八年级数学实数复习2
北师大八年级上册数学第二章实数复习导学案
初二数学实数单元复习导学案目标认知一、知识网络：二、重难点聚焦：教学重点：算术平方根和平方根的概念及其求法；教学难点：平方根和实数的概念.三、知识要点回顾：4、实数的三个非负性：|a|≥0，a2≥0，≥0（a≥0）5、实数的运算：⑴加减法：类比合并同类项；⑵乘法：=（a≥0，b≥0）；⑶除法：（a≥0，b＞0）6、算术平方根与平方根的区别与联系．区别: ①定义不同；②个数不同；③表示方法不同；④取值范围不同.联系: ①具有包含关系；②存在条件相同；③0的算术平方根与平方根都是0.提示1. 正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；零的平方根和算术平方根都是零；负数没有平方根．2. 实数都有立方根，且一个数的立方根只有一个，它的符号与被开方数的符号相同．3. 所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．4. 无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…5. 有理数和无理数统称实数，实数和数轴上的点一一对应．6. 实数的运算：实数运算的基础是有理数运算，有理数的一切运算性质和运算律都适用于实数运算．正确地确定运算结果的符号和灵活运用各种运算律来进行运算是掌握好实数运算的关键．规律方法整合1．有关概念的识别1下面几个数：0.23，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（）A、1B、2C、3D、4解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数故选C【变式1】下列说法中正确的是（）A、的平方根是±3B、1的立方根是±1C、=±1D、是5的平方根的相反数【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，∵=9，9的平方根是±3，∴A正确．∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确．【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）A、1B、1.4C、D【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为，故选C．【变式3】例：已知那么a+b-c的值为___________【答案】初中阶段的三个非负数：;a2≥0;≥0a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-22．计算类型题2. 设，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.解析：（估算）因为，所以选B【变式1】1）1.25的算术平方根是___________；平方根是___________.2）-27立方根是__________. 3）___________，___________，___________.【答案】1）；. 2）-3. 3），，【变式2】求下列各式中的（1）（2）（3）【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4【变式3】化简：【答案】=+-=3．数形结合3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______解析：在数轴上找到A、B两点，【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）．A．－1B．1－C．2－D．－2【答案】选C4.易错题4.判断下列说法是否正确（1）的算术平方根是-3；（2）的平方根是±15.（3）当x=0或2时，（4）是分数解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故（2）表示225的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15的平方根，故的平方根是.（3）注意到，当x=0时，=，显然此式无意义，发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x≠0，所以当x=2时，x=0.（4）错在对实数的概念理解不清. 形如分数，但不是分数，它是无理数.学习成果测评：A组（基础）一、细心选一选1．下列各式中正确的是（）A． B. C. D.2. 的平方根是( )A．4 B. C. 2 D.3. 下列说法中①无限小数都是无理数②无理数都是无限小数③-2是4的平方根④带根号的数都是无理数。
最新初中数学实数知识点总复习含答案(2)
最新初中数学实数知识点总复习含答案(2)一、选择题1．下列说法正确的是（ ）A ．任何数的平方根有两个B ．只有正数才有平方根C ．负数既没有平方根，也没有立方根D ．一个非负数的平方根的平方就是它本身【答案】D【解析】A 、O 的平方根只有一个即0，故A 错误；B 、0也有平方根，故B 错误；C 、负数是有立方根的，比如-1的立方根为-1，故C 错误；D 、非负数的平方根的平方即为本身，故D 正确；故选D ．2．在整数范围内，有被除数=除数⨯商+余数，即a bq r a b =+≥（且)00b r b ≠≤<，，若被除数a 和除数b 确定，则商q 和余数r 也唯一确定，如：11,2a b ==，则11251=⨯+此时51q r ==,．在实数范围中，也有 (a bq r a b =+≥且0b ≠，商q 为整数，余数r 满足：0)r b ≤<，若被除数是，除数是2，则q 与r 的和（ ）A ．4B ．6C ．4D ．4 【答案】A【解析】【分析】根据2=q 即可先求出q 的值，再将a 、q 、b 的值代入a =bq +r 中即可求出r 的值，从而作答．【详解】∵2=7=45，的整数部分是4， ∴商q =4，∴余数r =a ﹣bq =2×4=8，∴q +r =4+8=4．故选：A ．【点睛】本题考查了整式的除法、估算无理数的大小，解答本题的关键理解q即2的整数部分．3的平方根是( )A．2 B C．±2 D．【答案】D【解析】【分析】，然后再根据平方根的定义求解即可．【详解】，2的平方根是，．故选D．【点睛】正确化简是解题的关键，本题比较容易出错．4．把-( )A B．C．D【答案】A【解析】【分析】由二次根式-a是负数，根据平方根的定义将a移到根号内是2a，再化简根号内的因式即可.【详解】∵1a-≥，且0a≠，∴a<0，∴-，∴-=故选：A.【点睛】此题考查平方根的定义，二次根式的化简，正确理解二次根式的被开方数大于等于0得到a 的取值范围是解题的关键.5．估计65的立方根大小在（ ）A ．8与9之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间 【答案】C【解析】【分析】先确定65介于64、125这两个立方数之间，从而可以得到34655<<，即可求得答案． 【详解】 解：∵3464=，35125=∴6465125<< ∴34655<<．故选：C【点睛】本题考查了无理数的估算，“夹逼法”是估算的一种常用方法，找到与65临界的两个立方数是解决问题的关键．6．如图，数轴上的点P 表示的数可能是( )A 5B ．5C ．－3.8D ．10-【答案】B【解析】【分析】【详解】5 2.2≈，所以P 点表示的数是5-7．给出下列说法：①﹣0.064的立方根是±0.4；②﹣9的平方根是±3；3a -＝﹣3a ；④0.01的立方根是0.00001，其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】A【解析】【分析】利用平方根和立方根的定义解答即可．【详解】①﹣0.064的立方根是﹣0.4，故原说法错误；②﹣9没有平方根，故原说法错误；④0.000001的立方根是0.01，故原说法错误，其中正确的个数是1个，故选：A．【点睛】此题考查平方根和立方根的定义，熟记定义是解题的关键.8．下列各组数中互为相反数的是（）A．5B．-和(-C．D．﹣5和1 5【答案】B【解析】【分析】直接利用相反数以及绝对值、立方根的定义分别分析得出答案．【详解】解：A、5，两数相等，故此选项错误；B、和-（）互为相反数，故此选项正确；C、=-2，两数相等，故此选项错误；D、-5和15，不互为相反数，故此选项错误．故选B．【点睛】本题考查了相反数以及绝对值、立方根的定义，正确把握相关定义是解题关键．9．下列说法正确的是()A．﹣81的平方根是±9 B．7C．127的立方根是±13D．(﹣1)2的立方根是﹣1【答案】B【解析】【分析】由平方根、算术平方根及立方根的定义依次判定各项即可解答.【详解】选项A，﹣81没有平方根，选项A错误；选项B，7B正确；选项C，127的立方根是13，选项C错误；选项D，（﹣1）2的立方根是1，选项D错误.故选B.【点睛】本题考查了平方根、算术平方根及立方根的应用，熟知平方根、算术平方根及立方根的定义是解决问题的关键.10．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为-1和3，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（）A．3B．3C．3D．3【答案】A【解析】【分析】由于A，B两点表示的数分别为-13OC的长度，根据C在原点的左侧，进而可求出C的坐标．【详解】∵对称的两点到对称中心的距离相等，∴CA=AB，33，∴3C点在原点左侧，∴C表示的数为：3故选A．【点睛】本题主要考查了求数轴上两点之间的距离，同时也利用对称点的性质及利用数形结合思想解决问题．11．25的算数平方根是A5B．±5 C．5D．5【答案】D【解析】【分析】一个正数的平方根有2个，且这两个互为相反数，而算数平方根只有一个且必须是正数，特别地，我们规定0的算术平方根是0 负数没有算术平方根，但i的平方是－1，i是一个虚数，是复数的基本单位.【详解】=，255∴25的算术平方根是：5.故答案为：5.【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.12．如图，数轴上表示实数3的点可能是( )A ．点PB ．点QC ．点RD ．点S【答案】A【解析】【分析】 33的点可能是哪个．【详解】∵132， 3的点可能是点P ．故选A ．【点睛】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．13．若一个正数的平方根是2a ﹣1和﹣a+2，则这个正数是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．9【答案】D【解析】∵一正数的两个平方根分别是2a −1与−a +2，∴(2a −1)+(−a +2)=0，解得a =−1.∴−a +2=1+2=3，∴这个正数为32=9.故选：D.14．已知：[]x 表示不超过x 的最大整数．例：[]3.93=，[]1.82-=-．记1()44k k f k +⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（k 是正整数）．例：3133144()f ⎡⎤⎡⎤+=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．则下列结论正确的个数是（ ）（1）()10f =；（2）()()4f k f k +=；（3）()()1f k f k +≥；（4）()0f k =或1．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】 根据题中所给的定义，依次作出判断即可．【详解】 解：111(1)00044f +⎡⎤⎡⎤=-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，正确； 41411(4)11()444444k k k k k k f k f k +++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=-=+-+=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，正确； 当k=3时，414(31)11044f +⎡⎤⎡⎤+=-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，而(3)1f =，错误； 当k=3+4n （n 为自然数）时，f （k ）=1，当k 为其它的正整数时，f （k ）=0，正确； 正确的有3个，故选：C ．【点睛】本题考查新定义下的实数运算，函数值．能理解题中新的定义，并根据题中的定义进行计算是解决此题的关键．15．已知点P 的坐标为（a ，b ）（a ＞0），点Q 的坐标为（c ，3），且|a ﹣，将线段PQ 向右平移a 个单位长度，其扫过的面积为20，那么a+b+c 的值为（ ）A ．12B ．15C ．17D ．