R语言与核密度估计 (非参数统计)

得到下图，我们可以清楚的看到带宽为0.8恰
好合适，其余的不是拟合不足便是过拟合。
窗宽究竟该如何选择呢？
我们这里不加证明的给出最佳窗宽选择公式：




(这个基于积分均方误差最小的角度得到的) 这里介绍两个可操作的窗宽估计办法：(这两种方法都比较 容易导致过分光滑) 1、 Silverman大拇指法则 这里使用R(phi’’)/sigma^5估计R（f’’），phi代表标准正态密 度函数，得到h的表达式： h=(4/(3n))^(*1/5)*sigma 2、 极大光滑原则 h=3*(R(K)/(35n))^(1/5)*sigma当然也有比较麻烦的窗宽估计 办法，比如缺一交叉验证，插入法等，可以参阅 《computational statistics》一书
对重要参数做出较为详细的说明： X:我们要进行核密度估计的数据 Bw:窗宽，这里可以由我们自己制定，也可以使用 默认的办法nrd0: Bandwidth selectors for Gaussian kernels。我们还可以使用bw.SJ(x,nb = 1000, lower = 0.1 * hmax, upper = hmax, method = c("ste","dpi"), tol = 0.1 * lower)，这里的method =”dpi”就是前面提到过的插入法，”ste”代表solvethe-equationplug-in，也是插入法的改进 Kernel：核的选择 Weights:对比较重要的数据采取加权处理



将利用正态核密度与标准密度函数作对比 dfn<-function(x,a,alpha1,alpha2,theta){ a*dgamma(x,shape=alpha1,scale=theta)+(1a)*dgamma(x,shape=alpha2,scale=theta)} pfn<-function(x,a,alpha1,alpha2,theta){ a*pgamma(x,shape=alpha1,scale=theta)+(1a)*pgamma(x,shape=alpha2,scale=theta)} curve(dfn(x,0.75,2,10,2),add=T,col="red")
但是核密度的估计并不是，也不能够找到真 正的分布函数。我们可以举一个极端的例子： 在R中输入： plot(density(rep(0, 1000))) 可以看到它得到了正态分布的曲线，但实际 上呢？从数据上判断，它更有可能是一个退 化的单点分布。

但是这并不意味着核密度估计是不可取的，
至少他可以解决许多模拟中存在的异方差问 题。比如说我们要估计一下下面的一组数据： set.seed(10) dat<c(rgamma(300,shape=2,scale=2),rgam ma(100,shape=10,scale=2))
可以看出它是由300个服从gamma（2,2） 与100个gamma（10,2）的随机数构成的， 他用参数统计的办法是没有办法得到一个好 的估计的。那么我们尝试使用核密度估计： plot(density(dat),ylim=c(0,0.2))




R程序： data(faithful) A<-faithful x<-A[,"eruptions"] density(x) plot(density(x)) 知道h= 0.3348 作图：



于核密度估计R中还有不少函数包提供了大量的支持： 可以研读一下如下几个包，也可以自己编程去实 现 ks Kernel smoothing Kendall Kendall rank correlation and Mann-Kendall trend test KernSmooth Functions for kernel smoothing for Wand & Jones (1995) Kappalab Non-additive measure and integral manipulation functions Kerfdr semi-parametric kernel-based approach to local fdr estimations Kernlab Kernel Methods Lab

对于上述混合正态数据data，有
> Call:
density(data)
density.default(x = data)


Data: data (400 obs.); Bandwidth 'bw' = 0.8229
x y Min. :-7.5040 Min. :0.0000191 1stQu.:-3.5076 1st Qu.:0.0064919 Median : 0.4889 Median :0.0438924 Mean :0.4889 Mean :0.0624940 3rdQu.: 4.4853 3rd Qu.:0.1172919 Max. :8.4817 Max. :0.1615015
R语言与非参数统计（核密度估计）


