第十六章多元函数的极限与连续习题集课
数学分析华东师大第四版16章_多元函数的极限与连续
lim
f ( x, y )极限存在，
是指当动点 ( x, y )以任意的方式趋向于点 ( x0 , y0 )时, 对应的极限都存在并且 相等.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例题
证明二重极限 x y lim 不存在. 2 2 ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y
证明
取y kx, 则 即当动点( x, y )沿着直线y kx趋向于点(0,0)时, x y kx k lim lim , 2 2 2 2 2 ( x , y )( 0 , 0 ) x y x 0 (1 k ) x 1 k
求二元函数的定义域与值域
1.函数z f ( x, y ) a x b y (a, b是不为0的实数); 2.函数z f ( x, y ) 1 ( x 2 y 2 ) ; 2 xy 3.函数z f ( x, y ) 2 ; 2 x y 4.函数z f ( x, y ) 1 x 1 y .
则一定存在有限个开区 域1 , 2 , , n , 使得 D k .
k 1 n
n元函数的定义
所有有序实数组 ( x1 , x2 , , xn )的全体称为 n维向量空间 , 记作R n . 每个有序实数组 ( x1 , x2 , , xn )称为R n中的一个点 , n个实数x1 , x2 , , xn 称为这个点的坐标 .
二元函数的定义域
• 一元函数的定义域是实数轴上的点集；
• 二元函数的定义域是坐标平面上的点集.
坐标平面与平面点集
• 在平面上确定了一个直角坐标系之后，所 有有序实数对(x,y)与平面上所有的点之间就 建立了一一对应。确定了直角坐标系的平 面，称为坐标平面； • 在坐标平面上满足某种条件P的点的集合称 为平面点集，记作
第十六章多元函数的极限与连续练习题(2021
第十六章 多元函数的极限与连续 练习题一、选择题1、 下列说法错误的是（ A ） A ．界点一定是聚点 B 内点一定是聚点 C 孤立点一定是界点D 界点不一定是聚点.2、 平面点集()}2,2,2,{>+<<y x y x y x 是（ B ）A. 有界闭区域B. 有界开区域C.无界集D. 无界开区域.3、平面点集),0()1,0(+∞⨯是（ B ）A. 有界区域B. 开集C.闭集D. 非开非闭的集合 4、设d c b a ,,,是不相等的实数，平面点集),[),[d c b a ⨯是（ A ）. A. 有界区域 B. 开集 C. 闭集 D. 无界区域 5、已知xy y x y x f ++=)cos(),(，则(,)+-=f x y x y （ B ） A. xy y x ++)cos( B. 222cos y x x -+ C. 22)cos(y x y x -++ D. xy x +2cos 6、 设=),(y x f xyyx +，则(,)+-=f y x y x （ B ） A.222x y x - B.222x y y - C.222y x x - D. 222yx y-7、设极限()()00,,lim (,)→=x y x y f x y A ，=ρ（ C ）.A.对,0>∀δ ，总,0>∃ε，当 δρ<<0 时，有 ε<-A x f )(;B. 若,0>∃ε，对 ,0>∀δ ，当 δρ<<0 时，有 ε<-A x f )(;C. 对每个,10<<ε总,0>∃δ 当 δρ<<0 时，有 ε<-A x f )(;D. 若,0>∃δ，,0>∀ε当 δρ<<0 时，有 ε<-A x f )(.8、下列说法错误的是（ C ） A. 若),(lim lim 00y x f x x y y →→与()()00,,lim (,)→x y x y f x y 都存在，则两者相等.B. 若),(lim lim 00y x f y y x x →→与),(lim lim 00y x f x x y y →→ 都存在但不相等，则()()00,,lim (,)→x y x y f x y 不存在.C. 若),(lim lim 00y x f y y x x →→与),(lim lim 00y x f x x y y →→ 都存在且相等，则()()00,,lim (,)→x y x y f x y 必存在.D. 若),(lim lim 00y x f y y x x →→、),(lim lim 00y x f x x y y →→与()()00,,lim (,)→x y x y f x y 都存在，则三者相等.9、函数xy y x y x f 1sin 1sin),(+=在点)0,0(的二重极限与累次极限的情况为 （ D ）. A. 两个都存在. B. 两个都不存在. C. 累次存在，二重不存在. D. 累次不存在，二重存在.10、(,)(0,0)limx y →=（ D ）A.21 B. 1 C. 2 D. -4111、22)0,0(),(limy x xyy x +→ （ D ）A. 等于21 B. 等于0 C. 等于21kk + D. 不存在 12、(,)lim →=x y （ B ）.A. ;1B. .0;C. ;21D. 不存在 13、下列错误的是（ B ） A.01sin)(lim 22)0,0(),(=++→y x y x y x B. 0lim 22)0,0(),(=+→yx xyy x C. 0limlim 2200=+→→y x xy y x D.0lim lim 2200=+→→y x xyx y 14、=++→2222)0,0(),()sin(lim y x y x y x （ A ）A. ;1B. .0;C. ∞D. 不存在也不是∞15、设22220(,)00+≠=+=⎩x y f x y x y ，则下列结论正确的是（ D ）.A.(,)(0,0)lim (,)→x y f x y 不存在. B.(,)(0,0)lim (,)1→=x y f x yC. (,)f x y 在()0,0不连续.D. (,)f x y 在2R 上连续.二、填空题1、点集{}10),(22<+<=y x y x E 的聚点集合为 答案：(){}22,1+≤x y xy2、 函数)2ln(),(x y y x f -=的定义域为 . 答案：()1,:2⎧⎫>⎨⎬⎩⎭x y y x 3、函数(,)f x y =的定义域是_____________. 答案：{}y x y x y x ≥<+41:).(22且4、函数(,)=f x y 的定义域是_____________. 答案：(){}2222,124，且+>+≠≤x y xy x y y x5、1142222-++--=y x y x z 的定义域是__________________.答案：(){}22,14<+≤x y xy6、)4ln(92222-++--=y x y x z 的定义域是______________答案：(){}22,49<+≤x y xy7、函数2222),(yx y x y x f -+=的定义域为_____________. 答案：(){},:≠x y x y8、11lim)0,0(),(-+→xy xy y x ＝__________.答案：2 9、22)0,1(),()ln(limyx e x y y x ++→=________.答案：2ln10、=++→2222)0,0(),()sin(lim yx y x y x ________.. 答案：1 11、()()()=→y xy y x sin lim0,2,_____________.答案：2 12、(,)(0,0)11lim sin sin x y x y y x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭ = . 答案：0 13、()()()=++→220,0,1sinlimyx y x y x _____________. 答案：014、已知xy y x y x f ++=)cos(),(，则_________________),(=-+y x y x f . 答案：222cos y x x -+ 15、11sin),(22-+=y x y x f 的间断点是_____________.答案：(){}22,1x y xy +=三、证明题和计算题1、证明22222)0,0(),()(lim y x y x y x y x -+→ 不存在.证明：因为 ()()()22442222,0,00limlim 1→→===+-x y x y xx y x x x y x y 而 ()()()222222,0,00lim0→==+-x y y x y x y x y故22222)0,0(),()(lim y x y x y x y x -+→不存在. 2、证明y x yx y x -+→)0,0(),(lim不存在.证明: 因为()(),0,000limlim 1→→=+==-x y x y x y xx yx 而()(),0,000limlim 1→→=+==---x y x x x y yx yy 所有y x yx y x -+→)0,0(),(lim不存在.3、用定义证明()()222,0,0lim0→=+x y xy x y 证明 222220-≤⋅≤++xy xyy y x y x y所以对0∀>ε，取=δε，则当,(,)(0,0)且<<≠x y x y δδ时，有2220-<+xy x y ε由定义知()()222,0,0lim0→=+x y xy x y 4、用定义证明()()2222,0,0lim0→=+x y x y x y 证明()222222222220+-≤≤+++x y x y x y x y x y所以对0∀>ε，取=δ则当0<<δ时，有22+<x y ε从而22220-<+x y x yε，由定义知()()2222,0,0lim 0→=+x y x y x y 5、设2222(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),x y xy x y f x y x y x y ⎧-≠⎪=+⎨⎪=⎩，， 证明(,)(0,0)lim (,)0.x y f x y →=证明： 222222222202x y x y x y xy x y x y -+--≤++222211(),22x y x y =-≤+可知0,ε∀>0,δδ∃=<<当时有22220,x yxy x y ε--<+ 所以(,)(0,0)lim (,)0.x y f x y →=6、求极限.42lim)0,0(),(xy xy y x +-→解(,)(0,0)(,)limlimx y x y →→=(,)1lim4x y →==7、求极限.11lim2222)0,0(),(-+++→y x y x y x解22(,)(,)(0,0)limlimx y x y →→==(,)(0,0)lim 1)2x y →=8、求极限()()2222,0,01lim →+++x y x y x y解 因为()()2222,0,0lim01→+=++x y x y x y 所以()()2222,0,01lim→++=+∞+x y x y x y 9、求极限()()()22,0,01limsin→++x y x y x y解：()221sin+≤+≤++x y x y x y x y，而()()(),0,0lim 0→+=x y x y ()()()22,0,01limsin0→+=+x y x y x y ，从而()()()22,0,01lim sin 0→+=+x y x y x y10、求极限()()()2222,0,0sin 2lim→++x y x y x y解：令22=+t x y ，则()(),0,0→x y 等价于0→t所以()()()2222,0,000sin 2sin 2sin 2limlim2lim 22→→→+===+x y t t x y t tx y t t。
多元函数的极限与连续习题课
