13.2一致收敛函数列与函数项级数级数的性质

函数列与函数项级数一致收敛性解析

第十三章函数列与函数项级数§1 一致收敛性(一) 教学目的：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(二) 教学内容：函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．基本要求：1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．2、教学基本要求：理解并掌握函数列与函数项级数的概念及一致收敛的概念和性质；掌握函数项级数的几个重要判别法，并能利用它们去进行判别；掌握一致收敛函数列与函数项级数的极限与和函数的连续性，可积性，可微性，并能应用它们去解决问题。

3、教学重点难点：重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛性的概念、判别及应用。

(三) 教学建议：(1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．————————————————————一函数列及其一致收敛性对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。

使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（注意定义域与收敛域的区别）。

若函数列})({x f n 在数集E D ⊂上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值)()(lim x f x f n n =∞→与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列})({x f n 的极限函数。

数学分析课件一致收敛函数列与函数项级数的性质

详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数，在每个点的某个邻域内，函数列或级数的每一项都是有界的。这意味着在每个点的附近，函数列或级数的变化范围是有限的。
性质三：局部连续性
总结词
局部连续性是指一致收敛的函数列或函数项级数在每个点的邻域内都是连续的。
VS
详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数，在每个点的某个邻域内，函数列或级数的每一项都是连续的。这意味着在每个点的附近，函数列或级数的值是平滑变化的，没有突然的跳跃或断点。
03
一致收敛函数列与函数项级数的应用
应用一：微积分学中的一致收敛概念
要点一
总结词
要点二
详细描述
理解一致收敛在微积分学中的重要性
一致收敛是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数列或函数项级数在某个区间上的收敛性质。在微积分学中，一致收敛的概念对于研究函数的极限行为、连续性、可微性和积分等性质至关重要。通过理解一致收敛，可以更好地理解函数列和级数的收敛性质，从而更好地应用微积分学中的相关定理和性质。
应用二：实数完备性的证明
总结词
利用一致收敛证明实数完备性
详细描述
实数完备性是实数理论中的重要性质，它表明实数具有某些理想的完备性。利用一致收敛的性质，可以证明实数完备性的一些重要定理，如确界定理、区间套定理和闭区间套定理等。这些定理在实数理论中起着至关重要的作用，为实数性质的研究提供了重要的理论支持。
05
一致收敛函数列与函数项级数的扩展知识
扩展知识一：一致收敛的判定定理
01
柯西准则
对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当
$n,m>N$时，对所有的$x$，有$|f_n(x)-f_m(x)|<varepsilon$。

一致收敛函数列与函数项级数级数的性质.ppt

又
lim
x x0
fN1( x) aN1
,
所以存在δ > 0 , 当0 < | x – x0 | <δ时，
| fN+1(x) – aN+1 | <ε/3
这样当0 < | x – x0 | <δ时，
| f (x) A|
| f ( x) f N 1( x) | | f N 1( x) aN 1 | | aN 1 A |

? lim
x x0
n1
un ( x)

n1
lim
x x0
un
(
x)
注：对函数序列{Sn ( x)}而言，应为
? lim
x x0
lim
n
Sn
(
x
)
lim
n
lim
x x0
Sn
(
x)
2.求导运算与无限求和运算交换次序问题
? d
dx n1 un ( x)
d n1 dx un ( x)
lim lim
x x0 n
fn
(
x)

lim
n
lim
x x0
fn(x) .
这表明在一致收敛的条件下，极限可以交换顺序．
证先证数列 { an } 收敛．因为{ fn } 一致收敛，
故对任给的ε > 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时，对任何正整数 p ，对一切 x ∈(a , x0 )∪(x0 , b) 有
| fn(x) – f n+p(x) | <ε
从而
lim
x x0
|

函数项级数一致收敛性判别及应用

函数项级数一致收敛性判别及应用函数项级数的一致收敛性是数学分析中的重要概念，对于研究函数项级数的性质和应用具有重要意义。

本文将从一致收敛性的定义开始，介绍一致收敛性的判别定理和具体的应用，希望读者通过本文的了解和学习，能够更好地理解和应用函数项级数的一致收敛性。

一、一致收敛性的定义在介绍一致收敛性的判别定理和应用之前，我们首先来了解一下一致收敛性的定义。

对于一般的数项级数来说，我们只需要关注级数的部分和序列是否收敛即可。

但对于函数项级数来说，因为级数的每一项都是函数，所以我们不仅需要考察级数的部分和序列的收敛性，还需要考察函数序列在定义域上的收敛性。

设对于定义在区间上的函数序列，对于给定的，如果对于任意，都存在一个自然数，使得当时，有∣∣fn(x)−f(x)∣∣<ε那么我们称函数序列在区间上一致收敛于函数，并记作。

换句话说，对于一致收敛的函数序列而言，不仅级数的部分和序列收敛于函数，且对于每一个自然数，其函数项序列在整个区间上都趋向于函数。

二、一致收敛性的判别定理对于函数项级数的一致收敛性，我们有一些判别定理可以帮助我们进行判断。

这里我们简要介绍几个重要的判别定理：1. 魏尔斯特拉斯判别定理（Weierstrass判别定理）魏尔斯特拉斯判别定理是判别函数项级数一致收敛性的重要定理之一。

该定理表述如下：若对于区间上的函数序列，存在一个数项级数使得对于任意和有∣∣fn(x)−an∣∣<bn，则级数在区间上一致收敛。

通过以上判别定理的介绍，我们可以看到，判别函数项级数一致收敛性的方法有多种多样，我们可以根据具体的情况选择不同的方法来进行判断，更好地理解和应用函数项级数的一致收敛性。

三、一致收敛性的应用函数项级数的一致收敛性不仅在理论上具有重要意义，而且在实际问题中也有着广泛的应用。

下面我们将介绍一些函数项级数一致收敛性在实际问题中的应用。

1. 函数项级数的积分和微分操作在实际问题中，我们经常会遇到需要对函数项级数进行积分和微分操作的情况。

§13..2一致收敛性质

2015年11月23日星期一 11
例1 设函数
1 2 n x , 0 x , n 2n 1 1 f n ( x ) 2 n 2n n x , x , 2n n 1 x 1, 0, n
y
n 1, 2, .
(其图象如图13－6所示). 显然 { f n ( x )}是 [0, 1] 上的连续函数列, 且对任意
O
1 2n
1 n
1
x
因此, { f n ( x )} 在 [0, 1] 上一致收敛于 0 的充要条件是 n 0( n ) .
2015年11月23日星期一
13
fn ( x)
f ( x ) 当且仅当 lim n 0.
n

1
0
f n ( x )dx
n
2n
,
0
1
f n ( x )dx f ( x )dx 0 当且仅当 l i m n 0. 0 n
如
I
f(x).
f n ( x ) x n , x ( 1,1],
0, x 1, 其极限函数：f ( x ) 1, x 1.
所以在x=1不连续，
fn ( x)
I
f(x).
7
2015年11月23日星期一
定理13.9
若 fn ( x)
f ( x)
x I,
则f ( x)也在I上连续 . 且n, f n ( x )在I连续，
即极限号与求导符号可交换。注：在本定理条件下，可推出
fn ( x)
f ( x)
15
2015年11月23日星期一
证
设f n ( x0 ) A,

