离散系统的时域及变换域分析
第七章离散时间信号与系统的Z域分析总结
1 z X ( z) = 此时， = 1 − az −1 z − a
z > a 收敛域：
0
j Im[ z ]
a
*收敛域一定在模最大的极点 所在的圆外。
Re[ z ]
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
13 /82
3.左边指数序列 x(n) = −b nu (−n − 1)
的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原 分式的“部分分式”。
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
19 /82
M X ( z ) 通常， 可表成有理分式形式： b z −i ∑ i B( z ) = i =0N X ( z) = A( z ) 1 + ∑ ai z −i
z −n < ∞
n1 ≤ n ≤ n2 ;
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
7 /82
因此，当时，只要，则 n= z − n 1/ z n , ≥0 同样，当时，只要，则 n <= 0 z z ,
n −n
z≠0 z≠∞ z
z −n < ∞
−n
<∞
所以收敛域至少包含，也就是除 0< z <∞ “有限平面” z= (0, ∞) z 。 ∞外的开域，即所谓
9 /82
(3)左边序列
x(n), n ≤ n2 x ( n) = n > n2 0,
X ( z)
n = −∞
= x ( n) z ∑ ∑ x ( n) z
−n n = −∞
n2
信号与线性系统分析第三章
系统描述 分析方法
连续系统 微分方程 卷积积分 变换域（傅氏、s） 系统函数
离散系统 差分方程 卷积和 变换域（离散傅氏、z） 系统函数
第 2页
§2.1 LTI离散系统的响应
• 差分与差分方程 —前向差分、后向差分以及差分方程
• 差分方程解 —数值解、经典解，以及不同特征根对应的齐 次解和不同激励对应的特解
yzi (-2) = y(-2)
-----------
yzi (n) = ？
----------------yzi (-n) = y(-n)
第 13 页
零输入举例
例1：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0；初始状态 y(–1)=0, y(–2)=1/2 求系统的零输入响应
解：yzi(k)零输入响应满足：
yzi(k) + 3yzi(k –1)+ 2yzi(k –2)= 0
yzi(–1)= y(–1)= 0 yzi(–2) = y(–2) = 1/2 递推求 yzi(0)、 yzi(1) yzi(k)= – 3yzi(k –1) –2yzi(k –2)
yzi(0)= –3yzi(–1) –2yzi(–2)= –1
yzs(0)、yzs(1)、---yzs(n)=？ 借助微分方程
n
若其特征根均为单根： yzk (k ) Czsjkj y p (k ) j 1
第 16 页
零状态举例
例1：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0；求系统的零状态响应 解：零状态响应yzs(k) 满足
离散系统的时域分析_OK
pk[c cos k Dsin k] 或Apk cos(k )
其 中
Ae j
C
jD
Ar1k r1 k cos( k r1) Ar2k r2 k cos( k r2) ... A0 k cos( k 0)
8
2. 特解
激励 f (k)
特解 yp (k)
km
Pmk m Pm1k m1 ... P1k P0 k r Pmk m Pm1k m1 ... P1k P0
y
f
(1)
3y f
(0) 2 y f
(1)
f
(1)
1
14
系统的零状态响应是非齐次差分方程的全解,分别求出方程
的齐次解和特解,得
yf
(k)
C f1
(1)k
C f2
(2)k
yp (k)
C f1
(1)k
C f2
(2)k
1 3
(2)k
将初始值代入上式,得
y
f
(0)
C
f
1
C
f
2
1 3
1
yf
(1)
1C f
yx
(1)
y(1)
0,
yx
2
y
2
1 2
yx (0) 3 yx (1) 2 yx 2 1
yx 1 3yx 0 2 yx 1 3
2021/9/5
求得初始值
13
1 1, 1 2
yx
(k)
Cx1
(1)k
Cx2
(2)k
yx yx
(0) (1)
Cx1 Cx2 Cx1 2Cx2
差分方程与微分方程的求解方法在很大程度上是相互对 应的.
