2多元函数的极限与连续性-200712
多元函数的极限与连续
多元函数的极限与连续在微积分学中，我们学习了一元函数的极限与连续，而对于多元函数来说，也存在着与之对应的概念。
本文将探讨多元函数的极限与连续，并分析其重要性和应用。
一、多元函数的极限与一元函数类似，多元函数的极限也是通过变量自变量趋于某一值时的函数值的极限值来定义的。
具体而言，对于二元函数f(x, y)，当点(x₀, y₀)逼近某一点(x, y)时，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0＜√((x-x₀)²+(y-y₀)²)＜δ时，有|f(x,y)-f(x₀,y₀)|＜ε成立，则称f(x, y)在点(x₀, y₀)处有极限，记作lim┬(x,y)→(x₀,y₀) f(x,y) = L其中，L为函数的极限值。
需要注意的是，与一元函数不同，多元函数的极限存在多个方向，也即(x, y)可以从任意非常靠近(x₀, y₀)的点逼近。
二、多元函数的连续对于多元函数f(x, y)来说，当其在某一点(x₀, y₀)处既存在极限，且该极限等于该点的函数值f(x₀, y₀)，则称函数在该点连续。
换言之，函数在该点连续意味着函数值与极限值的两者相等。
相比一元函数，多元函数的连续需要满足更多的条件。
一元函数的连续只需要满足极限存在即可，而多元函数还需要考虑极限值的一致性。
具体而言，对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0＜√((x-x₀)²+(y-y₀)²)＜δ时，有|f(x,y)-f(x₀,y₀)|＜ε成立。
三、多元函数的极限与连续的重要性多元函数的极限与连续是微积分学中的重要概念，具有以下重要性：1. 理论基础：多元函数的极限与连续是进一步研究微分、积分以及微分方程的基础。
只有理解了多元函数的极限与连续，才能更好地理解微积分学的其他概念。
2. 应用于实际问题：多元函数的极限与连续在各个学科和领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，多元函数的极限与连续用于描述粒子的运动和场的变化；在经济学中，多元函数的极限与连续用于优化问题和边际分析；在工程学中，多元函数的极限与连续用于建模和优化设计等。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限与连续性在微积分学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念和理论。
本文将介绍多元函数的极限与连续性的定义、性质和相关定理，并通过实例和推导来加深理解。
一、多元函数的极限多元函数是指自变量为多个变量的函数，例如f(x, y)。
在研究多元函数的极限时，需要先定义自变量的趋近方式。
我们定义自变量(x, y)趋近于(a, b)，并记为(x, y)→(a, b)，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当(x, y)离开点(a, b)的距离小于δ时，对应的函数值f(x, y)与极限L的差的绝对值小于ε。
即满足以下条件：|f(x, y) - L| < ε，当0 < √((x-a)² + (y-b)²) < δ时。
二、多元函数的连续性多元函数在某个点上的连续性是指这个函数在该点的值与其极限相同。
具体地，函数f(x, y)在点(a, b)连续的定义如下：lim (x, y)→(a, b) f(x, y) = f(a, b)。
三、多元函数的极限运算法则多元函数的极限与一元函数类似，也遵循一些运算法则，如极限的唯一性、四则运算法则和复合函数的极限等。
其中，极限的唯一性法则指出：如果(x, y)→(a, b)时，f(x, y)存在极限L，则这个极限L唯一确定。
四、多元函数连续性的充分条件在一元函数中，连续函数的充分条件是极限存在。
但是在多元函数中，连续函数的充分条件有所不同。
根据多元函数的极限运算法则，可以得到以下结论：1. 一元函数的连续构成了多元函数的局部连续性；2. 极限与连续性的传递性：如果f(x, y)在点(a, b)连续，g(u, v)在点(f(a, b), c)连续，则复合函数g[f(x, y)]在点(a, b)也连续。
五、多元函数连续性的局部性质与一元函数连续性一样，多元函数的连续性也具有局部性质。
具体地，如果多元函数f(x, y)在点(a, b)连续，则在点(a, b)的任意邻域内，f(x, y)仍然连续。
多元函数的极限与连续性判定
多元函数的极限与连续性判定在数学分析中，多元函数的极限与连续性是重要的概念，在研究函数的性质和求解问题时起着关键作用。
本文将介绍多元函数的极限和连续性的概念、判定条件以及相关性质。
一、多元函数的极限1. 极限的定义对于二元函数$f(x,y)$，当自变量$(x,y)$无限接近于某一点$(a,b)$时，函数值$f(x,y)$是否趋近于某一确定的值$L$，即$\lim_{(x,y) \to(a,b)}f(x,y)=L$。
