2020年东北三省三校高三第一次模拟考理科数学试卷含解析

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东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中)2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试题(含评分细则

2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题共 60 分）、选择题：本题共 12小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .A.( , 1) (3,B.( , 1] [3,D.( , 1] [1,4.大约在 20 世纪 30 年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数 n ，如果它是偶数，则除以 2；如果它是奇数，则将它乘以 3 加 1，这样反复运算，最后结果必然是1 ，这个题目在东方称为“角谷猜想” ，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对 700 亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取 n 13，则要想算出结果 1，共需要经过的运算步数是（）A.9B.10C.11D.125.已知 a ln3,b log 3 e,c log e (注：e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是（）A.b acB.c b aC.b c aD.a b c6.已知在边长为 3 的等边 ABC 的中，1BD DC ，则 AD AC =( )2A.6B.9C.12D. 61.已知集合 A x 22x，B11 则 C R (A B) ( ) x2.已知复数 za bi(a,b R)， z i1 是实数，那么复数 z 的实部与虚部满足的关系式为 A.a B.a b C.a 2b 0 D.a 2b 0 3.已知是两个不同的平面，直线 m ，下列命题中正确的是（ A.若，则 m ∥ B.若，则 m C.若 m∥，则 ∥D.若 m ，则C.[3, )7.如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， ED 平面 ABCD ， FC 平面 ABCD ，y 轴对称，则2nb n 为数阵从左至右的 n 列，从上到下的 n 行共 n 2个数的和，则数列的前 2020 项和为bnED 2FC 2 ，则四面体 A BEF 的体积为( )1 A.32 B. 3C.14 D.38.已知函数 f (x)sin2x 3 cos2x 的图像向右平移 (02)个单位后，其图像关于A.12B.6C.35 D. 122x9.已知椭圆 2a2yb 21(a b 0) 的右焦点为 F(c,0) ，上顶点为A(0,b) ，直线2 ax 上 c存在一点 P 满足 (FP FA) AP 0 ，则椭圆的离心率取值范围为(1A.[12,1) 2 B.[ 22 ,1) 51 C.[ 52 1,1) D.(0, 2 ]10. 已知定义在 R 上的函数 f (x) ，满足 f(1 x) f (1 x) ，当[1, ) 时f(x)1 x 2,xx12f ( 2 ),x[1,3) [3, )，则函数 f(x) 的图像与函数 g(x)ln x,xln(2 x),x 1的图像在区间 [ 5,7] 上所有交点的横坐标之和为(A.5B.6C.7D.911.已知数 a n 列的通项公式为 a n 2n2 ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）4 小题，每小题5 分，共 20 分 .把答案填写在答题纸相应位置上13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力 .假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到 2000 次的概率为 85%，充放电循环次数达到 2500 次的概率为 35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了 2000 次充电，那么他的车能够充电 2500 次的概率为 .14.已知函数 f （x ） e x ae x 在［ 0,1］上不单调，则实数 a 的取值范围为.2*15.数列 a n 满足 a 1 1，a n （2S n 1） 2S n 2（n 2,n N *），则 a n =.16.已知函数 f （x ）（x 2 a ）2 3x 2 1 b ，当时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可）一）必考题：共 60 分 .17. （本小题满分 12 分）在 ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 2bcosC 2a c （Ⅰ）求 B ；（Ⅱ）若 a 2， D 为AC 的中点，且 BD 3，求 c .18. （本小题满分 12 分）如图，三棱柱 A 1B 1C 1 ABC 中， BB 1 平面 ABC ， AB BC ， AB 2，BC 1，1011 A.20202019 B.20202020 C.2021 1010 D.202112.已知双曲线2y1 的左、右焦点分别为 F 1、F2 ，点3 1 2P 在双曲线上，且 F 1PF 2 120 ，F 1PF 2 的平分线交 x 轴于点 A ，则 PA （）A. 55B.2 5 5C.3 55D. 5二、填空题：本题共 1①a2⑤ 4 个极小值35② a ③ a 1, 2 b 0 22⑥1 个极小值点⑦6 个零点④ a 1, 9 b4⑧4 个零点三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤2或 b 01 （Ⅱ）F 是线段CC1上一点，且直线AF 与平面ABB1A1所成角的正弦值为3，求二3 面角F BA1 A 的余弦值.19. （本小题满分12 分）为了研究55 岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100 万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A症状人数为8.5 万，出现B症状人数为9.3 万，出现C 症状人数为 6.5万，其中含AB症状同时出现 1.8 万人，AC症状同时出现1万人，BC症状同时出现2万人，ABC症状同时出现0.5 万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5 万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73 万人.（Ⅰ）依据上述数据试分析55 岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？n(ad bc)2参考公式：K2(a b)(c d)(a c)(b d)20. (本小题满分12 分)1 2 2 1已知以动点P为圆心的⊙ P与直线l: x 相切，与定圆⊙ F：(x 1)2 y2相24 外切.(Ⅰ)求动圆圆心P的轨迹方程C ；(Ⅱ)过曲线C上位于x轴两侧的点M、N (MN 不与x轴垂直)分别作直线l 的垂线，垂足记为M 1、N1 ，直线l 交x轴于点A，记AMM 1、AMN、ANN 1的面积分别为S1、S2、S3 ，且S22 4S1S3 ，证明：直线MN过定点.21. (本小题满分12 分)12已知函数f(x) (x 1) ln( x 1)- ax2 x(a R) .2(Ⅰ)设f (x)为函数f(x) 的导函数，求函数f ( x)的单调区间；(Ⅱ)若函数f(x)在(0, )上有最大值，求实数a 的取值范围.二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任取一题作答 .如果多做，则按所做的第题计分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分 10 分.22. [选修 4-4：坐标系与参数方程 ]Ⅰ）求曲线 C 的普通方程及曲线 D 的直角坐标方程；Ⅱ）设 M 、N 分别为曲线 C 和曲线 D 上的动点，求 MN 的最小值 .23. [选修 4-5：不等式选将 ]设函数 f （x ） x 2 x 3（Ⅰ）求不等式 f （x ） 9的解集；（Ⅱ）过关于 x 的不等式 f （x ） 3m 2 有解，求实数 m 的取值范围一模答案、填空题1, n 113. 14. 15. a n2 16. ①⑥、② ,n 22n 1 2n 3⑤、③⑦、④⑧均可三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得 2sin BcosC 2sin A sinC ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2⋯分⋯在直角坐标系 xOy 中，参数方程x cos （其中 y sin为参数）的曲线经过伸缩变换2x得到曲线 C ，以原点 O 为极点， yx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 D 的极坐标方程为 sin （3 10 2又由sin A sin(B C) sin BcosC cosB sin C ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.4⋯分⋯得2cos B sin C sinC 0 ，因为0 C ，所以sinC0，所以cosB1．因为0 B ，所以2．2B．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6⋯分⋯3uuur uuur uuur（Ⅱ）因为D 为AC 的中点，所以BA BC2BD ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.8⋯分⋯uuu r uuur 2 uuur 2所以BC)2 (2BD)2，即a2 2 c ac12，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯0 ⋯分因为a 2，解方程c22c 8 0，得c 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分18. 解析：(I )连结AB1交A1B于O，连结EO , OC11Q OA OB, AE EB, OE BB1, OE //BB1, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯分⋯21又DC1BB1，DC1// BB1,2OE/ /DC 1 ，因此，四边形DEOC 1为平行四边形，即ED / /OC1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2⋯分⋯Q OC1 面C1AB, ED 面C1AB, DE // 平面C1BA1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.5⋯分⋯z(II )建立空间直角坐标系B xyz ，如图过F 作FH BB1 ，连结AHQ BB1 面ABC,AB 面ABC, AB BB1Q AB BC,BC I BB1, AB 面CBB1C1Q AB 面BAA1 B1 , 面BAA1B1 面CBB1C1,Q FH 面CBB1C1, FH BB1, 面BAA1B1 I 面CBB1C1 BB1, FH 面BAA1B1，即FAH 为直线AF 与平面ABB1 A1 所成角，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.7⋯分⋯11记为，sin , AF 3,AF 3在Rt ACF 中，5 AC 2 CF 2 AF 2 CF 2 9, CF 2,uuur uuurF(0,2,1), A1(2,3,0), BF (0,2,1), BA1 (2,3,0),20．解析：ur 设平面 BAC 1的法向量 m （x, y,z ），ur m ur m uuur BF 2y uuur BA 1 2x3y 0 ur ，取 y 2,m ( 3,2, 4) 0 平面 BAA 1 的法向量 n (0,0,1) ，⋯⋯ur r |cos m,n |4 ⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分 29 1因此，二面角 F BA 1 A 的余弦值 429 .⋯29 19. 解析：设 A ｛出现 A 症状的人｝、 B 示有限集合元素个数）根据数 .1⋯0 ⋯分.1⋯2分⋯出现 B 症状的人｝、 C ｛出现 C 症状的人｝（ card 表 1 可知card AI B 1.8,card AI C 1,card BI C 2,card AI BI C 0.5，所以 card AUBUC card A card B card card AI B card AI C card B I C card=8.5+9.3+6.5 1.8 1 0.5 20 1.3 6.2 0.5 40.51.5失眠人数（万）不失眠人数（万）患病人数（万） 5 7 12 不患病人数（万）15 73 882080100得患病总人数为 20 万人，比例大约为 20%.⋯⋯.4⋯分⋯ ⋯分⋯.9⋯分22100 5 73 15 7k 24.001 3.841.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分12 88 80 20有 95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在 “强关联 ” . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分Ⅰ）设P x,y ，e P 半径为 R ，则R x 1, PF 21R 1 ，所以点 P 到直线 x2 1的距离与到 F 1,0 的距离相等，故点 P 的轨迹方程 C 为 y 2 4x . .4⋯分⋯Ⅱ）设 M x 1, y 1 N x 2, y 2 ，则 M 1 2,y 11 N 12,y2 设直线 MN : x ty n t 22 0 代入 y 2 4x 中得 y 2 4ty 4n 0 y 1 y 2 4t, y 1y 2 4n 0. .6⋯分⋯Q S 1 2 x 1y 1 、 S 3 x 2 4S 1S 31 ty 1 n2ty 2n 1 2y 1y 221t y 1y 2 n2t y 1y2n22211 4nt 24t2nn22x12x 1 2 y 1y 24n214n222t 2 n 1 4n2 又 S 2 11 n y 1 y2 1 1 n y122 2 2 22 2 1 1 2 1 S 22 n 16t 2 16n 4 n 24 2 2 2 S 22 4S 1S 3 8nt 2 4 n 1 t 2 2n2y 24y 1y 22t 2 n . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯0 ⋯分21 1⋯⋯nn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分22 .⋯⋯.8⋯分⋯直线 MN 恒过 1,0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分 221．解析：（Ⅰ） f x ln x 1 ax2 x ．令 h xln x 1 ax ，1 fxhxa ； .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯分⋯x 11o当 a0时，h x 0 ，f 'x在 1, 上递增，无减区间hx 0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.3⋯分⋯2o当a0时，令 hx011 x 1，a令 h x0x11a所以， f 'x 在 1,11 上单调递增，在 11, 上单调递减； .⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯.5⋯aa分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当 a 0 时，f ' x在 0, 上递增， f ' xf ' 0 0在 0,上递增，无最大值，不合题意；x所以，当x0时，h x 2 x 1 ax 2 x 1 a x 1 x 12ax1．取t4211，则t 1 ，且h t t 1 2 a t 10．a a又因为h11h0 0，所以由零点存在性定理，存在x01 1,t ，使得a ah x00；⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分当x0, x0时，h x0 ，即f x 0；当x x0 ,时，h x0 ，即f x0；所以， f x 在0, x0上单调递增，在x0 ,上单调递减，在0,上有最大值f x0 ．综上，0a1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分在第22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用2．B．铅．笔．在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

【附加15套高考模拟试卷】东北三校(哈尔滨师大附中等)2020高三第一次联合考试数学(理)试题含答案

东北三校（哈尔滨师大附中等）2020高三第一次联合考试数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在平面斜坐标系xOy 中，45xOy ∠=︒，点P 的斜坐标定义为“若0102OP x e y e =+u u u v(其中12,e e 分别为与斜坐标系的x 轴、y 轴同方向的单位向量)，则点P 的坐标为()00,x y ”.若()11,0F -，()21,0F ，且动点(),M x y 满足12MF MF =u u u u v u u u u v，则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为( )A．0x -= B．0x += C0y -= D0y +=2．已知函数()1ln ,111,122x x f x x x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若12x x ≠，且()()122f x f x +=，则12x x +的取值范围是（） A ．[)2,+∞ B ．[)1,e -+∞C ．[]32ln 2,-+∞ D ．[]32ln3,-+∞3．已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（） A ．2B．C ．6D．4．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若||8AB =，则线段AB的中点M 到直线10x +=的距离为( ) A ．2B ．4C ．8D ．165．若函数()2sin(2)cos (0)2f x x x πθθ=+⋅<<的图象过点(0,2)，则（）A ．点(,0)4π是()y f x =的一个对称中心 B ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴C ．函数()y f x =的最小正周期是2πD ．函数()y f x =的值域是[0,2]6．设()f x 为定义在R 上的函数,当0x ≥时，()22()x f x x b b =++为常数，则(1)f -= A ．-3B ．-1C ．1D ．37．设直线0x y a -+=与圆222420x y x y ++-+=相交于A ，B 两点，若||2AB =，则a =（）A ．-1或1B ．1或5C ．-1或3D ．3或58．已知()()sin f x A B ωϕ=++ (0,0,)2A πωϕ>><部分图象如图，则()f x 的一个对称中心是（）A ．5,16π⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．5,06π⎛⎫⎪⎝⎭ 9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()121,223n n na S a n S =-++=≥，则下面选项为等差数列的是（） A ．{}1n S +B ．{}1n S -C ．11nS ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭ D ．11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭ 10．已知||()2x f x x =g ，3(log 5)a f =，31(log )2b f =，(3)c f ln =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>11．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若23MN ≥，则k 的取值范围是( )． A ．3[,0]?4-B ．(－∞，34-]∪[0，＋∞) C ．33[,]- D ．2[,0]3-12．已知集合{}2lgsin 9A x y x x==+-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ D ．2,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)

