非参数密度估计
非参数概率密度估计
非参数概率密度估计非参数概率密度估计是一种常用的统计方法，可以用来估计未知的概率密度函数。
在实际应用中，很多情况下我们不知道数据的概率分布，但是我们可以通过样本数据来对概率密度进行估计。
非参数概率密度估计的基本思路是通过样本数据来构造一个概率密度函数，使得这个函数能够较好地拟合数据。
与参数概率密度估计不同的是，非参数概率密度估计不需要对概率密度函数做出任何假设，因此更加灵活。
常见的非参数概率密度估计方法包括直方图法、核密度估计法、最邻近法等。
下面我们分别介绍一下这几种方法。
1. 直方图法直方图法是最简单的一种非参数概率密度估计方法。
它的基本思路是将数据按照一定的区间划分为若干个小区间，然后统计每个小区间中数据出现的频数，最后将频数除以样本总数和小区间的宽度，得到每个小区间的频率密度。
比如对于分布不均匀的数据，直方图法可能会得到不太准确的结果。
2. 核密度估计法核密度估计法是一种比较常用的非参数概率密度估计方法。
它的基本思路是将每个样本点周围的一定范围内加权平均起来，得到一个平滑的概率密度函数。
核密度估计法的优点是可以得到比较平滑的概率密度函数，适用于各种不同形状的分布。
但是它也有一些缺点，比如对于样本数量较少的情况，可能会得到不太准确的结果。
3. 最邻近法最邻近法是一种比较简单的非参数概率密度估计方法。
它的基本思路是对于每个样本点，找到离它最近的k个样本点，然后将这k个样本点按照距离远近进行加权平均，得到一个平滑的概率密度函数。
比如对于样本数量较少或者分布不均匀的情况，可能会得到不太准确的结果。
总之，非参数概率密度估计是一种非常有用的统计方法，在很多领域都有广泛应用。
当我们不知道数据的分布情况时，可以使用非参数概率密度估计来对数据进行分析和建模。
不同的方法适用于不同的情况，需要根据具体问题选择合适的方法。
matlab非参数核密度估计法
matlab非参数核密度估计法
非参数核密度估计法是一种常用的统计方法，用于估计未知概率密度函数。
在matlab中，可以使用kde函数进行非参数核密度估计。
我们需要准备一组数据，假设我们有一个长度为100的随机数列x，我们可以使用以下代码生成：
x = randn(1,100);
接下来，我们可以使用kde函数进行核密度估计。
kde函数的基本语法如下：
[f,xi] = kde(x)
其中，f是估计的概率密度函数，xi是对应的横坐标。
我们可以使用以下代码进行绘图：
plot(xi,f)
这将绘制出估计的概率密度函数图像。
我们还可以使用其他参数来调整估计的精度和平滑度。
例如，我们可以使用以下代码将带宽设置为0.5：
[f,xi] = kde(x,'Bandwidth',0.5);
我们还可以使用以下代码将核函数设置为正态分布：
[f,xi] = kde(x,'Kernel','normal');
非参数核密度估计法在实际应用中非常有用。
例如，在金融领域，我们可以使用非参数核密度估计法来估计股票收益率的概率密度函数，从而更好地理解股票市场的风险和收益。
在医学领域，我们可以使用非参数核密度估计法来估计某种疾病的患病率分布，从而更好地制定预防和治疗策略。
非参数核密度估计法是一种非常有用的统计方法，可以用于估计未知概率密度函数。
在matlab中，我们可以使用kde函数进行核密度估计，并通过调整参数来提高估计的精度和平滑度。
非参数估计：核密度估计KDE
⾮参数估计：核密度估计KDE⾮参数估计：核密度估计KDEfrom：http://核密度估计Kernel Density Estimation(KDE)概述密度估计的问题由给定样本集合求解随机变量的分布密度函数问题是概率统计学的基本问题之⼀。
解决这⼀问题的⽅法包括参数估计和⾮参数估计。
参数估计参数估计⼜可分为参数回归分析和参数判别分析。
在参数回归分析中，⼈们假定数据分布符合某种特定的性态，如线性、可化线性或指数性态等，然后在⽬标函数族中寻找特定的解，即确定回归模型中的未知参数。
在参数判别分析中，⼈们需要假定作为判别依据的、随机取值的数据样本在各个可能的类别中都服从特定的分布。
经验和理论说明，参数模型的这种基本假定与实际的物理模型之间常常存在较⼤的差距，这些⽅法并⾮总能取得令⼈满意的结果。
[][]⾮参数估计⽅法由于上述缺陷，Rosenblatt和Parzen提出了⾮参数估计⽅法，即核密度估计⽅法。
由于核密度估计⽅法不利⽤有关数据分布的先验知识，对数据分布不附加任何假定，是⼀种从数据样本本⾝出发研究数据分布特征的⽅法，因⽽，在统计学理论和应⽤领域均受到⾼度的重视。
核密度估计（kernel density estimation）是在概率论中⽤来估计未知的密度函数，属于⾮参数检验⽅法之⼀，由Rosenblatt (1955)和Emanuel Parzen(1962)提出，⼜名Parzen窗（Parzen window）。
Ruppert和Cline基于数据集密度函数聚类算法提出修订的核密度估计⽅法。
核密度估计在估计边界区域的时候会出现边界效应。