2. 多元函数的极限存在判定条件(1) 二元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} < \delta$时，有$|f(x,y)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处的二重极限存在，记作$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=L$。
(2) 多元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x_1−a_1)^2+...+(x_n−a_n)^2} < \delta$时，有$|f(x_1,...,x_n)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x_1,...,x_n)$在点$(a_1,...,a_n)$处的$n$重极限存在，记作$\lim_{(x_1,...,x_n) \to(a_1,...,a_n)}f(x_1,...,x_n)=L$。
二、多元函数的连续性判定1. 连续性的定义对于二元函数$f(x,y)$，若在点$(a,b)$的某个邻域内，函数$f(x,y)$在该点处的极限存在且等于函数在该点处的函数值，即$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=f(a,b)$，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处连续。
02多元函数的极限与连续
f(x ) U a ,)(即 ,|f(x ) a |,则称
lim f(X)a
进
X X0
行
lim f(x)a.
xx0
整
理
现在进行形式上的推广
设 u f(X )X ,X 0为 的.聚点
若 0 , 0 ,当 X U ˆ ( X 点 0 ,) 时 ,
f(x ) U a ,)(即 ,|f(x ) a |,则称
lim f(x)a.
xx0
现在进行形式上的推广
回忆一元函数极限的概念的
uf(X )X X0为的聚点 设 yf(x )x Ix ,0为 I的.聚点
X U ˆ(X0,)
若 0 , 0 ,当 x U ˆ ( x 0 , 点 ) 时 ,
若 X l iX 0m (X )0 ,则(称 X )为 X X 0时的.无
应用这个性质,
lifm (X ) a f(X ) a 可将一元函数的
X X 0
极限运算法则和
其 ,X 中 U ˆ(X 0 )X ,l X i0m 0 .
性质推广到多元 函数中来.
例
求 lim x2 y2 .
x0 | x | | y |
y0
怎么办? 怎么办? 解 由于
0 x2 y2 x2 y2 | x | | y | |x|| y| |x|| y|
x2 y2 | x|| y| |x| | y|
而 lim (|x|| y|)0, 故由夹逼定理, 得 x0 y0 lim x2 y2 0 x0 | x | | y | y0
limy 2. x 0 yБайду номын сангаас2
多元函数的极限和连续性
多元函数的极限和连续性在高等数学中，多元函数的极限和连续性是比较基础的概念，对于学习后续的微积分、偏微分方程等内容都有重要的意义，因此本文将从多元函数极限和连续性的定义、求解及其应用等方面进行探讨和阐述。
一、多元函数的极限和连续性的定义在一元函数中，极限的概念是比较容易理解和推广的，而在多元函数中，由于独立变量的个数增加，问题变得更加复杂。
因此，我们需要重新定义多元函数的极限。
1. 多元函数的极限定义设$f(\boldsymbol{x})$是定义在某点$\boldsymbol{x_0}=(x_0,y_0, z_0, ...)$的某一邻域内的多元函数，$\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$是任一常数向量，那么当对于任意$\epsilon>0$，都存在$\delta>0$，使得当$0<\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}\Vert<\delta$时，都有$\vert f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x_0}+\boldsymbol{\alpha})\vert<\epsilon$成立，则称$\boldsymbol{x_0}$是$f(\boldsymbol{x})$的一个极限点，记作$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x_0}+\boldsym bol{\alpha})$。
可以看出，多元函数的极限与一元函数的极限相似，但是需要考虑的变量更多。
在多元函数中，只有当$\boldsymbol{x}$从任意方向趋近于$\boldsymbol{x_0}$时，$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})$才存在。
大学四年级多元函数的极限与连续性
大学四年级多元函数的极限与连续性在大学数学的学习过程中，多元函数是一个重要的概念。