2020年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={2,3,4,5,6,7}，集合A={4,5,7}，B={4,6}，则A∩(∁U B)=()A. {5}B. {2}C. {2,5}D. {5,7}2.已知复数z=2−i1+2i，则z=()A. 4+3iB. 4−3iC. −iD. i3.以下茎叶图记录了甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况．乙队记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以m表示．那么在3次比赛中，乙队平均得分超过甲队平均得分的概率是()A. 35B. 45C. 710D. 9104.若(x2−a)(x+1x)10的展开式x6的系数为30，则a等于()A. 13B. 12C. 1D. 25.用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为()A. 9√3πB. 18πC. 6πD. 3√3π6.已知公差不为零的等差数列{a n}的首项a1=50，a7、a15、a17成等比数列，则使{a n}的前n项和S n取得最大值的n的值为()A. 16B. 17C. 18D. 197.下列说法正确的是()A. 若命题p，￢q都是真命题，则命题“p∧q”为真命题B. 命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0，”C. 命题：“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0或y≠0”D. “x=−1”是“x2−5x−6=0”的必要不充分条件8.设双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)，若双曲线的渐近线被圆M：x2+y2−10x=0所截的两条弦长之和为12，则双曲线的离心率为()A. 54B. 53C. 43D. √529. 如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP =θ，则点P 的坐标是( )A. (cosθ,sinθ)B. (−cosθ,sinθ)C. (sinθ,cosθ)D. (−sinθ,cosθ) 10. 已知双曲线x 2a−3+y 22−a =1的焦点在y 轴上，若焦距为4，则该双曲线渐近线方程为( )A. y =±√3xB. y =±√33xC. y =±√153x D. y =±√155x 11. 设函数f(x)={2x ,x ≤0log 2x ,x >0，若关于x 的方程[f(x)]2−af(x)=0恰有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围为( )A. (0,1]B. (0,1)C. [1,+∞)D. (−∞,1)12. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2，则a 4=( )A. −7B. −9C. 7D. 9二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y =(ax +1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为−2，则a =______．14. 函数f(x)=sinx +cosx 的图象向左平移m(m >0)个单位后，与y =cosx −sinx 的图象重合，则实数m 的最小值为______ ．15. 如图，正方形中ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，沿AE ，EF ，AF 把这个正方形折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为G.若四面体A −EFG 外接球的表面积为6π，则正方形ABCD 的边长为________．16.如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点为F2，点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于两点.若△PF2Q的周长为4，则椭圆C的方程为．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，点D在BC边上，且满足CD=√2AD=3√2，cos∠CAD=2√55．(1)求∠ADC；(2)若AB=√5，求BD．18.某校从高三年级学生中随机抽取40名学生，将他们的月考数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50),[50,60)，…，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图，其中前三段的频率成等比数列．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)若该校高三年级共有学生640人，试估计该校高三年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；(Ⅲ)若从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，记这两名学生成绩在[90,100]内的人数为X，求随机变量X的分布列和期望值．19.过点E(−1,0)的直线l与抛物线C：y2=4x交于A，B两点，F是C的焦点．(1)若线段AB中点的横坐标为3，求|AF|+|BF|的值；(2)求|AF|⋅|BF|的取值范围．20.如图所示，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，线段AC与BD交于点O，E为线段CC1的中点．(1)若点F在线段A1C上，且∠FOA1=90°，求证：OF⊥A1B；(2)若3AB=4AA1，∠ABC=120°，求直线EO与平面A1CD所成角的正弦值．+ax，x>1．21.已知函数f(x)=xlnx(1)若f(x)在(1,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若a=2，求函数f(x)的极小值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ>0,θ∈[0,2π)，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|⋅|OB|=8，点B的轨迹为C2．(1)求C1，C2的极坐标方程．)，求△ABC面积的最小值．(2)设点C的极坐标为(2,π223.已知函数f(x)=|x|+|x+1|．(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)≥2；(Ⅱ)若a，b，c∈R+，函数f(x)的最小值为m，若a+b+c=m，求证：ab+bc+ac≤1．3【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查集合的交集与补集运算，属于基础题．根据题意，求解即可．解：全集U={2,3,4,5,6,7}，B={4,6}，所以∁U B={2,3,5,7}，因为集合A={4,5,7}，所以A∩(∁U B)={5,7}；故选D．2.答案：C解析：解：z=2−i1+2i =(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i5=−i，故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.答案：D解析：解：由茎叶图知，甲的平均成绩为13×(78+82+83)=81；乙的平均成绩为13×(80+83+80+m)=81+m3，又∵81<81+m3，∴m>0，又m∈N，∴m的可能取值集合为{1,2，3，4，5，6，7，8，9}．∴乙队平均得分超过甲队平均得分的概率是P=910．故选：D．由茎叶图中的数据，求出甲、乙二人的平均成绩，列不等式求出m的取值集合，再计算所求的概率值．本题考查了茎叶图与平均数的应用问题，也考查了概率的计算问题，是基础题．4.答案：D解析：解：(x+1x)10展开式的通项公式为：T r+1=C10r⋅x10−r⋅(1x)r=C10r⋅x10−2r；令10−2r=4，解得r=3，所以x4项的系数为C103；令10−2r=6，解得r=2，所以x6项的系数为C102；所以(x2−a)(x+1x)10的展开式中x6的系数为：C103−aC102=30，解得a=2．故选：D．根据题意求出(x+1x )10展开式中含x4项、x6项的系数，得出(x2−a)(x+1x)10的展开式中x6的系数，再列出方程求出a的值．本题考查了利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特定项问题问题，是基础题目．5.答案：A解析：本题考查了圆锥的体积，设圆锥底面的半径为r，圆锥的高为h，由题意得2πr=6π，解得r=3，进而可得ℎ=√62−32=3√3，从而得出结果．解：设圆锥底面的半径为r，圆锥的高为h，由题意得2πr=6π，解得r=3，∴ℎ=√62−32=3√3，∴V圆锥=13Sℎ=13×π×32×3√3=9√3π．故选A．6.答案：B解析：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的性质，考查方程思想和函数思想，以及运算能力，属于中档题．运用等比数列的性质和等差数列的通项公式，解方程可得d，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最大值．解：公差d不为零的等差数列{a n}的首项a1=50，a7、a15、a17成等比数列，可得a152=a7a17，即(50+14d)2=(50+6d)(50+16d)，解得d=−3(d=0舍去)，则前n项和S n=50n+12n(n−1)⋅(−3)=−3n2+103n2=−32(n−1036)2+103224，由于n为整数，17<1036<18，且1036−17<18−1036，则当n=17时，前n项和S n取得最大值，故选：B．7.答案：B解析：本题考查考查命题真假的判断，考查复合命题、全称命题、特称命题、充分条件、必要条件、充要条件等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．在A中，若命题都p，￢q是真命题，则命题“p∧q”为假命题；在B中，利用全称命题的否定是特称命题知B是真命题；在C中，否命题为“若xy≠0，则x≠0且y≠0”；在D中，“x=−1”是“x2−5x−6=0”的充分不必要条件．解：在A中，若命题p，￢q都是真命题，则p真q假，则命题“p∧q”为假命题，故A错误；在B中，命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0，”利用全称命题的否定是特称命题知B是真命题，故B正确；在C中，命题：“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0且y≠0”，故C 错误；在D中，解x2−5x−6=0，得x=−1或x=6，故“x=−1”是“x2−5x−6=0”的充分不必要条件，故D错误．故选：B．8.答案：A解析：解：双曲线的渐近线方程为ax±by=0，圆M：x2+y2−10x=0可化为(x−5)2+y2=25，圆心M(5,0)，半径为5．∵双曲线的渐近线被圆M：x2+y2−10x=0所截的两条弦长之和为12，∴圆心到直线的距离为√25−9=4，∴√a2+b2=4，∴e=ca=54故选：A．确定双曲线的渐近线方程，圆心M(5,0)，半径为5，求出圆心到直线的距离，建立方程，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．9.答案：A解析：本题考查任意角的三角函数的定义，是基础题．直接利用任意角的三角函数的定义求得点P的坐标．解：设P(x,y)，由任意角的三角函数的定义得，sinθ=y ，cosθ=x ． ∴点P 的坐标为(cosθ,sinθ)．故选A ．10.答案：D解析：本题考查双曲线的概念和性质，属于基础题．由条件可得(2−a )+(3−a )=4，求得a ，继而可得结果．解：因为双曲线x 2a−3+y 22−a =1的焦点在y 轴上，所以{2−a >0a −3<0，解得：a <2．因为焦距为4，所以(2−a )+(3−a )=4，解得：a =12．所以双曲线方程为：y 232−x 252=1，其渐近线方程为：y =±√155x ．故选D ．11.答案：A解析：本题考查函数零点与方程根的关系，分段函数，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．画出函数f(x)的图象，数形结合求解是本题的关键．解：函数f(x)={2x,x ≤0log 2x,x >0的图象如图，由方程[f(x)]2−af(x)=0，可得f(x)=0或f(x)=a ，由图可知，f(x)=0只有一个解x =1，要使方程[f(x)]2−af(x)=0恰有三个不同的实数解，则f(x)=a有两个均不为1的解，结合图象可知a∈(0,1]．故选：A．12.答案：C解析：解：数列{a n}的前n项和S n=n2，则a4=S4−S3=42−32=7．故选：C．直接利用已知条件求解即可．本题考查数列的函数的特征，基本知识的考查．13.答案：−3解析：本题考查函数的导数的几何意义，属于基础题．求函数的导数，利用切线的斜率列出方程求解即可．解：曲线y=(ax+1)e x，可得y′=ae x+(ax+1)e x，曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为−2，可得：a+1=−2，解得a=−3．故答案为−3．14.答案：π2解析：解：函数f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，y=cosx−sinx=√2sin(x+3π4)，所以函数至少向左平移π2个单位，即m的最小值为：π2．故答案为：π2，化简两个函数的表达式为正弦函数的形式，按照平移的方法平移，即可得到m的最小值．本题考查两角和的正弦函数以及三角函数图象的平移，考查计算能力．15.答案：2解析：本题考查平面图形的折叠、棱锥的外接球问题，属中档题．依题意折叠后的四面体如图1，将四面体补成如图2所示的长方体，它们具有共同的外接球，即可求半径．解：依题意折叠后的四面体如图1，设正方形边长为a，外接球半径为R，则AG=a，EG=FG=a2，将四面体补成如图2所示的长方体，它们具有共同的外接球．由4πR2=6π得4R2=6.而4R2=AG2+EG2+FG2=32a2，所以6=32a2，解得a=2．故答案为2．16.答案：x24+y23=1解析：本题考查了椭圆的性质及几何意义和圆锥曲线中的综合问题，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，分别求出|F2P|，|F2Q|，结合相切的条件可得|PM|2=|OP|2−|OM|2求出|PQ|，利用△PF2Q的周长为4，可得结论．解：椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，则a=2c，b=√3c，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，∴|PF2|2=(x1−c)2+y12=14(x1−4c)2，∴|PF 2|=2c −12x 1，连接OM ，OP ，由相切条件知：|PM|2=|OP|2−|OM|2=x 12+y 12−3c 2=14x 12，∴|PM|=12x 1，∴|PF 2|+|PM|=2c ，同理可求|QF 2|+|QM|=2c ， ∴|F 2P|+|F 2Q|+|PQ|=4c ． ∵△PF 2Q 的周长为4， ∴c =1，∴a =2，b =√3， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．故答案为x 24+y 23=1．17.答案：解：(1)在△ACD 中，∠CAD ∈(0,π)，∵cos∠CAD =2√55，∴sin∠CAD =√55，∵CD =√2AD =3√2，∴CDAD =√2，∴sin∠CADsin∠DCA =√2，∴sin∠DCA =√1010， ∴cos∠DCA =3√1010(∵∠DCA <∠CAD)，∴cos∠ADC =−cos(∠ACD +∠CAD)=−√22，∴∠ADC =3π4．(2)由(1)得，∠ADB =π4，在△ABD 中，∴5=BD 2+9−2×3×BD ×√22，∴BD =2√2或√2．解析：(1)结合正弦定理，平方关系，两角和的余弦公式可得； (2)由余弦定理可得．本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．18.答案：解：(Ⅰ) 由直方图及题意得(10b)2=0.05×0.20.∴b =0.010，(Ⅱ) 成绩不低于80分的人数估计为(Ⅲ) 样本中成绩在[40,50)内的人数为40×0.005×10=2；成绩在[90,100] 内的人数为40×0.010×10=4，X 的所有可能取值为0，1，2， P(X =0)═115；P(X =1)=815；P(X =2)=25；所以X 的分布列为： X 0 1 2 P11581525所以解析：本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量期望以及分布列的求法，考查计算能力． (Ⅰ)由直方图，直接求解b ，a 即可．(Ⅱ)利用频率转化求解成绩不低于80分的人数．(Ⅲ)样本中成绩在[40,50)内的人数为40×0.005×10=2；成绩在[90,100]内的人数为40×0.010×10=4，X 的所有可能取值为0，1，2，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．19.答案：解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=6，由抛物线的定义可知|AF|=x 1+1，|BF|=x 2+1， ∴|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=8， (2)设直线l 的方程为x =my −1，由{x =my −1y 2=4x ，消y 可得可得y 2−4my +4=0 即y 1+y 2=4m ，y 1y 2=8，则△=16m 2−16>0，可得m 2>1，由抛物线的定义可知|AF|=x 1+1，|BF|=x 2+1，则|AF|⋅|BF|=(x 1+1)(x 2+1)=m 2y 1y 2=4m 2>4，故|AF|⋅|BF|的取值范围为(4,+∞)．解析：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=6，根据抛物线的定义可得|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=8， (2)由抛物线的定义可知||AF|⋅|BF|=(x 1+1)(x 2+1)=m 2y 1y 2，再根据韦达定理和判别式即可求出．本题考查了直线和抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题20.答案：(1)证明：因为ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC ．因为A 1A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以A 1A ⊥BD ．又AC ∩A 1A =A ，AC ⊂平面A 1AC ，A 1A ⊂平面A 1AC ，所以BD ⊥平面A 1AC ．因为OF ⊂平面A 1AC ，故BD ⊥OF ；又∠FOA 1=90°，即OF ⊥OA 1，又BD ∩OA 1=O ，BD ⊂平面A 1BD ，OA 1⊂平面A 1BD ，故OF ⊥平面A 1BD ；而A 1B ⊂平面A 1BD ，故OF ⊥A 1B ；(2)以O 为坐标原点，OC 、OB 所在直线分别为x 、y 轴，过点O作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，设AB =4，AA 1=3，则A 1(−2√3,0,3)，C(2√3,0,0)，D(0,−2,0)，E (2√3,0,32)，则A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4√3,0,−3)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,2,0)，OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,0,32)，设平面A 1CD 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4√3x −3z =0,m⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3x +2y =0,令x =√3，得m ⃗⃗⃗ =(√3,−3,4)为平面A 1CD 的一个法向量；记直线EO 与平面A 1CD 所成角为θ，故sin θ=|OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=4√399133．解析：本题考查了线面垂直的判定和利用空间向量求线面的夹角，是中档题。

