抛物线与直线型(一)

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考点102直线与抛物线的位置关系

考点102直线与抛物线的位置关系一、课本基础提炼1．研究直线与抛物线的位置关系,一般是联立两曲线方程,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用．2．有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式二级结论必备过抛物线焦点的动直线与抛物线交于点A,B,则该抛物线在点A,B处的两切线的交点轨迹是抛物线的准线.1.直线与抛物线相交时的弦长问题若直线过抛物线焦点,则求直线被抛物线截得的弦长|AB|,常用|AB|＝x1＋x2＋p；若直线不过抛物线焦点,则求直线被抛物线截得的弦长|AB|,常用,对于此类问题,应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长,另外注意与面积有关的问题,常用到弦长公式.例1．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F,若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M,N两点,且|MN|＝8.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l为抛物线C的切线,且l∥MN,P为l上一点,求的最小值．【解析】(1)由题可知F,则该直线方程为代入y2＝2px(p＞0),得设M(x1,y1),N(x2,y2),则有x1＋x2＝3p.∵|MN|＝8,∴x1＋x2＋p＝8,即3p＋p＝8,解得p＝2,∴抛物线的方程为y2＝4x.(2)设直线l的方程为y＝x＋b,代入y2＝4x,得x2＋(2b－4)x＋b2＝0.∵l为抛物线C的切线,∴Δ＝0,解得b＝1.∴l的方程为y＝x＋1.设P(m,m＋1),则＝(x1－m,y1－(m＋1)),＝(x2－m,y2－(m＋1)),∴＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)][y2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2.由(1)可知：x1＋x2＝6,x1x2＝1,∴(y1y2)2＝16x1x2＝16,y1y2＝－4.,＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14,当且仅当m＝2,即点P的坐标为(2,3)时,的最小值为－14.例2.抛物线y2=4x的顶点为O,点A的坐标为(5,0),倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O 或点A)且交抛物线于M、N两点,求△AMN面积最大时直线l的方程,并求△AMN的最大面积.【解析】由题意,可设l的方程为y=x+m,－5＜m＜0.由方程组,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0 ,①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N,∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5,0)设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m,x1•x2=m2,点A到直线l的距离为,从而=4(1－m)(5+m)2,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号.故直线l的方程为y=x－1,△AMN的最大面积为2．抛物线的中点弦问题.解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2),将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”.例3．已知抛物线y2=4x的一条弦的斜率为3,它与直线交点恰为这条弦的中点M,则点M的坐标为_______．【解析】设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2),弦PQ的中点M(x0,y0),则x1+x2=2x0=1,y1+y2=2y0,又两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)即2y0(y1-y2)=4(x1-x2),∴点M的坐标为3.抛物线的切线问题由于抛物线x2=2py(p≠0),可转化为函数,因此我们可以借助导数的几何意义来研究抛物线的切线.例4. 已知抛物线x2＝2y,过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于P,Q两点,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为________．【解析】由x2＝2y,得,∴y′＝x.设P(x1,y1),Q(x2,y2),∴抛物线在P,Q两点处的切线的斜率分别为x1,x2,∴过点P的抛物线的切线方程为y－y1＝x1(x－x1),又∴切线方程为,同理可得过点Q的切线方程为,两切线方程联立解得又抛物线焦点F的坐标为,易知直线l的斜率存在,可设直线l的方程为,由,得x2－2mx－1＝0,所以x1x2＝－1,所以4．面积问题求三角形或四边形的面积最值是高考中的常见问题,解决这类问题的基本方法是把面积表示为某一变量的函数,再转化为函数求最值,或利用基本不等式求最值.例5．(2014•高考四川卷)已知F为抛物线y2＝x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA→•OB→＝2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )A．2 B．3【解析】设直线AB的方程为x＝ny＋m(如图),A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1x2＋y1y2＝2.∴y1y2＝－2.联立得y2－ny－m＝0, ∴y1y2＝－m＝－2,∴m＝2,即点M(2,0)．又S△ABO＝S△AMO＋S△BMO当且仅当时,等号成立．例6．已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B,且|AB|≤2p.(1)求a的取值范围.(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值.【解析】(1)设直线l的方程为：y=x－a,代入抛物线方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2又∵p＞0,(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点 C(x,y),由(1)知,y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,则有∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p=－(x－a－p),从而N点坐标为(a+2p,0）点N到AB的距离为从而当a有最大值时,S有最大值为5.对称问题根据圆锥曲线上存在不同两点关于某直线对称求参数范围，是一类典型问题，解决此类对称问题,要抓住三点：(1)中点在对称轴上；(2)两个对称点的连线与对称轴垂直；(3)两点连线与曲线有两个交点,故Δ＞0.一般通过“设而不求”、“点差法”得到对称点连线的方程,再与曲线方程联立,由判别式不等式求出参数范围.例7.已知抛物线y＝ax2－1(a≠0)上总有关于直线x＋y＝0对称的相异两点,求a的取值范围.解：设A(x1,y1)和B(x2,y2)为抛物线y＝ax2－1上的关于直线x＋y＝0对称的两相异点,则两式相减,得y1－y2＝a(x1－x2)(x1＋x2).再由x1≠x2,得设线段AB的中点为M(x0,y0),则由M点在直线x＋y＝0上,得∴直线AB的方程为联立直线AB与抛物线的方程并消去y,得依题意,上面的方程有两个相异实根,∴a的取值范围是1.(2014•潍坊模拟)过抛物线y2＝4x的焦点且斜率为的直线l与抛物线y2＝4x交于A,B两点,则|AB|的值为( )【答案】A【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线的焦点为(1,0),则直线l的方程为,代入抛物线方程得3x2－10x＋3＝0.根据抛物线的定义,可知|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝2．已知直线y=k(x+2)(k＞0)与抛物线C:y2=8x相交A、B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=( )【答案】D【解析】由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2,0）,由|FA|=2|FB|知x A+2=2(x B+2) 联立方程用根与系数关系可求3．抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k≠0)交于A、B两点,且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有( )A.x3=x1+x2B.x1x2=x1x3+x2x3C.x1+x2+x3=0D.x1x2+x2x3+x3x1=0解方程组,得ax2－kx－b=0,可知,代入验证即可.4.已知抛物线C的顶点坐标为原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为_______．答案】y2=4x【解析】设抛物线为y2＝kx,与y＝x联立方程组,消去y,得：x2－kx＝0, x1+x2＝k＝2×2,故y2=4x.1.设抛物线x2＝12y的焦点为F,经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A,B两点,若点P恰为AB的中点,则|AF|＋|BF|＝( )A.12B.10C.6D.8 【答案】D【解析】设点A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1＋y2＝2×1＝2,|AF|＋|BF|＝(y1＋3)＋(y2＋3)＝(y1＋y2)＋6＝8.故选D.2.已知双曲线(a＞0,b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为3,则p＝( )A.1 C.2 D.3 【答案】C【解析】由双曲线的离心率.∴双曲线的渐近线方程为.由题意可设得p＝2或－2(舍去).故选C.3.直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为( )A．48 B．56 C．64 D．72 【答案】A【解析】由题不妨设A在第一象限,联立y＝x－3和y2＝4x可得A(9,6),B(1,－2),而准线方程是x＝－1,所以|AP|＝10,|QB|＝2,|PQ|＝8,故S梯形APQB＝(|AP|＋|QB|)•|PQ|＝48.4.过点(2,4)作直线与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点,则这样的直线有条_______．注意到点(2,4)是抛物线上的点,用数形结合知满足题意的直线有两条,其一是过该点的切线；其二是过该点且与对称轴平行的直线.故填2.5.设F为抛物线C：y2＝4x的焦点,过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点.若FQ＝2,则直线l的斜率等于_______．【答案】±1【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y＝k(x＋1),联立得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0,x1＋x2y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2k＝,设Q(x0,y0),则,又F(1,0),,解得k＝±11.（2015福建文19）已知点F为抛物线E：y2=2px(p＞0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3．（1）求抛物线E的方程；（2）已知点G(-1,0) ,延长AF交抛物线E于点B,求证：以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直GB相切．【答案】（1）y2=4x；（2）见解析【解析】（1）由抛物线的定义得．因为|AF|=3,即,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x．（2）解法一：因为点A(2,m),在抛物线E：y2=4x上,所以,由抛物线的对称性,不妨设由,F(1,0)可得直线AF的方程为,得2x2-5x+2=0.解得x=2或,从而又G(-1,0),所以所以k GA+K GB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．解法二：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r．因为点A(2,m)在抛物线E：y2=4x上,所以,由抛物线的对称性,不妨设由,F(1,0)可得直线AF的方程为,得2x2-5x+2=0.解得x=2或,从而又G(-1,0),故直线GA的方程为从而又直线GB的方程为所以点F到直线GB的距离这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．2.设不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y＝2x2上,l是AB的垂直平分线.(1)当且仅当x1＋x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；(2)当直线l的斜率为2时,求l在y轴上的截距的取值范围.【查看答案】【答案】(1) x1＋x2＝0 ；(2)【解析】(1)F∈l⇔|FA|＝|FB|⇔A,B两点到抛物线的准线的距离相等,∵抛物线的准线是x轴的平行线,y1≥0,y2≥0,依题意y1,y2不同时为0,∴上述条件等价于∵x1≠x2,∴上述条件等价于x1＋x2＝0,即当且仅当x1＋x2＝0时,l经过抛物线的焦点F.(2)设l在y轴上的截距为b,依题意得l的方程为由y＝2x2,得过A,B的直线方程为∵直线AB与抛物线有两个不同交点,∴联立得32x2＋8x＋5－16b＝0,Δ＝－9＋32b＞0,.因此直线l在y轴上截距的取值范围是3.如图,已知直线l与抛物线x2＝4y相切于点P(2,1),且与x轴交于点A,O为坐标原点,定点B的坐标为(2,0)．(1)若动点M满足,求点M的轨迹C；(2)若过点B的直线l′(斜率不等于零)与(1)中的轨迹C交于不同的两点E,F(E在B,F之间),试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．(1) 以原点为中心,焦点在x轴上,长轴长为,短轴长为2的椭圆；(2)【解析】(1)由x2＝4y,得∴直线l的斜率为y′|x＝2＝1,故直线l的方程为y＝x－1,∴点A坐标为(1,0)．设M(x,y),则由得整理得∴动点M的轨迹C为以原点为中心,焦点在x轴上,长轴长为,短轴长为2的椭圆．(2)由题意知直线l′的斜率存在且不为零,设l′的方程为y＝k(x－2)(k≠0),①将①代入整理,得(2k2＋1)x2－8k2•x＋(8k2－2)＝0,由Δ＞0得设E(x1,y1),F(x2,y2),由此可得,且0＜λ＜1.由②知(x1－2)•(x2－2)＝x1x2－2(x1＋x2)＋4又∵0＜λ＜1,∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是。