数学分析13.2一致收敛函数列与函数项级数的性质

第十三章函数列与函数项级数 2 一致收敛函数列与函数项级数的性质定理13.8：设函数列{f n }在(x,x 0)∪(x 0,b)上一致收敛于f(x)，且对每个n ，x n lim →f n (x)=a n ，则∞→n lim a n 和0x n lim →f(x)均存在且相等.证：∀ε>0，∵{f n }一致收敛于f(x)，∴∃N>0，当n>N 和任意自然数p ，对一切x ∈(x,x 0)∪(x 0,b)有，|f n (x)-f n+p (x)|< ε，∴|a n -a n+p |=0x n lim →|f n (x)-f n+p (x)|≤ε，∴{a n }是收敛数列. 设∞→n lim a n =A ，则∀ε>0，∃N>0，当n>N 时，对一切x ∈(x,x 0)∪(x 0,b)同时有， |f n (x)-f(x)|<3ε和|a n -A|<3ε. 特别取n=N+1，有|f N+1(x)-f(x)|<3ε和|a N+1-A|<3ε. 又0xn lim →f N+1(x)=a N+1，∴∃δ>0，当0<|x-x 0|<δ时，|f N+1(x)-a N+1|<3ε，从而当x 满足0<|x-x 0|<δ时，有 |f(x)-A|≤|f N+1(x)-f(x)|+|f N+1(x)-a N+1|+|a N+1-A|<3ε+3ε+3ε=ε，即0xn lim →f(x)=A ，得证！注：定理13.8指出：∞→→n x n lim lim 0f n (x)=0xn n lim lim →∞→f n (x).定理13.9：(连续性)若函数列{f n }在区间I 上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数f 在I 上也连续.证：设x 0为I 上任一点，∵0xn lim →f n (x)=f n (x 0)，由定理13.8知， 0x n lim →f(x)存在，且0x n lim →f(x)=∞→n lim f n (x 0)=f(x 0)，∴f(x)在I 上连续.注：定理13.9指出：各项为连续函数的函数列在区间I 上其极限函数不连续，则此函数列在区间I 上不一致收敛. 如：函数列{x n }各项在(-1,1]上都连续，但其极限函数f(x)=⎩⎨⎧=< 1x 11|x |0，，在x=1时不连续，所以{x n }在(-1,1]上不一致收敛.推论：若连续函数列{f n }在区间I 上内闭一致收敛于f ，则f 在I 上连续.定理13.10：(可积性)若函数列{f n }在[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则⎰∞→b an lim f n (x)dx=⎰∞→ban n (x )f lim dx.证：设f 是{f n }在[a,b]上的极限函数. 由定理13.9，f 在[a,b]上连续， ∴f n (n=1,2,…)与f 在[a,b]上都可积. ∵在[a,b]上f n (x)⇉f(x) (n →∞), ∴∀ε>0，∃N>0，当n>N 时，对一切x ∈[a,b]都有|f n (x)-f(x)|<ε. 根据定积分的性质，当n>N 时，有⎰⎰-baban f(x)dx (x)dx f =f(x))dx (x)(f ban -⎰≤dx f(x )(x )f ban ⎰-≤ε(b-a).∴⎰∞→ban n(x )f lim dx=⎰ba f(x )dx =⎰∞→ba n lim f n (x)dx. 得证！例1：举例说明当{f n (x)}收敛于f(x)时，一致收敛性是极限运算与积分运算交换的充分条件，但不是必要条件.解：如f n (x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<≤<≤ 1x n 10，n 1x n 21x ，2na -a 2n21x 0 ，x 2na n n n , n=1,2,…. 其图像如图：{f n (x)}是[0,1]上的连续函数列，且∀x ∈[0,1]，∞→n lim f n (x)=0=f(x). 又Dx sup ∈|f n (x)-f(x)|=a n ，∴{f n (x)}在[0,1]上一致收敛于0的充要条件是：∞→n lim a n =0.∵⎰10n (x )f dx=2na n，∴⎰10n (x )f dx →⎰10f(x )dx=0的充要条件是：2n a lim n n∞→=0. 当a n ≡1时，{f n (x)}在[0,1]上不一致收敛于f(x)，但定理13.10仍成立. 而当a n =n 时，{f n (x)}不一致收敛于f(x)，且⎰10n (x )f dx ≡21不一致收敛于⎰10f(x )dx=0.定理13.11：(可微性)设{f n }为定义在[a,b]上的函数列，若x 0∈[a,b]为{f n }的收敛点，{f n }的每一项在[a,b]上有连续的导数，且{f ’n }在[a,b]上一致收敛，则())x (f lim dx d n n ∞→=⎪⎭⎫⎝⎛∞→)x (f dx d limn n . 证：设)x (f lim 0n n ∞→=A ，f ’n ⇉g (n →∞), x ∈[a,b]，则对任一x ∈[a,b]，总有f n (x)=f n (x 0)+⎰'x x n 0(t)f dt. 两边对n →∞取极限得：)x (f lim n n ∞→=A+⎰xx 0g(t)dt ，又)x (f lim n n ∞→=f(x)，∴f(x)=A+⎰xx 0g(t)dt. 两边微分得证！推论：设函数列{f n }定义在区间I 上的，若x 0∈I 为{f n }的收敛点，且{f ’n }在I 上内闭一致收敛，则f 在I 上可导，且f ’(x)=())x (f lim n n '∞→.例2：举例一致收敛性是极限运算与求导运算交换的充分条件，但不是必要条件. 解：如函数列f n (x)=2n 1 ln(1+n 2x 2)及f ’n (x)=22x n 1nx+, n=1,2,… 在[0,1]上都收敛于0，即∞→n lim f n (x)=∞→n lim f ’n (x)=0，∴在[0,1]上，∞→n lim f ’n (x)=(∞→n lim f n (x))’成立.又由][0,1x ∞n max lim ∈+→|f ’n (x)-f ’(x)|=nx 2nx lim∞n +→=21, 知导函数列{f ’n (x)}在[0,1]上不一致收敛. 但对任意δ>0，有,1][δx sup ∈|f ’n (x)-f ’(x)|=22,1] [δx x n 1nx sup+∈≤22δn 1n+→0 (n →∞), ∴{f ’n }在(0,1]上内闭一致收敛. ∴在(0,1]上，∞→n lim f ’n (x)=(∞→n lim f n (x))’成立.定理13.12：(连续性)若函数项级数∑(x)u n 在区间[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在[a,b]上也连续. 即有：∑⎪⎭⎫ ⎝⎛→(x)u lim nx n 0=()∑→(x)u lim n x n 0. 证：设x 0为[a,b]上任意一点，∑(x)u n 在区间[a,b]上一致收敛于S(x). 则∀ε>0，∃N>0，当n>N 时，对一切x ∈[a,b]，有|S(x)-S n (x)|<3ε, |S n (x 0)-S(x 0)|<3ε, 又u n (x)在[a,b] 上连续(n=1,2,……)， ∴对取定的n>N ，S n (x)在[a,b]上连续，∴对上述的ε，∃δ>0，当x ∈[a,b]，且|x-x 0|<δ时，|S n (x)-S n (x 0)|<3ε ，∴当x ∈[a,b]时，|S(x)-S(x 0)|=|S(x)-S n (x)+S n (x)-S n (x 0)+S n (x 0)-S(x 0)| ≤|S(x)-S n (x)|+|S n (x)-S n (x 0)|+|S n (x 0)-S(x 0)|<ε. 即S(x)在x 0连续，从而在[a,b]上连续. 得证！定理13.13：(逐项求积) 若函数项级数∑(x)u n 在区间[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则∑⎰ba n (x )u dx =⎰∑ba n (x )u dx.定理13.14：(逐项求导) 若函数项级数∑(x)u n 在每一项都有连续的导函数，x 0∈[a,b]为∑(x)u n 的收敛点，且∑'(x)u n 在[a,b]上一致收敛，则∑⎪⎭⎫ ⎝⎛(x )u dx d n =()∑(x)u dxdn . 证：设∑'(x)u n 在[a,b]上一致收敛于S *(x)，∵u ’n (x)在[a,b]上连续，由定理13.12知，S *(x)在[a,b]上连续. 又由定理13.13知，∀x ∈[a,b]，有⎰xa *(t)S dt=⎰∑'ba n (t)u dt=∑⎰'xa n (t)u dt =∑(x)u n -∑(a)u n =S(x)-S(a). 等式两端对x 求导得：S ’(x)=S *(x)=∑'(x)u n ，得证！例3：设u n (x)=3n1ln(1+n 2x 2), n=1,2,…. 证明：函数项级数∑(x)u n 在[0,1]上一致收敛，并讨论其和函数在[0,1]上的连续性、可积性与可微性. 证：对每个n ，易见u n (x)在[0,1]上递增，且当t ≥1时，有ln(1+t 2)<t ， ∴u n (x)≤u n (1)=3n 1ln(1+n 2)<3n 1·n=2n1, n=1,2,… 又∑2n1收敛，∴∑(x)u n 在[0,1]上一致收敛. 由每一个u n (x)在[0,1]上连续，知其和函数在[0,1]上的连续且可积.又u ’n (x)=)x n 1(n x2n 2232+=)x n 1(n 2x 22+≤)x n 1(n 2nx 222+≤2n 1, n=1,2,…知 ∑'(x)u n在[0,1]上一致收敛. ∴其和函数在[0,1]上可微.例4：证明：函数ζ(x)=∑∞=1n x n 1在(1,+∞)上有连续的各阶导函数. 证：记u n (x)=x n 1, u n (k)(x)=(ln n 1)k x n 1=(-1)k x knn ln , k=1,2,…. 对任意x ∈[a,b]⊂(1,+∞)，有|u n (k)(x)|=xkn nln≤a k nnln , k=1,2,….由∞→n lim 1)/2-(a k n n ln =0知，当n 充分大时，有1)/2-(a k n nln <1，从而 xk n n ln =1)/2-(a k 1)/2(a n n ln n 1⋅+<1)/2(a n 1+, 又∑+1)/2(a n 1收敛， ∴∑∞=1n (k )n (x )u 在[a,b]上一致收敛，从而∑∞=1n (k )n (x)u 在(1,+∞)上内闭一致收敛. ∴ζ(x)在(1,+∞)上有连续的各阶导函数，且ζ (k)(x)=(-1)k xkn nln, k=1,2,….习题1、讨论下列函数列在所定义的区间上：a. {f n }与{f ’n }的一致收敛性；b. {f n }是否有定理13.9~11的条件与结论.(1)f n (x)=nx n2x ++, x ∈[0,b]；(2)f n (x)=x-n x n , x ∈[0,1]；(3)f n (x)=nx 2-nx e, x ∈[0,1].解：(1)记∞n lim +→f n (x)=nx n2x lim∞n +++→=1=f(x)； b][0,x sup ∈|f n (x)-f(x)|=nx xsupb][0,x +∈→0 (n →∞)，∴{f n }在[0,b]上一致收敛性；记∞n lim +→f ’n (x)=2∞n n)(x nlim++→=g(x)； b][0,x sup ∈|f ’n (x)-g(x)|=2b][0,x n)(x nsup+∈→0 (n →∞)，∴{f ’n }在[0,b]上一致收敛性. 又∵f n (x)=nx n2x ++和f ’n (x)=2n)(x n +, n=1,2,… 在[0,b]上都连续， ∴{f n }有定理13.9~11的条件与结论.(2)记∞n lim +→f n (x)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→n x -x lim n ∞n =x=f(x)； [0,1]x sup ∈|f n (x)-f(x)|=n x sup n[0,1]x ∈→0 (n →∞)，∴{f n }在[0,1]上一致收敛性；记g(x)=∞n lim +→f ’n (x)=∞n lim +→(1-x n-1)=⎩⎨⎧<≤=1x 01，1 x 0，；∵{f ’n (x)}各项在[0,1]上连续，而g(x)在[0,1]不连续， ∴{f ’n }在[0,1]上不一致收敛性.又f n (x)=x-nx n, n=1,2,… 在[0,1]上都连续，∴{f n }有定理13.9~10的条件与结论，但不具有13.11的条件. 又f ’(x)=x ’=1≠∞n lim +→f ’n (x)，∴{f n }也不具有13.11的条件.(3)记∞n lim +→f n (x)=2-nx ∞n nx e lim +→=0=f(x)； [0,1]x sup ∈|f n (x)-f(x)|=2-nx [0,1]x nxe sup ∈=n ·2)1/2n n(e n21-=1/2e 2n →∞ (n →∞)，∴{f n }在[0,1]上不一致收敛性；记g(x)=∞n lim +→f ’n (x)=2-nx ∞n ne lim +→(1-2nx 2)=⎩⎨⎧=∞+≤<0x ，1x 0 0，；∵{f ’n (x)}各项在[0,1]上连续，而g(x)在[0,1]不连续，∴{f ’n }在[0,1]上不一致收敛性. 从而{f n }不具有定理13.9~11的条件. ∵f(x)=0在[0,1]上连续，∴{f n }有定理13.9的结论.∵⎰+→10nx -∞n 2nx e lim dx=⎰+→10nx -∞n 2e 21lim d(nx 2)=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→n ∞n e 2121lim =21≠⎰+→10n ∞n )x (f lim dx=0. 又{f ’n (x)}在x=0不收敛；∴{f n }不具有定理13.10~11的结论.2、证明：若函数列{f n }在[a,b]上满足定理13.11的条件，则{f n }在[a,b]上一致收敛.证：设f ’n (x)⇉g(x) (n →∞), x ∈[a,b]，则∀ε>0，∃N 1>0，当n>N 1时，对一切t ∈[a,b]，有|f ’n (t)-g(t)|<)a b (2ε-；又f n (x)点x 0收敛，∴对上述的ε>0，∃N 2>0，当n>N 2时，有|f n (x 0)-f(x 0)|<2ε. ∵对任意x,x 0∈[a,b]有f n (x)=f n (x 0)+⎰'xx n 0(t)f dt ，∴f(x)=∞→n lim f n (x)=f(x 0)+⎰xx 0g(t)dt. 取N=max{N 1,N 2}，则当n>N 时，有∴|f n (x)-f(x)|=|f n (x 0)-f(x 0)+[]⎰'xx ng(t)-(t)f dt | ≤|f n (x 0)-f(x 0)|+|⎰'xx ng(t)-(t)f dt |<ε. 得证.3、设S(x)=∑∞=1n 21-n nx , x ∈[-1,1]，计算积分⎰x 0S(t)dt .解：∵21-n n x ≤2n 1, x ∈[-1,1]，由M 判别法知∑∞=1n 21-n n x 在[-1,1]上一致收敛.又21-n n x (n=1,2,…)在[-1,1]上连续，∴⎰x 0S(t)dt =∑⎰∞=1n x 021-n dt n t =∑∞=1n 3nnx .4、S(x)=∑∞=1n nn cosnx , x ∈R ，计算积分⎰x0S(t)dt .解：∵nn cosnx ≤nn 1, x ∈R ，由M 判别法知∑∞=1n nn cosnx 在R 上一致收敛.又nn cosnx (n=1,2,…)在R 上连续，∴⎰x0S(t)dt =∑⎰∞=1n xdt nn cosnt =∑∞=1n 2nnsinnx .5、S(x)=∑∞=1n nx -ne , x>0，计算积分⎰ln3ln2S(t)dt .解：由(ne -nx )’=-n 2e -nx <0，知ne -nx 单调减，∴对任何x ∈[ln2,ln3]，有 ne -nx ≤ne-nln2=n 2n . 又由n n 2n =2n n→21<1 (n →∞)，知∑n 2n收敛.∴∑∞=1n nx -ne 在[ln2,ln3]上一致收敛. 又ne -nx (n=1,2,…)在[ln2,ln3]上连续，∴⎰ln3ln2S(t)dt =∑⎰∞=1n ln3ln2nt-dt ne =∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-1n n n3121=21.6、证明：函数f(x)=∑3n nxsin 在R 上连续，且有连续的导函数. 证：∵3n nx sin ≤3n 1, x ∈R ，由M 判别法知∑3nnxsin 在R 上一致收敛. 又3nnxsin (n=1,2,…)在R 上连续，∴f(x)在R 上连续. ∵|(3n nx sin )’|=|2n cosnx |≤2n 1，由M 判别法知∑2n cosnx在R 上一致收敛.又2ncosnx(n=1,2,…)在R 上连续，∴f(x)在R 上有连续的导函数.7、证明：定义在[0,2π]上的函数项级数∑∞=0n n cosnx r (0<r<1)满足定理13.13条件，且⎰∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=2π0n n dt cosnx r =2π. 证： ∵|r n cosnx|≤r n (0<r<1), x ∈[0,2π]，又∑ r n (0<r<1)收敛，由M 判别法知∑∞=0n n cosnx r 在[0,2π]上一致收敛.又r ncosnx 在[0,2π]上连续，∴∑∞=0n n cosnx r (0<r<1)满足定理13.13条件，且⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛∞=2π0n n dx cosnx r =∑⎰∞=0n 2π0ncosnx dx r . 又⎰2π0dx =2π，⎰2π0cosnx dx =0(n=1,2…)∴⎰∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=2π00n n dt cosnx r =2π.8、讨论下列函数列在所定义区间上的一致收敛性及极限函数的连续性、可微性和可积性：(1)f n (x)=x 2-nx e ,n=1,2,…, x ∈[-L,L]； (2)f n (x)=1nx nx+, n=1,2,…, I. x ∈[0,+∞)；II. x ∈[a,+∞) (a>0). 解：(1)∵∞n lim +→f n (x)=0=f(x), x ∈[-L,L]，且L][-L,x sup ∈|f n (x)-f(x)|=L][-L,x sup ∈| x 2-nx e |≤2ne1→0 (n →∞)，∴{f n (x)}在[-L,L]上一致收敛于0，且其极限函数f(x)=0在[-L,L]上连续可积可微. 又f n (x)=x 2-nx e ,n=1,2,…在[-L,L]上连续，∴()⎰+→LL -n ∞n dx (x )f lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰+→LL -n ∞n (x)dx f lim . ∵f ’n (x)=2-nx e(1-2nx 2), 且(x)f lim n ∞n '+→=⎩⎨⎧=≠≤≤ 0x 10x L x L -0，，且， ∴[(x)f lim n ∞n +→]’≠(x)f lim n ∞n '+→.(2)∵f(x)=∞n lim +→f n (x)=1=⎩⎨⎧+∞<≤<=x a 010x 0，，,且)[a,x sup +∞∈|f n (x)-f(x)|=1nx 1-sup)[a,x ++∞∈=1na 1+→0 (n →∞)， ∴{f n (x)}在[a,+∞) (a>0)上一致收敛于1，在[0,+∞)上内闭一致收敛. ∴其极限函数不在[0,+∞)上连续可积可微；但在[a,+∞) (a>0)上其极限函数f(x)=1连续可微，但不可积.9、证明：函数S(x)=∑xn 1在(1,+∞)上连续，且有连续的各阶导数. 证：∀x ∈(1,+∞)，取1<p<x ，则0<x n 1≤p n1，由M 判别法，知 ∑x n 1在[p,+∞)上一致收敛，在(1,+∞)上内闭一致收敛. 又x n 1在(1,+∞)上连续，∴S(x)在(1,+∞)上连续. 又)k (x n 1⎪⎭⎫ ⎝⎛=x k kn n ln )1(-, k=1,2,…在(1,+∞)上连续. ∀x ∈(1,+∞)，取1<p<x ，使x k kn n ln )1(-≤p k n n ln . 固定k ，取q>p>1，由p k n n ln /q n 1=q -p k n n ln →0 (n →∞)，及∑q n1收敛，知∑p k n n ln 收敛， ∴∑-x k kn n ln )1(在[p,+∞)上一致收敛，在(1,+∞)上内闭一致收敛. ∴S (k)(x)=∑⎪⎭⎫ ⎝⎛)k (x n 1=∑-x k kn n ln )1( 在(1,+∞)上连续. 得证！10、设f 在(-∞,+∞)上有任何阶导数，记F n =f (n), 且在任何有限区间内F n ⇉φ (n →∞)，试证：φ(x)=ce x (c 为常数). 证：由条件可知φ’(x)=[∞n lim +→f (n)(x)]’=∞n lim +→[f (n)(x)]’ =∞n lim +→f (n+1)(x)=φ(x). 即有φ(x )(x )φ'=1，两边取积分得：⎰'φ(x )(x )φdx =⎰dx +C ，即⎰φ(x )1d φ(x) =x+c 1， ∴ln φ(x)=x+c 1，即φ(x)=1c x e +=1c e e x =ce x (其中c=1c e 为常数).。