2020年东北三省四市教研联合体高考(理科)数学一模试卷含解析

2020年高考（理科）数学第一次模拟测试试卷一、选择题1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，4，6}，则A ∩（∁U B）＝（）A．{2，5，7}B．{3，5，7}C．{3}D．{5，7}2．已知复数，则z的虚部为（）A．﹣1B．.﹣i C．.1D．.i3．2019年某国迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为径，个位数字为叶）．若甲队得分的中位数是86，乙对得分的平均数是88，则x+y＝（）A．170B．10C．172D．124．（1+2x）（1+x）5的展开式中x2的系数为（）A．5B．10C．20D．305．《算数书》竹筒与上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍．其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算器体积的近似公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式相当于圆锥体积公式中的圆周率近似取为（）A．B．C．D．6．已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且a1，a3，a9成等比数列，则S8＝（）A．56B．72C．88D．407．下列说法正确的是（）A．命题“∃x0≤0，2x0≤sin x0”的否定形式是“∀x＞0，2x＞sin x”B．若平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ则α∥βC．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（0＜ξ＜1）＝0.4，则P（ξ＞0）＝0.8D．设x是实数，“x＜0”是“”的充分不必要条件8．已知双曲线的右焦点与圆M：（x﹣2）2+y2＝5的圆心重合，且圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．39．已知A（x A，y A）是圆心为坐标原点O，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交圆于点B（x B，y B），则2y A+y B的最大值为（）A．3B．2C．D．10．从集合{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4}中随机选取一个数记为m，从集合{﹣2，﹣1，2，3，4}中随机选取一个数记为n，则在方程表示双曲线的条件下，方程表示焦点在y轴上的双曲线的概率为（）A．B．C．D．11．已知函数，若关于x的方程[f（x）]2﹣2af（x）+3a＝0有六个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（3，4）D．（3，4]12．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足，且当x∈[0，2）时，f（x）＝﹣x2+2x．设f（x）在[2n﹣2，2n]上的最大值为，且数列{a n}的前n项和为S n．若对于任意正整数n不等式k（S n+1）≥2n﹣9恒成立，则实数k的取值范围为（）A．[0，+∞）B．C．D．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分.13．若曲线f（x）＝ae x﹣lnx（其中常数a≠0）在点（1，f（x））处的切线的斜率为1，则a＝．14．若函数的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象．则g（x）在区间上的最小值为．15．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O．剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的外接球的体积为．16．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，如图AB是过F1且垂直于长轴的弦，则△ABF2的内切圆方程是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.17．在△ABC中，M是BC边上一点，．（1）求sin B；（2）若，求MC．18．某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数，以下茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”．（1）从这20人中任取3人，求恰有1人成绩“优秀”的概率；（2）根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，根据频率分布直方图解决下面的问题．组别分组频数频率频率/组距1[60，70）2[70，80）3[80，90）4[90，100]（ⅰ）估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（ⅱ）若从所有员工中任选3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，求X的分布列和数学期望．分数19．已知函数C：y2＝4x的焦点为F，过C上一点P（1，t）（t＞0）作两条倾斜角互补的直线分别C交于M，N两点．（1）证明：直线MN的斜率是﹣1；（2）若8|MF|，|MN|，|NF|成等比数列，求直线MN的方程．20．如图，在直角△AOB中，OA＝OB＝2，△AOC通过△AOB以直线OA为轴顺时针旋转120°得到（∠BOC＝120°），点D为斜边AB上一点，点M为线段BC上一点，且．（1）证明：OM⊥平面AOB；（2）当直线MD与平面AOB所成的角取最大值时，求二面角B﹣CD﹣O的正弦值．21．已知函数是f（x）的导数．（1）当a＝1时，令h（x）＝f'（x）﹣x+lnx，h'（x）为h（x）的导数，证明：h'（x）在区间存在唯一的极小值点；（2）已知函数在上单调递减，求a的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在22/23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．点p（x0，y0）在曲线C上，点Q（m，n）满足．（Ⅰ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求动点Q的轨迹C的极坐标方程；（Ⅱ）点A、B分别是曲线C上第一象限，第二象限上两点，且满足，求的值．[选修4-5不等式选将]23．已知关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥|m﹣2|+m有解．（1）求实数m的最大值t；（2）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c＝t．证明a3b+b3c+c3a≥3abc参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，4，6}，则A ∩（∁U B）＝（）A．{2，5，7}B．{3，5，7}C．{3}D．{5，7}【分析】进行补集和交集的运算即可．解：U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，4，6}，∴∁U B＝{3，5，7}，∴A∩（∁U B）＝{3，5，7}．故选：B．2．已知复数，则z的虚部为（）A．﹣1B．.﹣i C．.1D．.i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵＝，∴z的虚部为﹣1．故选：A．3．2019年某国迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为径，个位数字为叶）．若甲队得分的中位数是86，乙对得分的平均数是88，则x+y＝（）A．170B．10C．172D．12【分析】由茎叶图中的数据，求出甲队得分的中位数和乙队得分的平均数，再计算x+y 的值．解：由茎叶图知，若甲队得分的中位数是86，则x＝6；乙队得分的平均数是×（78+82+80+y+89+91+93+97）＝88，解得y＝6；所以x+y＝6+6＝12．故选：D．4．（1+2x）（1+x）5的展开式中x2的系数为（）A．5B．10C．20D．30【分析】写出二项式（1+x）5的通项，分别求出含x2的项与含x的项，再由多项式乘多项式求解．解：（1+x）5的展开式的通项为T r+1＝x r．取r＝2，得T3＝x2，取r＝1，得T2＝x．∴（1+2x）（1+x）5的展开式中x2的系数为+2＝20．故选：C．5．《算数书》竹筒与上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍．其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算器体积的近似公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式相当于圆锥体积公式中的圆周率近似取为（）A．B．C．D．【分析】设圆锥底面圆的半径r，高h，写出底面周长L，写出圆锥体积，代入近似公式即可求出π的近似值．解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，依题意，L＝2πr，＝，∴π＝，即π＝．即π的近似值为．故选：C．6．已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且a1，a3，a9成等比数列，则S8＝（）A．56B．72C．88D．40【分析】设公差为d，且d不为0，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得公差d，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．解：公差d不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且a1，a3，a9成等比数列，可得a32＝a1a9，即有（2+2d）2＝2（2+8d），解得d＝2（0舍去），则S8＝8a1+28d＝16+56＝72，故选：B．7．下列说法正确的是（）A．命题“∃x0≤0，2x0≤sin x0”的否定形式是“∀x＞0，2x＞sin x”B．若平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ则α∥βC．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（0＜ξ＜1）＝0.4，则P（ξ＞0）＝0.8D．设x是实数，“x＜0”是“”的充分不必要条件【分析】在A中，由特称命题的否定可知：命题“∃x0≤0，2x0≤sin x0”的否定形式是“∀x ≤0，2x＞sin x”；在B中，α与β相交或平行；在C中，P（ξ＞0）＝0.4+0.4+0.1＝0.9；在D中，设x是实数，则“x＜0”⇒“”，“”⇒“x＜0或x＞1”．解：在A中，由特称命题的否定可知：命题“∃x0≤0，2x0≤sin x0”的否定形式是“∀x≤0，2x＞sin x”，故A错误；在B中，若平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，如右图的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，平面BCC1B1⊥平面ABCD，平面ADD1A1∥平面BCC1B1；平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面BCC1B1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面BCC1B1＝BB1．故B错误；在C中，∵随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），∴正态曲线关于x＝1对称，∵P（0＜ξ＜1）＝0.4，∴P（1＜ξ＜2）＝0.4，∴P（ξ＞2）＝0.5﹣0.4＝0.1，∴P（ξ＞0）＝0.4+0.4+0.1＝0.9，故C错误；在D中，设x是实数，则“x＜0”⇒“”，“”⇒“x＜0或x＞1”，∴“x＜0”是“”的充分不必要条件，故D正确．故选：D．8．已知双曲线的右焦点与圆M：（x﹣2）2+y2＝5的圆心重合，且圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．3【分析】依题意可得c＝2，DF2＝＝．求得a，即可得则双曲线的离心率．解：∵双曲线的右焦点与圆M：（x﹣2）2+y2＝5的圆心重合，∴c＝2，∵圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则圆心（2，0）到渐近线距离DF2＝又DF2＝．∴b＝，a＝则双曲线的离心率为．故选：A．9．已知A（x A，y A）是圆心为坐标原点O，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交圆于点B（x B，y B），则2y A+y B的最大值为（）A．3B．2C．D．【分析】设A（cosθ，sinθ），则由任意角的三角函数的定义可得B（，），故2y A+y B＝2sinθ+，再利用两角和与差的三角函数公式及辅助角公式化简即可求得y A+y B的最大值．解：设A（cosθ，sinθ），则B（，），∴2y A+y B＝2sinθ+＝2sinθ+sinθcos+cosθsin＝＝＝，∴2y A+y B的最大值为，故选：C．10．从集合{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4}中随机选取一个数记为m，从集合{﹣2，﹣1，2，3，4}中随机选取一个数记为n，则在方程表示双曲线的条件下，方程表示焦点在y轴上的双曲线的概率为（）A．B．C．D．【分析】求得方程表示双曲线共有N＝3×3+4×2＝17种情况．方程表示焦点在y轴上的双曲线共有N0＝3×3＝9种情况．利用条件概率公式即可求解．解：若方程表示双曲线，则mn＜0，共有N＝3×3+4×2＝17种情况．若方程表示焦点在y轴上的双曲线则m＜0．n＞0，共有N0＝3×3＝9种情况．则概率为p＝．故选：A．11．已知函数，若关于x的方程[f（x）]2﹣2af（x）+3a＝0有六个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（3，4）D．（3，4]【分析】令f（x）＝t，则g（t）＝t2﹣2at+3a，作f（x）的图象，观察图象可知，函数g（t）在（2，4）有两不等实根或者其中一根为4，另一根在（2，4）内，由二次函数的根的分布列出不等式组得解．解：令f（x）＝t，则g（t）＝t2﹣2at+3a，作f（x）的图象如下，设g（t））＝t2﹣2at+3a的零点为t1，t2，由图可知，要满足题意，则需g（t）＝t2﹣2at+3a在（2，4）有两不等实根或者其中一根为4，另一根在（2，4）内，故或，解得3＜a＜或a＝．即实数a的取值范围是：（3，]．故选：B．12．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足，且当x∈[0，2）时，f（x）＝﹣x2+2x．设f（x）在[2n﹣2，2n]上的最大值为，且数列{a n}的前n项和为S n．若对于任意正整数n不等式k（S n+1）≥2n﹣9恒成立，则实数k的取值范围为（）A．[0，+∞）B．C．D．【分析】由函数的周期变化知，最大值也成周期变化，求出数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，得到前n项和为S n的表达式，进而求解结论．解：当x∈[0，2）时，f（x）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，则f max（x）＝1．又∵设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n，∴a1＝1，又∵f（x+2）＝2f（x），则f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为f（x）在[2n﹣4，2n﹣2）上的最大值的2；∴a n＝2a n﹣1，数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列；∴数列{a n}的前n项和为S n＝＝2n﹣1；∴k（S n+1）≥2n﹣9恒成立⇒k≥＝恒成立；记{}为数列{b n}，∵﹣＝；当n≤5时，﹣＞0，即数列{b n}递增；当n＞5时，﹣＜0，即数列{b n}递减；且b5＝＝，b6＝＝＞；∴数列{b n}的最大值为：．