核密度估计是在概率论中用来估计未知的密度函数，属于 非参数检验方法之一，由Rosenblatt (1955)和Emanuel Parzen(1962)提出，又名Parzen窗（Parzen window）。 假设我们有n个数X1-Xn,我们要计算某一个数X的概率密度 有多大。核密度估计的方法是这样的：




知道带宽：h=0.8229（采取正态密度核）那
么带入密度估计式就可以写出密度估计函数。 最后以faithful数据集为例说明density的用法： R数据集faithful是old faithful火山爆发的数据， 其中“eruption”是火山爆发的持续时间， waiting是时间间隔 对数据“eruption”做核密度估计







我们先来看看窗宽的选择对核密度估计的影响： dfn1<-function(x){ 0.5*dnorm(x,3,1)+0.5*dnorm(x,-3,1)} par(mfrow=c(2,2)) curve(dfn1(x),from=-6,to=6) data<-c(rnorm(200,3,1),rnorm(200,-3,1)) plot(density(data,bw=8)) plot(density(data,bw=0.8)) plot(density(data,bw=0.08))

得到下图：
Baidu Nhomakorabea
（红色的曲线为真实密度曲线）
可以看出核密度与真实密度相比，得到大致的估计 是不成问题的。至少趋势是得到了的。如果换用 gamma分布的核效果无疑会更好，但是遗憾的是r 中并没有提供那么多的核供我们挑选（其实我们知 道核的选择远没有窗宽的选择来得重要），所以也 无需介怀。 R中提供的核：kernel = c("gaussian", "epanechnikov", "rectangular", "triangular", "biweight","cosine", "optcosine")。
ker.density=function(x,h){ x=sort(x) n=length(x);s=0;t=0;y=0 for(i in 2:n) s[i]=0 for(i in 1:n){ for(j in 1:n) s[i]=s[i]+exp(-((x[i]-x[j])^2)/(2*h*h)) t[i]=s[i] } for(i in 1:n) y[i]=t[i]/(n*h*sqrt(2*pi)) z=complex(re=x,im=y) hist(x,freq=FALSE) lines(z) } ker.density(data,0.8)



其中K为核密度函数, h为设定的窗 宽。
核密度估计的原理其实是很简单的。在我们对某一事物的


概率分布的情况下。 如果某一个数在观察中出现了，我们可以认为这个数的概率 密度很大，和这个数比较近的数的概率密度也会比较大，而 那些离这个数远的数的概率密度会比较小。 基于这种想法，针对观察中的第一个数，我们都可以f(x-xi) 去拟合我们想象中的那个远小近大概率密度。 当然其实也可以用其他对称的函数。针对每一个观察中出现 的数拟合出多个概率密度分布函数之后，取平均。 如果某些数是比较重要，某些数反之，则可以取加权平均。
作图如下：
最后说一个R的内置函数density（）。其实
我觉得如果不是为了简要介绍核密度估计的 一些常识我们完全可以只学会这个函数 先看看函数的基本用法： density(x, ...)## Default S3 method:
density(x,
bw = "nrd0", adjust = 1, kernel = c("gaussian", "epanechnikov", "rectangular", "triangular", "biweight", "cosine", "optcosine"), weights = NULL, window = kernel, width, give.Rkern = FALSE, n= 512, from, to, cut = 3, na.rm = FALSE, ...)
我们用上面的两种办法得到的窗宽是多少，他的核 密度估计效果好吗？ 我们还是以上面的混合正态数据为例来看看效果。 使用大拇指法则，将数据n=400,sigma=3.030658, 带入公式，h=0.9685291 使用极大光滑原则，假设K为正态核， R(K)=1/(sqrt(2*pi))，h=1.121023 可以看出他们都比我们认为的h=0.8要大一些，作图 如下：



plot(density(data,bw=0.9685)) plot(density(data,bw=1.1210))
由我们给出的
以Gauss核为例做核密度估计
用Gauss核做核密度估计的R程序如下（还是
使用我们的混合正态密度的例子）：