一致收敛函数列与函数项级数的性质

§2一致收敛函数列与函数项级数的性质有了一致收敛概念我们就可以回答本章开始时提出的问题。

连续性定理A 设在D 上nf −→−−→−)(x f ,且对∀n,函数)(x f n 在D 上连续 , ⇒)(x f 在D上连续.证要证 : 对∈∀0x , )(x f 在点0x 连续 . 即证:对0>∀ε, 0>∃δ, 当 |δ<-|0x x 时, ⇒ ε<-|)()(|0x f x f . |)()(||)()(||)()(| |)()(|0000x f x f x f x f x f x f x f x f n n n n -+-+-≤-. 估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项可以任意小; 而由函数)(x f n 在点0x 连续, 第二项|)()(|0x f x f n n -也可以任意小 . ……推论设在D 上)(x f n →)(x f . 若)(x f 在D 上间断，则函数列{)(x f n }在D 上一致收敛和所有)(x f n 在D 上连续不能同时成立.註定理A 表明: 对于各项都连续且一致收敛的函数列{)(x f n }, 有 )(lim lim )(lim lim 00x f x f n x x n n n x x →∞→∞→→=.即极限次序可换 .由定理A 可推得定理13.9（连续性）若函数项级数∞=1)(n n x u 在区间],[b a 上一致收敛，且每一项连续，则其和函数在],[b a 连续，即 ))((lim )(lim 11∑∑∞=→∞=→=n n x x n n x x x u x u 。

可积性定理B 若在区间] , [b a 上函数列{)(x f n }一致收敛 , 且每个)(x f n 在] , [b a 上连续. 则有 ()⎰⎰∞→∞→=baban n n n dx x f dx x f )(lim)(lim .证设在] , [b a 上nf −→−−→−)(x f , 由Th1, 函数)(x f 在区间] , [b a 上连续,因此可积. 我们要证 ⎰⎰=∞→baban n dx x f dx x f )()(lim. 注意到⎰⎰⎰-≤-ban baban f f f f || ,可见只要ab x f x f n -<-ε|)()(|在] , [b a 上成立.定理的条件可减弱为: 用条件“)(x f n 在] , [b a 上( R )可积”代替条件“)(x f n 在] , [b a 上连续”. 证明可参阅江泽坚著《数学分析》上册P350.关于函数列逐项积分条件的减弱有一系列的工作. 其中之一是: 定理设{)(x f n }是定义在区间] , [b a 上的函数列. 若{)(x f n }在] , [b a 上收敛且一致可积 , 则其极限函数)(x f 在] , [b a 上( R)可积 , 且有⎰⎰=∞→baban n f f lim .由定理B 可推得定理13.10（逐项求积性）若函数项级数∞=1)(n n x u 在区间],[b a 上一致收敛，且每一项连续，则可逐项求积，即 ⎰∑∑⎰∞=∞==ba n nn ban x udx x u 11)()(例研究函数 )1ln(1)(2213x n nx S n +=∑∞= 的连续性，可积性和可微性。

一致收敛函数列函数项级数的性质定理

确界极限
lim sup |
n xD
fn (x)
f
(x) | 0
命题设fn(x)C[a, b], 且 fn x 在(a, b)内一致收敛, 则 fn x 在[a, b]上一致收敛.
Weierst(x) | Mn, 且 M n 收敛 un (x) 一致收敛
lim
n
b a
fn
x dx

b a
lim
n
fn x
dx
b
f (x)dx
a
注用到连续性定理: f C[a, b], 从而f R[a, b]！

推论 (逐项可积性) 设un(x)C[a, b], 且 un (x) n1
在[a, b]上一致收敛, 则
若 fn x D f x, 则D1 D: fn x D 1 f x 若 fn x D f x, 则 fn (x) D f (x), 反之不然.
f n(x)在D上不一致收敛的肯定叙述:
f (x), 0 0,N N, nN N, xN D : | fnN (xN ) f (xN ) | 0.
n1
n1
AD判别法(函数项级数)
二、不一致收敛判别法结论
不点态收敛不一致收敛 Cauchy不一致收敛准则
n N , p N, xn D : | fn p (xn ) fn (xn ) | 0
点列极限
xn D :| fn (xn ) f (xn ) | 0 (n )
| fn p (x) fn (x) | .

思考 un (x) 在D上一致收敛的Cauchy准则？ n 1

函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质

y S(x)
y Sn (x)
I
x
定理(柯西收敛原理)

un ( x)在I上一致收敛于S( x) 0, N ( ) N ,
n1
当n N ( )时, x I ,p N , un1( x) un p( x) .

推论若 un ( x)在I上一致收敛，则 {un( x)}在I上一致 n1
即 0, N ( x0 , ) 0,当n N ( x0 , )时, | fn ( x0 ) f ( x0 ) |
定义设 fn(x)在点集I上逐点收敛于f (x)，且对
任意 0, 存在与x无关N ( ), 使得当n N时, 对一
切x I , 都有 fn(x) f (x) , 则称 fn(x)在I上一
>
N
时有
rn (x) (0 x )
这说明级数在 [0, +∞) 上一致收敛于 S(x) 1 . x 1
余项 rn (x) 一致收敛于 0
几何解释 : (如图)
0, N N , 当n > N 时, S(x) Sn (x) 表示曲线 y Sn (x) 总位于曲线 y S(x) 与y S(x)
之间.
y S(x)
y S(x)

例.
求证fn ( x)

1
x n2
x2
在(, )上一致收敛.
证明： x (, ),
lim
n
fn ( x)

x
lim
n
1

n2
x
2

0, 逐点收敛于f ( x)