故实数k的取值范围为：[，+∞）．故选：C．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分.13．若曲线f（x）＝ae x﹣lnx（其中常数a≠0）在点（1，f（x））处的切线的斜率为1，则a＝．【分析】根据斜率即为切点处的导数，先求出x＝1处的导数，令其等于1，即可解方程求出a的值．解：∴f′（1）＝ae﹣1＝1∴．故答案为：．14．若函数的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象．则g（x）在区间上的最小值为．【分析】先由辅助角公式化简函数f（x）得，再由图象变换法则可得，最后由给定区间结合三角函数的图象及性质求得最小值．解：，函数f（x）向左平移个单位得到函数，∵，∴，∴，即g（x）在区间上的最小值为．故答案为：．15．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O．剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的外接球的体积为8π．【分析】翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2的正三棱锥O﹣ACD，由此能求出以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的外接球表面积．解：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2的正三棱锥O﹣ACD，如图，取CD中点E，连结AE，作OF⊥平面ABC，交AE于F，则F是△ACD的重心，由题意知AE＝＝2，AF＝＝，OF＝＝，设G为四面体的外接球的球心、球半径为R，则G在直线OF上，且OG＝AG＝R，∴由AG2＝AF2+GF2，得：R2＝（）2+（﹣R）2，解得R＝，∴以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的外接球表面积为V＝πR3＝8π．故答案为：8π．16．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，如图AB是过F1且垂直于长轴的弦，则△ABF2的内切圆方程是．【分析】设△ABF2内切圆的半径为r，由椭圆的方程分析可得a、b、c的值，由勾股定理分析可得|AF2|2﹣|AF1|2＝16，|AF1|+|AF2|＝2a＝2，解可得|AF1|与|AF2|的值，计算可得△ABF2的周长与面积，由内切圆的性质计算可得内切圆半径，进一步求得圆心坐标，则答案可求．解：设△ABF2内切圆的半径为r，椭圆的方程为，其中a＝，b＝，c＝，则|F1F2|＝2c＝4，AB与x轴垂直，则有|AF2|2﹣|AF1|2＝16，|AF1|+|AF2|＝2a＝，解得：|AF1|＝，|AF2|＝，△ABF2的周长l＝|AF2|+|BF2|+|AB|＝，其面积S＝×|AB|×|F1F2|＝，由内切圆的性质可知，有r×＝，解得r＝．∴圆心横坐标为﹣2+，即圆心坐标为（，0），则△ABF2的内切圆方程是，故答案为：．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.17．在△ABC中，M是BC边上一点，．（1）求sin B；（2）若，求MC．【分析】（1）由三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和，设α，β分别为已知角，所以B角用已知角表示，再由题意可得α，β的正弦值，余弦值，由两角差的正弦公式展开可得B的正弦值．（2）由向量的关系，可得线段MC，MB的关系，由（1）及由正弦定理可得AM的值，再由余弦定理可得MC的值．解：（1）由题意可得设∠BAM＝α，∠AMC＝β，由题意可得sinα＝sin45°＝，cosα＝，B＝β﹣α，cosβ＝，所以sinβ＝，所以sin B＝sin（β﹣α）＝sinβcosα﹣cosβsinα＝﹣＝；（2）因为＝，设MC＝x，BM＝2x，在△ABM中，由正弦定理可得＝，所以＝，所以AM＝x，因为AC2＝AM2+MC2﹣2AM•MC•cosβ，所以42＝x2+x2﹣2x，解得MC＝x＝4，所以MC的值为4．18．某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数，以下茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”．（1）从这20人中任取3人，求恰有1人成绩“优秀”的概率；（2）根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，根据频率分布直方图解决下面的问题．组别分组频数频率频率/组距1[60，70）2[70，80）3[80，90）4[90，100]（ⅰ）估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（ⅱ）若从所有员工中任选3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，求X的分布列和数学期望．分数【分析】（1）从这20人中任取3人，设恰有1人成绩“优秀”为事件A，利用古典概型能求出从这20人中任取3人，恰有1人成绩“优秀”的概率．（2）（ⅰ）根据这20人的分数补全频率分布表，由频率分布表作出频率分布直方图，由此能估计所有员工的平均分数．（ⅱ）从所有员工中任选3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，则X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，），由此能求出X的分布列和数学期望．解：（1）从这20人中任取3人，设恰有1人成绩“优秀”为事件A，则从这20人中任取3人，恰有1人成绩“优秀”的概率：P（A）＝＝．（2）（ⅰ）根据这20人的分数补全频率分布表：组别分组频数频率频率/组距1[60，70）20.10.012[70，80）60.30.033[80，90）80.40.044[90，100]40.20.02由频率分布表作出频率分布直方图：估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）为：65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.2＝82．（ⅱ）从所有员工中任选3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，则X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，），P（X＝0）＝（）3＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝（）3＝，∴X的分布列为：X0123P∵X～B（3，），∴数学期望E（X）＝3×＝．19．已知函数C：y2＝4x的焦点为F，过C上一点P（1，t）（t＞0）作两条倾斜角互补的直线分别C交于M，N两点．（1）证明：直线MN的斜率是﹣1；（2）若8|MF|，|MN|，|NF|成等比数列，求直线MN的方程．【分析】（1）易求P（1，2），设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意可知，k MP+k NP ＝0，利用斜率公式代入化简得y1+y2＝﹣4，所以＝＝﹣1；（2）由（1）可设直线l的方程为：y＝﹣x+m，所以，|MF|＝x1+1，|NF|＝x2+1，由题意可知|MN|2＝8|MF||NF|，即，将直线l与抛物线C联立，利用韦达定理代入上式得：m2﹣2m+1＝0，故m＝1，从而得到直线l的方程．解：（1）∵点P在抛物线C：y2＝4x上，∴t＝2，∴P（1，2），设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意可知，k MP+k NP＝0，∴，∴，∴，∴y1+y2＝﹣4，∴＝＝﹣1；（2）由（1）可设直线l的方程为：y＝﹣x+m，∴，|MF|＝x1+1，|NF|＝x2+1，∵8|MF|，|MN|，|NF|成等比数列，∴|MN|2＝8|MF||NF|，∴，即①，将直线l与抛物线C联立，可得：x2﹣（2m+4）x+m2＝0，∴△＝（2m+4）2﹣4m2＝16m+16＞0，∴m＞﹣1，且x1+x2＝2m+4，，代入①式得：（2m+4）2﹣8m2﹣4（2m+4）﹣4＝0，化简得：m2﹣2m+1＝0，∴m＝1，满足m＞﹣1，∴直线l的方程为：y＝﹣x+1．20．如图，在直角△AOB中，OA＝OB＝2，△AOC通过△AOB以直线OA为轴顺时针旋转120°得到（∠BOC＝120°），点D为斜边AB上一点，点M为线段BC上一点，且．（1）证明：OM⊥平面AOB；（2）当直线MD与平面AOB所成的角取最大值时，求二面角B﹣CD﹣O的正弦值．【分析】（1）△OBM中，由余弦定理可得：OM．再利用勾股定理对逆定理可得：OM ⊥OB．由题意可知：OA⊥平面OBC，进而得出结论；（2）由（1）可得：OM⊥平面AOB．OD是斜线MD在平面OAB的射影．∠ODM是直线MD与平面AOB所成的角，取取最大值时，OD⊥AB，垂足为D．可得点D为线段AB的中点．建立如图所示对空间直角坐标系．分别求出平面OCD的法向量为，平面CDB的法向量，利用向量的夹角公式即可得出．【解答】（1）证明：△OBM中，由余弦定理可得：OM2＝22+﹣2×2××cos30°＝，解得OM＝．∴OM2+OB2＝MB2．∴OM⊥OB．由题意可知：OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，∴OA⊥平面OBC，∴OA⊥OM．又OB∩OA＝O，∴OM⊥平面AOB．（2）解：由（1）可得：OM⊥平面AOB．∴OD是斜线MD在平面OAB的射影．∴∠ODM是直线MD与平面AOB所成的角，取取最大值时，OD⊥AB，垂足为D．∴点D为线段AB的中点．建立如图所示对空间直角坐标系．O（0，0，0），B（0，2，0），D（0，1，1），C（，﹣1，0），＝（，﹣1，0），＝（0，1，1），设平面OCD的法向量为＝（x，y，z），则•＝•＝0，∴x﹣y＝0，y+z＝0，取＝（1，，﹣），同理可得平面CDB的法向量＝（，1，1）．∴cos＜，＞＝＝．∴二面角B﹣CD﹣O的正弦值为．21．已知函数是f（x）的导数．（1）当a＝1时，令h（x）＝f'（x）﹣x+lnx，h'（x）为h（x）的导数，证明：h'（x）在区间存在唯一的极小值点；（2）已知函数在上单调递减，求a的取值范围．【分析】（1）把a＝1代入后，先求出函数h（x）的解析式，然后对其求导，结合导数与单调性及极值的关系可证；（2）结合函数单调性与导数的关系及函数的性质，零点判定定理进行求解即可．解：（1）a＝1时，h（x）＝lnx﹣sin x，x＞0，，令g（x）＝，则，当x时，g′（x）单调递增，且g′（1）＜0，＞0，故g′（x）在（0，）上有唯一的零点，设为a，当x∈（0，a）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（a，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，故g（x）在（0，）上有唯一的极小值点即h′（x）在（0，）上有唯一的极小值点，（2）设k（x）＝x﹣sin x，x≥0，k′（x）＝1﹣cos x≥0，所以k（x）在（0，+∞）上单调递增，k（x）≥k（0）＝0，即x≥sin x，从而sin2x≤2x，因为在上单调递减，所以m（x）＝2ax﹣sin2x﹣≤0在上恒成立，令p（x）＝m′（x）＝2a﹣2cos2x﹣4x2，则p′（x）＝4sin2x﹣8x＝4sin2x﹣4×（2x）≤0，所以m′（x）在上单调递减，m′（x）max＝2a﹣2，当a≤1时，m′（x）≤0，m（x）在上单调递减，m（x）≤m（0）＝0，符合题意；当a＞1时，m′（x）在上单调递减，且m′（0）＝2a﹣2＞0，所以一定存在，当0≤x＜x0时，m′（x）＞0即m（x）在[0，x0）上单调递增，m（x0）＞m（0）＝0与题意不符合，舍去．故a的范围（﹣∞，1]．（二）选考题：共10分，请考生在22/23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．点p（x0，y0）在曲线C上，点Q（m，n）满足．（Ⅰ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求动点Q的轨迹C的极坐标方程；（Ⅱ）点A、B分别是曲线C上第一象限，第二象限上两点，且满足，求的值．【分析】（Ⅰ）推导出x2+y2＝1（x≠﹣1），，从而＝1，（m≠﹣2），由此能求出动点Q的轨迹C的极坐标方程．（Ⅱ）ρ2＝，设A（ρ1，θ1），B（），＝，＝＝，由此能求出．解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为（t为参数）．点p（x0，y0）在曲线C上，∴x2+y2＝（）2+（）2＝1，∵∈（﹣1，1]，∴x≠﹣1，∴x2+y2＝1（x≠﹣1），∵点Q（m，n）满足．∴，∴＝1，（m≠﹣2），∴动点Q的轨迹C的极坐标方程为：3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ＝12．（﹣π＜θ＜π）．（Ⅱ）ρ2＝，设A（ρ1，θ1），B（），＝，＝＝，∴＝+＝+＝．[选修4-5不等式选将]23．已知关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥|m﹣2|+m有解．（1）求实数m的最大值t；（2）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c＝t．证明a3b+b3c+c3a≥3abc【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，可得函数的最大值，再分类讨论即可求出m 的取值范围，可得t的值；（2）要证a3b+b3c+c3a≥3abc，只要证++≥3，根据基本不等式即可证明．解：（1）f（x）＝|x+1|﹣|x﹣3|＝，∴当m≥3时，f（x）的最大值为4，关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥|m﹣2|+m有解等价于f（x）max＝4≥|m﹣2|+m，当m≥2时，上述不等式转化为4≥m﹣2+m，解得2≤m≤3，当m＜2时，上述不等式转化为4≥﹣m+2+m，解得m＜2，综上所述m的取值范围为m≤3，故实数m的最大值t＝3；证明：（2）根据（1）可得a，b，c均为正实数，且满足a+b+c＝3，要证a3b+b3c+c3a≥3abc，只要证++≥3，∵+++（a+b+c）＝（+a）+（+b）+（+c）≥2+2+2＝2（a+b+c），∴++≥3，那么a3b+b3c+c3a≥3abc．。

东北三省三校2020届高三数学第一次联合模拟考试试题理含解析

9。已知偶函数的图象经过点，且当时,不等式恒成立，则使得成立的的取值范围为（）
A。 B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先由题意，得到点也在函数图象上，函数在上为减函数，将不等式化为，根据函数单调性，即可得出结果.
【详解】根据题意, 为偶函数, 且经过点 ,则点也在函数图象上，
【详解】不等式组所表示的平面区域如图所示：
表示过可行域内的点与
点的直线的斜率的最大值，
由，解得，
这时，
故目标函数的最大值是。
故选D。
【点睛】本题考查非线性目标函数最优解，对目标函数的几何意义理解是解题的关键,属于基础题.
11. 的内角，，的对边为，， ,若 ,且的面积为 ,则的最大值为( )
又当时，不等式恒成立，
则函数在上为减函数,
因为，所以
解得或 .
故选：C
【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性的概念即可，属于常考题型。
10.已知实数，满足不等式组，目标函数的最大值是（）
A. B. C。 D。
【答案】D
【解析】
【分析】
作出可行域，利用目标函数的几何意义，即可求出目标函数最大值。
∴ ,∴ ,故选B。
【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题。
2.设 : ，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ )
A。 B. C。 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
解不等式,求出命题，成立的解集，把是的必要不充分条件转化为解集间的集合关系，即可求出实数的取值范围.

