应用新知：（1）地面上直立一根标杆AB如图，杆长为2cm。
圆平行投影和中心投影课件
圆平行投影和中心投影课件2023-11-12CATALOGUE目录•引言•圆平行投影•中心投影•圆平行投影与中心投影的比较•圆平行投影和中心投影的实例•总结与展望引言01 CATALOGUE一个点在另一个平面上投影，该点在平面上的正投影是该点与投影线的交点。
点在平面上的投影正投影的特性投影面正投影具有真实性和近大远小的特性。
投影线与投影面相交形成的平面称为投影面。
03投影的基本概念0201平行于投影面且与投影线垂直的平面称为正投影面，简称正投影。
投影的分类正投影平行于投影面且通过投影中心的平面称为中心投影面，简称中心投影。
中心投影与投影面不平行且与投影线不平行的平面称为斜投影面，简称斜投影。
斜投影圆平行投影02CATALOGUE圆平行投影的定义将圆心与投影线平行的条件下，将圆投影到投影面上，得到的投影称为圆平行投影。
圆平行投影的原理基于平行投影的原理，将圆的平面图形投影到投影面上，保持圆心与投影线的平行。
圆平行投影的定义圆平行投影的形状与原圆相同，只是尺寸可能发生变化。
形状不变性圆平行投影的各直径与投影线平行，且长度相等。
平行性圆内任意两条相交的直径与投影线的交比等于它们与原圆的交比。
交比不变性圆平行投影的性质工程制图在工程制图中，圆平行投影被广泛应用于机械、建筑等领域，用于表达物体的形状和尺寸。
计算机图形学在计算机图形学中，圆平行投影被用于生成三维模型的二维图像，以及制作各种视觉效果。
圆平行投影的应用中心投影03CATALOGUE如果一个投影线通过一点，投射到平面上，形成的投影称为中心投影。
定义中心投影是指投射线从一点出发，集中照射在物体和平面上，得到物体和平面的投影。
特点中心投影的定义中心投影的性质投影的形状变化由于投射线从一点出发，照射在物体上，因此物体的形状会发生变化，投影的形状与物体的形状不完全相同。
投影的大小变化由于投射线从一点出发，照射在物体上，因此物体的大小会发生变化，投影的大小与物体的大小不完全相同。
平行投影与中心投影的区别与联系
②当阳光与地面的倾斜角为60°时，标杆在地面 上的投影是什么图形？并画出投影示意图；线段MN如图 （2）地面上直立一根标杆AB如图，杆长为1cm, 左上方有一小灯泡作出标杆的影子,如果标杆向右 移动影子会如何变化?
MN
请画出图中双胞胎姐妹在路灯下的影子．
小结：发光点、物体上的点及其影子上的对应点 在一 条直线上．
２９.１ 投影（2）
平行投影与中心投影的区别与联系
光线
区别
物体与投影面 平行时的投影
联系
平行投影 中心投影
平行的投 射线
从一点出 发的投射
线Байду номын сангаас
全等
放大(位似变 换)
都是物体在 光线的照射 下，在某个 平面内形成 的影子。(即 都是投影)
例 画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影。 （1）正方体的一个面ABCD平行于投影面P；
议一议
1、下面两幅图分别是两棵小树在同一时刻 的影子.你能判断出哪幅图是灯光下形成的，哪 幅图是太阳光下形成的吗？
与一盏路灯相对,有一玻璃幕墙,幕墙前面的地上 有一盆花和一棵树.晚上,幕墙反射路灯灯光形成 了那盆花的影子,树影是路灯灯光形成的。你能 确定此时路灯光源的位置吗？
P
（1）地面上直立一根标杆AB如图，杆长为2cm。 ①当阳光垂直照射地面时，标杆在地面上的投影
是正方形其余四个面（这些面垂直于投
影面）的投影，因此，正方体的正投影 是一个正方形。
B
P
C
图1 解：（1）如图（1），正方体的正投影为正方形
A‵B‵C‵D‵，它与正方体的一个面是全等关系。
例 画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影。
（1）正方体的一个面ABCD平行于投影面P；
29.1 第1课时 平行投影与中心投影
29.1 投影第1课时平行投影与中心投影1．理解平行投影和中心投影的特征；(重点)2．在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影．(难点)一、情境导入北京故宫中的日晷闻名世界，是我国光辉灿烂文化的瑰宝．它是我国古代利用日影测定时刻的仪器，它由“晷面”与“晷针”组成，当太阳光照在日晷中轴上产生投影，晷针的影子就会投向晷面，随着时间的推移，晷针的影的长度发生变化，晷针的影子在晷面上慢慢移动，聪明的古人以此来显示时刻．本节课学习有关投影的知识．二、合作探究探究点一：平行投影【类型一】判断影子的形状下列图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是()解析：选项A.影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，正确；选项B.