工学第1章矢量分析课件
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第一章矢量分析
位置矢量：
P0 z0
r eˆ zeˆz
O ψ0
矢量表示：
x
A r
(
rv)eˆ
A (rv)eˆ
A (rv)eˆ
z
z
2020/4/29
第一章 矢量分析
P(p0,ψ0,z0)
evz
y
ev
e
26
3、球面坐标系 ( r, , )
方向单位矢量：
eˆr , eˆ , eˆ
位置矢量：
r reˆr
x
矢量表示：
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第一章 矢量分析
4.电磁场与电磁波的应用
当今世界，电子信息系统，不论是通 信、雷达、广播、电视，还是导航、遥控 遥测，都是通过电磁波传递信息来进行工 作的。因此以宏观电磁理论为基础，电磁 信息的传输和转换为核心的电磁场与电磁 波工程技术将充分发挥其重要作用。下面 我们来看一下一些常见的天线和馈线。
本课程将在“大学物理（电磁学）”的基础 上，进一步研究宏观电磁现象和电磁过程的基 本规律及其分析计算方法。通过课程的学习， 掌握基本的宏观电磁理论，具备分析和解决基 本的电磁场工程问题的能力.
2020/4/29
3
第一章 矢量分析
2.电磁场与电磁波的概念
• 电场 • 磁场 • 电磁场 • 电磁波
2020/4/29
物理意义：表示穿入和穿出闭合 面S的矢量通量的代数和。
讨论：1）面元 d定Sv义；
矢量场的通量
2） A(r) cos (r)ds s
3) 通过闭合面S的通量的物理意义：
a) 若 ，0闭合面内有产生矢量线的正源；
b) 若 ，0闭合面内有吸收矢量线的负源；
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P0 z0
r eˆ zeˆz
O ψ0
矢量表示：
x
A r
(
rv)eˆ
A (rv)eˆ
A (rv)eˆ
z
z
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第一章 矢量分析
P(p0,ψ0,z0)
evz
y
ev
e
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3、球面坐标系 ( r, , )
方向单位矢量：
eˆr , eˆ , eˆ
位置矢量：
r reˆr
x
矢量表示：
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第一章 矢量分析
4.电磁场与电磁波的应用
当今世界，电子信息系统，不论是通 信、雷达、广播、电视，还是导航、遥控 遥测，都是通过电磁波传递信息来进行工 作的。因此以宏观电磁理论为基础，电磁 信息的传输和转换为核心的电磁场与电磁 波工程技术将充分发挥其重要作用。下面 我们来看一下一些常见的天线和馈线。
本课程将在“大学物理（电磁学）”的基础 上，进一步研究宏观电磁现象和电磁过程的基 本规律及其分析计算方法。通过课程的学习， 掌握基本的宏观电磁理论，具备分析和解决基 本的电磁场工程问题的能力.
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第一章 矢量分析
2.电磁场与电磁波的概念
• 电场 • 磁场 • 电磁场 • 电磁波
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物理意义：表示穿入和穿出闭合 面S的矢量通量的代数和。
讨论：1）面元 d定Sv义；
矢量场的通量
2） A(r) cos (r)ds s
3) 通过闭合面S的通量的物理意义：
a) 若 ，0闭合面内有产生矢量线的正源；
b) 若 ，0闭合面内有吸收矢量线的负源；
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第1章 矢量分析
矢量A的大小为A：A=(A2x+A2y+A2z)1/2
§1 .1 矢量及其代数运算
2 矢量代数运算
矢量相加的平行四边形法则，矢量的加法的坐标分 量是两矢量对应坐标分量之和，矢量加法的结果仍 是矢量 ��
�� � �� � �� � A = ex A x + ey A y + ez A z
� � �� � �� � �� � B = e x Bx + e y B y + e z Bz
� � A = Ae
� � � 其中， A是矢量 A的大小; e 代表矢量 A 的方向。 � � e = A / A 大小等于1。
§1 .1 矢量及其代数运算
1 标量和矢量
一个大小为零的矢量称为空矢（Null Vector）或零矢 （Zero Vector），一个大小为1的矢量称为单位矢量 （Unit Vector）。 在直角坐标系中，用单位矢量 ex、 ey 、 ez 表征矢量分 别沿x、y、z轴分量的方向。
r
r=exX+eyY+ezZ
§1 .1 矢量及其代数运算
1 标量和矢量
X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z轴上的投影。
任一矢量A在三维正交坐标系中都可以给出其三个分 量。例如，在直角坐标系中，矢量A的三个分量分别 是Ax、Ay、Az，利用三个单位矢量ex、ey、ez可以将矢 量A表示成：
A=exAx+eyAy+ezAz
§1 .2 标量场的梯度
5 梯度的性质
4）标量场的梯度垂直
于通过该点的等值 面（或切平面）
§1 .2 标量场的梯度
6 梯度运算的基本公式
⎧ ⎪ ⎪∇ ⎪∇ ⎪ ⎪∇ ⎪ ⎨∇ ⎪∇ ⎪ ⎪∇ ⎪ ⎪∇ ⎪ ⎩
§1 .1 矢量及其代数运算
2 矢量代数运算
矢量相加的平行四边形法则，矢量的加法的坐标分 量是两矢量对应坐标分量之和，矢量加法的结果仍 是矢量 ��
�� � �� � �� � A = ex A x + ey A y + ez A z
� � �� � �� � �� � B = e x Bx + e y B y + e z Bz
� � A = Ae
� � � 其中， A是矢量 A的大小; e 代表矢量 A 的方向。 � � e = A / A 大小等于1。
§1 .1 矢量及其代数运算
1 标量和矢量
一个大小为零的矢量称为空矢（Null Vector）或零矢 （Zero Vector），一个大小为1的矢量称为单位矢量 （Unit Vector）。 在直角坐标系中，用单位矢量 ex、 ey 、 ez 表征矢量分 别沿x、y、z轴分量的方向。
r
r=exX+eyY+ezZ
§1 .1 矢量及其代数运算
1 标量和矢量
X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z轴上的投影。
任一矢量A在三维正交坐标系中都可以给出其三个分 量。例如，在直角坐标系中，矢量A的三个分量分别 是Ax、Ay、Az，利用三个单位矢量ex、ey、ez可以将矢 量A表示成：
A=exAx+eyAy+ezAz
§1 .2 标量场的梯度
5 梯度的性质
4）标量场的梯度垂直
于通过该点的等值 面（或切平面）
§1 .2 标量场的梯度
6 梯度运算的基本公式
⎧ ⎪ ⎪∇ ⎪∇ ⎪ ⎪∇ ⎪ ⎨∇ ⎪∇ ⎪ ⎪∇ ⎪ ⎪∇ ⎪ ⎩
第一章 矢量分析.ppt
dr (a sin d )2 (b cosd )2 a2 sin2 b2 cos2 d .