第十六章 多元函数的极限与连续习题课一 概念叙述题1.叙述0lim ()P P f P A →=，其中0,P P 的坐标为00(,),(,)x y x y ．lim ()0,0,P P f P A εδ→=⇔∀>∃>当00(;)P U P D ∈I δ时，有()f P A ε-<（方形邻域）0,0,εδ⇔∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<，00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-<（圆形邻域）0,0,εδ⇔∀>∃>当0δ<，有(,)f x y A ε-<． 2. 叙述00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →=+∞，00(,)(,)lim(,)x y x y f x y →=-∞，00(,)(,)lim(,)x y x y f x y →=∞的定义．000000(,)(,)lim(,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=+∞⇔∀>∃>-<-<≠>当时，有0,0,0(,)G f x y Gδδ⇔∀>∃><<>当时，有000000(,)(,)lim(,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=-∞⇔∀>∃>-<-<≠<-当时，有000000(,)(,)lim(,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=∞⇔∀>∃>-<-<≠>当时，有．3.叙述0(,)(,)lim (,)x y y f x y A →+∞=的定义．00(,)(,)lim(,)0,0,0,,(,)x y y f x y A M x M y y f x y A εδδε→+∞=⇔∀>∃>∃>>-<-<当时，有4.叙述0(,)(,)lim (,)x y x f x y →-∞=+∞的定义．00(,)(,)lim(,)0,0,0,,(,)x y x f x y G M x x y M f x y G δδ→-∞=+∞⇔∀>∃>∃>-<<->当时，有5. 叙述(,)(,)lim (,)x y f x y →-∞+∞=-∞的定义．(,)(,)lim (,)0,0,,(,)x y f x y G M x M y M f x y G →-∞+∞=-∞⇔∀>∃><-><-当时，有．注：类似写出(,)(,)lim(,)x y f x y →=VW d 的定义，其中d 取,,,A ∞+∞-∞，∆取0,,,x ∞+∞-∞，W 取0,,,y ∞+∞-∞．6.叙述f 在点0P 连续的定义．f 在点0P 连续⇔ε∀， 0δ∃>，只要0(;)P U P D δ∈I ，就有0()()f P f P ε-<⇔ε∀， 0δ∃>，当0x x δ-<，0y y δ-<，就有00(,)(,)f x y f x y ε-<⇔ε∀，0δ∃>，δ，就有00(,)(,)f x y f x y ε-<．7.叙述f 在D 上一致连续的定义．f 在D 上一致连续()0,,,P Q D εδε⇔∀>∃∀∈只要(,)P Q ρδ<，就有()().f P f Q ε-<8.叙述f 在D 上不一致连续的定义．f 在D 上不一致连续00,,,P Q D δδεδ⇔∃>∀∃∈尽管(,)P Q δδρδ<，但有0()().f P f Q δδε-≥二 疑难问题与注意事项1. 00{(,)|0,0}x y x x y y δδ<-<<-<表示空心邻域吗？答：不是．0000{(,)|,,(,)(,)}x y x x y y x y x y δδ-<-<≠只是00{(,)|,}x y x x y y δδ-<-<去掉一点00(,)x y ，而00{(,)|0,0}x y x x y y δδ<-<<-<是00{(,)|,}x y x x y y δδ-<-<去掉了两条线段，000{(,)|,}x y x x y y y δδ=-<<+，000{(,)|,}x y y y x x x δδ=-<<+．2. E 的界点是E 的聚点吗？答：不一定，E 的界点还可能是E 的孤立点．3. E 的聚点一定属于E 吗？答：不一定，例如，22{(,)|14}D x y x y =≤+<，满足224x y +=的一切点也是D 的聚点，但它们都不属于D ．注 E 的内点，孤立点一定属于E ，E 的聚点，界点可能属于E ，也可能不属于E ，E 的外点一定不属于E ．4.区域上每一点都是聚点吗？答 区域上每一点都是聚点，因为区域是连通的开集，既然连通，就能保证，区域上每一点的邻域有无穷多个点．5. 12x x -1212x x y y -+-之间有什么关系？答：()12121212x x y y x x y y --≤≤-+-或．6.用方形邻域证明00(,)(,)lim (,).x y x y f x y A →=的思路是什么？答：证明00(,)(,)lim (,).x y x y f x y A →=怎么证呢？------关键也是找δ.（用方形邻域的思路0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<，00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-<.）当00(,)(,)x y x y →，有00(,)(,)x y x y ≠，把(,)f x y A -化简为下述形式:()()00(,),,f x y A x y x x x y y y ϕψ-=-+-（注意一定要出现0x x -，0y y -）.然后将()(),,,x y x y ϕψ适当放大，有时先要限定01x x δ-<，01y y δ-<,估算得()(),,,x y M x y N ϕψ≤≤,则（最综化简到00(,)f x y A M x x N y y -≤-+-这个形式）；0>∀ε，要使(,)f x y A -<ε，只要()00M x x N y y M N -+-<+δ<ε，即要M N εδ<+，取1min(,)M Nεδ=δ+，于是0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<，00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-<.7. 证明判断二元函数(),f x y 在(,)(0,0)x y →时二重极限不存在？ 答：1）当动点(,)x y 沿着直线y mx =而趋于定点(0,0)时，若(,)(0,0)lim (,)x y y mxf x y →=值与m有关，则二重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在．2）令cos x r θ=，sin y r θ=，0lim (cos ,sin )r f r r θθ→与θ有关，则二重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在．注意 若0lim (cos ,sin )r f r r θθ→与θ无关，则二重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →存在．3）找自变量的两种变化趋势，使两种方式下极限不同． 4）证明两个累次极限存在但不相等．8. 当动点(,)x y 沿着直线y mx =而趋于定点(0,0)时，若(,)(0,0) lim (,)x y y mxf x y →=值与m 无关，能说明二重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →存在吗？答：不能，因为所谓二元函数存在极限，是指(,)x y 以任何方式趋于(0,0)时，函数(,)f x y 都无限接近于同一个常数，动点(,)x y 沿着直线y mx =而趋于定点(0,0)这只是一种方式，还有其它方式．9.计算二元函数极限有哪些方法？1) 利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小；例 求22(,)(0,0)1lim ()sinx y x y x y→++． 解 因为(,)(0,0)lim ()0x y x y →+=，而221sin1x y≤+，利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小，即知22(,)(0,0)1lim ()sin0x y x y x y→+=+． 2）利用变量替换化为已知极限或化为一元函数的极限；例 2222(,)(0,0)sin()lim x y x y x y→++． 解 利用变量替换．令22ux y =+，当(,)(0,0)x y →时，有0u →，因此2222(,)(0,0)0sin()sin lim lim 1x y u x y ux y u→→+==+． 3）利用极坐标变换．令cos x r θ=，sin y r θ=，如果(cos ,sin )f r r θθ沿径向路径关于[]0,2θπ∈一致成立，则(,)(0,0)lim (,)lim (cos ,sin )x y r f x y f r r θθ→→=；例 求222(,)(0,0)lim x y x yx y →+．解 利用极坐标变换．令cos x r θ=，sin y r θ=，当(,)(0,0)x y →时，有0r →，因此2322222(,)(0,0)00cos sin lim lim lim cos sin 0x y r r x y r r x y rθθθθ→→→===+． 4）利用不等式，使用夹逼准则．例 2244(,)(,)limx y x y x y →+∞+∞++ 解 因为2222442222110222x y x y x y x y y x ++≤≤≤++，而22(,)(,)11lim 022x y yx →+∞+∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 因此2244(,)(,)lim 0x y x y x y →+∞+∞+=+．5）初等变形求极限，如1∞极限，凑()1e +→WW 1，0→W． 例2(,)(,0)1lim1x x yx y x +→+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭解 2(,)(,0)lim(,)(,0)(,)(,0)11lim 1lim 1x y x x xxx yx yx yx y x y ee x x →+∞+++→+∞→+∞⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫+=+==⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭．10．重极限与累次极限有什么关系？ 答：（1）重极限与累次极限没有必然的蕴含关系（除了若两个累次极限存在但不相等能推重极限存在）；（2）若两个重极限与累次极限都存在时，则三者相等； （3）若重极限和其中一个累次极限存在时则这两者相等，另一个累次极限可能存在可能不存在．（4）两个累次极限可能都存在，可能都不存在，可能一个存在一个不存在，都存在时可能相等，也可能不相等．11.二元函数(),f x y 在()00,x y 连续，与一元函数()0,f x y 在0x 连续，一元函数()0,f x y 在0y 连续有什么关系？ 答反例 二元函数1, 0,(,)0, 0xy f x y xy ≠⎧=⎨=⎩在原点处显然不连续．但由(0,)(,0)0,f y f x ==因此在原点处f 对x 和对y 分别都连续． 三 典型例题1．求下列平面点集的内点、边界点、聚点、孤立点形成的集合．（1）()22,144y E x y x ⎧⎫=≤+<⎨⎬⎩⎭； （2）()[]{},,0,1E x y x y =都是中的有理数； （3）(){},,E x y x y =都是整数；（4）()1,sinE x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭． 解：（1）E 的内点集合是()22,144y E x y x ⎧⎫=<+<⎨⎬⎩⎭，边界点集合是()2222,1444y y E x y x x ⎧⎫=+=+=⎨⎬⎩⎭或，聚点集合是()22,144y E x y x ⎧⎫=≤+≤⎨⎬⎩⎭．没有孤立点．（2）E 没有内点，（因为E 中任意一点的邻域既含有有理数，也含有无理数）； 边界点集合是[][]0,10,1⨯．聚点集合是[][]0,10,1⨯，没有孤立点．（3）E 没有内点，（因为E 中任意一点的空心邻域当距离很小时，不含整数点） 边界点集合是E ，没有聚点，孤立点集合是E ． （4）E 没有内点，聚点是()1,sinE x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭U (){},0,11x y x y =-≤≤，没有孤立点，界点是()1,sinE x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭U (){},0,11x y x y =-≤≤．2． 证明0000(,)(,)(),()n n n n x y x y n x x y y n →→∞⇔→→→∞．证：（⇒）由于00(,)(,)()n n x y x y n →→∞，即对0ε∀>，N Z +∃∈，当n N >时ε<，因此有0||n x x ε-<，0||n y y ε-<，即00,()n n x x y y n →→→∞．（⇐）由于00,()n n x x y y n →→→∞，即对0ε∀>，N Z +∃∈，当n N >时有0||2n x x ε-<，0||2n y y ε-<，从而有00n n x x y y ε≤-+-<，即 00(,)(,)()n n x y x y n →→∞．3．（1）举出两个累次极限存在，但不相等的例子． （2）举出两个累次极限存在，且相等的例子． （3）举出两个累次极限一个存在一个不存在的例子． （4）举出两个累次极限都不存在的例子． 