影子的方向不相同，错误；选项C.影子的方向不相同，错误；选项D.不同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，错误．故选A.方法总结：平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】平行投影作图在某一时刻，操场上有三根测杆，如图所示，其中测杆AB的影子为BC，你能画出测杆MN的影子NP吗？若测杆XY的影子的顶端恰好落在点B处，且XY＝MN，你能找出XY 所在的位置吗？请将上述问题画在下面的示意图中，并简述画法．解析：过物体顶点作光线的平行线得到物体的平行投影，再根据平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的可找到XY 的位置．解：连接AC ，过点M 作MP ∥AC 交NC 于点P ，则NP 为MN 的影子．过点B 作BX ∥AC ，且BX ＝MP ，过X 作XY ⊥NC 交NC 于点Y ，则XY 即为所求．方法总结：先根据物体投影确定光线，然后利用两个物体的顶端和各自影子的对应点的连线是一组平行线，过物体顶端作平行线与地面相交，从而确定影子．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型三】 平行投影的相关计算李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量方法如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD ＝1.2m ，CE ＝0.6m ，CA ＝30m(点A 、E 、C 在同一直线上)．已知李航的身高EF 是1.6m ，请你帮李航求出楼高AB .解析：过点D 作DN ⊥AB ，可得四边形CDME 、ACDN 是矩形，即可证明△DFM ∽△DBN ，从而得出BN ，进而求得AB 的长．解：过点D 作DN ⊥AB ，垂足为N ，交EF 于M 点，∴四边形CDME 、ACDN 是矩形，∴AN ＝ME ＝CD ＝1.2m ，DN ＝AC ＝30m ，DM ＝CE ＝0.6m ，∴MF ＝EF －ME ＝1.6－1.2＝0.4m.∵EF ∥AB ，∴△DFM ∽△DBN ，DM DN ＝MF BN ，即0.630＝0.4BN，∴BN ＝20m ，∴AB ＝BN ＋AN＝20＋1.2＝21.2m.答：楼高为21.2m.方法总结：在同一时刻的物体高度与影长的关系：物体高度物体影长＝另一物体的高度另一物体的影长. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题探究点二：中心投影【类型一】 判断是否是中心投影下面属于中心投影的是( )A ．太阳光下的树影B ．皮影戏C ．月光下房屋的影子D ．海上日出解析：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光．在各选项中只有B 选项得到的投影为中心投影．故选B.方法总结：判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】 判断影长的情况晚上小亮在路灯下散步，在小亮从远处走到灯下，再远离路灯这一过程中，他在地上的影子( )A ．逐渐变短B ．先变短后变长C ．先变长后变短D ．逐渐变长解析：晚上小亮在路灯下散步，当小亮从远处走到灯下的时候，他在地上的影子由长变短，当他再远离路灯的时候，他在地上的影子由短变长．故选B.方法总结：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大(即位似变换)的关系．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型三】 中心投影作图如图是小明与爸爸(线段AB )、爷爷(线段CD )在同一路灯下的情景，粗线分别表示三人的影子．请根据要求，进行作图(不写画法，但要保留作图痕迹)．(1)画出图中灯泡所在的位置；(2)在图中画出小明的身高．解析：(1)利用中心投影的图形的性质连接对应点得出灯泡位置即可；(2)根据灯泡位置即可得出小明的身高．解：(1)如图所示：O 即为灯泡的位置；(2)如图所示：EF 即为小明的身高．方法总结：连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型四】 中心投影的相关计算如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1m ，继续往前走3米到达E 处时，测得影子EF 的长为2m ，已知王华的身高是1.5m ，求路灯A 的高度AB .解析：根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的光线三者构成的两个直角三角形相似解答．