20【答案】C【解析】【分析】由非负数的性质得到a =c ，b =7，P （a ，7），故有PQ ∥y 轴，PQ =7-3=4，由于其扫过的图形是矩形可求得a ，代入即可求得结论．【详解】∵且|a -c =0，∴a =c ，b =7，∴P （a ，7），PQ ∥y 轴，∴PQ =7-3=4，∴将线段PQ 向右平移a 个单位长度，其扫过的图形是边长为a 和4的矩形，∴4a =20，∴a=5，∴c =5，∴a +b +c =5+7+5=17，故选C.【点睛】本题主要考查了非负数的性质，坐标的平移，矩形的性质，能根据点的坐标判断出PQ ∥y 轴，进而求得PQ 是解题的关键．16．若225a =，3b =，且a ＞b ，则a b +=( )A ．±8或±2B ．±8C ．±2D ．8或2【答案】D【解析】【分析】结合已知条件，根据平方根、绝对值的含义，求出a ，b 的值，又因为a ＞b ，可以分为两种情况：①a=5，b=3；②a=5，b=-3，分别将a 、b 的值代入代数式求出两种情况下的值即可．【详解】∵225a =，|b|=3，∴a=±5，b=±3，∵a ＞b ，∴a=5，a=-5(舍去) ，当a=5，b=3时，a+b=8；当a=5，b=-3时，a+b=2，故选：D ．【点睛】本题主要考查了代数式的求值，本题用到了分类讨论的思想，关键在于熟练掌握平方根、绝对值的含义．17．下列命题中哪一个是假命题（ ）A ．8的立方根是2B ．在函数y ＝3x 的图象中，y 随x 增大而增大C ．菱形的对角线相等且平分D ．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等【答案】C【解析】【分析】利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A 、8的立方根是2，正确，是真命题；B 、在函数3y x =的图象中，y 随x 增大而增大，正确，是真命题；C 、菱形的对角线垂直且平分，故错误，是假命题；D、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确，是真命题，故选C．【点睛】考查了命题与定理的知识，能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键．18．估计值应在（）2A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间【答案】A【解析】【分析】先根据二次根式乘法法则进行计算，得到一个二次根式后再利用夹逼法对二次根式进行估算即可得解．【详解】=解：2<<∵91216<<∴34<<∴估计值应在3到4之间．2故选：A【点睛】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．19．下列命题中，真命题的个数有（）①带根号的数都是无理数；②立方根等于它本身的数有两个，是0和1；③0.01是0.1的算术平方根；④有且只有一条直线与已知直线垂直A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】【分析】开方开不尽的数为无理数；立方根等于本身的有±1和0；算术平方根指的是正数；在同一平面内，过定点有且只有一条直线与已知直线垂直.【详解】仅当开方开不尽时，这个数才是无理数，①错误；立方根等于本身的有：±1和0，②错误；20．25的平方根是（）A．±5 B．5 C．﹣5 D．±25【答案】A【解析】【分析】如果一个数 x的平方是a，则x是a的平方根，根据此定义求解即可．【详解】∵（±5）2=25，∴25的立方根是±5，故选A．【点睛】本题考查了求一个数的平方根，解题的关键是掌握一个正数的平方根有两个，这两个互为相反数．。
2024八年级数学上册期末复习2实数2易错专项训练习题课件新版北师大版
新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算
术平方根都是整数，则称这三个正整数为“和谐组合”，
其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整
数称为“最大算术平方根”.
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例如1，4，9这三个数， × ＝2， × ＝3， ×
＝6，其结果都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组
所以有 a ＝5， b ＝3和 a ＝－5， b ＝－3两种情况.
当 a ＝5， b ＝3时， a － b ＝5－3＝2；
当 a ＝－5， b ＝－3时， a － b ＝－2.
综上所述， a － b 的值为2或－2.
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易错点5概念理解不透致错
6. 【新视角·新定义题】喜欢探索数学知识的小明遇到一个
解：(2)因为 a ＝5， b ＝2，
所以3 a － b ＝3×5－2＝13.
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易错点3不理解平方根的概念导致缺少一个解
3. 解方程(1－ x )2＝9.
解：(1－ x )2＝9，即( x －1)2＝9，
所以 x －1＝±3，
解得 x ＝4或 x ＝－2.
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易错点4对 ＝ 理解不透导致化简错误
(1)求 a ， b 的值；
解：(1)因为5 a ＋2的立方根是3，3 a ＋ b －1的平方根
是±4，
所以5 a ＋2＝27，3 a ＋ b －1＝16，
解得 a ＝5， b ＝2.
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北师大版八年级数学上册第二章实数复习
第二章：实数知识梳理一．数的开方主要知识点：【1】平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是 （4）当x 时，x23－有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 【算术平方根】：（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=；（C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=-（3）2)3(-的算术平方根是 。
（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。
河北省邯郸市肥乡县八年级数学上册第二章实数复习教案新版北师大版
第二章这章我们已经学完，让我们复习这一单元的知识。
课导入第二章《实数》知识点梳理及题型解析一、知识归纳（一）平方根与开平方课1.平方根的含义aa的平方根。
，那么这个数就叫做如果一个数的平方等于2ax a?x，即的平方根。
叫做程2.平方根的性质与表示aa?a?a也称为算术平方根，的平方根用表示，⑴表示：正数叫做正平方根，讲a的负平方根。
叫做授a?（根指数2⑵一个正数有两个平方根：省略）00?，记作，负数没有平方根00有一个平方根，为平方与开平方互为逆运算⑶a的平方根的运算。
开平方：求一个数 1立方根的性质2.任何实数都有唯一确定的立方根。
正数的立方根是一个正数。
负数的立方根是一. 立方根是０个负数。
０的开立方与立方3.开立方：求一个数的立方根的运算。
??333333aa?a??a?a?a a取任何数）（这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
*０的平方根和立方根都是０本身。
n（三）推广：次方根naann１次方根。
，这个数就叫做次方（. 如果一个数的是大于１的整数）等于的22. 实数和数轴上的点的对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．实数和数轴上的点一一对应，即数轴上的每一个点都可以表示一个实数．2的画法：画边长为1的正方形的对角线在数轴上表示无理数通常有两种情况：2①尺规可作的无理数，如……②尺规不可作的无理数，只能近似地表示，如π，1.010010001 思考：2a一定是正数吗？）－一定是负数吗？－a （1是一个无理数，那么（2）大家都知道－1在哪两个整数之间？15，则ba= , b= 。
小数部分为）（3的整数部分为a, ）判（4断下面的语句对不对？并说明判断的理由。
①无限小数都是无理数； 333一、平方法：比较的大小和22332和的大小二、根号法：比较1?5的大小和三、求差法：比较12 4.实数的三个非负性及性质数范围内，正数和零统称为非负数。
(1)在实(2)非负数有三种形式0；①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥a2②任何一个实数a的平方是非负数，即；≥0 ③任何非负数的算术平方根是非负数，即0?a）非负数具有以下性质3（①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数；0 ，则每个非负数都等于③几个非负数之和等于0二、题型解析、有关概念的识别题型一.，其中，无理数，，，3π1.010010001下面几个数：例1. ，…，1.23）的个数有（4 D、3 C 、 1 A、 B2 、】下列说法中正确的是（【变式1 ） B3 的平方根是±A、、的立方根是±114、是5的平方根的相反数=C、±1 D题型二、计算类型题），则下列结论正确的是（例2.设 B. A.D.C..计算：例3 4.例先化简，再求值：b111?51?5，b=．，其中a=??)(ab?ba?ba22a33b31?1?2a互为相反数，求的值。
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北师大版初中数学八年级《实数》章节复习题实数平方根【课堂学习检测】1(一般的，如果一个________的平方等于a，即__________，那么这个_________叫做a的算术平方根(a的算术平方根记为__________(规定:0的算术平方根是______(2(一般的，如果_________________________________，那么这个数叫做a的平方根(这就是说，如果______________，那么x 叫做a的平方根，a的平方根记为______( 3(求一个数a的_______________的运算，叫做开平方(4(一个正数有______个平方根，它们______;0的平方根是______;负数________________(165(25的算术平方根是;______是9的平方根;的平方根是______( _________ 2,256,121,6(计算:(1)______;(2)______;(3)______; ,12,142,2,(4)3,______;(5)______;(6)______( (,3),47(下列各数中没有平方根的是( )123A((,3) B(0 C( D(,6 88(下列说法正确的是( )A(169的平方根是13 B(1.69的平方根是?1.32C((,13)的平方根是,13 D(,(,13)没有平方根 9(求下列等式中的x:22(1)若x,1.21，则x,______; (2)x,169，则x,______;9222x,(3)若，则x,______; (4)若x,(,2)，则x,______( 4【综合运用】111(的平方根是______;0.0001算术平方根是______;0的平方根是______( 1252281(的算术平方根是______;的算术平方根的相反数是______( (,4)3(一个数的平方根是?2，则这个数的平方是______(4(3表示3的______;表示3的______( ,325(如果,x有平方根，那么x的值为______(6(如果一个数的负平方根是,2，则这个数的算术平方根是______，这个数的平方是_____(a,,a7(若有意义，则a满足______;若有意义，则a满足______(28(若3x,27,0，则x,______(9(判断正误:(1)3是9的算术平方根( ( )(2)3是9的一个平方根( ( )(3)9的平方根是,3( ( )2(4)(,4)没有平方根( ( )2(5),4的平方根是2和,2( ( )10(下列语句不正确的是( )A(0的平方根是0 B(正数的两个平方根互为相反数22C(,2的平方根是?2 D(a是a的一个平方根 11(一个数的算术平方根是a，则比这个数大8数是( )22A(a，8 B(a,4 C(a,8 D(a，8 12(求下列各式的值:2581，36(1)3 (2)40.04,0.250.36,(3) (4) 12113(要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米(求长和宽各是多少米?14(x为何值时，下列各式有意义?2 (1)2x;(2),x;(3)x;(4)x,1.215(已知a?0，那么等于什么? (a)216((1)5的平方根是________;2(2)(,5)的平方根是________，算术平方根是________;2(3)x的平方根是________，算术平方根是________;2(4)(x，2)的平方根是________，算术平方根是________(立方根【课堂学习检测】1(一般的，如果_____________________________，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。