解：（1）例如(,)x yf x y x y-=+在(0,0)点的两个累次极限存在，但不相等． 000lim limlim11x y x x y x y →→→-==+，()000lim lim lim 11y x y x yx y →→→-=-=-+． （2）例如22(,)xyf x y x y =+在(0,0)点的两个累次极限存在，且相等．22000limlimlim00x y x xy x y →→→==+，2200lim lim 0y x xyx y→→=+． （3）例如1(,)sinf x y x y=在(0,0)点只有一个累次极限存在． 001limlim sin x y x y →→⎛⎫ ⎪⎝⎭不存在，001limlim sin 0y x x y →→⎛⎫= ⎪⎝⎭． （4）例如11(,)sinsin f x y x y y x=+在(0,0)点两个累次极限都不存在． 注 两个累次极限可能都存在，可能都不存在，可能一个存在一个不存在，都存在时可能相等，也可能不相等．4．试作函数(),f x y ，使当0x →，0y →时(1)两个累次极限存在而重极限不存在； (2)两个累次极限不存在而重极限存在； (3)重极限与累次极限都不存在；(4)重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在． 解（1）22(,)xyf x y x y=+，两个累次极限存在（见上题），但()()2222222,0,00 lim lim 1x y x y kxxy kx kx y x k x k →→===+++， 因为与k 有关系，因此重极限不存在． （2）11(,)sinsin f x y x y y x=+，在(0,0)点两个累次极限都不存在，但重极限存在 ()(),0,011lim sin sin =0x y x y y x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭． （3）2211(,)f x y x y =+，在(0,0)点的两个累次极限，重极限都不存在． （4）1(,)sinf x y x y =或1(,)sin f x y y x=． 变形：当x →∞，y →∞时，有10x→，10y →，（1）222211(,)11xyx y f x y x yx y ==++； （2）11(,)sin sin f x y y x x y=+； （3）22(,)f x y x y =+； （4）1(,)sin f x y y x=． 5. 讨论二元函数22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0),x x y f x y x y x y α⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩在(0,0)点的连续性．解 令cos x r θ=，sin y r θ=，222(,)(0,0)0cos lim lim x y r x r x y rαααθ→→=+ 当2α>，根据无穷小量乘有界量为无穷小量知()22(,)(0,0)lim00,0x y x f x y α→==+，因此(,)f x y 在(0,0)点连续；当2α=，由极限值与θ有关，二重极限不存在，因此(,)f x y 在(0,0)点不连续；当2α<，由20cos lim r r r ααθ→不存在，则二重极限不存在，因此(,)f x y 在(0,0)点不连续．6．设(,)f x y 定义在闭矩形域[,][,].S a b c d =⨯若f 对y 在[,]c d 上处处连续,对x 在[,]a b (且关于y )为一致连续.证明f 在S 上处处连续.分析：要证f 在S 上处处连续，只要证()00,x y S ∀∈，f 在()00,x y 连续，即证ε∀，0δ∃>，当0x x δ-<，0y y δ-<，就有00(,)(,)f x y f x y ε-<，因为条件中有一元函数连续，因此要出现偏增量，即证ε∀，0δ∃>，当0x x δ-<，0y y δ-<，0000(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y ε-+-<（因为条件是f 对y 在[,]c d 上处处连续,对x 在[,]a b (且关于y )为一致连续，因此插入0(,)f x y .证明：因为f 对y 在[,]c d 上处处连续，则()0,f x y 在0y 连续，于是ε∀，0δ∃>， 当0y y δ-<，就有000(,)(,)2f x y f x y ε-<.因为对x 在[,]a b (且关于y )为一致连续，则有ε∀，0δ∃>，当0x x δ-<（对任意y 就有0(,)(,)2f x y f x y ε-<.因此ε∀，0δ∃>，当0x x δ-<，0y y δ-<，就有00000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y ε-+-<-+-<.7. 设00lim ()()y y y y A ϕϕ→==，00lim ()()0x x x x ψψ→==，且在00(,)x y 附近有(),()()f x y y x ϕψ-≤，证明()()00,,lim (,)x y x y f x y A →=.分析：要证()()00,,lim(,)x y x y f x y A →=，只要证0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<，00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-<.而(),f x y 与()y ϕ有关系，因此就要插入()y ϕ，即证(,)()()f x y y y A ϕϕε-+-<.证 由00lim ()()y y y y A ϕϕ→==得，0,0,εδ∀>∃>当0y y δ-<，有()2y A εϕ-<.由00lim ()()0x x x x ψψ→==得，0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，有()2x εψ<.因为在00(,)x y 附近有(),()()f x y y x ϕψ-≤，于是当0x x δ-<，0y y δ-<有(),()2f x y y εϕ-<.因此0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<有(,)()()(,)()()f x y y y A f x y y y A ϕϕϕϕε-+-≤-+-<，因此()()00,,lim (,)x y x y f x y A →=.8. f 在E 上一致连续的充要条件是：对E 中的每一对点列{}{},k k P Q 如果()lim ,0k k k P Q ρ→∞=，便有()()lim 0k k k f P f Q →∞-=⎡⎤⎣⎦. 证 必要性 f 在E 上一致连续()0,,,P Q D εδε⇔∀>∃∀∈只要(,)P Q ρδ<，就有()().f P f Q ε-<()lim ,0k k k P Q ρ→∞=⇒对上述δ，(),,,k k N k N P Q ρδ∃∀><有，因此()().k k f P f Q ε-< 即()()lim 0k k k f P f Q →∞-=⎡⎤⎣⎦. 充分性 反证法，设f 在D 上不一致连续00,,,P Q D δδεδ⇔∃>∀∃∈尽管(,)P Q δδρδ<，但有0()().f P f Q δδε-≥则取1,1,2,,k k δ==L 总有相应的k k P Q D ∈、，虽然1(,)k k P Q kρ<，但是 0()().k k f P f Q ε-≥即()lim ,0k k k P Q ρ→∞=，()()lim 0k k k f P f Q →∞-≠⎡⎤⎣⎦，矛盾.因此f 在E 上一致连续.。
（整理）《数学分析》第十六章多元函数的极限与连续.
（整理）《数学分析》第十六章多元函数的极限与连续.第十六章多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 )§1 平面点集与多元函数 ( 3 时 )一. 平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件}.1. 常见平面点集:⑴ 全平面和半平面: }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >,}|),{(b ax y y x +≥等.⑵ 矩形域: ],[],[d c b a ?, 1|||| ),{(≤+y x y x }.⑶ 圆域: 开圆, 闭圆, 圆环. 圆的个部分. 极坐标表示, 特别是}cos 2|),{(θθa r r ≤和}sin 2|),{(θθa r r ≤.⑷ 角域: }|),{(βθαθ≤≤r .⑸ 简单域:-X 型域和-Y 型域.2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域, 空心方邻域与集}||0 , ||0|),{(00δδ<-<<-<="">二. 点集的基本概念:1. 内点、外点和界点：集合E 的全体内点集表示为E int , 边界表示为E ?.集合的内点E ∈, 外点E ?, 界点不定.2. 聚点和孤立点: 孤立点必为界点 .例1 确定集} 4)2()1(1|),( {22<++-≤=y x y x E 的内点、外点集、边界和聚点.3. 开集和闭集: E int E =时称E 为开集,E 的聚点集E ?时称E 为闭集.存在非开非闭集.2R 和空集φ为既开又闭集.4. 开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域 .5. 有界集与无界集:6. 点集的直径)(E d ：两点的距离) , (21P P ρ.7. 三角不等式：||21x x -（或||21y y -）|||| )()(2121221221y y x x y y x x -+-≤-+-≤.三. 点列的极限:设) , (n n n y x P =, ) , (000y x P =.定义0l i m P P n n =∞→的定义 ( 用邻域语言 ) . 例2 ) , (n n y x → ) , (00y x ?0x x n →, 0y y n →, ) (∞→n .例3 设0P 为点集E 的一个聚点. 则存在E 中的点列} {n P , 使0lim P P n n =∞→. 四. 2R 中的完备性定理:1. Cauchy 收敛准则:先证{) , (n n y x }为Cauchy 列?} {n x 和} {n y 均为Cauchy 列.2. 闭集套定理: [1]P 89.3. 聚点原理: Weierstrass 聚点原理，列紧性.4. 有限复盖定理:五. 二元函数:1. 二元函数的定义、记法、图象：2. 定义域：例4 求定义域：ⅰ> ),(y x f 192222-+--=y x y x ; ⅱ> ),(y x f )1ln(ln 2+-=x y y . 3. 有界函数:4. n 元函数:Ex [1]P 92—93 1—8 .§2 二元函数的极限 ( 3 时 )一. 二元函数的极限:1. 二重极限A P f D P P P =∈→)(lim 0的定义: 也可记为),(lim ),(),(00y x f y x y x →A =或A y x f y y x x =→→),(lim 00例1 用“δε-”定义验证极限7)(lim 22)1,2(),(=++→y xy x y x .[1]P 94 E1.例2 用“δε-”定义验证极限 0lim 2220=+→→y x xy y x . 例3 设??=≠+-=).0,0(),( , 0),0,0(),( ,),(2222y x y x y x y x xy y x f证明0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .(用极坐标变换 ) [1]P 94 E2.Th 1 A P f DP P P =∈→)(lim 0?对D 的每一个子集E ,只要点0P 是E 的聚点,就有A P f E P P P =∈→)(lim 0. 推论1 设D E ?1,0P 是1E 的聚点.若极限)(lim 10P f E P P P ∈→不存在, 则极限)(lim 0P f DP P P ∈→也不存在. 推论2 设D E E ?21,,0P 是1E 和2E 的聚点.若存在极限1)(lim 10A P f E P P P =∈→,2)(lim 20A P f E P P P =∈→, 但21A A ≠,则极限)(lim 0P f DP P P ∈→不存在. 推论3 极限)(lim 0P f DP P P ∈→存在?对D 内任一点列} {n P ,0P P n →但0P P n ≠,数列)}({n P f 收敛 .2 方向极限:方向极限A y x f =+++→)sin , cos (lim 000θρθρρ的定义. 