解：当王华在CG 处时，Rt △DCG ∽Rt △DBA ，即CD BD ＝CG AB；当王华在EH 处时，Rt △FEH ∽Rt △FBA ，即EF BF ＝EH AB ＝CG AB ，∴CD BD ＝EF BF.∵CG ＝EH ＝1.5m ，CD ＝1m ，CE ＝3m ，EF ＝2m ，设AB ＝x ，BC ＝y ，∴1y ＋1＝2y ＋5，解得y ＝3，经检验y ＝3是原方程的根．∵CD BD ＝CG AB ，即1.5x ＝14，解得x ＝6m.即路灯A 的高度AB ＝6m. 方法总结：解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计1．平行投影的定义及应用；2．中心投影的定义及应用．本节以自主探索、合作交流为设计主线，从皮影戏、手影、日晷等学生熟悉的生活实际出发，引入物体投影的相关概念，通过观察图片等活动，使学生认识中心投影和平行投影的区别与联系，加强主动学习数学的兴趣，体现数学的应用价值.。
中心投影与平行投影
与物体距离保持不变 ，物体的平行性在投 影图中能得到较好的 反映。
立体感较强，但不能 反映物体的真实形状 和大小。
平行投影的应用
工程图样
在机械、建筑等工程中，平行投 影被广泛用于绘制零件图、装配 图等。
三视图
三视图是平行投影的一种应用， 通过三个互相垂直的投影面，将 物体分别投影到三个平面上，从 而完整地表达物体的形状和大小 。
师和工程师更好地理解和分析建筑结构。
在机械制图中的应用
机械零件绘制
在机械制图过程中，使用投影可以将三维的机械零件转化为二维的图纸，方便设计师和工程师更好地理解零件的结构和功能 。
机械装配展示
通过投影技术，可以将机械装配体投影到大型屏幕上，以便于展示和讲解。
机械结构分析
通过投影技术，可以将机械结构分解成不同的部分，帮助设计师和工程师更好地理解和分析机械结构。
透视图
透视图是平行投影的一种特殊形 式，通过将视线与投影线方向一 致，得到物体的透视效果图。
平行投影的实例
建筑图纸
建筑图纸通常采用平行投影来描述建筑物的外观和结构。
地图绘制
地图绘制中，平行投影被用于将Байду номын сангаас球表面投影到平面上，从而制作出世界地 图或区域地图。
03
两种投影方式的比较
优缺点比较
中心投影
提高设计和制造的效率
通过投影的方式，设计人员可以更快速、准确地描绘出物体的形状和
大小，进而提高设计和制造的效率。
如何选择合适的投影方式
根据应用场景选择
根据实际应用场景的不同，选择合适的投影方式。例如，在建筑领域，平行投影通常更为 合适，而在机械制图领域，中心投影则更为常见。
考虑物体的形状和大小
人教版数学教材九年级下册《平行投影与中心投影》PPT课件
E
A
投影.例如，物体在灯泡发
出的光照射下形成的影子
就是中心投影.
归纳 观察一块三角尺在光线照射下形
成的投影：
中心投影
平行投影
投影线集中于一点 投影线互相平行
中考链接
1. 下列影子:①阳光下遮阳伞的影子, ②灯光下小明读书的影子;③阳光下大树 的影子;④阳光下农民锄地的子;⑤路灯
下木杆的影子.其中属于平行投影的是
影面.
巩固
1、把下列物体与它们的投影用线连接 起来：
探究
探照灯发出的光线与灯泡发出的光线
பைடு நூலகம்
【结论】 有时光线是一组互相 平行的射线，例如太阳光或探照
灯中的光线.由平行光线形成的投 影叫做平行投影.例如，物体在太
阳光的照射下形成的影子(简称日 影)就是平行投影.
由同一点(点光源)发出的 光线形成的投影叫做中心
图1
图2
巩固
1、楼前有两根木杆，其中一根在太阳 光下的影子如图，请画出太阳光下另 一根木杆的影子。
例2：如图，在同一时刻，身高为1.60m的小明(AB)的影子BC长是 3m，而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6m (1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G
； (2)求路灯灯泡的垂直高度GH
29.1 投影
第1课时 平行投影与中心投影
本节课的学习目标
1. 什么是投影
2. 什么是中心投影， 3. 什么是平行投影
情景再 现
生活中关于物体在光线的照射下形成影子的实例
【结论】 一 般地，用光线 照射物体，在 某个平面(地面、 墙壁等)上得到 的影子叫做物
体的投影.照射
光线叫做投影 线，投影所在 的平面叫做投
29,1 投影 第二课时-九年级数学下册课件(人教版)
通过观察、测量可知：
(1)当线段AB 平行于投影面时，它的正投影是线段A1B1， 它们的大小关系为AB=A1B1 ；
(2)当线段AB 倾斜于投影面时，它的正投影是线段A2B2， 它们的大小关系为AB＞A2B2 ；
(3)当线段AB 垂直于投影面时，它的正投影是一个点A3.