2019/11/5
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第一章 矢量分析
（2）ddrs 的几何意义 把矢性函数 A(t) Ax (t)i Ay j Az (t)k
看作其终点M（x，y，z）的矢径函数
2019/11/5
27
第一章 矢量分析
指向：当 dt >0时，与A(t)的方向一致；而且当 dt <0时，则与A(t) 的方向相反。
图1-8
2019/11/5
28
第一章 矢量分析
微分dA 的坐标表示式为
dA A(t)dt
Ax (t)dti Ay (t)dtj Az(t)dtk
2019/11/5
8
第一章 矢量分析
等于其终点M的三个坐标x，y，z
x Ax (t) y Ay (t) z Az (t) （1.3）
此式就是曲线l的以t为参数的参数方程。 曲线l的矢量方程（1.2）和参数方程（1.3）
之间，有着一一对应关系，只要知道其中的一 个，就可以立刻写出另一个来。
ds
ds
有
dr dr 1
ds ds
（2.9）
矢性函数对（其矢端曲线的）弧长s的导 数 dr 在几何上为一切向单位矢量，恒指向s增
端曲线的切向矢量，指向对应t值增大的一方。
2019/11/5
26
第一章 矢量分析
3.矢性函数的微分
（1）微分的概念与几何意义 设有矢性函数A=A（t），我们把
dA A(t)dt (dt t) （2.4）
称为矢性函数A（t）在t处的微分。
微分dA 是一个矢量，而且和导矢A(t) 一
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第一章 矢量分析
（2）ddrs 的几何意义 把矢性函数 A(t) Ax (t)i Ay j Az (t)k
看作其终点M（x，y，z）的矢径函数
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第一章 矢量分析
指向：当 dt >0时，与A(t)的方向一致；而且当 dt <0时，则与A(t) 的方向相反。
图1-8
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第一章 矢量分析
微分dA 的坐标表示式为
dA A(t)dt
Ax (t)dti Ay (t)dtj Az(t)dtk
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第一章 矢量分析
等于其终点M的三个坐标x，y，z
x Ax (t) y Ay (t) z Az (t) （1.3）
此式就是曲线l的以t为参数的参数方程。 曲线l的矢量方程（1.2）和参数方程（1.3）
之间，有着一一对应关系，只要知道其中的一 个，就可以立刻写出另一个来。
ds
ds
有
dr dr 1
ds ds
（2.9）
矢性函数对（其矢端曲线的）弧长s的导 数 dr 在几何上为一切向单位矢量，恒指向s增
端曲线的切向矢量，指向对应t值增大的一方。
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第一章 矢量分析
3.矢性函数的微分
（1）微分的概念与几何意义 设有矢性函数A=A（t），我们把
dA A(t)dt (dt t) （2.4）
称为矢性函数A（t）在t处的微分。
微分dA 是一个矢量，而且和导矢A(t) 一
《矢量分析基础》课件
源自《矢量分析基础》PPT课件
# 矢量分析基础 矢量是什么？ - 矢量的定义 - 矢量的表示方法 - 矢量的基本运算
矢量空间
矢量空间的定义 - 矢量空间的性质 - 矢量空间的例子
点积和叉积
- 点积的定义及其性质 - 叉积的定义及其性质 - 点积和叉积的关系
曲线和曲面
- 曲线的定义 - 曲线参数化表示及其性质 - 曲面的定义 - 曲面参数化表示及其性质
曲线积分和曲面积分
- 曲线积分的定义及其性质 - 曲线积分的计算方法 - 曲面积分的定义及其性质 - 曲面积分的计算方法
广义矢量分析
- 广义矢量定义及其性质 - 广义矢量的表示方法 - 广义矢量的运算法则
总结
- 矢量分析的重要性 - 矢量分析的未来发展趋势 - 矢量分析的应用前景
应用实例
- 矢量分析在物理中的应用举例 - 矢量分析在工程中的应用举例
# 矢量分析基础 矢量是什么？ - 矢量的定义 - 矢量的表示方法 - 矢量的基本运算
矢量空间
矢量空间的定义 - 矢量空间的性质 - 矢量空间的例子
点积和叉积
- 点积的定义及其性质 - 叉积的定义及其性质 - 点积和叉积的关系
曲线和曲面
- 曲线的定义 - 曲线参数化表示及其性质 - 曲面的定义 - 曲面参数化表示及其性质
曲线积分和曲面积分
- 曲线积分的定义及其性质 - 曲线积分的计算方法 - 曲面积分的定义及其性质 - 曲面积分的计算方法
广义矢量分析
- 广义矢量定义及其性质 - 广义矢量的表示方法 - 广义矢量的运算法则
总结
- 矢量分析的重要性 - 矢量分析的未来发展趋势 - 矢量分析的应用前景
应用实例
- 矢量分析在物理中的应用举例 - 矢量分析在工程中的应用举例
大学物理第一章矢量分析 ppt课件
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（2）标量乘矢量
（3）矢量的标积（点积）
两矢量的标量积也称为点积(本书称为标积)。
定义一个矢量在另一矢量上的投影与另一矢 B