抛物线的标准方程(五大题型)(原卷版)

3．3．1 抛物线的标准方程定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．知识点诠释：（1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值（2）定义中的隐含条件：焦点F 不在准线l 上，若F 在l 上，抛物线变为过F 且垂直与l 的一条直线．（3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化．【即学即练1】（2023·高二课时练习）若动点P 到点()3,0的距离和它到直线3x =-的距离相等，则动点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．抛物线C ．直线D ．双曲线知识点02 抛物线的标准方程标准方程的推导如图，以过F 且垂直于l 的直线为x 轴，垂足为K ．以F ，K的中点O 为坐标原点建立直角坐标系xOy ．设KF p =（0p >），那么焦点F 的坐标为(,0)2p ，准线l 的方程为2p x =-．设点(,)M x y 是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d ．由抛物线的定义，抛物线就是集合||MF =2p d x =+ 将上式两边平方并化简，得22(0)y px p =>．①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是(,0)2p 它的准线方程是2p x =-．抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式22y px =，22y px =-，22x py =，22x py =-(0)p >．知识点诠释：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线220x y =-的一次项为20y -，故其焦点在y 轴上，且开口向负方向（向下）③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线220x y =-的一次项20y -的系数为20-，故其焦点坐标是(0,5)-．一般情况归纳：首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论．⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p ，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况．【即学即练2】（2023·全国·高二随堂练习）求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为()2,0F -；(2)准线方程为：4y =-；(3)焦点到准线的距离为6.题型一：抛物线的定义例1．（2023·江苏盐城·高二校联考阶段练习）抛物线24y x =的焦点到准线的距离是（）.A ．116B ．18C ．2D ．4例2．（2023·江苏·高二假期作业）若点P 到直线=1x -的距离比它到点(2)0，的距离小1，则点P 的轨迹为（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线例3．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离为2，焦点为F ，则PF =（）A．2 B ．3 C D ．变式1．（2023·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）若动点(,)M x y 满足3412x y =-+，则点M 的轨迹是（） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线题型二：抛物线的标准方程例4．（2023·全国·高二期中）求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，准线方程为4y =；(2)顶点在原点，且过点()3,2-；(3)顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线34120x y --=上；(4)焦点在x 轴上，且抛物线上一点()3,A m 到焦点的距离为5.例5．（2023·全国·高二课堂例题）已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在原点，并且经过点()1,2P .求该抛物线的标准方程.例6．（2023·全国·高二课堂例题）求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为()0,4F -；(2)准线方程为12x =. 变式2．（2023·高二课前预习）已知抛物线对称轴为坐标轴，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M -，求抛物线的标准方程.变式3．（2023·高二课前预习）一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图，已知接收天线的口径（直径）为，深度为1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.题型三：轨迹方程—抛物线例7．（2023·全国·高二专题练习）设圆22:4O x y +=与y 轴交于A ，B 两点（A 在B 的上方），过B 作圆O 的切线l ，若动点P 到A 的距离等于P 到l 的距离，则动点P 的轨迹方程为（）A ．28x y =B ．216x y =C ．28y x =D ．216y x =例8．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，动点(),P x y 到直线1x =的距离比它到定点()2,0-的距离小1，则P 的轨迹方程为（）A ．22y x =B ．24y x =C ．24y x =-D ．28y x =-例9．（2023·高二课时练习）已知在平面直角坐标系中有一定点(1,0)F ，动点(,)(0)P x y x ≥到y 轴的距离为d ，且||1PF d -=，则动点P 的轨迹方程为（）A ．2y x =B ．24y x =C ．28y x =D ．22y x =变式4．（2023·江苏·高二专题练习）与圆C ：2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（）A ．28y x =B ．2y x =（0x >）和0y =（0x <）C ．28y x =（0x >）D ．28y x =（0x >）和0y =（0x <）变式5．（2023·全国·高二专题练习）若点P 到点(0,2)的距离比它到直线1y =-的距离大1，则点P 的轨迹方程为（）A ．24y x =B ．24x y =C ．28y x =D ．28x y =变式6．（2023·福建宁德·高二统考期末）已知动圆M 经过点A (3，0)，且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（）A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝12yD ．x 2＝－12y变式7．（2023·江苏·高二专题练习）已知圆C 与过点()1,0-且垂直于x 轴的直线l 仅有1个公共点，且与圆22:650C x y x '+-+=外切，则点C 的轨迹方程为（）A ．212y x =B ．26y x =C ．22143x y += D ．22110x y += 变式8．（2023·高二课时练习）已知动圆过点(1,0)，且与直线=1x -相切，则动圆圆心的轨迹方程为（）A ．221x y +=B ．221x y -=C ．24y x= D ．0x = 题型四：抛物线距离和与差的最值问题例10．（2023·高二课时练习）已知点,A B 分别是抛物线2:4C y x =-和圆22:2440E x y x y +-++=上的动点，点A 到直线:2l x =的距离为d ，则AB d +的最小值为．例11．（2023·陕西延安·高二校考期末）已知点M 为抛物线24x y =上任意一点，点N 为圆223204x y y +-+=上任意一点，点()1,2P -，则MP MN +的最小值为 . 例12．（2023·全国·高二专题练习）已知点()0,4M ，点P 在抛物线28x y =上运动，点Q 在圆22(2)1x y +-=上运动，则2||PM PQ 的最小值 . 变式9．（2023·全国·高二专题练习）已知P 是抛物线24x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是()8,7，则PA PQ +的最小值为．变式10．（2023·全国·高二假期作业）已知P 为抛物线24y x =上的动点，F 为抛物线的焦点，点Q ，则PQF △周长的最小值为 .变式11．（2023·西藏日喀则·高二统考期末）若点A 的坐标为(3,2)，F 为抛物线22y x =的焦点，点M 在抛物线上移动，为使||||MA MF +最小，点M 的坐标应为．变式12．（2023·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点()3,2Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为变式13．（2023·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）已知点P 为抛物线C ：24y x =上的动点，直线l ：=1x -，点T 为圆M ：()()22341x y ++-=上的动点，设点P 到直线l 的距离为d ，则PT d +的最小值为．题型五：抛物线的实际应用例13．（2023·高二课时练习）上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊.如今人行道两侧各加宽6米，建成了“彩虹桥”（图1），非常美丽.桥上一抛物线形的拱桥（图2）跨度30m AB =，拱高5m OP =，在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，则支柱11A B 的长度为 m .（精确到m ）例14．（2023·河南周口·高二校联考期中）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm ，则该抛物线的焦点到准线的距离为 cm.例15．（2023·广东·高二统考期末）图中是抛物线形拱桥，当水面在l 时，水面宽4m ，水面下降2m 后，水面宽8m ，则桥拱顶点O 离水面l 的距离为 .变式14．（2023·全国·高二专题练习）有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为，若行车道总宽度为，则车辆通过隧道时的限制高度为 m.变式15．（2023·福建福州·高二校联考期末）如图所示，高脚杯的轴截面为抛物线，往杯中缓慢倒水，当杯中的水深为2cm 时，水面宽度为6cm ，当水面再上升2cm 时，水面宽度为 cm.变式16．（2023·黑龙江鸡西·高二鸡西实验中学校考期中）如图抛物线型拱桥，当拱桥的顶点距离水面3米时，水面宽12米，则水面上升1米后，水面宽度为米.变式17．（2023·海南海口·高二校考期中）已知一个抛物线形拱桥在一次暴雨前后的水位之差为1.5m ，暴雨后的水面宽为2m ，暴雨来临之前的水面宽为4m ，则暴雨后的水面离拱顶的距离为 m .一、单选题1．（2023·湖南·高三雅礼中学校联考阶段练习）圆22420x x y y -+-=的圆心在抛物线22y px =上，则该抛物线的焦点坐标为（）A ．1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,02．（2023·贵州贵阳·高二校考期中）抛物线216=x y 的焦点到圆22:(3)1C x y -+=上点的距离的最大值为（） A ．6 B ．2 C ．5 D ．83．（2023·福建福州·高三福建省福州第八中学校考阶段练习）已知ABC 的顶点在抛物线22y x =上，若抛物线的焦点F 恰好是ABC 的重心，则||||||FA FB FC ++的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．64．（2023·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐101中学校考阶段练习）在平面上，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1，则动点的轨迹是（）A ．抛物线B ．直线C ．抛物线或直线D ．以上结论均不正确5．（2023·高二课时练习）O 为坐标原点，F 为抛物线2:8C y x =的焦点，M 为C 上一点，若||6=MF ，则MOF △的面积为（）A．B ．C ．D ．86．（2023·广东·高三校联考阶段练习）抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，点M 在抛物线上，且||3MF =，FM 的延长线交y 轴于点N ，若M 为线段FN 的中点，则p =（）A ．2B ．C ．4D ．67．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知抛物线E ：28x y =的焦点为F ，点P 为E 上一点，Q 为PF 靠近点P 的三等分点，若10PF =，则Q 点的纵坐标为（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．88．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过C 上一点A 作l 的垂线，垂足为B .若3AF =，则AFB △的外接圆面积为（）.A ．27π8B ．64π27C ．9π4D ．25π16二、多选题9．（2023·贵州黔西·高二校考阶段练习）已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，O 为坐标原点，点00(,)M x y 在抛物线C 上，若5MF =，则（）A ．F 的坐标为()1,0B ．04y =C ．||OM =D ．2OFM S =10．（2023·高二课时练习）（多选）设斜率为2的直线l 过抛物线()20y ax a =≠的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若OAF △（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A ．24y x =-B ．28y x =-C ．24y x =D ．28y x =11．（2023·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校考阶段练习）对于抛物线上218x y =，下列描述正确的是（） A ．开口向上，焦点为()0,2B ．开口向上，焦点为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．焦点到准线的距离为4D ．准线方程为2y =-12．（2023·云南保山·高二校联考阶段练习）已知抛物线2:4C y x =的焦点为,F O 为坐标原点，点00(,)M x y 在抛物线C 上，若4MF =，则（）A ．03x =B ．0y =±C ．OM =D ．F 的坐标为()0,1三、填空题13．（2023·江苏南京·高二南京市秦淮中学校联考阶段练习）已知直线()()21350m x m y m +++--=过定点A且该点在抛物线()220x py p =>上，则p 的值为 .14．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知抛物线22x py =上一点()0,2A x 到焦点的距离是该点到x 轴距离的2倍，则p = ．15．（2023·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，直线4y =与抛物线交于点M ，且4MF =，则p = ．16．（2023·广东深圳·高三校联考期中）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点A 在第一象限，线段AB 的中点为M ，其中点A 的横坐标为3，4AF =，则点M 到y 轴的距离为 .四、解答题17．（2023·全国·高三专题练习）倾斜角为60︒的直线l 过抛物线2:4C y x =的焦点，且与C 交于A ，B 两点(1)求抛物线的准线方程；(2)求OAB 的面积（O 为坐标原点）.18．（2023·江西上饶·高二校考阶段练习）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，抛物线上一点P 横坐标为3，且点P 到焦点F 的距离为4.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点(2,0)作直线交抛物线于点,A B ，求ABO 面积的最小值（其中O 为坐标原点）.19．（2023·云南大理·高二云南省下关第一中学校考期中）从抛物线22(0)y px p =>上各点向x 轴作垂线段.(1)求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线；(2)直线2y x =-与抛物线22y x =交于A 、B 两点，求证：原点O 在以AB 为直径的圆上.20．（2023·河北邯郸·高二校考阶段练习）设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 且斜率为k （0k >）的直线l 与C 交于A ，B 两点，8AB =．(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．21．（2023·江苏连云港·高二统考期中）在①焦点到准线的距离是2，②准线方程是=1x -，③通径的长等于4这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：()220y px p =>，___________.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线28y x =-与抛物线C 相交于点A ，B ，求证：OA OB ⊥. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 22．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：22y px =过点()2,4A ．(1)求抛物线C 的方程；(2)P ，Q 是抛物线C 上的两个动点，直线AP 的斜率与直线AQ 的斜率之和为4，证明：直线PQ 恒过定点．。

