初中数学_二次函数的应用(最大利润问题)教学设计学情分析教材分析课后反思

二次函数的应用（最大利润问题）教学设计
一、教材分析
二次函数的应用是我市中考必考的知识点，是中考的热点，也是难点.均以解答题形式考察，主要有两个方向：一是在实际问题中求二次函数的解析式，该考点对分析问题的能力要求较高，得分不易；二是利用函数最值求最大利润问题，此时要注意区分顶点坐标在不在自变量取值范围内，若不在，必须借助图像草图分析增减性.
近六年的中考，有五年考到最大利润问题，都是出现在22题的位置，分值10分.
“何时获得最大利润”似乎是商家才应该考虑的问题，但是这个问题的数学模型正是我们研究的二次函数的范畴.二次函数化为顶点式后，很容易求出最大或最小值.而何时获得最大利润就是当自变量取何值时，函数值取最大值的问题.因此本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践.即是否能把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释.
教学目标：
知识与技能：能够分析和表示实际问题中变量之间的关系，准确列出二次函数关系式；
过程与方法：经历销售中最大利润问题的探究过程，并运用二次函数的知识解决最大利润问题，让学生认识数学与人类生活的密切联系,发展学生运用数学知识解决实际问题的能力;
情感态度与价值观：能将实际问题转化为数学问题，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.
教学重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出最大利润.
教学难点：当对称轴不在已知的自变量范围之内时，最大利润的求法.
教学方法：启发引导、合作探究
二、学情分析
本节课是学生在复习了二次函数的概念、二次函数的图像及其性质、如何确定二次函数的解析式、最大面积问题等知识的基础上进行复习的，解决最大面积问题时，学生初步感受到数学模型思想及数学的应用价值.本节课将进一步利用二次函数解决最大利润问题.
三、教学过程：
（一）平等交流，引入课题
师：同学们，中考在即，我们的老朋友二次函数如约而至.这节课，让我们一起来重温二次函数的应用.看到这个专题，你觉得中考的时候会考什么？
生：最大利润问题、最大面积问题、抛物线形问题.
师：好，刚才同学们说出了二次函数的应用在中考中的核心考点.这节课，我们就从中考的视角来看看二次函数的应用——最大利润问题在中考的时候考什么，怎么考.一起走进今天的“基础过关，唤醒旧知部分”.
【设计意图】：师生的平等对话，既拉近了师生的距离，又能紧靠学生关注的话题，搭建本节课学习的知识框架，便于统一学习目标，为本节课的后续学习创设良好氛围.
（二）基础过关，唤醒旧知
题组:【1.某超市把进价为4元/件的纪念品以5元/件的价格出售100件，则每件纪念品的利润为_____元，超市总共获利_____元. （★）
2.某超市购进了4元/件的纪念品进行试销，当销售单价为5元时，每天的销售量为50件，而销售单价每上涨1元，每天就少售出10件，当销售单价上涨到x元时，每天就少售出__________件，（★★）
每天的销售量是_____________件，（★★）
每天获得的利润是____________________元.（★★★）】生（潜能生）：每件纪念品的的利润为1元，超市总共获利100元.
师：非常棒，继续努力！
生（待优生）：每天少售出（10x-50）件，每天的销售量是（-10x+100）件.
师：你分析问题的能力越来越强了！.
生（学优生）：每天获得利润是（-10x2+140x-400）元.
师：同意吗？小结一下：你认为准确解决这两个问题，需要储备哪些知识？
生（学优生）：单利润=售价-进价；总利润=单利润×数量；总利润=总销售额-总成本；总销售额=一件的售价×数量；总成本=一件的成本×数量.
师：总结的很完整！这些是就是销售过程中的基本数量关系.
题组：【3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图
像如图所示:
(1)当y=80时，x=_______（★）
(2)当y>80时，x的取值范围时____ ★★）
(3)当x=_______时，函数y取得最大值.（★★★）】
生（潜能生）：（1）y=6或8
师：这节课，你听讲很认真！老师真为你感到高兴.
生（待优生）: （2）6<x<8.
师：对应图像的哪些部分？
生6：直线y=80以上的部分.
师：你的识图能力太强了！
生（学优生）：（3）x=7.
师：同意吗？小结一下：你认为准确解决这三个问题，需要用到什么样的数学方法？
生（学优生）：数形结合.
师：太棒了，（板书：数学思想数形结合）数形结合是一种基本的数学方法，它以形助数，可以直观形象的帮助我们解决问题.接下来，我们就用刚刚总结的数学知识和数学方法来解决生活中的最大利
润问题吧.美丽的青岛是一个国际化旅游城市，在旅游旺季“五一”即将到来之际，让我们一起走进即墨古城，为“星星超市”献计献策.
【设计意图】：以两道简单、基础的问题开场，将销售过程中的基本数量关系、本节课要用到的数学方法串联在一起，既实现了回顾知识的目的，又以低起点的难度激发了学生参与的兴趣.