量模的乘积，结果为标量。
θ
A
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
7
（4）矢量的矢积（叉积）
亦称叉积，结果仍为一个矢量，用矢量C表示，C的大小 为A和B组成的平行四边形的面积，方向垂直与矢量A和B构成 的平面且A、B和C三者符合右手螺旋法则。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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4. 坐标单位矢量之间的关系
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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1.3 标量场的梯度
标量场和矢量场 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在
该区域上定义了一个场。 如果物理量是标量，称该场为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。
如果物理量是矢量，称该场为矢量场。
梯度在该方向上的投影。 • 标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）
梯度运算的基本公式：
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
24
例1.3.1 设一标量函数 ( x, y, z ) = x2＋y2－z 描述了空间标量
场。试求：
(1) 该函数 在点 P(1,1,1) 处的梯度，以及表示该梯度方向
的单位矢量。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
33
同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P 穿出该六面体的净通量为
根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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散度的表达式： 直角坐标系
圆柱坐标系
球坐标系
第一章矢量分析与场论-ppt课件
坐标元
1.8 微分元 恣意元 微分元是矢量微、积分的根底。
坐标元
坐标线元
坐标平面元dσ
坐标体元dv
dx 直 dy
dz dρ
dx= dx ex
dy= dz=
ey dy ez
dρ= dz eρ
dφ= dρ ej
dddσσσ=假yx ==设: xd=σc,z =
yd=σc,ρ = zdd=σσc,φz ==
A× (B×C) = (A ·C) B - (A·B) C
A·(B×C) = B ·(C×A) = C ·(A×B)
‖
‖
‖ Ax Ay Az
[ABC] = [BCA] = [CAB] = Bx By Bz
Cx Cy Cz
假设 B=C 那么 A·B = A ·C及A×B = A ×C 成立 B C 假设 A·B = A ·C及A×B = A ×C 那么 B=C不一定成立
er(90°s,iφn+θ9c0o°sφ)·ez ez sinθ sinφ
cosθ
ex
= sin(θ+90°) cosφ
sin (θ+90°) sinφ cos (θ+90°)
ey
sin90° cos(φ+90°) sin90° sin(φ+90°) cos90°
ez sinθ cosφ
sinθ sinφ
因此：ex = 1/√2er-1/√2eφ ， ey = 1/√2er+1/√2eφ , ez = － eθ
∴ A = 3√2er －2 eθ +√2 eφ ②对于点(√2,√2,2) ： sinθ = sinφ= cosθ= cosφ=1/√2
第1章矢量分析
在直角坐标系中，标量场 的梯度可表示为
grad
ex
x
ey
y
ez
z
式中的grad 是英文字 gradient 的缩写。
若引入算符，在直角坐标系中该算符 可表
示为
ex
x
ey
y
ez
z
则梯度可以表示为
grad
z P'(x ', y ', z ')
例 计算 1 及 1 。
R
R
r – r'
磁石吸铁
电荷之间的作用力 库仑定律
电流产生磁场
电流之间的作用力 安培定律
时变磁场产生时变电场 电磁感应定律
重大突破
1873年英国科学家麦克斯韦（1831—1879）提出了位 移电流的假设，认为时变电场可以产生时变磁场，并建 立了严格的数学方程——麦克斯韦方程。
麦克斯韦预言电磁波的存在，后来在1887年被德国物 理学家赫兹（1857—1894）的实验证实。
r'
P(x, y, z)
这里 R r r 0
O
r
y
表示对 x, y, z 运算
x
表示对 x, y, z 运算
z P'(x ', y ', z ') r – r'
解
r xex yey zez
r xex yey zez
r' r
O
P(x, y, z) y
R (x x)ex ( y y)ey (z z)ez
静电场与恒定磁场相互无关、彼此独立，可以分别 进行研究。因此，本书先讨论静电场和恒定磁场，然 后再介绍时变电磁场。
物质属性