北师大版八年级数学上册第二章 实数期末复习练习题(含答案)
北师大版八年级数学上册第二章实数期末复习练习题(含答案)一．选择题1．在实数，，﹣，0.0，π，，0.301300130001…（3与1之间依次增加一个0）中，无理数的个数为（）A．3B．4C．5D．62．4的算术平方根是（）A．±2B．2C．±16D．163．的平方根是（）A．±5B．5C．±D．4．一个正数的两个平方根分别是2a﹣5和﹣a+1，则这个正数为（）A．4B．16C．3D．95．如果a，b，c满足|a﹣2|++（c﹣3）2＝0，则a+b﹣c的值为（）A．5B．5+C．5+5D．5﹣56．下列说法正确的是（）A．是2的平方根B．﹣1的立方根是1C．1的平方根是1D．﹣3没有立方根7．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数x为﹣512时，输出的数y的值是（）A．﹣B．C．﹣2D．28．若的整数部分为x，小数部分为y，则x﹣y的值是（）A．1B．C．3﹣3D．39．已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a ﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．410．计算（）A．2B．C．D．3二．填空题11．已知某数的一个平方根是，那么它的另一个平方根是．12．已知：≈1.421267…，≈4.494441…，则（精确到0.1）≈．13．已知≈1.2639，≈2.7629，则≈．14．若x2＝（﹣5）2，＝﹣5，那么x+y的值是．15．①＝．②＝．③写出﹣和之间的所有整数．16．比较大小：24．17．若|x|＝，则实数x＝．18．如图，长方形OABC放在数轴上，OA＝2，OC＝1，以A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于P点，则P点表示的数为．19．式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是．20．已知a ≥﹣1，化简＝．三．解答题21．无限循环小数如何化为分数呢？请你仔细阅读下列资料：由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几等等的数．转化时需要先去掉无限循环小数的“无限小数部分”．一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍…使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了．例题：例如把0.和0.2化为分数请用以上方法解决下列问题（1）把0.化为分数（2）把0.3化为分数．22．定义：等号两边都是整式，只含有⼀个未知数，且未知数的最高次数是2的⼀程，叫做⼀元⼀次⼀程．如x2＝9，（x﹣2）2＝4，3x2+2x﹣1＝0…都是⼀元⼀次⼀程．根据平⼀根的特征，可以将形如x2＝a（a≥0）的⼀元⼀次⼀程转化为⼀元⼀次⼀程求解．如：解⼀程x2＝9的思路是：由x＝±，可得x1＝3，x2＝﹣3．解决问题：（1）解⼀程（x﹣2）2＝4．解：∵x﹣2＝±，∴x﹣2＝2，或x﹣2＝．∴x1＝4，x2＝．（2）解⼀程：（3x﹣1）2﹣25＝0．23．已知2a﹣1的平方根是，3a+b﹣1的算术平方根是6，求a+4b的平方根．24．已知某正数的两个平方根分别是﹣1和a﹣4，b﹣12的立方根为2．（1）求a，b的值．（2）求a+b的平方根．25．求出下列x 的值：（1）4x 2﹣16＝0； （2）3（x +1）3＝24．26．如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，根据图回答下列问题： （1）比较大小：a ﹣1 0；b +1 0；c +1 0；（2）化简﹣|a ﹣1|+|b +1|+|c +1|．27．计算：（1）2﹣2+； （2）×﹣；（3）； （4）（π﹣3）0+（﹣）﹣1+|﹣|+．28．计算：（1）（+10）+（﹣11.5）+（﹣10）﹣4.5； （2）（﹣6）2×（﹣）﹣23；（3）（﹣270）×+0.25×21.5+（﹣8）×（﹣0.25）； （4）﹣+6÷（﹣）×．29．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）（1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，则﹣2表示的点与 表示的点重合； （2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数表示的点重合；②表示的点与数 表示的点重合；③若数轴上A 、B 两点之间距离为9（A 在B 的左侧），且A 、B 两点经折叠后重合，此时点A 表示的数是 、点B 表示的数是（3）已知在数轴上点A 表示的数是a ，点A 移动4个单位，此时点A 表示的数和a 是互为相反数，求a 的值．30．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；（2）若a+4＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；（3）化简：．参考答案一．选择题1．【解答】解：＝2，，﹣，0.0都是有理数，而π，，0.301300130001…（3与1之间依次增加一个0）都是无限不循环小数，因此是无理数，所以无理数的个数有3个，故选：A．2．【解答】解：∵22＝4，∴4的算术平方根是2．故选：B．3．【解答】解：∵＝5，∴的平方根是±，故选：C．4．【解答】解：∵正数的两个平方根分别是2a﹣5和﹣a+1，∴（2a﹣5）+（﹣a+1）＝0，解得a＝4，∴2a﹣5＝3，∴这个正数为32＝9，故选：D．5．【解答】解：根据题意得：a﹣2＝0，b﹣5＝0，c﹣3＝0，解得a＝，b＝5，c＝，则a+b﹣c＝2+5﹣＝5﹣．故选：A．6．【解答】解：A、是2的平方根，正确；B、﹣1的立方根是﹣1，故本选项错误；C、1的平方根是±1，故本选项错误；D、﹣3的立方根是﹣，故本选项错误；故选：A．7．【解答】解：由题中所给的程序可知：把﹣512取立方根，结果为﹣8，因为﹣8是有理数，所以再取立方根为﹣2，﹣2是有理数，所以再取立方根为＝，因为是无理数，所以输出，故选：A．8．【解答】解：∵1，∴x＝1，y＝﹣1，∴x﹣y＝×1﹣（﹣1）＝1，故选：A．9．【解答】解：由题意b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，则①ab+ac＞0，故原结论正确；②﹣a﹣b+c＞0，故原结论错误；③++＝1﹣1+1＝1，故原结论错误；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝a﹣b+c+b﹣（﹣a+c）＝2a，故原结论错误；⑤当b≤x≤a时，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b，故原结论正确．故正确结论有2个．故选：B．10．【解答】解：原式＝1+（2×）2016×2＝1+2＝3．故选：D．二．填空题11．【解答】解：若一个数的一个平方根是，则它的另一个平方根是．故答案为：．12．【解答】解：∵≈4.494，∴≈44.9（精确到0.1），故答案为：44.9．13．【解答】解：∵≈1.2639，∴＝＝×＝﹣×≈﹣0.12639．故答案为：﹣0.12639．14．【解答】解：根据题意得：x＝﹣5或5，y＝﹣5，当x＝﹣5时，x+y＝﹣5﹣5＝﹣10；当x＝5时，x+y＝5﹣5＝0．故答案为：﹣10或0．15．【解答】解：①因为＞2，所以|2﹣|＝﹣2；故答案为：﹣2；②×＝＝＝2；故答案为：2；③因为﹣3＜﹣、＜4，所以﹣和之间的所有整数：﹣2，﹣1，0，1，2，3．故答案为：2，﹣1，0，1，2，3．16．【解答】解：2＝，4＝，∵28＜32，∴＜，∴2＜4．故答案为：＜．17．【解答】解：∵，则实数x＝，故答案为：．18．【解答】解；∵四边形OABC是长方形，∴∠AOC＝90°，∴AC＝＝＝，∵以A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于P点，∴AP＝AC＝，∴OP＝AP﹣OA＝﹣2，∴点P表示的数是2﹣，故答案为：2﹣．19．【解答】解：由题意得：5﹣x≥0，解得：x≤5，故答案为：x≤5．20．【解答】解：∵a≥﹣1，∴a+1≥0，则原式＝＝|a+1|＝a+1，故答案为：a+1．三．解答题21．【解答】解（1）∵0.×100＝17.∴0.×100﹣0.＝17.﹣0.0.×（100﹣1）＝17，0.＝，（2）∵0.3×10＝3.①0.3×1000＝313.•②∴由②﹣①得0.3×1000﹣0.3×10＝313.﹣3.，0.3（1000﹣10）＝310，0.3＝．22．【解答】解：（1）∵x﹣2＝±，∴x﹣2＝2，或x﹣2＝﹣2．∴x1＝4，x2＝0．（2）∵（3x﹣1）2﹣25＝0∴（3x﹣1）2＝25，∴3x﹣1＝±，∴3x﹣1＝5，或3x﹣1＝﹣5．∴x1＝2，x2＝﹣．故答案为：﹣2，0．23．【解答】解：根据题意，得2a﹣1＝17，3a+b﹣1＝62，解得a＝9，b＝10，所以，a+4b＝9+4×10＝9+40＝49，∵（±7）2＝49，∴a+4b的平方根是±7．24．【解答】解：（1）由题意得，a﹣4＝1，b﹣12＝8，所以a＝5，b＝20；（2）由（1）得，a+b＝25，所以．25．【解答】解：（1）4x2﹣16＝0，4x2＝16，x2＝4，x＝±2；（2）3（x+1）3＝24，（x+1）3＝8，x+1＝2，x＝1．26．【解答】解：（1）从数轴可知：b＜﹣1＜c＜0＜a＜1，所以a﹣1＜0，b+1＜0，c+1＞0，故答案为：＜，＜，＞；（2）由（1）可知：a﹣1＜0，b+1＜0，c+1＞0，所以﹣|a﹣1|+|b+1|+|c+1|＝a﹣1﹣b﹣1+c+1＝a﹣b+c﹣1．27．【解答】解：（1）2﹣2+＝2×3﹣2×+＝6﹣+＝6；（2）×﹣＝﹣＝6﹣7＝﹣1；（3）＝3+4﹣4﹣＝7﹣4﹣1＝6﹣4；（4）（π﹣3）0+（﹣）﹣1+|﹣|+＝1﹣3+2﹣2＝﹣4+2．28．【解答】解：（1）原式＝﹣11.5﹣4.5+（10﹣10）＝﹣16+0＝16；（2）（﹣6）2×（﹣）﹣23＝36×﹣36×﹣8＝12﹣18﹣8＝﹣14；（3）（﹣270）×+0.25×21.5+（﹣8）×（﹣0.25）＝×（﹣270+21.5+8）＝×（﹣240）＝﹣60；（4）﹣+6÷（﹣）×＝﹣6﹣9×（﹣2）＝﹣6+18＝12．29．【解答】解：（1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，折叠点对应的数为＝0，设﹣2表示的点所对应点表示的数为x，于是有＝0，解得x＝2，故答案为2；（2）折叠纸面，使表示的点﹣1与3重合，折叠点对应的数为＝1，①设5表示的点所对应点表示的数为y，于是有＝1，解得y＝﹣3，②设表示的点所对应点表示的数为z，于是有＝1，解得z＝2﹣，③设点A所表示的数为a，点B表示的数为b，由题意得：＝1且b﹣a＝9，解得：a＝﹣3.5，b＝5.5，故答案为：﹣3，2﹣，﹣3.5，5.5；3）①A往左移4个单位：（a﹣4）+a＝0．解得：a＝2．②A往右移4个单位：（a+4）+a＝0，解得：a＝﹣2．答：a的值为2或﹣2．30．【解答】解：（1）∵（m+n）2＝m2+6n2+2mn，a+b＝（m+n）2，∴a＝m2+3n2，b＝2mn．故答案为m2+3n2，2mn；（2）∵（m+n）2＝m2+3n2+2mn，a+4＝（m+n）2，∴a＝m2+3n2，mn＝2，∵m、n均为正整数，∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，∴a＝13或7；（3）＝＝＝2+1，则＝＝＝＝﹣1．。
2024年北师大版八年级上册数学期末复习题组练二 实数
2
3
4
5
6
7
C. 3
8
9
10
11
12
13
14
D. 4
15
16
17
18
19
20
9. 点 P 在数轴上运动，它对应的实数为 a ，点 A 对应的实数
为3，则代数式 ( − ) ＋ a ＋3的值为(
A. 6
B. 2 a
C. 6或2 a
D. a ＋3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
C
17
17
18
19
20
二、填空题(每小题4分，共24分)
11. 若式子 −( − ) 有意义，则满足条件的 a 的值
是
1
.
