平面直角坐标变换

§5.7 平面直角坐标变换为了考虑同一图形在不同的坐标系下的方程之间的关系，我们首先需要建立同一个点在不同的坐标系下的坐标之间的关系，这就是坐标变换的问题，因为我们研究的图形是点的轨迹．我们仅考虑平面直角坐标变换．设在平面上给出了由两个标架 {O ；i , j } 和 {O'；i', j' } 所决定的右手直角坐标系，这里i 和j 以及i' 和j' 是两组坐标基向量，它们是平面上的两个标准正交基，我们依次称这两个坐标系为旧坐标系和新坐标系．由于坐标系的位置完全由原点和坐标基向量所决定，所以新坐标系与旧坐标系之间的关系，就由O' 在 {O ；i , j } 中的坐标以及i' 和j' 在 {O ；i , j } 中的分量所决定．任一直角坐标变换总可以分解成移轴（也叫坐标平移）和转轴（也叫坐标旋转）两个步骤．1．移轴如果两个标架 {O ；i , j } 和 {O'；i , j' } 的原点O 与O' 不同，O' 在{O ；i , j }中的坐标为 (x 0，y 0)，但两标架的坐标基向量相同，即有i' = i ， j' = j那么标架 {O'；i', j'} 可以看成是由标架 {O ；i , j } 将原点平移到O'点而得来的（图5.7.1）．这种坐标变换叫做移轴（坐标平移）．设P 是平面内任意一点，它对标架 {O ；i , j } 和 {O'；i', j'} 的坐标分别为 (x ，y ) 与(y x '',)，则有P O O O OP '+'=但 j i y x OP +=，j i y x P O '+'='，j i 00y x O O +='于是有j i j i )()(00y y x x y x +'++'=+故 {x ，y } = {x 0，y 0} ＋ {x'，y' }根据向量相等的定义得移轴公式为 图5.7.1⎩⎨⎧+'=+'=00y y y x x x (5.7－1)从中解出x' 和y'，就得逆变换公式为⎩⎨⎧-='-='00y y y x x x(5.7－2)2．转轴若两个标架 {O ；i , j } 和 {O'；i', j'} 的原点相同，即O = O'，但坐标基向量不同，且有∠(i ，i' ) = α，则标架 {O'；i'，j'} 可以看成是由标架 {O ；i ，j } 绕O 点旋转α 角而得来的（图5.7.2）．这种由标架 {O ；i ，j } 到标架 {O'；i'，j'}的坐标变换叫做转轴（坐标旋转）．下面推导转轴公式．设P 是平面内任意一点，它对 {O ；i , j } 和 {O'；i', j'} 的坐标分别为 (x ，y ) 与 (y x '',)，即有j i j i ''+''='+=y x P O y x OP因为∠(i ，i' ) = α，新旧坐标基本向量之间有关系ααsin cos j i i +='图5.7.2ααααcos sin 2πsin 2πcos j i j i j +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+='于是有ji j i j i )cos sin ()sin cos ()cos sin ()sin cos (ααααααααy x y x y x P O '+'+'-'=+-'++'='因为O 和O'是同一点，P O OP '=，故可直接得到转轴公式：⎩⎨⎧'+'='-'=ααααcos sin sin cos y x y y x x(5.7－3)从（5.7－3）中解出x' 和y '，就得到用旧坐标表示新坐标的逆变换公式： ⎩⎨⎧+-='+='ααααcos sin sin cos y x y y x x(5.7－4)式中的α 为坐标轴的旋转角．（5.7－4）式也可看成是由标架 {O ；i'，j'} 绕O 旋转－ α 角变到 {O ；i ，j } 的转轴公式．* 根据线性代数的理论，（5.7－3）可写为⎥⎦⎤⎢⎣⎡''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x Q ，这里的坐标变换的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ααααcos sin sin cos Q 是一个正交矩阵，因而其逆矩阵T 1Q Q =-，逆变换公式可以直接由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x y x T Q 写出．3．一般坐标变换公式在一般情况下，由旧坐标系O －xy 变成新坐标系O'－x'y'，总可以分两步来完成．即先移轴使坐标原点与新坐标系的原点O' 重合，变成坐标系O'－y x ''''，然后再由辅助坐标系O'－x"y" 转轴而成新坐标系O'－x'y'（图5.7.3）．