反比例函数常见几何模型

反比例函数常见模型邑⅛

E-

、知识点回顾

k

1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=—(k≠0.其解析式有三种表示方法：

X

① y =k ( k≠0);② y=kx' ( k≠0);③ xy = k

X

k

2.反比例函数y=—( k≠0的性质

X

(1)当k>0时=函数图像的两个分支分别在第一，三象限内U 在每一象限内，y随X 的增大而减小.

(2)当k<0时二函数图像的两个分支分别在第二，四象限内= 在每一象限内，y随X 的增大而增大.

k

(3)在反比例函数y=k中，其解析式变形为Xy=k ,故要求k的值(也就是求其图像上

X

一点横坐标与纵坐标之积).

(4)若双曲线y=-图像上一点(a，b)满足a，b是方程Z2- 4Z —2=0的两根，求双

X

曲线的解析式.由根与系数关系得ab= 2 ,又ab=k，∙∙ k= 2,故双曲线的解析式是y= .

X

(5)由于反比例函数中自变量X和函数y的值都不能为零，所以图像和X轴，y轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势.

】、新知讲解与例题训练

模型一:

如图，点A为反比例函数V

则有SOAB -Ikl

学习靠自觉，进步靠努力，每天比别人

m

S AOB = 3 , (1)求m 的值

多付出一点点，将来比别人收获多许多

-一L -

*例1 ：如图RtLABC的锐角顶点是直线y=x+m与双曲线^y=—

Jta-「—,j

变式题

1、如图所示，点A1, A2, A3在X轴上，且O A = AA2= A2 A3,分别过A∣, A2, A3作y轴平行

8

线，与反比例函数y= — (χ>0)的图像交于点B1, B2,B3 ,分别过点B1,B2, B3作X轴的平行

X

线，分别与y轴交于点C1,C2, C3,连结OB i ,OB2,OB3 ,那么图中阴影部分的面积之和为

1

y 上，点B在双曲线X

若四边形ABCD为矩形，则它的面积为

2

、

如图，点A在双曲线

模型二:

, k

如图：点A、B是双曲线y = —(k=0)任意不重合的两点,

X

点，交y轴于N点，再过A、B两点分别作AD — y轴于D点，BF — X轴于F

例2:如图，一次函数y =ax ∙b 的图象与

数∙^k 的的图象相交于七，D 两点，分另过C ，D 两点作y 轴，X 轴的垂

X

*

■

为E,F ,连接CF,DE .有下列四个结论：①SpJ=S^EF ；②山AoB 相似于A FoE ;

③厶DCE ◎△ CDF ;④AC =BD 其中正确的结论是 ____________________ .(把你认

例3: 一次函数y =ax b 的图象分别与X 轴、y 轴交于点M ,N ,与反比例函数

k 、,

y=-的图象相交于点 代B .过点A 分别作AC _ X 轴，AE _ y 轴，垂足分别为 X

C,E ；过点B 分别作BF _x 轴，BD _ y 轴，垂足分别为F ， D, AC 与BD 交于 点K ,连接CD .

—

(1)若点A B 在反比例函数y=r 的图象的同一分支上，如图1,试证明：

X ①S 四边形AEDK =

S 四边形CFBK

:②AN= BM .

(2)若点A, B 分别在反比例函数y

的图象的不同分支上，如图2,则AN 与

X

BM 还相等吗？试证明你的结论.

/轴父于A ， B 两点，与反比

厂线^足

为正确结论的序号都填上)

交X 轴于点A ,过C 做CD 丄X 轴，交X 轴于点D ,则S∙0pc = S 弟形PADC .

例4：如图，在直角坐标系中，一次函数 y=k ιx+b 的图象与反比例函数y=∙k2的

X

图象交于A(1,4)、B(4, 1)两点，则△AOB 的面积是 _______ .

例5：如图，在直角坐标系中，一次函数 y=k 1χ∙b 的图象与反比

例函数y=蜃的图象交于A ( 1,4)、B (3, m )两点，则△AOB 的

X

面积是 ______ .

1

k

例6：如图1,已知直线y =1X 与双曲线y =°(k 0)交于A 、B 两

2 X

点，且点A 的横坐标为4.

(1)求k 的值；

(2)如图2,过原点O 的另一条直线I 交双曲线y=k (k 0)于C 、D 两点(点

X

C 在第一象限且在点A 的左边)，当四边形ACB

D 的面积为24时，求点C 的坐 标.

出一点点，将来比另从收获多许多

如图，已知反比例函数y =t" 7k ≠0^x>0)上任意两点P 、C ,过P 做PA ⊥X 轴,

X ■

模型四：

在矩形AoBC 中，0B=a , OA=b ,分别以OB, OA 所在直线为X 轴和y 轴，建 立如图所示的平面直角坐标系.F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合）,过F 点的反比例函数

y =Λ（χ .0）的图象与AC 边交于点E ,则^a .

X

CF b

例7:两个反比例函数y=兰和y=1在第一象限内的图象如图所示，点P 在y 」

X

X

X 的图象上，PC ⊥ X 轴于点C ,交y=1的图象于点A ,PD 丄y 轴于点D ,交y J X

X

的图象于点B ,当点P 在y=k 的图象上运动时，以下结论：

X

①△ODB

与△OCA 的面积相等；②四边形 FAOB 的面积不会发生变化；③PA 与

PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点•其中一定正 确的是 ______________________ （把你认为正确结论的序号都填上）•

课堂练习： 一、选择题

X

m

的图像如图，大致是（