信号变换域分析的目的

§8-1 引 言一、 变换域分析的目的变换域分析的目的，在于将原来的求解问题简化。

对于连续时间系统，通过L.T.，可以将原来求解微分方程的问题转变为求解代数方程的问题；对于离散时间系统，通过Z 变换（Z.T.），可以将原来求解差分方程的问题转变为求解代数方程的问题。

二、 Z 变换的发展史十八世纪，DeMoivre 提出生成函数，并应用于概率论；十九世纪Laplace 、二十世纪Seal 对其进行了进一步深入研究； 二十世纪六十年代起，由于计算机技术和控制技术的飞速发展，抽样控制理论的应用，离散信号处理和数字信号处理得到了广泛应用。

作为离散时间系统分析的重要工具，Z.T.得到了很大的发展，其用途甚至超过了L.T.三、 离散时间序列的频域分析方法离散时间系统和离散时间序列也可以通过正交分解的方法，在频域进行分析。

离散系统也有频率响应（对各种频率的离散正弦信号的响应）。

傅利叶变换的离散形式——离散傅利叶变换（DFT ）——在离散时间系统分析中同样占用很重要的地位，而DFT 的快速算法——FFT ——的提出使得DFT 在各种信号处理场合得到的广泛的应用。

除了DFT 以外，其信号分析方法，如沃尔什变换等，在离散信号处理中同样得到的很广泛的应用。

§8-2 Z 变换及其性质一、 Z 变换的定义Z 变换的定义可以从纯数学的角度进行，也可以通过信号分解的角度提出。

后者更加容易理解。

本课程中，通过连续时间系统的F.T.，导出Z.T.。

离散时间信号f(k)可以看成是连续时间信号通过抽样而得到的冲激序列：)(k f ——>∑+∞-∞=-=k kT t k f t f )()()(δδ对其)(t f δ进行F.T.： ()∑∑∑⎰∑⎰⎰∑⎰∞+-∞=-∞+-∞=-∞+-∞=∞+∞--∞+-∞=∞+∞--∞+∞--∞+-∞=+∞∞--==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==k kTj k kTj k t j k t j t j k t j e k f ek f dt e kT t k f dte kT t kf dt e kT t k f dte tf j F ωωωωωωδδδδω)()()()()()()()()()(根据Dirichlet 条件，只有在信号满足绝对可积条件——这里可以变成绝对可和条件：+∞<∑+∞-∞=k k f )(——时，FT 才存在。

如果不满足，可以利用LT 中的方法，在信号上首先乘以一个衰减因子rkT e -，然后再求FT 。

这样一来上式就可以变成为：()∑⎰∞+-∞=-++∞∞---==+k kTj r t j rkT e k f dte e tf j r F ωωδω)()()(为了简化，假设T=1，则：()∑+∞-∞=-+=+k kj r e k f j r F ωω)()(设)(ωj r ez +=，带入：∑+∞-∞=-=k kzk f z F )()(上式称为序列f(k)的Z 变换。

F(z)由被称为序列f(k)的生成函数，用它可以导出f(k)。

● 上面的推导反映了抽样信号的FT 与用其冲激序列的强度构成的信号序列的ZT 之间的关系，即： ωωj e z z F j F ==)()(而抽样信号的LT 与用其冲激序列的强度构成的信号序列的ZT 之间的关系为：se z z F s F ==)()(● 如果实际抽样序列的抽样间隔T 不等于1,则上面两个关系变为：T j e z z F j F ωω==)()(，sTe z z F s F ==)()(● 在某些情况下，Z 变换的求和限可以简化：1、 如果f(k)是一个左边序列（其在k<0时才有非零值），则：∑--∞=-=1)()(k kzk f z F2、 如果f(k)是一个右边序列，则：∑+∞=-=0)()(k kzk f z F3、 如果f(k)是一个有限长序列，则：∑=-=21)()(k k k kzk f z F二、 单边Z 变换与双边Z 变换上面的Z 变换中的求和在（-∞，0）和[0，+∞）中进行，称为双边Z 变换。

实际工作中，信号是有始信号，系统也是因果系统，其单位函数响应也是一个有始信号，所以只要考虑[0，+∞）一边就可以了，响应的变换称为单边Z 变换：∑+∞=-=)()(k kzk f z F与单边LT 一样，单边Z 变换也是我们研究的重点。

三、 Z 变换的收敛域和LT 一样，ZT 也有收敛域的问题。

ZT 是一个级数求和问题。

ZT 存在意味着级数收敛。

Z 变换的收敛域也就是使这个级数收敛的全部z 的集合。

1、 级数收敛的判别方法： 1） 比值法：1lim1<=+∞→ρk k k a a2） 根值法：1lim <=∞→ρk k k a 2、 几种常见序列的收敛域： 1） 有限长序列： ∑=-=21)()(k k k kzk f z Fa 、 当01<k ,02<k ,收敛域+∞<≤z 0b 、 当01<k ,02>k ,收敛域+∞<<z 0c 、 当01>k ,02>k ,收敛域+∞≤<z 02） 右边序列：∑+∞=-=)()(k kzk f z F利用根值法，有：1)(lim )(lim lim 1<==-∞→-∞→∞→kk k k k k k k k f zz k f aRk f z k k =>∴∞→)(lim所以，右边信号的收敛域为是半径R 、圆心在原点的圆以外的全部区域。

例8－2－1例8－2－1： 单边指数序列)(k a k ε的收敛域。

解：用上面的结论（根值法）：aa z kk k =>∴∞→lim（也可以用一般等比序列求和的方法求解）思考：如果右边序列的起始点不在0,收敛区间应该怎样？ 提示：收敛域是否包含+∞？ 3） 左边序列∑--∞=-=1)()(k kzk f z F同上可得左边序列的收敛域为：Rk f z kk =-<∴∞→)(lim 1即左边信号的收敛域为是半径R 、圆心在原点的圆以内的全部区域。