东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中)2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试题(简答)

2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0322<--=x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=11x xB 则=)(B AC R （） A.),3()1,(+∞--∞ B.),3[]1,(+∞--∞ C.),3[+∞ D.),1[]1,(+∞--∞ 2.已知复数),(R b a bi a z ∈+=，1+i z是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为（）A.0=+b aB.0=-b aC.02=-b aD.02=+b a 3.已知βα,是两个不同的平面，直线α⊂m ，下列命题中正确的是（） A.若βα⊥，则β∥m B.若βα⊥，则β⊥m C.若β∥m ，则βα∥ D.若β⊥m ，则βα⊥4.大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取13=n ，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（）A.9B.10C.11D.125.已知e c e b a πlog ,log ,3ln 3===（注：e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是（）A.c a b <<B.a b c <<C.a c b <<D.c b a << 6.已知在边长为3的等边ABC ∆的中，DC BD 21=，则AC AD ⋅=（） A.6 B.9 C.12 D.6-7.如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，⊥ED 平面ABCD ，⊥FC 平面ABCD ，22==FC ED ，则四面体BEF A -的体积为（）A.31 B.32 C.1 D.34 8.已知函数x x x f 2cos 32sin )(+=的图像向右平移)20(πϕϕ<<个单位后，其图像关于y 轴对称，则=ϕ（）A.12π B.6π C.3π D.125π 9.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为)0,(c F ，上顶点为),0(b A ，直线ca x 2=上存在一点P 满足0)(=⋅+AP FA FP ，则椭圆的离心率取值范围为（）A.)1,21[B.)1,22[C.)1,215[-D.]22,0( 10.已知定义在R 上的函数)(x f ，满足)1()1(x f x f -=+，当),1[+∞∈x 时⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈--=),3[),21(2)3,1[,21)(x x f x x x f ，则函数)(x f 的图像与函数⎩⎨⎧<-≥=1),2ln(1,ln )(x x x x x g 的图像在区间]7,5[-上所有交点的横坐标之和为（）A.5B.6C.7D.911.已知数{}n a 列的通项公式为22+=n a n ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前2020项和为（）A.20201011 B.20202019 C.20212020 D.2021101012.已知双曲线1322=-y x 的左、右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，且 12021=∠PF F ，21PF F ∠的平分线交x 轴于点A ，则=PA （）A.55 B.552 C.553 D.5 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为 .14.已知函数xx ae e x f -+=)(在]1,0[上不单调，则实数a 的取值范围为 .15.数列{}n a 满足11=a ，),2(2)12(*2N n n S S a n n n ∈≥=-，则n a = .16.已知函数b x a x x f ----=13)()(222，当时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可） ①21-≤a ②2523<<a ③02,1<<-=b a ④249,1-<<-=b a 或0=b ⑤4个极小值点 ⑥1个极小值点 ⑦6个零点 ⑧4个零点三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c a C b +=2cos 2（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=a ，D 为AC 的中点，且3=BD ，求c . 18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC C B A -111中，⊥1BB 平面ABC ，BC AB ⊥，2=AB ，1=BC ，31=BB ，D 是1CC 的中点，E 是AB 的中点.（Ⅰ）证明：DE ∥平面11BA C ；（Ⅱ）F 是线段1CC 上一点，且直线AF 与平面11A ABB 所成角的正弦值为31，求二面角A BA F --1的余弦值. 19.（本小题满分12分）为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A 症状人数为8.5万，出现B 症状人数为9.3万，出现C 症状人数为6.5万，其中含AB 症状同时出现1.8万人，AC 症状同时出现1万人，BC 症状同时出现2万人，ABC 症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人.（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？参考数据如下：参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=20.（本小题满分12分）已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线21:-=x l 相切，与定圆⊙：F 41)1(22=+-y x 相外切.（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点N M 、（MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为11N M 、，直线l 交x 轴于点A ，记11ANN AMN AMM ∆∆∆、、的面积分别为321S S S 、、，且31224S S S =，证明：直线MN 过定点.21.（本小题满分12分）已知函数)(21-1ln()1()(2R a x ax x x x f ∈-++=）. （Ⅰ）设)(x f '为函数)(x f 的导函数，求函数)(x f '的单调区间；（Ⅱ）若函数)(x f 在),0(+∞上有最大值，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos y x （其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2：ϕ得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2103)4sin(=+πθρ. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设N M 、分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求MN 的最小值.23.[选修4-5：不等式选将] 设函数32)(-++=x x x f （Ⅰ）求不等式9)(>x f 的解集；（Ⅱ）过关于x 的不等式23)(-≤m x f 有解，求实数m 的取值范围.答案：一、选择题1B ；2B ；3D ；4A ；5B ；6A ；7B ；8D ；9C ；10C ；11D ；12B 二、填空题13.177; 14。

2020届东北三省名校联考新高考第一次摸底考试数学(理)试题

2020届东北三省名校联考新高考第一次摸底考试理科数学试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（每题5分，共60分） 1．设全集U=R ，集合}{2A=|log 2,{|(3)(1)0}x x B x x x ≤=-+≥，则()U C B A =（） A ．(],1-∞-B ．(](),10,3-∞-⋃C ．(]0,3D ．()0,32．00cos1522-的值为（）A B ．12 C ． D ．12-3. 已知3a e =，33log 5log 2b =-，c =a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．c a b >>D ．c b a >>4.已知,2sin cos R ααα∈-=，则tan(2)4πα-=（）A ．43 B ．7- C ．34- D ．175．要得到函数3sin2y x =的图象，可将函数3cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（） A ．沿x 轴向左平移8π个单位长度 B ．沿x 轴向右平移8π个单位长度 C ．沿x 轴向左平移4π个单位长度 D ．沿x 轴向右平移4π个单位长度6. 已知函数()tan()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+≠<，点3π（，0）和56π（，0）是其相邻的两个对称中心，且在区间233ππ（，）内单调递减，则ϕ=（）A ．3π B ．6π C ．3π- D ．6π- 7.若1x 是方程4xxe =的解，2x 是方程ln 4x x =的解，则12x x +等于（） A ．4B ．2C ．eD ．18.已知函数()2()12sin 06f x x πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为单调递减函数，则ω的最大值是（） A ．12 B ．35 C ．23 D ．349.在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于13BC ,则sin A （）A ．310B C D 10. 已知方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为（）A ．1ln 2,84⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1ln 2,164⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3ln 22,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．122,4n e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 11. ．已知()22ln 3f x x a x =++，若[)()1212,4,,x x x x ∀∈+∞≠，[]()()21122,3,2f x f x a m x x -∃∈<-，则m 的取值范围是（）A ．194m ≥-B ．m ≥C ．m ≥D ．m ≤12.若函数11()ln()2x x f x ee --=+-与()sin2xg x π=图像的交点为11)x y （，,22)x y （，，…，)m m x y （，，则1mi i x =∑（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8二、填空题（每题5分，共20分） 3270cos 250+的值等于_________14. 已经函数()()2(2)sin 13f x x x x x =+++-在[]4,2-上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=______15. 当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =+取得最小值，则sin 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 16. 关于函数2()ln f x x x=+,下列说法正确的是______（填上所有正确命题序号）（1）2x =是()f x 的极大值点；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点；（3）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立；（4）对任意两个正实数12,x x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>三、解答题（共70分）17. （10分）已知函数()2|1|||()f x x x a a =+--∈R ．（Ⅰ）当2a =时，求不等式()2f x x ≤+的解集；（Ⅱ）设函数()()3||g x f x x a =+-，当1a =时，函数()g x 的最小值为t ，且21(0,0)2t m n m n+=>>，求m n +的最小值．18. （12分）设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知cos (2)cos a B c b A =-．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线AM =，求ABC ∆的面积．19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222((1)(0)x y r r +-=>，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若直线l 与曲线C 相切。

东北三省三校2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试题 (含评分细则)

2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0322<--=x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=11x xB 则=)(B AC R Y （） A.),3()1,(+∞--∞Y B.),3[]1,(+∞--∞Y C.),3[+∞ D.),1[]1,(+∞--∞Y 2.已知复数),(R b a bi a z ∈+=，1+i z是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为（）A.0=+b aB.0=-b aC.02=-b aD.02=+b a 3.已知βα,是两个不同的平面，直线α⊂m ，下列命题中正确的是（） A.若βα⊥，则β∥m B.若βα⊥，则β⊥m C.若β∥m ，则βα∥ D.若β⊥m ，则βα⊥4.大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取13=n ，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（）A.9B.10C.11D.125.已知e c e b a πlog ,log ,3ln 3===（注：e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是（）A.c a b <<B.a b c <<C.a c b <<D.c b a << 6.已知在边长为3的等边ABC ∆的中，21=，则⋅=（） A.6 B.9 C.12 D.6-7.如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，⊥ED 平面ABCD ，⊥FC 平面ABCD ，22==FC ED ，则四面体BEF A -的体积为（）A.31 B.32 C.1 D.34 8.已知函数x x x f 2cos 32sin )(+=的图像向右平移)20(πϕϕ<<个单位后，其图像关于y 轴对称，则=ϕ（）A.12π B.6π C.3π D.125π 9.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为)0,(c F ，上顶点为),0(b A ，直线ca x 2=上存在一点P 满足0)(=⋅+，则椭圆的离心率取值范围为（）A.)1,21[B.)1,22[C.)1,215[-D.]22,0( 10.已知定义在R 上的函数)(x f ，满足)1()1(x f x f -=+，当),1[+∞∈x 时⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈--=),3[),21(2)3,1[,21)(x x f x x x f ，则函数)(x f 的图像与函数⎩⎨⎧<-≥=1),2ln(1,ln )(x x x x x g 的图像在区间]7,5[-上所有交点的横坐标之和为（）A.5B.6C.7D.911.已知数{}n a 列的通项公式为22+=n a n ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前2020项和为（）A.20201011 B.20202019 C.20212020 D.2021101012.已知双曲线1322=-y x 的左、右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，且ο12021=∠PF F ，21PF F ∠的平分线交x 轴于点A ，则=PA （）A.55 B.552 C.553 D.5 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为 .14.已知函数xx ae e x f -+=)(在]1,0[上不单调，则实数a 的取值范围为 .15.数列{}n a 满足11=a ，),2(2)12(*2N n n S S a n n n ∈≥=-，则n a = .16.已知函数b x a x x f ----=13)()(222，当时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可） ①21-≤a ②2523<<a ③02,1<<-=b a ④249,1-<<-=b a 或0=b ⑤4个极小值点 ⑥1个极小值点 ⑦6个零点 ⑧4个零点三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c a C b +=2cos 2（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=a ，D 为AC 的中点，且3=BD ，求c . 18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC C B A -111中，⊥1BB 平面ABC ，BC AB ⊥，2=AB ，1=BC ，31=BB ，D 是1CC 的中点，E 是AB 的中点.（Ⅰ）证明：DE ∥平面11BA C ；（Ⅱ）F 是线段1CC 上一点，且直线AF 与平面11A ABB 所成角的正弦值为31，求二面角A BA F --1的余弦值. 19.（本小题满分12分）为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A 症状人数为8.5万，出现B 症状人数为9.3万，出现C 症状人数为6.5万，其中含AB 症状同时出现1.8万人，AC 症状同时出现1万人，BC 症状同时出现2万人，ABC 症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人.（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？参考数据如下：参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=20.（本小题满分12分）已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线21:-=x l 相切，与定圆⊙：F 41)1(22=+-y x 相外切.（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点N M 、（MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为11N M 、，直线l 交x 轴于点A ，记11ANN AMN AMM ∆∆∆、、的面积分别为321S S S 、、，且31224S S S =，证明：直线MN 过定点.21.（本小题满分12分）已知函数)(21-1ln()1()(2R a x ax x x x f ∈-++=）. （Ⅰ）设)(x f '为函数)(x f 的导函数，求函数)(x f '的单调区间；（Ⅱ）若函数)(x f 在),0(+∞上有最大值，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos y x （其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2：ϕ得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2103)4sin(=+πθρ. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设N M 、分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求MN 的最小值.23.[选修4-5：不等式选将] 设函数32)(-++=x x x f （Ⅰ）求不等式9)(>x f 的解集；（Ⅱ）过关于x 的不等式23)(-≤m x f 有解，求实数m 的取值范围.一模答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BBDABABDCCDB13.14.15. ()()1,12,22123n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪--⎩16. ①⑥、②⑤、③⑦、④⑧均可三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =++，……………………………….2分又由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，……………………………….4分得2cos sin sin 0B C C +=，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =-．因为0B π<<，所以23B π=．……………………………….6分（Ⅱ）因为D 为AC 的中点，所以2BA BC BD +=u u u r u u u r u u u r，……………………………….8分所以22()(2)BA BC BD +=u u u r u u u r u u u r，即2212a c ac ++=，……………………………….10分因为2a =，解方程2280c c --=，得4c =．……………………………….12分 18.解析：（I ）连结1AB 交1A B 于O ，连结1,EO OC11,,,2OA OB AE EB OE BB ==∴=Q 1//OE BB ,……………………………….1分又1112DC BB =，1DC //1BB , 1//OE DC ∴，因此，四边形1DEOC 为平行四边形，即1//ED OC ……………………………….2分111,,OC C AB ED C AB ⊂⊄Q 面面DE ∴//平面11C BA （II ）建立空间直角坐标系B xyz -，如图过F 作1FH BB ⊥，连结AH11,,BB ABC AB ABC AB BB ⊥⊂∴⊥Q 面面 111,,AB BC BC BB AB CBB C ⊥∴⊥Q I 面 111111,,AB BAA B BAA B CBB C ⊂∴⊥Q 面面面111,,FH CBB C FH BB ⊂⊥Q 面11111,BAA B CBB C BB =I 面面11FH BAA B ⊥面，即FAH ∠为直线AF 与平面11ABB A 所成角，……………………………….7分记为θ，11sin ,3,3AF AF θ==∴= 在Rt ACF ∆中，222259,2,AC CF AF CF CF ==+=+∴=11(0,2,1),(2,3,0),(0,2,1),(2,3,0),F A BF BA ==u u u r u u u rBA B C OH设平面1BAC 的法向量(,,)m x y z =u r，120230m BF y z m BA x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u r u u u r ur u u u r ，取2,(3,2,4)y m ==--u r 平面1BAA 的法向量(0,0,1)n =r，……………………………….10分|cos ,|m n <>=u r r ……………………………….11分因此，二面角1F BA A --的余弦值……………………………….12分19. 解析：设A =｛出现A 症状的人｝、B =｛出现B 症状的人｝、C =｛出现C 症状的人｝（card 表示有限集合元素个数）根据数据1可知()()()()1.8,1,2,0.5card A B card A C card B C card A B C ====I I I I I ，所以()()()()()()()card A B C card A card B card C card A B card A C card B C card=++-+++⎡⎤⎣⎦U U I I I (9)分()22100573157 4.001 3.84112888020k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.……………………………….11分有95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在“强关联” .……………………………….12分20．解析：（Ⅰ）设(),P x y ，P e 半径为R ，则11,22R x PF R =+=+，所以点P 到直线1x =-的距离与到()1,0F 的距离相等，故点P 的轨迹方程C 为24y x =.……………………………….4分（Ⅱ）设()()1122,,M x y N x y 、，则11211,,22M y N y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、设直线():0MN x ty n t =+≠代入24y x =中得2440y ty n --=12124,40y y t y y n +==-<.……………………………….6分 11132211112222S x y S x y =+⋅=+⋅Q 、 131112114S S 22x x y y ⎛⎫⎛⎫∴=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()12122212122222211221142211444221242ty n ty n y y t y y n t y y n nnt t n n nt n n⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++++⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=++⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.……………………………….8分又21211112222S n y y n =+⋅-=+()()22222211116164422S n t n n t n ⎛⎫⎛⎫∴=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.……………………………….10分2222221311484222S S S nt n t n n ⎛⎫⎛⎫=⇔=+⇔=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12n ⇒=.……………………………….11分∴直线MN 恒过1,02⎛⎫⎪⎝⎭.……………………………….12分21．解析：（Ⅰ）()()ln 1f x x ax '=+-令()()()ln 1h x f x x ax '==+-， ()11h x a x '=-+；.……………………………….1分 1o 当0a ≤时，()0h x '>，()'f x ∴在()1,-+∞上递增，无减区间()0h x '=.……………………………….3分 2o 当0a >时，令()1011h x x a'>⇒-<<-，令()101h x x a'<⇒>- 所以，()'f x 在11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当0a ≤时，()'fx ∴在()0,+∞上递增，()()''00f x f ∴>=()f x ∴在()0,+∞上递增，无最大值，不合题意；.……………………………….6分 1o 当1a ≥时，()1101h x a a x '=-<-≤+ ()'f x ∴在()0,+∞上递减，()()''00f x f ∴<=，()f x ∴在()0,+∞上递减，无最大值，不合题意；.……………………………….8分2o 当01a <<时，110a->，由（Ⅰ）可知()'fx 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；.……………………………….9分设()1ln g x x x =--，则()1x g x x-'=；令()001g x x '<⇒<<；令()01g x x '>⇒>()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增； ()()10g x g ∴≥=，即ln 1x x ≤-由此，当0x >时，1≤<ln x <所以，当0x >时，()()12h x ax a x <<+=-．取241t a =-，则11t a >-，且()20h t <-=．又因为()1100h h a ⎛⎫->= ⎪⎝⎭，所以由零点存在性定理，存在011,x t a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00h x =；.……………………………….11分当()00,x x ∈时，()0h x >，即()0f x '>；当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，即()0f x '<；所以，()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，在()0,+∞上有最大值()0f x ．综上，01a <<.……………………………….12分在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用2B ．．铅笔．．在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