电磁场与电磁波是客观存在的一种物质，因为它 具有物质的两种重要属性：能量和质量。但是，电磁 场与电磁波的质量极其微小，因此，通常仅研究电磁 场与电磁波的能量特性。
grad
ex
x
ey
y
ez
z
式中的grad 是英文字 gradient 的缩写。
若引入算符，在直角坐标系中该算符 可表
示为
ex
x
ey
y
ez
z
则梯度可以表示为
grad
z P'(x ', y ', z ')
例 计算 1 及 1 。
R
R
r – r'
磁石吸铁
电荷之间的作用力 库仑定律
电流产生磁场
电流之间的作用力 安培定律
时变磁场产生时变电场 电磁感应定律
重大突破
1873年英国科学家麦克斯韦（1831—1879）提出了位 移电流的假设，认为时变电场可以产生时变磁场，并建 立了严格的数学方程——麦克斯韦方程。
麦克斯韦预言电磁波的存在，后来在1887年被德国物 理学家赫兹（1857—1894）的实验证实。
r'
P(x, y, z)
这里 R r r 0
O
r
y
表示对 x, y, z 运算
x
表示对 x, y, z 运算
z P'(x ', y ', z ') r – r'
解
r xex yey zez
r xex yey zez
r' r
O
P(x, y, z) y
R (x x)ex ( y y)ey (z z)ez
静电场与恒定磁场相互无关、彼此独立，可以分别 进行研究。因此，本书先讨论静电场和恒定磁场，然 后再介绍时变电磁场。
物质属性
电磁场与电磁波是客观存在的一种物质，因为它 具有物质的两种重要属性：能量和质量。但是，电磁 场与电磁波的质量极其微小，因此，通常仅研究电磁 场与电磁波的能量特性。
工学第1章矢量分析ppt课件
x
力的图示法：
F
FN
Ff
FFNFf
G
二、矢量的运算法则
1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。
B
C
C
CAB
B
A
A
a.满足交换律： ABBA
b.满足结合律： ( A B ) ( C D ) ( A C ) ( B D )
在直角坐标系下的矢量表示: 三个方向的单位矢量用 aˆ x , aˆ y , aˆ z表示。
• 12.奥斯特的电生磁和法拉第的磁生电奠定了电磁学的基 础。
电磁学理论的完成者——英国的物理学家麦克斯韦（18311879）。麦克斯韦方程组——用最完美的数学形式表达了宏 观电磁学的全部内容 ，从理论上预言了电磁波的存在。
三、电磁学应用突飞猛进（19世纪中至今）
• 1866年，德国的西门子发明了使用电磁铁的发电机， 为电力工业开辟了道路。
动态场也称为时变场。Fra bibliotek第1章 矢量分析
一、矢量和标量的定义 二、矢量的运算法则 三、矢量微分元：线元，面元，体元 四、标量场的梯度 五、矢量场的散度 六、矢量场的旋度 七、重要的场论公式
一、矢量和标量的定义
1.标量：只有大小，没有方向的物理量。 如：温度 T、长度 L 等
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如:力 F、速度 、v 电场 等 E
矢量表示为： A | A| aˆ
其中：|
A
|
为矢量的模，表示该矢量的大小。
为aˆ 单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
例1：在直角坐标系中，x 方向的大小为 6 的矢量如何表
示？
力的图示法：
F
FN
Ff
FFNFf
G
二、矢量的运算法则
1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。
B
C
C
CAB
B
A
A
a.满足交换律： ABBA
b.满足结合律： ( A B ) ( C D ) ( A C ) ( B D )
在直角坐标系下的矢量表示: 三个方向的单位矢量用 aˆ x , aˆ y , aˆ z表示。
• 12.奥斯特的电生磁和法拉第的磁生电奠定了电磁学的基 础。
电磁学理论的完成者——英国的物理学家麦克斯韦（18311879）。麦克斯韦方程组——用最完美的数学形式表达了宏 观电磁学的全部内容 ，从理论上预言了电磁波的存在。
三、电磁学应用突飞猛进（19世纪中至今）
• 1866年，德国的西门子发明了使用电磁铁的发电机， 为电力工业开辟了道路。
动态场也称为时变场。Fra bibliotek第1章 矢量分析
一、矢量和标量的定义 二、矢量的运算法则 三、矢量微分元：线元，面元，体元 四、标量场的梯度 五、矢量场的散度 六、矢量场的旋度 七、重要的场论公式
一、矢量和标量的定义
1.标量：只有大小，没有方向的物理量。 如：温度 T、长度 L 等
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如:力 F、速度 、v 电场 等 E
矢量表示为： A | A| aˆ
其中：|
A
|
为矢量的模，表示该矢量的大小。
为aˆ 单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
例1：在直角坐标系中，x 方向的大小为 6 的矢量如何表
示？
第一章矢量分析
2019/10/31
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第一章 矢量分析
4.电磁场与电磁波的应用