通常为证明极限)(lim 0P f P P →不存在,可证明沿某个方向的极限不存在,或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关; 或沿两条特殊的路径的极限存在而不相等.但应注意, 沿任何方向的极限存在且相等?/ 二重极限存在( 以下例5 ).例4 设??=≠+=. )0,0(),( , 0),0,0(),( , ),(22y x y x y x xy y x f 证明极限),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在. (考虑沿直线kx y =的方向极限). [1]P 95 E3.例5 设+∞<<-∞<<=.,0,0,1),(2其余部分时，当x x y y x f 证明极限),(lim )0,0(),(y x f yx →不存在. [1]P 95 E4.二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质.例6 求下列极限:ⅰ> )0,0(),(lim →y x 222yx y x +; ⅱ> )0,3(),(lim →y x y xy sin ; ⅲ> )0,0(),(lim →y x xy xy 11-+; ⅳ> )0,0(),(lim →y x 2222)1ln(yx y x +++. 3．极限),(lim),(),(00y x f y x y x →+∞=的定义: 其他类型的非正常极限，→),(y x 无穷远点的情况.例7 验证)0,0(),(lim →y x +∞=+22321yx . Ex [1]P 99—100 1⑴—⑹，4，5.二. 累次极限:1. 累次极限的定义: 定义.例8 设22),(yx xy y x f +=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限 . [1]P 97 E6. 例9 设2222),(yx y x y x f +-=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限 . 例10 设xy y x y x f 1sin 1sin ),(+=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限与二重极限. 2. 二重极限与累次极限的关系:⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等. ( 例9 )⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在.例如函数yx y x f 1sin ),(=在点) 0 , 0 (的情况 .⑶ 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在. (例10)⑷ 两个累次极限存在(甚至相等) ?/二重极限存在. ( 参阅例4和例8 ).综上, 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系.Th 2 若全面极限),(lim ),(),(00y x f y x y x →和累次极限),(lim lim0y x f y y x x →→(或另一次序)都存在,则必相等. ( 证 ) [1]P 98. 推论1 二重极限和两个累次极限三者都存在时, 三者相等.注: 推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.推论2 两个累次极限存在但不相等时, 全面极限不存在.注: 两个累次极限中一个存在,另一个不存在?/全面极限不存在. 参阅⑵的例.Ex [1]P 99 2§3 二元函数的连续性 (2 时 )一．二元函数的连续概念：由一元函数连续概念引入.1.2.连续的定义:定义用邻域语言定义连续.注: 函数),(y x f 有定义的孤立点必为连续点 .例1 设=++≠++=. 0 , 1, 0 , ),(2222222y x m m y x y x xy y x f证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿方向mx y =连续 .例1 设+∞<<∞-<<=., 0, ,0 , 1),(2其他x x y y x f ( [1]P 101)证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (不全面连续但在点) 0 , 0 (f 对x 和y 分别连续.2. 函数的增量: 全增量、偏增量.用增量定义连续性.3. 函数在区域上的连续性.4. 连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性. (仅证复合函数连续性[1]P102).二.一致连续性: 定义.三.四.有界闭区域上连续函数的性质:1.有界性与最值性. ( 证)2.3.一致连续性. ( 证)4.介值性与零点定理. ( 证)Ex [1]P104—105 1 ⑴—⑸，2，4，5.。
多元函数的极限与连续
第十六章多元函数的极限与连续1．证明: 对任何, 它的导集必为闭集.2．设是中两个不相交的开集, 证明.3．证明: 对任何, 它的边界必为一闭集.4．证明闭域必为闭集.5．讨论下列函数在时的极限不存在:(1); (2) ;(3).6. 设在点的某邻域内有定义, 且满足:(1) 在中, 对每个, 存在;(2) , 关于中的一致.试证明:.7. 设. 证明:(1) , 使得在或上, 有;(2) .8. 设. 证明:(1) ;(2) 不存在.9. 证明: 在上一致连续.10. 设是上的实值函数. 证明: 在上连续的充要条件是对于中的每个开集, 集合亦必为开集.11. 证明: 若为一有界开集, 则在上一致连续的充要条件是:在上连续, 且对任何点, 极限都存在(即在上的连续性能延拓到).12. 设为连续函数. 试证: 存在(), 则在上一致连续.13. 设, . 试证在上一致连续的充要条件是: 对中每一对点列, , 如果, 便有.第十六章多元函数的极限与连续一、选择题（每小题2分）1、极限的涵义是（）A、对，总，当时，有。
B、若，对，当时，有。
C、对每个，总，当时，有。
D、若，，当时，有。
2、设，则（）A、存在且等于0B、不存在C、存在可能不为0D、可能存在，也可能不存在3、函数在间断，则（）A、函数在处一定无定义B、函数在处极限一定不存在C、函数在处可能有定义，也可能有极限D、函数在处一定有定义，且有极限，但极限值不等于该点的函数值4、（）A、 1B、不存在C、D、05、函数在处存在二重极限是函数在该点连续的（）A、必要条件B、充分条件C、充要条件D、既非充分又非必要条件6、函数在原点（0，0）间断，是因为（）A、在原点无定义B、在原点无极限C、在原点有极限，无定义D、在原点有极限但不等于其函数值7、下面断语正确的是（）A、点集的界点一定是其聚点B、开集一定是开域C、闭域一定是闭集D、闭集一定是闭域8、下面断语正确的是（）A、区域上的连续函数必有界B、区域上的连续函数必有最大值和最小值C、区域上的连续函数必一致连续D、在区域上连续，为 D 的内点，且，则对必，使二、判断题（每小题2分）1、若函数在连续，则其二重极限必存在。
2019年16章 多元函数的极限与连续性.ppt
2、 E 的内点一定是 E 的聚点.
3、 孤立点必为界点
西华师范大学 5. 开集 、闭集
china west normal university
开集：E 中每一点都是 E 的内点. 即E intE 注：由于总有 intE E,
因此, E 是一个开集 E = intE.
闭集：E 的所有聚点都属于E ，或 E 没有聚点。
矩形域
{( x, y) | y ax b}
[a, b] [c, d ] ( x, y ) a x b, c y d
西华师范大学
圆域
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角域
{(r , ) | r 2a cos }
{(r, ) | }
n
。
0
Pn P0 , n
西华师范大学
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例：设P0为点集E的一个聚点。 则存在E中的 某个点列{Pn}, 使
lim Pn P0
n
。
P p N n
西华师范大学
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| PQ | ( y1 x1 )2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 .
特殊地，当 n =1, 2, 3时，便为数轴、平面、空 间两点间的距离． （3）n 维空间中邻域概范：
U ( P0 , ) P | PP0 | , P R .
n
区域、内点、边界点、区域、聚点等概范也可定义．
E
( X , ) E 且
( X , ) EC
边界：E 的全体界点所成集合，记为 E
第十六章 多元函数的极限与连续
数组(x, y, z)时, 三维欧氏空间3中的点集
S {( x, y, z) | z f ( x, y),( x, y) D} R3
就是二元函数 f 的图象. 通常z f (x, y)的图象是一空 间曲面, f 的定义域D便是该曲面在xOy平面上的投影.
第 十 六 章 多 元 函 数 的 极 限 与 连 续
R 2 ( x, y ) x , y .
C ( x, y) x 2 y 2 r 2 .
S ( x, y ) a x b, c y d .
第 十 六 章 多 元 函 数 的 极 限 与 连 续
§1 平面点集与多元函数
n n n
n 0. 也等价于 lim n
第 十 六 章 多 元 函 数 的 极 限 与 连 续
§1 平面点集与多元函数
定理16.1(柯西准则) 平面点列{Pn}收敛的充要条件 是: 任给正数, 存在正整数N, 使得当nN时, 对一切 正整数p, 都有
Pn , Pn p .
E U (O; r )
其中O是坐标原点, 则称E是有界点集. 否则就是 无界点集.
第 十 六 章 多 元 函 数 的 极 限 与 连 续
§1 平面点集与多元函数
点集E的直径—点集E的直径就是
d ( E) sup P 1, P 2 ,
P 1, P 2 E
其中 (P1, P2)表示P1与P2两点之间的距离, 当P1, P2的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)时, 有
由于点A的任一圆邻域可以包含在点A的某一方邻域 邻域”泛指这两种形状的邻域, 并以记号U(A; )或 U(A)来表示.
(NEW)华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)配套题库【名校考研真题+课后习题章节题库模拟试题
有界，由Dirichlet判别法，知 二、解答题
收敛.
1．设 ，求级数
的和．[苏州大学2004研]
解：设
， 的收敛区间为
，
，
令
，则
；
令
，则
则
从而
2．
．[武汉大学2004研]
解：原式 3．判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散:
（1）
；
（2）
.[北京科技大学2011研]
解：（1）因为
且
收敛，
所以由级数的比较判别法知，级数
上逐
点收敛，即由Osgood定理，得
上一致收敛．
（Osgood定理）设函数列 在有限闭区间 上连续， 在 上等 度连续，如果
则
（1）
上连续；
（2）
上一致收敛于 [哈尔滨工业大学2009研]
证明：（1）由 在 上等度连续，得
对
，当
成立；
时，不等式
令 取极限得，
由此得
上连续；
，对所有
（2）由 时，有
，
；对于任意的
目 录
第一部分 名校考研真题 第12章 数项级数 第13章 函数列与函数项级数 第14章 幂级数 第15章 傅里叶级数 第16章 多元函数的极限与连续 第17章 多元函数微分学 第18章 隐函数定理及其应用 第19章 含参量积分
第20章 曲线积分 第21章 重积分 第22章 曲面积分 第23章 向量函数微分学 第二部分 课后习题 第12章 数项级数 第13章 函数列与函数项级数 第14章 幂级数 第15章 傅里叶级数 第16章 多元函数的极限与连续
闭区间的性质可知，存在
即 这里
，由比值判别法知
绝对收敛．
第十六章 多元函数极限与连续
第十六章 多元函数的极限与连续§1 平面点集与多元函数1. 判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域？并分别指出他们的聚点与界点。