2020年东北三省三校高考数学三模试卷(理科)

2020年东北三省三校高考数学三模试卷（理科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={(x,y)|x2+y2=1}，B={(x,y)|y=x}，则A∩B的子集个数为()A. 2B. 4C. 6D. 82.已知复数z=sinθ−2√23+(cosθ−13)i为纯虚数，则tanθ=()A. −2√2B. −√24C. √24D. 2√23.小赵到哈尔滨南岗区7个小区和道里区8个小区调查空置房情况，将调查得到的小区空置房的套数绘成了如图所示的茎叶图，则调查中的南岗区空置房套数的中位数与道里区空置房套数的中位数之差为()A. 4B. 3C. 2D. 14.“新冠肺炎”疫情的控制需要根据大数据进行分析，并有针对性的采取措施．如图是甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周内的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图，根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，下列说法错误的是()A. 2月7日到2月13日甲省的平均新增“新冠肺炎”确诊人数低于乙省B. 2月7日到2月13日甲省的单日新增“新冠肺炎”确诊人数最大值小于乙省C. 2月7日到2月13日乙省相对甲省的新增“新冠肺炎”确诊人数的波动大D. 后四日(2月10日至13日)乙省每日新增“新冠肺炎“确诊人数均比甲省多5.某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为()A. 23B. 43C. 53D. 736.如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为()A. a1+x0(a3+x0(a0+a2x0))的值B. a3+x0(a2+x0(a1+a0x0))的值C. a0+x0(a1+x0(a2+a3x0))的值D. a2+x0(a0+x0(a3+a1x0))的值7.函数y=sinx+√3cosx的图象向右平移2π3个单位长度得到函数f(x)的图象，则下列说法不正确的是()A. 函数f(x)的最小正周期2πB. 函数f(x)的图象关于直线x=5π6对称C. 函数f(x)的图象关于(π3,0)对称中心D. 函数f(x)在[5π6,11π6]上递增8.如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=AB=2，∠BAD=60°，M是BB1的中点，则异面直线A1M与B1C所成角的余弦值为()A. −√105B. −15 C. 15D. √1059. 已知圆M ：x 2+y 2=12，过圆M 内一点E(1,√2)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A. 6√2B. 12√2C. 12√3D. 24√310. 已知函数f(x)={|x −1+1|,x <0|x −1|−1,x ≥0，若函数g(x)=2f(x)−2kx −1有三个零点，则实数k 的取值范围为( )A. [−1,12) B. (−∞,−116)∪(12,+∞) C. [−116,12)D. {−116}∪[0,12)11. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a,b >0)的右焦点为F ，过原点的直线l 交双曲线C 于A 、B 两点，且|BF|=3|AF|，则双曲线C 的离心率取值范围为( )A. (1,2]B. (1,3]C. (3,+∞)D. [2,+∞)12. 若对任意x ∈(0,+∞)，不等式2e 2x −alna −alnx ≥0恒成立，则实数a 的最大值为( )A. √eB. eC. 2eD. e 2二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 2020年5月17日晚“2019年感动中国人物名单揭晓”，中国女排位列其中，在感动中国的舞台上，她们的一句“我们没赢够”，再次鼓舞中国人民．中国之光--中国女排，一次次在逆境中绝地反击赢得奥运冠军，“女排精神”也是我们当前处于“新冠”逆境中的高三学子们学习的榜样，前进的动力．一次比赛中，中国女排能够闯入决赛的概率为0.8，在闯入决赛条件下中国女排能够获胜的概率是0.9，则中国女排闯进决赛且获得冠军的概率是______．14. 稠环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳香烃类化合物，长期食用会致癌．下面是一组稠环芳香烃的结构简式和分子式：名称萘蒽并四苯……并n 苯结构简式…… …… 分子式C 10H 8 C 14H 10C 18H 12…………由此推断并十苯的分子式为______．15. f(x)是定义在R 上的函数，其导函数为f′(x)，若2f(x)+f′(x)>2，f(1)=2，则不等式f(x)>e 2−2x +1(其中e 为自然对数的底数)的解集为______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足2c⋅tanB=b⋅(tanA+tanB)，则A=；若O是△ABC外接圆的圆心，且cosB2sinC ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC2sinB⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =m AO⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m=．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}，{b n}(b n≠0,n∈N∗)，满足a1=2b1，a n b n+1−a n+1b n+2b n+1b n=0．(Ⅰ)令c n=a nb n，证明：数列{c n}为等差数列，并求数列{c n}的通项公式；(Ⅱ)若b n=13 n，求数列{a n}的前n项和S n．18.新冠肺炎疫情这只“黑天鹅”的出现，给经济运行带来明显影响，住宿餐饮、文体娱乐、交通运输、旅游等行业受疫情影响严重．随着复工复产的有序推动，我市某西餐厅推出线上促销活动：A套餐(在下列食品中6选3)西式面点：蔓越莓核桃包、南瓜芝士包、黑列巴、全麦吐司；中式面点：豆包、桂花糕．B套餐：酱牛肉、老味烧鸡熟食类组合．复工复产后某一周两种套餐的日销售量(单位：份)如表：(Ⅰ)根据该西餐厅上面一周A、B两种套餐的销售情况，结合两种套餐的平均销售量和方差，评价两种套餐的销售情况(不需要计算，只给出结论即可)；(Ⅱ)如果该西餐厅每种套餐每日销量少于20份表示业绩“一般”，销量大于等于20份表示业绩“优秀”，求该西餐厅在这一周内B套餐连续两天中至少有一天销量业绩为“优秀”的概率；(Ⅲ)某顾客购买一份A套餐，求她所选的面点中所含中式面点个数X的分布列及数学期望．19. 如图1，在直角梯形ABCD 中，AB//DC ，∠BAD =90°，AB =4√2，AD =2√2，DC =3√2，点E 在CD 上，且DE =2√2，将三角形ADE 沿线段AE 折起到PAE 的位置，PB =2√6(如图2)．(Ⅰ)求证：平面PAE ⊥平面ABCE ；(Ⅱ)在线段PC 上存在点F ，满足PC =4PF ，求平面PAE 与平面ABF 所成的锐二面角的余弦值．20. 已知椭圆C 1：y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)，P 1(1,1)，P 2(0,2)，P 3(√32,−1)，P 4(√32,1)四点中恰有三点在椭圆C 1上，抛物线C 2：y 2=2px(p >0)焦点到准线的距离为12． (Ⅰ)求椭圆C 1、抛物线C 2的方程；(Ⅱ)过椭圆C 1右顶点Q 的直线l 与抛物线C 2交于点A 、B ，射线OA 、OB 分别交椭圆C 1于点M 、N ． (i)证明：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值； (ii)求△AOB 、△MON 的面积分别为S 1、S 2，求S 1S 2的最小值．21. 已知函数f(x)=sinx +cosx −ax(a ∈R)．(Ⅰ)当a =1时，求f(x)在[−π4,π2]上最值；(Ⅱ)若对一切x ∈[−π,0]，不等式f(x)≤1恒成立，求实数a 的取值范围．22. 已知曲线C 1：{x =4t1+t 2y =1−t 21+t 2(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,π4)． (Ⅰ)求曲线C 1的普通方程及点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．23. 已知函数f(x)=|ax −1|(a >0)．(Ⅰ)若不等式f(x)+f(x −1)≥1对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值集合A ； (Ⅱ)若x ，y ∈A ，求证：x +y +1xy ≤1x +1y +xy ．答案和解析1.【答案】B【解析】解：解{x 2+y 2=1y =x得，{x =−√22y =−√22或{x =√22y =√22；∴A ∩B ={(−√22,−√22),(√22,√22)}； ∴A ∩B 子集个数为C 20+C 21+C 22=22=4．故选：B ．可解方程组{x 2+y 2=1y =x得出{x =−√22y =−√22，或{x =√22y =√22，从而得出A ∩B 有两个元素，从而得出A ∩B 的子集个数为C 20+C 21+C 22=4．考查描述法表示集合的概念，交集的定义及运算，以及子集的定义，子集个数的求法．2.【答案】A【解析】解：∵z =sinθ−2√23+(cosθ−13)i 为纯虚数，∴{sinθ−2√23=0cosθ−13≠0，解得sinθ=2√23，cosθ=−13．则tanθ=sinθcosθ=−2√2．故选：A ．由已知可得{sinθ−2√23=0cosθ−13≠0，求得cosθ与sinθ的值，即可得解．本题考查复数的概念，同角三角函数的基本关系，是基础题．3.【答案】D【解析】解：因为南岗区空置房套数有7套，则其中位数是79；道里区空置房套数有8套，则其中位数为76+802=78，所以两中位数之差是79−78=1．故选：D ．由茎叶图分别求出两区的中位数，相减即可．本题通过茎叶图考查中位数的求法，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：根据图象所给数据可得2月7日到2月13日甲省的平均新增“新冠肺炎”确诊人数约为19，方差为53，单日新增最大值为28，2月7日到2月13日乙省的平均新增“新冠肺炎”确诊人数约为22，方差约为17，单日新增最大值为29，故可得AB正确，C错误，由图可知，后四日乙人数均比甲人数多，故D正确，故选：C．根据图象计算平均数、方差进行比较即可本题考查学生合情推理能力，考查统计的相关知识，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体．如图所示：所以：V=13×2×2×1=43．故选：B．直接利用三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得k=3，S=a3，满足条件k>0，执行循环体，k=2，S=a2+a3x0，满足条件k>0，执行循环体，k=1，S=a1+x0(a2+a3x0)，满足条件k>0，执行循环体，k=0，S=a0+x0(a1+x0(a2+a3x0))，不满足条件k>0，退出循环，输出S的值为a0+x0(a1+x0(a2+a3x0))．故选：C．模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的k ，S 的值，当k =0时，不满足条件k >0，退出循环，输出S 的值为a 0+x 0(a 1+x 0(a 2+a 3x 0))．本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，依次正确写出每次循环得到的S ，k 的值是解题的关键，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：把函数y =sinx +√3cosx =2sin(x +π3)的图象向右平移2π3个单位长度，得到函数f(x)=2sin(x −π3)的图象，显然，f(x)的周期为2π，故A 正确；当x =5π6时，f(x)=2，为最大值，故f(x)的图象关于直线x =5π6对称，故B 正确；当x =π3时，f(x)=0，故f(x)的图象关于点(π3,0)对称，故C 正确；在[5π6,11π6]上，x −π3∈[π2,3π2]上，f(x)单调递减，故D 错误，故选：D ．利用三角恒等变换化简函数的解析式，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：∵M 是BB 1的中点，∴A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵AA 1=AB =2，直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是菱形， ∴|A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5,|B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2，又∠BAD =60°，∠AA 1B 1=∠AA 1D 1=90°，∴A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=2×2×12+12×4=4，∴cos <A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||B 1C⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×2√2=√105， ∴异面直线A 1M 与B 1C 所成角的余弦值为√105．故选：D ．可以得出A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5,|B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2，进行数量积的运算即可求出A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，然后即可求出cos <A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >的值，从而得出异面直线A 1M 与B 1C 所成角的余弦值．本题考查了用向量求异面直线所成角的方法，异面直线所成角的定义，正四棱柱的定义，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：如图，|OE|=√12+(√2)2=√3，则|BD|=2√12−3=6， |AC|=4√3．∴四边形ABCD 的面积为12×6×4√3=12√3．故选：C ．由题意画出图形，分别求出最长弦和最短弦的值，再由12|AC|⋅|BD|求解．本题考查直线与圆的性质，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．10.【答案】D【解析】解：函数g(x)=2f(x)−2kx −1有三个零点，即方程kx +12=f(x)有三个根．函数y =kx +12过定点P(0,12).作出函数y =f(x)与y =kx +12的图象如图：当直线y =kx +12过(−1,0)与(0,12)时，k =12−00−(−1)=12；当直线y =kx +12与y =1x +1(x <−1)相切时，联立{y =kx +12y =1x+1，得2kx 2−x −2=0．由△=(−1)2+16k =0，解得k =−116．结合图象可知，若函数y =f(x)与y =kx +12的图象有3个交点，则实数k 的取值范围为{−116}∪[0,12)．故选：D ．函数g(x)=2f(x)−2kx −1有三个零点，即方程kx +12=f(x)有三个根．由函数y =kx +12过定点P(0,12).作出函数y =f(x)与y =kx +12的图象，求出直线y =kx +12过(−1,0)时的斜率，再利用判别式法求出直线y =kx +12与y =1x +1(x <−1)相切时直线的斜率，数形结合可得实数k 的取值范围．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．11.【答案】A【解析】解：设双曲线的左焦点为F 1，根据对称性知AFBF 1是平行四边形，所以有|AF|=|BF 1|，又点B 在双曲线上，所以|BF|−|BF 1|=2a因为|BF|=3|AF|，所以|BF|−|BF 1|=3|AF|−|AF|=2|AF|=2a ，即|BF|=3a ，|BF 1|=a ，而在三角形BFF 1中，|BF|+|BF 1|=4a ≥2c ，|BF|−|BF 1|=2a <2c ，所以双曲线的离心率e ∈(1,2]，故选：A ．由双曲线的对称性，连接A ，B 与右焦点F 的连线，可得AFBF 1是平行四边形，对应边平行且相等，3|AF|=|BF|，推出|BF|−|BF 1|=3|AF|−|AF|=2|AF|=2a ，然后结合三角形的边长关系，求和双曲线的离心率的范围．本题考查双曲线的性质及三角形的性质，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：依题意，对任意x ∈(0,+∞)，2e 2x ≥aln(ax)恒成立，记f(x)=2e 2x ，g(x)=aln(ax)(x >0)，则f′(x)=4e 2x ,g′(x)=ax ，易知函数f(x)在(0,+∞)上单增，显然a >0，则函数g(x)在(0,+∞)上递增，要使f(x)≥g(x)在(0,+∞)上恒成立，只需x ∈(0,+∞)时，函数f(x)的图象在函数g(x)图象的上方，如图可知，a 越大，函数g(x)图象的开口越大，故当两函数恰好相切时，此时实数a 取得最大值，设切点为(m,n)，则{am=4e2m2e2m=n aln(am)=n ，解得{m=12n=2ea=2e，则实数a的最大值为2e．故选：C．记f(x)=2e2x，g(x)=aln(ax)(x>0)，则只需x∈(0,+∞)时，函数f(x)的图象在函数g(x)图象的上方，当a取得最大值时，两函数恰好相切，设出切点，建立方程组，解出即可．本题考查利用导数研究函数的最值，考查不等式的恒成立问题，同时也涉及了导数的几何意义的运用，考查转化思想及运算能力，属于中档题．