多元函数的Taylor公式与极值问题

k
k 1,2,, m 1.
定理8.2’ 设n元函数 f x C m U x0 , 则当 x 0 时，有


f ( x0 x ) f ( x0 )
f ( x0 ) k1! (x ) k f ( x0 ) o m .
k 1
1 m 1 (x ) f ( x0 ) (x ) f ( x0 x). m 1!


特别地，当x0=0时，又称为Maclaurin公式.
(x ) x i x i i 1
k n
k
k! in i1 x1 xn i1 , in x1 xn i1 i2 in k i1!i2 ! in !
通常把使得函数可能取极值的点称为它的可能极值点. 显然，可能极值点未必一定是极值点.
推论8.1 (函数取极值的充分条件) 设二元函数 2 f x, y C U x0 , y 0 , (x0,y0)是f(x,y)的驻点，记 A f xx x0 , y0 , B f xy x0 , y0 , C f yy x0 , y0 , 则
z z z
x x x
在点 (0,0) 有极大值;
在点 (0,0) 无极值.
y y y
定理8.3 (函数取极值的必要条件) 设n元函数f(x)在点x0
可偏导, 且在该点取得极值 , 则有 f x0 0i 0,1,, n , x i 即 f x0 0 . 证: 以二元函数情况加以证明. 设二元函数f(x,y)在点 (x00时，一元函数 ,y0) 可偏导并取得极值，则固定y=y x f x, y0 在点x0可导，并取得极值. 据一元函数极值 f x0 , y0 df x, y0 ' 0. 的必要条件，有 x0 x x0 x dx f x0 , y0 0. 同理，有 y
几何解释： 设(x0,y0)是二元函数f(x,y)的驻点．由泰勒公式，在点 P0(x0,y0,f(x0,y0))附近，曲面z=f(x,y)可以由二次曲面 z g x, y 1 2 2 f x0 , y0 Ax x0 2 Bx x0 y y0 C y y0 2 近似替代． 2 (1) 当A>0,且 AC B 0 时， z= g(x,y)为顶点在P0， 开口向上的椭圆抛物面，f(x0,y0)是g(x,y)及f(x,y)的极小值； (2) 当A<0,且 AC B 2 0 时， z= g(x,y)为顶点在P0， 开口向下的椭圆抛物面，f(x0,y0)是g(x,y)及f(x,y)的极大值； 2 AC B 0 时，z= g(x,y)为双曲抛物面，f(x0,y0) (3) 当 不是极值．
f ( x, y) e x y 1 1 2 n 1 x y x y x y Rn , 2! n! 1 n 1 x y 其中 Rn x y e ,0 1. n 1!
8.2 多元函数的极值问题 1.极值 定义8.1 设n元函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，若 恒有 则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 例如 : 在点 (0,0) 有极小值;
(x x y y ) f ( x0 , y0 )
2 1 2 ( x y ! x y ) f ( x0 , y0 )
(x
1 n!
f x0 , y0 k1! (x x y y ) k f ( x0 , y0 )
利用 max ( x 1 x 2 ) 2
[ 0,1]
则有
M n 1 n 1 n ( 2 ) n 1 1 o ( )y k ) Rn ( n 1 ( h k ) f ( x h , ()n 1 ) ! 0 0 ! x y
说明：(1) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式:
n 1 1 ( x y f ( x0 x, y0 y ) ② 其中 Rn ( n 1)! x y) (0 1) ①称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式, ②称为其拉格朗日型余项 .
n
x
y ) f ( x0 , y0 ) Rn ①


说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 (或稳定点).
由定理8.3知，对可偏导的n元函数，极值点必为驻点. 但驻点不一定是极值点. 例如, 例如, 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 在点( 0, 0 )取得极值， 但它的两个 偏导数不存在的点也可能是极值点. 偏导数在点( 0, 0 )处不存在.
m • 一般地, (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 x y m m f p p m p Cm h k x p y m p ( x , y ) 0 0 p 0
定理8.1 设 z f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 的某一邻域内有直 到 n + 1 阶连续偏导数 , ( x0 x , y0 y) 为此邻域内任 一点, 则有 f ( x0 x , y0 y) f ( x0 , y0 )
A
在点(1,0) 处 AC B 2 12 6 0 , A 0 ,
为极小值;
在点(1,2) 处
AC B 2 12 (6) 0 ,
(0) (h x k y ) f ( x0 , y0 )
(t ) h 2 f x x ( x0 ht , y0 k t )
2hk f x y ( x0 ht , y0 k t )
k 2 f y y ( x0 h t , y 0 k t )
f ( x0 h , y0 k ) f ( x0 , y0 ) h f x ( x0 h, y0 k ) k f y ( x0 h, y0 k ) (0 1)
(2) 若函数 z f ( x, y ) 在区域D 上的两个一阶偏导数 恒为零, 由中值公式可知在该区域上 f ( x, y) 常数 .
定理8.1’ 设n元函数 f x C m1 U x0 , x x0 U x0 , 则 0,1, 使




k 1
f ( x0 x ) f ( x0 )
m 1 k! k
0 0 其中 x x1 , x2 ,, xn , x0 x10 , x2 ,, xn , , , , x x1, x2 ,, xn . 而 x x x 2 n 1 上式称为f(x)在x0处带有Lagrange余项的n阶Taylor公式.
(1) 当A>0,且 AC B 2 0 时，f(x0,y0)是极小值； (2) 当A<0,且 AC B 2 0 时，f(x0,y0)是极大值； (3) 当 AC B 2 0 时，f(x0,y0)为不是极值； (4) 当 AC B 2 0 时，不能确定f(x0,y0)是否为极值.
(0) (h x k y ) 2 f ( x0 , y0 )
一般地,
m f (m) p p m p (t ) C m h k p m p ( x ht , y k t ) x y 0 0 p 0 m
( m) (0) (h x k y ) m f ( x0 , y0 )
8.3条件极值问题
8.1 多元函数的Taylor公式 一元函数 f ( x) 的泰勒公式:
f ( x0 ) 2 f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 )h h 2!
f ( n ) ( x0 ) n h n!
推广
多元函数泰勒公式
(0 1)
记号 (设下面涉及的偏导数连续): • ( h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 h f x ( x0 , y0 ) k f y ( x0 , y0 ) x y 2 • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 x y h 2 f x x ( x 0 , y 0 ) 2 h k f x y ( x0 , y 0 ) k 2 f y y ( x 0 , y 0 )
其中 Rn o n 称为Peano余项, 上式称为f(x,y)在(x0,y0)处带有Peano余项的n阶Taylor公式.

k 1
1 k!
x
yBiblioteka k y) f ( x0 , y0 ) Rn ,
说明: 余项估计式. 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, 在某闭
邻域其绝对值必有上界 M , M h cos Rn ( h k ) n 1 k sin (n 1) ! M n 1 n 1 ( cos sin ) (n 1) !
m

上式称为f(x)在x0处带有Peano余项的n阶Taylor公式. 特别地，当x0=0时，又称为Maclaurin公式.
例8.1 求函数 f ( x, y) e Maclaurin公式. k
x y
带有Lagrange余项的
f x y 解:对k=1,2,…,n+1有 k i i e i 0,1,, k , x y k f 0,0 1, 由公式有 所以 k i i x y
n y
k 1
证: 令 (t ) f ( x0 t h, y0 t k ) (0 t 1), h x, k y 则
(0) f ( x0 , y0 ) , (1) f ( x0 h , y0 k )
利用多元复合函数求导法则可得: (t ) h f x ( x0 ht , y0 k t ) k f y ( x0 ht , y0 k t )