(1)[,)[,);a b c d ´ (2){(,)0};x y xy ¹(3){(,)|0};x y xy = (4)2{(,)|}x y y x > (5){(,)|2,2,2}x y x y x y <<+> (6)22{(,)|10,01}x y x y y x +==＃或； (7)22{(,)|10,12};x y x y yx +?＃或(8){}N +Î（x,y）|x,y ; (9)1{(,)|sin };x y y x=解：（1）有界集、区域，其聚点为{(,)|,}.E x y a x b c y d =＃＃(2)开集，聚点为2,E R =界点为{(,)|0};x y xy = (3)闭集，{(,)|0},E x y xy ==界点为{(,)|0}.EE x y xy ?==（4）区域，开集，其聚点为2{(,)|},E x y x y = 界点为2{(,)|}.x y y x = （5）有界集，区域，开集，其聚点为{(,)|2,2,2},E x y x yxy =＃?界点为{(,)2,02{(,)|2,02}{(,)|2,02}x y x yx y y xx y x y x=＃=＃+=＃（6）有界集，闭集，其聚点为22{(,)10,01},E x y x y y x =+==＃或界点为EE ?。
（7）有界集、闭集，其聚点为22{(,)|10,12};E x y x y yx =+?＃或界点为22{(,)|10,12}.Ex y x y y x ?+==＃或（8）闭集，其聚点是空集，界点为{(,)|,}.x y x y z Î （9）闭集1{(,)|sin ,0}{(0,)1}E x y y x y y x==> ，界点为.EE ?2.试问集合{(,)|0,0}x y x a y b d d <-<<-<与集合{(,)|,},(,)(,)x y x a y b x y a b d d -<-< 是否相同？ 解：不相同，第一个点集为第二个点集的子集。
第十六章多元函数的极限与连续
第十六章 多元函数的极限与连续一、 选择题（每小题2分） 1、极限00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →= 的涵义是（ ）A 、 对 0δ∀> ，总 0ε∃>，当 0ρδ<< 时，有 (,)f x y A ε-<。
B 、 若0ε∃>，对 0δ∀> ，当 0ρδ<< 时，有 (,)f x y A ε-<。
C 、 对每个01ε<< ，总 0δ∃>，当 0ρδ<< 时，有 (,)f x y A ε-<。
D 、 若0δ∃>， 0ε∀>，当 0ρδ<< 时，有 (,)f x y A ε-<。
2、设 0lim (,0)0,lim (0,)0,lim (,)0x x y y kx f x f y f x y →→→=→===，则(,)(0,0)lim (,)x y f x y →（ ）A 、存在且等于0B 、不存在C 、存在可能不为0D 、可能存在，也可能不存在 3、函数 (,)f x y 在 000(,)P x y 间断，则（ ） A 、 函数在 000(,)P x y 处一定无定义 B 、 函数在 000(,)P x y 处极限一定不存在C 、 函数在 000(,)P x y 处可能有定义，也可能有极限D 、 函数在 000(,)P x y 处一定有定义，且有极限，但极限值不等于该点的函数值 4、(,)limx y →=（ ）A 、 1B 、不存在C 、12D 、0 5、函数 (,)f x y 在 000(,)P x y 处存在二重极限是函数在该点连续的（ ） A 、必要条件 B 、充分条件 C 、充要条件 D 、既非充分又非必要条件6、函数 2222220(,)00xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨+=⎪⎩在原点（0，0）间断，是因为(,)f x y （ ）A 、在原点无定义B 、在原点无极限C 、在原点有极限，无定义D 、在原点有极限但不等于其函数值 7、下面断语正确的是 （ ）A 、点集的界点一定是其聚点B 、开集一定是开域C 、闭域一定是闭集D 、 闭集一定是闭域 8、下面断语正确的是 （ ） A 、 区域上的连续函数必有界B 、区域上的连续函数必有最大值和最小值C 、区域上的连续函数必一致连续D 、f 在区域2D R ⊂上连续， 12,P P 为D 的内点，且12()()f P f P <， 则对12:()()f P f P μμ∀<< 必 0P D ∃∈ ，使0()f P μ=二、 判断题 （每小题2分）1、若函数 (,)f x y 在00(,)x y 连续，则其二重极限必存在。
第十六章多元函数的极限与连续
第十六章 多元函数的极限与连续1． 证明: 对任何n R E ⊂, 它的导集d E 必为闭集.2． 设B A ,是n R 中两个不相交的开集, 证明∅=B A .3． 证明: 对任何n R E ⊂, 它的边界E ∂必为一闭集.4． 证明闭域必为闭集.5． 讨论下列函数在)0,0(),(→y x 时的极限不存在:(1) 242),(y x y x y x f +=; (2) y x xy y x g +=),(; (3) 2322),(yx y y x y x h ++-=. 6. 设),(y x f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P U 内有定义, 且满足:(1) 在)(0P U 中, 对每个0y y ≠, 存在)(),(lim 0y y x f x x ψ=→; (2) )(),(lim 0x y x f y y ϕ=→, 关于)(0P U 中的x 一致. 试证明:),(lim lim ),(lim lim 0000y x f y x f x x y y y y x x →→→→=. 7. 设)(),(y x yx y x y x f ≠-+=. 证明: (1) m k ∃∀,, 使得在mx y = 或 my x =上, 有k y x f y x =→),(lim )0,0(),(;(2) ),(lim lim ),(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→≠. 8. 设22222)(),(y x y x y x y x f -+=. 证明: (1) ),(lim lim ),(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→=; (2) ),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在.9. 证明: 22y x r +=在2R 上一致连续.10. 设),(y x f 是2R 上的实值函数. 证明: ),(y x f 在2R 上连续的充要条件是对于R 中的每个开集G , 集合}),(),{()(21G y x f R y x G f∈∈=-亦必为开集. 11. 证明: 若n R E ⊂为一有界开集, 则m R E f →:在E 上一致连续的充要条件是:f 在E 上连续, 且对任何点E x ∂∈0, 极限)(lim 0x f Ex x x ∈→都存在(即f 在E 上的连续性能延拓到E ∂). 12. 设R R f n →:为连续函数. 试证: A x f r =∞→)(lim 存在(x r =), 则f 在n R 上一致连续. 13. 设n R E ⊂, R E f →:. 试证f 在E 上一致连续的充要条件是: 对E 中每一对点列}{k x , }{k y , 如果0lim =-∞→k k k y x , 便有 0)()(lim =-∞→k k k y f x f .。
《数学分析》第十六章 多元函数的极限和连续
D = {(x, y)| x2 + y2 1 } 如图
y 1 x2 + y2 = 1
o D
1
x
易知, 圆内部的每一点都是 D 的内点. 但 圆周上的点不是 D 的内点.
又如 z = ln (x+y)的定义域 D = {(x, y)| x+y > 0}
的聚点.
一般, 集合 E 的边界点不一定是 E 的聚点. 但若 E 是开集, 则 E 的边界点一定是 E 的 聚点, 自证.
邻域, 内点, 边界点, 开集, 连通, 有界, 开区域, 闭区域, 聚点这些概念 都可毫无困难地推广到三维空间 R3 中去, 且有类似的几何意义. 它们还可 推广到 4 维以上的空间中去, 但不再 有几何意义.
y A
f (x) 0 x x0 x
x x0
y = f (x) f (x)
x
lim f (x) A用 语言表示. 就是 >0, >0.
xx0
当0<|x – x0|< 时, 有|f (x) – A |< .
设二元函数 z = f (X) = f (x, y), 定义域为D. 如图
E E0 , 所以 E 是开集.
5. 连通集
设 E 是一非空平面点集, 若X ,YE. 都 可用完全含于 E 的折线将它们连接起来, 则称 E 为连通集. 如图
X Y
E 连通
X
Y
E 不连通
几何上看, 所谓 E 是连通集, 是指 E 是 连成一片的. E 中的点都可用折线连接.
例1, 2中的 D 都是连通集. 如图
{( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}， 这个点集称为二元函数的图形.
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十六章
第十六章 多元函数的极限与连续一、证明题1. 证明: 当且仅当存在各点互不相同的点列{p n }⊂E,p ≠p 0. ∞→n lim P n =P 0时P 0是E 的聚点. 2. 证明:闭域必是闭集,举例证明反之不真.3. 证明:点列{p n (x n ,y n )}收敛于p 0(x 0,y 0)的充要条件是∞→n lim x n =x 0和∞→n lim y n =y 0. 4. 证明: 开集与闭集具有对偶性——若E 为开集,则E c 为闭集;若E 为闭集,则E c 为开集.5. 证明:(1) 若F 1,F 2为闭集,则F 1∪f 2与F 1∩F 2都为闭集;(2) 若E 1,E 2为开集,则E 1∪E 2与E 1∩E 2都为开集;(3) 若F 为闭集,E 为开集,则F\F 为闭集,E\F 为开集.6. 试把闭区域套定理推广为闭集套定理,并证明之.7. 证明定理16.4(有限覆盖定理):8. 证明: 若1°y)f(x,lim (0,0)y)(x,→存在且等于A;2°当y 在b 的某邻域内时,存在有(y)y)f(x,lim a x ϕ=→,则A y)f(x,lim lim a x b y =→→.9. 试应用ε-δ定义证明: 0y x y x lim 222(0,0)y)(x,=+→. 10. 叙述并证明: 二元函数极限存在的唯一性定理,局部有界性定理与局部保号性定理.11. 叙述并证明二元连续函数的局部保号性.12.设f(x,y)=()()⎪⎩⎪⎨⎧=+>≠++0y x 0,0p 0y x ,y x x 2222p 22试讨论它在(0,0)点的连续性.13. 设f(x,y)定义于闭矩形域S=[a,b]×[c,d],若f 对y 在[c,d]上处处连续.对x 在[a,b]上(且关于y)为一致连续,证明f 在S 上处处连续.14. 证明:若D ⊂R 2是有界闭域,f 为D 上连续函数,则f(D)不仅有界(定理16.8)而且是闭区间.15. 若一元函数ϕ(x)在[a,b]上连续,令f(x,y)=ϕ(x),(x,y)∈D=[a,b]×(-∞,+∞),试讨论f 在D 上是否连续?是否一致连续?16. 设(x,y)=x y11-,(x,y)∈D=[)[)1,01,0⨯,证明f 在D 上不一致连续.17. 设f 在R 2上分别对每一自变量x 和y 是连续的,并且每当固定x 时f 对y 是单调的,证明f 是R 2上的二元连续函数.二、计算题1.判断下列平面点集,哪些是开集、闭集、有界集或区域？并分别指出它们的聚点与界点。
第十六章多元函数的极限与连续