[https:///zh-hans/核密度估计]因此，⼀句话概括，核密度估计Kernel Density Estimation(KDE)是在概率论中⽤来估计未知的密度函数，属于⾮参数检验⽅法之⼀。
在密度函数估计中有⼀种⽅法是被⼴泛应⽤的——直⽅图。
如下图中的第⼀和第⼆幅图（名为Histogram和Histogram, bins shifted）。
数理统计中的非参数估计方法
数理统计中的非参数估计方法数理统计是应用数学原理和统计学方法来研究和解释现象、收集和分析数据的科学。
在统计学中，参数估计是一个重要的主题，它涉及根据样本数据推断总体参数的值。
而非参数估计方法则是一种不依赖于总体分布假设的参数估计方法，它在某些情况下比参数估计更加灵活和实用。
本文将介绍数理统计中的几种主要的非参数估计方法。
1. 核密度估计法核密度估计法用于估计未知概率密度函数。
它基于样本数据，通过在每个观测点周围放置一个核函数，来估计该点处的密度。
核函数通常是一个非负函数，且满足积分为1。
核密度估计法的优点是不需要对总体分布做出假设，而且可以适用于各种类型的数据。
然而，它对于样本数据的选择和参数的选择较为敏感。
2. 经验分布函数法经验分布函数法是一种常用的非参数估计方法，用于估计未知总体分布函数。
它通过对每个观测值赋予等概率的权重，构建一个经验分布函数。
经验分布函数在每个观测点处的取值是样本数据中小于等于该观测点的观测值的比例。
经验分布函数的优点是简单易懂，而且在大样本下收敛性较好。
然而，它对于极端值和离群点较为敏感。
3. 重抽样法重抽样法是一种基于重新选择样本数据的非参数估计方法。
它通过从样本中有放回地重新选择出新的样本，然后利用这些新的样本数据进行参数推断。
重抽样法的优点是可以直接利用原始样本数据进行估计，避免了对总体分布的假设，而且可以通过重复抽样来估计参数的分布。
然而，它需要大量的计算，适用于小样本数据。
4. 秩和秩差法秩和秩差法是一种用于估计总体位置参数的非参数方法。
它将样本数据转化为排序后的秩次，然后利用秩次来进行参数估计。
秩和秩差法的优点是对于总体分布的假设要求较低，而且对于离群值和稳健性较好。
然而，它可能对于分布偏态较大的数据不适用。
5. 分位数回归法分位数回归法是一种用于估计条件分布的非参数方法。
它基于分位数的概念，通过对分位数进行建模来估计条件分布。
分位数回归法的优点是可以灵活地处理不同分位数，适用于各种类型的数据。
非参数统计中的核密度估计使用技巧(Ⅰ)
非参数统计中的核密度估计使用技巧引言非参数统计是一种不依赖于总体分布形式的统计方法，核密度估计就是其中的一种重要方法。
核密度估计是一种通过核函数对数据进行平滑处理来估计概率密度函数的方法，广泛应用于数据分析、模式识别和机器学习等领域。
在实际应用中，正确使用核密度估计的技巧对于得到准确的概率密度估计是至关重要的。
本文将从数据预处理、核函数选择、带宽选择和可视化等方面介绍非参数统计中核密度估计的使用技巧。
数据预处理在进行核密度估计之前，需要对数据进行一些预处理工作。
特别是在处理实际采集的数据时，数据可能存在缺失值、异常值或者需要进行标准化处理。
对于缺失值和异常值，可以选择删除、填充或者插值等方法进行处理；对于需要标准化的数据，可以进行Z-score标准化或者最小-最大标准化等方法。
数据预处理的目的是保证核密度估计的准确性和稳定性，避免因为数据质量问题而导致估计结果失真。
核函数选择核函数是核密度估计中的重要参数，它决定了对数据进行平滑处理的方式。
常用的核函数包括高斯核、矩核和Epanechnikov核等。
在选择核函数时，需要考虑数据的分布特性和估计的目的。
例如，对于对称分布的数据，可以选择高斯核函数；对于偏态分布的数据，可以选择矩核函数。
此外，还可以根据不同的核函数进行比较，选择最适合的核函数进行估计。
带宽选择带宽是核密度估计中的另一个重要参数，它决定了平滑的程度。
带宽过小会导致估计过拟合，带宽过大会导致估计欠拟合。
常用的带宽选择方法包括最小平均交叉验证法、最小均方误差法和银行估计等。
在选择带宽时，需要注意避免过拟合和欠拟合的问题，选择合适的带宽方法进行估计。
可视化核密度估计的结果可以通过可视化的方式呈现出来，帮助人们直观地理解数据分布的特点。
常用的可视化方法包括直方图、散点图和核密度图等。
通过可视化方法，可以直观地观察到数据的分布形态和密度分布情况，辅助我们对数据进行分析和解释。
结论核密度估计是非参数统计中的一种重要方法，正确使用核密度估计的技巧对于数据分析和模式识别具有重要意义。
非参数密度估计
非参数密度估计非参数密度估计是一种在概率论和统计学中非常重要的技术。
该技术旨在通过从样本数据中推断出其真实数据的概率密度函数，而无需在先验上做任何假设。
与参数化估计技术不同，非参数化技术仅使用可得到的数据，而不需要先假设数据的概率分布。
下面是关于非参数密度估计的一些步骤解析。
1. 理解非参数密度估计的概念在探讨非参数密度估计的各个方面之前，理解该方法的概念非常重要。
非参数密度估计旨在通过从已知数据集中推断出一个未知数据集的概率密度函数。
这种方法通常用于连续型和离散型数据的处理，特别是在数据量较大时使用较为广泛。