多元函数的极限与连续性是其中一项重要的内容，它们对于理解和应用多元函数具有重要的意义。
一、多元函数的极限多元函数的极限是指当自变量趋向于某一特定值时，函数的取值会趋向于某一确定值。
与一元函数的极限类似，多元函数的极限同样可以通过数列的极限定义来进行讨论。
具体而言，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当自变量与目标点的距离小于δ 时，函数值与极限值的差的绝对值小于ε，那么我们就说函数在这个特定点有极限。
在研究多元函数的极限时，还需要考虑自变量趋于无穷大时的情况。
对于这种情况，我们需要更加精确地定义多元函数的收敛性。
常用的方法是使用ε-δ语言描述，即当自变量中至少有一个趋向于无穷大时，函数的极限可以通过引进新的变量来描述。
这样，当自变量趋于无穷大时，函数值的极限就可以用引进的新变量来表示。
二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指在函数定义域内，任意一点的极限与函数值是相等的。
与一元函数的连续性类似，多元函数的连续性也可以用ε-δ语言来进行描述。
具体而言，对于函数定义域内的任意一点，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当自变量与目标点的距离小于δ 时，函数值与极限值的差的绝对值小于ε，那么我们就称函数在这个特定点连续。
如果一个多元函数在其定义域内的每一个点都连续，那么我们就说这个函数是连续的。
连续函数在数学分析和应用中有着重要的地位，它们具有许多良好的性质，例如介值定理和最值定理等。
三、多元函数的极限与连续性的应用多元函数的极限与连续性在数学科学和实际问题中有着广泛的应用。
首先，在微积分中，多元函数的极限与连续性是理解和应用导数和积分的基础。
通过研究多元函数的极限，我们可以得到导数的定义和性质，并进一步研究微分方程和曲线积分等应用问题。
其次，在物理学和工程学中，多元函数的极限与连续性也具有重要的应用价值。
例如，研究物体在空气中的运动轨迹时，我们需要借助多元函数的极限与连续性来建立运动方程，并进一步求解问题。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限与连续性在数学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念。
本文将介绍多元函数的极限和连续性的定义，并探讨它们的性质和应用。
一、多元函数的极限多元函数的极限可以类比于一元函数的极限，但其定义稍有不同。
对于一个二元函数，我们将自变量表示为(x,y)，则当自变量趋近于某个点(a,b)时，函数值f(x,y)的极限记为：lim (x,y)→(a,b) f(x,y) = L其中，L为实数。
我们称函数f(x,y)在点(a,b)处具有极限L，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当(x,y)满足0< √((x-a)^2+(y-b)^2) < δ时，都有 |f(x,y)-L|<ε 成立。
类似地，对于一个三元函数，自变量表示为(x,y,z)，其极限定义与二元函数类似。
多元函数的极限有以下性质：1. 极限存在且唯一：如果一个多元函数在某点具有极限，那么它的极限是唯一的。
2. 有界性：如果一个多元函数在某点具有极限，则它在该点附近是有界的。
但需要注意，多元函数在整个定义域内有界不一定代表在每个点处都具有极限。
3. 加法性、乘法性：如果两个多元函数在某点都具有极限，则它们的和、差、积仍在该点处具有极限。
4. 复合函数的极限性质：多元函数的复合函数在某点处具有极限的条件是，内部函数在该点处具有极限，且外部函数在内部函数极限处连续。
二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在整个定义域内的连续性。
对于一个二元函数，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当(x,y)满足0<√((x-a)^2+(y-b)^2) < δ时，都有 |f(x,y)-f(a,b)|<ε 成立，那么我们称函数f(x,y)在点(a,b)处连续。
类似地，对于一个三元函数，连续性的定义也类似。
多元函数的连续性具有以下性质：1. 极限与连续性的关系：如果一个多元函数在某点处具有极限L，则它在该点处连续。
多元函数的极限与连续性
的极限为A。记为
或
也可记为
或
设有二元函数 ，点
那么，就称当(x,y) → (x0,y0)时，二元函数f (x,y)在点(x0,y0)
的极限为A。记为
或
上述定义可以用“ ”语言精确描述如下：
由具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四
则运算和复合运算得到的二元函数，称为二元初等函数
一切二元初等函数在其定义区域内都是连续的。
例如, 函数ຫໍສະໝຸດ 上间断.例5 求下列极限
解：
(1) 因为 是初等函数，且在点
有定义，则
(2) 因为 而
例4 讨论极限 是否存在.