（三）应用模型，解决问题
例.【青岛是一个国际化的旅游城市，在旅游旺季“五一”即将到来之际，即墨古城附近的“星星”超市特购进了一批进价为4元/件的纪念品进行试销. 试销发现：
1、当销售单价是5元时，每天的销售量是50件，而销售单价每上涨1元，每天就少售出10件.设每天的销售量是y(件)、销售单价是x(元)，你能求出y与x之间的函数关系式吗？（★）变式练习（1）销售量y(件）与销售单价x满足一次函数关系，其图像如图所示，你能求出y与x之间的函数关系式吗？（★★）变式练习（2）销售量y(件)与销售单价x的关系满足如下的表格：你能求出y与x之间的函数关系式吗？（★★★）
销售单价x(元） 5 6 7 8 ...
销售量y(件）50 40 30 20 ...
生（潜能生）：y=50-10(x-5)=-10x+100
师：（板书）.很好，你认真学习的样子真美！
老师这样变式，你会吗？（1）销售量y(件）
与销售单价x满足一次函数关系，其图像如图所示，你能求出y与x 之间的函数关系式吗？（★★）
生（待优生）：因为y是x的一次函数，所以设y=kx+b,将（5,50），（6,40）两点带入，即可求出k、b的值，也就求出了y与x的函数关系式.
师：很流畅的解答！这时，y与x的关系式还是y=-10x+100.
老师再变式，你会吗？销售量y(件)与销售单价x的关系满足如下的表格：猜想y与x之间的函数关系式？（★★★）
生（学优生）：猜想y是x的一次函数，设y=kx+b，将（5,50），（6,40）两点带入，求出k、b的值，写出关系式，关系式还是y=-10x+100，再将（7,30）（8,20）两点带入验证，在写结论.
师：非常严密的解答：有猜想有验证有结论，严谨！
师：小结一下：刚刚我们解决了三道求函数关系式的题，你有什么发现？
生（学优生）：列函数关系式有三种基本类型：（1）语言叙述；（2）图像；（3）列表法.
师：归纳总结很到位！在接下来的复习过程中，我们要善于发现、归类，总结规律、多题归一，不要掉入题海.
师：如果设每天获得的利润为W（元），能求出W与x之间的函数关系式吗？你来试一试？
生（潜能生）：W=（x-4）(-10x+100)=-10x2+140x-400
师：你能列出二次函数关系式了，太了不起了，继续努力！（板书W=（x-4）(-10x+100)=-10x2+140x-400）
师：超市老板现在现在遇到了一些难题，想让同学们帮忙解决.问题一，尝试独立解决. 有困难可以找同学帮忙.（一生板书，其余生做学案上）
师：生给大家讲讲吧.生的表达特别清楚，让我们大家一听就懂，再看她的书写认真，步骤规范，给我们做了很好的示范！我们知道，实际问题，自变量x一定有它特定的取值范围，x-4≥0是根据单利润大于等于零列的，可以怎么理解？保证赚钱！-10x+100≥0是根据数量大于等于零列的，可以怎么理解？能卖出去，对，涨价也是有条件的，不能涨到无限大，涨到天价就没人买了，所以须保证数量大于等于零.取值范围是4≤x≤10,接下来确定开口方向和对称轴，对称轴是直线x=7,7在取值范围内吗？此时x取7，最大利润就是函数的最大值.下面，我们借助草图来验证一下：
师：老板的第二个问题是：②若该超市要求售价不得低于成本价，销售量又不得低于40件，你能求出当销售单价是多少元时，获得最大利润？最大利润是多少？（★★）
师：先独立思考，同位之间讨论交流，尝试解决.
生（待优生）：做到学案上.讲台上讲解.
师：步骤规范，点赞！我们有草图来验证一下：
师：刚刚生的表现很出彩，有没有想超越他们的？
生：有
师：超市老板的第三个问题比较有挑战性，有信心挑战成功吗？
师：先独立思考，小组讨论交流.需要求助的可以举手.
师：有好几个小组卡住了！你们遇到什么困惑了？
生：不等式解不动了！
师:你们的问题，很具有典型性！有好几个小组都做不下去了！我们初中阶段的不等式就到一元一次不等式范围，一元二次不等式是高中学习的内容，等上了高中，就可以轻而易举的解动了！难道这个问题现在我们就没法解决了吗？
生（学优生）：可以先算w=80时，得到一元二次方程，方程的两个根是x1=6和x2=8,再根据图像草图判断，当y≥80时，6≤x≤8.
师：你的解答很精彩！给我们提供了一个很独特很灵活的方法！解一元二次不等式，我们可以转化为先解一元二次方程，再利用图像草图进行分析，非常棒！看来，方法总比困难多，只要肯动脑，没有我们解决不了的问题.本题的难点已基本解决，请同学们继续解答.大部分同学已解决了问题，请看生的成果.给大家讲解一下.
生（待优生）：讲解
师：讲的真好，思路清晰，讲解透彻！此处应该有……掌声！
不知不觉，我们已经帮助超市老板解决了难题，同学们棒棒哒！在解决问题的过程中，我们可以积累哪些经验呢？
生（学优生）：求最大利润有三种基本类型：对称轴在取值范围内时，最大利润就是函数的最大值；对称轴不在取值范围内时，取值
范围在对称轴左边或右边，要根据函数的增减性来确定x的取值，并求出最大利润.
师：很棒,总结非常到位！下面让我们带上在“星星超市”积累的经验一起走进某企业，继续为他们献计献策吧！请完成学案的巩固练习，学以致用部分.
【设计意图】：中考复习的一个很大误区就是容易在教师讲题、学生做题的单一过程中将学生带入题海。