2. 特征评估为了进行非参数密度估计，首先需要评估样本数据的一些特征。
这些特征包括样本的平均值、方差、分布形状和分布密度等。
这些特征可以用来确定所需的估计方法的类型以及确定最佳估计量的标准。
3. 创建直方图在进行非参数密度估计时，首先需要创建一个直方图，以了解样本数据的分布形状以及密度。
直方图通过将样本数据分成若干等宽的区间，并计算每个区间中数据的数量来展现数据的分布情况。
在这种情况下，每个区间的高度表示该区间中数据的数量。
4. 核密度估计核密度估计是一种最广泛使用的非参数密度估计技术。
这种方法通过在每个数据点附近放置核心函数，并将它们相加来计算概率密度函数。
核心函数通常采用高斯分布，其平均值为所估计的数据点，方差由样本数据确定。
5. 交叉验证交叉验证是一种可以判断估计量性能优劣的方法。
该方法利用将数据集分成训练集和测试集来评估方法的泛化能力。
如果对测试数据的预测能力很强，那么我们可以确定该方法可以在其他未见数据上得到可靠的效果。
综上所述，非参数密度估计是一种有用的统计分析技术，其主要用途是从样本数据中推断出概率密度函数而无需考虑预先设定的概率分布。
然而，在应用该技术时，必须考虑到数据的特征，创建直方图，应用核密度估计，以及使用交叉验证来评估所用方法的效果。
数据分布非参数估计的公式
数据分布非参数估计的公式数据分布的非参数估计公式通常包括以下几种方法：1. 核密度估计法核密度估计法是一种常用的非参数概率密度估计方法，其基本思想是将每个数据点周围的一小段区间用一个核函数来表示其分布。
具体的公式如下：$$\hat{f}_{h}(x)=\frac{1}{nh}\sum_{i=1}^{n} K\left(\frac{x-x_{i}}{h}\right) $$其中，$\hat{f}_{h}(x)$表示在点$x$处的密度估计值，$K$表示核函数，通常取高斯核函数或更平滑的Epanechnikov核函数，$h$表示核函数的带宽参数，控制核函数的宽度，$n$表示数据样本大小，$x_{i}$为其中的样本点。
2. 直方图法直方图法也是一种常用的非参数概率密度估计方法，其基本思想是将数据集划分为若干个区间，然后计算每个区间内数据点的数量占总数据点数量的比例。
具体的公式如下：$$\hat{f}_{h}(x) =\frac{1}{n h}\sum_{i=1}^{n} I_{\left(x_{i} \inB_{j}\right)}$$其中，$\hat{f}_{h}(x)$表示在点$x$处的密度估计值，$B_{j}$表示第$j$个区间，$n$表示数据样本大小，$h$表示每个区间的长度，$I_{\left(x_{i} \in B_{j}\right)}$为指示函数，当$x_{i}$属于区间$B_{j}$时，取值为1，反之为0。
3. 分位数法分位数法也是一种常用的非参数概率密度估计方法，其基本思想是根据数据点的分位数来估计概率密度函数。
具体的公式如下：$$\hat{f}_{h}(x)=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{h\left(q_{i}-q_{i-1}\right) }I_{[q_{i-1}, q_{i})}(x)$$其中，$\hat{f}_{h}(x)$表示在点$x$处的密度估计值，$q_{i}$表示第$i$个分位数，$I_{[q_{i-1},q_{i})}(x)$为指示函数，当$x$落在范围$[q_{i-1},q_{i})$内时，取值为1，反之为0。
非参数统计方法中的密度估计算法
非参数统计方法中的密度估计算法密度估计是非参数统计学中的一个非常基础的课题，它的核心是从一个数据集中推断出该数据集背后的分布情况。
在实际应用中，分布情况往往是未知的，但是我们可以通过样本数据来近似该分布。
因为密度是一个连续函数，所以密度估计通常也被称为连续分布估计。
由于非参数统计学不依赖于先验假设，所以密度估计算法非常灵活，有很多种不同的方法可以用来近似分布。
这些方法的目标是尽可能准确地估计分布，同时避免过拟合和欠拟合的问题。
本文将介绍一些常见的密度估计算法，包括直方图、核密度估计和K近邻密度估计。
一、直方图法直方图法是一种非常简单的密度估计算法，它将数据集分成若干个等宽的区间，对每个区间内的数据求和，得到该区间内的频数。
然后通过将每个区间内的频数除以数据总量来估计每个区间的密度。
最终的密度估计是由所有区间密度的柱状图组成的。
然而，直方图法的精确度受区间宽度的影响很大。
如果区间宽度太窄，会导致过拟合，而如果区间宽度太宽，会导致欠拟合。
因此，找到合适的区间宽度是直方图法中的一个重要问题。
二、核密度估计法核密度估计法是一种非常流行的密度估计算法，它采用核函数将每个样本点周围的密度贡献到密度估计中。
具体来说，核密度估计法将每个样本点周围的区域作为一个小尺寸的正态分布，将它们加权平均起来作为最后的密度估计结果。
核密度估计法有很多种不同的核函数，包括高斯核、矩形核、三角核等等。
核函数的形式通常是由使用者根据实际应用情况来决定的，核函数的形状会影响最终密度估计过程中的平滑程度和偏压程度。