解：让点 沿着直线 趋于原点，这时有
显然，当k取不同的值时，上式右端的结果不同，所以该
极限不存在！
二重极限
二、多元函数的连续性
定义2 设函数 的定义域为D,点 ,如果
证明：函数f (x,y)的定义域为
当 时，显然
故 必无限
接近于0，因此，由定义1，有
二重极限是一元函数极限的推广，有关一元函数极限的某些性质和运算法则，可以直接类推到二重极限。
例2 求极限
解： 例3 求极限 解：
在原点连续，故
有界闭区域上的连续多元函数具有以下性质：
01
性质1 (最值性定理) 有界闭区域上的多元连续函数存在最大值和最小值。
02
推论 (有界性) 有界闭区域上的多元连续函数是有界函数。
03
性质2 (介值性定理) 有界闭区域上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。
04
内容小结
在讨论二重极限时，如果点P(x,y)仅以某些特殊方式( 例如，沿着某定直线或某定曲线 ) 趋于P0(x0 ,y0)时，即使函数 f (x,y) 趋于某一确定的值，我们仍不能确定函数的极限存在。但反之，如果当P(x,y)以不同方式趋于P0 (x0 ,y0)时， f (x,y) 趋于不同的值，则可断定函数的极限不存在。
分析方法第十六章多元函数的极限与连续性概要
分析方法第十六章多元函数的极限与连续性概要第十六章多元函数的极限与连续性是数学分析中的重要概念之一、多元函数与一元函数不同，它们的自变量可以是多个变量。
因此，多元函数的极限与连续性的讨论需要引入多元的概念和方法。
本章主要分为三个部分：多元函数的极限、多元函数的连续性、多元函数的一致连续性。
接下来，将对这三个部分进行详细的概要分析。
1.多元函数的极限多元函数的极限是指当自变量自一些点无限接近于给定点时，函数值接近于一些常数。
与一元函数类似，多元函数的极限也需要满足极限存在性和极限唯一性两个条件。
首先，要讨论多元函数的极限，需要引入点列的概念。
点列是指给定一个序列$x_n$，其中每个$x_n$均为函数的自变量，如果$x_n$收敛于给定点$(a,b)$，则函数$f(x_n)$在点$(a,b)$处的极限就是函数在该点的极限。
此外，还需要讨论曲面函数在特殊方向上的极限。
当自变量沿着特定方向逼近给定点时，函数的极限是否存在，如果存在则是多少。
2.多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在其中一点处的极限等于函数在该点的函数值。
与一元函数类似，多元函数的连续性也需要满足三个条件：函数在该点处定义、函数在该点处极限存在、函数在该点处极限等于函数值。
如果函数在定义域的每一个点均满足连续性条件，则称函数在定义域连续。
为了判断多元函数的连续性，可以通过分量函数的连续性进行判断。
具体来说，若多元函数的每个分量函数都是连续的，则多元函数在该点连续。
此外，还可以通过间断点的分类来分析函数在特定点的连续性。
3.多元函数的一致连续性一致连续性是连续性的一种更强的条件。
在多元函数中，一致连续性要求函数在整个定义域内的每一点都连续。
为了判断多元函数的一致连续性，可以使用函数值在一个闭区域上的上确界和下确界的性质进行证明。
在具体分析中，多元函数的一致连续性还可以通过函数的偏导数和导数的连续性来判断。
若函数的偏导数和导数均连续，则函数是一致连续的。
2 多元函数的极限和连续性定理
§2. 多元函数的极限和连续性
（3）最大值和最小值定理
若f ( x , y )在有界闭区域 D上连续，则它在 D上必有 最大值和最小值,即在 D上存在点M 1 x1 , y1 和 M 2 x2 , y2 , 使对 D上任意的点 x , y , 恒有 f x1 , y1 f x , y f x2 , y2 .
