电动力学期末考试试卷及答案五

判断以下概念是否正确，对的打（√），错的打（×）（共15分，每题3分）

1． 库仑力3

04r r

Q Q F πε '=表明两电荷之间作用力是直接的超距作用，即电荷Q

把作用力直接施于电荷Q '上。 （ ） 2． 电磁场有能量、动量，在真空中它的传播速度是光速。 （ ） 3． 电磁理论一条最基本的实验定律为电荷守恒定律，其微分形式为：

t j ∂∂=⋅∇/ρ

。 （ ）

4． 在介质的界面两侧，电场强度E 切向分量连续，而磁感应强度B

法向分

量连续。 （ ） 5．在相对论中，粒子能量，动量以及静止质量的关系为：

4

2022c m c P W += 。 （ ）

一． 简答题（每题5分，共15分）。

1．如果0>⋅∇E

，请画出电力线方向图，并标明源电荷符号。

2．当你接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离和方向有关，这是为什么？

3．以真空中平面波为例，说明动量密度g ，能流密度s

之间的关系。

二． 证明题（共15分）。

多普勒效应被广泛应用，请你利用洛伦兹变换证明运动光源辐射角频率

ω与它的静止角频率0ω的关系为：)

cos 1(0

θγωωc

v

-=

，其中

122)/1(--=c v γ；v 为光源运动速度。（15分）

四. 综合题（共55分）。

1．半径为a 的无限长圆柱形导体，均匀通过电流I ，设导体的磁导率为μ，导体外为真空，求：

（1）导体内、外空间的B 、H

；

（2）体内磁化电流密度M j

；（15分）。

2．介电常数为ε的均匀介质中有均匀场强为0E

，求介质中球形空腔内的电

势和电场（分离变量法）。（15分）

3．两频率和振幅均相等的单色平面电磁波沿z 轴方向传播，一个沿x 方向偏振，另一个沿y 方向偏振，且其相位比前者超前2

π

。求合成波的偏振。若

合成波代表电场矢量，求磁场矢量B 以及能流密度平均值S 。（15分） 4．在接地的导体平面有一半径为a 的半球凸部，半球的球心在导体平面上，如图所示。点电荷Q 位于系统的对称轴上，并与平面相距为b （a b >）。试用电像法求空间电势。（10分）

1、⨯

2、√

3、⨯

4、√

5、√

二、简答题 1、

2、由于电磁辐射的平均能流密度为2

22

32

0sin 32P

S n c R

θπε=

，正比于2sin θ，反比于

2R ，因此接收无线电讯号时，会感到讯号大小与大小和方向有关。

3由于 0g E B ε=

⨯ S E H =⨯ 在真空中0B H μ= 且c =

所以2

1g

S c =

三、证明：

设光源以速度v 运动，设与其连接坐标系为∑'，地面参照系∑，在洛伦兹变换下，μk 的变换式为

νμνμ

k a k =' (1) ⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛-=νβνβνν0001000010

00i i a (2)

因此有

ων

ν211

c

v

k k -=' (3) c

i k i c

i

ω

ν

βν

ω+-='

1 (4) 设波矢量k

与x 轴方向的夹角为θ，则有

θω

cos 1

c

k =

(5)

代入(4)式，整理得 )cos 1(θωνωc

v

-

=' (6) ∑'为光源静止参考系。设光源静止频率为0ω，则0ωω='，则有

)

cos 1(0

θνωωc

v

-=

(7)

证毕。

四、综合题

一、 1、(1) 利用安培定理

I l d H =⋅⎰

由对称性，当a r >时，

I rH =θπ2 θπe r I H 2= θπμe r

I B 20=

当a r <时

2

22r a I r H πππθ⋅= θπe a Ir H 22= θ

πμe a

Ir B 22= 即 a r > 20022r r I e r I B πμπμθ ⨯== 2

2r r

I H π

⨯= a r < 2222a r I e a Ir B πμπμθ ⨯== 2

2a

r

I H π

⨯= (2) H B M -=0

μ

a r < H M )1(

-=μμ

200)1()1(a

I

H M j M πμμμμ -=⨯∇-=⨯∇=

a r > 0=M

，0=M j

(3) a

I

a Ir M M a

r t t N πμμπμμα2)1(

2)1(

002

012--=--=-== a

I πμμα2)

1(0

--= 2、如图所示，选择0E

方向为z 轴方向，

球腔半径设为0R ，球腔内外均满足方程 02

=∇ϕ (1)

解为

a r < )](cos )(cos [1

1θθϕn n n

n n n n P r b P r a ++

=∑ (2) a r > )](cos )(cos [θθϕn n n

n n n

n P r d P r c 1

2++

=

∑ 当∞→r θϕcos 02r E -→ ∴ 0=n c 1≠n 01E c -= ∑++-=n

n n n

P r d r E )(cos cos θθϕ1

02 (3) 当0→r

1ϕ有限。 ∴ 0=n b

)(cos θϕn n

n

n P r

a ∑=

1 (4)

在0R r =界面上有 0

2

1R r ==ϕϕ 0

210

R r r

r =∂∂=∂∂ϕεϕε (5)

因此有

∑∑=+

-+n

n n n n n

n n

P R a P R d R E )(cos )(cos cos 01000θθθ ∑∑∞=-∞

=+=+-+-1

10002

00)](cos [)](cos )1(cos [n n n n n n n n

P R na P R d n E θεθθε 比较系数得

0E