核密度估计法的优点是可以自适应地适应数据的分布情况，而不需要手动调整区间大小。
但它的缺点是计算成本较高，而且导数可能不连续，使得图形样式不够吸引人。
三、K近邻密度估计法K近邻密度估计法是另一种非参数密度估计方法，它不需要认为数据服从某个特定的分布，它只需要使用一些已知的样本数值来进行估计。
K近邻密度估计法的思想是：一个点的密度应该是在它周围K个点的距离内的点数占总点数的比例。
非参数统计中的核密度估计使用技巧(七)
非参数统计中的核密度估计使用技巧在统计学中，核密度估计是一种非参数统计方法，用于估计随机变量的概率密度函数。
与参数统计方法相比，核密度估计不需要对数据的分布做出假设，因此更加灵活和通用。
在实际应用中，核密度估计经常用于数据的光滑和可视化，例如在探索性数据分析和密度估计中。
本文将介绍核密度估计的原理、使用技巧和注意事项。
1. 核密度估计的原理核密度估计的基本思想是将每个数据点周围的小区间内的数据点贡献到该点的概率密度估计中，然后将所有点的估计值加总起来，得到整个数据集的概率密度估计。
在核密度估计中，核函数起到了平滑数据的作用，常用的核函数包括高斯核函数、矩核函数和Epanechnikov核函数等。
核函数的选择对于核密度估计的性能有着重要影响，不同的核函数适用于不同的数据分布类型。
通常来说，高斯核函数是最常用的核函数，因为它在理论上具有最小的均方误差。
2. 核密度估计的使用技巧在实际应用中，核密度估计需要根据实际数据情况来选择合适的参数和核函数。
以下是一些使用核密度估计的技巧和注意事项：（1）带宽选择：带宽是核密度估计中一个重要的参数，它控制了核函数的宽度和平滑程度。
带宽过大会导致估计过度平滑，带宽过小则会导致估计过度波动。
常用的带宽选择方法包括最小交叉验证法和银子规则等。
在实际应用中，需要根据数据的分布情况和应用需求来选择合适的带宽。
（2）核函数选择：除了高斯核函数外，还有其他的核函数可供选择。
在实际应用中，需要根据数据的特点来选择合适的核函数。
例如，对于有界数据，Epanechnikov核函数更适合；对于长尾分布，矩核函数可能更合适。
（3）多变量核密度估计：对于多维数据，可以使用多变量核密度估计来估计数据的概率密度函数。
多变量核密度估计可以通过多维核函数来实现，例如多变量高斯核函数。
在实际应用中，需要注意选择合适的多变量核函数和带宽。
3. 核密度估计的应用注意事项在使用核密度估计时，需要注意以下一些事项：（1）数据量：核密度估计对数据量的要求比较高，特别是在多维数据的情况下。
非参数密度估计应用举例
非参数密度估计应用举例：直方图密度估计是应用最早也是应用最为广泛的密度估计方法,它是用一组样本构造概率密度的经典方法"在一维情况下,实轴被划分成一些大小相等的单元格,每个单元格上估计的图像为一个阶梯形,若从每一个端点向底边作垂线以构成矩形,则得到一些由直立的矩形排在一起而构成的直方图,直方图的名称也由此而来,一幅灰度图象与其直方图表示直方图概率密度估计的数学表达式为：能够对直方图密度估计产生影响的因素主要有以下两个方面:1原点的选择显示了对一组相同的样本数据进行密度估计,在带宽相等原点不同的情况下所建立的两个直方图"虽然选择的带宽相等,但是从图中可以看出,两个直方图右边峰值的宽度以及每个直方图中两个峰值之间的分隔形式是不同的"2带宽的选择一方面,带宽太大时,平均化的作用突出了,而淹没了密度的细节部分,使得潜在密度函数的细节部分将不能被充分的体现;而另一方面,当带宽太小时,则随机性影响太大,而产生极不规则的形状,直方图的变化将过于剧烈以致于无法对直方图进行正确的识别"直方图密度估计具备以下几个方面的优点:(l)概念简单易于使用"(2)不需要保留采样点"(3)在样本容量较大,窗宽较小的情况下,所得的图像可以显示密度的基本特征" 当然,直方图密度估计也存在一定的问题:1直方图密度估计在高维空间很少有实效"2直方图密度估计的结果是不连续的,即在区域的边界处密度估计值会突降为0,使得对每一个区间中心部分密度估计较准,而边缘部分较差,从统计学角度看效率较低"非参数密度估计作为像素点样本特征建模的工具在运动目标跟踪中得到了非常广泛的应用为了便于后续的研究和介绍,在此首先给出本章接下来的介绍中需要使用的几种表达方式的相关说明(l)参考区域:用R表示,指通过手动或者自动方式给出的包含要跟踪目标的一块规则图像区域,该区域作为在连续的视频序列中实现跟踪的参考"(2)目标区域:用O表示,指在当前视频帧中用于与参考区域比较的图像区域,该区域与参考区域的相似性程度是目标定位的依据(3)跟踪窗口:指跟踪算法输出的一块图像区域，本章以该窗口对跟踪目标的覆盖程度代表跟踪结果的精度(4)目标位置:通常以跟踪窗口的中心位置表示对目标的跟踪结果(5)定位:指确定运动目标所在位置的过程基于像素点样本颜色特征直方图建模，均值位移定位的运动目标跟踪方法由Dorin Comaniciu等人于2000年提出,该方法是一种即基于特征同时又基于梯度下降的跟踪方法,其跟踪过程可以分为以下三个步骤:(l)采用非参数核直方图密度估计技术分别对选定的参考区域和可能包含运动目标的目标区域中的像素点样本颜色特征进行建模,得到参考模型和候选模型。