抛物线与直线的交点问题

For personal use only in study and research; not for commercial use抛物线与直线的交点问题1、抛物线y=ax +bx+c 与直线y=m （坐标系中的水平直线）的交点问题：①把y=m 代入y=ax 2+bx+c 得ax 2+bx+c=m ，即ax 2+bx+（c-m ）=0此时方程的判别式△=b 2-4a(c-m)。

△＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=m 有两个交点；△=0时有一个交点；△＜0时无交点。

②特殊情形：抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0（x 轴）的交点问题：令y=0，则ax 2+bx+c=0此时方程的判别式△=b 2-4ac△＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点；△=0时有一个交点；△＜0时无交点。

2、抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=kx+b 的交点问题：令ax 2+bx+c=kx+b ，整理方程得：ax 2+(b-k)x+（c-b ）=0此时方程的判别式△=(b-k)2-4a （c-b ）△＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=kx+b 有两个交点；△=0时有一个交点；△＜0时无交点。

总结：判别式△的值决定抛物线与直线的交点个数。

3、抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0（x 轴）的交点位置问题：若ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点为（x 1，0）、（x 2，0）① 若x 1x 2＞0、x 1+x 2＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点在原点右侧② 若x 1x 2＞0、x 1+x 2＜0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点在原点左侧③ 若x 1x 2＜0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点分居于原点两侧4、抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0（x 轴）的两个交点距离公式若ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点（x 1，0）、（x 2，0）的距离为︱x 1-x 2︱=aac b 42 练习1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是－3和1，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点是____________．2．已知二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为( )A ．k >－47B ．k <－47且k ≠0C ．k ≥－47D ．k ≥－47且k ≠03．若抛物线y ＝x 2－８x ＋c 顶点在x 轴上，则c 的值等于( )．A ．４B ．８C ．－４D ．１６4．二次函数y＝ax2＋bx＋c的值恒为负值的条件是( )．A．a＞０, b2－４ac＜０B．a＜０, b2－４ac＞０C．a＞０, b2－４ac＞０D．a＜０, b2－４ac＜０5.直线y=3x－3与抛物线y=x2－x+1的交点的个数是______6．若抛物线y=（m－1）x2+2mx+m+2恒在x轴上方，则m_______．7．抛物线顶点C(２,)，且与x轴交于A、B两点，它们的横坐标是方程2x2－7x＋1＝０的两根，则S△ABC＝．8．直线y=2x1与抛物线y=x2的公共点坐标是______________．9、不等式x2-9＞０的解集为_________________；x2＞2x+1的解集为_____________.10．利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的根．11．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，－4），且过点B（3,0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标．12．已知抛物线y＝x2＋ax＋a－2．(1)证明:此抛物线与x轴总有两个不同的交点;(2)求这两个交点间的距离;(用关于a的表达式来表达)(3)a取何值时,两点间的距离最小?13．已知抛物线y=－x2+（m－2）x+3（m+1）交x轴于A（x1，0），B（x2，0）两点，交y•轴正半轴于C点，且x1<x2，│x1│>│x2│，OA2+OB2=2OC+1．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在与抛物线只有一个公共点C的直线？如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不存在，请说明理由．仅供个人参考仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

知识讲解_直线与抛物线的位置关系(理)_基础

直线与抛物线的位置关系【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求抛物线的方程；2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、准线）解决相关问题；3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】【要点梳理】要点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．要点诠释：上述定义可归结为“一动三定”：一个动点，一定点F （即焦点），一定直线（即准线），一定值1（即动点M 到定点F 的距离与定直线l 的距离之比）.要点二、抛物线的标准方程抛物线标准方程的四种形式：22y px =，22y px =-，22x py =，22x py =-(0)p >抛物线抛物线的定义与标准方程抛物线的几何性质直线与抛物线的位置关系抛物线的综合问题抛物线的弦问题抛物线的准线要点诠释：求抛物线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设抛物线方程的具体形式；“定值”是指用定义法或待定系数法确定p 的值.要点三、抛物线的几何性质范围：{0}x x ≥，{}y y R ∈，抛物线y 2=2px （p ＞0）在y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标（x ，y ）的横坐标满足不等式x≥0；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。

抛物线是无界曲线。

对称性：关于x 轴对称抛物线y 2=2px （p ＞0）关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。

抛物线只有一条对称轴。

顶点：坐标原点抛物线y 2=2px （p ＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。

抛物线的顶点坐标是（0，0）。

离心率：1e =.抛物线y 2=2px （p ＞0）上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。

专题抛物线与直线型交点个数

抛物线与直线型的交点个数问题专题一、引入：（1）抛物线y=ax 2-x+1(a ≠0)与直线y=x-1只有一个公共点，则a 的取值范围是；（2）抛物线y=ax 2-x+1(a ≠0)与直线y=x-1只有两个公共点，则a 的取值范围是；（3）抛物线y=ax 2-x+1(a ≠0)与直线y=x-1没有公共点，则a 的取值范围是；二、问题：例1．如图，在平面直角坐标系中，点B （38，0）和点D （4，4），抛物线y=ax 2-(2a+1)x(a>0) （1）试判断抛物线与直线DB 是否有公共点？（2）抛物线与线段DB 是否有公共点？（3）过点D 作DC ⊥x 轴于点C ，再分别过点B 和点D 作x 轴和y 轴的垂线相交于点A ，抛物线与矩形ABCD 有公共点时，求a 的取值范围。

yxDB O例2（2014年中考题改编）在平面直角坐标系中，已知线段OD 的端点（3，4），抛物线x a t ax y )41(2-+=经过点C （4，1），若此时抛物线与线段OD 只有唯一的公共点O ，求a 的取值范围。