第十六章多元函数的极限与连续第一篇：第十六章多元函数的极限与连续第十六章多元函数的极限与连续(1 0 时)§1平面点集与多元函数(3 时)一.平面点集:平面点集的表示: E={(x,y)|(x,y)满足的条件}.1.常见平面点集:⑴ 全平面和半平面: {(x,y)|x≥0}, {(x,y)|x>0}, {(x,y)|x>a}, {(x,y)|y≥ax+b}等.⑵矩形域: [a,b]⨯[c,d], {(x,y)|x|+|y|≤1}.⑶圆域: 开圆, 闭圆, 圆环.圆的个部分.极坐标表示, 特别是{(r,θ)|r≤2acosθ}和{(r,θ)|r≤2asinθ}.⑷角域: {(r,θ)|α≤θ≤β}.⑸简单域:X-型域和Y-型域.2.邻域:圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域, 空心方邻域与集{(x,y)|0<|x-x0|<δ ,0<|y-y0|<δ}的区别.二.点集的基本概念:1.内点、外点和界点：集合E的全体内点集表示为intE, 边界表示为∂E.集合的内点∈E, 外点∉E, 界点不定.2.聚点和孤立点: 孤立点必为界点.例1 确定集E={(x,y)|3.开集和闭集: 1≤(x-1)2+(y+2)2<4 }的内点、外点集、边界和聚点.intE=E时称E为开集,E的聚点集⊂E时称E为闭集.存在非开非闭集.R2和空集φ为既开又闭集.4.开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域.5.有界集与无界集:6.点集的直径d(E)：两点的距离ρ(P1 , P2).7.三角不等式：5|x1-x2|（或|y1-y2|）≤(x1-x2)2+(y1-y2)2≤ |x1-x2|+|y1-y2|.三.点列的极限:设Pn=(xn , yn),P0=(x0 , y0).定义limPn=P0的定义(用邻域语言).n→∞例2(xn , yn)→(x0 , y0)⇔xn→x0,yn→y0,(n→∞).例3 设P0为点集E的一个聚点.则存在E中的点列{ Pn }, 使limPn=P0.n→∞四.R2中的完备性定理:1.Cauchy收敛准则:先证{(xn , yn)}为Cauchy列⇔{ xn}和{ yn}均为Cauchy列.2.闭集套定理:[1]P89.3.聚点原理: Weierstrass聚点原理，列紧性.4.有限复盖定理:五.二元函数:1.二元函数的定义、记法、图象：2.定义域：例4 求定义域：ⅰ>f(x,y)=3.有界函数:4.n元函数:Ex[1]P92—931—8.9-x2-y2x2+y2-1;ⅱ>f(x,y)=lny.2ln(y-x+1) §2二元函数的极限(3 时)一.二元函数的极限:1.二重极限limf(P)=A的定义:也可记为P→P0P∈D(x,y)→(x0,y0)limf(x,y)=A或x→x0y→y0limf(x,y)=A146例1 用“ε-δ”定义验证极限(x,y)→(2,1)lim(x2+xy+y2)=7.[1]P94 E1.xy2=0.例2 用“ε-δ”定义验证极限 lim2x→0x+y2y→0⎧x2-y2,(x,y)≠(0,0),⎪xy22例3 设f(x,y)=⎨x+y⎪0 ,(x,y)=(0,0).⎩证明(x,y)→(0,0)limf(x,y)=0.(用极坐标变换)[1]P94 E2.P→P0P∈ETh 1 limf(P)=A⇔对D的每一个子集E ,只要点P0是E的聚点,就有limf(P)=A.P→P0P∈D推论1 设E1⊂D,P0是E1的聚点.若极限limf(P)不存在, 则极限limf(P)也不存在.P→P0P∈E1P→P0P∈D推论 2 设E1,E2⊂D,P0是E1和E2的聚点.若存在极限limf(P)=A1,limf(P)=A2, P→P0P∈E1P→P0P∈E2但A1≠A2,则极限limf(P)不存在.P→P0P∈D推论3 极限limf(P)存在⇔对D内任一点列{ Pn },Pn→P0但Pn≠P0,数列{f(Pn)}P→P0P∈D收敛.2方向极限:方向极限lim+f(x0+ρcosθ ,y0+ρsinθ)=A的定义.ρ→0通常为证明极限limf(P)不存在,可证明沿某个方向的极限不存在,或证明沿某两P→P0个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关;或沿两条特殊的路径的极限存在而不相等.但应注意, 沿任何方向的极限存在且相等⇒/二重极限存在(以下例5).⎧xy,(x,y)≠(0,0),⎪22f(x,y)不存在.例4 设f(x,y)=⎨x+y 证明极限lim(x,y)→(0,0)⎪0 ,(x,y)=(0,0).⎩(考虑沿直线y=kx的方向极限).[1]P95 E3.⎧例5 设f(x,y)=⎨⎩1,0,当0<y<x2,-∞<x<+∞时，其余部分.证明极限(x,y)→(0,0)limf(x,y)不存在.[1]P95 E4.147二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质.例6 求下列极限: ⅰ>(x,y)→(0,0)limx2ysinxylim;ⅱ>;(x,y)→(3,0)yx2+y2xy+1-1ln(1+x2+y2);ⅳ>lim.22(x,y)→(0,0)xyx+yf(x,y)=+∞的定义:ⅲ>(x,y)→(0,0)lim3．极限(x,y)→(x0,y0)lim其他类型的非正常极限，(x,y)→无穷远点的情况.例7验证(x,y)→(0,0)lim1=+∞.222x+3yEx[1]P99—1001⑴—⑹，4，5.二.累次极限:1.累次极限的定义: 定义.例8 设f(x,y)=xy, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.[1]P97 E6.22x+yx2-y2例9 设f(x,y)=2, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.2x+y例10 设f(x,y)=xsin11+ysin, 求在点(0 , 0)的两个累次极限与二重极限.yx2.二重极限与累次极限的关系:⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等.(例9)⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在.例如函数f(x,y)=xsin1y在点(0 , 0)的情况.⑶ 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在.(例10)⑷ 两个累次极限存在(甚至相等)⇒/二重极限存在.(参阅例4和例8).综上, 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系.148Th 2 若全面极限(x,y)→(x0,y0)limf(x,y)和累次极限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在,则x→x0y→y0必相等.(证)[1]P98.推论1 二重极限和两个累次极限三者都存在时, 三者相等.注: 推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.推论2 两个累次极限存在但不相等时, 全面极限不存在.注: 两个累次极限中一个存在,另一个不存在⇒/全面极限不存在.参阅⑵的例.Ex[1]P99 2§3二元函数的连续性(2 时)一．二元函数的连续概念：由一元函数连续概念引入.1.连续的定义:定义用邻域语言定义连续.注: 函数f(x,y)有定义的孤立点必为连续点.⎧⎪xy例1 设f(x,y)=⎪22 ,x2+y2≠0 ,⎨x+y⎪m⎪⎩1+m2 ,x2+y2=0.证明函数f(x,y)在点(0 , 0)沿方向y=mx连续.例1 设f(x,y)=⎧⎨1 ,0<y<x2,-∞<x<+∞ ,0 ,其他.([1]P101)⎩证明函数f(x,y)在点(0 , 0)不全面连续但在点(0 , 0)f对x和y分别连续.2.函数的增量: 全增量、偏增量.用增量定义连续性.3.函数在区域上的连续性.4.连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性.(仅证复合函数连续性[1]P102).二.一致连续性:定义.三.有界闭区域上连续函数的性质:1.有界性与最值性.(证)2.一致连续性.(证)3.介值性与零点定理.(证)149Ex[1]P104—1051 ⑴—⑸，2，4，5.150第二篇：多元函数的极限与连续数学分析第16章多元函数的极限与连续计划课时：0 时第16章多元函数的极限与连续(1 0 时)§ 1平面点集与多元函数一.平面点集:平面点集的表示: E={(x,y)|(x,y)满足的条件}.余集Ec.1.常见平面点集:⑴全平面和半平面: {(x,y)|x≥0}, {(x,y)|x>0}, {(x,y)|x>a}，{(x,y)|y≥ax+b}等.⑵ 矩形域: [a,b]⨯[c,d], {(x,y)|x|+|y|≤1}.⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆, 圆环，圆的一部分.极坐标表示, 特别是{(r,θ)|r≤2acosθ}和{(r,θ)|r≤2asinθ}.⑷ 角域: {(r,θ)|α≤θ≤β}.⑸ 简单域: X-型域和Y-型域.2.邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集{(x,y)|0<|x-x0|<δ , 0<|y-y0|<δ}的区别.3．点与点集的关系（集拓扑的基本概念）:（1）内点、外点和界点：内点：存在U(A)使U(A)⊂E集合E的全体内点集表示为intE,.外点：存在U(A)使U(A)I E=φ界点：A的任何邻域内既有E的点也有不属于E的点。
数学分析16多元函数的极限与连续总练习题
第十六章 多元函数的极限与连续总练习题1、设E ⊂R 2是有界闭集，d(E)为E 的直径. 证明：存在P 1,P 2∈E ， 使得ρ(P 1,P 2)=d(E).证：由d(E)=EQ ,P sup ∈ρ(P ,Q)知，对εn =n 1, ∃ P n ,Q n ∈E ，使d(E)<ρ(P n ,Q n )+n1.{P n },{Q n }均为有界闭集E 中的点列，从而有收敛子列{Pn k },{Qn k }， 记Pn k →P 1, Qn k →P 2，k →∞. ∵ρ(Pn k ,Qn k )≤d(E)<ρ(Pn k ,Qn k )+kn 1， 令k →∞得ρ(P 1,P 2)≤d(E)≤ρ(P 1,P 2)，即d(E)=ρ(P 1,P 2). 又∵E 为闭集，∴P 1,P 2∈E ，得证!2、设f(x,y)=x y 1,r=22y x +,k>1，D 1={(x,y)|kx ≤y ≤kx}, D 2={(x,y)|x>0,y>0}. 分别讨论i=1,2时极限iD )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)是否存在，为什么？解：1D )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)存在；2D )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)不存在. 理由如下：(1)当(x,y)∈D 1时，kk 12+|x|≤r=22y x +≤2k 1+|x|，∴由r →+∞可得x →∞，又|f(x,y)|=|x y 1|≤2xk→0, x →∞， ∴1D )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)=1D )y ,x (x lim ∈∞→f(x,y)=0存在. (2)对y=x k, 当x>0时，y>0，∴(x,xk )∈D 2，且 当x →∞时，r=22y x +=22x k x +→+∞，但f(x,y)=x y 1=k1，即极限2D )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)与k 的取值有关，∴2D )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)不存在.3、设0y y lim →φ(y)=φ(y 0)=A, 0xx lim →ψ(x)= ψ(x 0)=0, 且在(x 0,y 0)附近有 |f(x,y)-φ(y)|≤ψ(x). 证明)y ,x ()y ,x (00lim→f(x,y)=A.证：∵0y y lim →φ(y)=φ(y 0)=A, ∴∀ε>0，∃δ1>0，使得当|y-y 0|<δ1时，就有 |φ(y)-A|<2ε；∵0x x lim →ψ(x)=ψ(x 0)=0, ∴对上述ε>0，∃δ2>0，使当|x-x 0|<δ2时，就有|ψ(x)|<2ε；又在(x 0,y 0)附近有|f(x,y)-φ(y)|≤ψ(x)， ∴∃δ=min{δ1,δ2}，使|y-y 0|<δ, |x-x 0|<δ时，|f(x,y)-φ(y)|≤ψ(x)<2ε， 从而有|f(x,y)- A|≤|f(x,y)-φ(y)|+|φ(y)-A|<2ε+2ε=ε. ∴)y ,x ()y ,x (00lim→f(x,y)=A.4、设f 在R 2上连续，α是任一实数，E={(x,y)|f(x,y)>α,(x,y)∈R 2}; F={(x,y)|f(x,y)≥α,(x,y)∈R 2}，证明E 是开集，F 是闭集.证：(1)对任一点(x 0,y 0)∈E ，f(x 0,y 0)-α>0. ∵f 在R 2上连续，由保号性知， 存在P 0(x 0,y 0)的某邻域U(P 0)，使当(x,y)∈U(P 0)时，f(x,y)-α>0，即 (x,y)∈E, 从而U(P 0)⊂E, ∴E 为开集.(2)设P 0(x 0,y 0)是F 的任一聚点，则存在F 的互异点列{P n }，使 P n →P 0, n →∞，由f(P n )=f(x n ,y n )≥α, n=1,2,…，且f(x,y)在P 0连续知， f(P 0)=∞→n lim f(P n )≥α，即P 0∈F ，∴F 为闭集.5、设f 在有界开集E 上一致连续；证明： (1)可将f 连续延拓到E 的边界；(2)f 在E 上有界. 证：记∂E 为E 的边界，Ē=E ∪∂E ，若P ∈∂E ，则对任一n ，U(P;n 1)∩E ≠Ø. 任取P n ∈U(P;n1)∩E ，则 P n →P , n →∞，且P n ∈E(n=1,2,…). 由f 在E 上一致连续可知， ∀ε>0, ∃δ>0，当A,B ∈E 且ρ(A,B)< δ时，|f(A)-f(B)|< ε. 