yunnanuniversity多元函数的极限和连续性定理的二重极限为且对任一靠近可以不等于存在有限极限则二次极限存在且等于二重极限yunnanuniversity证明只就为有限时给予证明由于二重极限存在故对任给0存在亦即当时上式成立这就证明了limyunnanuniversity多元函数的极限和连续性lim注
P P0
数，且 P0 是 f ( P ) 的定义域的内点，则 f ( P ) 在 点 P0 处连续，于是 lim f ( P ) f ( P0 ).
P P0
xy 1 1 例７ 求 lim . x 0 xy y0
xy 1 1 1 解 原式 lim lim x 0 xy( xy 1 1) x 0 xy 1 1 y0 y0
xa yb yb x a
Yunnan University
lim lim f x , y 先x后y
§2. 多元函数的极限和连续性
二重极限和二次极限的关系
（1）两个二次极限都不存在，而二重极限仍可能存在。
例8
1 1 f x , y x sin y y sin x , 当x 0, y 0时 f 0, y f x , 0 0
趋于M 0时，f ( M )的极限都是A.
大学数学多元函数的极限与连续性
大学数学多元函数的极限与连续性一、引言在大学数学课程中，多元函数的极限与连续性是基础且重要的概念之一。
本文将探讨多元函数的极限以及连续性的概念、性质和应用。
二、多元函数的极限多元函数的极限是指当自变量趋于某一点时，函数的取值趋于一个确定的常数。
要确定一个多元函数的极限，需要考虑不同的自变量趋近方式。
1. 非路径问题对于一般的多元函数，当自变量趋于某一点时，可以用数列方法来讨论极限的存在与求解。
可以分别取函数中的两个或多个自变量构成一个数列，并分别求出数列的极限，若这些极限都相等，则可以确定该点处的极限存在，并且该极限就是所得的值。
2. 路径问题当自变量趋近于某一点的路径是任意的，需要考虑使用极限的定义来求解。
通过逐步逼近，可以确定多元函数在该点处的极限存在，并求出极限值。
三、多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在定义域内的任意一点满足极限存在且与该点处函数值相等。
连续性可以用一元函数的连续性来理解，即函数在某一点处的左右极限存在且相等。
1. 连续函数的性质若一个多元函数在其定义域内每一点处都连续，则称该函数为连续函数。
连续函数具有以下性质：- 两个连续函数的和、差、积仍为连续函数；- 两个连续函数的商（分母不为零）仍为连续函数；- 连续函数经过有界闭区间上时，一定可以达到最大值和最小值。
2. 连续函数的应用连续函数在实际问题中具有广泛的应用，例如在物理学、经济学等领域中，通过建立数学模型，可以将实际问题转化为多元函数的极限与连续性问题，进而对问题进行分析和求解。
四、多元函数的极限与连续性的例题分析为加深对多元函数的极限与连续性概念的理解，我们选取几个例题进行分析。
1. 例题一求函数$f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}$在点$(0,0)$处的极限。
首先考虑非路径问题的求解方法，我们可以分别取$(x,y)$沿直线$x=y$和$x=0$的极限。
通过计算可以得到两条直线上的函数极限都为0，并且相等，因此可以确定函数在$(0,0)$处的极限为0。
多元函数的极限与连续
可以将多元函数的极限与连续性应用于实际问题中，如 物理、工程、经济等领域的问题，以促进数学与实际应 用的结合。
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稳定性分析
在研究微分方程的解的稳定性时，需要用到多元函数的极限和连续 性，例如在分析解的收敛性和发散性时。
解的存在性和唯一性
在证明微分方程的解的存在性和唯一性时，需要用到多元函数的极 限和连续性。
在实变函数中的应用
测度论
在实变函数中，测度论是一个重 要的分支，而测度的定义和性质 与多元函数的极限和连续性紧密 相关。
如果函数在某点的极限值等于该点的 函数值，则称函数在该点连续。
02
多元函数的极限
极限的定义
极限的直观定义
当自变量趋近某一值时，函数值趋近于某一确定的数。
极限的精确定义
如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个正数$delta$，使得当$||xa||<delta$时，有$|f(x)-L|<varepsilon$，则称$f(x)$在点$a$处的极限为$L$。
