初中数学_二次函数的应用(最大利润问题)教学设计学情分析教材分析课后反思

二次函数的应用（最大利润问题）教学设计

一、教材分析

二次函数的应用是我市中考必考的知识点，是中考的热点，也是难点.均以解答题形式考察，主要有两个方向：一是在实际问题中求二次函数的解析式，该考点对分析问题的能力要求较高，得分不易；二是利用函数最值求最大利润问题，此时要注意区分顶点坐标在不在自变量取值范围内，若不在，必须借助图像草图分析增减性.

近六年的中考，有五年考到最大利润问题，都是出现在22题的位置，分值10分.

“何时获得最大利润”似乎是商家才应该考虑的问题，但是这个问题的数学模型正是我们研究的二次函数的范畴.二次函数化为顶点式后，很容易求出最大或最小值.而何时获得最大利润就是当自变量取何值时，函数值取最大值的问题.因此本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践.即是否能把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释.

教学目标：

知识与技能：能够分析和表示实际问题中变量之间的关系，准确列出二次函数关系式；

过程与方法：经历销售中最大利润问题的探究过程，并运用二次函数的知识解决最大利润问题，让学生认识数学与人类生活的密切联系,发展学生运用数学知识解决实际问题的能力;

情感态度与价值观：能将实际问题转化为数学问题，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.

教学重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出最大利润.

教学难点：当对称轴不在已知的自变量范围之内时，最大利润的求法.

教学方法：启发引导、合作探究

二、学情分析

本节课是学生在复习了二次函数的概念、二次函数的图像及其性质、如何确定二次函数的解析式、最大面积问题等知识的基础上进行复习的，解决最大面积问题时，学生初步感受到数学模型思想及数学的应用价值.本节课将进一步利用二次函数解决最大利润问题.

三、教学过程：

（一）平等交流，引入课题

师：同学们，中考在即，我们的老朋友二次函数如约而至.这节课，让我们一起来重温二次函数的应用.看到这个专题，你觉得中考的时候会考什么？

生：最大利润问题、最大面积问题、抛物线形问题.

师：好，刚才同学们说出了二次函数的应用在中考中的核心考点.这节课，我们就从中考的视角来看看二次函数的应用——最大利润问题在中考的时候考什么，怎么考.一起走进今天的“基础过关，唤醒旧知部分”.

【设计意图】：师生的平等对话，既拉近了师生的距离，又能紧靠学生关注的话题，搭建本节课学习的知识框架，便于统一学习目标，为本节课的后续学习创设良好氛围.

（二）基础过关，唤醒旧知

题组:【1.某超市把进价为4元/件的纪念品以5元/件的价格出售100件，则每件纪念品的利润为_____元，超市总共获利_____元. （★）

2.某超市购进了4元/件的纪念品进行试销，当销售单价为5元时，每天的销售量为50件，而销售单价每上涨1元，每天就少售出10件，当销售单价上涨到x元时，每天就少售出__________件，（★★）

每天的销售量是_____________件，（★★）

每天获得的利润是____________________元.（★★★）】生（潜能生）：每件纪念品的的利润为1元，超市总共获利100元.

师：非常棒，继续努力！

生（待优生）：每天少售出（10x-50）件，每天的销售量是（-10x+100）件.

师：你分析问题的能力越来越强了！.

生（学优生）：每天获得利润是（-10x2+140x-400）元.

师：同意吗？小结一下：你认为准确解决这两个问题，需要储备哪些知识？

生（学优生）：单利润=售价-进价；总利润=单利润×数量；总利润=总销售额-总成本；总销售额=一件的售价×数量；总成本=一件的成本×数量.

师：总结的很完整！这些是就是销售过程中的基本数量关系.

题组：【3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图

像如图所示:

(1)当y=80时，x=_______（★）

(2)当y>80时，x的取值范围时____ ★★）

(3)当x=_______时，函数y取得最大值.（★★★）】

生（潜能生）：（1）y=6或8

师：这节课，你听讲很认真！老师真为你感到高兴.

生（待优生）: （2）6

师：对应图像的哪些部分？

生6：直线y=80以上的部分.

师：你的识图能力太强了！

生（学优生）：（3）x=7.

师：同意吗？小结一下：你认为准确解决这三个问题，需要用到什么样的数学方法？

生（学优生）：数形结合.

师：太棒了，（板书：数学思想数形结合）数形结合是一种基本的数学方法，它以形助数，可以直观形象的帮助我们解决问题.接下来，我们就用刚刚总结的数学知识和数学方法来解决生活中的最大利

润问题吧.美丽的青岛是一个国际化旅游城市，在旅游旺季“五一”即将到来之际，让我们一起走进即墨古城，为“星星超市”献计献策.

【设计意图】：以两道简单、基础的问题开场，将销售过程中的基本数量关系、本节课要用到的数学方法串联在一起，既实现了回顾知识的目的，又以低起点的难度激发了学生参与的兴趣.

（三）应用模型，解决问题

例.【青岛是一个国际化的旅游城市，在旅游旺季“五一”即将到来之际，即墨古城附近的“星星”超市特购进了一批进价为4元/件的纪念品进行试销. 试销发现：

1、当销售单价是5元时，每天的销售量是50件，而销售单价每上涨1元，每天就少售出10件.设每天的销售量是y(件)、销售单价是x(元)，你能求出y与x之间的函数关系式吗？（★）变式练习（1）销售量y(件）与销售单价x满足一次函数关系，其图像如图所示，你能求出y与x之间的函数关系式吗？（★★）变式练习（2）销售量y(件)与销售单价x的关系满足如下的表格：你能求出y与x之间的函数关系式吗？（★★★）

销售单价x(元） 5 6 7 8 ...

销售量y(件）50 40 30 20 ...

生（潜能生）：y=50-10(x-5)=-10x+100

师：（板书）.很好，你认真学习的样子真美！

老师这样变式，你会吗？（1）销售量y(件）