函数项级数的一致收敛性及非一致收敛性判别法归纳

函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳一概念引言设函数列{}n f 与函数f 概念在同一数集D 上，假设对任给的正数ε，总存在某一正数N ，使适当N n >时，对一切D x ∈，都有()()ε<-x f x f n 那么称函数列{}n f 在上一致收敛于()x f ，记作()()x f x fn →→()∞→n ，D x ∈ 设()x u n 是概念在数集E 上的一个函数列，表达式()()(),21 ++++x u x u x u n E x ∈ )1(称为概念在E 上的函数项级数,简记为()x u n n ∑∞=1或()x u n ∑；称()()x u x S nk k n ∑==1, E x ∈, ,2,1=n )2(为函数项级数)1(的部份和函数列．设数集D 为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的收敛域，那么对每一个D x ∈，记∑∞==1)()(n n x u x S ，即D x x S x S n n ∈=∞→),()(lim ，称)(x S 为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数，称)()()(x S x S x R n n -=为函数项级数∑)(x u n 的余项．概念1]1[ 设{})(x S n 是函数项级数∑)(x u n 的部份和函数列，假设{})(x S n 在数集D 上一致收敛于函数)(x S ，或称函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于)(x S ，或称∑)(x u n 在D 上一致收敛．由于函数项级数的一致收敛性是由它的部份和函数列来确信，因此能够依照函数列一致收敛性概念取得等价概念．概念2]1[ 设{})(x S n 是函数项级数∑)(x u n 的部份和函数列，函数列{})(x S n ，和函数)(x S 都是概念在同一数集D 上，假设关于任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使适当N n >时，对一切D x ∈，都有ε<-)()(x S x S n ，那么称函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于函数)(x S ，或称∑)(x u n 在D 上一致收敛．同时由ε<-=)()()(x S x S x R n n ，故)(x R n 在D x ∈上一致收敛于0．概念3 设函数项级数∑)(x u n 在区间D 上收敛，其和函数为∑∞==1)()(n n x u x S ，部份和函数列∑==nk n n x u x S 1)()(，假设0>∃o ε，+∈∀N N ，N n o >∃及D x ∈'∃，使得o n x s x s o ε≥'-)()(，那么函数项级数∑)(x u n 在区间D 上非一致收敛．例1 试证∑∞=1n n x 在[]r r ,-）10(<<r 上一致收敛，但在)1,1(-内不一致收敛．证明显然∑∞=1n n x 在)1,1(-内收敛于xx-1．对任意的0>ε，欲使当N n >和r x r ≤≤-时，恒有ε<-=--+=∑xxx xxn nk k1111成立,只要当N n >时,恒有ε<-+rr n 11成立,只要当N n >时,恒有()rr n lg 1lg 1ε->+ 成立,只要当N n >时，恒有()r r n lg 1lg ε->成立，只要取()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=r r N lg 1lg ε即可．依概念，∑∞=1n nx 在[]r r ,-上一致收敛于x x -1．存在e o 2=ε，对任意自然数N ，都存在N N n o >+=1和()1,121-∈++=N N x o ，使 ε2111111111>⎪⎭⎫⎝⎛+++=-=--++=∑N o n o o o n k k oN N x x x x xo o成立，依概念，∑∞=1n n x 在)1,1(-内不一致收敛．二函数项级数一致收敛性的判定方式定理1 Cauchy 一致收敛准那么]1[函数项级数()∑x u n 在数集D 上一致敛的充要条件为：对0>∀ε，总+∈∃N N ，使适当N n >时，对一切D x ∈和一切正整数p ，都有()()ε<-+x S x S n p n 或 ()()()ε<++++++x u x u x u p n n n 21 或()ε<∑++=pn n k kx u 1专门地，当1=p 时，取得函数项级数一致收敛的一个必要条件：推论1 函数项级数在()∑x u n 在数集D 上一致收敛的必要条件是函数列(){}x u n 在D 上一致收敛于0．定理2]2[ 函数项级数()x u n n ∑∞=1在点集D 上一致收敛于)(x S 的充分必要条件是：()()0:sup lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-∑=∞→D x x S x u n k n n ．定理3 放大法]3[(){}x S n 是函数项级数()∑x u n 的部份和函数列,和函数)(x S ,都是概念在同一数集D 上,关于任意的n ,存在数列{}n a ()0>n a ,使得关于D x ∈∀,有()()()n n n a x S x S x R <-=,且0lim =∞→n n a ,那么称函数列(){}x S n 一致收敛于)(x S ,即函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛于函数)(x S .证明因0lim =∞→n n a ,故对任给的0>ε,+∈∃N N (与x 无关),使适当N n >时,对一切D x ∈,都有()()()ε<≤-=n n n a x S x S x R .由概念2得函数列(){}x S n 一致收敛于)(x S ,即函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛于)(x S .注:用放大法判定函数项级数()∑x u n 一致收敛性时,需要明白)(x S . 定理4 确界法函数项级数在数集D 上一致收敛于)(x S 的充要条件是 ()()()0sup lim sup lim =-=∈∞→∈∞→x S x S x R n Dx n n Dx n证明充分性设(){}x S n 是函数项级数()∑x u n 的部份和函数列, )(x S 为和函数,那么有()()()x S x s x R n n -=，并令()x R a n Dx n ∈=sup ，而()0sup lim =∈∞→x R n Dx n ，即0lim 0=→n n a ,由定理3(放大法)得知函数项级数()∑x u n 一致收敛于函数)(x S .必要性注：实质上是用极值的方式把一致收敛问题转化为求数列极限的问题．定理5 若()∑x u n 在区间D 上收敛,那么()∑x u n 在D 上一致收敛的充要条件是{}D x n ⊂∀,有()0lim =∞→x R n n .证明充分性假设()∑x u n 在D 上不一致收敛,那么0>∃o ε,{}D x n ⊂∃,使得()()o n x S x S ε≥-,如此取得{}D x n ⊂,但()0lim ≠∞→n n n x R ,这与已知条件矛盾.必要性因已知()∑x u n 在D 上一致收敛,因此N ∃>∀,0ε,使适当N n >时,对一切D x ∈,都有()()ε<-x S x S n ,关于{}D x n ⊂∀,那么有()()ε<-n n n x S x S ,即()ε<n n x R ,得()0lim =∞→n n n x R .例2 设()0≥x u n ， 2,1=n ，在[]b a ,上持续，又()x u n ∑在[]b a ,收敛于持续函数()x f ，那么()x u n ∑在[]b a ,一致收敛于()x f ．证明已知()()()x S x f x R n n -=（其中()()∑==nk k n x u x S 1）是单调递减且趋于0，因此[]b a x N n ,,∈∀∈∀有()0≥x R n ，且[]ε∀∈∀,,0b a x >0,()εε,),(00,0x x N n N ≥>∃时,有()ε<≤00x R n .将n 固定,令()ε,00x N N n ==,因为()()()x S x f x R n n -=在[]b a ,上持续,既然()ε<x R n ,因此00>∃δ,当()0000,δδ+-∈x x x 时, ()ε<0x R n .从而0N n >时更有()ε<x R n 即()ε<x R n ,仅当()0000,δδ+-∈x x x .如上所述,对每一个点[]b a x ,∈λ,可找到相应的领域()λλλλδδ+-x x ,及相应的λN ,使得λN n >时,对∈x ()λλλλδδ+-x x ,恒有()ε<x R n .如此{()λλλλδδ+-x x ,:[]b a x ,∈λ}组成[]b a ,的一个开覆盖,从而必存在有限子覆盖,不妨记为{()()r r r r x x x x δδδδ+-+-,,,1111 },于是[]b a x ,∈∀,总{}r i ,2,1∈使得i i i i x x x δδ+-∈,(),取{}r N N N N ,,max 21=,那么N n >时,恒有()ε<x R n ,由定理5得()x u n∑在[]b a ,一致收敛于()x f .定理6 M 判别法或优先级判别法或Weierstrass 判别法]1[设函数项级数()x u n ∑概念在数集D 上,∑n M 为收敛的正项级数,假设对一切D x ∈,有 2,1,)(=≤n M x u n x)3(那么函数项级数()x u n ∑在D 上一致收敛.证明由假设正项级数()x u n ∑收敛,依照函数项级数的Cauchy 准那么,∀0>ε,∃某正整数N ,使适当N n >及任何正整数p ,有ε<+=++++++p n n p n n M M M M 11又由(3)对一切D x ∈,有()≤+≤++++++x u x u x u x u p n n p n n )()()(11ε<+++p n n M M 1依照函数项级数一致收敛的Cauchy 准那么,级数()x u n ∑在D 上一致收敛.注:假设能用从判定()∑∞=1n n x u 一致收敛,那么()∑∞=1n n x u 必是绝对收敛,故M 判别法对条件收敛的函数项级数失效.例3 函数项级数∑∑22cos ,sin n nxn nx 在()+∞∞-,上一致收敛,因为对一切∈x ()+∞∞-,有22221cos ,1sin nn nx n n nx ≤≤,而正项级数∑21n 是收敛的. 推论2 设有函数项级数()x u n ∑,存在一收敛的正项级数∑∞=1n n a ,使得关于,I x ∈∀有()()+∞<≤=∞→k k a x u nn n 0lim,那么函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间I 一致收敛证明已知()()+∞<≤=∞→k k a x u nn n 0lim,即,,,,00I x N n N N ∈∀>∀∈∃>∃+ε有()0ε<-k a x u n n 即()k a x u n n +<0ε,从而()()n n a k x u +<0ε,又因为∑∞=1n n a 收敛,那么()n n a k ∑∞=+1ε也收敛,由M 判别法得函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间I 一致收敛.由广义调和级数∑∞=11n pn,当1>p 时收敛,故当n a =p n 1时,有推论2' 设有函数项级数()∑∞=1n n x u ,假设存在极限k x u n n p n =∞→)(lim 且1,0>+∞<≤p k ,那么函数项级数()x u n ∑在区间I 一致收敛.例4 证明函数项级数∑∞=+++1)1)((1n n x n x 在[)∞,0是一致收敛的.证明关于∑∞=+++1)1)((1n n x n x ,存在收敛的正项级数∑∞=121n n,且=+++⋅∞→)1)((1lim 2n x n x n n 1)1)((lim 2=+++∞→n x n x n n 由的推论2与推论2'得, ∑∞=+++1)1)((1n n x n x 在[)∞,0一致收敛.定理7 比较判别法[]4两个函数项级数()∑x u n 与()x v n ∑,假设N N ∈∃0,当I x N n ∈∀>∀,0有()x v c x u n n <)((其中c 为正常数),且函数项级数()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,那么函数()x u n ∑区间I 绝对一致收敛.证明已知 ()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,即对cε∀0>(其中c 为正常数),11,N n N N >∀∈∃及I x N p ∈∈,,有()()()cx v x v x v p n n n ε<++++++ 21；又由条件知I x N n N ∈>∀∃,,00有()x v c x u n n <)(；取{},,max 01N N N =当I x N p N n ∈∈∀>∀,,,有()()()<++++++x u x u x u p n n n 21()()()()εε=⋅<++++++cc x v x v x v c p n n n 21．由收敛级数一致收敛Cauchy 准那么知，函数项级数∑)(x u n 在区间I 一致收敛，从而函数项级数()x u n ∑在区间I 绝对一致收敛.定理8[]4 假设有函数级数()∑x u n 与()x v n ∑,N N ∈∃0,I x N n ∈∀>∀,0有()x cv x u n n <)((其中c 为正常数),且函数项级数()∑∞=1n n x v 在区间I 一致收敛,那么函数()∑∞=1n n x u 区间I 绝对一致收敛.证明已知I x N n N ∈>∀∃,,00,有()x v c x u n n <)((其中c 为正常数). 又函数项级数()∑∞=1n n x v 在区间I 绝对一致收敛,即I x N p N n N N c∈∈>∀∈∃>∀,,,,011ε,有()()()()cx v x v x v x v x v p n n p n n n ε<+=++++++++ 121)(；取{},,max 10N N N =当I x N p N n ∈∈>∀,,有()()()()()()x u x u x u x u x u x u p n n n p n n n +++++++++≤++ 2121()()()x v x v c p n n ++++< 1εε=⋅<cc从而函数项级数()x u n ∑在区间I 绝对一致收敛.推论3 比较极限法假设有两个函数级数()∑∞=1n n x u 与()())0(1≠∑∞=x v x v n n n ,且有()()k x v x u nn n =∞→lim且+∞<≤k 0,假设级数()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,那么函数()∑x u n 在区间I 也绝对一致收敛.证明由()()k x v x u nn n =∞→lim且+∞<≤k 0,即,,00N n ∈∃>∀ε当I x N n ∈>,有()()0ε<-k x v x u n n 使()()c k x v x u n n =+<0ε且00>+=εk c .即N n >∀及I x ∈有()()x v c x u n n <,又级数()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,由比较判别法定理7知级数()∑∞=1n n x u 在区间I 绝对一致收敛.推论4[]4 有函数列(){}x u n 在区间I 上一致有界,且函数级数()∑∞=1n n x v 在区间I 绝对一致收敛,那么函数级数()()x v x u n n ∑在区间I 上也绝对一致收敛.证明由已知函数列(){}x u n 在区间I 上一致有界,即I x N n M ∈∈∀>∃,,0有()M x u n ≤,使当I x N n ∈∈∀,有()()()x v M x v x u n n n ≤⋅,又因函数级数()∑x v n 在区间I 绝对一致收敛,由比较判法定理7知, 函数级数()()x v x u n n ∑在区间I 上绝对一致收敛.例5 假设函数级数()()x c x a n n ∑∑,在区间I 一致收敛,且I x N n ∈∈∀,,有()()()x c x b x a n n n ≤≤,那么函数项级数()x b n ∑在区间I 上一致收敛.证明由条件函数()()x c x a n n ∑∑,在区间I 一致收敛,那么级数()()()∑-x a x c n n 在区间I 上一致收敛.又I x N n ∈∈∀,有()()()x c x b x a n n n ≤≤,故()()()()x a x c x a x b n n n n -≤-≤0且级数()()()∑-x a x c n n 在区间I 绝对一致收敛,由定理8知,级数()()()∑-x a x b n n 在区间I 上一致收敛.又已知()x a n ∑在区间I 一直收敛,从而级数()()()()()[]()()()()x a x a x b x a x a x b x b nnnnnnn∑∑∑∑+-=+-=在区间I 上一致收敛.推论5 设函数项级数()∑x u n 概念在数集]2[上，()∑x v n 在上一致收敛且()0>x v n ，假设对一切D x ∈，有()()x v x u n n ≥， ,2,1那么函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛.定理9 逼近法[]5假设对任意的自然数n 和D x ∈,都有()()()x w x u x v n n n ≤≤成立,又()x v n ∑和()x w n ∑都在数集D 上一致收敛于)(x S ,那么()x u n ∑也在D 上一致收敛于)(x S .证明设()()x v x V nk k n ∑==1，()()x u x U nk k n ∑==1，()()x w x W nk k n ∑==1因为D x N n ∈∀∈∀+,都有()()()x w x u x v n n n ≤≤,因此D x N n ∈∀∈∀+,有()()()x W x U x V n n n ≤≤.又()x v n ∑,()x w n ∑在区间D 上一致收敛于)(x S ,即 +∈∃>∀N N ,0ε,当N n >时,对一切D x ∈∀有()()()εε+<<-x S x V x S n 及()()()εε+<<-x S x W x S n ；因此+∈∃>∀N N ,0ε,当N n >时,对一切D x ∈∀有()()()()()εε+<≤≤<-x S x W x U x V x S n n n .由函数项级数一致收敛概念知, ()x u n n ∑∞=1在D 上也一致收敛于)(x S .