当今世界，电子信息系统，不论是通 信、雷达、广播、电视，还是导航、遥控 遥测，都是通过电磁波传递信息来进行工 作的。因此以宏观电磁理论为基础，电磁 信息的传输和转换为核心的电磁场与电磁 波工程技术将充分发挥其重要作用。下面 我们来看一下一些常见的天线和馈线。
1.2 三种常用坐标系
1、直角坐标系（x,y,z）
方向单位矢量：
eˆx , eˆy , eˆz
位置矢量：
r x0eˆx y0eˆy z0eˆz
矢量表示：
z
z0
O x0 x
A P(x0,y0,z0) ez
y0 y
ex
ey
A Axeˆx Ayeˆy Azeˆz
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eˆ y
sin
eˆ
eˆ sin x
eˆ y
cos
eˆ eˆ
z
z
球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系
eˆ eˆ sin cos eˆ sin sin eˆ cos
r
x
y
z
eˆ eˆ sin eˆ cos
x
y
eˆ eˆ cos cos eˆ cos sin eˆ sin
2、三维空间内某一点P处存在的一个既有大小又有 方向特性的量称为矢量。
3、矢量及表示 A eˆA A
单位矢量
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第一章 矢量分析
二、矢量的代数运算
矢量的加法和减法 （平行四边形法则）
rr
r
r
r
A B (Ax Bx ) ex (Ay By ) ey (Az Bz ) ez
《矢量分析》多媒体课件
z
az
ax
ay
M
z=z1平面
ax ay az ay az ax
x x=x1平面
y
y=y1平面
az ax ay
思考：单位坐标矢量ax、ay、az是不是常矢量？？
（常矢量：其方向不随点的位置改变而改变）
直角坐标系
➢ 任意矢量A的表示： A Axax Aya y Azaz
α，β，γ分别为矢量A与坐标轴的夹角，cosα ， cosβ ，cosγ称为矢量的方向余弦
B
AB A B cosA,B
A
•两个矢量的 点积是一个标 量，可正可负
Bcos
A
点积等于矢量A的模与矢量B在矢量A的方向上的投影大小 的乘积，或者说等于矢量B的模和矢量A在矢量B方向上 的投影大小的乘积。
0
A
B
A
B
A B 两矢量垂直的充要条件 A // B
矢量的点积（标量积，标积）
标量场与矢量场
矢量
➢矢量：具有大小和方向的量
➢矢量的表示：A＝aAA (
A
aA
A
)，其中A表示模
或长度，aA表示方向的单位矢量 （大小为1）.
AA
A ＝aAA
aA
aA
A A
A A
矢量的分量表示法
➢ 利用正交坐标系中的坐标单位矢量，可以把矢量分解为：
A Axa x Aya y Aza z
➢标量积的结果是标量，满足交换律和分配律
AB BA
A (B C) A B A C
➢并且有: A A A2 Ax2 Ay2 Az2
点积的计算方法：
第一章 矢量分析
法平面方程为： 2( x 2) 2( y 2) 4( z ) 0
工程数学---------矢量分析与场论
矢径函数 r xi y j zk d r d xi d y j d zk 2 2 2 d r (d x) (d y) (d z)
dA dt
或
A(t )
A(t ) Ax (t )i Ay (t ) j Az (t )k
工程数学---------矢量分析与场论
2.导矢的几何意义 A A t A 与A 同 t 0 t 向， A 与 A 反向， t 0 t A 始终指向 t 增大的方向, t (t ) lim A 为切向量， A 始终指向 t 增大的方向. t 0 t
t t0 t t0 t t0 t t0
工程数学---------矢量分析与场论
极限运算法则
工程数学---------矢量分析与场论
4.连续: 设矢性函数
t t0
在点
的某去心邻域内有定义 ,
且 lim A(t ) A(t0 ), 则称
若 连续.
在 连续.
在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上
工程数学---------矢量分析与场论
4.导数公式
1) (C ) 0 2) ( A B) A B 3) (uA) u A u A 4) ( A B) A B A B 5) ( A B) A B A B dA du d 6) A(u (t )) du dt dt
工程数学---------矢量分析与场论
2.不定积分公式
工程数学---------矢量分析与场论
矢径函数 r xi y j zk d r d xi d y j d zk 2 2 2 d r (d x) (d y) (d z)
dA dt
或
A(t )
A(t ) Ax (t )i Ay (t ) j Az (t )k
工程数学---------矢量分析与场论
2.导矢的几何意义 A A t A 与A 同 t 0 t 向， A 与 A 反向， t 0 t A 始终指向 t 增大的方向, t (t ) lim A 为切向量， A 始终指向 t 增大的方向. t 0 t
t t0 t t0 t t0 t t0
工程数学---------矢量分析与场论
极限运算法则
工程数学---------矢量分析与场论
4.连续: 设矢性函数
t t0
在点
的某去心邻域内有定义 ,
且 lim A(t ) A(t0 ), 则称
若 连续.
在 连续.
