高等数学 多元函数的极限与连续

2x y, x2 y2 4
f
(x,
y)
x
3y,
x2
y2
4
,求f (1,1),
f (1,2)
解 f (1,1) 2 (1) 1 1
f (1,2) 1 3 2 5
例 已知函数 f (x y, x y) x2 y2 , 求f (x, y)
解
f (x y, x y) (x y)(x y)
4
3. 二元函数的几何意义 z
z f (x, y) 二元函数表示空间中一个曲面
• P(x0, y0, z0 )
二元函数的定义域为曲 面在xoy面上的投影
O
y
x
D
•
Q(x0 , y0 ,0)
二. 二元函数的极限
一元函数极限的概念
x x0, f (x) A,
记 lim f (x) A xx0
二元函数极限的概念
x x0 , f (x, y) A, y y0,
记 lim f (x, y) A x x0 y y0
二重极限
回忆：一元函数求极限的方法
（1）代入法 （2）有理化法 （3）分解因式法 （4）抓大头法 （5）无穷小性质
例
求
sin(x2 y2 )
lim
x0
x2 y2
.
y1
是初等函数
作业
f (x, y)在定义域内连续
lim xx0
f (x, y)
f (x0, y0 )
y y0
P26ex10.1:1: 1 2 : 1,2;5 : 2,4
2x y2 2112 1
lim
x1 x2 y2 12 12 2
y1
x y5
1
1 x
x
x x
y
e1
e,
其中
lim1 x
y5
1 x
x
e,
lim x 1. x x y
y5
利用重要极限
lim (1 1)x e x x
回忆 一元函数
三. 多元函数的连续性
y
连续的概念
f (x)
增量形式： x 0, y 0
f (x0 )
y 0
O
即 lim y 0 x0 极限形式：
yx0
即
x2 +y2 4
yx
y
yx
2
0
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求二元函数的函数值 已知函数 例 求f (1,0), f (0,1)
解 f (1,0) （2 1 0）2
f (0,1) （0 31）2
f (x, y) (2x 3y)2
1
5
2 12 0
1
10
2 0 1
1 ,
2 x2 y2
例
已知函数
类似地，可以定义三元函数u=f(x,y,z)以及三元以 上的函数.二元以及二元以上的函数统称为多元函数.
二元函数的定义域 函数的定义域是函数概念的一个重要组成部分.求
函数的定义域，就是求出使函数有定义的所有自变量 的取值范围.
一元函数定义域：数轴上的一个区间。
二元函数定义域：平面上的一个区域。
例1 求出二元函数 z 1 x2 y2 的定义域. 解 自变量x，y必须满足不等式
(
)
x0
x0
x0
利用 “点” 将邻域概念推广到高维空间
在 R2 中：
U( X 0, ) {(x, y) | (x x0 )2 ( y y0 )2 }
y
. X0(x0 , y0)
开圆盘
O
x
在 R3 中：
U( X 0 , ) {( x, y, z) | (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 }
即
lim
xx0
f (x, y)
f (x0, y0),
y y0
则称函数f(x,y)在点 P0 (x0, y0 )处连续.
如果z f (x, y)在点P(x0, y0 )处不连续,则称为不连续或间断
一切多元初等函数在其定义域内连续.
例
求
2x y2
lim
x1
x2
y2
.
y1
解
f
(x,
y)
2x y2 x2 y2
f (u, v) uv
f (x, y) xy
例 已知函数 f (x y, x y) 2x2 y2 , 求f (x, y)
解
令
x x
y y
a, b,
x
y
a a
2
b b
f
(a,
b)
2
a
b
2
a
b
2
2 2
2
f (a,b) a2 6ab b2 4
f x, y x2 6xy y2
x2 y2 1,
此即函数定义域. (x, y) x2 y2 1
练 求函数z=ln(x+y)的定义域. 解 函数的定义域为 x+y>0.
即 (x, y) x y
求法：将不等号变等号，然后取点判定区域
例2 求函数z ln(4 x2 y2) y x的定义域
解 定义域满足
4 x2 y2 0
解 原式 lim sin(0 1) sin1
x0 0 1
y1
代入法
例 解
求 lim
x2 y2
.
x0 y0
1 x2 y2 1
原式 lim
(x2 y2 )(
( x0
y0
1 x2 y2 1)(
1 x2 y2 1) 1 x2 y2 1)
(x2 y2 )( 1 x2 y2 1)
lim
0.
y0
无穷小量的性质
例
求 lim sin xy . x0 x
y2
解 lim sin xy lim y sin xy
x0 x
x0 xy
y2
y2
sin xy
lim y lim
2
x0 x0 xy
y2 y2
利用重要极限
sin x lim 1 x0 x
x2
例
求
lim
x y5
1
1 x
x
y
.
解
原
式
lim
定义 设有三个变量x，y，z，如果对于变量x，y 的变化范围内所取的每一对值，变量z都按照一定的规 则，有一个确定的值与之对应，则称z 为x，y的二元函 数，记作
z=f(x,y) 或 z=z(x,y)， 其中x，y称为自变量，z称为函数(或因变量).自变量x， y的变化范围称为函数的定义域.
例 z ln 2 x2 sin(y x)
x0
(1 x2 y2 ) 1
y0
lim( 1 x2 y2 1) 2 x0 y0
有理化 (平方差公式)
例 解
求
lim( x 2
x0
y2
)
sin
x2
1
y2
.
y0
由于
sin
x2
1
y2
1
(有界量)
又
lim(x2 y2 ) 0
(无穷小量)
x0
y0
故
lim( x 2
x0
y2)
sin
x2
1
y2
x 0 x0 x
x x0 , f (x) f (x0 )
即 lim xx0
f (x)
f (x0 )
x
一元函数连续：lim xx0
f (x)
f (x0 )
定义 如果当 x x0, y y0 时，函数z=f (x,y)的极限
存在，且等于它在点P0(x0,y0)处的函数值f(x0,y0)，
z
.
X 0 (x0 , y0 , z0 )
开球体
x
O
y
将一元函数的概念推广到多维函数
x
f y 记为 : y f (x)
定义域：区间
x, y f z 记为 : z f (x, y) 定义域：平面区域
x, y, z f u 记为 : u f (x, y, z) 定义域：空间区域
2. 二元函数的定义
多元函数的极限与连续 偏导数与全微分
多元函数的极值
第一节 多元函数的极限与连续
一.多元函数的概念 二.二元函数的极限 三.二元函数的连续性
1. 平面区域
回忆一维空间中点的邻域概念
点 x0 的 邻域 U(x0, )： (以点 x0 为中心， 为半径的相邻区域 )
. {x | x0 x x0 }