定理10 由有性质判别若()x u n ∑和()x v n ∑在点集D 上一致收敛，那么[]∑±)()(x v x u nn在D 上也一致收敛证明由()x u n ∑和()x v n ∑均在点集D 上一致收敛知，对N ∃>∀,0ε（自然数），使适当N n ≥时，对∀自然数p 和x 有()()()ε<+++++x u x u x u p n n n 21 ()()ε<++++++x v x v x v p n n n 21)(因此 ()()()()()())()()(2211x v x u x v x u x v x u p n p n n n n n ++++++++++++()()()+++≤+++x u x u x u p n n n 21()()x v x v x v p n n n ++++++ 21)( εεε2=+<由函数项级数一致收敛的Cauchy 收敛准那么知，[]∑±)()(x v x u nn在D 上也一致收敛定理11 Dini 定理设()()()() ,2,10,0=≤≥n x u x u n n 在[]b a D ,=上持续，又()x u n ∑在[]b a ,上收敛于持续函数，那么函数项级数()x u n ∑在[]b a ,一致收敛．利用步骤：⑴判定()0≥x u n 且持续；⑵求和函数)(x S ；⑶判定求和函数)(x S 在[]b a ,上持续．Abel 引理定理12 Abel 判别法[]1 证明推论6 设函数项级数()x u n ∑在D 上一致收敛，函数()x g 在D 上有界，那么()()x u x g n∑在D 上一致收敛.证明因为()x g 在D 上有界,因此,0>∃M 使()M x g ≤,对D x ∈∀成立.因()x u n ∑在D 上一致收敛,,0,,0>∃>∀∴p N ε使当N n >,时有()Mx u pn nk k ε<∑+=,对D x ∈∀成立,此式说明()()()()εε=⋅<<∑∑+=+=MM x u x g x u x g p n nk k pn nk k .由Cauchy 准那么知()()x u x g n ∑在D 上一致收敛.定理13 Dirichlet 判别法[]1设(i )()x u n ∑的部份和函数列()()x u x s nk k n ∑==1在I 上一直致有界;(ii )对每一个I x ∈，()x v n 单调; (ⅲ)在I 上()()∞→→n x v n 0,那么级数和()()x u x v n n ∑在I 上一致收敛.证明充分性由(i )∃正数M ,对一切I x ∈,有()M x s n ≤,因此当为任何正整数p n , 时()()()()()M x s x s x u x u x u n p n p n n n 221≤-=++++++ ,对任何一个I x ∈,再由(ii )及Abel 引理,取得 ()()()()()x v x v M x v x v x v p n n p n n n ++++++≤+++22)(121 .再由(ⅲ)对,0,0>∃>∀N ε当N n >时,对一切I x ∈,有()ε<x v n ；因此()()()()εεεM M x v x u x v x u p n p n n n 6)2(211=+<++++++于是由一致收敛的Cauchy 准那么级数()()x u x v n n ∑在I 上一致收敛.注:事实上必要性也成立,即已知()()x u x v n n ∑在I 上一致收敛,可推出(i )(ii )(ⅲ)成立,那个地址再也不赘述.例6 假设数列{}n a 单调且收敛于0,那么级数∑nx a n cos 在[]()πααπα<<-02,上一致收敛.证明由()π2,0,2sin221sin cos 211∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∑=x x xn kx n k 得在[]απα-2,上有212sin 21212sin21212sin 221sin cos 1+≤+≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑=αx x x n kx nk ,因此级数∑nx cos 的部份和函数列在[]απα-2,上一致有界,于是令()()nnna x v nx x u ==,cos ,那么由Dirichlet 判别法可得级数∑nx a n cos 在[]()πααπα<<-02,上一致收敛.定理14 积分判别法[]4设()y x f ,为区域(){}+∞<≤∈=y D x y x R 1,|,上的非负函数, ()x u n ∑是概念在数集D 上的正项函数级()()n x f x u n ,=,若是()y x f ,在[)+∞,1上关于y 为单调减函数,假设含参变量反常积分()⎰+∞1,dy y x f 在数集D 上一致收敛,那么()x u n ∑在数集D 上一致收敛.证明由()⎰+∞1,dy y x f 在数集D 上一致收敛,对0>∀ε,∃一个N ,当N n >时,对一切自然数p 和一切D x ∈,有()ε<⎰+pn ndy y x f ,.由()()()<+++++x u x u x u p n n n 21()ε<⎰+pn ndy y x f ,,因此()x u n ∑在数集D 上一致收敛.例7 设()∑∞=-⋅=1n nx e n x S ,证明()x S 在区间()+∞,0持续.证明第一对任意取定一点()+∞∈,00x ,都存在0>δ,使得[)+∞∈,0δx ,咱们只要证明()x S 在0x 即可.令()yx e y y x f -⋅=,,[)+∞∈,δx ,由()δy yx e y e y y x f --⋅<⋅=,,[)+∞∈,δx ,而且无穷级数dy e y y ⎰+∞-⋅δδ1收敛,因此含参积分dy e y y ⎰+∞-⋅δδ1在[)+∞∈,δx 上一致收敛.又因为()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+∞<≤=∈<-=-δ1,0|,,,01,y x y x R y x yx e y x f yx y 即对任意固定[)+∞∈,δx ,()yx e y y x f -⋅=,关于y 在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1δ上是单调递减的,由定理14知,函数级数∑∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⋅11δn nxen 在区间[)+∞∈,δx 上是一致收敛的.利用函数项级数的性质可得, ()∑∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⋅=11*δn nxen x S 在区间[)+∞∈,δx 持续,从而()()x S e n x S n nx *11+⋅=∑=-δ在区间[)+∞∈,δx 也持续,因此()x S 在0x 持续,由0x 在()+∞,0的任意性可知, ()x S 在()+∞,0上持续.含参变量无穷积分与函数项级数都是对函数求和的问题,前者持续作和,后者离散作和,因此它们的一致收敛性概念及判别法都是平行的,而且所表示的函数分析性质(如持续、可微、可积性)也一致,在此不在赘述.由定理14,咱们可利用积分的便利条件判定某些数项级数的一致收敛,也可用函数项级数的一致收敛性判别某些含参变量积分一致收敛.定理15 函数列(){}x u n 在[]b a ,上持续且单调,级数()∑a u n 和级数()||b u n 收敛,那么级数()x u n ∑在[]b a ,上一致收敛.证明级数()∑a u n 和()∑b u n 收敛.那么()∑a u n +()∑b u n 收敛.由(){}x u n 在[]b a ,上持续且单调,那么()||x u n <()||a u n +()||b u n ,由M 判别法知,级数()x u n ∑在[]b a ,上一致收敛.定理16[]6 设函数()x u n ,() ,2,1=n 在[]b a ,上可微(其中b a ,为有限数),且知足如下条件:(i )函数项级数()x u pn n k k∑++=1在[]b a ,上收敛;(ii )存在常数M ,使得对任意的自然树1≥m ,任意的实数[]b a x ,∈,恒有()M x u n<∑/,那么函数项级数()x u n n∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.证明对0>∀ε,因为b a ,为有限数,因此存在自然数k ,使得()εεk a b k a +≤≤-+1,咱们在闭区间[]b a ,上插入分点i a x a x i ε+==,0,()1,2,1-=k i ,b x k =,于是,闭区间被分成k 个小区间[]i i x x ,1-,()k i ,2,1=.从而有[]b a ,=[]i i ki x x U ,11-=.又因为函数项级()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上是收敛的,故对任意i x ()1,2,1-=k i ,存在自然数()i x N ,ε,使得()i x N n ,ε>时,对任意p ,有()ε<∑++=pn n j ijx u 1.于是,对任意[]i i x x x ,1-∈,在自然数()i x N ,ε,使得()1,->i x N n ε时, 对任意p ,有()()()()ipn n j jp n n j p n n j ijjpn n j jx u x u x u x u ∑∑∑∑++=++=++=++=+-=1111()()()∑∑∑++=++=++=+-≤pn n j ijpn n j pn n j ijjx u x u x u 111()εε+-≤-++=∑11/i pn n j j x x u()()εεε+--≤-=+=∑∑11/1/i nj jpn j jxx u u()()εεε+-+≤-=+=∑∑11/1/||i nj j pn j j x x u u()ε12+≤M因此,对0>∀ε,存在自然数(){}1,,1,0|,max 0-==k i x N N i ε,使适当0N n >时,任意[]b a x ,∈,任意自然数p ,均有()ε)12(1+<∑++=M x u pn n j j.即函数项级数()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.定理17 设()x u nn ∑为概念在数集D 上的函数项级数,D x ∈0为()x u nn ∑的收敛点,且每一个()x u n 在上一致可微, ()x u nn ∑/在上一致收敛,记()=x S ()x u nn ∑.定理18 设函数列(){}x u n 在闭区间[]b a ,上持续可微,且存在一点[]b a x ,0∈,使得()x u n n ∑∞=1在点0x处收敛; ()x u n n ∑∞=1/在[]b a ,上一致收敛,那么函数项级数()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.证明已知()x u n n ∑∞=1在点[]b a x ,0∈处收敛, ()x u n n ∑∞=1/在[]b a ,上一致收敛.即对()εε1,N o ∃>∀,使得()ε1N n ≥时,对+∈∀N p ,有()ε<∑+=+=p n k n k kx u 1成立.对[]b a x ,∈∀,有()ε<∑+=+=p n k n k k x u 1/.依照拉格朗日中值定理,[]b a x N p N n ,,,∈∀∈∀>∀+,有()()∑∑++=++=-pn n k pn n k kkx u x u 11≤()∑+=+=p n k n k ku 1/ξ0x x -<()a b -ε,(ξ介于x 与0x 之间)．于是[]b a x N p N n ,,,∈∀∈∀>∀+，()()()()∑∑∑∑++=++=++=++=+-≤pn n k kp n n k p n n k kkpn n k kx u x u x u x u 1111||()()1+-=+-≤a b a b εεε．即()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.引理2 假设函数项级数()x u n ∑在[]b a ,上收敛，()()N n b x u n n bx ∈=-→lim 则()x u n ∑在[]b a ,一致收敛的必要条件是()x b n n ∑∞=1收敛.证明由函数项级数的柯西收敛准那么有，[]b a x N p N n N N ,,,,,0∈∀∈∀>∀∈∃>∀++ε，有()()()ε<+++++x u x u x u p n n n 21.()4又()n n bx b x u N n =∈∀-→+lim ,,在(4)的两头取极限,令-→b x 得ε≤+++++p n n n b b b 21,于是由Cauchy 收敛准那么知()x b n n ∑∞=1收敛.（①若()n n x b x u b =+∞=+∞→lim ,,那么()x u n ∑在[)+∞,a 一致收敛的必要条件是()x b n ∑收敛.②若(){}x u n 在[)b a ,持续,那么()x u n ∑在[)b a ,一致收敛()b u n ∑⇒收敛.)定理19 利用内闭一致收敛判别[]7假设函数项级数()x u n ∑在[)b a ,内闭一致收敛,那么()x u n ∑在[]b a ,一致收敛⇔{}[)b x b a x n n n =⊂∀+∞→lim ,,,级数()n n x u ∑收敛. 证明必要性,充分性用终归法,那个地址再也不赘述.注:仅由闭一致收敛性和引理的必要条件(集函数级数在区间端点收敛或端点的极限级数收敛)是不能取得函数级数在区间一致收敛的.例8 证明∑∞=1sin n n nx在()π2,0内闭一致收敛,且在端点收敛,但在()π2,0不一致收敛. 证明 ∑<<∀nx sin ,0,πεε的部份和函数列(){}x S n 在[]επε-2,一致有界,而⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1在[]επε-2,一致收敛于0,于是由Dirichlet 判别法知, ∑nnx sin 在[]επε-2,一致收敛,从而在()π2,0内闭一致收敛.当0=x 或π2时,级数显然收敛.取()+∈∈=N n nx n ,2,02ππ,那么0lim =∞→n n x 但()∑∑∑∞=∞==⋅=1112sin n n n n n nn n x u π发散,故由定理19知, ∑∞=1sin n n nx在()π2,0不一致收敛. 推论7 若()x u n ∑在[)+∞,a 内闭一致收敛,那么()x u n ∑在[)+∞,a 一致收敛的充要条件是{}[)+∞=+∞⊂∀∞→n n n x a x lim ,,, ()x u n ∑皆收敛.证明与定理19类似,略.定理20[]7 设函数级数()x u n ∑在[)b a ,收敛,且知足引理2中必要条件,那么()x u n ∑在[)b a ,一致收敛⇔[){}[)00lim ,,,,x x b a x b a x n n n =⊂∀∈∀∞→,()n n n x u ∑∞=1皆收敛.证明必要性用反证法.假设[]{}[]00lim ,,,,x x b a x b a x n n n =⊂∃∈∃∞→,而()n n n x u ∑∞=1发散.若a x =0或b x =0,那么由定理20知不可;假设()b a x ,0∈,那么存在{}n x 的子列{}kn x 或00lim ,x x x x k k n k n =≥∞→或00lim ,x x x x k k n k n =≤∞→,于是由定理19知()x u n ∑在()b x ,0或()0,x a 在不一致收敛,从而在[)b a ,不一致收敛,矛盾.必要性获证.充分性用反证法.设()x u n n ∑∞=1在[)b a ,不一致收敛,那么由定理18的证明可得,{}[)b a x n ,⊂且[]b a x x n n ,lim 0∈=∞→而()n n n x u ∑∞=1发散,矛盾.推论8 设()x u n n ∑∞=1在[)+∞,a 收敛,且知足引理的必要条件,那么()x u n ∑在[)+∞,a 一致收敛⇔[)+∞∈∀,0a x 或{}[)00lim ,,,x x a x x n n n =+∞⊂∀+∞=∞→,()n n n x u ∑∞=1皆收敛.证明与定理20的类似,略.推论12[]4 设∑)(x u n 使概念在数集D 上的正项函数项级数，)(x u n ，),2,1( =n 在D 上有界，假设D x n ∈∞→,时，1)()(1-+x u x u nn n 一致收敛于)(x q ，设{})(inf x q q =，那么当1>q 时，∑)(x u n 在D 上一致收敛．证明由1>q ，D x n ∈∞→,时,1)()(1-+x u x u nn n 一致收敛于)(x q ，取10-<<∀q ε，11,N n N ≥∃时，对一切D x ∈，有ε<--+)(1)()(1x q x u x u nn n ，因此1)(1)()(1>->->-+εεq x q x u x u n n n ，取22,,1N n N q s ≥∃-<<ε，有sn n q 111+≥-+ε，取{}21,max N N N o =，当O N n >时，对一切D x ∈,有sssn n n n n n q x u x u )1(111)()(1+=+>-+>+ε，因此)()1()(1x u n x u n n s n s ++≥，因此s S O N SOn sn M N x u N x u n O ≤≤)()(，由1>s 时，∑sSO nMN 收敛，由优级数判别法可知∑)(x u n 在D 上一致收敛．推论13 函数列{})(x u n 概念于数集D 上，且)(1x u 在D 上有界，假设+∈∃N N 对一切的D x N n ∈∀>,，有1)()(1<≤+q x u x u n n ，那么函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛．证明不妨设关于+∈∀N n ,有q x u x u n n ≤+)()(1，即q x u x u n n )()(1≤+，那么1=n ，q x u x u )()(12≤，假设当1-=k n ，111)()()(--≤≤k k k q x u q x u x u 成立，那么当k n =，k k k q x u q x u x u )()()(11≤≤+也成立，故由数学归纳法得11)()(-≤n n q x u x u ，且)(1x u 在D 有界，即0>∃M ，对D x ∈，有M x u ≤)(1因此1)(-≤n n Mq x u ，又已知几何级数∑∞=1n n q 收敛，故级数∑∞=-11n n Mq收敛，由优级数判别法知∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛．推论14 函数列{})(x u n 概念于数集D 上，且)(1x u 在D 上有界，假设D x ∈∀，有1)()(lim1<=+∞→l x u x u n n n ，那么函数项级数在D 上一致收敛．证明因为1)()(lim1<=+∞→l x u x u n n n ．