于是对上述的δ>0，存在N, 当m,n>N 时，ρ(P m ,P n )<δ，从而|f(P m )-f(P n )|<ε. ∴{f(P n )}收敛，即∞→n lim f(P n )存在.若P n ,Q n ∈E (n=1,2,…)且∞→n lim P n )=∞→n lim Q n =P ，则存在N,使当n>N 时，ρ(P n ,P)<2δ且ρ(Q n ,P)<2δ，从而当n>N 时，ρ(P n ,Q n )≤ρ(P n ,P)+ρ(Q n ,P)<δ， ∴|f(P n )-f(Q n )|<ε，∴∞→n lim f(P n )=∞→n lim f(Q n ).∴对每个P ∈∂E ，存在唯一的实数∞→n lim f(P n )与之对应. 定义：F(P)=⎩⎨⎧∈→∈∂∈∞→E P )P (f P)P ，E E(P P )P (f lim n n n n ，，则F 为定义在Ē上的函数. 显然F 是f 到∂E 的一个延拓.(1)设P 0∈Ē，则P 0∈E 或P 0∈∂E. 当P 0∈E 时，由E 为开集知， 存在U(P 0)⊂E ，于是当P ∈U(P 0)时，F(P)=f(P). ∵f 在P 0连续， 从而0P P lim →F(P)=0P P lim →f(P)=f(P 0)=F(P 0)，∴F 在P 0连续.当P 0∈∂E 时，F(P 0)=∞→n lim f(P n )，其中{P n }为E 中趋于P 0的点列，对E 中任一趋于P 0的点列{Q n }，有0P P lim →F(Q n )=0P P lim →f(Q n )=0P P lim →f(P n )=F(P 0)，由归结原则知存在0P P lim →F(P)=F(P 0). ∴F 在P 0连续. ∴F 在Ē上连续.(2)∵Ē是有界闭集，且F 在Ē上连续，从而F 在Ē上有界， ∴F 在E 上有界，又在E 上有F=f ，∴f 在E 上有界.6、设u=φ(x,y)与v=ψ(x,y)在xy 平面中的点集E 上一致连续； φ与ψ把点集E 映射为uv 平面中的点集D ，f(u,v)在D 上一致连续,证明：复合函数f[φ(x,y),ψ(x,y)]在E 上一致连续.证：设P(u 1,v 1), Q(u 2,v 2)为D 上任意两点，由f(u,v)在D 上一致连续知， ∀ε>0, ∃δ>0, 只要|u 1-u 2|<δ, |v 1-v 2|<δ, 就有|f(u 1,v 1)-f(u 2,v 2)|< ε. 又u=φ(x,y)与v=ψ(x,y)在xy 平面中的点集E 上一致连续；∴上述δ>0, ∃η>0, 使得当(x 1,y 1),(x 2,y 2)∈E 且|x 1-x 2|<η, |y 1-y 2|<η时， 就有 |φ(x 1,y 1)-φ(x 2,y 2)|<δ, |ψ(x 1,y 1)-ψ(x 2,y 2)|<δ, 从而有 |f(φ(x 1,y 1),ψ(x 1,y 1))-f(φ(x 2,y 2), ψ(x 2,y 2))|<ε， 即复合函数f[φ(x,y),ψ(x,y)]在E 上一致连续.7、设f(t)在区间(a,b)内连续可导，函数F(x,y)=y-x f(y)-f(x )(x ≠y), F(x,x)=f ’(x)，定义在区域D=(a,b)×(a,b)内，证明：对任何c ∈(a,b)有)c ,c ()y ,x (lim→F(x,y)=f ’(c).证：∵f(t)在区间(a,b)内连续可导，∴当(x,y)∈D 且x ≠y 时， 在[x,y]或[y,x]上应用格拉朗日定理知：存在ξ∈[x,y]或[y,x]，使得 F(x,y)=y-x f(y)-f(x )=f ’(ξ). 又F(x,x)=f ’(x)，可见对任意(x,y)∈D ， 总存在ξ∈[x,y]或[y,x]，使得F(x,y)=f ’(ξ).∵(x,y)→(c,c)时，ξ→c ，且f ’(t)在c 处连续，∴)c ,c ()y ,x (lim →F(x,y)=f ’(c).。
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第十六章 多元函数的极限与连续习题课一 概念叙述题1.叙述0lim ()P P f P A →=，其中0,P P 的坐标为00(,),(,)x y x y ．lim ()0,0,P P f P A εδ→=⇔∀>∃>当00(;)P U P D ∈I δ时，有()f P A ε-<（方形邻域）0,0,εδ⇔∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<，00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-<（圆形邻域）0,0,εδ⇔∀>∃>当0δ<，有(,)f x y A ε-<．2. 叙述00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →=+∞，00(,)(,)lim(,)x y x y f x y →=-∞，00(,)(,)lim(,)x y x y f x y →=∞的定义．000000(,)(,)lim(,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=+∞⇔∀>∃>-<-<≠>当时，有0,0,0(,)G f x y Gδδ⇔∀>∃><<>当时，有000000(,)(,)lim(,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=-∞⇔∀>∃>-<-<≠<-当时，有000000(,)(,)lim(,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=∞⇔∀>∃>-<-<≠>当时，有．3.叙述0(,)(,)lim (,)x y y f x y A →+∞=的定义．00(,)(,)lim(,)0,0,0,,(,)x y y f x y A M x M y y f x y A εδδε→+∞=⇔∀>∃>∃>>-<-<当时，有4.叙述0(,)(,)lim (,)x y x f x y →-∞=+∞的定义．00(,)(,)lim(,)0,0,0,,(,)x y x f x y G M x x y M f x y G δδ→-∞=+∞⇔∀>∃>∃>-<<->当时，有5. 叙述(,)(,)lim (,)x y f x y →-∞+∞=-∞的定义．(,)(,)lim (,)0,0,,(,)x y f x y G M x M y M f x y G →-∞+∞=-∞⇔∀>∃><-><-当时，有．注：类似写出(,)(,)lim(,)x y f x y →=VW d 的定义，其中d 取,,,A ∞+∞-∞，∆取0,,,x ∞+∞-∞，W 取0,,,y ∞+∞-∞．6.叙述f 在点0P 连续的定义．f 在点0P 连续⇔ε∀， 0δ∃>，只要0(;)P U P D δ∈I ，就有0()()f P f P ε-<⇔ε∀， 0δ∃>，当0x x δ-<，0y y δ-<，就有00(,)(,)f x y f x y ε-<⇔ε∀，0δ∃>，当2200()()x x y y δ-+-<，就有00(,)(,)f x y f x y ε-<． 7.叙述f 在D 上一致连续的定义．f 在D 上一致连续()0,,,P Q D εδε⇔∀>∃∀∈只要(,)P Q ρδ<，就有()().f P f Q ε-<8.叙述f 在D 上不一致连续的定义．f 在D 上不一致连续00,,,P Q D δδεδ⇔∃>∀∃∈尽管(,)P Q δδρδ<，但有0()().f P f Q δδε-≥二 疑难问题与注意事项1. 00{(,)|0,0}x y x x y y δδ<-<<-<表示空心邻域吗？答：不是．0000{(,)|,,(,)(,)}x y x x y y x y x y δδ-<-<≠只是00{(,)|,}x y x x y y δδ-<-<去掉一点00(,)x y ，而00{(,)|0,0}x y x x y y δδ<-<<-<是00{(,)|,}x y x x y y δδ-<-<去掉了两条线段，000{(,)|,}x y x x y y y δδ=-<<+，000{(,)|,}x y y y x x x δδ=-<<+．2. E 的界点是E 的聚点吗？答：不一定，E 的界点还可能是E 的孤立点．3. E 的聚点一定属于E 吗？答：不一定，例如，22{(,)|14}D x y x y =≤+<，满足224x y +=的一切点也是D 的聚点，但它们都不属于D ．注 E 的内点，孤立点一定属于E ，E 的聚点，界点可能属于E ，也可能不属于E ，E 的外点一定不属于E ．4.区域上每一点都是聚点吗？答 区域上每一点都是聚点，因为区域是连通的开集，既然连通，就能保证，区域上每一点的邻域有无穷多个点．5. 12x x -2212()x x y y +-12（-）1212x x y y -+-之间有什么关系？ 答：()221212121212()x x y y x x y y x x y y --≤+-≤-+-12或（-）． 6.用方形邻域证明00(,)(,)lim (,).x y x y f x y A →=的思路是什么？答：证明00(,)(,)lim (,).x y x y f x y A →=怎么证呢？------关键也是找δ.（用方形邻域的思路0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<，00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-<.）当00(,)(,)x y x y →，有00(,)(,)x y x y ≠，把(,)f x y A -化简为下述形式:()()00(,),,f x y A x y x x x y y y ϕψ-=-+-（注意一定要出现0x x -，0y y -）.然后将()(),,,x y x y ϕψ适当放大，有时先要限定01x x δ-<，01y y δ-<,估算得()(),,,x y M x y N ϕψ≤≤,则（最综化简到00(,)f x y A M x x N y y -≤-+-这个形式）；0>∀ε，要使(,)f x y A -<ε，只要()00M x x N y y M N -+-<+δ<ε，即要M N εδ<+，取1min(,)M Nεδ=δ+，于是0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<，00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-<.7. 证明判断二元函数(),f x y 在(,)(0,0)x y →时二重极限不存在？ 答：1）当动点(,)x y 沿着直线y mx =而趋于定点(0,0)时，若(,)(0,0)lim(,)x y y mxf x y →=值与m有关，则二重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在．2）令cos x r θ=，sin y r θ=，0lim (cos ,sin )r f r r θθ→与θ有关，则二重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在．注意 若0lim (cos ,sin )r f r r θθ→与θ无关，则二重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →存在．3）找自变量的两种变化趋势，使两种方式下极限不同． 4）证明两个累次极限存在但不相等．8. 当动点(,)x y 沿着直线y mx =而趋于定点(0,0)时，若(,)(0,0) lim(,)x y y mxf x y →=值与m 无关，能说明二重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →存在吗？答：不能，因为所谓二元函数存在极限，是指(,)x y 以任何方式趋于(0,0)时，函数(,)f x y 都无限接近于同一个常数，动点(,)x y 沿着直线y mx =而趋于定点(0,0)这只是一种方式，还有其它方式．9.计算二元函数极限有哪些方法？1) 利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小； 例 求22(,)(0,0)1lim ()sinx y x y x y→++． 解 因为(,)(0,0)lim ()0x y x y →+=，而221sin1x y≤+，利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小，即知22(,)(0,0)1lim ()sin0x y x y x y→+=+．2）利用变量替换化为已知极限或化为一元函数的极限；例 2222(,)(0,0)sin()lim x y x y x y→++． 解 利用变量替换．令22ux y =+，当(,)(0,0)x y →时，有0u →，因此2222(,)(0,0)0sin()sin lim lim 1x y u x y ux y u→→+==+． 