三、作业1.（2015西陵期末）在平面直角坐标系中，梯形ABCD 的顶点A （-5，0）和B （-1，3），且BC ∥AO ，若过点A ，O 两点的抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与线段AB 只有唯一公共点A ，求a 的取值范围。

2.（2009年中考题）已知：直角梯形OABC 的四个顶点是O (0，0)，A (32，1)， B (s ，t )，C (72，0)，抛物线y =x 2＋mx －m 的顶点P 是直角梯形OABC 内部或边上的一个动点，m 为常数．(1)求s 与t 的值，并在直角坐标系中画出．．直角梯形OABC ； (2)当抛物线y =x 2＋mx －m 与直角梯形OABC 的边AB 相交时，求m 的取值范围．3.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=x 2+bx+c （b ，c 为常数）的图象与y 轴交于点B 。

2021-2022年高三数学上学期解析几何14抛物线的方程及其性质(1)教学案(无答案)

2021年高三数学上学期解析几何14抛物线的方程及其性质（1）教学案（无答案）【教学目标】掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形，以及它的简单几何性质．【教学重点】能利用抛物线的定义、几何性质解决一些简单的数学问题．【教学难点】抛物线标准方程的四种不同形式．【教学过程】一、知识梳理：1．抛物线定义：平面内到一个定点F和一条定直线l（Fl）的距离的点的轨迹叫做抛物线；点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的．2．标准方程、焦点、准线、图形（其中，表示焦点F到准线的距离）标准方程抛物线的图形焦点坐标准线方程开口方向焦半径3（1）范围：．（2）对称性：．（3）顶点：．（4）开口方向：．二、基础自测：1．抛物线2x2＋y＝0的焦点坐标是．2．抛物线y＝4x2的准线方程为．3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为________．4．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为________．三、典型例题：反思：例1．根据下列条件求抛物线的标准方程．（1）抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；（2）过点P (2，－4)；（3）抛物线的焦点在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，AF ＝5．【变式拓展】如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ．若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为__________________．例2．已知曲线上的每一点到点A (0,2)的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求曲线的方程．【变式拓展】已知动圆P 过点F (0，14)且与直线y ＝－14相切，动圆的圆心为P ．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作一条直线交轨迹C 于A ，B 两点，轨迹C 在A ，B 两点处的切线相交于点N ，M 为线段AB 的中点，求证：MN ⊥x 轴．例3．已知抛物线y 2=2x 焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A （3，2），求PA +PF 的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．【变式拓展】(xx 年南京模拟)已知点A (－2,1)，y 2＝－4x 的焦点是F ，P 是y 2＝－4x 上的点，为使PA ＋PF 取得最小值，求P 点的坐标．四、课堂反馈：1．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点也是双曲线x 2－y 2＝8的一个焦点，则p ＝．2．若抛物线x 2＝ay 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，则点A 到此抛物线的焦点的距离为． 3．若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点A (2，m )到焦点的距离为6，则p ＝．4．若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是．五、课后作业：学生姓名：___________1．抛物线y ＝－12x 2的焦点坐标是． 2．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是．3．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是． 4．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为________． 5．已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为． 6．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为． 7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，那么AB 等于．8．直线l 过抛物线y 2＝ax 焦点，并且垂直于x 轴，若直线l 被抛物线截得线段长为4，则a ＝．9．若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．10．在路边安装路灯，灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽米，设灯柱高（米），（1）求灯柱的高（用表示）；（2）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值． CB A D。

抛物线的简单几何性质课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义，的值是多少？
答案： = 1．
，叫
探索性质
拓展
圆锥曲线统一定义
动点M到定点F的距离与M到定直线l（不过点F）的距离之比为常数e，
当0<e<1时，点M的轨迹为椭圆；当e>1时，点M的轨迹为双曲线；当e=1时，
点M的轨迹为抛物线．其中e为圆锥曲线的离心率．
图形的内在逻辑，接下来我们应该研究什么？
答案：
抛物线的几何性质．
复习引入
追问
类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，我们应该研究
抛物线y2 = 2px(p > 0) ①的哪些几何性质？如何研究这些性质？
答案：
范围、对称性、顶点、离心率．研究的基本思路与方法是先“形”后
“数”，即在观察图形的形状与特征的基础上先提出猜想，再通过方程①

2
同理 = ′ = 2 + = 2 + 1 ．
于是得 = + = 1 + 2 + = 1 + 2 + 2．
可见，只要求出点，的横坐标之和，就可以求出||，
这也是求抛物线焦点弦的典型方法．
知识应用
追问5
能否尝试使用方法三解决本题，并写清步骤？

2
因为直线的斜率为1，且过焦点(1,0) ，所以直线的方程为 = − 1．①
将①代入方程 2 = 4，得 ( − 1)2 = 4，化简得 2 − 6 + 1 = 0 ．
所以1 + 2 = 6， = 1 + 2 + 2 = 8 ．
所以，线段的长是8．
知识应用
追问6
所以可以求出直线l的方程；与抛物线的方程联立，可以求出A，B两点的坐标；

抛物线及其标准方程课件

抛物线的准线方程:
(1)过点(-3,2);
(2)焦点在 x-2y-4=0 上.
思路分析:求抛物线标准方程时要先确定焦点位置,能确定焦点位
置的可设相应的标准方程,否则要分情况讨论.
解:(1)∵(-3,2)在第二象限,
∴抛物线开口向左或向上.
设所求抛物线的方程为 y2=-2px(p>0)或 x2=2p'y(p'>0),
综上所述,抛物线的标准方程为 y2=-8x 或 x2=-y.
抛物线标准方程的求解方法是“先定型,后计算”.所谓“定型”,是指
确定类型,也就是确定抛物线的焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴,是正
半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程的形式.“计算”就是指根据
题目中的条件求出方程中参数 p 的值,从而得到抛物线的标准方程.
轴为对称轴,求抛物线的标准方程.
解:由题意知圆心为(-2,-4).
(1)当抛物线焦点在 x 轴上时,设方程为 y2=ax(a≠0),
由 16=-2a,得 a=-8.
∴标准方程为 y2=-8x.
(2)当抛物线焦点在 y 轴上时,设方程为 x2=ay(a≠0),
由 4=-4a,得 a=-1.
∴标准方程为 x2=-y.
于利用其定义解题.
1
2
1
,0
2
的距离比它到 y 轴的距
离大 .
(1)求点 M 的轨迹方程.
(2)是否存在 M,使|MA|+|MF|取得最小值?若存在,求此时点 M 的坐
标;若不存在,请说明理由.
1
2
思路分析:动点 M 到 F 的距离比它到 y 轴的距离大 ,所以动点 M
1
2
到 F 的距离与它到直线 x=- 的距离相等,由抛物线定义可求得动点 M

抛物线及其标准方程(课件)-高二数学同步精品课件(人教A版2019选择性必修第一册)

4 问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
分析：建系→设方程→求抛物线方程→解决实际问题．
解析：如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－
2py(p>0)，由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝
8 5
，∴抛物线方程
为x2＝－156y.
∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航．
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－156yA，得yA＝－54.
故抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝4y.故选C.
答案：(1)C
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线标准方程为 ________.
解析：(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝ 2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－ 10y.
变式训练 3 如图是抛物线型拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，若水面下降 0.42 米后，则水面宽为( )
A．2.2 米 B．4.4 米 C．2.4 米
D．4 米
解析：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，将 A(2，－2)代入x2＝my，得m＝－2，
∴x2＝－2y，代入B(x0，－2.42)得x0＝2.2，故水面宽为4.4 m，故选B. 答案：B
探究 2 待定系数法求抛物线方程
例 2 (1)顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是
() A．y2＝－4x
B．x2＝4y
C．y2＝－4x 或 x2＝4y
D．y2＝4x 或 x2＝－4y
解析：(1)设抛物线方程为y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)，把(－4,4)代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.