即1-=∃q o ε )1(<<q l ,+∈∃N N ,对一切D x N n ∈∀>,，有1)()(1-≤-+q l x u x u n n ，即q x u x u n n ≤+)()(1，由推论10得函数项级数∑∞=1)(n n x u 在数集D 上一致收敛．例11 判定函数项级数∑∞=1!n nn xn n 在[)+∞,1上一致收敛性．证明因为11)(1≤=xx u ，且 11111lim !)1()!1(lim )()(lim 111<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=∞→++∞→+∞→e xe x n n n x n x n n x u x u nn n n n n n nn n ，由推论13可知函数项级数∑∞=1!n nn x n n 在[)+∞,1上一致收敛．定理23[]8 （根式判别法）设∑)(x u n 为概念在数集D 上的函数项级数，记n n n x u x q )()(=，假设存在正整数N ，正数q ，使得1)(<≤q x u n n 对一切的N n >，D x ∈成立，那么函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛．证明由定理条件n n q x u ≤)(对一切N n >，D x ∈成立，而几何级数∑n q 收敛，由优级数判别法知，函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛．推论15[]8 （根式判别法的极限形式）设)(x u n 为概念在数集D 上的函数列，假设nn x u )(一致收敛于)(x q ，且1)(<≤q x q {}1)(sup (<∈x q Dx ，即1)()(lim <≤=∞→q x q x u n n n ，对D x ∈∀成立，那么函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛．证明由n n x u )(一致收敛于)(x q )(∞→n ，取q -<<10ε，O N ∃,当o N n >时，对一切D x ∈有ε<-)()(x q x u n n ，因此εε+<+<q x q x u n n )()(，因此n n q x u )()(ε+<，又因为1<+εq ，由优级数判别法知∑)(x u n 在D x ∈上一致收敛．推论51' 设()∑x u n 为概念在数集D 上的正项函数项级数，记()n n n x u q =，假设()1sup lim <=∈∞→q x q n Dx n ，那么函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛．证明由假设()1sup lim <=∈∞→q x q n Dx n ，那么存在正整数N ,使适当N n >时，有()1<≤q x q n ，那么对任意的N n >，D x ∈∀有 ()n n q x u ≤，而几何级数∑n q 收敛，由函数项级数一致收敛性优级数判别法知()∑x u n 在D 上一致收敛，即得证．例12 函数项级数∑n xn在()()+∞⋃-∞-,,r r 上一致收敛，（其中r 是实常数且1>r ），因为()xnx u q nn n n ==，设()()+∞⋃-∞-=,,r r D ，()11lim sup lim <==∞→∈∞→r r n x q nn n D x n ，由推论51'得函数项级数∑n xn在()()+∞⋃-∞-,,r r 上一致收敛．推论16[]8 有函数项级数()∑x u n ，假设对D x ∈∀，有()1lim <=∞→l x u n n n ，那么函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛．证明因()1lim <=∞→l x u n n n ，那么1-=∃q o ε，1<<q l ，+∈∃N N ，D x ∈∀，有()l q l x u nn -<-，即()1<<q x u n n ，从而()n n q x u <依定理8得函数项级数()∑x u n 在D上一致收敛．例13 判别函数项级数nn x ∑⎪⎭⎫⎝⎛+12在R 上的一致收敛性．证明因()1012lim lim 12<=+=∞→+∞→n xn nnn x n ，依推论15函数项级数nn x ∑⎪⎭⎫⎝⎛+12在R 上一致收敛．定理24[]8 （对数判别法）设()x u n 为概念在D 上的正的函数列，假设()()x p nx u n n =-∞→ln ln lim 存在，那么①若D x ∈∀，()1>>p x p 对，那么函数项级数()∑x u n 一致收敛；②假设对D x ∈∀，()1<<p x p ，那么函数项级数()∑x u n 不一致收敛．证明由定理条件知，对任意0>ε，N ∃，使得对一切N n >，有()()()εε+<-<-x p nx u x p n ln ln ，即()()()εε-+<<x p n x p n x u n 11，那么当()1>>p x p 对D x ∈∀成立时，有()pn n x u 1<，而p 级数∑p n 1当1>p 时收敛，由优级数判别法知函数项级数()∑x u n 在D 上一致收；而当()1<<p x p ，对D x ∈∀成立时，有()p n n x u 1>，而p 级数∑p n1当1<p 时发散，从而函数项级数()∑x u n 不一致收敛．定理25 设函数项级数()∑x u n ，()∑x v n 都是概念在数集D 上的正项函数项级数，当D x ∈，∞→n 时，()()x v x u n n 一致收敛于()x q ，设(){}1inf q x q D x =∈，(){}2sup q x q D x =∈；①当+∞<=21,0q q 时，假设()∑x v n 在D 上一致收敛，那么()∑x u n 在D 上也一致收敛． ②当+∞=>21,0q q 时，假设()∑x u n 在D 上一致收敛，那么()∑x v n 在D 上也一致收敛． ③当+∞<>21,0q q 时，()∑x u n 与()∑x v n 在数集D 上同时一致收敛，或同时不一致收敛．证明由当D x ∈，∞→n 时，()()x v x u n n 一致收敛于()x q ，那么任取0>ε，总+∈∃N N ，当N n >时，对一切D x ∈有()()()ε<-x q x v x u n n，取得()()()()εεεε+<+<<+-≤+-21q x q x v x u x q q n n 即()()()()()x v q x u x v q n n n εε+<<-21．①当+∞<=21,0q q 时，由上式的右半部份可知假设()∑x v n 在D 上一致收敛，那么()∑x u n在D 上也一致收敛；②当+∞=>21,0q q 时，由上式左半部份可知假设()∑x u n 在D 一致收敛，那么()∑x v n在D 上也一致收敛；③当+∞<>21,0q q 时，取1q <ε易知()∑x u n 与()∑x v n 同时一致收敛或同时不一致收敛．Lipschitz （莱布尼茨）型函数项级数一致收敛判别[]5概念4 设有函数项级数()()∑+-x u n n 11，其中()x u n ,(),,2,1 =n 是区间[]b a ,上的持续函数()0≥x u n ,且函数列(){}x u n 在区间[]b a ,上单调减少收敛于0，那么称这种级数为Lipschitz 型函数项级数．定理26 假设()()∑+-x u n n 11，[]b a x ,∈为L 型函数项级数，那么①此级数在[]b a ,上一致收敛；②()()()()()()()()()x u x u x u x u x u n p n p n n n n n pn n k k k 211111231211≤-++-+-=-+++++++++=+∑ ．证明 ①因为()x u n 是[]b a ,上的持续函数，函数列(){}x u n 在区间[]b a ,上单调减少且收于持续函数()0=x u ．因此()()x u x u k k 1+-在[]b a ,持续非负，而()()()[]()x u x u x u x u n k k k n 1111--=-∑-=+，由Dini 定理知函数项级数()()[]()x u x u x u n k k 111--∑∞=+在区间[]b a ,一致收敛于0，从而函数列(){}x u n 在[]b a ,一致收敛于0．又()⎩⎨⎧=+==+-+-=-∑==k n k n nk k 2,012,111111111，因此()1111≤-∑=+n k k ,故()∑=+-nk k 111一致有界，由Dirichlet 判别法知交织函数项级数()()∑+-x u n n 11在区间[]b a ,上一致收敛．②由①得()()∑+-x u n n 11一致收敛，设()()()x s x u n n =-∑+11，于是()()()()()()()()x s x s x s x s x s x s x u n p n n p n pn n k k k -+-==-++++=+∑111()()()()()()()()()()().211x u x u x u x u x u x r x r x s x s x s x s n n n p n n p n n n p n =+≤+≤+=-+-≤+++++例14 试证()∑+--211x n n 在区间[]b a ,一致收敛．证明 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21x n 是任意闭区间[]b a ,上的持续函数列且[]b a x ,∈∀，()()x u x u n n ≤≤+10，()0lim =∞→x u n n 由定理26知函数项级数()∑+--211x n n 在[]b a ,上一致收敛．推论17 设函数列(){}x S n 在[]b a ,上收敛于)(x S ，假设()x S n 可写成L 型函数项级数的部份和，那么函数列(){}x S n 在上一致收敛于)(x S ．证明设有L 型函数项级数()()∑+-x u n n 11一致收敛于()x u ，[]b a x ,∈而()()()x u x S k n k k n ∑=+-=111，那么对[]b a x ,∈∀，都有()()()()()x S x S x u x u n n nk k k n ==-=∞→=+∞→∑lim 1lim 11，即()()x S x u =，故函数列(){}x S n 在[]b a ,上一致收敛于)(x S ．例15 证明()∑-xnn 11在[)+∞,δ上一致收敛．证明因为[)+∞∈∀,δx ，()x xnn 1110≤+≤，01lim =∞→x n n ．由②[)+∞∈∀,δx ，+∈∀N p 有()()()δn x u x u n pn n k k K2211≤≤-∑++=，由δn 2与x 无关且02lim =∞→δn n 故()()εδ<≤-∑++=n x u pn k n k k211，由Cauchy 准那么证毕．定理27[]9 利用结论：设幂级数∑∞=1n n n x a 的收敛半径0>R ，那么①当∑∞=1n nn R a (或()∑∞=-1n nn R a )收敛时，∑∞=1n n n x a 在[]R ,0或()0,R -一致收敛；②∑∞=1n nn x a 在(]R R ,-内一致收敛，当且仅当∑∞=1n n n x a 在[]R R ,-上一致收敛．注：1 Cauchy 准那么与M 判别法比较有效一样优先考虑；2 Cauchy 准那么、M 判别法、放大法要实现对函数项级数一致收型性的判别，均要对必然的表达式进行有效是我放大．三非一致收敛性的判别 1 利用非一致收敛的概念概念3，略．例16 讨论函数项级数()[]()∑++-111nx x n x在()+∞∈,0x 是不是一致收敛．解 ()()[]()()111)11111(11111+-=+-+-=++-=∑∑==nx kx x k kx x k x x s nk nk n 当()+∞∈,0x 时，有()()1lim ==∞→x s x s n n ．取o ε使210≤<o ε，不管n 多大只要nx 1='，就有()()o n n n s n s x s x s ε≥=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛='-'2111，故()[]()∑++-111nx x n x 在()+∞,0上非一致收敛．2 利用确界原理的逆否命题定理28 假设函数项级数()∑x u n 在数集D 上非一致收敛的充要条件是()0sup lim ≠∈∞→x R n Dx n ．证明它是确界原理的逆否命题，故成立．例17 函数项级数()∑x u n 的部份和函数为()xx x S nn --=11，讨论()∑x u n 在()1.1-上是不是一致收敛．证明部份和函数()xx x S nn --=11，当1<x 时，()(),11lim x x S x S n n -==∞→又当∞→n 时，()()()()∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫⎝⎛+≥-=----∈11,11,11111supsup n nnx n x n n n n nn n x x x S x S ，故()∑x u n 在()1.1-内非一致收敛．注：极限函数明白时值得用3 利用定理5的逆否命题定理29 设()()x S x u n =∑，假设存在{}D x n ⊂使得()0lim ≠∞→n n n x r ，那么()∑x u n 在D 上不一致收敛．证明略．注：此定理比较有效．4 利用Cauchy 准那么逆否命题定理30 函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛的充要条件是存在0>o ε，+∈∀N N ,N n o >∃,D x ∈'∃，+∈N p 使得()opn n k kx u ε≥'∑++=1证明它是Cauchy 准那么的逆否命题，故成立．例18 讨论∑nnxsin 在[]π2,0=D 上的一致收敛性．解取21sin 31=o ε，对+∈∀N N ,N n o >∃,1+=o n p ，及()[]π2,0121∈+=o o n x 使()()()()()1212sin121122sin 21121sin 11++++++++++++=-+o o o o o o o o o o n p n n n n n n n n n n x s x s o o ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++>121211121sin o o o n n n 21sin 31>o ε= 故∑nnxsin 在[]π2,0=D 上非一致收敛．注：该类型关键是要找出o x 与o n 及p 之间的关系，从而凑出o ε，该类型题也有一种简便方式，即取1=p 能适用于很多例题．此方式比较有效，优先考虑．推论18 函数列(){}x u n 在上非一致收敛于0，那么函数项级数()∑x u n 在数集D 上非一致收敛．证明它是推论1的逆否命题，故成立．例19 设()()()()12sin 1212cos +⋅++=n n x n n n x u n ，()∞∞-∈,x ．讨论函数项级数()∑x u n的一致收敛性．解取()12+=n n x n ，那么()()1sin 12cos lim 0lim +=-∞→∞→n x u n n n n ，此极限不存在，因此(){}x u n 在概念域内非一致收敛于0，那么()∑x u n 在()∞∞-∈,x 内非一致收敛．推论19[]9 假设函数项级数()∑x u n 在区间D 上逐点收敛，且在区间D 中存在一点列{}n x ，使()0lim≠∞→n n n x u ，那么函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛．例20 讨论∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-nx n x e n 11在()+∞,0上的一致收敛性．解因为()0.,,0a x ∃+∞∈∀使a x ≤，有ax nx e n a e nx n x e n 222211≤≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+-，知∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+-nx n x e n 11在()+∞,0上非一致收敛． 5 利用求极值的方式定理31 ()()∑∞+==1n k kn x u x R ，假设()0sup lim ≠∈∞→x R nDx n ，那么()∑x u n 在D 上不一致收敛．例21 证()∑-n n x x 1在[]1,0上处处收敛，但不一致收敛．证明因为()∑∑∑-=-n n n n x x x x 21，对[)1,0∈x ，∑n x 与∑n x 2都收敛，因此()∑-nnx x 1收敛，1=x 时()01=-∑nnx x 收敛，故()∑-nnx x 1在[]1,0上处处收敛；而()∑---=++x x x x x R n n n 11221,因此[]()22211,01111111sup ⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-≥++∈n n n n x R n n n x ，又+∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→22211111111lim n n n n n n n ，故()∑-n n x x 1在[]1,0非一致收敛．注：极限函数明白时，可考虑用．6 利用一致收敛函数列的一个性质判别[]10引理2 假设持续函数列(){}x f n 在区间D 上一致收敛于()x f ，那么D x o ∈∀，{}D x n ⊂∀，o n n x x =∞→lim ，有()()o n nn x f x f=∞→lim证明由(){}x f n 在D 上一致收于()x f ，即有()()0sup lim =-∈∞→x f x f n Dx n ,D x o ∈∀，{}D x n ⊂∀：o n n x x =∞→lim ，有()()()()x f x f x f x f n Dx n n n -≤-∈sup ，得()()0lim =-∞→x f x f n n n ．依照持续函数列(){}x f n 在区间D 上一致收敛于()x f ，那么()x f 也必在D 上持续，从而()()o n n n x f x f =∞→lim ．定理32 持续函数项级数()∑x u n 在区间D 上逐点收于)(x S ，且D x o ∈∃，{}D x n ⊂∃o n n x x =∞→lim ，有()()o n n n x S x S ≠∞→lim 那么函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛于)(x S ．例22 讨论∑+221xn x在()+∞∞-,上一致收敛性．解显然()∑x u n 在()+∞∞-,上逐点收，且每一项都在()+∞∞-,上持续，取() ,2,11==n n x n ，那么0lim =∞→n n x ．再设()221x k xx u k +=，由定积分概念。