4
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Hale Waihona Puke 161718
19
20
12. 【新视角 结论开放题】写出一个绝对值小于 的负整
数：
1
2
－1(答案不唯一)
3
4
5
6
7
8
9
.
10
− ＝2；④ 的平方
根是±4；⑤±9是81的算术平方根，其中正确的有( A
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
1
2
3
4
5
6
专题2-4 实数(提高篇)21-22八年级数学上复习精练(北师大版)
专题2.4 实数（提高篇）专项练习2一、单选题1．在下列实数中，属于无理数的是（）A．53B．4C．3.14D．82．若Rt ABC的两边长a，b满足()2430a b-+-=，则第三边的长是（）A．5B．7C．5或7D．5或73．3729的算术平方根等于（）A．9B．9±C．3D．3±4．若9﹣13的整数部分为a，小数部分为b，则2a+b等于（）A．12﹣13B．13﹣13C．14﹣13D．15﹣135．对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{30，a}＝a，min{30，b}＝30，且a和b 为两个连续正整数，则2a﹣b的值为（）A．1B．2C．3D．46．如图，在数轴上A，B，C，D四个点中，点C最可能表示的实数是（）．A．2B．3C．6D．107．对于1162-这样的根式，我们可以利用“配方法”进行化简：116292182-=-+()29232=-=-．运用同样的方法化简236104322-+-的结果是（）A．33-B．32-C．53D．528．如图，某计算器中有√,1x⁄,x2三个按键，以下是这三个按键的功能.①√：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；①1x⁄：将荧幕显示的数变成它的倒数；①x2：将荧幕显示的数变成它的平方.小明输入一个数据后，依次按照从第一步到第三步循环按键.如果一开始输入的数据为10，那么第2018次按键后，显示的结果是（）输入x→x2→1x⁄→√x第一步第二步第三步A．√1010B．100C．0.01D．0.19．若15a=，则实数a在数轴上对应的点的大致位置是（）A．B．C．D．10．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是（）A．5B．5±C．5D．5±二、填空题11．在﹣1、0、0.101001…、π、5.1、7的6个数中，随机抽取一个数，抽到无理数的概率是_____．12．将1，2，3，6按如图方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，如（5，4）表示的数是2（即第5排从左向右第4个数），那么（2021，1011）所表示的数是___．13．5-的相反数是__；13的倒数是__；2的平方根是__；9的算术平方根是__；实数8的立方根是__．14．规定用符合[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]=3，[3]1=，按此规定，[191]-=______ 15．比较大小：27____4216．计算：(6＋5)2015·(6－5)2016＝________．17．若最简根式25b +和34a b -是同类二次根式，则a •b 的值是_____．18．已知2(4)5y x x =--+，当分别取1，2，3，……，2020时，所对应y 值的总和是__________．19．若0xy >，则二次根式2y x x -化简的结果为________． 20．化简322+=___________．21．若22a 3a 1b 2b 10-++++=，则221a b a+-=_____． 22．将1、2、3、6按如图方式排列．若规定（m ，n ）表示第m 排从左向右第n 个数，则（7，3）所表示的数是__；（5，2）与（20，17）表示的两数之积是__．三、解答题23．计算下列各题：(1)(48＋20)－(12－5)； (2)20＋5 (2＋5)； (3) 48÷3－215×30＋(22＋3)2； (4)(2－3)2017(2＋3)2018－|－3|－(－2)0.24．已知5a 2+的立方根是3，3a b 1+-的算术平方根是4，c 13（1）求a ，b ，c 的值；（2）求3a b c -+的平方根．25．先化简，再求值：（x+y ）（x ﹣y ）+y （x+2y ）﹣（x ﹣y ）2，其中x=2+3，y=2﹣3．26．已知3232x -=+，3232y +=-，求22x y y x +的值．27．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如()232212+=+，善于思考的小明进行了以下探索：设()222a b m n +=+（其中a 、b 、m 、n 均为正整数），则有222222a b m mn n +=++， ①a ＝m 2+2n 2，b ＝2mn ．这样小明就找到了一种把部分2a b +的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若()266a b m n +=+，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：a ＝ ，b ＝ ；（2）若()2433a m n +=+，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值；（3）化简：72180-+．28．如图，五边形ABCDE 中，,,90AB a BC b B ︒==∠=．且2226464368a a b a -+-=++． （1）求-a b 的平方根；（2）请在CD 的延长线上找一点G ，使得四边形ABCG 的面积与五边形ABCDE 的面积相等；(说明找到G 点的方法)（3）已知点F 在AC 上，//FH AB 交BC 于H ,若6FH =，则BH = ．参考答案1．D 【分析】 无限不循环小数是无理数，根据定义解答． 【详解】解：①4=2， ① 53、2、3.14是有理数， 属于无理数的是8，故选：D ．【点拨】此题考查无理数的定义，熟记定义是解题的关键．2．D【分析】先求出a 和b 的值，再设第三边为x ，讨论斜边情况，利用勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：①()240,30,a b -≥-≥又①()2430a b -+-=,①40,30,a b -=-=①4,3,a b ==设第三边长为x ，由,a b >则共有以下两种情况：①当222a b x +=时，5,x =①当222b x a +=时，由0,x >所以7x =，①第三边长是5或7；故选：D ．【点拨】本题考查了平方和算术平方根的非负性特点、利用平方根解方程以及勾股定理的应用，解题关键是牢记它们的“非负性”，理解并能运用勾股定理求直角三角形的边等，该题属于中等难度题目，易错点是学生容易误选A ，该题蕴含了分类讨论的思想方法等． 3．C【分析】根据立方根、算术平方根的定义求解即可．【详解】解：因为39729=，所以3729=9，因此3729的算术平方根就是9的算术平方根，又因为9的算术平方根为3，即93=，所以3729的算术平方根是3，答案：C．【点拨】本题考查了立方根、算术平方根的定义，理解立方根、算术平方根的意义是得出答案的关键．4．C【分析】先估算13的大小，再估算9﹣13的大小，进而确定a、b的值，最后代入计算即可．【详解】解：①3＜13＜4，①﹣4＜﹣13＜﹣3，①5＜9﹣13＜6，又①9﹣13的整数部分为a，小数部分为b，①a＝5，b＝9﹣13﹣5＝4﹣13，①2a+b＝10+（4﹣13）＝14﹣13，故选：C．【点拨】本题考查估算无理数，掌握无理数估算的方法是解决问题的前提，理解无理数的整数部分和小数部分的表示方法是得出正确答案的关键．5．D【分析】根据新定义求出a ，b 的范围，进而求得a 、b 值，然后再代入求出2a ﹣b 的值即可． 【详解】解：①min {30，a }＝a ，min {30，b }＝30．①a ＜30，b ＞30．①a ，b 是两个连续的正整数．①a ＝5，b ＝6．①2a ﹣b ＝2×5﹣6＝4．故选：D ．【点拨】本题考查新定义下的实数运算、代数式求值、无理数的估算，理解新定义，正确求出a 、b 是解答的关键．6．C【分析】先观察数轴上得到点C 的大体范围为2-3之间，再对下方无理数进行估算，选择范围在2-3之间的数字即可．【详解】解：观察数轴可知C 2＜＜3,A ：①124＜＜，①122＜＜，A 错误；B ：①134＜＜，①132＜＜，B 错误；C ：①469＜＜，①263＜＜，C 正确；D ：①91016＜＜，①103＜＜4，D 错误．故选：C ．【点拨】本题主要考查的是估算无理数的大小，求得的无理数的大致范围并结合数轴进行对应是解题的关键．7．B【分析】322-可以化为()221-，642+可以化为()222+，1162-可以化为()232-，开方即可求解．【详解】解：236104322-+-=()223610421-+-=()23610421-+-=236642-+=()223622-+=()23622-+=1162-=()232-=32-．故选B．【点拨】本题考查了二次根式的性质和化简，能够把被开方数配成完全平方的形式是解决本题的关键．8．C【解析】【分析】根据题中的按键顺序确定出显示的数的规律，即可得出结论.【详解】根据题意得，102=100，1100=0.01，√0.01=0.1，0.12=0.01，10.01=100，√100=10，…，因此每6步循环一次.①2018=6×336+2，①第2018次按键后，荧幕显示的数是0.01．故选C.【点拨】此题考查了计算器—数的平方，弄清按键顺序是解本题的关键. 9．B【分析】根据无理数的估算，估算出a的取值范围即可得答案.【详解】①9<15<16，①3<15<4，①3<a<4，故选B.【点拨】本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力，估算出15的取值范围是解题关键.10．B【分析】根据已知进行计算，并判断每一步输出结果即可得到答案．【详解】解：①25的算术平方根是5，5不是无理数，①再取5的平方根，而5的平方根为5±，是无理数，①输出值y＝5±，故选：B．【点拨】本题考查实数分类及计算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键．11．1 3【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；①符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：①在-1、0、0.101001、π、5.1、7的6个数中，-1、0、7是整数，有理数；5.1是有限小数，有理数；无理数有0.101001…、π共2个，①随机抽取一个数，抽到无理数的概率是21 63 =，故答案为：13．【点拨】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．12．1【分析】所给一系列数是4个数一循环，看(2021,1011)是第几个数，除以4，根据余数得到相应循环的数即可．