非参数估计(完整)
此方法的有效性取决于样本数量的多少， 此方法的有效性取决于样本数量的多少，以 及区域体积选择的合适。 及区域体积选择的合适。
概率密度估计
收敛性问题：样本数量 无穷大是 无穷大是， 收敛性问题：样本数量N无穷大是，估计的概率函 数是否收敛到真实值？ 数是否收敛到真实值？
N →∞
ˆ lim pN ( x ) = p ( x )
实际中，ˆ 越精确，要求： 实际中，p ( x ) 越精确，要求： R → 0 实际中， 是有限的 是有限的： 实际中，N是有限的： 绝大部分区间没有样本： ˆ 当 R → 0 时，绝大部分区间没有样本： p ( x ) = 0
ˆ 如果侥幸存在一个样本， 如果侥幸存在一个样本，则： p ( x ) = ∞
概率密度估计
直方图的例子
概率密度估计
非参数概率密度估计的核心思路：
一个向量x落在区域 中的概率 一个向量 落在区域R中的概率 为： P = ∫ p ( x )dx 落在区域 中的概率P为
R
因此，可以通过统计概率 来估计概率密度函数 来估计概率密度函数p(x) 因此，可以通过统计概率P来估计概率密度函数
kn / N pn ( x ) = Vn
的第n次估计 为p(x)的第 次估计 的第
概率密度估计
能够收敛到p(x)，那么必须满足： ，那么必须满足： 如果要求 pn ( x ) 能够收敛到
n →∞
lim Vn = 0
n →∞
lim kn = ∞
lim kn / n = 0
n →∞
选择V 选择 n
选择k 选择 n
1 ϕ (u) = 0 1 u j ≤ , j = 1,L , d 2 otherwise
中心在原点的 单位超立方体
matlab非参数核密度估计法
matlab非参数核密度估计法
非参数核密度估计法（Kernel Density Estimation, KED）是一种用于估计概率密度函数的无参数方法。
它的基本思想是在每一个观测值周围放置一个函数，称之为核函数（Kernel Function）；然后通过将这些核函数进行加权平均，得到一个概率密度函数的估计。
核函数通常具有一定的平滑性和对称性，以及与自身积分为1等性质。
在MATLAB中，非参数核密度估计可以使用“kde”函数来实现。
这个函数的基本语法为：
[p,x]= kde(data,n);
其中“data”是输入数据的向量，“n”是控制核函数窗宽的参数，通常取值为1.5或2，而“p”和“x”则是输出的估计密度函数和其对应的自变量。
例如：
data = [2.5, 2.7, 2.8, 3.1, 3.5, 3.7, 4.2, 4.5, 4.9,
5.0];
[p,x] = kde(data, 1.5);
plot(x,p);
这段代码将输入数据进行非参数核密度估计，并将结果绘制出来。
可以看到，由于数据样本的数量较少，所以估计出的密度函数并不够平滑，容易出现峰谷等不必要的波动。
为了避免这些问题，在进行核密度估计时，需要确保样本数量足够大，同时控制核函数的窗宽，以达到合适的平滑效果。
非参数核密度估计
非参数核密度估计
非参数核密度估计（Nonparametric Kernel Density Estimation）是统计学中用于
描述函数概率密度的非参数技术。
它被广泛应用于研究调查样本的数据分布特征，也可以
用作预测模型。
非参数核密度估计主要基于单变量数据，通过采用高斯核函数（Gaussian Kernel Function）来替代方差的计算，从而将单变量的数据投影到二维平面上。
它可以确定被研究对象（或者是被调查者）的数据分布趋势，从而根据数据分析结果
得出准确的结论。
非参数核密度估计可以用来分析多种不同形式的数据，例如连续型、离散型或二元型，可以根据实际情况加以区分，但最终都可以被视为实数值，使得数据投影到相同的数学空间。
此外，它还可以用来找出数据分布的局部空间变化，通过改变核的形状来模拟函数的
接近度或者变化程度，从而可以捕捉数据中潜在的细微差别。
在实际应用中，非参数核密度估计可用于多种应用场景，如研究调查数据采集问题、
估计概率密度函数和解释模型等。
例如，它可以帮助研究者了解影响某项行为的影响因素，以及如何在预测模型中将这些数据进行归类和整合。
另外，它也可以用于检查调查问卷中
的公式误差、经验模型的敏感性研究以及数据的概率分布等。
总的来说，非参数核密度估计是一种非常灵活有效的分析技术，它可以有效地帮助研
究者分析数据并得出准确的结论。
此外，它也可以为调查问卷、解释模型以及预测模型中
的变量间关系提供良好的分析支持，从而使研究者在不同场景中都能得到有效的结果。
第十章非参数密度估计和回归
10.1非参数密度估计 10.1.1 一元密度估计 10.1.2 多元密度估计
10.2非参数回归
10.1非参数密度估计
例10.1在美国黄石国家公园有一个间歇式的温泉, 它的喷发间隔很有规律,大约66分钟喷发一次,实 际上从33分钟到148分钟之间变化,水柱高度可 达150英尺,由于其喷发保持较明显的规律性,人 们称之为老忠实. 问题:人们想知道间隔时间的密度函数.