一致收敛函数列与函数项级数的性质

f
( x)均存在且相等。
即在一致收敛的条件下，有
lim lim
x x0 n
fn(x)
lim lim
n x x0
fn ( x)
定理2：（连续性）若函数列fn在区间I上一致收敛，
且每一项均连续，则其极限函数f在I上也连续。
证明：
设x0为I上任意一点，
因lim x x0
fn(x)
lim sup n x(1,1)
fn(x)
f (x)
lim 1 0, n n
因此, fn( x)在D上一致收敛于f ( x)
(2)
fn
(
x)

1

x n2
x
2
,
n

1,2,,
D

(,)
解:
f (x)

lim n 1
x n2 x2

0
0 sup
xR
fn(x)
(0,1]
使得
fn0 ( x0 )
f ( x0 )

1 n0 x0 1
1 2

1 3

0
即函数
列f
n
(
x
)

1
nx nx
在(0,1]非一
致
收
敛,
从而函数列fn
(
x)

1
nx nx
在[0,1]非一致收敛,
但 lim n
1
0
fn( x)dx

lim
n
1
01
nx nx
在D上一致收敛于f ( x).
证明: fn( x) f ( x) an, x D,

数学分析13.2一致收敛函数列与函数项级数的性质

第十三章函数列与函数项级数 2 一致收敛函数列与函数项级数的性质定理13.8：设函数列{f n }在(x,x 0)∪(x 0,b)上一致收敛于f(x)，且对每个n ，x n lim →f n (x)=a n ，则∞→n lim a n 和0x n lim →f(x)均存在且相等.证：∀ε>0，∵{f n }一致收敛于f(x)，∴∃N>0，当n>N 和任意自然数p ，对一切x ∈(x,x 0)∪(x 0,b)有，|f n (x)-f n+p (x)|< ε，∴|a n -a n+p |=0x n lim →|f n (x)-f n+p (x)|≤ε，∴{a n }是收敛数列. 设∞→n lim a n =A ，则∀ε>0，∃N>0，当n>N 时，对一切x ∈(x,x 0)∪(x 0,b)同时有， |f n (x)-f(x)|<3ε和|a n -A|<3ε. 特别取n=N+1，有|f N+1(x)-f(x)|<3ε和|a N+1-A|<3ε. 又0xn lim →f N+1(x)=a N+1，∴∃δ>0，当0<|x-x 0|<δ时，|f N+1(x)-a N+1|<3ε，从而当x 满足0<|x-x 0|<δ时，有 |f(x)-A|≤|f N+1(x)-f(x)|+|f N+1(x)-a N+1|+|a N+1-A|<3ε+3ε+3ε=ε，即0xn lim →f(x)=A ，得证！注：定理13.8指出：∞→→n x n lim lim 0f n (x)=0xn n lim lim →∞→f n (x).定理13.9：(连续性)若函数列{f n }在区间I 上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数f 在I 上也连续.证：设x 0为I 上任一点，∵0xn lim →f n (x)=f n (x 0)，由定理13.8知， 0x n lim →f(x)存在，且0x n lim →f(x)=∞→n lim f n (x 0)=f(x 0)，∴f(x)在I 上连续.注：定理13.9指出：各项为连续函数的函数列在区间I 上其极限函数不连续，则此函数列在区间I 上不一致收敛. 如：函数列{x n }各项在(-1,1]上都连续，但其极限函数f(x)=⎩⎨⎧=< 1x 11|x |0，，在x=1时不连续，所以{x n }在(-1,1]上不一致收敛.推论：若连续函数列{f n }在区间I 上内闭一致收敛于f ，则f 在I 上连续.定理13.10：(可积性)若函数列{f n }在[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则⎰∞→b an lim f n (x)dx=⎰∞→ban n (x )f lim dx.证：设f 是{f n }在[a,b]上的极限函数. 由定理13.9，f 在[a,b]上连续， ∴f n (n=1,2,…)与f 在[a,b]上都可积. ∵在[a,b]上f n (x)⇉f(x) (n →∞), ∴∀ε>0，∃N>0，当n>N 时，对一切x ∈[a,b]都有|f n (x)-f(x)|<ε. 根据定积分的性质，当n>N 时，有⎰⎰-baban f(x)dx (x)dx f =f(x))dx (x)(f ban -⎰≤dx f(x )(x )f ban ⎰-≤ε(b-a).∴⎰∞→ban n(x )f lim dx=⎰ba f(x )dx =⎰∞→ba n lim f n (x)dx. 得证！例1：举例说明当{f n (x)}收敛于f(x)时，一致收敛性是极限运算与积分运算交换的充分条件，但不是必要条件.解：如f n (x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<≤<≤ 1x n 10，n 1x n 21x ，2na -a 2n21x 0 ，x 2na n n n , n=1,2,…. 其图像如图：{f n (x)}是[0,1]上的连续函数列，且∀x ∈[0,1]，∞→n lim f n (x)=0=f(x). 又Dx sup ∈|f n (x)-f(x)|=a n ，∴{f n (x)}在[0,1]上一致收敛于0的充要条件是：∞→n lim a n =0.∵⎰10n (x )f dx=2na n，∴⎰10n (x )f dx →⎰10f(x )dx=0的充要条件是：2n a lim n n∞→=0. 当a n ≡1时，{f n (x)}在[0,1]上不一致收敛于f(x)，但定理13.10仍成立. 而当a n =n 时，{f n (x)}不一致收敛于f(x)，且⎰10n (x )f dx ≡21不一致收敛于⎰10f(x )dx=0.定理13.11：(可微性)设{f n }为定义在[a,b]上的函数列，若x 0∈[a,b]为{f n }的收敛点，{f n }的每一项在[a,b]上有连续的导数，且{f ’n }在[a,b]上一致收敛，则())x (f lim dx d n n ∞→=⎪⎭⎫⎝⎛∞→)x (f dx d limn n . 证：设)x (f lim 0n n ∞→=A ，f ’n ⇉g (n →∞), x ∈[a,b]，则对任一x ∈[a,b]，总有f n (x)=f n (x 0)+⎰'x x n 0(t)f dt. 两边对n →∞取极限得：)x (f lim n n ∞→=A+⎰xx 0g(t)dt ，又)x (f lim n n ∞→=f(x)，∴f(x)=A+⎰xx 0g(t)dt. 两边微分得证！推论：设函数列{f n }定义在区间I 上的，若x 0∈I 为{f n }的收敛点，且{f ’n }在I 上内闭一致收敛，则f 在I 上可导，且f ’(x)=())x (f lim n n '∞→.例2：举例一致收敛性是极限运算与求导运算交换的充分条件，但不是必要条件. 解：如函数列f n (x)=2n 1 ln(1+n 2x 2)及f ’n (x)=22x n 1nx+, n=1,2,… 在[0,1]上都收敛于0，即∞→n lim f n (x)=∞→n lim f ’n (x)=0，∴在[0,1]上，∞→n lim f ’n (x)=(∞→n lim f n (x))’成立.又由][0,1x ∞n max lim ∈+→|f ’n (x)-f ’(x)|=nx 2nx lim∞n +→=21, 知导函数列{f ’n (x)}在[0,1]上不一致收敛. 但对任意δ>0，有,1][δx sup ∈|f ’n (x)-f ’(x)|=22,1] [δx x n 1nx sup+∈≤22δn 1n+→0 (n →∞), ∴{f ’n }在(0,1]上内闭一致收敛. ∴在(0,1]上，∞→n lim f ’n (x)=(∞→n lim f n (x))’成立.定理13.12：(连续性)若函数项级数∑(x)u n 在区间[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在[a,b]上也连续. 即有：∑⎪⎭⎫ ⎝⎛→(x)u lim nx n 0=()∑→(x)u lim n x n 0. 证：设x 0为[a,b]上任意一点，∑(x)u n 在区间[a,b]上一致收敛于S(x). 则∀ε>0，∃N>0，当n>N 时，对一切x ∈[a,b]，有|S(x)-S n (x)|<3ε, |S n (x 0)-S(x 0)|<3ε, 又u n (x)在[a,b] 上连续(n=1,2,……)， ∴对取定的n>N ，S n (x)在[a,b]上连续，∴对上述的ε，∃δ>0，当x ∈[a,b]，且|x-x 0|<δ时，|S n (x)-S n (x 0)|<3ε ，∴当x ∈[a,b]时，|S(x)-S(x 0)|=|S(x)-S n (x)+S n (x)-S n (x 0)+S n (x 0)-S(x 0)| ≤|S(x)-S n (x)|+|S n (x)-S n (x 0)|+|S n (x 0)-S(x 0)|<ε. 即S(x)在x 0连续，从而在[a,b]上连续. 得证！定理13.13：(逐项求积) 若函数项级数∑(x)u n 在区间[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则∑⎰ba n (x )u dx =⎰∑ba n (x )u dx.定理13.14：(逐项求导) 若函数项级数∑(x)u n 在每一项都有连续的导函数，x 0∈[a,b]为∑(x)u n 的收敛点，且∑'(x)u n 在[a,b]上一致收敛，则∑⎪⎭⎫ ⎝⎛(x )u dx d n =()∑(x)u dxdn . 证：设∑'(x)u n 在[a,b]上一致收敛于S *(x)，∵u ’n (x)在[a,b]上连续，由定理13.12知，S *(x)在[a,b]上连续. 又由定理13.13知，∀x ∈[a,b]，有⎰xa *(t)S dt=⎰∑'ba n (t)u dt=∑⎰'xa n (t)u dt =∑(x)u n -∑(a)u n =S(x)-S(a). 等式两端对x 求导得：S ’(x)=S *(x)=∑'(x)u n ，得证！例3：设u n (x)=3n1ln(1+n 2x 2), n=1,2,…. 证明：函数项级数∑(x)u n 在[0,1]上一致收敛，并讨论其和函数在[0,1]上的连续性、可积性与可微性. 证：对每个n ，易见u n (x)在[0,1]上递增，且当t ≥1时，有ln(1+t 2)<t ， ∴u n (x)≤u n (1)=3n 1ln(1+n 2)<3n 1·n=2n1, n=1,2,… 又∑2n1收敛，∴∑(x)u n 在[0,1]上一致收敛. 由每一个u n (x)在[0,1]上连续，知其和函数在[0,1]上的连续且可积.又u ’n (x)=)x n 1(n x2n 2232+=)x n 1(n 2x 22+≤)x n 1(n 2nx 222+≤2n 1, n=1,2,…知 ∑'(x)u n在[0,1]上一致收敛. ∴其和函数在[0,1]上可微.例4：证明：函数ζ(x)=∑∞=1n x n 1在(1,+∞)上有连续的各阶导函数. 证：记u n (x)=x n 1, u n (k)(x)=(ln n 1)k x n 1=(-1)k x knn ln , k=1,2,…. 对任意x ∈[a,b]⊂(1,+∞)，有|u n (k)(x)|=xkn nln≤a k nnln , k=1,2,….由∞→n lim 1)/2-(a k n n ln =0知，当n 充分大时，有1)/2-(a k n nln <1，从而 xk n n ln =1)/2-(a k 1)/2(a n n ln n 1⋅+<1)/2(a n 1+, 又∑+1)/2(a n 1收敛， ∴∑∞=1n (k )n (x )u 在[a,b]上一致收敛，从而∑∞=1n (k )n (x)u 在(1,+∞)上内闭一致收敛. ∴ζ(x)在(1,+∞)上有连续的各阶导函数，且ζ (k)(x)=(-1)k xkn nln, k=1,2,….习题1、讨论下列函数列在所定义的区间上：a. {f n }与{f ’n }的一致收敛性；b. {f n }是否有定理13.9~11的条件与结论.(1)f n (x)=nx n2x ++, x ∈[0,b]；(2)f n (x)=x-n x n , x ∈[0,1]；(3)f n (x)=nx 2-nx e, x ∈[0,1].解：(1)记∞n lim +→f n (x)=nx n2x lim∞n +++→=1=f(x)； b][0,x sup ∈|f n (x)-f(x)|=nx xsupb][0,x +∈→0 (n →∞)，∴{f n }在[0,b]上一致收敛性；记∞n lim +→f ’n (x)=2∞n n)(x nlim++→=g(x)； b][0,x sup ∈|f ’n (x)-g(x)|=2b][0,x n)(x nsup+∈→0 (n →∞)，∴{f ’n }在[0,b]上一致收敛性. 又∵f n (x)=nx n2x ++和f ’n (x)=2n)(x n +, n=1,2,… 在[0,b]上都连续， ∴{f n }有定理13.9~11的条件与结论.(2)记∞n lim +→f n (x)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→n x -x lim n ∞n =x=f(x)； [0,1]x sup ∈|f n (x)-f(x)|=n x sup n[0,1]x ∈→0 (n →∞)，∴{f n }在[0,1]上一致收敛性；记g(x)=∞n lim +→f ’n (x)=∞n lim +→(1-x n-1)=⎩⎨⎧<≤=1x 01，1 x 0，；∵{f ’n (x)}各项在[0,1]上连续，而g(x)在[0,1]不连续， ∴{f ’n }在[0,1]上不一致收敛性.又f n (x)=x-nx n, n=1,2,… 在[0,1]上都连续，∴{f n }有定理13.9~10的条件与结论，但不具有13.11的条件. 又f ’(x)=x ’=1≠∞n lim +→f ’n (x)，∴{f n }也不具有13.11的条件.(3)记∞n lim +→f n (x)=2-nx ∞n nx e lim +→=0=f(x)； [0,1]x sup ∈|f n (x)-f(x)|=2-nx [0,1]x nxe sup ∈=n ·2)1/2n n(e n21-=1/2e 2n →∞ (n →∞)，∴{f n }在[0,1]上不一致收敛性；记g(x)=∞n lim +→f ’n (x)=2-nx ∞n ne lim +→(1-2nx 2)=⎩⎨⎧=∞+≤<0x ，1x 0 0，；∵{f ’n (x)}各项在[0,1]上连续，而g(x)在[0,1]不连续，∴{f ’n }在[0,1]上不一致收敛性. 从而{f n }不具有定理13.9~11的条件. ∵f(x)=0在[0,1]上连续，∴{f n }有定理13.9的结论.∵⎰+→10nx -∞n 2nx e lim dx=⎰+→10nx -∞n 2e 21lim d(nx 2)=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→n ∞n e 2121lim =21≠⎰+→10n ∞n )x (f lim dx=0. 又{f ’n (x)}在x=0不收敛；∴{f n }不具有定理13.10~11的结论.2、证明：若函数列{f n }在[a,b]上满足定理13.11的条件，则{f n }在[a,b]上一致收敛.证：设f ’n (x)⇉g(x) (n →∞), x ∈[a,b]，则∀ε>0，∃N 1>0，当n>N 1时，对一切t ∈[a,b]，有|f ’n (t)-g(t)|<)a b (2ε-；又f n (x)点x 0收敛，∴对上述的ε>0，∃N 2>0，当n>N 2时，有|f n (x 0)-f(x 0)|<2ε. ∵对任意x,x 0∈[a,b]有f n (x)=f n (x 0)+⎰'xx n 0(t)f dt ，∴f(x)=∞→n lim f n (x)=f(x 0)+⎰xx 0g(t)dt. 取N=max{N 1,N 2}，则当n>N 时，有∴|f n (x)-f(x)|=|f n (x 0)-f(x 0)+[]⎰'xx ng(t)-(t)f dt | ≤|f n (x 0)-f(x 0)|+|⎰'xx ng(t)-(t)f dt |<ε. 得证.3、设S(x)=∑∞=1n 21-n nx , x ∈[-1,1]，计算积分⎰x 0S(t)dt .解：∵21-n n x ≤2n 1, x ∈[-1,1]，由M 判别法知∑∞=1n 21-n n x 在[-1,1]上一致收敛.又21-n n x (n=1,2,…)在[-1,1]上连续，∴⎰x 0S(t)dt =∑⎰∞=1n x 021-n dt n t =∑∞=1n 3nnx .4、S(x)=∑∞=1n nn cosnx , x ∈R ，计算积分⎰x0S(t)dt .解：∵nn cosnx ≤nn 1, x ∈R ，由M 判别法知∑∞=1n nn cosnx 在R 上一致收敛.又nn cosnx (n=1,2,…)在R 上连续，∴⎰x0S(t)dt =∑⎰∞=1n xdt nn cosnt =∑∞=1n 2nnsinnx .5、S(x)=∑∞=1n nx -ne , x>0，计算积分⎰ln3ln2S(t)dt .解：由(ne -nx )’=-n 2e -nx <0，知ne -nx 单调减，∴对任何x ∈[ln2,ln3]，有 ne -nx ≤ne-nln2=n 2n . 又由n n 2n =2n n→21<1 (n →∞)，知∑n 2n收敛.∴∑∞=1n nx -ne 在[ln2,ln3]上一致收敛. 又ne -nx (n=1,2,…)在[ln2,ln3]上连续，∴⎰ln3ln2S(t)dt =∑⎰∞=1n ln3ln2nt-dt ne =∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-1n n n3121=21.6、证明：函数f(x)=∑3n nxsin 在R 上连续，且有连续的导函数. 证：∵3n nx sin ≤3n 1, x ∈R ，由M 判别法知∑3nnxsin 在R 上一致收敛. 又3nnxsin (n=1,2,…)在R 上连续，∴f(x)在R 上连续. ∵|(3n nx sin )’|=|2n cosnx |≤2n 1，由M 判别法知∑2n cosnx在R 上一致收敛.又2ncosnx(n=1,2,…)在R 上连续，∴f(x)在R 上有连续的导函数.7、证明：定义在[0,2π]上的函数项级数∑∞=0n n cosnx r (0<r<1)满足定理13.13条件，且⎰∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=2π0n n dt cosnx r =2π. 证： ∵|r n cosnx|≤r n (0<r<1), x ∈[0,2π]，又∑ r n (0<r<1)收敛，由M 判别法知∑∞=0n n cosnx r 在[0,2π]上一致收敛.又r ncosnx 在[0,2π]上连续，∴∑∞=0n n cosnx r (0<r<1)满足定理13.13条件，且⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛∞=2π0n n dx cosnx r =∑⎰∞=0n 2π0ncosnx dx r . 又⎰2π0dx =2π，⎰2π0cosnx dx =0(n=1,2…)∴⎰∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=2π00n n dt cosnx r =2π.8、讨论下列函数列在所定义区间上的一致收敛性及极限函数的连续性、可微性和可积性：(1)f n (x)=x 2-nx e ,n=1,2,…, x ∈[-L,L]； (2)f n (x)=1nx nx+, n=1,2,…, I. x ∈[0,+∞)；II. x ∈[a,+∞) (a>0). 解：(1)∵∞n lim +→f n (x)=0=f(x), x ∈[-L,L]，且L][-L,x sup ∈|f n (x)-f(x)|=L][-L,x sup ∈| x 2-nx e |≤2ne1→0 (n →∞)，∴{f n (x)}在[-L,L]上一致收敛于0，且其极限函数f(x)=0在[-L,L]上连续可积可微. 又f n (x)=x 2-nx e ,n=1,2,…在[-L,L]上连续，∴()⎰+→LL -n ∞n dx (x )f lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰+→LL -n ∞n (x)dx f lim . ∵f ’n (x)=2-nx e(1-2nx 2), 且(x)f lim n ∞n '+→=⎩⎨⎧=≠≤≤ 0x 10x L x L -0，，且， ∴[(x)f lim n ∞n +→]’≠(x)f lim n ∞n '+→.(2)∵f(x)=∞n lim +→f n (x)=1=⎩⎨⎧+∞<≤<=x a 010x 0，，,且)[a,x sup +∞∈|f n (x)-f(x)|=1nx 1-sup)[a,x ++∞∈=1na 1+→0 (n →∞)， ∴{f n (x)}在[a,+∞) (a>0)上一致收敛于1，在[0,+∞)上内闭一致收敛. ∴其极限函数不在[0,+∞)上连续可积可微；但在[a,+∞) (a>0)上其极限函数f(x)=1连续可微，但不可积.9、证明：函数S(x)=∑xn 1在(1,+∞)上连续，且有连续的各阶导数. 证：∀x ∈(1,+∞)，取1<p<x ，则0<x n 1≤p n1，由M 判别法，知 ∑x n 1在[p,+∞)上一致收敛，在(1,+∞)上内闭一致收敛. 又x n 1在(1,+∞)上连续，∴S(x)在(1,+∞)上连续. 又)k (x n 1⎪⎭⎫ ⎝⎛=x k kn n ln )1(-, k=1,2,…在(1,+∞)上连续. ∀x ∈(1,+∞)，取1<p<x ，使x k kn n ln )1(-≤p k n n ln . 固定k ，取q>p>1，由p k n n ln /q n 1=q -p k n n ln →0 (n →∞)，及∑q n1收敛，知∑p k n n ln 收敛， ∴∑-x k kn n ln )1(在[p,+∞)上一致收敛，在(1,+∞)上内闭一致收敛. ∴S (k)(x)=∑⎪⎭⎫ ⎝⎛)k (x n 1=∑-x k kn n ln )1( 在(1,+∞)上连续. 得证！10、设f 在(-∞,+∞)上有任何阶导数，记F n =f (n), 且在任何有限区间内F n ⇉φ (n →∞)，试证：φ(x)=ce x (c 为常数). 证：由条件可知φ’(x)=[∞n lim +→f (n)(x)]’=∞n lim +→[f (n)(x)]’ =∞n lim +→f (n+1)(x)=φ(x). 即有φ(x )(x )φ'=1，两边取积分得：⎰'φ(x )(x )φdx =⎰dx +C ，即⎰φ(x )1d φ(x) =x+c 1， ∴ln φ(x)=x+c 1，即φ(x)=1c x e +=1c e e x =ce x (其中c=1c e 为常数).。