例8－2－2例8－2－2： 单边指数序列)1(--k b k ε的收敛域。

解：用上面的结论（根值法）：bb z k kk =<∴-∞→lim 1（也可以用一般等比序列求和的方法求解）思考：如果左边序列的起始点不在-1,收敛区间应该怎样？ 提示：收敛域是否包含原点？ 4） 双边序列与连续时间系统一样，双边序列也可以看成右边序列和左边序列之和，收敛域为两个序列的公共收敛域。

收敛域可能存在（当两个序列的收敛域公共区间时），也可能不存在（当两个序列的收敛域没有公共区间）。

如果存在，其收敛域为一个环行区域。

例8－2－3例8－2－3： 求序列)()1(k a k b k k εε+--的收敛区。

解：它的收敛域为左边序列)1(--k b k ε和右边序列)(k a k ε的公共收敛区间， 1、 当b a ≥时，两者没有公共收敛区间，Z 变换不存在。

2、 当ba <时，收敛域为bz a <<四、 常见序列的单边ZT1、 单位函数：{}1)(=k Z δ，收敛域：全平面 2、 单位阶跃信号：{}111)(1-=-=-z zzk Z ε，收敛域：1>z 3、 单边指数序列：{}νεν-=z zk Z k )(，收敛域：ν>z4、 单边正弦和余弦序列：可以通过上面指数序列推导出。

其它常见ZT ：见P61,表8-1 例8－2－4例8－2－4： 求左边指数序列)1(---k kεν的Ｚ变换。

解：这个序列的z 变换可以直接用定义求解，而且非常方便。

但这里为了说明如何通过右边序列的z 变换求解，按照下列步骤求得： （1）令n k -=,将原信号反褶)1()1()(--=---=---=n k n f n n k k ενεν同时补齐1)0(0-=-=-νg ，这样完整的右边序列为)()()0()()(n k g n f n g n ενδ--=+-=（2）对)(n g 求Z 变换，由式(8—8a)可得{}1)()(----=-=νενw wn Z w G n ，收敛区：1->νw（3）令1-=z w 代入上式则得{}1111)0()()1(1---=--=-=----νενz z g w G k Z z w kν-=z z ,收敛区：ν<=-1w z例8－2－5例8－2－5： 求双边指数序列kk f ν=)(的Ｚ变换。

解：将双边序列分解为左边序列和右边序列之和，即：)1()()(--+==-k k k f k k kενενν其中右边序列)(k kεν的Z 变换)(z F r 已由式(8—8a)给出为ν-=z zz F r )(， ν>z根据（8-10），不难得到左边序列)1(---k kεν的Z 变换和收敛区：1)(---=νz zz F l , 11--<=νwz综合上面的结论，可以得到：（1） 当1≥ν时，由于左边序列与右边序列的Z 变换没有公共的收敛区，此时该序列不存在双边z 变换。

（2） 当1<ν时，左边序列与右边序列的Z 变换存在公共的收敛区，此时该序列的双边z变换为：11)()()(----=+=ννz z z z F z F z F l r 1)()())(()(12111++--=---=----z z z z z z νννννννν νν>>-z 1)(z F 有两个极点，其中ν=z 处的极点是由右边序列产生的，它处于收敛边界的内部；1-=νz 处的极点是由左边序列产生的，它处于收敛边界的内部。

五、 左边和双边序列的ZT 计算方法：1、 左边序列ZT 求法：)0()()()()(011f zk f zk f zk f z F k kk kk k--=-==∑∑∑∞+=+∞=--∞=-由此可以得到由右边序列计算左边序列ZT 计算方法： 1） 将序列f(k)反褶，称为右边序列f(-k)；2） 求f(-k)的单边ZT ，假设为)(z F s ，收敛域为R z >；3） 得到左边序列的ZT ：)0()()(1f z F z F s -=-，收敛域为1-<R z2、 双边序列ZT 求法：与双边信号的LT 一样，可以将双边序列分解为左边序列和右边序列之和，分别求解。

例：求kk f ν=)(的ZT解：)()()()(k k k k f k k kδενενν--+==-其中：1）{}νεν-=z zk Z k )(，收敛域：ν>z2）为了求{})(k Z k--εν，a 、 将信号反褶，成为新的右边序列：)(k k ενb 、 求右边序列ZT ：ν-w w，收敛域：ν>wc 、 得到原序列ZT ： {}z v v vw wk Z z w k-=-=---=--111)(εν，收敛域：1-<νz4） 综合得到双边序列的LT ：a 、 如果1≥ν，则f(k)的双边ZT 不存在；b 、 如果1<ν，则f(k)的双边ZT 为：1)()())(()(1)(12111111++--=---=-+-=--+-=-------z v z z z z v z z zz v z z z z v v z F νννννννν收敛域：1-<<ννz六、 ZT 性质：1、 线性2、 移序特性：1） 单边ZT 移序特性： a 、 增序：{}{}[]11)1(...)1()0()()()(-------=⋅=+n n n z n f z f f z F z k f S Z n k f Zb 、 减序：{}{})()()1(11z F z k f S Z k f Z --==- 推广：{}{})()()(z F z k f S Z n k f Z n n --==- ● 移序算子S 的作用相当于乘z; ● 移序计算不影响收敛域；● 移序特性与LT 中的微分特性很相似： )0()()(--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧f s sF t f dt d L ● 减序计算中，默认信号是一个右边序列。