多元函数的基本概念
多元函数
极限
连续
设$D$是$n$维欧几里得空间的一个 子集，对于每一个$x in D$，都对应 一个实数$f(x)$，则称$f$是一个定义 在$D$上的多元函数。
设函数$f(x)$在点$x_0$的某去心邻域内有定义， 如果存在一个确定的常数A，对于任意给定的 正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得 当$x$满足$0 < |x - x_0| < δ$时，对应的函数 值$f(x)$都满足$|f(x) - A| < ε$，那么常数A就 叫做函数$f(x)$在点$x_0$处的极限。
多元函数极限与连续性例题和知识点总结
多元函数极限与连续性例题和知识点总结在高等数学中，多元函数的极限与连续性是一个重要的概念和知识点。
理解它们对于解决许多数学问题以及在其他学科中的应用都具有关键意义。
下面我们将通过一些例题来深入探讨这一主题，并对相关知识点进行总结。
一、多元函数极限的概念多元函数的极限是指当自变量在定义域内以任意方式趋近于某个点时，函数值趋近于一个确定的常数。
设函数＄z ＝ f(x,y)＄的定义域为＄D$，＄P_0(x_0,y_0)＄是＄D$ 的聚点。
如果对于任意给定的正数＄＼epsilon$，总存在正数＄＼delta$，使得当点＄P(x,y) ＼in D$ 且满足＄0 ＜＼sqrt{（x x_0)＾2 ＋（y y_0)＾2} ＜＼delta$ 时，都有＄｜f(x,y) A| ＜＼epsilon$ 成立，那么就称常数＄A$ 为函数＄f(x,y)＄当＄（x,y) ＼to （x_0,y_0)＄时的极限，记作＄＄＼lim_{（x,y) ＼to （x_0,y_0)｝ f(x,y) ＝ A$＄二、多元函数连续性的概念若函数＄z ＝ f(x,y)＄在点＄（x_0,y_0)＄处的极限存在，且等于该点的函数值＄f(x_0,y_0)＄，则称函数＄f(x,y)＄在点＄（x_0,y_0)＄处连续。
三、例题分析例 1：求极限＄＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝＼frac{x^2 ＋ y^2}｛＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋ 1} 1}＄解：＼＼begin{align}＆＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝＼frac{x^2 ＋ y^2}｛＼sqrt{x^2 ＋y^2 ＋ 1} 1}＼＼＝＆＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝＼frac{x^2 ＋ y^2}｛＼sqrt{x^2 ＋y^2 ＋ 1} 1} ＼cdot ＼frac{＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋ 1} ＋ 1}｛＼sqrt{x^2 ＋y^2 ＋ 1} ＋ 1}＼＼＝＆＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝＼frac{（x^2 ＋ y^2)（＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋ 1} ＋ 1)｝｛（x^2 ＋ y^2)｝＼＼＝＆＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝（＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋ 1} ＋ 1)＼＼＝＆2＼end{align}＼例 2：讨论函数＄f(x,y) ＝＼begin{cases} ＼frac{xy}｛x^2 ＋ y^2}，＆（x,y) ＼neq （0,0) ＼＼ 0, ＆（x,y) ＝（0,0) ＼end{cases}＄在点＄（0,0)＄处的连续性。
多元函数极限与连续性的性质及求解方法
多元函数极限与连续性的性质及求解方法在数学中，多元函数极限与连续性是非常重要的概念。
了解多元函数的极限与连续性的性质，以及相关的求解方法，对于深入理解和应用多元函数的数学知识具有重要意义。
一、多元函数极限的性质与求解方法1.1 多元函数极限的定义多元函数极限是指当自变量趋于某个确定值时，函数变量的极限。