如图，把一块正方形硬纸板P (记为正方形ABCD )放在
29.1 投 影
第2课时
1．什么叫做中心投影、平行投影? 2．下面两个图都是表示一块三角板在光线照射下形成的投
影，它们的投影线与投影面的位置关系有什么不同?
知识点 1 正投影的定义
正投影法：投影线与投影面垂直的平行投影法， 所得的投影，称为正投影 .
Q
q H
P p
H
例1 如图所示的圆台的上下底面与投影线平行，圆台
3 当棱长为20 cm的正方体的某个面平行于投影面时，这个正方体 的正投影的面积为( C ) A．200 cm2 B．300 cm2 C．400 cm2 D．600 cm2
如图所示，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张 白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是( C )
易错点：对正方体的正投影的类型认识不全而致错.
1 几何体在平面P 的正投影，取决于( A )
①几何体的形状；②投影面与几何体的位置关系；
③投影面P 的大小．
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
2 已知一根长为8 cm的木棒AB 与投影面平行，投影线垂直于投影面． (1)求此时的影子A1B1的长度； (2)如图是将木棒绕其端点A 逆时针旋转30°后的示意图(此时平面
解：(1)如图 (1)，正方体的正投影为正方形A′B′C′D′ ，
导学案九(下)29投影与视图
人教版数学九年级上导学案第二十九章投影与视图第1课时：§29.1.1 投影第2课时：§29.1.2 投影第3课时：§29.1.2 投影习题课第4课时：§29.2.1 三视图（1）第5课时：§29.2.2三视图（2）第6课时：§29.2.3三视图（3）第7课时：§29.2.4三视图（4）第8课时：§29 全章复习第9课时：§29 全章测试2§29.1.1投影学习目标1．了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念；2．了解角平行投影和中心投影的区别；自主学习一、课前准备（预习教材P106~ P107，找出疑惑之处）二、新课导学※互动探究探究任务一：什么叫做物体的投影问题探究：学生先独立阅读课本第106页，再彼此交流结果，举例。
教师点拨：一般地.用光线照射物体.在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.探究任务二：平行投影和中心投影是什么？问题探究：学生先独立阅读课本第106，107页，再交流结果。
教师点拨：有时光线是一组互相平行的射线.例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线.由平行光线形成的投影是平行投影.例如.物体在太阳光的照射下形成的影子(简称日影)就是平行投影.由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.例如.物体在灯泡发出的光照射下形成影子就是中心投影.探究任务三：平行投影与中心投影的区别与联系问题探究：学生以数学习小组为单位，观察在太阳光线和灯光下，木杆和三角形纸板在地面的投影。
教师点拨：平行投影与中心投影的区别与联系新知：1、物体的投影的概念；2、平行投影和中心投影的概念3、平行投影与中心投影的区别与联系学生反思本节课未理解的知识点，写在下面：※探究升华（学生独立完成，并自己总结，教师点拨）例1、地面上直立一根标杆AB如图，杆长为2cm。
29.1 投影(第二课时)( 教学设计)九年级数学下册同步备课系列(人教版)
29.1 投影（第二课时）教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级下册（以下统称“教材”）第二十九章“投影与视图”29.1 投影（第二课时），内容包括：理解正投影的概念.2.内容解析在学习本课时之前，学生已经具有一定的关于平面图形与立体图形的知识，并且在七年级上册接触过“从不同方向观察物体”和“点、线、面、体”之间的联系及基本几何体的平面展开图等反映平面图形与立体图形之间的联系问题，上一节课，学生又学习了投影的一些基础知识包括投影、中心投影、平行投影的概念，在此基础上，这节课主要学习正投影概念及探究正投影的成像规律，以正投影为平台，进一步深入研究投影的性质更深一层理解立体图形与平面图形的相互转化关系，培养学生的空间观念，这为过渡到三视图的学习起着铺垫的作用，更为高中学习立体几何打下基础.基于以上分析，确定本节课的教学重点：理解正投影的概念及根据正投影的性质画简单图形的正投影.二、目标和目标解析1.目标1. 理解正投影的概念；2. 能根据正投影的性质画出简单图形的正投影.3. 学生学会关注生活中有关投影的数学问题，增强数学的应用意识.2.目标解析达成目标1）的标志是：理解正投影的概念.达成目标2）3）的标志是：会根据正投影的性质画简单图形的正投影.三、教学问题诊断分析本节课先研究线、平面图形的正投影，进而继续探究立体图形正投影。