13.【答案】0.72【解析】解：一次比赛中，中国女排能够闯入决赛的概率为0.8，在闯入决赛条件下中国女排能够获胜的概率是0.9，则中国女排闯进决赛且获得冠军的概率为：P=0.8×0.9=0.72．故答案为：0.72．利用相互独立事件概率乘法公式能求出中国女排闯进决赛且获得冠军的概率．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】C42H24【解析】解：设并n苯的分子式中C原子的个数为a n，H原子的个数是b n，由题干数据可知{a n}是公差为4的等差数列，{b n}是公差为2的等差数列，因为a2=10，b2=8，所以a n=10+4(n−2)=4n+2，b n=8+2(n−2)=2n+4，所以a10=42，b10=24，所以并十苯的分子式为C42H24，所以答案为C42H24．本题主要考察等差数列．设并n苯分子式中C原子的个数为a n，H原子的个数是b n，由题干数据可知{a n}是公差为4的等差数列，{b n}是公差为2的等差数列，进而求得n=10时a n和b n的值，从而得到并十苯的分子式．本题考查等差数列，要求学生能够利用已知归纳出等差数列的首项和公差，进而求解指定项．属于基础题．15.【答案】(1,+∞)【解析】解：f(x)>e2−2x+1，即e2x f(x)−e2x>e2，令g(x)=e2x f(x)−e2x，则g′(x)=e2x[2f(x)+f′(x)−2]>0，故g(x)在R递增，而g(1)=e2f(1)−e2=e2，∴e2x f(x)−e2x>e2，即g(x)>g(1)，即x>1，故不等式的解集是(1,+∞)，故答案为：(1,+∞)令g(x)=e2x f(x)−e2x，得到g(x)>g(1)，结合函数的单调性求出不等式的解集即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．16.【答案】π3√32【解析】解：①2c⋅tanB=b⋅(tanA+tanB)，2sinC⋅tanB=sinB⋅(tanA+tanB)，因为sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，代入上式得，2[sinAcosB+cosAsinB]⋅sinBcosB=sinB⋅(sinAcosA+sinBcosB)2[sinAcosB+cosAsinB]⋅1cosB =sinAcosA+sinBcosB，2[sinAcosB+cosAsinB]⋅cosA=sinAcosB+sinBcosA，2sinAcosAcosB+2cosAcosAsinB=sinAcosB+sinBcosA，2sinAcosAcosB+2cosAcosAsinB−sinAcosB−sinBcosA=0，sinAcosB(2cosA−1)+cosAsinB(2cosA−1)=0，(2cosA−1)(sinAcosB+cosAsinB)=0，(2cosA−1)sin(A+B)=0，(2cosA−1)sinC=0，所以2cosA−1=0，即cosA=12，因为是锐角三角形，所以A=π3，②取AB边中点D，则AB⊥ODcosB 2sinC ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC2sinB⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =m AO⃗⃗⃗⃗⃗ ，cosB2sinC⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC2sinB⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =m(AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )cosB 2sinC ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+cosC2sinB⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =m(AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，cosB 2sinC ⋅c2+cosC2sinB⋅b⋅c⋅cosA=m(AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ +DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ )，cosB 2sinC ⋅sin2C+cosC2sinB⋅sinB⋅sinC⋅cosA=m⋅12AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2，cosB 2sinC ⋅sin2C+cosC2sinB⋅sinB⋅sinC⋅cosA=12m⋅sin2C，cosB+cosAcosC=msinC，所以m=cosB+cosAcosCsinC =cos[π−(A+C)]+cosAcosCsinC=−cosAcosC+sinAsinC+cosCcosAsinC=sinA=√32．故答案为：π3，√32．①利用正弦定理边化角，结合两角和差公式进行化简变形，即可得答案．②取AB边中点D，则AB⊥OD，cosB2sinC ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC2sinB⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =m(AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )cosB2sinC⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+cosC2sinB⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =m(AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用正弦定理边化角，化简即可得出答案．本题考查正弦定理，向量数量积，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵b n≠0，a n b n+1−a n+1b n+2b n+1b n=0，∴a nb n −a n+1b n+1+2=0.又c n=a nb n，∴c n−c n+1+2=0，即c n+1−c n=2，c1=a1b1=2，∴{cn}为首项、公差均为2的等差数列，∴c n=2n；(Ⅱ)解：由(Ⅰ)得c n=a nb n =2n，∵bn=13 n，∴a n=2n×(13)n．∵S n=2[1×13+2×(13)2+3×(13)3+⋯n⋅(13)n]①，∴13S n=2[1×(13)2+2×(13)3+⋯(n−1)⋅(13)n+n⋅(13)n+1]②，由①−②可得：23S n=2[13+(13)2+(13)3+⋯+(13)n−n⋅(13)n+1]=2[13[1−(13)n]1−13−n⋅(13)n+1]=1−(2n3+1)⋅(13)n，∴S n=32−2n+32⋅13n．【解析】(Ⅰ)先由题设条件⇒a n bn −a n+1b n+1+2=0，再由c n=a nb n⇒c n+1−c n=2，进而证明数列{cn}为等差数列，求出其通项公式；(Ⅱ)先由(Ⅰ)和题设条件求出a n ，再利用错位相减法求其前n 项和即可．本题主要考查等差数列的定义、通项公式及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)根据所给数据可知B 套餐的平均销售高于A 套餐，但A 套餐销售情况比B 套餐更稳定，波动性小；(Ⅱ)设“一周内B 套餐连续两天中至少有一天销量业绩优秀”为事件C ，则P(C)=36=12；(Ⅲ)由题意知，随机变量X 的可能取值为0，1，2；计算P(X =0)=C 43C 63=15，P(X =1)=C 21⋅C 42C 63=35，P(X =2)=C 22⋅C 41C 63=15，所以随机变量X 的分布列为， X 012P153515数学期望为E(X)=0×15+1×35+2×15=1．【解析】(Ⅰ)根据所给数据分析判断即可； (Ⅱ)利用古典概型的概率公式计算就；(Ⅲ)由题意知随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望．本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：取AE 中点O ，连结OB ，∵在直角梯形ABCD 中，AB//DC ，∠BAD =90°，AB =4√2，AD =2√2，DC =3√2，点E 在CD 上，且DE =2√2，将三角形ADE 沿线段AE 折起到PAE 的位置，PB =2√6， ∴∠OAB =π4，AO =12AE =2，在△OAB 中，AO =2，AB =4√2，∠OAB =π4， ∴OB 2=4+32−2×2×4√2×√22=20，在Rt △DAE 中，PO =12AE =2，PB =2√6， ∴PB 2=OB 2+PO 2，∴PO ⊥OB ，∵PA =PE ，AO =OE ，∴PO ⊥AE ， ∵OB ∩AE =O ，∴PO ⊥平面ABCE ，又PO ⊂面DAE ，∴平面PAE ⊥平面ABCE ． (Ⅱ)解：取AB 中点M ，连结OM ， ∵AM =12AB =2√2，AO =2，∠OAB =π4，∴OM ⊥AE ，∵PO ⊥面ABCE ，∴PO ，OM ，AE 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，A(0,−2,0)，E(0,2，0)，M(2,0，0)，又∵M 是AB 中点，∴B(4,2，0)，P(0,0，2)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)， ∴C(1,3，0)，又PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(14,34,−12)，∴F(14,34,32)，设平面ABF 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,4，0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(14,114,32)，则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4x +4y =0n ⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 4+11y 4+3z2=0，取y =1，得n ⃗ =(−1,1，−53)，平面PAE 的法向量m⃗⃗⃗ =(1,0，0)，设平面PAE 与平面ABF 所成的锐二面角为θ，则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√43=3√4343， ∴平面PAE 与平面ABF 所成的锐二面角的余弦值为3√4343．【解析】(Ⅰ)证明：取AE 中点O ，连结OB ，推导出PO ⊥OB ，PO ⊥AE ，从而PO ⊥平面ABCE ，由此能证明平面PAE ⊥平面ABCE ．(Ⅱ)取AB 中点M ，连结OM ，推导出PO ，OM ，AE 两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAE 与平面ABF 所成的锐二面角的余弦值．本题考查考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了学生运用数学基础知识解决实际问题的能力，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由C 1关于x 轴对称，P 3，P 4关于x 轴对称，所以P 3，P 4在C 1上，所以34b +1a =1，若P 1在C 1上，则1b 2+1a 2>34b 2+1a 2=1，所以P 1不在C 1上，P 2在C 1上，所以a =2，b =1，即C 1：y 24+x 2=1，又由p =12，可得C 2：y 2=x ；(Ⅱ)(i)证明：设直线l ：x =my +1，代入y 2=x 中，可得y 2−my −1=0，所以y 1+y 2=m ，y 1y 2=−1，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=y 12y 22+y 1y 2=1−1=0；(ii)设直线OA ：x =m 1y(m 1>0)，将直线OA 代入C 1中，可得y2(4m 12+1)=4，即y M =√1+4m 1，同理可得y N =1√4+m 1， S 1S 2=12|OA|⋅|OB|12|OM|⋅|ON|=|OA||OM|⋅|OB||ON|=|y 1||y M |⋅|y 2||y N |=|y 1y 2||y M y N |=√4m 12+1⋅√m 12+44|m 1|=14√4m 12+4m 12+17≥14√2√16+17=54，当且仅当m 12=1m 12，即m 1=1时取得等号．【解析】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于较难题目．(Ⅰ)由椭圆的对称性，判断P 3，P 4在C 1上，再由椭圆的范围可得P 1不在C 1上，P 2在C 1上，可得a ，b ，即有椭圆方程，由p 的值，可得抛物线的方程；(Ⅱ)(i)设直线l ：x =my +1，联立抛物线的方程，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，即可得证； (ii)设直线OA ：x =m 1y(m 1>0)，将直线OA 代入C 1中，求得M 的纵坐标，同理可得N 的纵坐标，再由三角形的面积公式和基本不等式，即可得到所求最小值．21.【答案】解：(I)f′(x)=cosx −sinx −a ，当a =1时，f′(x)=cosx −sinx −1=−√2sin(x −π4)−1，令f′(x)>0可得sin(x −π4)<−√22可得x ∈[−π4,0),令f′(x)<0可得sin(x −π4)>−√22可得x ∈(0,π2],故f(x)在[−π4,0)上单调递增，在(0,π2)上单调递减，故f(x)max =f(0)=1， ∵f(−π4)=π4，f(π2)=1−π2<π4， ∴f(x)min =f(π2)=1−π2， (II)f(−π)=aπ−1≤1，故a ≤2π， f′(x)=−√2sin(x −π4)−a ，∵−π≤x ≤0，∴−5π4≤x −π4≤−π4，∴−1≤sin(x −π4)≤√22，−1≤−√2sin(x −π4)≤√2，(i)a ≤−1时，f′(x)≥0，f(x)在[−π,0]上单调递增，f(x)<f(0)=1恒成立， (ii)−1<a ≤2π时，当−π≤x ≤−π4时，f′(x)单调递增，当−π4≤x ≤0时，f′(x)单调递减， ∴f′(π)=−1−a <0，f′(−π4)=√2−a >0，f′(0)=1−a >0， ∴存在a ∈(−π,−π4)，使得f′(a)=0，所以当−π≤x <a 时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当a <x ≤0时，f′(x)>0，函数单调递增，又因为f(−π)=aπ−1≤1，f(0)=1≤1， ∴f(x)≤1，∴a ≤2π【解析】(I)把a =1代入，然后对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的最值；(II)由已知不等式恒成立转化为求解函数的最值，结合导数对a 进行分类讨论，然后结合导数与单调性关系及函数性质可求．本题主要考查了利用导数求解函数的最值，及由不等式的恒成立求解参数范围问题，体现了分类讨论思想的应用． 22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 1：{x =4t1+t 2y =1−t 21+t 2(t 为参数)整理得x 2=2t 1+t 2，y =−1+21+t 2≠−1，所以转换为直角坐标方程为：x 24+y 2=1(y ≠−1)．曲线C 2的极坐标方程为ρ=2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,π4).转换为直角坐标为(√2,√2) 所以B(2,3π4)转换为直角坐标为(−√2,√2)，C(2,5π4)转换为直角坐标为(−√2,−√2)，D(2,7π4)转换为直角坐标为(√2,−√2).(Ⅱ)设点P(x 0,y 0)，则：x 024+y 02=1，所以|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x 02+4y 02+16=3x 02+20，由于0≤x 02≤4，所以|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围为[20,32]．【解析】(Ⅰ)直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．(Ⅱ)利用曲线上的点的范围，进一步求出关系式的范围．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(Ⅰ)f(x)+f(x−1)≥1，即为|ax−1|+|ax−a−1|≥1，而a>0时，|ax−1|+|ax−a−1|≥|ax−1−ax+a+1|=|a|=a，当且仅当(ax−1)(ax−a−1)≤0时，上式取得等号．即有|ax−1|+|ax−a−1|的最小值为a，由题意可得1≤(|ax−1|+|ax−a−1|)min，则a≥1，即A=[1,+∞)；(Ⅱ)证明：x+y+1xy −(1x+1y+xy)=(x−1x)+(y−xy)+(1xy−1y)=(x−1)(x+1)x+y(1−x)+1xy(1−x)=x−1xy [(x+1)y−xy2−1]=x−1xy[xy(1−y)+(y−1)]=(x−1)(xy−1)(1−y)xy，由x，y∈[1,+∞)，可得x−1≥0，1−y≤0，xy≥1，即xy−1≥0，则(x−1)(xy−1)(1−y)xy≤0，可得x+y+1xy≤1x+1y+xy．【解析】(Ⅰ)由题意可得1≤(|ax−1|+|ax−a−1|)min，由绝对值不等式的性质可得最小值，即可得到所求集合A；(Ⅱ)运用作差比较法，结合因式分解和不等式的性质，即可得证．本题考查不等式恒成立问题的解法，以及不等式的证明，考查绝对值不等式的性质和作差比较法的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。