需要估计出m( j ) , j 0,..., p ,再加权,这归结为所谓的局部的 加权多项式回归,它要选择 j , j 0,..., p ,使得下式最小 2 p n x xi j yi j ( xi x) K ( h ) i 1 j 0 ˆ ,由此得到 m(v ) 的估计 记这样的对 j 的估计为 j ˆ m(v) ( x) v! 也就是说在每一点x的附近运用估计:
多元密度估计
对于二元数据,可以画二维直方图. 假定x为d-维向量,则多元密度估计可以为 X xi 1 n (X ) f K( ) d nh i 1 h 其中
R
d
K ( X )dX 1
10.2 非参数回归
回归是指给了一组数据 ( x1 , y1 ),...,( xn , yn ) 之后,希望找到一 个X变量和Y变量的一个关系:
光滑样条:原理是调和拟合度和光滑程度. 选择的近似函数f(.)要使下式尽可能地小:
yi f ( xi ) ( f ( x))2 dx i 1
2
n
当 (>0)大时,二阶导数要很小才行,这样就使得拟合很 光滑,但第一项代表的偏差就可能很大. Friedman超光滑法:这种方法会使得带宽随着x变化.
非参数统计中的核密度估计使用技巧(五)
非参数统计是一种不基于任何总体分布假设的统计方法，通常用于处理样本数据量较小或不符合正态分布的情况。
核密度估计是非参数统计中一种常用的密度估计方法，通过对样本数据进行平滑处理，得到数据的概率密度函数。
在实际应用中，核密度估计有一些常用的使用技巧，本文将从几个方面进行论述。
首先，核密度估计的带宽选择是一个重要的技巧。
带宽决定了平滑核的宽窄程度，直接影响到估计密度函数的平滑程度和精确度。
通常情况下，带宽选择不当会导致估计结果的偏差较大。
在实际应用中，可以通过交叉验证法或改进的样本中位数法来选择合适的带宽。
交叉验证法通过反复地划分数据集、估计密度并计算误差来选择最优的带宽，而改进的样本中位数法则是基于样本中位数的一种带宽选择方法。
选择合适的带宽可以有效地提高核密度估计的效果。
其次，核密度估计的核函数选择也是一个重要的技巧。
核函数决定了对样本数据进行平滑处理时所采用的函数形式，不同的核函数对估计结果有着不同的影响。
在实际应用中，常用的核函数有高斯核函数、矩形核函数和三角核函数等。
高斯核函数是最常用的核函数，其平滑效果较好，但也有一些其他核函数在特定情况下有着更好的表现。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的核函数。
此外，核密度估计的样本量对估计结果也有着重要的影响。
样本量越大，核密度估计的效果通常会越好。
因此，在实际应用中，需要尽可能地增加样本量，以提高密度估计的准确性。
最后，核密度估计的多变量情况下的应用也是一个重要的技巧。
在实际应用中，很多情况下需要对多变量数据进行密度估计，此时需要考虑到多变量核密度估计的带宽选择、核函数选择以及样本量对估计结果的影响等方面。
通常情况下，多变量核密度估计需要更加复杂的技巧和方法，如银子规则等。
综上所述，核密度估计是非参数统计中一种常用的密度估计方法，通过对样本数据进行平滑处理，得到数据的概率密度函数。
在实际应用中，需要注意带宽选择、核函数选择、样本量对估计结果的影响以及多变量情况下的应用等多个方面的技巧，才能得到准确、可靠的密度估计结果。
非参数核密度估计
非参数核密度估计非参数核密度估计（Non-parametricKernelDensityEstimation）被广泛应用于各种统计学研究中，是一种统计技术，可以提供对数据的非参数估计，它可以用来估计一维或二维数据的未知分布函数。
简单地说，非参数核密度估计就是一种无需既定参数但仍能估计未知数据分布情况的统计方法，它是基于一种半参数统计技术，即核密度估计（KDE）。
它能够捕捉数据中的不同特征，从而获得了准确而精确的数据分析结果。
非参数核密度估计的基本步骤通常包括：（1）给定观察数据的一个子集，利用其来估计未知的数据分布函数。
（2）在该子集上选择一种核函数，所谓核函数是一种带有一定宽度的窗口函数，用来表示样本点的分布。
（3）将各个样本点作为分母项，然后将核函数与样本点所形成的乘积作为分子项，最后进行积分，从而获得未知的数据分布函数。
（4）据此，可以求出该区域的密度函数，并用它来估计该区域内未知数据的分布情况。
非参数核密度估计的优势在于它的宽容性，也就是说，它不需要一个提前定义的参数模型就能估计数据的分布。
然而，由于它的宽容性，它在处理大规模数据时可能会受到计算拥挤的影响，所以，在进行大规模数据分析时，最好选择其他技术来处理。
此外，由于非参数核密度估计依赖于样本数据的窗口函数来表示样本点的分布，模型的结果也会受到样本数据窗口函数的影响。
如果样本数据的窗口函数与分布函数有很大出入，将得到不准确的结果。
总之，非参数核密度估计是一种可以用来估计一维或二维数据未知分布函数的有效统计技术。
它具有宽容性，能够捕捉数据中的不同特征，但也存在一些缺点，以及难以处理大规模数据的情况。
因此，在使用非参数核密度估计时，应当谨慎考量其各方面的优缺点，以得到更加可靠准确的结果。