而学生对这个知识无从下手，从研究平面图形到研究立体图形，本节内容对学生来说有一定难度，要加强与实际的联系，因此运用多媒体，制作演示动画课件等，通过学生观察，动手实践，结合已有的生活经验，将原有认知迁移到本课中来，从而画出简单立体图形的正投影.基于以上分析，本节课的教学难点是：正确画简单图形的正投影.四、教学过程设计（一）复习巩固【提问一】简述投影的概念？【提问二】投影是如何进行分类的？试举例说明？师生活动：教师提出问题，学生通过之前所学知识尝试回答问题.【设计意图】通过回顾之前所学内容，为接下来学习正投影打好基础．（二）探究新知【问题一】观察下图，并填空1）图(1)与图(2)(3)的投影线有什么区别？2）图(2)(3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别？师生活动：学生认真观察图片中的影子，回答问题，最后由教师给出正投影的概念：如果投射线垂直于投影面，那么这种投影称为正投影.【设计意图】通过观察图片，结合上节课所学知识，引出正投影的概念，激发学习投影的欲望，培养学生观察能力和抽象能力.【问题二】由平行投影与正投影的概念，你发现了什么？师生活动：学生认真观察图片中的影子，回答问题，教师引导与补充，得出：1）正投影是特殊的平行投影.2）平行投影分为斜投影与正投影.【设计意图】让学生理解正投影是特殊的平行投影.【探究一】如图，把一根直的细铁丝(记为线段AB) 放在三个不同位置.1) 铁丝平行于投影面；2) 铁丝倾斜于投影面；3) 铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有交点). 三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？它们的大小关系呢？师生活动：教师通过多媒体展示三种情形下铁丝的正投影，学生观察结果，探讨它们大小的关系.【设计意图】通过观察图片，让学生理解三种情形下线段正投影的形状.【探究二】如图，把一块正方形卡片P(记为正方形ABCD) 放在三个不同位置.1) 卡片平行于投影面；2) 卡片倾斜于投影面；3) 卡片垂直于投影面三种情形下卡片的正投影各是什么形状？它们的大小关系呢？师生活动：教师通过多媒体展示三种情形下卡片的正投影，学生观察结果，探讨它们大小的关系.【设计意图】通过观察图片，让学生理解三种情形下平面图形正投影的形状.【问题三】简述线段正投影的投影规律？师生活动：学生尝试回答问题.【问题四】简述平面图形正投影的投影规律？师生活动：学生尝试回答问题.【设计意图】通过归纳总结，让学生理解线段正投影、平面图形正投影的投影规律.【探究三】如图，把一个正方体纸盒P(记为正方体ABCDEFGH) 放在两个不同位置.1）纸盒的一个平面ABCD平行于投影面；2）纸盒一个面ABCD倾斜于投影面P，底面ADEF垂直于投影面，并且其对角线AE垂直于投影面；观察两种情形下正方体纸盒的正投影，你发现了什么？【设计意图】通过观察图片，让学生理解两种情形下立体图形正投影的形状.【问题五】观察线段、平面图形、立体图形的正投影，由此你发现了什么？师生活动：先由学生回答问题，再由教师引导与归纳，最后得出：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同，并且物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.【设计意图】让学生理解立体图形正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.（三）典例分析与针对训练例1 下列说法正确的是（）A．三角形的正投影一定是三角形B．长方体的正投影一定是长方形C．球的正投影一定是圆D．圆锥的正投影一定是三角形【针对训练】1. 直立在投影面上的圆锥的正投影是()A．圆B．三角形C．