设平面上任一点P 的旧坐标与新坐标分别为 (x ，y ) 与 (x'，y' )，而在辅助坐标系O'－x"y" 中的坐标为 (x"，y" )，那么由（5.7－1）与（5.7－4）分别得⎩⎨⎧+''=+''=00x y y x x x 与 ⎩⎨⎧'+'='''-'=''ααααcos sin sin cos y x y y x x由上两式得一般坐标变换公式为图5.7.3⎩⎨⎧+'+'=+'-'=00cos sin sin cos y y x y x y x x αααα (5.7－5)由（5.7－5）解出x'，y' 便得逆变换公式⎩⎨⎧+--+-='+-+=')cos sin (cos sin )sin cos (sin cos 0000ααααααααy x y x y y x y x x(5.7－6)平面直角坐标变换公式（5.7－5）是由新坐标系原点的坐标 (x 0, y 0) 与坐标轴的旋转角 α 决定的．4．由给定的新坐标轴确定的坐标变换确定坐标变换公式，除了坐标平移和旋转外，还可以有其它方法．假定已给出了新坐标系的两坐标轴在旧坐标系中的方程，并规定了一个轴的正方向，就可以确定又一种坐标变换公式．设在直角坐标系xOy 里给定了两条相互垂直的直线 l 1：0111=++C y B x A ， l 2：0222=++C y B x A其中02121=+B B A A ．如果取直线l 1为新坐标系中的横轴O'x'，而直线l 2为纵轴O'y'，并设平面上任意点M 的旧坐标与新坐标分别是（x ，y ）与（x'，y'）．因为 | x' | 是点M （x ，y ）到O'y' 轴的距离，也就是M 点到l 2的距离（图5.7.4），所以有图5.7.42222222||B A C y B x A x +++=' 同理可得2121111||BA C yB x A y +++='于是在去掉绝对值符号以后，便得到一个坐标变换公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++±='+++±='21211112222222B A C y B x A y B A C y B x A x (5.7－7)为了使新坐标系仍然是右手坐标系，可将（5.7－7）式与公式（5.7－4）比较来决定（5.7－7）中的符号．因ααsin ,cos 2222222222=+±=+±B A B B A A ααcos ,sin 2121121211=+±-=+±BA B BA A因此（5.7－7）中的第一式右端的x 的系数应与第二式的右端的y 的系数相等，所以（5.7－7）的符号选取要使得这两项的系数是同号的．这种坐标变换的方法常用来在求得一般中心二次曲线的主直径的情况下，用两条主直径作为新坐标轴，把二次曲线的方程化为标准方程．以上给出的坐标变换的公式（5.7－5）、（5.7－6）和（5.7－7）实质上都是一样的．* 5．坐标变换下代数曲线及其次数的不变性在直角坐标系下，如果我们所讨论的平面曲线的方程能写成F (x ，y ) = 0的形式，其中F (x ，y ) 是关于x 和y 的多项式，那么这种方程就叫做代数方程，它所表示的平面曲线叫做代数曲线．不是代数曲线的曲线叫做超越曲线．代数方程的次数叫做代数曲线的次数．由于上面给出的几个坐标变换公式都是一次式（线性的），而任何代数方程经过一次式的变换之后必然还是代数方程，任何超越方程经过一次式的变换之后也必然还是超越方程．因此有命题5.7.1 曲线的代数性和超越性在线性坐标变换下保持不变．另一方面，代数方程的次数在一次式的变换之下也是保持不变的，因此还有 命题5.7.2 代数曲线的次数在线性坐标变换下保持不变．例1 已知新坐标系的x' 轴与y' 轴的方程分别为3x － 4y ＋ 6＝0与4x ＋ 3y － 17＝0，求坐标变换公式，并求点A （0，1）关于新坐标系的坐标．解 由题意，设M (x ，y ) 是旧坐标系下任一点，其新坐标为 ( x', y' )，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-±='-+±='564351734y x y y x x 根据上面的符号选取法则得变换公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--='-+='564351734y x y y x x 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-='-+-='564351734y x y y x x 若选第一个坐标变换公式，则点A (0，1) 关于新坐标系的坐标是（－ 14/5，－ 2/5）；若选第二个，则点A (0，1) 关于新坐标系的坐标是（14/5，2/5）．注 若用前一公式，绝非将坐标原点平移到⎪⎭⎫ ⎝⎛±±56,517，而是移到了点 (2，3)．2和3是由（5.7－6）确定的⎩⎨⎧=+-=+64317340000y x y x 的解．因53sin =a ＞0，旋转角为小于π的正角；若用后一公式，也非将坐标原点平移到点⎪⎭⎫ ⎝⎛56,517．由于取了53sin -=a ＜0，所以旋转角为绝对值小于 π 的负角．。