专题70：抛物线基础知识和典型例题(解析版)

专题70：抛物线基础知识和典型例题（解析版）抛物线1、定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线．2、抛物线的几何性质：标准方程范围顶点对称轴轴轴焦点准线方程离心率，越大，抛物线的开口越大焦半径通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：焦点弦长公式3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即．4、关于抛物线焦点弦的几个结论：设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则⑴⑵⑶以为直径的圆与准线相切；⑷焦点对在准线上射影的张角为⑸四、直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线的位置关系：⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。

⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到。

①.若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。

②.若，设。

③..时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。

b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。

c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。

五、弦长问题：直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。

即当直线与圆锥曲线交于点，时，则====题型一：求抛物线的解析式例1求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）顶点在原点，焦点是(0,5)F ；（2）顶点在原点，准线是4x =；（3）焦点是8(0,)F -，准线是8y =；（4）顶点在原点，关于x 轴对称，顶点与焦点的距离等于6．例1（1）220x y =；（2）216y x =-；（3）232x y =-；（4）224y x =±. 【解析】【分析】（1）判断焦点位置，设出抛物线方程，根据焦点求解出抛物线的标准方程；（2）根据准线判断焦点位置，设出抛物线方程，根据准线方程求解出抛物线的标准方程；（3）根据焦点和准线设出抛物线方程，根据焦点坐标即可求解出抛物线的标准方程；（4）先判断出顶点位置，然后设出抛物线的标准方程，利用已知条件求解出抛物线的标准方程. 【详解】（1）因为焦点在y 轴正半轴，设抛物线方程22x py =，所以52p=，所以10p =，所以抛物线的标准方程为220x y =；（2）因为准线4x =，所以焦点在x 轴负半轴，设22y px =-，所以42p=，所以8p =，所以抛物线的标准方程为216y x =-；（3）由条件可知抛物线的焦准距被坐标原点平分，所以抛物线的顶点在坐标原点，设抛物线方程22x py =-，所以82p=，所以16p =，所以抛物线的标准方程为232x y =-；（4）设抛物线的标准方程为22y px =，所以62p=，所以12p =±，所以抛物线的标准方程为：224y x =±. 【点睛】本题考查根据已知条件求解抛物线的标准方程，主要考查学生的分析与计算能力，难度较易. 例2：已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率2e =求椭圆E 的方程．例3：2214x y +=.【解析】【分析】由点抛物线焦点F 是椭圆的一个顶点可得1b =，由椭圆离心率e =c a =椭圆方程可求．【详解】设椭圆E 的方程为22221x y a b+=，半焦距为c ．由已知条件，()0,1F ，1b ∴=，c a =222a b c =+，解得2a =，1b =．所以椭圆E 的方程为2214x y +=．【点睛】本题考查了利用待定系数法求椭圆方程，属于基础题.题型二：求抛物线的轨迹例3：已知曲线()2C :2y x =+上有一点A ，定点()B 2,0，求线段AB 中点P 的轨迹方程。

专题14 直线与抛物线的位置关系(解析版)