【详解】解：前2020排共有的个数是：(20201)2020 1234202020412102+⨯++++⋯⋯+==，(2021,1011)∴表示的数是第204121010112042221+=个数，204222151055541=⨯+，∴第2021排的第1011个数为1．故答案为：1．【点拨】本题考查算术平方根与规律型：数字的变化类，根据规律判断出是第几个数是解本题的关键．13．5；3；±2；3；2．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，乘积是1的两个数互为倒数，平方根的定义，算术平方根的定义，立方根的定义解答．【详解】解：﹣5的相反数是5；①3×13＝1，①13的倒数是3；2的平方根是±2；①32＝9，①9的算术平方根是3；①23＝8，①实数8的立方根是2． 故答案为：5，3，±2，3，2． 【点拨】本题考查了实数的性质，主要涉及到相反数的定义，倒数的定义，平方根、算术平方根以及立方根的定义，是基础题，熟练掌握概念是解题的关键．14．3【详解】试题解析：①4＜19＜5，①3＜19-1＜4，①[19-1]=3．故答案为3．15．＜【分析】首先把括号外的数移到括号内，再比较被开方数的大小可得答案．【详解】27=28，42=32，①28＜32，①28＜32，①27＜42．故答案为＜．【点拨】此题主要考查了实数的比较大小，根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小．16．6-5【详解】原式=()()()2015201565656565+--=-. 故答案为65-.17．18【分析】由同类二次根式的被开方数相同即可解题. 【详解】解：①最简根式2b 5+和a 3b 4-是同类二次根式，①a=2,2b+5=3b -4,解得：a=2,b=9,①ab=18.【点拨】本题考查了同类根式的应用,属于简单题,熟悉同类根式的概念是解题关键. 18．2032【分析】先化简二次根式求出y 的表达式，再将x 的取值依次代入，然后求和即可得．【详解】2(4)545y x x x x =--+=--+当4x <时，4592y x x x =--+=-当4x ≥时，451y x x =--+=则所求的总和为(921)(922)(923)111-⨯+-⨯+-⨯++++75312017=+++⨯2032=故答案为：2032．【点拨】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键．19．－y -【分析】首先判断出x ，y 的符号，再利用二次根式的性质化简求出答案．【详解】解：①0xy >，且2y x -有意义， ①00x y ＜，＜，①2·y y x x y x x--==---．故答案为y --． 【点拨】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．即2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩，a a b b = （a ≥0，b >0）． 20．2+1【分析】先将322+用完全平方式表示,再根据()()()20000a a a a a a a ⎧>⎪===⎨⎪-<⎩进行化简即可.【详解】因为()2223221222122212+=++=++=+, 所以()2322121212+=+=+=+,故答案为: 21+.【点拨】本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是要将二次根式利用完全平方公式分解.21．6【解析】试题分析：①()2222a 3a 1b 2b 10a 3a 1b 10-++++=⇒-+++=， ①222221111a 30a 3a 29a 7a 3a 10{{{{{a a a a b 10b 1b 1b 1b 1-+=+=++=+=-+=⇒⇒⇒⇒+==-=-=-=-． ①221a b 71716a +-=--=-=． 22．6； 32．【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m ﹣1排有（m ﹣1）个数，从第一排到（m ﹣1）排共有：1+2+3+4+…+（m ﹣1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m 排第n 个数到底是哪个数后再计算．【详解】（7，3）表示第7排从左向右第3个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，1+2+3+4+5+6+3=24，24÷4=6，则（7，3）所表示的数是6；由图可知，（5，2）所表示的数是6；①第19排最后一个数的序号是：1+2+3+4+…+19=190，则（20，17）表示的是第190+17=207个数，207÷4=51…3，①（20，17）表示的数是3，①（5，2）与（20，17）表示的两数之积是：6332⨯=．故答案为632；．【点拨】本题考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．判断出所求的数是第几个数是解决本题的难点；得到相应的变化规律是解决本题的关键．23．(1) 23＋35；(2) 45＋5；(3) 15＋26；(4)1.【解析】试题分析：这是一组二次根式的混合运算题，按照二次根式的相关运算法则计算即可.试题解析：（1）原式=43252352335+-+=+；（2）原式=25255455++=+；（3）原式=42684631526-+++=+；（4）原式=2017-+⨯+--=+--=.[(23)(23)](23)312331124．（1）a=5，b=2，c=3 ；（2）±4.【分析】(1)利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值.(2)将a、b、c的值代数式求出值后，进一步求得平方根即可．【详解】(1)①5a+2的立方根是3，3a+b-1的算术平方根是4，①5a+2=27，3a+b-1=16，①a=5，b=2，①c 是13的整数部分， ①c=3， （2）①a=5,b=2,c=3,①3a -b+c=16，3a -b+c 的平方根是±4．【点拨】考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．25．3xy,3【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式进行展开，然后进行合并化简，最后再将x 、y 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】（x+y ）（x ﹣y ）+y （x+2y ）﹣（x ﹣y ）2=x 2﹣y 2+xy+2y 2﹣x 2+2xy ﹣y 2=3xy ，当x=2+3，y=2﹣3时，原式=3×（2+3）×（2﹣3）=3．【点拨】本题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序以及乘法公式是解答本题的关键.26．970【分析】首先把x 和y 进行分母有理化，然后将其化简后的结果代入计算即可．【详解】解：①32(32)(32)52632(32)(32)x ---===-++-，32(32)(32)52632(32)(32)y +++===+--+， ①原式22526526(526)(526)-+=++-5265264920649206-+=++-(526)(49206)(526)(49206)(49206)(49206)(49206)(49206)--++=++--+24510069862402451006986240=--+++++970=．【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是对x 和y 进行分母有理化及掌握二次根式的运算法则．27．（1）m 2+6n 2，2mn ；（2）a ＝13或7；（3）5﹣1．【分析】（1）利用完全平方公式展开得到()2226266m nm mn n +=++，再利用对应值相等即可用m 、n 表示出a 、b ；（2）直接利用完全平方公式，变形后得到对应值相等，即可求出答案；（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．【详解】解：（1）①()22266266a b m nm mn n +=+=++， ①a ＝m 2+6n 2，b ＝2mn ．故答案为：m 2+6n 2，2mn ；（2）①()222433233a m nm mn n +=+=++， ①a ＝m 2+3n 2，mn ＝2，①m 、n 均为正整数，①m ＝1、n ＝2或m ＝2，n ＝1，①a ＝13或7；（3）①()2218020451251251+=++=+=+，则()()27218072516255151-+=-+=-=-=-．【点拨】本题考查了二次根式性质和完全平方式的内容，考生须先弄清材料中解题的方法，同时熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则以及二次根式的化简公式是解题的关键. 28．（1）-a b 的平方根为2±；（2）见解析；（3）32BH =【分析】（1）根据已知条件即可求a−b 的平方根；（2）连接AD ,过点E 作//EG AD 交CD 延长线于G 点,即为所求；（3）根据等面积法即可求线段BH 的长． 【详解】()1由题知：22640640a a ⎧-≥⎨-≥⎩ 226464a a ⎧≥∴⎨≤⎩264a ∴=8a ∴=±80a +≠8a ∴≠-8a ∴=236b ∴=6b ∴=±0b BC =>6b ∴=①a -b=2①a -b 的平方根是2±；()2如图①连接AD①过点E 作//EG AD 交CD 延长线于G 点 理由： 连接AG 交ED 于点O//AD EGAED AGD S S ∆∆∴=AOE GOD S S ∆∆∴=ABCDE AOE ABCDO GOD ABCDO S S S S S ∆∆∴=+=+ABCG S =①所以四边形ABCG 的面积与五边形ABCDE 的面积相等；（3）连接FB ，FH①AB过点F 作FQ①AB 于点Q ，则四边形FQBH 是矩形，①FQ ＝BH ，ABC ABF FBC S S S ∆∆∆=+ 111222AB BC AB h BC FH ∴=+ 86866h ∴⨯=⨯+⨯32h ∴= 32BH h ∴== 故答案为：32．【点拨】本题考查了作图−应用与设计作图，综合运用平方根、二次根式有意义的条件、平行线的性质、三角形的面积等知识解决问题，解题关键是利用等面积法．。
北师大版数学八年级上册 第二章 实数 复习课件(共31张PPT)
例4：x取何值时， 4 x 有意义？
4 x 0, x 4
1、基本概念
算术平方根：如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数 x叫做a的算术平方根；特别的，0的算术平方根是0； 平方根：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的 平方根； 立方根：如果一个数x的立方等于a，那么这个数x叫做a的 立方根。
同学们，不管你现在的成绩 怎么样，不管你现在的基础怎么样 ，只要坚定信念，超越自我，你就 有了努力的方向，你就有了奋斗的 目标，你就有了生活的动力，你就 有了成功的希望！
独立
知识的升华
作业
P
1 3 老3师期望:
习 悟 做完题目后,一定要“ ”到点东西,纳入到自
己的认知结构中去.