矩形D．正方形2. 木棒长为2.5m，则它的正投影的长一定（）A．大于2.5m B．小于2.5mC．等于2.5m D．小于或等于2.5m3.如图，长方体的一个底面ABCD在投影面P上，M，N分别是侧棱BF，CG的中点，矩形EFGH与矩形EMNH的投影都是矩形ABCD，设它们的面积分别是S1，S2，S，则S1，S2，S的关系是_____（用“=、＞或＜”连起来）4．（2022下·广东河源·九年级校考期末）把下列物体与它们的投影连接起来．5．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个三角板的正投影不可能是（）A．一条线段B．一个与原三角板全等的三角形C．一个等腰三角形D．一个小圆点6．（2022上·山西大同·九年级统考期末）如图，A1B1是线段AB在投影面P上的正投影，AB=10cm，∠A1AB=110°，则投影A1B1的长为（）A．10sin70°cm B．10sin20°cmC．10tan70°cm D．10cos70°cm7. 如图所示，一条线段AB在平面Q内的正投影为A′B′，AB＝4m，A′B′＝2√3，则AB与A′B′的夹角为( )A．45°B．30°C．60°D．以上都不对8. 已知一纸板的形状为正方形ABCD如图所示．其边长为10厘米，AD、BC与投影面β平行，AB、CD与投影面不平行，正方形在投影面β上的正投影为A1B1C1D1.若∠ABB1＝45°，求投影面A1B1C1D1的面积．（四）归纳小结1. 通过本节课的学习，你学会了哪些知识？2. 简述正投影的概念？3. 简述物体正投影的形状、大小与什么有关？（五）布置作业P92：习题29.1 第3题、第4题、第5题五、教学反思。
人教初中数学九年级下册29-1 投影(教学设计)
师：观察下列图片中的影子你发现了什么共同点？生：物体在日光或灯光的照射下，会在地面、墙壁等处形成影子。
师：影子的形成与什么有关？生：影子与物体形状和光线照射方式有关。
师：本节课我们学习平行投影、中心投影和正投影的相关知识。
师：一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影。
照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。
师：指出右侧图形的投影、投影线、投影面？生：积极回答问题。
师：由平行光线形成的投影叫做平行投影。
【师生互动】教师由多媒体展示平行投影，加深理解与记忆。
师：指出上述图形的投影、投影线、投影面？生：积极回答问题。
师：由同一点 (点光源) 发出的光线形成的投影叫做中心投影。
【师生互动】教师由多媒体展示中心投影，加深理解与记忆。
师：指出上述图形的投影、投影线、投影面？生：积极回答问题。
师：我们尝试总结平行投影与中心投影的特征。
[多媒体展示]师：尝试利用平行投影与中心投影求解例题[多媒体展示]典例1 在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（）A．小明的影子比小强的影子长 B．小明的影子比小强的影子短C．小明的影子和小强的影子一样长 D．两人的影子长度不确定变式1-1 给出下列结论正确的有（）①物体在阳光照射下，影子的方向是相同的②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关④物体在光线照射下，影子的长短仅与物体的长短有关.A．1个B．2个C．3个D．4个变式1-2 如图，AB和DE直立在地面上的两根立柱，已知AB=5m，某一时刻AB在太阳光下的影子长BC=3m．1）在图中画出此时DE在太阳光下的影子EF；2）在测量AB影子长时，同时测量出EF=6m，计算DE的长．变式1-3 如图，BE，DF，MN是三根直立于地面的木杆在同一灯光下的影子，请画出第三根木杆，（画出示意图，不用写画法）下图是三角形纸板在光线照射下形成投影，其中图①与图②③的投影线有什么区别？图②③的投影线与投影面的位置关系又有什么区别？C．球的正投影一定是圆 D．圆锥的正投影一定是三角形变式2-1 直立在投影面上的圆锥的正投影是 ()A．圆 B．三角形 C．矩形 D．正方形变式2-2 木棒长为1.5m，则它的正投影的长一定（）A．大于1.5m B．小于1.5mC．等于1.5m D．小于或等于1.5m变式2-3 当棱长为20的正方体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影的面积为（）A．20 B．300 C．400 D．600变式2-4 如图所示，一条线段AB在平面Q内的正投影为A′B′，AB＝4m，A′B′＝2√3，则AB与A′B′的夹角为( )A．45° B．30° C．60° D．以上都不对变式2-5 已知一纸板的形状为正方形ABCD如图所示．其边长为10厘米，AD、BC与投影面β平行，AB、CD与投影面不平行，正方形在投影面β上的正投影为A1B1C1D1.若∠ABB1＝45°，求投影面A1B1C1D1的面积．。