在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上
工程数学---------矢量分析与场论
4.导数公式
1) (C ) 0 2) ( A B) A B 3) (uA) u A u A 4) ( A B) A B A B 5) ( A B) A B A B dA du d 6) A(u (t )) du dt dt
工程数学---------矢量分析与场论
2.不定积分公式
第一章_矢量分析1[1]
![第一章_矢量分析1[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/76d2b1284b73f242336c5faa.png)
2. 在直角坐标系中， 梯度的表达式为
G ex ey ez x y z
(4)
矢量微分算子,有矢量 其中， e x e y e z x y z , , ), 特性 ( e x , e y , e z ) 和微分特性 ( x y z
d r A ( Az dy Ay dz) e x ( Ax dz Az dx) e y ( Ay dx Ax dy) e z 0
A Ax e x Ay e y Az e z
Az dy Ay dz Ax dz Az dx Ay dx Ax dy 0 得证！
1 2x 2 2 y cos cos cos l x y z 3 z 3 z 2x y 2 3 z
2 2
在 M(1,1,2)点沿 l 方向的方向导数： 1 2x 2 2 y 2 x2 y 2 ] M(1,1,2) 2 / 3 M(1,1,2) [ 2 l 3 z 3 z 3 z
l
max
G ex ey ez x y z
(3)
(3)式表示：标量场 沿梯度方向的方向导数最大， 等于梯度 G 大小！ (2)式表示：标量场沿 l 方向的方向导数等于梯 度 G 沿 l 方向分量！
第一章 矢量分析
(1)式表示：标量场的梯度为标量场等值面 的法向矢量 n ，即梯度方向垂直等值面！
微波(microwaves)就是频率介乎300~ 30000MHz(波长介乎1~100cm)的电磁波。微波妒 就是利用微波的能量把食物加热，由微波的能量 转变为食物的内能。 在水分子((H2O)中，H2的一端带正电，而O的 一端带负电。微波通过食物时，微波的电场就对 水分子产生作用力，令水分子的正负两端急剧地 扭转振动。如图所示。这振动就引致摩擦生热， 迅速把食物煮熟。 微波炉的微波频率为2450MHz，这是使水分子振 动的最有效频率。 瓷质盛器中没有水分子，也没有一端正一端负 的其他分子，故微波炉的电场不能使其分子运动， 故不会被加热。反之，金属盛器中具有大量的自 由电子。自由电子轻易受到微波的电场而运动， 善于吸收微波的能量而受热。故不要用金属器皿 载食物放入微波妒中。
G ex ey ez x y z
(4)
矢量微分算子,有矢量 其中， e x e y e z x y z , , ), 特性 ( e x , e y , e z ) 和微分特性 ( x y z
d r A ( Az dy Ay dz) e x ( Ax dz Az dx) e y ( Ay dx Ax dy) e z 0
A Ax e x Ay e y Az e z
Az dy Ay dz Ax dz Az dx Ay dx Ax dy 0 得证！
1 2x 2 2 y cos cos cos l x y z 3 z 3 z 2x y 2 3 z
2 2
在 M(1,1,2)点沿 l 方向的方向导数： 1 2x 2 2 y 2 x2 y 2 ] M(1,1,2) 2 / 3 M(1,1,2) [ 2 l 3 z 3 z 3 z
l
max
G ex ey ez x y z
(3)
(3)式表示：标量场 沿梯度方向的方向导数最大， 等于梯度 G 大小！ (2)式表示：标量场沿 l 方向的方向导数等于梯 度 G 沿 l 方向分量！
第一章 矢量分析
(1)式表示：标量场的梯度为标量场等值面 的法向矢量 n ，即梯度方向垂直等值面！
微波(microwaves)就是频率介乎300~ 30000MHz(波长介乎1~100cm)的电磁波。微波妒 就是利用微波的能量把食物加热，由微波的能量 转变为食物的内能。 在水分子((H2O)中，H2的一端带正电，而O的 一端带负电。微波通过食物时，微波的电场就对 水分子产生作用力，令水分子的正负两端急剧地 扭转振动。如图所示。这振动就引致摩擦生热， 迅速把食物煮熟。 微波炉的微波频率为2450MHz，这是使水分子振 动的最有效频率。 瓷质盛器中没有水分子，也没有一端正一端负 的其他分子，故微波炉的电场不能使其分子运动， 故不会被加热。反之，金属盛器中具有大量的自 由电子。自由电子轻易受到微波的电场而运动， 善于吸收微波的能量而受热。故不要用金属器皿 载食物放入微波妒中。
第一部分矢量分析基础课件PPT
课外学习实训
间形成的曲面。
一、学习报告 而对于无界空间（不存在边界面）：
1、直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解，如无限大面电荷分布产生电场分布。
将位于球坐标系下的P点（1，30°，90°）处的矢量 若矢量场 分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则定义：
常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；
，标量场 在 处沿 方向为等值面方向（无改变） 矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度） 例如：流速场、重力场、电场、磁场等。
Ae er 在此基础上，撰写一篇关于对三个常用坐标系单位坐标矢量认识的学习报告，并另外设计一个类似的悖论。
如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。 若 ，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无源，或正源负源代数和为0。
矢量代数运算
A e x A x e y A y e z A zB e x B x e y B y e z B z
矢量的加法和减法
A B e x ( A x B x ) e y ( A y B y ) e z ( A z B z )