对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，如果存在常数L，对于任意给定的ε>0，总存在另一个正数δ，当0<(|x1−a1|+|x2−a2|+⋯+|xn−an|)<δ时，总有|f(x1, x2, ..., xn)−L|<ε成立，则称L是函数f在点(x1, x2, ..., xn)处的极限。
1.2 多元函数极限的性质(1) 多元函数极限存在性：如果多元函数f在点(x1, x2, ..., xn)处的极限存在，那么它是唯一的。
(2) 多元函数极限的局部性：如果多元函数f在点(x1, x2, ..., xn)处的极限存在，那么它在点(x1, x2, ..., xn)的某个邻域内必然存在。
(3) 多元函数极限与一元函数极限之间的关系：多元函数可以分解为一元函数，所以多元函数极限可以通过一元函数极限的方法来求解。
1.3 多元函数极限的求解方法(1) 代数运算法：利用多元函数的代数运算性质，如加减乘除、乘幂、复合函数等，将多元函数转化为一元函数，然后利用一元函数的极限求解方式来求解多元函数的极限。
(2) 两变量函数的二次折线法：对于两个变量的多元函数，可以采用二次折线法来求解。
具体步骤是：首先取一个路径，沿该路径逼近极限点，然后通过二次折线逼近法构造两个逼近值，如果这两个逼近值相等，则可得到极限值；如果不等，则重新选择路径再进行逼近。
(3) 极坐标法：对于特定形式的多元函数，可以采用极坐标法来求解。
具体步骤是：将自变量用极坐标表示，然后将多元函数转化为单变量极坐标函数，再利用一元函数的极限求解方法来求解。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限与连续性在数学分析中，多元函数的极限与连续性是十分重要的概念，它们在研究函数性质和解决实际问题时起到了关键作用。
本文将对多元函数的极限与连续性进行详细探讨，并给出相应的定义和性质。
一、多元函数的极限对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，当自变量(x1, x2, ..., xn)接近某一点(a1, a2, ..., an)时，如果函数值f(x1, x2, ..., xn)趋于某个常数L，那么我们就说f(x1, x2, ..., xn)在点(a1, a2, ..., an)处收敛于L，记作：lim(f(x1, x2, ..., xn)) = L (当(x1, x2, ..., xn) → (a1, a2, ..., an))多元函数的极限与一元函数的极限类似，但需要考虑多个自变量同时趋于某个特定值。
在计算多元函数极限时，可以使用极限的定义、夹逼定理、两个变量夹逼定理等方法。
多元函数的极限性质包括唯一性、局部有界性、局部保号性、极限的四则运算等。
这些性质的证明与一元函数类似，但需要注意多个变量同时进行推导。
二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在某一点处的极限与函数在该点处的函数值相等。
具体而言，对于函数f(x1, x2, ..., xn)在点(a1, a2, ..., an)处连续，需要满足以下条件：1. 函数在点(a1, a2, ..., an)存在；2. 函数在点(a1, a2, ..., an)的极限存在；3. 函数在点(a1, a2, ..., an)的极限等于函数在该点的函数值。
在多元函数中，我们可以使用分量函数的连续性来判断函数的连续性。
分量函数是将多元函数中的每个自变量固定，其他自变量视为参数得到的一元函数。
如果分量函数都连续，那么多元函数在该点处连续。
多元函数的连续性性质包括局部连续性、全局连续性、复合函数的连续性等。
这些性质的证明需要使用到一元函数连续性的基本性质，并进行适当的推导和运算。
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二重极限 累次极限
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
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与一元函数的极限相类似， 二元函数的极限 同样是二元函数微积分的基础. 但因自变量个数 的增多, 导致多元函数的极限有重极限与累次极 限两种形式, 而累次极限是一元函数情形下所不 会出现的.