专题14 直线与抛物线的位置关系一、定点1、已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点(4,0)M ．（1）若点F 到直线ll 的斜率；（2）设A ，B 为抛物线上两点，且AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值答案：（12）证明见详解.解析：（1）设出直线方程，根据点到直线的距离公式，即可求得直线；（2）设出直线方程，联立抛物线方程，根据韦达定理，利用直线垂直，从而得到的斜率关系，即可证明. 【详解】（1）由条件知直线l 的斜率存在，设为0k ，则直线l 的方程为：0(4)y k x =-，即0040k x y k --=．从而焦点(1,0)F 到直线l（2）证明：设直线AB 的方程为(0)y kx b k =+≠，联立抛物线方程24y x =，消元得：222(24)0k x kb x b +-+=．设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,P x y ，因为PM AB ⊥，1PM AB k k ∴⋅=-．将M 点坐标代入后整理得：即可得：222kb k -=. 【点睛】本题考查抛物线中的定值问题，涉及直线方程的求解，韦达定理，属综合基础题.2、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()220y px p =>上一点其焦点F 的距离为4.（1）求抛物线的方程与准线方程；（2）直线l 与抛物线相交于,A B 两点(,A B 位于x 轴的两侧)，若3OA OB ⋅=，求证直线l 恒过定点.答案：（1）22y x =，（2）见详解解析：（1）先计算n ，根据抛物线的定义，可得.（2）假设直线方程，然后与抛物线方程联立，利用韦达定理，表示出3OA OB ⋅=，可得结果. 【详解】（1在抛物线上，72,pn =或7p = 当7p =时，所以，抛物线的方程为22y x=，（2）设直线l 的方程为x y a λ=+，由22x y ay xλ=+⎧⎨=⎩，得，2220.y y a λ--= 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122,2y y y y a λ+==-.由221212121222y y OA OB x x y y y y ⋅=+=⋅+()22234a OA OB a -⋅=-=得3a =或1a =-.当1a =-时，1222,,y y a A B =-=位于x 轴的同侧，舍去；当3a =时，1226,,y y a A B =-=-位于x 轴的两侧，即直线l 的方程为3x y λ=+，所以，直线l 恒过()3,0. 【点睛】本题主要考查抛物线中过顶点的问题，难点在于找到方程x y a λ=+中,a λ的关系，属中档题.3、已知1F 、2F 分别为椭圆1C :22221(0)y x a b a b+=>>的上、下焦点，其中1F 也是抛物线22:4C x y =的焦点，点M 是1C 与2C 在第二象限的交点，且15||3MF =.（1）求椭圆1C 的方程;（2）已知点(1,3)P 和圆O :222x y b +=，过点P 的动直线l 与圆O 相交于不同的两点,A B ，在线段AB 上取一点Q ，满足:AP PB λ=-，AQ QB λ=，(0λ≠且1λ≠±).求证:点Q 总在某定直线上.答案：（1（2）+33x y =. 试题分析：（1）设()00M x y ，，由已知得M 的坐标，代入椭圆的方程中可求得,,a b c ，可得椭圆1C 的方程；（2）由向量的坐标运算和向量相等的条件，以及点在圆上可得出点Q 所在的直线.详解：（1）设()00M x y ，，因为点M 在抛物线2C 上，且又点M 在抛物线1C 上，所以，且1c =，即221b a =-，解得224,3a b ==，所以椭圆1C 的方程（2）设()()1122,,A B x y x y ，，(),Q x y ，因为AP PB λ=-，所以()()1122131,3x y x y λ=-----，，即有()()()121211312x x y y λλλλ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，，，又AQ QB λ=，所以()()1122,x x y y x x y y λ-=---，，即有()()()()1212+1+3+1+4x x x y y y λλλλ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，，所以()()()()13+24⨯⨯得：()()()2222211222+++13x y x x y y λλ=--，又点A 、B 在圆223x y +=上，所以22221122+3+3x y x y ==，，又1λ≠±，所以+33x y =，故点Q 总在直线+33x y =上.【点睛】本题考查椭圆和抛物线的简单几何性质，以及直线与圆的交点问题，属于较难题.二、定值1、抛物级22(0)x py p =>的焦点F 到直线2py =-的距离为2. （1）求抛物线的方程；（2）设直线1y kx =+交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，分别过A ，B 两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为P ，求证：PF AB ⊥.答案：（1）24x y =；（2）证明见解析试题分析：（1）利用抛物线的定义求出p 即可得出结论；（2）联立直线和抛物线的方程，得出韦达定理，设切线PA 的斜率为PA k ，切线PB 的斜率为PB k ，点P 坐标为(),m n ，利用已知条件对函数214y x =求导得出切线的斜率，写出切线方程，求出两切线的交点坐标，利用1PF AB k k ⋅=-，即可得出结论.详解：（1）由题意知：0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则焦点F 到直线2py =-的距离为：222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以抛物线的方程为：24x y =；（2）证明：把直线1y kx =+代入24x y =消y 得：2440x kx --=，又216160k ∆=+>，利用韦达定理得121244x x kx x +=⎧⎨⋅=-⎩，由题意设切线PA 的斜率为PA k ，切线PB 的斜率为PB k ，点P 坐标为(),m n ，，切线PA 的方程为：()()i ii -利用韦达定理化简整理得：2m k =，把2m k =代入()i 整理得：则()()2,1,0,1P k F -，则PF AB ⊥ 【点睛】本题主要考查了利用定义求抛物线的方程，直线与抛物线应用.做这道题的时候要注意，利用韦达定理，得出两根的关系，设出两切线的交点，认真计算.属于中档题. 2、已知圆()22:11F x y +-=，动点(),M x y ()0y ≥，线段FM 与圆F 交于点N ，MH x ⊥轴，垂足为H ，（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设()()000,2P x y y >为曲线C 上的一点，过点P 作圆F 的两条切线，12,k k 分别为，求点P 的坐标. 答案：（1）24x y =（2试题分析：()1利用抛物线的概念及标准方程直接得结论;()2设过点P 的切线方程为()00y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=，则圆心()0,1F 到切线的距离为求解．详解：()1圆F 的圆心为()0,1F ，半径为1，又MH x ⊥轴，垂足为H∴动点()(),0M x y y ≥到点()0,1F 等于到直线1y =-的距离．故动点()(),0M x y y ≥的轨迹是以()0,1F 为焦点的抛物线，2p ∴=，则动点M 的轨迹C 的方程是24x y =；()2设过点P 的切线方程为()00y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=，则圆心()0,1F 到切线的距离为化简得，()()2220000012120x k x y k y y ---+-=，两切线斜率分别为1k ，2k ，，又()00,P x y 为曲线C 上的一点，由()1知，2004x y =，，即20113430y y -+=，或03y =， 02y >，03y ∴=，则 ∴点P【点睛】本题考查了抛物线的概念及标准方程和定点与定值问题．属于中档题.3、等腰直角△AOB 内接于抛物线2:2C y px =(0p >)，其中O 为抛物线的顶点，OA OB ⊥，△AOB 的面积是16. （1）求抛物线C 的方程；（2）抛物线C 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于M ？N 两点，交y 轴于点E ，若1EM MF λ=，2EN NF λ=，证明：12λλ+是一个定值.答案：（1）24y x =；（2）证明见解析.试题分析：（1）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由抛物线方程、两点之间距离公式可得12x x =，结合面积即可得点A 坐标，代入即可得解；（2）设直线():10MN x my m =+≠，点()33,M x y ，()44,N x y ，由平面向量的知识. 详解：（1）设点()11,A x y ，()22,B x y ，则2112y px =，2222y px =，因为△AOB 为等腰直角三角形，OA OB ⊥，所以22221122x y x y +=+，所以22112222x px x px ，化简得()()121220x x x x p -++=，由1>0x ，20x >，0p >可得1220x xp ，所以120x x -=即12x x =，所以点A 、点B 关于x 轴对称，又△AOB 的面积是16不妨设点()4,4A ，所以1624p =⋅，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =；（2）证明：由题意可知点()1,0F ，直线MN 的斜率存在且不为0，设直线():10MN x my m =+≠，点()33,M x y ，()44,N x y ，，3,x EM ⎛ =，()331,x y MF -=-，4,x EN ⎛=()441,x y NF -=-，因为1EM MF λ=，2EN NF λ=，由241y xx my ⎧=⎨=+⎩消去x 可得2440y my --=，>0∆，所以344y y m +=，344y y =-，所以12λλ+是一个定值,且121λλ+=-.【点睛】本题考查了抛物线方程的求解及直线、平面向量与抛物线的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.4、如图所示，倾斜角为α的直线经过抛物线28y x =的焦点F ，且与抛物线交于,A B 两点.（1）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；（2）若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P .证明||||cos2α-FP FP 为定值，并求此定值.答案：（1）,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭；2x =-（2）证明见解析；定值为8试题分析：（1）根据抛物线标准方程得28p =，从而易得焦点坐标和准线方程；（2）设点,A B 的坐标分别为()(),,,A A B B x y B x y .直线AB 的斜率为tan k α=，则直线方程为(2)y k x =-，代入抛物线方程整理后可和A B x x +，这样可得AB 中点E 的坐标(,)E E x y ，由直线m 与AB 垂直可得m 的方程，在此方程中令0y =得P x ，计算化简||||cos2α-FP FP 得定值．详解：解（1）设抛物线的标准方程为22y px =，则28p =，从而4p =. 因此焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的坐标为（2，0），又准线方程的一般式为2p x =-.从而所求准线的方程为2x =-.（2）设点,A B 的坐标分别为()(),,,A A B B x y B x y .直线AB 的斜率为tan k α=，则直线方程为(2)y k x =-.将此式代入28y x =，得()22224240k x k x k -++=. 故()2242++=A B k x x k.记直线m 与AB 的交点为(),E E E x y ，则()22222A B E k x x x k++==，故直线m 的方程为令0y =，得点P 的横坐标.【点睛】本题考查由抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程，考查直线与抛物线相交中的定值问题．直线与抛物线相交，可设交点坐标为()(),,,A A B B x y B x y ，再写出直线方程与抛物线方程联立消元后应用韦达定理得,A B A B x x x x +，本题中由此可得中点坐标(,)E E x y ．这就是解析几何中的设而不求的思想方法，务必掌握住．5、已知()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线C ：()220x py p =>上不同两点.（1）若抛物线C 的焦点为F ，()00,D x y 为AB 的中点，且042AF BF y +=+，求抛物线C 的方程；（2）若直线AB 与x 轴交于点P ，与y 轴的正半轴交点Q ，且线AB ，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由. 答案：（1）28x y =；（2）存在，AB ：试题分析：(1)根据抛物线的定义求解即可.(2)设AB ：()0,0y kx m k m =+≠>,联立直线与抛物线的方程,再转换可得进而利用点坐标与韦达定理代入化简求解即可. 详解：解：（1）由抛物线的定义得12AF BF y y p +=++00242y p y =+=+,∴4p =,∴所求抛物线方程为28x y =.（2）由题意得AB 的斜率存在设AB ：()0,0y kx m k m =+≠>,222202y kx mx pkx pm x py=+⎧⇒--=⎨=⎩,∴122x x pk +=,122x x pm =-,,21222y y pk m +=+,作'AA x ⊥轴,'BB x ⊥轴,垂足为'A ,'B ,【点睛】本题主要考查了抛物线的定义运用,同时也考查了联立直线与抛物线的方程,利用韦达定理表达弦长进行化简求解的问题.属于中档题.6、已知O 为原点，抛物线()2:208C x py p =<<的准线与y 轴的交点为H ，P 为抛物线C 上横坐标为4的点，已知点P 到准线的距离为5. （1）求C 的方程；（2）过C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若以AH 为直径的圆过B ，求.答案：（1）24x y =；（2）4.试题分析：（1，求得p 后即可得解；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为()10y kx k =+≠，联立方程组结合韦达定理可得124x x =-，由圆的性质、进而可得221216x x -=，再由抛物线的性质即可得解.详解：（1，解得2p =或8p =（舍）， ∴抛物线方程为24x y =；（2）由题意抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，准线方程为1y =-，()0,1H -，由题意可知，直线AB 的斜率存在且不为0，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为()10y kx k =+≠，代入抛物线方程可得2440x kx --=，>0∆， ∴124x x k +=，124x x =-，①由AH BH ⊥可得1HB k k ⋅=-，∴整理得()()1212110y y x x -++=，即把①代入②得221216x x -=，【点睛】本题考查了抛物线性质的应用及方程的求解，考查了直线与抛物线的综合问题，关键是对题目条件合理转化，属于中档题.7、设抛物线C ：()220y px p =＞的焦点为F ，经过点F 的动直线l 交抛物线C 于()()1122A x y B x y ，、，两点，且12 4.y y =-（1）求抛物线C 的方程；（2）若点M 是抛物线C 的准线上的一点，直线MF 、MA 、MB 的斜率分别为012k k k 、、，求证：当01k =时，12k k +为定值.答案：（1）24y x =；（2）122k k +=.试题分析：（1）设直线l 方程为即可求解；（2）根据条件求出M 点坐标，12k k +用12,y y 表示，再利用根与系数关系，即可证明结论. 【详解】（1）抛物线C ：()220y px p =>的焦点设直线l 方程为，消去x 得，2220y pmy p --=，22212124(1)0,2,4p m y y pm y y p ∆=+>+==-=-，2p =，所以抛物线方程为24y x =；（2）抛物线准线方程为2x =-，设直线l 方程为1x my =+，212124,4y y m y y p +==-=-所以12k k +为定值. 【点睛】本题考查求抛物线的标准方程及其性质，考查直线与抛物线的位置关系，要注意根与系数关系设而不求的应用，属于中档题.8、已知椭圆1C 的中心和抛物线2C 的顶点都在坐标原点O ，1C 和2C 有公共焦点F ，点F 在x 轴正半轴上，且1C 的长轴长、短轴长及点F 到直线（Ⅰ）当2C 的准线与直线的距离为15时，求1C 及2C 的方程；（Ⅱ）设过点F 且斜率为1的直线l 交1C 于P ，Q 两点，交2C 于M ，N 两点．当时，求||MN 的值．试答案：（Ⅰ）1C ：，2C ：212y x =（Ⅱ）试题分析：（1）依据题设条件“1C 的长轴长、短轴长及点F 到直线求得2a c =，从而求出1C 的右准线方程为4x c =，然后借助题设“2C 的准线与直线的距离为15”建立方程求出3c =，求出1C 及2C 的方程；（2）先建立直线l 的方程l ：y x c =-，后与椭圆方程联立，借助求出c 的值，再与曲线1C 的方程联立求出解：（Ⅰ）设1C ：，其半焦距为c (0)c >．则2C ：24y cx =．，得2a c =．1C 的右准线方程为，即4x c =．2C 的准线方程为x c =-．由条件知515c =，所以3c =，故6a =，从而1C ：，2C ：212y x =．（Ⅱ）由题设知l ：y x c =-，设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，()44,Q x y ．，即2223412x y c +=由2223412x y c y x c ⎧+=⎨=-⎩，知34,x x 满足227880x cx c --=，，所以129x x += 点睛：圆锥曲线是高中数学教材中较为典型的传统内容，也是高考每年重点考查的知识内容之一．本题以椭圆与抛物线两种圆锥曲线为背景设置问题，旨在考查椭圆、抛物线的标准方程与几何性质等基础知识，以及运用代数中的方程解决几何问题的各种综合能力．解答本题的第一问时，先依据题设条件“1C 的长轴长、短轴长及点F 到直线求得2a c =，从而求出1C 的右准线方程为4x c =，然后借助题设“2C 的准线与直线的距离为15”建立方程求出3c =，求出1C 及2C 的方程；求解本题的第二问，先建立直线l 的方程l ：y x c =-，后与椭圆方程联立，求出c 的值，再与曲线1C 的方程联立求出的值使得问题获解．9、已知抛物线21:4C y x =与圆2222:C x y r +=一个交点的横坐标线l 与1C 相切于点P ，与2C 交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点. （1）求2C 的方程；（2）若OA OB ⊥，求.答案：（1）221x y +=；（2试题分析：（1）将抛物线方程和圆方程联立，消去y ，得到关于x 的方程，然后将交点代入方程中，可求出圆的半径，可得2C 的方程；（2）设直线l 的方程为x ky m =+，与抛物线方程联立成方程组，消元后判别式等于零，得到20k m +=，直线方程与圆的方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系，再结合OA OB ⊥，可得22210m k --=，从而可求出k ，m 的值，从而可求出点P 的坐标，详解：（1）联立抛物线1C 与圆2C 的方程：22224y xx y r⎧=⎨+=⎩，得2240x x r +-=，解得21r =，所以2C 的方程为221x y +=.（2）设直线l 的方程为x ky m =+，联立直线l 与抛物线1C 的方程24x ky my x=+⎧⎨=⎩，得2440y ky m --=，由于直线l 与1C 相切，所以()()24440k m ∆=---=，即20k m +=①联立直线l 与圆2C 的方程：221x ky m x y =+⎧⎨+=⎩，得()2221210k y kmy m +++-=设()11,A x y ，()22,B x y ，则由OA OB ⊥得，12120x x y y +=，即()()()()221212121210ky m ky m y y k y y km y y m +++=++++=化简得，22210m k --=②，将①代入②得：2210m m +-=，解得1m =-或12m =（舍去），21k =，所以1k =±，故直线l 的1x y =±-. 解方程组214x y y x =±-⎧⎨=⎩得，切点P 的坐标为()11,2P ，()21,2P -. （1）当P 的坐标为()11,2P 时，此时()0,1A ，()1,0B -，故2224PA PB =⨯=；（2）当P 的坐标为()21,2P -时，此时()1,0A -，()0,1B -，故2224PA PB =⨯=. 所以，4PA PB =.【点睛】本题主要考查抛物线方程、圆的方程、向量等综合知识，考查推理论证、转化与化归及运算求解能力，属于较难题.三、面积1、已知点()0,2A ，()2,0B .若点C 在抛物线2y x =上，则使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案： D解析：由题意可得22AB =，AB 的方程为221x y +=，2(,)C m m ，求出点C 到AB 的距离d 的值，再代入面积公式得21|2|22222m m +-⨯⨯=，由此求得m 的值，从而得出结论．详解：由题意可得22AB =，AB 的方程为221x y+=，即20x y +-=．设点2(,)C m m ，则点C 到AB 的距离2|2|2m m d -=+．由于ABC ∆的面积为2，故有21|2|22222m m +-⨯⨯=，化简可得2|2|2m m +-=， 222m m ∴+-=①，或222m m +-=-②．解①求得1172m -+=或1172m --=；解②求得0m =或1m =-．综上可得，使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为4.故选：D. 【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质的应用，点到直线的距离公式，一元二次方程的解法，属于中档题．2、在直角坐标系xOy 中，PAF △是以PF 为底边的等腰三角形，PA 平行于x 轴，点()1,0F ，且点P 在直线1x =-上运动.记点A 的轨迹为C.（1）求C 的方程. （2）直线AF 与C 的另一个交点为B ，等腰PAF △底边的中线与直线1x =-的交点为Q ，试问QAB 的面积是否存在最小值？若存在，求出该值；若不存在，请说明理由.答案：（1）()240y x x =≠；（2）存在，值为4.试题分析：（1）根据抛物线的定义得轨迹C 为抛物线（去除顶点），从而可得其方程；（2）设直线AB 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入抛物线方程整理可得1212,y y y y +，由抛物线的焦点弦弦公式求得弦长AB ，再求出点Q 到直线AB 的距离，求得三角形面积（表示为t 的函数），由函数性质可得最小值．详解：（1）由题意得PA 与直线1x =-垂直，且PA PF =，故点A 到定点()1,0F 的距离和到直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义可得，C 是以()1,0F 为焦点，直线1x =-为准线的抛物线(除原点O)，故C 的方程为()240y x x =≠.（2）存在．设直线AB 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩，得2440y ty --=，则()21610t ∆=+>，124y y t +=，124y y =-. 因为111x ty =+，221x ty =+，所以21242x x t +=+，又P 的坐标为()11,y -，所以PF故PAF △底边的中线所在的直线方程为令1x =-，得故Q 的坐标为()1,2t -.点Q 到直线ABQABS=故当0t =时，QABS取得最小值4.【点睛】本题考查用定义求轨迹方程，考查抛物线的焦点弦性质及抛物线中三角形面积问题．解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程为1x ty =+，代入抛物线方程应用韦达定理得1212,y y y y +，然后用1212,y y y y +去表示出弦长，把三角形面积表示为参数t 的函数，再由函数知识得最小值．3、已知抛物线C ：2y x a =+，点P 是C 上的不同于顶点的动点，C 上在点P 处的切线l 分别与x 轴轴交于点A 、B ．若存在常数t 满足对任意的点P 都有PA tPB =．（Ⅰ）求实数a ，t 的值；（Ⅱ）过点P 作l 的垂线与C 交于不同于P 的一点D ，求PBD △面积的最小值．答案：试题分析：（Ⅰ）先求导数，利用导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，即得A 、B 坐标，根据坐标化简PA tPB =，最后根据等式恒成立得a ，t 的值；（Ⅱ）先设D ，根据向量垂直坐标表示得P 与D 横坐标关系，再根据两点间距离公式得结果.详解：（Ⅰ）设1111(,)(0,)P x y x y a ≠≠，则211y x a =+，22y x a y x '=+∴=2111111111:2()2222()l y y x x x y y x x x y y x x y a ∴-=-∴-=--=--，，，即11:22l y y a x x +-=．l 分别与x 轴轴交于点A 、B ，()10,2B a y -．PA tPB =∴0∵存在常数t 满足对任意的点P 都有PA tPB =∴ （Ⅱ）设22(,)D x y ，DP PB ⊥0DP PB ∴⋅=()()()()222121211121211,,2,,2DP PB x x y y x y x x x x x x ⋅=--⋅--=---⋅ ()()2221121122x x x x x x =----∵12x x ≠，10x≠，故()112120x x x ++=，即又DP PB ⊥，故PBD △的面积为()()()()222222221614141211411()88x x x x x f x x x +-+-+'=⋅=⋅．11(0,),()0;(,),()0;2323x f x x f x ''∴∈<∈+∞>∴()f x 在10,23⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数，在1,23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数． ∴当123x =时，()f x 的最小值是439．故PBD △面积的最小值是439．【点睛】本题考查抛物线切线方程、等式恒成立、抛物线中三角形面积、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属较难题.4、已知点F 是抛物线2:4C x y =的焦点，P 是其准线l 上任意一点，过点P 作直线PA ，PB 与抛物线C 相切，A ，B 为切点，PA ，PB 与x 轴分别交于Q ，R 两点．（1）求焦点F 的坐标，并证明直线AB 过点F ；（2）求四边形ABRQ 面积的最小值．答案：（1）(0,1)F ，证明见解析；（2）3试题分析：（1）由点斜式设出直线,AP BP 的直线方程，再由P 在,PA PB 上，得出直线AB 的方程，从而证明直线AB 过点F ；（2）将直线AB 的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理，抛物线的性质，点到直线的距离公式得出PAB S ∆，PQR S ∆，再由四边形ABRQ 的面积PAB PQR S S S ∆∆=-，结合导数得出四边形ABRQ 面积的最小值．详解：（1）由题意可知(0,1)F又P 在,PA PB 上,所以直线AB过焦点（2）由（1代入2:4C x y =得20240x x x --= 则1201224x x x x x +=⎧⎨=-⎩由（1则四边形ABRQ 的面积当2t ≥时，()0f t '>即函数()f t 在[2,)+∞上是增函数则四边形ABRQ 面积的最小值为3【点睛】本题主要考查了抛物线中直线过定点问题，抛物线中的四边形的面积问题，属于中档题.5、已知抛物线()2:20C y px p =>经过点（1）写出抛物线C 的标准方程及其准线方程，并求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）过点()2,0且斜率存在的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，且点B 关于x与x 轴交于点M . （i 的坐标；（ii与OAB 面积之和的最小值.答案： 1焦点到准线的距离为1；（2）（i ）(2,0)M -，（ii 试题分析：（1）由抛物线C 经过点，求得抛物线的方程为22y x =，再结合抛物线的几何性质，即可求解；（2）（i ）设过点()2,0的直线:2l x my =+，联立方程组，求得1212,y y y y +，再由直线AD 的方程，0y =，即可求解M 的坐标；（ii ）利用三角形的面积公式，求得OAM ∆与OAB ∆面积之和的表示，结合基本不等式，即可求解.详解：（1）由题意，抛物线()2:20C y px p =>经过点解得1p =，所以抛物线的方程为22y x =，1.（2）（i ）设过点()2,0的直线:2l x my =+，代入抛物线22y x =的方程，可得2240y my --=，设直线l 与抛物线C 的交点112222(,),(,),(,)A x y B x y D x y -，且10y >，则212122,4,4160y y m y y m +==-∆=+>，所以直线AD的方程为令0y =，可得()21211()2y y y x y -⋅-=-，所以21211122()()4x y y y y y y =-⋅-+==-，所以2x =-，所以(2,0)M -，1212111422OAB OAM S y y y y S y y y ∆∆-++=+=++=11114422242y y y y =+≥⋅=，当且仅当1142y y =时，即12y =时等号成立，所以OAM ∆与OAB ∆面积之和的最小值为42.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质、及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。