说明： 1、矢量的加法符合交换律和结合律：
，则称在该区域V内，场 为无旋场。
dS e dl dl e ddz (
无源）
意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该z 曲面的闭合曲线上的环流。
2、两个矢量的点积为标量
dSz ezdldl ez dd
体积元
dVdddz
圆柱坐标系中的线元、面元和体积元
说明：圆柱坐标系下矢量运算方法：
式中：C 为常数；
u , v 为坐标变量函数；
1.4 矢量场的通量与散度 表征空间某点处标量场场值沿特定方向变化率。
第1章矢量分析
F dS S
S1 F dS1
S2 F dS2
S3 F dS3
S4 F dS4
S5 F dS5
S6 F dS6
aˆx aˆz 0, aˆy aˆy 1,
aˆy aˆz 0 aˆz aˆz 1
A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
Ax Bx Ay By Az Bz
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
其中：dl ,dS 和 dV 称为微分元。
dS
dl
1. 直角坐标系
在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。
线元：dlx dxaˆx
dly dyaˆy
面元： dSx dydzaˆx dSy dxdzaˆy
dlz dzaˆz dl dxaˆx dyaˆy dzaˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3.乘法：
（1）标量与矢量的乘积：
k 0 方向不变，大小为|k|倍
kA k | A | aˆ
k
0
k 0 方向相反，大小为|k|倍
（2）矢量与矢量乘积分两种定义
a. 标量积（点积）：
B
A B | A| | B | cos
A
两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，
定义： A BC | A|| B || C | sin cos
含义： 标量三重积结果为三矢量构成
的平行六面体的体积 。
h BC
A C
B
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
V A (BC) C (A B) B (C A)
《矢量分析》PPT课件
2021/5/28
3
第一章 矢量分析
2.电磁场与电磁波的概念
• 电场 • 磁场 • 电磁场 • 电磁波
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第一章 矢量分析
1.2 电磁波谱
1888年赫兹用实验证明了电磁波的存在
目前人类通过各种方式已产生或观测到的电磁波的最低频率 为 f 2102H z，其波长为地球半径的 5103 倍，而
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33
第一章 矢量分析
6、高斯公式(散度定理)
dF iv lim 1 F d S
v 0 vs
dF i v vlim F d S v 0s
对于有限大体积v，可将其按 如图方式进展分割，对每一小体 积元有
dF i v v 1s1F d S 1
dF i v v 2s2F d S 2
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第一章 矢量分析
3.课程内容和章节安排
按教材顺序，课程包括11章。第一章矢量分 析，主要介绍矢量场的散度和旋度以及标量场 的梯度，介绍亥姆霍兹定理，是数学根底。第 二章电场、磁场与麦克斯韦方程，根本理论以 及推导出麦克斯韦方程组；第三章介质中的麦 克斯韦方程；其次第四章利用矢量位和标量位 求解位函数；第五章静态场的解，如何根据场 量的边界条件来求解场的分布；第六章自由空 间中的电磁波，研究波的方程以及波的极化。 第七章非导电介质中的电磁波，学习电磁波在 介质中传播特性。
5
第一章 矢量分析
注意 1. 由于辐射强度随频率的减小而急剧下降，因此波
长为几百千米〔105米〕的低频电磁波强度很弱，
通常不为人们注意。
2. 实际使用的无线电波是从波长约几千米〔频率为几百千赫
〕开场：
波长3000米－50米〔频率100千赫－6兆赫〕的属于中波段
矢量分析-PPT
0
2 2 2 2
x2 y2 z2
1 .4 .2 格林定理
将散度定理中矢量A表示为某标量函数的梯度 ψ与另一标 量函数 φ的乘积, 则有
A ( ) 2
取上式在体积V内的积分, 并应用散度定理, 得
(2 )dv
V
s( ) nˆds
s
n
ds
(1 -49)
式中S是包围体积V的封闭面, nˆ 是封闭面S的外法线方向单位矢
量。此式对于在体积V内具有连续二阶偏导数的标量函数φ和ψ都 成立, 称为格林( G .Green)第一定理。
divA A
A
xˆ
x
yˆ
y
zˆ
z
(xˆAx
yˆAy
zˆAz
)
Ax Ay Az x y z
利用哈密顿算子, 读者可以证明, 散度运算符合下列规则:
(A B) A B
(A) A A
1 .2 .3 散度定理
既然矢量的散度代表的是其通量的体密度, 因此直观地可知, 矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总 通量, 即
ds nˆds
nˆ 是面元的法线方向单位矢量。nˆ 的取法(指向)有两种情形: 对
开曲面上的面元, 设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的, 则当选
定绕行l的方向后, 沿绕行方向按右手螺旋的姆指方向就是 nˆ 的方 向, 如图1 -4所示; 对封闭曲面上的面元, nˆ 取为封闭面的外法线方
向。
图 1 -4 开曲面上的面元
为A , B崐所在平面的右手法向 n:ˆ
A B nˆAB sin aAB
它不符合交换律。 由定义知,
A B (B A)
并有
xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 0 xˆ yˆ zˆ, yˆ zˆ xˆ, zˆ xˆ yˆ
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Ay