教师只忙着讲题，学生只忙着做题，忽视对题目背后的考点及方法的挖掘与归类。

本环节通过一题多变，让学生体会求函数关系式的三种基本类型、求最大利润的三种基本类型，进而引导学生在复习过程中学会多题归一，洞察本质，进而积累解题经验,应用模型解决最大利润问题。

（四）巩固练习，学以致用
题组：【某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，投放市场试销.据市场调查发现，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本.】
(1)每天的销售利润W(元）与销售单价x(元）之间的函数关系式______
(2)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
生：读答案
师：答对一道题的有哪些同学？示意一下.答对两道题的有哪些同学？示意一下.
希望这个手势同学们能一直保持到中考结束！
【设计意图】：检测学生本节课的掌握情况，同时例题讲“上涨”，检测练“下降”，两种类型进行比较，体会他们的相同点和不同点，类型全面形成体系。

（五）归纳总结，反思提高
师：下面归纳总结，反思提高.通过本节课的学习，你收获了哪些知识？
生：通过本节课的学习，我学会了怎样求最大利润，求最大利润就用二次函数.先列出函数关系式.
师：如果题目没设变量，我们要先设变量，再列函数关系式.我想到了用方程模型解决实际问题时，有几个步骤？设、列、解、验、答.用二次函数模型解决最大利润问题的基本步骤是不是也可以用这几个字来概括呢？一设二列，第三步可以用“解”来概括吗？通过解不等式（组）或方程，求出取值范围！第四步可以用“验”来概括吗？
生：检验一下对称轴是否在取值范围内？在取值范围内时，最大利润就是函数的最大值，不在取值范围内时，取值范围在对称轴左边或右边，要根据函数的增减性确定x的取值，并求出最大利润.
师：很精彩的回答！你很会学习，点赞！最后一步是“答”.由此可见，函数、方程、不等式的联系是很密切的.以后解决实际问题时，别光想到方程和不等式，还要想到谁？
生（齐答）：二次函数.
师：通过本节课的学习，你收获了哪些数学方法？
生（学优生）：数形结合、建模、转化.
师：在学习过程中，还有哪些体会？
生（学优生）：原来超市老板可以通过二次函数的计算来谋求利益最大化.数学就在我们的身边.
师：体会很深刻！数学就在我们的身边，学好数学可以更好的为我们的生活服务.
【设计意图】：孤立的知识无法构建出良好的认知结构，也就很难内化成学生解决问题的能力。

本环节通过归纳总结，反思提高，梳理知识，形成体系。

同时让学生体会，数学来源于生活，又服务于生活，学好数学可以更好的为我们的生活服务。

（六）布置作业，课堂延伸
1.按要求完成天元数学平台上的《课后作业》
2.《升学指导》P99 7
3.《升学指导》P101 3
4.《升学指导》P103 7
【设计意图】：分层次布置作业，让每个学生都能得到不同程度的巩固与提高。

结束语：
师：这是我国著名数学家华罗庚，一起来分享他的几句名言，请同学们齐读：数缺形时少直觉，形少数时难入微.数形结合百般好，
隔离分家万事休.
附：板书设计
学情分析
本节课是学生在复习了二次函数的概念、二次函数的图像及其性质、如何确定二次函数的解析式、最大面积问题等知识的基础上进行复习的，解决最大面积问题时，学生初步感受到数学模型思想及数学的应用价值.本节课将进一步利用二次函数解决最大利润问题.
二次函数的应用（最大利润问题）效果分析本节课，我想通过一道题，不断变式，多题归一，让学生能准确列出二次函数关系式，并能熟练求出最大利润。

从课堂表现、效果来看，学优生和待优生基本达成，小组内的潜能生也能在学优生和待优生的带领下积极行动起来，参与到讨论交流和学习中来。

整堂课学生
思维活跃，积极参与，收到了良好的效果。

教材分析