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第十章非参数密度估计密度估计的参数解是首先假设一个参数模型，X1,…,X n~i.i.d. f Xθ,其中θ为低维参数向量。
然后通过一些估计方法得到θ，如极大似然估计，矩估计等等。
然后到处密度函数。
此方法的危险性在于初始假设模型的不正确可能导致严重的推断错误。
一种常见的非参数密度估计是直方图，他是一种分段常数的密度估计。
另一种基本的密度估计可通过考虑密度函数如何将概率分配到各区间上受到启发，如果f 足够光滑，我们假设f将某概率不但赋予给x i点，而且赋予给x i周围的一个区域。
因此，要从X1,…,X n~i.i.d.f估计f，将X i周围区域的概率密度累加起来时合理的。
10.1 绩效度量绩效度量是为了评价密度估计量的性质。
令f为整个支撑区域上f的估计量，引入积分平方误差ISE h= f x−f x 2 dx∞−∞如果我们想讨论估计量的一般性质，那么在所有可能的样本上对ISE h进行平均是比较合理的。
积分平均误差为MISE h=E{ISE h}其中的期望是关于分布f。
因此MISE h可以看成是误差（ISE h）关于抽样密度的整体度量的平均值。
又由期望和积分的可交换性，MISE h=MSE f x dx其中MSE f x=E f x−f x 2=var f x+ bias f x2bias f x=E f x−f(x)MISE和ISE都可用来研究选择h值的准则。
两者的好坏已知都有争论，详见Birgit Grunda; Peter Hallb; J. S. Marronc.Loss and risk in smoothing parameter selectionPeter Hall and J. S. Marron.lower bounds for bandwidth selection in density estimation10.2 核密度估计一元核密度估计允许采取灵活的加权方案，即拟合f x=1nhK(x−X i)ni=1(10.6)其中K为核密度，h为固定值，通常称为窗宽。
一些常见的核为：(10.6)的估计量为固定窗宽核密度估计。
而窗宽的大小对估计量有很大的影响，小的窗宽会将密度分配得太局限于观测数据附近，导致估计密度函数有很多错误的峰值;而大的窗宽会将密度贡献分布得太开，从而会因光滑而遗失掉f的一些特征。
10.2.1 窗宽的选择MISE等于积分均方误差。
这表明窗宽的选择是偏差和方差的折衷例10.1（双峰密度）实际上，我们只需对h试一串值，然后选择一个比较合适的。
当然，我们希望得到一个相对正规的窗宽选择程序：如自动算法。
假设K是连续对称的概率密度函数，均值为0，方差0<σK2<∞.令R(g)表示给定函数g的粗超度的度量，定义为R g=g2(z)dz然后假设R K<∞且f足够光滑。
即有二阶有界连续导数。
MISE h=var f x+ bias f x2dxE f x=1Kx−uf u du=K(t)f(x− t)dt在上式中用Taylor级数展开f x− t=f x− tf′x+ 2t2f′′x2+o( 2)因此bias f x2dx= 4σK4R f′′4+o( 4)同样可以计算得到：var f x=1f x R K+o(1)将其对x积分得var f x=R Kn+o(1n)因此MISE =AMISE +o 1nh+h4,其中AMISE h =R K nh + 4σK 4R f′′ 4称为渐进均方误差，h 最小化上式可得= R KK 4 15很多窗宽的选择方法依赖于优化或者找到关于h 的函数的根，例如最小化AMISE(h)的一个近似量。
1、交叉验证许多窗宽的选择是把fx 作为 f 的估计量而与h 联系起来，用某个量Q(h)量化，如果Q 表示根据对在某种意义上对观测数据的拟合程度，那么观测数据在计算fx 和计算拟合程度时候用了两次，这样会对观测提供一个过于乐观的观点，为纠正这一问题，可以采用交叉验证，计算f x 在第i 个点的质量时，模型采用除去第i 个点之外的所有数据拟合，令f−i X i =1n −1 K X i −X jj ≠i表示X i 点处核密度估计量用除X i 外所有数据估计的密度。
交叉验证中一种常见的Q 的选择是伪似然PL h = f−i X i ni =1尽管此方法简单，但其得到的密度估计常常有太多的摆动且对异常值过于敏感。
且其估计量很多时候是不相合的 另一种方法是将积分平方误差写成ISE h = f2 x dx −2E f x + f 2 x dx =R f −2E f x +R (f ) 组后一项是常数，中间项可以通过2n f−i X i n i =1来估计，因此通过关于h 最小化 UCV h =R f−2f −i X i ni =1得到窗宽，此方法称为无偏交叉验证准则。
如果不可能解析计算R(f )，那么计算上式的最好的方式是寻找一个核来简化解析，对于正态核UCV h =R ∅ +1 [1 8π 1∅12 X i −X j −2∅(X i −X j )]j ≠ini =1 详见Nonparametric Econometrics ：Theory and Practice例10.2 （鲸的洄游）2001年春天在阿拉斯加巴罗岛附近的海冰边缘对弓头鲸幼仔做了一个目测调查，为了得到摸清其洄游规律，我们估计其洄游可能会按照一个大致的节奏出现。