13. 9( y 3)2 1
解
4
方
解:( y 3)2 1
程：
36
1
y 3
36
y 3 1 6
y 19 或y 17
6
6
14. 2（ 7 x 2）3 125 0
3
解: 27(x 2)3 125
3
(x 2)3 125
3
27
2 125
3、绝对值：整数的绝对值是其本身；0的绝对值是0；负数的绝对值是 其相反数。
易错 例1、 5 的相反数是
5
，倒数是
5 5 ，绝对值是
5
。
c 例2、 3.14 的值是(
)
A. 3.14- 2 B. 3.14 C. –3.14
D. 无法确定
常考 例3、已知 2 2x 1 y 22 4 z 0，
(4 4 3 3) 1 (4 4 3 3)
北师大版初中八年级数学下册单元复习课 第二章实数
【阅读收获】 通过阅读了解了无理数的发现过程，希伯索斯因为发现了什么而被杀害？
一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，记作± a ；其中正的那一个叫作算
术平方根，记作 a .
2．区别开平方运算和开立方运算
开平方 开立方
正数
两个平方根，互为相 反数
一个立方根，是正数
0
负数
一个平方根，是0 没有平方根
一个立方根，是0 一个立方根，是负数
二次根式的运算 掌握二次根式的加、减、乘、除运算．还要明确怎样算能够条理清楚、步骤 简洁．类比整式乘法解决较简单的混合运算问题，能够解决较简单的条件求值问 题．
答：希伯索斯发现，边长为 1 的正方形，它的对角线(根号 2)却不能用整数之比来 表达．
A．－1 B．14
C．0 D．－ 2
3．(2020·绥化中考)化简| 2 －3|的结果正确的是( D )
A． 2 －3 B．－ 2 －3 C． 2 ＋3 D．3－ 2
4．(2020·黔东南州中考)实数 2 10 介于( C )
A．4 和 5 之间 B．5 和 6 之间 C．6 和 7 之间 D．7 和 8 之间 5．(2020·遂宁中考)下列各数 3.141 592 6， 9 ，
开方运算
掌握开平方和开立方运算，明白它们之间的联系．考点主要集中在平方根和
算术平方根的概念区分、求值等方面．
1．(2020·攀枝花中考)下列说法中正确的是( C )
《实数》全章复习与巩固(知识讲解)八年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题2.22 《实数》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.【要点梳理】有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数特别说明：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一一对应.⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。
我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；（3().非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算：数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.【典型例题】类型一、与实数有关的概念1、把下列各数填入相应的大括号里．π，2，﹣12，|，2.3，30%(1)整数集：{…}；(2)有理数集：{…}；(3)无理数集：{…}．【答案】(1)2，﹣12，2.3，30%π，|【分析】根据有理数与无理数概念，运用实数的分类求解即可．(1)解：∵|22，∵整数集：{2…}故答案为：2(2)解：有理数集：{2，﹣12，2.3，30%…}；故答案为：2，﹣12，2.3，30%(3)解：无理数集：{π，|，…}；a aa2a≥0a≥a a故答案为：π，|．【点拨】本题考查了实数的分类，解决本题的关键是熟记实数的分类． 【变式】一个数值转换器，如图所示：(1)当输入的x 为9时，输出的y 值是 ；(2)若输入有效的x 值后，始终输不出y 值，请写出所有满足要求的x 的值，并说明你的理由；(3)若输出的y x 值： ． 【答案】或1，理由见分析(3)7或49 【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案；（3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案．(1)解：当x ＝9时，93，而3是有理数，3(2)0或1，理由如下：因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1， 无论进行多少次运算都不可能是无理数； (3)若1次运算就是无理数，则输入的数为7， 若2次运算输出的数是无理数，则输入的数是49， 故答案为：7或49．【点拨】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．2、若0,0a ab <<，化简433a b b a ----+【答案】【分析】由0,0a ab <<判断b ＞0，再判断绝对值里的数的正负，由绝对值的定义去掉绝对值，再计算即可．解：∵0,0a ab <<，∵b ＞0，∵0,0a b b a ---+>∵a b b a ---((a b b a =-----a b b a =-+++=【点拨】本题考查二次根式的化简，正确的对含绝对值号的代数式的化简是解题的关键．分类的标准应按正实数，负实数，零分类考虑．掌握好分类标准，不断加强分类讨论的意识．【变式】实数a 在数轴上的对应点A 的位置如图所示，b ＝|a ＋|2−a |(1)求b 的值；(2)已知b ＋2的小数部分是m ，8－b 的小数部分是n ，求2m ＋2n ＋1的平方根．【答案】2(2)【分析】（1）先判断2<a <3，再判断a <0，2−a <0，再化简绝对值，合并即可；（2）先求解2,8,b b 再求解,m n 的值，再求解2m ＋2n ＋1，最后求解平方根即可． (1)解：∵2<a <3∵a ，2−a <0∵b -a ＋a -2(2)∵b ＋8－b =8）=10，3104,<<610107,∵m －3，n =10－6=4∵2m ＋2n ＋6+8－1=3∵2m ＋2n ＋1的平方根为【点拨】本题考查的是实数与数轴，化简绝对值，无理数的小数部分的理解，平方根的含义，掌握以上基础知识是解本题的关键．类型二、二次根式双重非负性3、若a 、b 为实数，且b ＜222a a -+-+，化简：214422b b a b-++-． 【答案】3【分析】首先由二次根式有意义的条件求得：a ＝2，b ＜2，再利用实数的运算法则求解即可求得答案．解：∵20 20aa-≥⎧⎨-≥⎩，解得：a＝2，∵b2＝2，即b＜2，221232bb-=+=+=-．【点拨】本题主要考查的是二次根式的非负性，以及二次根式的化简求值，利用非负性求得a值，以及b的取值范围是解本题的关键．【变式】已知实数，b，c满足3a+(2a b+的值．【答案】4【分析】根据二次根式的非负性求得b的值，然后根据非负数的性质求得,a c的值，最后代入代数式求解即可.解：∵3a+∵5050bb-≥⎧⎨-≥⎩，5b∴=，∴3a+0，3,2a c∴=-=，∴(2a b+()23504=-+-=.【点拨】本题考查了二次根式的非负性，非负数的性质，掌握二次根式的非负性是解题的关键．类型三、与二次根式有关的规律问题4、细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：11OA=；2OA = 1111122S =⨯⨯=；3==OA 2112S ==4==OA 3112S ==； (1)请用含有n （n 为正整数）的等式表示上述变化规律：2nOA =______，n S =______． (2)若一个三角形的面积是 (3)求出22221239S S S S +++⋅⋅⋅+的值．【答案】(1)n 它是第32个三角形；(3)11.25． 【分析】（1）由勾股定理及直角三角形的面积求解；（2）利用（1）的规律代入Sn n 即可； （3）算出第一到第九个三角形的面积后求和即可．(1)解：因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：OA 1，OA 2OA 3…，OAn所以OAn 2=n ．Sn =12故答案为：n(2)解：当Sn 解之得：n =32，即：说明它是第32个三角形； (3)解：S 12+S 22+S 32+…+S 92 =14+24+…+94=454=11.25．即：S 12+S 22+S 32+…+S 92的值为11.25．【点拨】本题考查了勾股定理以及二次根式的应用，解题的关键是看清楚相邻两个三角形的各个边之间的关系．【变式】观察以下等式：第112=第223=第334== ．．．．．．．．．．．按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式： ；(2)写出你猜想的第n 个等式： （用含n 的等式表示，n 为自然数）(3)【答案】78=；1n n =+；(3)150 【分析】（1）根据所给的等式的形式求解即可； （2）分析所给的等式的形式，总结出规律即可； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． (1)解：根据题意得第7个等式为：78==；78==；(2)解：第112；第223=；第334==； 由以上等式可以猜想第n 个等式是：1nn +；1nn =+；(3)……＝1234923450⨯⨯⨯…… ＝150． 【点拨】本题主要考查数字的变化规律、二次根式性质和运算法则，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．类型四、二次根式化简、求值5、计算：(1)⎛ ⎝ (2) )21+【答案】4+【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，去括号后再合并即可； （2）先利用平方差公式及完全平方公式进行计算，然后再合并即可．(1)解：原式=⎛ ⎝⎭=(2)解：原式=2221-++=3221-++ =4+【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【变式】计算：(1) (2) (1112π-⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】(1)10-2 【分析】(1)根据二次根式的运算法则进行计算即可； （2）根据运算法则进行计算即可．(1)解：===46=+-10=-(2)解：（2）原式112=+2=【点拨】本题考查二次根式的计算，实数的计算，熟练掌握各运算法则是解题的关键．6、已知21x =+，21y =-，求2y xx y++的值． 【答案】8【分析】根据x y ，求出x y +和xy 的值，然后对原式进行通分转化为x y +和xy 的形式．解：∵1x =，1y =∵x y +=1xy =，22282()2y x x y xy x x y y xy x y ++===++=+ 【点拨】此题考查了二次根式的加减乘除运算，涉及了完全平方公式的应用，解题的关键是掌握二次根式的有关运算法则以及完全平方公式．【变式】（124x =．（2）已知x =y =22x xy y -+值．【答案】（1） （2）11 【分析】（1）根据二次根式的性质化简，然后代入即可求出答案．（2）先由x 与y 的值计算出x ﹣y 和xy 的值，再代入原式＝x 2﹣2xy +y 2+xy ＝（x ﹣y ）2+xy 计算可得．解：（1）原式==，当4x =时，原式6=（2）∵x =y =∵x y -231xy ==-=-，原式＝x 2﹣2xy +y 2+xy ＝（x ﹣y ）2+xy＝（2﹣1 ＝12﹣1 ＝11．【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．