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证 (证法一) 0, 由
x2 y2
x2 y2 x2 y2
xy x2 y2 0 2
x2 y2
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1 x2 y2 1 ( x2 y2 ),
2
2
可知 2 , 当 0 x2 y2 时, 便有
x2 y2 xy x2 y2 0
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推论3 极限 lim f (P) 存在的充要条件是：D 中任 P P0 PD
一满足条件
Pn
P0
且
lim
n
Pn
P0 的点列 {Pn}, 它所
对应的函数列 { f (Pn )} 都收敛．
下面三个例子是它们的应用．
例3
讨论
f (x,
y)
xy x2 y2
当 (x,
y) (0, 0) 时是否
存在极限．( 注: 本题结论很重要, 以后常会用到. )
证 因为
x2 xy y2 7 ( x2 4) xy 2 ( y2 1)
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| ( x 2)( x 2) ( x 2) y 2( y 1) ( y 1)( y 1) |
| x2|| x y 2|| y1|| y3|. 不妨先限制在点(2, 1)的方邻域
P P0 P D
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简记为
lim f (P) A.
P P0
当 P, P0 分别用坐标 ( x, y),( x0 , y0 )表示时, 上式也
常写作
lim f ( x, y) A.
( x, y) ( x0 , y0 )
例1 依定义验证 lim ( x2 x y y2 ) 7. ( x, y) (2, 1)
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所以 x2 xy y2 7 7 | x 2| 5| y 1|
7 ( | x 2 | | y 1 | ).
0, 取
min ( 1,
14
),当 |
x2|,
|
y 1|
且 ( x, y) (2, 1) 时, 就有
x2 xy y2 7 7 2 14 .
定理1
lim f (P) A 的充要条件是：对于 D 的
P P0 PD
任一子集 E,只要 P0 仍是 E 的聚点,就有
lim f (P) A .
P P0 PE
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推论1
若
E1 D, P0 是 E1 的聚点, 使
lim
P P0
f (P)
PE1
的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在．
例4 设
1， 0 y x2, x ,
f
( x,
y)
0，
其余部分.
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不存在, 则 lim f (P) 也不存在．
P P0 PD
推论2 若 E1, E2 D, P0 是它们的聚点，使得
lim
P P0
f (P)
A1
与
lim
P P0
f (P)
A2
PE1
PE2
都存在，但
A1
A2
,
则
lim
P P0
f
(P)
不存在．
PD
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这就证得 lim ( x2 x y y2 ) 7.
( x, y) (2, 1)
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例2 设f( x, Nhomakorabeay)
xy
x2 x2
y2 y2
，
( x,
y)
(0,
0),
0,
( x, y) (0, 0),
证明 lim f ( x, y) 0. ( x, y) (0, 0)
( x, y) | x 2 | 1, | y 1 | 1
内来讨论, 于是有 | y 3 | | y 1 4 | | y 1 | 4 5, | x y 2 | | ( x 2) ( y 1) 5 | | x 2 | | y 1 | 5 7.
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4
因此， 0, 只须 r x2 y2 2 , 对任何
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都有
| f ( x, y) 0 | 1 r2 , 即 lim f ( x, y) 0.
4
( x, y) (0, 0)
下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归
结原则(而且证明方法也相类似).
,
故 lim f ( x, y) 0. ( x, y) (0, 0)
注意 不要把上面的估计式错写成：
x2 y2 xy x2 y2 0
x2 y2 xy
2xy
1 ( x2 y2 ), 2
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因为 ( x, y) (0, 0) 的过程只要求 ( x, y) (0, 0), 即
x2 y2 0, 而并不要求 x y 0.
(证法二) 作极坐标变换 x r cos, y r sin. 这时
( x, y) (0, 0) 等价于 r 0 ( 对任何 ). 由于
| f (x, y) 0 |
x2 y2 xy x2 y2
1 r 2 | sin 4 | 1 r 2 ,
返回 2
一、二重极限
定义1 设二元函数 f 定义在 D R2 上, P0 为 D 的
一个聚点, A 是一实数. 若 0, 0, 使得当 P U o(P0; ) I D 时, 都有
| f (P) A | ,
则称 f 在 D 上当 P P0 时以 A 为极限, 记作 lim f (P) A.
解 当动点 (x, y) 沿着直线 y mx 而趋于定点 (0, 0)
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时，由于
f (x,
y)
m f (x, mx) 1 m2
,
因此有
m
( x,
lim
y) (0, 0)
f
( x,
y)
lim
x0
f
( x,
mx)
1
m2
.
y mx
这说明动点沿不同斜率 m 的直线趋于原点时, 对应