二次函数的应用是我市中考必考的知识点，是中考的热点，也是难点.均以解答题形式考察，主要有两个方向：一是在实际问题中求二次函数的解析式，该考点对分析问题的能力要求较高，得分不易；二是利用函数最值求最大利润问题，此时要注意区分顶点坐标在不在自变量取值范围内，若不在，必须借助图像草图分析增减性.
近六年的中考，有五年考到最大利润问题，都是出现在22题的位置，分值10分.
“何时获得最大利润”似乎是商家才应该考虑的问题，但是这个问题的数学模型正是我们研究的二次函数的范畴.二次函数化为顶点式后，很容易求出最大或最小值.而何时获得最大利润就是当自变量取何值时，函数值取最大值的问题.因此本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践.即是否能把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释.
二次函数的应用（最大利润问题）评测练习
一、基础过关，唤醒旧知（题目来自天元数学平台）
1.某超市把进价为4元/件的纪念品以5元/件的价格出售100件，则每件纪念品的利润为_____元，超市总共获利_____元. （★）
2.某超市购进了4元/件的纪念品进行试销，当
销售单价为5元时，每天的销售量为50件，而
销售单价每上涨1元，每天就少售出10件，当销售单价上涨到x元时，每天就少售出__________件，（★★）
每天的销售量是___________件（★★）
每天获得的利润是______________元.（★★★）
3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示:
(1)当y=80时，x=_______（★）
(2)当y>80时，x的取值范围时_________（★★）
(3)当x=_______时，函数y取得最大值.（★★★）
二、应用模型，解决问题（题目来自天元数学平台）
例.青岛是一个国际化的旅游城市，在旅游旺季即将到来之际，即墨古城附近的“星星”超市特购进了一批进价为4元/件的纪念品进行试销. 试销发现：
1.①当销售单价是5元时，每天的销售量是50件，而销售单价每上涨1元，每天就少售出10件.设每天的销售量是y(件)、销售单价是x(元)，你能求出y与x之间的函数关系式吗？（★）
②销售量y(件)与销售单价x的关系满足如下的表格：你能求出y与x之间的函数关系式吗？（★★）
销售单价x(元） 5 6 7 8 ...
销售量y(件）50 40 30 20 ...
③销售量y(件）与销售单价x满足一次函数关
系，其图像如图所示，你能求出y与x之间的函数关系式吗？（★★★）
设每天获得的利润为W（元），能求出W与x之间的函数关系式吗？（★）
①你能求出当销售单价是多少元时，获得最大利润？最大利润是多少？（★）
②若该超市要求售价不得低于成本价，销售量又不得低于40件，你能求出当销售单价是多少元时，获得最大利润？最大利润是多少？（★★）
③若该超市要每天获得利润不低于80元，且每天购进纪念品的成本不超过100元，你能求出当销售单价是多少元时，获得最大利润？最大利润是多少？(★★★)
三、巩固练习，学以致用（题目来自天元数学平台）
某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，投放市场试销.据市场调查发现，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本.
(1)每天的销售利润W(元）与销售单价x(元）之间的函数关系式是___________(★★)
(2)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(★★★)(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）
课后反思
例题中变量之间的关系，学生理解起来有一定的困难。