我们用正态核对鲸鱼幼仔洄游数据进行核密度估计。
通过PL 算法得到h 的最优值为17.4，我们采用了121个样本中的20个，而书本上的结果为9.75.而UCV 的结果同样可以计算。
2、插入法对于一维核密度估计我们知道，最小化AMISE 得到的窗宽为=R KK 4 15(10.24) 因此h 的估计会依赖于未知函数f ，现可以提出多种方法来估计R f ′′Silverman 提出一种初等的方法：把f 替换成正态分布，该正态分布的均值为0，方差为样本方差。
于是有R f ′′ =38π−12σ5,当k 为标准正态核时。
有h pilot = 4π−11038π−12−1σ n−15= 43n15σ此方法称为Silverman 大拇指法，作为产生近似的窗宽的一种方法，此方法是很有价值的。
(10.24)中的R f ′′ 的经验估计是比Silverman 大拇指更好的方法。
基于核的估计量为f ′′ x =d 22 10 L x −X i 0 ni =1=103 L′′(x −X i)ni =1(10.26) 其中 0为窗宽，L 为用来估计f′′的充分可微的核函数。
R (f′′)的估计直接从（10.26）式可得。
Sheather-Jones 方法为：（1）用简单的大拇指法计算窗宽 0,该窗宽用来估计R (f′′) （2）然后用10.24式计算窗宽h 并产生最后的核密度估计。
对用导频核L =∅的一元核密度估计，Sheather-Jones 窗宽的计算如下：R KnσK 4R αf ′′ 15− =0 其中R α f ′′ =1 5 ∅ 4 (X i −X j )nj =1ni =1 α =6 2h 5Ra f ′′ Rb f ′′′ 17R a f ′′ =1 ∅ 4 (X i −X j )nj =1ni =1R b f ′′′ =1n n −1 b 7 ∅ 6 (X i −X j b)nj =1ni =1a=0.920(IQR)/n17b=0.912(IQR)/n1IQR为数据的四分位间距3、极大光滑原则思想：对所有的f均计算h值，然后选择其中的最大值窗宽的选择： =3R K35n 1 5σ详见：The maximal smoothing principleindensity estimation G.R. Terrell例（鲸鱼洄游，续）10.2 核的选择1、艾氏核假设K为各阶矩有限、方差为1的有界对称密度，Epanechnikov证明了关于K最小化AMISE等价于在这些条件下关于K最小化R(K)。
该问题的解是5∗(z/5)的核，其中K∗为艾氏核K∗z=31−z2若z<1 0, 其它2、典则核由(10.29)式可得h K L =δK其中，δK=R KσK41.要想达到与核为K时的窗宽h同样的光滑度，那么核L的窗宽应该取 δL/δK,进一步，如果我们希望对给定的h不同的核可以达到相同的光滑度，我们可以将核进行改进，使得h=1相当于δK的窗宽。
核密度改写为f X x=1nK δK(x−X i)ni=1，其中K δK z=1hδKK(zhδK),按照此方式定义可以给出每种形式的典则核，这样的好处是：单独的h值对每个典则核交换使用不影响其光滑程度。
10.3 对数样条通过三次样条估计f的对数。
令S为包含节点在t1,…,t M上的三次样条，且在L,t1和[t M,U)上为线性的M-维空间，令S的基表示为函数{1,B1,…,B M−1}，现在考虑用如下的参数化定义的密度f X|θ对f建模log f X|θxθ=θ1B1x+⋯+θM−1B M−1x−cθ.其中exp{c(θ)}=exp{θ1B1x+⋯+θM−1B M−1x}dxUL该模型我们通过两个条件来保证。
(1)L>−∞或θ1<0(2)U<∞或θM−1<0对给定的数据值x1,…,x n,该模型的对数似然为lθx1,…,x n=log f X|θ(x i|θ)ni=1在c(θ)的限制下最大化上式可以得到极大似然估计θ。
为估计模型，我们取f x=f X|θ(x|θ)作为f(x)的极大似然对数样条密度估计关于节点的摆放：令x i表示数据的第i个次序统计量，定义一个近似的分位数函数为q i−1n−1=x i,1≤i≤n,对一列数，0<r2<⋯<r M−1<1,M个节点将放在x1,x n及由q r2,…,q(r M−1)标记的次序统计量的位置上。
内部节点的放置由下面决定，对1≤i≤M2,n r i+1−r i=4∗max4−ϵ,1∗max4−2ϵ,1∗…∗max{4−i−1ϵ,1}ϵ的选择满足当M为奇数时r M+1=1/2,或当M为偶数时，r M+r M+1=1/2.其余节点保持分位数对称，于是对M2≤i≤M−1,r M+1−i−r M−i=r i+1−r ir M=1上面假定的M是预先给定的，其实实际上有很多选择M的方法：概括如下，首先把少量节点放在给定的位置上，建议的最小值为min{2.5n 15,n4,n∗,25},其中的n∗为不同数据点的个数，然后其他的节点一个个计入到现存的集合中，每次循环中，在该节点不存在的模型满足Rao检验统计量的最大值的位置上增加一个节点，直到总节点数达到min{4n 15,n4,n∗,30}，或是没有节点可以继续添加为止然后各节点依次逐个删除。