抛物线及其标准方程课件

【解析】1.取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴,抛物线的顶点为坐标原点,建立直角坐标系xOy,如图所示. 因灯口直径|AB|=24,灯深|OP|=10, 所以点A的坐标是(10,12). 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),由点A(10,12)在抛物线上, 得122=2p×10,所以p=7.2. 所以抛物线的焦点F的坐标为(3.6,0).因此灯泡与反射镜顶点间的距离是3.6cm. 答案:3.6cm
∴点E到拱底AB的距离为 a y a 0.64 3.
4
4a
解得a>12.21,∵a取整数,
∴a的最小整数值为13.
【拓展提升】求解抛物线实际应用题的五个步骤
x=- p 2
(- p ,0) ___2___
p _x_=__2_
标准方程图形
x2=2py (p>0)
焦点坐标 p
_(_0_,_2__)_
准线方程 y_=___p2__
x2=-2py (p>0)
_(_0_,__p2__)
p _y_=__2__
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)抛物线的方程都是二次函数.( ) (2)抛物线的焦点到准线的距离是p.( ) (3)抛物线的开口方向由一次项确定.( )
【解析】1.选D.方程x=-2y2的标准形式是y2=-1 x,
2
∴抛物线开口向左且p= 1,∴准线方程为x= .1
4
8
2.(1)抛物线y= 1x2的标准形式为x2=4y,
4
∴p=2,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是y=-1.
(2)抛物线x=ay2(a≠0)的标准形式为y2=1 x, a
∴2p= 1 . a
【典型例题】