类型四、二次根式大小比较7、请比较52和113的大小．【分析】先将两数通分，然后将分子中根号外的数字平方后移到根号内，通过比较被开方数的大小得出结论．解：，又∴．【点拨】本题主要考查了实数大小的比较，二次根式的性质．将两个无理数适当变形后，通过比较被开方数的大小进行解答是解题的关键．【分析】再进行作差运算，10>即可．=；解：1=1)1=，1，>，10【点拨】本题考查了无理数的比较大小，以及二次根式的分母有理化，解题的关键是将进行分母有理化，再进行作差运算比较大小．8、（1）观察各式：0.030.1732,3 1.732,30017.32≈≈≈．．．发现规律：被开方数的小数点每向右移动_________位，其算术平方根的小数点向______移动______位；（2 2.236≈_________________；（37.746≈≈的值．【答案】（1）2；右；1（2）0.2236；22.36（3）15.492，0.7347【分析】（1）观察分析已知式子中被开方数与算术平方根的小数点从小到位数，总结归纳出规律即可；（2）根据（1）发现的规律计算即可；（3=解：（1）0.1732≈17.32≈ 1.732≈，∵发现规律：被开方数的小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位；故答案为：2，右，1；（2） 2.236≈，≈，0.2236≈，22.36故答案为：0.2236，22.36；（3）7.746≈，27.74615.492=⨯=，2.449≈30.24490.7347==≈⨯=【点拨】本题考查数字型规律，算术平方根，总结归纳出规律是解题的关键．【变式】阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J ．Nplcr ，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr ，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若x a N =（0a >且1x ≠），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，比如指数式4216=可以转化为对数式24log 16=，对数式52log 25=，可以转化为指数式2525=．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log ()log log a a a M N M N ⋅=+（0a >，1a ≠，0M >，0N >），理由如下：设log a M m =，log a N n =，则m M a =，n N a =，∵m n m n M N a a a +⋅=⋅=，由对数的定义得log ()a m n M N +=⋅又∵log log a a m n M N +=+∵log ()log log a a a M N M N ⋅=+根据阅读材料，解决以下问题：（1）将指数式4381=转化为对数式________；（2）求证：log log log a a a M M N N=-（0a >，1a ≠，0M >，0N >） （3）拓展运用：计算666log 9log 8log 2+-=________．【答案】（1）34log 81=；（2）详见分析；（3）2.【分析】（1）根据对数式的定义转化即可；（2）先设log a M m =，log a N n =，根据对数的定义可表示为指数式为：m M a =，n N a =，计算M N的结果，类比所给材料的证明过程可得结论； （3）根据公式：log ()log log a a a M N M N ⋅=+和log log log M M N N ααα=-的逆用，计算可得结论．解：（1）34log 81=（或3log 814=），故答案为34log 81=；（2）证明：设log a M m =，log a N n =，则m M a =，n N a =， ∵mm n n M a a N a-==，由对数的定义得log a M m n N -=， 又∵log log a a m n M N -=-， ∵log log log a a a M M N N=-； （3）666log 9log 8log 2+-66log (982)log 362=⨯÷==．故答案为2．【点拨】本题是新定义试题，主要考查幂的运算性质、新定义对数与指数之间的关系，解题的关键是明确新定义，理解对数的运算法则，明白指数与对数之间的相互转化关系．。
【八年级】八年级数学上册第二章实数复习教案
【八年级】八年级数学上册第二章实数复习教案八年级（上）第二复习实数实数的构成实数又可分为正实数，零，负实数2.数字轴：数字轴的三个元素——原点、正方向和单位长度。
数字轴上的点一一对应于实数二相反数、绝对值、倒数1.相反的数字：只有两个符号不同的数字被称为相反的数字。
a的对立面是-a。
正数的对立面是负数，负数的对立面是正数，零的对立面是零性质：两个相对的数之和是0。
2.绝对值：表示点到原点的距离，数a的绝对值为3.倒数：乘积为1的两个数是相互倒数的。
非0实数a的倒数是。
0，并且没有相互作用。
4.相反数是它本身的数只有0,；绝对值是它本身的数是非负数（0和正数）；倒数是它本身的数是±1.三、平方根和立方根1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根。
数a的平方根记作（a≥0）特征：正数有两个平方根，它们彼此相反。
零的平方根仍然是零。
负数没有平方根。
正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还是零。
开方：求一个数的平方根的操作叫做开方。
2.立方根：如果一个数的立方等于a，则称这个数为a立方根。
数a的立方根用表示。
任何数字都有一个立方根，正数有一个正方根；负数有负的立方根，零的立方根是零。
开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。
正确理解：几个性质：、、、四实数运算1.有理数的加法法则：a）将两个符号相同的数字相加，取相同的符号，再加上绝对值；b)异号两数相加。
绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.任何数与零相加等于原数。
2.有理数的减法规则：减去一个数等于将这个数的相反数相加。
3.乘法法则：a）当两个数字相乘时，相同的符号为正，不同的符号为负，绝对值相乘；把任何数字乘以零b）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正c）当几个数相乘时，只要一个因子是0，乘积就是04.有理数除法法则：a）除以两个有理数（除数不是0）。
中考数学复习第二节 实数的运算及大小比较
第二节实数的运算及大小比较本节知识导图河北中考命题规律考什么怎么考考点年份题号题型考查方式考频命题趋势实数的大小比较2017 19 填空题与新定义结合，考查比较大小，一元二次方程5年2考实数的运算中常考0次幂和－1次幂，与运算结合的简便运算考查2次，形式新颖灵活；而实数的大小比较常与其他知识结合考查，不单独考查．预计2020年实数的运算及大小比较仍会继续考查2016 11 选择题结合数轴比较两数的大小，并判断代数式的正负实数的运算2019 20 解答题填运算符号并计算，比较结果的大小5年5考2018 10④选择题涉及2的0次幂2016 17 填空题8的立方根2015 2C选择题1的立方根河北中考考题试做实数的大小比较1．(2016·河北中考)点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b.对于以下结论：甲：b－a<0; 乙：a＋b>0；丙：|a|<|b|; 丁：b a>0.其中正确的是(C)A．甲乙B．丙丁C．甲丙D．乙丁2．(2017·河北中考)对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1. 因此，min{－2，－3}＝__－3__；若min{(x－1)2，x2}＝1，则__－1或2__．实数的运算类型一纯运算3．(2017·河北中考)下列运算结果为正数的是(A)A．(－3)2B．－3÷2C．0×(－2 017) D．2－34．(2016·河北中考)计算：－(－1)＝(D)A．±1 B．－2 C．－1 D．15．(2015·河北中考)计算：3－2×(－1)＝(A)A．5 B．1 C．－1 D．66．(2017·河北中考)如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是(D) A．4＋4－4＝6B．4＋40＋40＝6C．4＋34＋4＝6D．4－1÷4＋4＝67．(2019·河北中考)有个填写运算符号的游戏：在“1269”中的每个内，填入＋，－，×，÷中的某一个(可重复使用)，然后计算结果．(1)计算：1＋2－6－9；(2)若1÷2×69＝－6，请推算内的符号；(3)在“126－9”的内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．解：(1)原式＝3－6－9＝－12；(2)∵1÷2×6＝3，∴39＝－6.∴内的符号是“－”；(3)－20.类型二与规律结合8．(2018·河北中考)如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5，－2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．尝试(1)求前4个台阶上数的和是多少？(2)求第5个台阶上的数x是多少？应用求从下到上前31个台阶上数的和；发现试用含k(k为正整数)的式子表示出数“1”所在的台阶数．解：尝试(1)－5－2＋1＋9＝3；(2)由题意，得－5－2＋1＋9＝－2＋1＋9＋x.解得x＝－5；应用与(2)同理，得第6个到第8个台阶上的数依次是－2，1，9，可见台阶上的数从下到上按－5，－2，1，9四个数依次循环排列．∵31＝7×4＋3，∴前31个台阶上数的和为7×3＋(－5－2＋1)＝15； 发现 4k －1.类型三 与数轴结合 9．(2019·唐山路南区模拟)已知有理数－3，1.(1)在如图所示的数轴上，标出表示这两个数的点，并分别用A ，B 表示；(2)若|m|＝2，在数轴上表示数m 的点介于点A ，B 之间；表示数n 的点在点A 右侧且到点B 距离为6. ①计算m ＋n －mn ；②解关于x 的不等式mx ＋3＜n ，并把解集表示在所给数轴上．解析：本题考查数轴与不等式的应用．(1)在数轴上表示出两点；(2)根据题目条件确定m ，n 的值．①代入m ，n 的值计算代数式的值；②代入m ，n 的值解不等式，并把解集在数轴上表示出来．解：(1)如图所示； (2)∵|m|＝2，∴m ＝±2.∵数m 的点介于点A ，B 之间，∴m ＝－2. ∵数n 在点A 右侧且到点B 距离为6，∴n ＝7. ①m ＋n －mn ＝－2＋7－(－2)×7＝5＋14＝19； ②由－2x ＋3＜7，解得x ＞－2.在数轴上表示：类型四 根据已知方法进行运算 10．(2016·河北中考)利用运算律有时能进行简便计算．例1 98×12＝(100－2)×12＝1 200－24 ＝1 176；例2 －16×233＋17×233＝(－16＋17)×233 ＝233.请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： (1)999×(－15)；(2)999×11845＋999×⎝⎛⎭⎫－15－999×1835. 解：(1)原式＝(1 000－1)×(－15) ＝－15 000＋15＝－14 985；(2)原式＝999×⎣⎡⎦⎤11845＋⎝⎛⎭⎫－15－1835 ＝999×100＝99 900.平方根与立方根11．(2013·河北中考)下列运算中，正确的是( D )A .9＝±3B .3－8＝2C ．(－2)0＝0D ．2－1＝1212．(2016·河北中考)8的立方根为__2__．