人教版九年级下册数学第29章 投影与视图 【说课稿】 平行投影与中心投影
平行投影与中心投影各位评委，各位老师：大家好！我将对初中数学人教版九年级下册第二十九章第一节投影第一课时中心投影和平行投影的教学设计及教学资源的应用进行说明，恳请指导。
下面我将从教材分析，学情分析，教学教法，教学过程四个方面加以说明。
一、教材分析1、教材内容的地位本节课为初中数学人教版九年级下册第二十九单元第一节投影的第1课时的内容，是关于¡°视图与投影¡±的教学目标而具体设计的。
为立体图形与平面图形的相互转化问题奠定了理论基础。
从七年级上册第三章¡°图形认识初步¡±开始，就不断的出现了有关视图的一些内容，只是在本节之前一直没有正式出现投影和视图的概念。
本节在学生已有有关投影的初步感性认识的基础之上，通过一些简单的物体的投影说明有关概念，归纳基本规律，使学生的认识水平再次提升，并结合具体问题进一步培养运用几何知识分析和解决实际问题的能力。
新课程标准要求重视基本知识与基本技能的落实，因此本节课的教学重点我确定为：理解平行投影和中心投影的概念和特征。
现代教学理念认为，学生学习数学的重要结果不再是学生能解多少规范的数学题，而是能从现实背景中看到数学问题，能运用数学去思考，解决实际问题。
因此本节课的教学难点我确定为：掌握平行投影与中心投影的区别与联系。
新课程标准明确要求数学学习不仅要让学生获得必要的数学知识技能，还要包括在数学思考，解决问题，情感态度等方面得到发展。
根据上诉教材分析和学生实际情况，本节课的教学目标我确定如下：一、知识与技能目标：1．了解投影的有关概念，能根据光线的方向辨认物体的投影；2．了解平行投影和中心投影的区别；二、数学思考：在探索物体与其投影关系的活动中，体会立体图形与平面图形的相互转化关系，发展学生的空间观念。
三、解决问题：通过对物体投影的学习，使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。
中心投影和平行投影
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演讲人姓名
一、自学与精讲
1.投影阅的读概课念本：P11－12，并归纳出要点.
中心投影 投影
斜投影
正投影
平行投影
2.视图：
视图：是指将物体按正投影向投影面投射所 得到的图形.
主视图：光线自物体的前面向后投射
例1、画下例几何体的三视图
例2、画下例几何体的三视图
练习1、画下例几何体的三视图
练习2、画下例几何体的三视图
小结.三视图的画法： 练习与回授
课后作业
○ 法则：主俯长对正， 主左高齐，俯左宽 相等.
○ 课本P13T1、2、3 ○ 课本P17 T3、T4三Leabharlann 所得的投影称主视图或正视图；
视
图
俯视图：光线自物体的上面向下投
射所得的投影称俯视图；
左视图：光线自物体的左面向右投射 所得的投影称左视图；
三视图的形成
把主视图、俯视图、左视图摊平在一个平面上，则就是三视图。 左视图
三视图的对应规律
俯视图和左视图 主视图和左视图 ---高对齐
主视图和俯视图 ---长对齐 ---宽对齐
中心投影和平行投影
例1：画出所给叠加体的三视图。 ：画出所给叠加体的三视图。
分 解 形 体
立板 肋板 肋板
底板
叠加 方式
底板和立板右面平齐叠加 肋板与底板和立板对称叠加
投影作图 • 分块画图 ①底板 ②立板 ③肋板
看得见的线画实线 看不见的线画虚线
表面平齐应无线
例1、画出下列几何体的三视图。 、画出下列几何体的三视图。
s
3.圆球 3.圆球
⑴ 圆球的形成
圆母线以它的直 径为轴旋转而成。 径为轴旋转而成。
⑵ 圆球的三视图
三个视图分别为三 个和圆球的直径相等的 圆，它们分别是圆球三 个方向轮廓线的投影。 个方向轮廓线的投影。
例1.画下例几何体的三视图 画下例几何体的三视图
叠加体的三视图
一、叠加体的基本形式及投影特点
请观察下列的投影的现象 , 它们的投影过程有何不同? 它们的投影过程有何不同?