3）利用极坐标变换．令cos x r θ=，sin y r θ=，如果(cos ,sin )f r r θθ沿径向路径关于[]0,2θπ∈一致成立，则(,)(0,0)lim (,)lim (cos ,sin )x y r f x y f r r θθ→→=；例 求222(,)(0,0)lim x y x yx y →+．解 利用极坐标变换．令cos x r θ=，sin y r θ=，当(,)(0,0)x y →时，有0r →，因此2322222(,)(0,0)00cos sin lim lim lim cos sin 0x y r r x y r r x y rθθθθ→→→===+． 4）利用不等式，使用夹逼准则．例 2244(,)(,)limx y x y x y →+∞+∞++ 解 因为2222442222110222x y x y x y x y y x ++≤≤≤++，而22(,)(,)11lim 022x y yx →+∞+∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 因此2244(,)(,)lim 0x y x y x y →+∞+∞+=+．5）初等变形求极限，如1∞极限，凑()1e +→WW 1，0→W． 例2(,)(,0)1lim1x x yx y x +→+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭解 2(,)(,0)lim(,)(,0)(,)(,0)11lim 1lim 1x y x x xxx yx yx yx y x y ee x x →+∞+++→+∞→+∞⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫+=+==⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭．10．重极限与累次极限有什么关系？答：（1）重极限与累次极限没有必然的蕴含关系（除了若两个累次极限存在但不相等能推重极限存在）；（2）若两个重极限与累次极限都存在时，则三者相等；（3）若重极限和其中一个累次极限存在时则这两者相等，另一个累次极限可能存在可能不存在．（4）两个累次极限可能都存在，可能都不存在，可能一个存在一个不存在，都存在时可能相等，也可能不相等．11.二元函数(),f x y 在()00,x y 连续，与一元函数()0,f x y 在0x 连续，一元函数()0,f x y 在0y 连续有什么关系？ 答反例 二元函数1, 0,(,)0, 0xy f x y xy ≠⎧=⎨=⎩在原点处显然不连续．但由(0,)(,0)0,f y f x ==因此在原点处f 对x 和对y 分别都连续． 三 典型例题1．求下列平面点集的内点、边界点、聚点、孤立点形成的集合．（1）()22,144y E x y x ⎧⎫=≤+<⎨⎬⎩⎭；（2）()[]{},,0,1E x y x y =都是中的有理数； （3）(){},,E x y x y =都是整数；（4）()1,sinE x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭． 解：（1）E 的内点集合是()22,144y E x y x ⎧⎫=<+<⎨⎬⎩⎭，边界点集合是()2222,1444y y E x y x x ⎧⎫=+=+=⎨⎬⎩⎭或，聚点集合是()22,144y E x y x ⎧⎫=≤+≤⎨⎬⎩⎭．没有孤立点．（2）E 没有内点，（因为E 中任意一点的邻域既含有有理数，也含有无理数）； 边界点集合是[][]0,10,1⨯．聚点集合是[][]0,10,1⨯，没有孤立点．（3）E 没有内点，（因为E 中任意一点的空心邻域当距离很小时，不含整数点） 边界点集合是E ，没有聚点，孤立点集合是E ． （4）E 没有内点，聚点是()1,sinE x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭U (){},0,11x y x y =-≤≤，没有孤立点，界点是()1,sinE x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭U (){},0,11x y x y =-≤≤．2． 证明0000(,)(,)(),()n n n n x y x y n x x y y n →→∞⇔→→→∞．证：（⇒）由于00(,)(,)()n n x y x y n →→∞，即对0ε∀>，N Z +∃∈，当n N >时ε<，因此有0||n x x ε-<，0||n y y ε-<<，即00,()n n x x y y n →→→∞．（⇐）由于00,()n n x x y y n →→→∞，即对0ε∀>，N Z +∃∈，当n N >时有0||2n x x ε-<，0||2n y y ε-<，从而有00n n x x y y ε-+-<，即 00(,)(,)()n n x y x y n →→∞．3．（1）举出两个累次极限存在，但不相等的例子． （2）举出两个累次极限存在，且相等的例子． （3）举出两个累次极限一个存在一个不存在的例子． （4）举出两个累次极限都不存在的例子． 解：（1）例如(,)x yf x y x y-=+在(0,0)点的两个累次极限存在，但不相等． 00lim limlim11x y x x y x y →→→-==+，()000lim lim lim 11y x y x yx y →→→-=-=-+．（2）例如22(,)xyf x y x y=+在(0,0)点的两个累次极限存在，且相等． 2200limlimlim00x y x xy x y →→→==+，2200lim lim 0y x xyx y →→=+． （3）例如1(,)sinf x y x y=在(0,0)点只有一个累次极限存在． 001limlim sin x y x y →→⎛⎫ ⎪⎝⎭不存在，001limlim sin 0y x x y →→⎛⎫= ⎪⎝⎭． （4）例如11(,)sinsin f x y x y y x=+在(0,0)点两个累次极限都不存在． 注 两个累次极限可能都存在，可能都不存在，可能一个存在一个不存在，都存在时可能相等，也可能不相等．4．试作函数(),f x y ，使当0x →，0y →时(1)两个累次极限存在而重极限不存在； (2)两个累次极限不存在而重极限存在； (3)重极限与累次极限都不存在；(4)重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在． 解（1）22(,)xyf x y x y =+，两个累次极限存在（见上题），但()()2222222,0,00 lim lim 1x y x y kxxy kx kx y x k x k →→===+++， 因为与k 有关系，因此重极限不存在． （2）11(,)sinsin f x y x y y x=+，在(0,0)点两个累次极限都不存在，但重极限存在 ()(),0,011lim sin sin =0x y x y y x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭． （3）2211(,)f x y x y =+，在(0,0)点的两个累次极限，重极限都不存在． （4）1(,)sinf x y x y =或1(,)sin f x y y x=． 变形：当x →∞，y →∞时，有10x→，10y →，（1）222211(,)11xyx y f x y x yx y ==++； （2）11(,)sin sin f x y y x x y=+； （3）22(,)f x y x y =+；（4）1(,)sin f x y y x=． 5. 讨论二元函数22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0),x x y f x y x y x y α⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩在(0,0)点的连续性．解 令cos x r θ=，sin y r θ=，222(,)(0,0)0cos lim lim x y r x r x y r αααθ→→=+当2α>，根据无穷小量乘有界量为无穷小量知()22(,)(0,0)lim00,0x y x f x y α→==+，因此(,)f x y 在(0,0)点连续；当2α=，由极限值与θ有关，二重极限不存在，因此(,)f x y 在(0,0)点不连续；当2α<，由20cos lim r r r ααθ→不存在，则二重极限不存在，因此(,)f x y 在(0,0)点不连续．6．设(,)f x y 定义在闭矩形域[,][,].S a b c d =⨯若f 对y 在[,]c d 上处处连续,对x 在[,]a b (且关于y )为一致连续.证明f 在S 上处处连续.分析：要证f 在S 上处处连续，只要证()00,x y S ∀∈，f 在()00,x y 连续，即证ε∀，0δ∃>，当0x x δ-<，0y y δ-<，就有00(,)(,)f x y f x y ε-<，因为条件中有一元函数连续，因此要出现偏增量，即证ε∀，0δ∃>，当0x x δ-<，0y y δ-<，0000(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y ε-+-<（因为条件是f 对y 在[,]c d 上处处连续,对x 在[,]a b (且关于y )为一致连续，因此插入0(,)f x y .证明：因为f 对y 在[,]c d 上处处连续，则()0,f x y 在0y 连续，于是ε∀，0δ∃>， 当0y y δ-<，就有000(,)(,)2f x y f x y ε-<.因为对x 在[,]a b (且关于y )为一致连续，则有ε∀，0δ∃>，当0x x δ-<（对任意y就有0(,)(,)2f x y f x y ε-<.因此ε∀，0δ∃>，当0x x δ-<，0y y δ-<，就有00000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y ε-+-<-+-<.7. 设00lim ()()y y y y A ϕϕ→==，00lim ()()0x x x x ψψ→==，且在00(,)x y 附近有(),()()f x y y x ϕψ-≤，证明()()00,,lim (,)x y x y f x y A →=.分析：要证()()00,,lim(,)x y x y f x y A →=，只要证0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<，00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-<.而(),f x y 与()y ϕ有关系，因此就要插入()y ϕ，即证(,)()()f x y y y A ϕϕε-+-<.证 由00lim ()()y y y y A ϕϕ→==得，0,0,εδ∀>∃>当0y y δ-<，有()2y A εϕ-<.由00lim ()()0x x x x ψψ→==得，0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，有()2x εψ<.因为在00(,)x y 附近有(),()()f x y y x ϕψ-≤，于是当0x x δ-<，0y y δ-<有(),()2f x y y εϕ-<.因此0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<有(,)()()(,)()()f x y y y A f x y y y A ϕϕϕϕε-+-≤-+-<，因此()()00,,lim (,)x y x y f x y A →=.8. f 在E 上一致连续的充要条件是：对E 中的每一对点列{}{},k k P Q 如果()lim ,0k k k P Q ρ→∞=，便有()()lim 0k k k f P f Q →∞-=⎡⎤⎣⎦. 证 必要性 f 在E 上一致连续()0,,,P Q D εδε⇔∀>∃∀∈只要(,)P Q ρδ<，就有()().f P f Q ε-<()lim ,0k k k P Q ρ→∞=⇒对上述δ，(),,,k k N k N P Q ρδ∃∀><有，因此()().k k f P f Q ε-<即()()lim 0k k k f P f Q →∞-=⎡⎤⎣⎦. 充分性 反证法，设f 在D 上不一致连续00,,,P Q D δδεδ⇔∃>∀∃∈尽管(,)P Q δδρδ<，但有0()().f P f Q δδε-≥则取1,1,2,,k k δ==L 总有相应的k k P Q D ∈、，虽然1(,)k k P Q kρ<，但是 0()().k k f P f Q ε-≥即()lim ,0k k k P Q ρ→∞=，()()lim 0k k k f P f Q →∞-≠⎡⎤⎣⎦，矛盾.因此f 在E 上一致连续.。