抛物线与直线

探究新知例1：判断直线 y = 6与抛物线 y2 =4x的位置关系及求交点坐标？
相交(9,6)
问题:直线与抛物线的对称轴平行时都有一个交点吗？注意,当直线与抛物线的对称轴平行时有一个交点
y
O
x
探究新知
例2 已知抛物线的方程为y 2 = 4x, 直线l过定点P -2,1 , 斜率为k,k为何值时, 直线l与抛物线y 2 = 4x : 只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点?
(2)若消元得到一次方程，则方程组只有一组解，直线和抛物线的对称轴平行或重合,为相交关系.
典型例题：
例6、已知抛物线C：y2＝4x，设直线与抛物线两交点为A、 B，且线段AB中点为M（2，1），求直线l的方程.
解：由题意可知，直线斜率一定存在，故可设的方程为y -1 k(x - 2) k 0） l l （ , 设直线与抛物线的交点坐标A(x1 , y1 ), B(x2 , y 2 ),则x1 x 2 4, y1 y 2 2
2 y1 4 x1 y y2 4 由 2 1 2 x1 x2 y1 y2 y 2 4 x2
即k AB 2
此时直线l的方程为y -1 2(x - 2),即2x - y - 3 0
y 2 4x 由消x得y 2 - 2y - 6 0 0 2x - y - 3 0
2.4.1抛物线的几何性质
喷泉
直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断方法
1、根据几何图形判断的直接判断
形
2、直线与圆锥曲线的公共点的个数
Ax+By+c=0
解的个数 f(x,y)=0(二次方程)
数
直线与椭圆位置关系把直线方程代入椭圆方程得到一元二次方程

抛物线“压轴题”中的直线型浅析

二
。
,
,
。
告
,
二
一
。
,
… 、
,
气
二
二
点
当
,
在抛物线上
二一。,
十
、
十
,
二
…
,
一
、
二
住
丫
△
,
…
一
方程无实根
,
点
尸
一
不存在
,
当
…
,
二
一
、
,
,
一
,
一
,
…
,
一
一
,
一
,
一
综上所述抛物线上存在点
于此题结沦可变式为
,
尸
,
一
,
尸
一
,
一
,
使得 △
的面积等
在抛物线上是否存在点尸使得不存在请说明理由抛物线上是否存在点
, 0 )
, C ( 0
, 5 )
,
1
川过或 B 作
于
尸 .
对 (2
,
, 9 )
一t
c M 交 : 轴于 E 交抛物线 P B /
土 y
= , 4
过点
. :
对
二
作 MF
,
轴于 F
厂肚
2
F
C
在 R △ F CM 中 t
…
( Fo
, ) 9 ,
.
魔佳层胃厦愿咫一厦雇厦层服僵懊雇

直线和抛物线的关系

1 直线和抛物线的位置关系有哪几种?
相交: 直线和抛物线有两个公共点，或一个公共点(直线和抛物线的对称轴平行或重合). 相切: 直线和抛物线有且只有一个公共点, 且直线和抛物线的对称轴不平行也不重合. 相离: 直线和抛物线没有公共点.
1 直线和抛物线的位置关系有哪几种?
y L2 O L4 L1
3 5
பைடு நூலகம்
，
此时 y=1，所求点的坐标为P(1,1).
另解: 观察图象可知,平移直线至与抛物线相切,则切点即为所求.
设切线方程为 2x-y+C=0，联立 y x 2 得 x 2 2x C 0 ()
由 Δ (2)
2
4 (C) 0
得 C=-1
又由（）得 x=1，∴y=1. 故所求点的坐标是（1，1）. 点评：此处用到了数形结合的方法.
2 直线和抛物线方程联立的方程组解的个数与位置关系
若消元得到二次方程,则
0 方程组一组解相切 0 方程组没有解相离
若消元得到一次方程，则方程组只有一组解，直线和抛物线的对称轴平行或重合,为相交关系.
0
方程组两组解
相交
课堂小结
1、判断直线 L与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线L的方程代入曲线C的方程，消去y 得一个关于变量X的一元方程ax2+bx+c=0
（1）当a ≠0时，则有⊿>0， L与C相交
⊿=0， L与C相切
⊿<0， L与C相离
（2）当a=0时，即得到一个一次方程，则 L与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则L 与双曲线的渐近线平行；
若C为抛物线，则L平行于抛物线的对称轴

同一坐标系下两种函数图象的共存问题及一次函数与二元一次方程联系总结

同一坐标系下两种函数图象的共存问题一、直线与直线型例1 一次函数abx y =与b ax y +=)0,0(≠≠b a 在同一直角坐标系中的图象可能是下图中的（）.y y y yx x x xA B C D练习：1、表示一次函数y mx n =+与正比例函数(y mx m =、n 是常数，且0,0)m n ≠<的图象的是（）2、直线y kx b =+经过一、二、四象限，则直线y bx k =-的图象只能是图4中的（）3、若直线11y k x=+与24y k x=-的交点在x轴上，那么12kk等于（）.4A.4B-1.4C1.4D-4、两直线1y kx b=+和2y bx k=+在同一坐标系内图象的位置可能是（）5、设b>a，将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内，•则有一组a，b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）6、若甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数解析式分别为y=k1x+a1和y=k2x+a2，如图，所挂物体质量均为2kg时，甲弹簧长为y1，乙弹簧长为y2，则y1与y2的大小关系为（）（A）y1>y2（B）y1=y2（C ）y 1<y 2（D ）不能确定二、直线与双曲线型例2 在同一直角坐标系中，函数k kx y +=与xky =)0(≠k 的图象可能是下图中的（）y y y y.x x x xA B C D练习：1、如图是反比例函数()0ky k x=≠的图象在第一象限的部分曲线，P 为曲线上任意一点，PM 垂直x 轴于点M ，求△OPM 的面积（用k 的代数式表示）．2、以下各图表示正比例函数y=kx 与反比例函数()0ky k x-=<的大致图象，其中正确的是（）3、若点（-2，y 1), ( 1，y 2), ( 2，y 3）都在反比例函数，1y x=的图象上，则有（） 123132312213....A y y y B y y y C y y y D y y y >>>>>>>>4、函数y=k （x-1）与y=-k x在同一直角坐标系内的图象大致是（）三、直线与抛物线型例3函数b ax y +=与c bx ax y ++=2)0(≠a 在同一直角坐标系中的图象大致是下图中的（）.y y y yx x x xA B C D练习：1、抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 过第二、三、四象限，则a 0，b 0，c 0．2、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，则下列结论正确的是( ) A.a ＞0,b ＜0,c ＞0 B.a ＜0,b ＜0,c ＞0 C.a ＜0,b ＞0,c ＜0 D.a ＜0,b ＞0,c ＞03、抛物线y=-2x 2-4x-5经过平移得到y=-2x 2，平移方法是( ) A.向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B.向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C.向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D.向右平移1个单位，再向上平移3个单位4、已知正比例函数kx y =的图像如右图所示，则二次函数222k x kx y +-= 的图像大致为（）A B C D5、二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，则abc ，ac b 42-，b a +2，c b a ++这四个式子中，值为正数的有（）（A ）4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个6、已知二次函数y ＝Ax2＋Bx ＋C 的图象如图所示，则下列结论正确的是( )y O x y O x yO x OxyyOOxy-11A ．a ＞0B ．c ＜0C ．b2－4ac ＜0D ．a ＋b ＋c ＞0 四、双曲线与抛物线型例4函数xky =与kx kx y +=2)0(≠k 在同一直角坐标系中的图象大致是下图中的（）.y y y yx xA B C D一次函数与二元一次方程(组)联系1．图中两直线L 1，L 2的交点坐标可以看作方程组( )的解．A ．121x y x y -=⎧⎨-=-⎩ B.121x y x y -=-⎧⎨-=⎩C ．321x y x y -=⎧⎨-=⎩ D.321x y x y -=-⎧⎨-=-⎩2．已知4,353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是方程组3,12x y xy +=⎧⎪⎨-=⎪⎩的解，那么一次函数y=3-x 和y=2x +1的交点是3、已知一次函数y=-32x+m和y=12x+n的图像都经过A(-2，•0)•，•则A•点可看成方程组________的解．4、5、直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x+c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＜k2x+c的解集为（）；二元一次方程组。

抛物线与直线型(一)

考点102直线与抛物线的位置关系

抛物线的标准方程(五大题型)(原卷版)

抛物线与直线的交点问题

知识讲解_直线与抛物线的位置关系(理)_基础

专题 抛物线与直线型交点个数

2021-2022年高三数学上学期解析几何14抛物线的方程及其性质(1)教学案(无答案)

抛物线的简单几何性质 课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

抛物线及其标准方程 课件

抛物线及其标准方程(课件)-高二数学同步精品课件(人教A版2019选择性必修第一册)

专题70：抛物线基础知识和典型例题(解析版)

专题14 直线与抛物线的位置关系(解析版)

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抛物线及其标准方程课件

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