S
投 射 方 向
中心投影 投影
正投影
斜投影 平行投影
中心投影
投影中心
S
投影线
投 影
投影面
中心投影:投射线交于一点 中心投影 投射线交于一点. 投射线交于一点 投影的分类: 投影的分类: 平行投影
斜投影
正投影(本节主要学习利用正投 正投影 本节主要学习利用正投 影绘制空间图形的三视图,并能 影绘制空间图形的三视图 并能 根据所给的三视图了解该空间 图形的基本特征.) 图形的基本特征
三视图的对应规律
主视图和俯视图 ----长对正 长对正 主视图和左视图 ----高平齐 高平齐 俯视图和左视图 ----宽相等 宽相等
三视图表达的意义
从前面正对着物体观察，画出主视图， 从前面正对着物体观察，画出主视图，主视图 反映了物体的长和高及前后两个面的实形。 反映了物体的长和高及前后两个面的实形。
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请你分别指出下面的例子属于什么投影？
平行投影
中心投影
平行投影
中心投影
例2 确定下图路灯灯泡所在的位置.
O
解：过一根木杆的顶端及其影子的顶端画一条直线，再过另一根木杆的顶 端及其影子的顶端画一条直线，两线相交于点O，点O就是灯泡的位置.
平行投影与中心投影 平行投影和中心投影有什么区别和联系呢?
6. 将一个三角形放在太阳光下，它所形成的投影的形状是_三__角__形__或__线__段__．
7. 小华在不同时间于天安门前拍了几幅照片，下面哪幅照片是小华在下午 拍摄的？(天安门是坐北向南的建筑.)
√
8. 确定图中路灯灯泡的位置，并画出小赵在灯光下的影子． 小赵
平行投影与 中心投影
投影的概念 平行投影与中心投影 投影作图
3. 晚上，人在马路上走过一盏路灯的过程中，其影子长度的变化情况是(A )
A. 先变短后变长 B. 先变长后变短 C. 逐渐变短
D. 逐渐变长
4. 小玲和小芳两人身高相同，两人站在灯光下的不同位置，已知小玲的影子 比小芳的影子长，则可以判定小芳离灯光较__近____.（填“远”或“近”） .
5.小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察广场的旗 杆随太阳转动的情况，无意之中，他发现这四个时刻广场的旗杆在地面上的 影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为 上午8时 .
例1 某校墙边有甲、乙两根木杆.已知乙杆的高度为1.5m. (1) 某一时刻甲木杆在阳光下的影子如下图所示，你能画出此时乙木杆的影 子吗？
D E
A （甲）
D' B
E'
（乙）
(2) 当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？
D E
A （3) 在(2)的情况下，如果测得甲、乙木杆的影子长分别为1.24m和 1m，那么你能求出甲木杆的高度吗?
投影
投影线 投影面
把下列物体与它们的投影用线连接起来：
平行投影与中心投影 观察下列图片,你认为太阳光线有什么特征？
太阳离我们非常遥远，太阳光线可以看成平行光线.
平行投影与中心投影
由平行光线形成的投影叫做平行投影.
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
例如，物体在太阳光的照射下形成的影子 (简称日影) 就是平行投影.日影 的方向可以反映时间，我国古代的计时器日晷，就是根据日影来观测时间 的.
人教版 数学 九年级 下册
了解投影、投影线、投影面、平行投影和中心投影 的概念. 了解平行投影和中心投影的含义、特征、区别与联 系. 能利用平行投影和中心投影的相关知识解决实际问 题.
观察下列图片你发现了什么共同点？
投影的概念 你知道物体与影子有什么关系吗？
投影的概念
一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子 叫做物体的投影. 照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.
解：∵△ADD'∽△BEE’
∴ AD : BE =AD′ : BE′
即AD : 1.5 =1.24 : 1
解得AD =1.86
D
故甲木杆的高度为1.86m.
E
A（甲）
D'
B（乙） E'
你知道皮影戏中的影像是如何形成的吗？
皮影戏是利用灯光的照射，把影子的影态反映在银幕（投影面）上的表演 艺术.
平行投影与中心投影 由同一点 (点光源) 发出的光线形成的投影叫做中心投影.
平行投影与中心投影
平行投影 中心投影
区别
投影线互相平行,形成 平行投影.
投影线集中于一点，形 成中心投影.
联系
都是物体在光线的照 射下，在某个平面内 形成的影子.(即都是 投影)
1.下列物体的影子中，不正确的是 ( B )
A
B
C
D
2. 下面属于中心投影的是 ( B )
A. 太阳光下的树影 B. 皮影戏 C. 月光下房屋的影子 D. 海上日出