中考考点清单实数的运算1．加法：同号两数相加，取__相同__的符号，并把绝对值__相加__．异号两数相加，绝对值相等时和为__0__；绝对值不相等时，取__绝对值较大加数__的符号，并用较大的绝对值__减去__较小的绝对值．一个数同0相加，__仍得这个数__．2．减法：减去一个数，等于加上这个数的__相反数__．3．乘法：两数相乘，同号得__正__，异号得__负__，并把绝对值相乘．任何数同0相乘，仍得0. 4．除法：除以一个数(不等于0)等于乘这个数的__倒数__． 5．乘方：求n 个__相同因数__的积的运算叫做乘方．6．混合运算的顺序：有括号的先算__括号里面的__，无括号则先算__乘方或开方__，再算__乘除__，最后算__加减__，同级运算则按__从左到右__顺序依次计算．7．有理数的一切运算性质和运算律都适用于__实数__运算． 8．运算律(1)加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)加法结合律：a ＋b ＋c ＝(a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c)； (3)乘法交换律：ab ＝ba ；(4)乘法结合律：(ab)c ＝a(bc)；(5)(乘法对加法的)分配律：a(b ＋c)＝ab ＋ac.【方法点拨】实数运算四步：(1)观察运算种类；(2)确定运算顺序；(3)把握每个小单元的运算法则及符号；(4)灵活运用运算律．零次幂、负整数指数幂9．若a ≠0，则a 0＝__1__；若a ≠0，n 为正整数，则a －n ＝__1an __．【易错警示】(1)防止出现以下类似的错误：①3－2＝－19；②2a －2＝12a 2；(2)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．特别地，－1的奇次幂为－1，偶次幂为1，如(－1)3＝－1，(－1)2＝1.实数的大小比较与非负数的性质10．实数的大小比较(1)数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．(2)性质比较法：①正数＞0＞负数；②两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．在一组数中，求最大的数时，一般在正数中找，求最小的数时，一般在负数中找．(3)差值比较法：a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＜0⇔a ＜b ；a －b ＝0⇔a ＝b.(4)平方比较法：a 2＞b ⇔a ＞b(a ＞0，b ＞0)(主要应用于无理数估算及含有无理数的大小比较)． (5)立方比较法：a 3＞b ⇔a ＞3b.11．非负数：常见的非负数有a 2，|a|，a(a ≥0)，最小的非负数是0. 若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0.例如a 2＋|b|＋c ＝0，则a 2＝|b|＝c ＝0，有a ＝0，b ＝0，c ＝0，反之亦然．平方根、算术平方根、立方根及其性质12．平方根、算术平方根、立方根⎩⎪⎨⎪⎧a 的平方根为⎩⎨⎧±a （a ≥0），其中 a 为a 的算术平方根无意义（a<0）a 的立方根为3a （a 为任意实数）13．平方根的性质：(1)正数有两个平方根，它们互为相反数；(2)0的平方根是0；(3)负数没有平方根．14．立方根的性质：任意一实数都有立方根，且立方根与该实数符号相同；3a3＝__a__，(3a)3＝__a__，3－a＝__－3a__．典题精讲精练实数的运算【例1】(2019·陕西中考)计算：－2×3－27＋|1－3|－(12)－2.【解析】本题考查实数的混合运算．先求立方根，根据绝对值的概念去掉绝对值符号，写出负整数指数幂，再进行实数的混合运算．【解答】解：原式＝－2×(－3)＋(3－1)－4＝6＋3－5＝1＋ 3.1．(2019·淄博中考)比－2小1的数是(A)A．－3 B．3 C．－1 D．12．(2019·石家庄内四区模拟)下列运算结果是负数的是(D)A．(－2)×(－3) B．(－3＋2)2C．2－3D．－(－2)＋(－3)实数的大小比较【例2】(2019·扬州中考)下列各数中，小于－2的数是(A)A．－ 5 B．－ 3C．－ 2 D．－1【解析】本题考查实数的大小比较．比－2小的数应该是负数，且绝对值大于2的数，分析各选项可得－5＜－2＜－3＜－2＜－1.3．在－2，－1，0，1这四个数中，最小的数是(A)A．－2 B．－1 C．0 D．14．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是(B)A．|a|>4 B．c－b>0 C．ac>0 D．a＋c>0与数轴有关的运算【例3】如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为－10，OB＝3OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动(点M，N同时出发)．(1)数轴上点B对应的数是________；(2)经过几秒，点M，N到原点O的距离相等？【解析】(1)根据点A 表示的数及OB ＝3OA 可得点B 表示的数；(2)设运动时间为t s ．根据“路程＝速度×时间”可得点M ，N 在数轴上表示的数，分两种情况求出t 的值．【解答】解：(1)30；[∵点A 表示的数为－10，∴OA ＝10.∵OB ＝3OA ，∴OB ＝30.∴点B 对应的数是30.] (2)设运动时间为t s ，则点M 在数轴上表示的数为－10＋3t ，点N 在数轴上表示的数为2t.当M ，N 分别位于原点两侧时，由点M ，N 到原点的距离相等可得－10＋3t ＋2t ＝0，解得t ＝2； 当M ，N 位于原点同侧，即在原点右侧M ，N 两点重合时，－10＋3t ＝2t ，解得t ＝10. ∴经过2 s 或10 s ，点M ，N 到原点O 的距离相等．5．如图，数轴上a ，b ，c 三个数所对应的点分别为A ，B ，C ，已知b 是最小的正整数，且a ，c 满足(c －6)2＋|a ＋2|＝0.(1)求代数式a 2＋c 2－2ac 的值；(2)若将数轴折叠，使得点A 与点B 重合，则与点C 重合的点表示的数是________； (3)请在数轴上确定一点D ，使得AD ＝2BD ，则点D 表示的数是________．解：(1)∵(c －6)2＋|a ＋2|＝0，∴a ＋2＝0，c －6＝0，解得a ＝－2，c ＝6. ∴a 2＋c 2－2ac ＝4＋36＋24＝64；(2)－7；[∵b 是最小的正整数，∴b ＝1. ∵(－2＋1)÷2＝－0.5，∴6－(－0.5)＝6.5，－0.5－6.5＝－7.∴点C 与数－7表示的点重合．](3)0 或4.[设点D 表示的数为x.若点D 在点A 的左侧，则－2－x ＝2(1－x)，解得x ＝4(舍去)；若点D 在A ，B 之间，则x －(－2)＝2(1－x)，解得x ＝0；若点D 在点B 的右侧，则x －(－2)＝2(x －1)，解得x ＝4.综上所述，点D 表示的数是0或4.]平方根、算术平方根与立方根【例4】(1)4的平方根是±2； (2)3－27的绝对值是3； (3)|－9|的平方根是±3.【解析】根据平方根、立方根的定义和绝对值的性质求解填空．6．－18的立方根是－12.请完成限时训练A 本P A 3，选做B 本P B 2～B 3。
八年级上册期末章节复习第二章实数
第二章实数 1．平方根2．算术平方根3．立方根例题1、 （1）平方根等于本身的数是________，算术平方根等于它本身的数是________． （2）一个数的平方根是22a b +和4613a b -+，则这个数是________． 例题2、判断下列各题，并说明理由 （19±． （ ） （2）算术平方根一定是正数． （ ） （3（ ） （4）2a -没有算术平方根．（ ） （53=±． （ ） （6）若236x =，则6x ==±． （ ） （7）6-是2(6)-的平方根． （ ） （8）2(6)-的平方根是6-． （ ） （9）2a 的算术平方根是a ．（ ） （105，则5a =-．（ ）（11）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． （ ） （12）如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等． （ ） 例题3、（1|227|0xy x y -+-=，求①22x y +；②22444x y x y --．（2）（七初半期）已知：2y =-，则34x y +=_______．（3）已知x 、y为实数，y =________．（4）（育才期末）若x 、y为实数，且满足||4y x =-________．（5）（嘉祥2014-2015半期）已知x ，y 为实数，(0 y -=，那么20112011x y -=________． 例题4、（1）若3x =-，则|1=________；计算|3π|-_______．（2）实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：||||a b b c ++________．（322000=，y =，求y x -的平方根．例题5、（1）求下列各数的立方根：①1-； ②8； ③338-； ⑤2(5)-（22±，27x y ++的立方根为4，求x y +的值．（3a =，2(0)y b y =<8(4)b a >18=，求xy 的值．实数的概念、估算和分类 模块一：实数的估算和高斯记号1．估算法：（1）若120a a a ≤<<；（2）若12a a a <<<根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a 最近的两个平方数和立方数，916a <<，则34<<；827a <<，则23<．1.414 1.7322.236．2．高斯记号：任何实数都可以由整数部分和小数部分组成，整数部分指的是不超过这个实数的最大整数，小数部分是这个实数减去它的整数部分．的整数部分为223的整数部分为1，那么小4；4-，那么小数部分为4例题1、（1）若4m -，则估计m 的范围为（ ）．A ．12m <<B ．23m <<C ．34m <<D ．45m << （2）比较下列各数大小：0.5；②3-____-例题2、（1）对于一个无理数m ，我们把不超过m 的最大整数叫做m 的整数部分，把m 减去整数部分的差叫做m 的小数部分．设1x =，a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分．求323a b ab ++的值．（2）（成外半期）若99的小数部分分别为a 与b ，则a b +=_______．（3）设[]x 表示不大于x 的最大整数，则[100]++++=________． 模块三：实数的概念和分类1．无理数： 叫无理数． 2．实数： 和 统称实数．3．实数与数轴的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是 .4．请你对实数进行分类：例题1、（1）227，，3.14，π，0π，0.61414，0.1001000100001……这9个实数中，无理数的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 （2）下面有四个命题：①有理数与无理数之和是无理数；②有理数与无理数之积是无理数； ③无理数与无理数之和是无理数；④无理数与无理数之积是无理数． 请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由．例题2、计算：（1（2）2（3）202π)-+ （4）21)-例题3、已知x ，y 是有理数，且11 2.25034x y ⎛⎛++--= ⎝⎭⎝⎭，求x ，y 的值．。
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