为了突破这一重点，在开始的“基础过关，唤醒旧知”部分设计了一道练习题，将难点分解，在今后的教学过程中就要这样，练习的设计要有梯度，
注意层层递进将难点分解.
其次例题讲“上涨”，检测练“下降”，通过两种类型的比较练习，帮助学生理解变量之间的关系，从而对列二次函数关系式有一个比较全面的认识，今后的复习过程中，要注意知识间的前后联系，形成知识体系.
列函数关系式有三种基本类型，文字叙述式、图像式、表格式，一题多变，引导学生学会总结，多题归一，复习过程中，不要掉入题海.
九年级学生，两极分化严重。

我在教学过程中实行分层次教学，在上课过程中是这样贯彻的：每一题组都有三个层次的题目，课堂回答问题时，每个层次的题目，就会让相对应层次的学生回答，学优生重点练能力和方法，讲解题目时，注重方法和表述，待优生的答题过程要规范，潜能生关注基本知识.
上课过程中，不同层次的学生要求标准不同，适当给予鼓励，尤其对于潜能生，用心发现他们的闪光点，上课过程中及时恰当的评价不同层次的学生，提高学生学习的兴趣.
作业的布置也有层次性，我将作业分为“必做作业”、“选做作业”、“提升作业”三个层次.让不同层次的学生都能得到不同程度的巩固与提高.不让一个学生掉队.
在教学过程中，也存在一些问题:
（一）“巩固练习，学以致用”这一环节进行的不太顺利，第（2）小题计算量偏大，有两个小组的学优生都没做起来，今后应加
强学生这方面的练习，以提高学生的计算能力。

（二）例题的第1小题标注★，就是想让潜能生也能做上来，并且前面“基础过关，唤醒旧知”部分的第（2）小题也对本题的难度进行了分解，但在上课过程中我发现，这个问题对于潜能生来说，还是有一定的难度，其中有四个小组的潜能生没有列出来，再上课的时候应该设置一些这方面练习进行巩固。

课标分析
（1）能够分析和表示实际问题中变量之间的关系，准确列出二次函数关系式；
（2）经历销售中最大利润问题的探究过程，并运用二次函数的知识解决最大利润问题，让学生认识数学与人类生活的密切联系,发展学生运用数学知识解决实际问题的能力;
（3）能将实际问题转化为数学问题，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.
教学重点：
能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出最大利润.
教学难点：
当对称轴不在已知的自变量范围之内时，最大利润的求法.。