2020东北三校一模理科数学

哈尔滨师大附中 2020年高三第一次联合模拟考试东北师大附中理科数学辽宁省实验中学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分,考试时间120分钟，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在试卷上无效。

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=<--=11,0322x x B x x x A ，则=)(B A R Y C.A ),3()1,(+∞--∞Y .B ),3[]1,(+∞--∞Y .C ),3[+∞ .D ),1[]1,(+∞--∞Y2. 已知复数),(R b a bi a z ∈+=，1+i z是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为.A 0=+b a.B 0=-b a .C 02=-b a .D 02=+b a3. 已知βα，是两个不同的平面，直线α⊂m ，下列命题中正确的是.A 若βα⊥，则β//m .B 若βα⊥，则β⊥m .C 若β//m ，则βα// .D 若β⊥m ，则βα⊥4. 大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，职责除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1.这个题目在东方被称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性证明，例如取13=n ，则要想算出结果1，共需要经过的运算步骤是.A 9 .B 10 .C 11 .D 125. 已知e c e b a πlog log 3ln 3===，，，则下列关系正确的是.A c a b << .B a b c << .C a c b <<.D c b a <<6. 已知边长为3的等边ABC ∆，DC BD 21=,则=⋅AC AD.A 6.B 9 .C 12 .D 6-7. 如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，⊥ED 平面ABCD ，⊥FC 平面ABCD ，22==FC ED ，则四面体BEF A -的体积为.A 31 .B 32.C 1.D 34 8. 已知函数)(x f x x 2cos 32sin +=的图象向右平移)20(πϕϕ<<个单位后，其图象关于y 轴对称，则=ϕ.A 12π .B 6π .C 3π .D 125π 9. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,(c F ，上顶点为),0(b A ，直线c a x 2=上存在一点P 满足0)(=⋅+AP FA FP ，则椭圆的离心率取值范围为.A )1,21[.B )1,22[.C )1,215[- .D ]22,0( 10. 已知定义在R 上的函数)(x f ，满足)1()1(x f x f -=+，当),1[+∞∈x 时，⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈--=),3[)21(2)3,1[21)(x xf x x x f ，则函数)(x f 的图象与函数⎩⎨⎧<-≥=1)2ln(1ln )(x x x xx g 的图象在区间]7,5[-上所有交点的横坐标之和为 .A 5.B 6 .C 7 .D 911. 已知数列{}n a 的通项公式为22+=n a n ，将这个数列中的项摆成如图所示的数阵，记n b 为数阵从左至右的n列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前2020项和为.A 20201011.B 20202019.C 20212020.D 2021101012. 已知双曲线1322=-y x 的左右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，且ο12021=∠PF F ，21PF F ∠的平分线交x 轴于点A ，则=PA.A 55 .B 552 .C 553 .D 5122125431432321-++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸相应位置上. 13. 近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大，动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力。

东北三省三校2020届高三第一次联合模拟考试-理科数学答案

1 一模答案一、选择题题号 123456789 10 11 12 答案 B B D A B A B D C C D B二、填空题13. 717 14. （1,e 2) 15. ()()1,12,22123n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪--⎩16.①⑥、②⑤、③⑦、④⑧均可三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =++，……………………………….2分又由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，……………………………….4分得2cos sin sin 0B C C +=，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =-．因为0B π<<，所以23B π=．……………………………….6分（Ⅱ）因为D 为AC 的中点，所以2BA BC BD +=u u u r u u u r u u u r ，……………………………….8分所以22()(2)BA BC BD +=u u u r u u u r u u u r ，即2212a c ac ++=，……………………………….10分因为2a =，解方程2280c c --=，得4c =．……………………………….12分18.解析：（I ）连结1AB 交1A B 于O ，连结1,EO OC11,,,2OA OB AE EB OE BB ==∴=Q 1//OE BB ,……………………………….1分又1112DC BB =，1DC //1BB ,1//OE DC ∴，因此，四边形1DEOC 为平行四边形，即1//ED OC ……………………………….2分 111,,OC C AB ED C AB ⊂⊄Q 面面DE ∴//平面11C BA ……………………………….5分（II ）建立空间直角坐标系B xyz -，如图过F 作1FH BB ⊥，连结AH11,,BB ABC AB ABC AB BB ⊥⊂∴⊥Q 面面 111,,AB BC BC BB AB CBB C ⊥∴⊥Q I 面 111111,,AB BAA B BAA B CBB C ⊂∴⊥Q 面面面 111,,FH CBB C FH BB ⊂⊥Q 面11111,BAA B CBB C BB =I 面面11FH BAA B ⊥面，B C 1A 1B 1CD O F H xy z。

东北三省三校2020届高三第一次联合模拟考试理综化学试题(精解精析)

哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2020年高三第一次联合模拟考试理科综合能力测试化学试题1．下列说法不正确的是( )A．工业合成氨是一种人工固氮方法B．侯氏制碱法应用了物质溶解度的差异C．播撒碘化银可实现人工降雨D．铁是人类最早使用的金属材料【答案】D【解析】本题考查化学在工农业生产生活中的应用，考查学生对基础知识掌握程度，涉及内容比较简单。

A．氮的固定是把游离态氮转变成化合态氮的过程，工业合成氨是一种人工固氮方法，正确；B．侯氏制碱法：NaCl＋CO2＋H2O＋NH3=NaHCO3↓＋NH4Cl，利用碳酸氢钠溶解度较小而结晶析出，经过滤后再加热分解得到碳酸钠，正确；C．播撒碘化银、干冰等都可实现人工降雨，正确；D．人类最早使用金属材料的是铜，错误。

2．乙苯与氢气加成，其产物的一氯代物的同分异构体数目有（不考虑立体异构）( ) A．4种B．5种C．6种D．7种【答案】C【解析】本题考查同分异构体数目的判断，从等效氢的角度进行分析，需要从对称、结构等角度进行分析；乙苯与氢气加成后的产物是，六元环含有4种H，乙基含有2种H，产物的一氯代物有6种同分异构体；答案选C。

3．设N A为阿伏加德罗常数的值。

下列说法正确的是( )A．标准状况下，2.24L SO3中所含原子数为0.4N AB．l0mL 12mol/L盐酸与足量MnO2加热反应，制得Cl2的分子数为0．03N AC．0.1mol CH4与0.4mol Cl2在光照下充分反应，生成CCl4的分子数为0.1N AD．常温常压下，6g乙酸中含有C-H键的数目为0.3N A【答案】D【解析】本题考查阿伏加德罗常数的应用，从物质结构、反应实质、物料守恒、氧化还原反应转移电子数目、原子结构等角度进行考查，考查内容相对比较简单。

A．标准状况下，SO3是固体，2.24L SO3并不是0.1 mol，错误；B．MnO2只能与浓盐酸反应，不与稀盐酸反应，随着反应的进行盐酸浓度降低，到达某一浓度反应停止，即制得的Cl 2小于0.03 mol ，错误；C ．0.1mol CH 4与0.4mol Cl 2在光照下充分反应，发生的是取代反应，得到一氯甲烷、二氯甲烷、三氯甲烷、四氯甲烷及氯化氢的混合物，生成CCl 4的分子数小于0.1N A ，错误；D ．乙酸的结构简式为CH 3COOH ，常温常压下，6g 乙酸中含有C-H 键的物质的量为6g 360g/mol=0.3mol ，正确。