y
方向角与方向余弦： , ,
co sA x, co sA y, co sA z
|A |
|A |
|A |
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
• 12.奥斯特的电生磁和法拉第的磁生电奠定了电磁学的基 础。
电磁学理论的完成者——英国的物理学家麦克斯韦（18311879）。麦克斯韦方程组——用最完美的数学形式表达了宏 观电磁学的全部内容 ，从理论上预言了电磁波的存在。
工学第1章矢量分析
三、电磁学应用突飞猛进（19世纪中至今）
• 1866年，德国的西门子发明了使用电磁铁的发电机，为 电力工业开辟了道路。
Ay
y
所以： AAxa ˆxAya ˆyAza ˆz
工学第1章矢量分析
矢量： AAxa ˆxAya ˆyAza ˆz
z
模的计算： |A| Ax2Ay2Az2
Az
A
单位矢量：
a ˆ|A A||A A x|a ˆx|A A y|a ˆy|A A z|a ˆz
o
Ax
cosa ˆxcosa ˆycosa ˆz x
工学第1章矢量分析
• 5. 1785年，法国科学家库仑在实验规律的基础上，提出了 第一个电学定律：库仑定律。使电学研究走上了理论研究的 道路。
• 6. 1820年，由丹麦的科学家奥斯特在课堂上的一次试验中， 发现了电的磁效应，从此将电和磁联系在一起 。
• 7. 1822年，法国科学家安培提出了安培环路定律，将奥斯 特的发现上升为理论。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
工学第1章矢量分析
例1：在直角坐标系中，x 方向的大小为 6 的矢量如何表
示？
6 aˆ x
y
图示法：
6 aˆ x
x
力的图示法：
F
FN
Ff
FFNFf
G
工学第1章矢量分析
二、矢量的运算法则
1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。
B
C
C
CAB
• 第一章：电磁学的数学基础 ——矢量运算 • 第二章：电磁学的理论基础 ——麦克斯韦方程组 • 第三、四、五章：麦克斯韦方程组的应用
(边界条件，静态场) • 第六章：（平面）电磁波的传输特性 • 第七章：电磁波在波导中的传播（光纤通信） • 第八章：电磁波的产生（电磁波的辐射）
工学第1章矢量分析
五、场的基本概念
• 1876年，美国贝尔发明了电话，实现了电声通信。 • 1879年，美国发明家爱迪生发明了电灯，使电进入了人
们的日常生活。 • 1887年，德国的物理学家赫兹首次用人工的方法产生了
电磁波。随后，俄国的波波夫和意大利的马可尼，利用 电磁波通信获得成功，开创了人类无线通信的新时代。
工学第1章矢量分析
四、课程内容
• 8. 1825年，德国科学家欧姆得出了第一个电路定律：欧姆 定律。
• 9. 1831年，英国实验物理学家法拉第发现了电磁感应定律 并设计了世界上第一台感应发电机。
工学第1章矢量分析
• 10. 1840年，英国科学家焦耳提出了焦耳定律，揭示了电 磁现象的能量特性。
• 11. 1848年 ，德国科学家基尔霍夫提出了基尔霍夫电路理 论，使电路理论趋于完善。
2.场的分类 a. 按物理量的性质分：
标量场：描述场的物理量是标量。 矢量场：描述场的物理量是矢量。
b. 按场量与时间的关系分：
静态场：场量不随时间发生变化的场。 动态场：场量随时间的变化而变化的场。
动态场也称为时变场。
工学第1章矢量分析
第1章 矢量分析
一、矢量和标量的定义 二、矢量的运算法则 三、矢量微分元：线元，面元，体元 四、标量场的梯度 五、矢量场的散度 六、矢量场的旋度 七、重要的场论公式
工学第1章矢量分析
一、矢量和标量的定义
1.标量：只有大小，没有方向的物理量。 如：温度 T、长度 L 等
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如:力 F、速度 、v 电场 等 E
矢量表示为： A | A | aˆ
其中：|
A
|
为矢量的模，表示该矢量的大小。
为aˆ 单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
电磁场与电磁波
工学第1章矢量分析
绪论
一、电磁现象的经验认识时代（18世纪之前）
• 1.古希腊“七贤之一”的哲学家泰利斯（Thales）曾叙述过织衣者所 观察到的现象，那就是用毛织物摩擦过的琥珀能够吸引某些轻的物体。
• 2.大约在春秋末期（约公元前四、五世纪）成书的《管子·地数篇》， 战国时期的《鬼谷子》，战国末期的《吕氏春秋》等，都留记述了天然 磁石及其吸铁现象，并且出现世界上最古老的指南针“司南”。
• 3. 1638年，我国建筑学书籍中对避雷的记载：屋顶的四角都被雕饰成 龙头的形状，仰头、张口，在它们的舌头上有一根金属芯子，其末端伸 到地下，如有雷电击中房顶，会顺着龙舌引入地下，不会对房屋造成危 险。
工学第1章矢量分析
二、电磁学现代科学体系的建立 （文艺复兴之后，18世纪中-19世纪中）
1. 1745年，荷兰莱顿大学马森布罗克制成了莱顿瓶，可以将 电荷储存起来，供电学实验使用，为电学研究打下了基础。 2. 1752年7月，美国著名的科学家、文学家、政治家富兰克 林的风筝试验，证实了闪电式放电现象，从此拉开了人们研 究电学的序幕。 3.1753年，俄国著名的电学家利赫曼在验证富兰克林的实验 时，被雷电击中，为科学探索献出了宝贵的生命。 4. 1771—1773，英国科学家卡文迪什进行了大量静电试验， 证明在静电情况下，导体上的电荷只分布在导体表面上。
• 1.什么是场？
• a.从数学角度：场是给定区域内各点数值的集合，这些 数值规定了该区域内一个特定量的特性。
比如：T 是温度场中的物理量，T 就是温度场
• b.从物理角度：场是遍及一个被界定的或无限扩展的空 间内的，能够产生某种物理效应的特殊的物质，场是具 有能量的。
重力场、电磁场、……
工学第1章矢量分析
B
A
A
a.满足交换律： ABBA
b.满足结合律： ( A B ) ( C D ) ( A C ) ( B D )
工学第1章矢量分析
在直角坐标系下的矢量表示: 三个方向的单位矢量用 aˆ x , aˆ y , aˆ z表示。
z
Az
A
根据矢量加法运算：
o
AAx Ay Az
Ax
x
其中：
A x A x a ˆx,A y A y a ˆy, A z A za ˆz