13_2 一致收敛函数列与函数项级数的性质

n
上极限函数,
且其极限
下面证明函数列 {
f n } 在区间 [ a , b ] 上收敛,
函数的导数存在且等于g. 由定理条件, 对任一
x [ a , b ],
总有
fn ( x ) fn ( x0 )

x x0
f n ( t )d t .
当 n 时 , 右边第一项极限为 A, 第二项极限为
§2 一致收敛函数列与函数项级数的性质
一致收敛性的重要性在于可以将通
项函数的许多解析性质遗传给和函数，
如连续性、可积性、可微性等，这在
理论上非常重要.
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定理13.8 ( 极限交换定理 ) 设函数列 {
(a , x0 ) ( x0 , b )
x x0
fn }
在
上一致收敛于
n
定理13.10 (可积性) 若函数列 { 敛, 且每一项都连续, 则
lim
n
fn }
在 [ a , b ] 上一致收

b a
fn( x ) dx

b a n
lim f n ( x ) d x .
(3)
证设 f 为函数列 {
f n } 在 [ a , b ] 上的极限函数.
由定理
13.9知 f 在 [ a , b ] 上连续, 从而
2 2
ln (1 n x ),
2 2
n 1, 2 ,
与
f n ( x )
,
n 1, 2 ,
在 [ 0 , 1 ] 上都收敛于0, 由于
lim m a x | f n ( x ) f ( x ) |

函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质

n来自1二、一致收敛级数的基本性质
定理1. 若级数 u n ( x) 满足 :
n 1
1) 各项un ( x) 在区间[a, b] 上连续;
2) un ( x) 在区间[a, b] 上一致收敛于 S ( x) ,
n 1
则S ( x) 在[a, b] 上连续.
证: 只需证明 x0 [a, b] , lim S ( x) S ( x0 ) .
因为对任意 x 都有:
sin n x
2
1
cos x cos 2 2 x cos n 2 x
其一般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 .
问题: 对什么样的函数项级数才有:
逐项连续和函数连续;
逐项求导 = 和函数求导; 逐项积分 = 和函数积分
函数序列的一致收敛
回忆
设 fn ( x) 是区间I 上的函数列, 若x0 I , 数列
x 求证f n ( x ) 在( , )上一致收敛. 2 2 1 n x x lim f n ( x ) lim 0, 逐点收敛于f ( x ) 0. 2 2 n n 1 n x x 1 2n x 1 fn ( x) f ( x) 2 2 2 2 1 n x 2n 1 n x 2n 1 n sup f n ( x ) f ( x ) 0. 2n x( , )
2 n n 1
在 [0,1] 上不一致收敛 .
证: S n ( x ) x ( x x ) ( x x
)x
n
S ( x)
xn , 0 x 1 rn ( x) S ( x) S n ( x) x 1 0, 1 1 n 取正数 , 对无论多么大的正数 n , 取xn ( 1 ) , 2 2 xn [0, 1] , 而 rn ( xn ) 1 2 , 因此级数在 [0, 1] 上不

一致收敛性

这就证明了 { f n } 在( 1 , 1] 上收敛, 且极限就是(3)
式所表示的函数.
又当 | x | 1 时, 有 | x |n (n ), 当 x 1 时,
对应的数列为 1, 1, 1, 1 , 显然是发散的. 所以
函数列 { x n } 在区间 (1, 1] 外都是发散的. 故所讨论的函数列的收敛域是 (1, 1].
lim f n ( x ) f ( x ) ,
n
xD
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或
f n ( x ) f ( x ) ( n ) , x D.
函数列极限的 N 定义: 对每一固定的 x D , 任给正数 , 总存在正数N(注意: 一般说来N值与和
x 的值都有关, 所以有时也用N( , x)表示三者之间
N ( ).
显然, 若函数列 f n 在 D 上一致收敛, 则必在 D 上每一点都收敛. 反之, 在 D 上每一点都收敛的函数列, 它在 D 上不一定一致收敛.
sin nx 例2 中的函数列是一致收敛的, 因为对任意 n
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给定的正数 , 不论 x 取(-,+) 上什么值, 都有
| f n ( x ) f ( x ) || x n |,
ln 只要取 N ( , x ) , 当 n N ( , x ) 时,就有 ln | x |
| f n ( x ) f ( x ) || x |n | x | N .
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当 x 0 和 x 1 时, 则对任何正整数 n, 都有 | f n (0) f (0) | 0 ， | f n (1) f (1) | 0 .

数学分析之十三章函数列与函数项级数

连续 .即证: 对 0 , 0 , 当 | x x0 | 时, | f (x) f (x0 ) | . )
| f (x) f (x0) || f (x) fn(x) | | fn(x) fn(x0) | | fn(x0) f (x0) |
估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项
说明: 虽然函数序列 sn ( x) xn 在( 0, 1 )内处处收敛于 s( x) 0 , 但 sn ( x)在( 0, 1 )内各点处收
敛于零的“快慢”程度是不一致的．
从下图可以看出:
y y sn ( x) x n (1,1)
n1
n2
n n410
n 30
o
1x
注意：对于任意正数r 1，这级数在[0,r] 上一致收敛．
lim
n
sn
(
x)
s(
x)
lim
n
rn
(
x)
0
(x在收敛域上)
注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.
例 1 求级数 (1)n ( 1 )n的收敛域. n1 n 1 x 解由达朗贝尔判别法
un1( x) n 1 1 (n )
un ( x) n 1 1 x 1 x
註定理表明: 对于各项都连续且一致收敛
的函数列{ f n (x) }, 有
lim lim
xx0 n
fn (x)
lim lim
n xx0
fn (x)
即极限次序可换 .
3. 可积性定理
若在区间 [ a ,b ] 上函数列{ fn (x) }一致收
敛 , 且每个 f n (x) 在[ a , b ] 上连续. 则有

数学分析13-2132 一致收敛函数列与函数项级数的性质

意 0 , 存在正数 N , 当n N 时, 对任意 x (a, x0 )
( x0,b) , 有
|
fn(x)
f
( x) |
3
和
|
an
A
|
3
同时成立. 特别当 n N 1时, 有
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|
fN 1( x)
f
( x) |
3
和 | aN 1
A |
3
又因为 lim x x0
fN 1( x) aN 1,
b
b
a un( x) dx a un( x) dx.
(7)
定理13.14 (逐项求导定理) 若函数项级数 un( x)
在 [a, b] 上每一项都有连续的导函数, x0 [a, b]为
un( x) 的收敛点, 且 un ( x) 在 [a,b]上一致收敛, 则
d dx
un( x)
d dx
同时
1 0
fn(
x)dx
1 2
也不收敛于
1
f ( x)d x 0.
0
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例1说明当{ fn( x)}收敛于 f ( x)时, 一致收敛性是极限运算与积分运算交换的充分条件, 不是必要条件.
定理13.11(可微性)设{ fn }为定义在[a, b]上的函数列,
若 x0 [a, b]为{ fn }的收敛点, { fn }的每一项在 [a, b]
lim
n
fn( x)
0
[lim n
fn( x)].
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在上述三个定理中, 我们都可举出函数列不一致收
敛但定理结论成立的例子. 在今后的进一步学习中
(如实变函数论)将讨论使上述定理成立的较弱条件, 但在目前情况下, 只有满足一致收敛的条件, 才能

13 2一致收敛函数列与函数项级数的性质

13 2一致收敛函数列与函数项级数的性质13&period;2一致收敛函数列与函数项级数的性质§2 一致收敛函数列与函数项级数的性质教学目标：掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性，可微性．教学内容：一致收敛函数序列与函数项级数的连续性的判别；可积性的判别，可微性的判别．(1) 基本要求：了解一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性的证明．(2) 较高要求：掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性的证明．教学建议：(1) 要求学生必须掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性，可微性的结论．(2) 对较好学生可布置有关函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性证明的习题．教学过程：主要讨论连续性、可积性、可微性。

定理13.2.1 设函数列{f n (x ) }在(a , x 0) ⋃(x 0, b ) 上一致收敛于 f (x ) ，且对∀n ，x →x 0li m f n (x ) =a n ，则lim a n 、lim f (x ) 均存在，且相等，即 n→∞x →x 0lim lim f n (x ) =lim lim f n (x ) 。

（即在一致收敛的条件下两种极限可换序）n →∞x →x 0x →x 0n →∞定理13.9（连续性）若函数列{f n (x ) }在区间I 上一致收敛于f (x ) ，且对∀n ，f n (x ) 在I 上连续，则f (x ) 在I 上也连续。

说明：若各项为连续函数的函数列{f n (x ) }在区间I 上其极限函数不连续，则此函数列{f n (x ) }在区间I 上不一致收敛。

如：x n 在(-1, 1]上。

定理13.10（可积性）若函数列{f n (x ) }在[a , b ]上一致收敛，且每一项都连续，则⎰lim f n (x ) dx =lim ⎰f n (x ) dx 。

a n →∞n →∞a b b {}注1：该定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换顺序；注2：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。