离散时间系统的时域特性分析
数字信号处理实验报告学生姓名：孙奇学生学号：10934212学生班级：10093412所属专业：通信工程实验日期：2012-11-6实验一：离散时间系统的时域特性分析实验目的线性时不变离散时间系统在时域中可以通过常系数线性差分方程来描述冲激响应序列可以刻画其时域特性。
本实验通过使用MATLAB函数研究离散时间系统的时域特性以加深对离散时间系统的差分方程、冲激响应系统的线性和时不特性的理解。
基本原理一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。
离散时间系统离散时间系统最重要的最常用的是“线性时不变系统实验内容程序一clf;n=0:100;x=cos(20*pi*n/256)+cos(200*pi*n/256);subplot(3,1,1);stem(n,x); %输入信号的图形xlabel('时间信号n');ylabel('信号幅度');title('输入信号');den1=[1]; %对应系统一的差分方程系数num1=[0.5 0.27 0.77];den2=[1 -0.53 0.46]; %对应系统二的差分方程系数num2=[0.45 0.5 0.45];y1=filter(num1,den1,x);subplot(3,1,2);stem(n,y1); %系统一输出信号的图形y2=filter(num2,den2,x);subplot(3,1,3);stem(n,y2); %系统二输出信号的图形3程序二n=40; %取冲击响应的前40个样本num1=[0.5 0.27 0.77]; %对应系统一的差分方程系数den1=[1];num2=[0.45 0.5 0.45]; %对应系统二的差分方程系数den2=[1 -0.53 0.46];y1=impz(num1,den1,n); %系统一的冲击响应subplot(2,1,1);stem(y1);y2=impz(num2,den2,n); %系统二的冲击响应subplot(2,1,2);stem(y2);判断是否为线性程序三（1）n=0:40;a=2; %任取两个系数b=3;x1=cos(2*pi*0.3*n);x2=cos(2*pi*0.5*n);x=a*x1+b*x2;num=[0.45 0.5 0.45]; %对应系统二的差分方程系数den=[1 -0.53 0.46];y1=filter(num,den,x1); %计算出y1（n）y2=filter(num,den,x2); %计算出y2（n）y=filter(num,den,x); %计算出y（n）subplot(2,1,1);stem(n,y);ylabel('信号幅度');yt=a*y1+b*y2; %计算出yt（n）=a y1（n）+b y2（n）subplot(2,1,2);stem(n,yt);ylabel('信号幅度');从图中可知，上下两个图完全一样，可知系统二符合叠加原理，即系统二是线性系统。
离散时间信号的时域分析实验报告
离散时间信号的时域分析实验报告实验报告：离散时间信号的时域分析一、实验目的本实验旨在通过MATLAB软件，对离散时间信号进行时域分析，包括信号的显示、基本运算（如加法、减法、乘法、反转等）、以及频域变换（如傅里叶变换）等，以加深对离散时间信号处理的基本概念和原理的理解。
二、实验原理离散时间信号是在时间轴上离散分布的信号，其数学表示为离散时间函数。
与连续时间信号不同，离散时间信号只能在特定的时间点取值。
离散时间信号的时域分析是研究信号的基本属性，包括幅度、时间、频率等。
通过时域分析，我们可以对信号进行各种基本运算和变换，以提取有用的信息。
三、实验步骤1.信号生成：首先，我们使用MATLAB生成两组简单的离散时间信号，一组为正弦波，另一组为方波。
我们将这些信号存储在数组中，以便后续分析和显示。
2.信号显示：利用MATLAB的绘图功能，将生成的信号在时域中显示出来。
这样，我们可以直观地观察信号的基本属性，包括幅度和时间关系。
3.基本运算：对生成的信号进行基本运算，包括加法、减法、乘法、反转等。
将这些运算的结果存储在新的数组中，并绘制出运算后的信号波形。
4.傅里叶变换：使用MATLAB的FFT（快速傅里叶变换）函数，将信号从时域变换到频域。
我们可以得到信号的频谱，进而分析信号的频率属性。
5.结果分析：对上述步骤得到的结果进行分析，包括比较基本运算前后的信号波形变化，以及傅里叶变换前后的频谱差异等。
四、实验结果1.信号显示：通过绘制图形，我们观察到正弦波和方波在时域中的波形特点。
正弦波呈现周期性的波形，方波则呈现明显的阶跃特性。
2.基本运算：通过对比基本运算前后的信号波形图，我们可以观察到信号经过加法、减法、乘法、反转等运算后，其波形发生相应的变化。
例如，两个信号相加后，其幅度和时间与原信号不同。
反转信号则使得波形在时间轴上反向。
3.傅里叶变换：通过FFT变换，我们将时域中的正弦波和方波转换到频域。
正弦波的频谱显示其频率为单一的直流分量，方波的频谱则显示其主要频率分量是直流分量和若干奇数倍的谐波分量。
(信息与通信)第七章离散时间系统的时域分析2
稳定性分析的应用
稳定性分析在离散时间系统中的应用非常广 泛。例如，在数字信号处理中，稳定性分析 可以帮助我们判断数字滤波器的性能和稳定 性；在控制系统分析中，稳定性分析是判断 系统能否正常工作的关键；在图像处理中， 稳定性分析可以帮助我们判断图像处理算法 的性能和稳定性。
此外，稳定性分析还可以应用于其他领域， 如金融、交通等。在这些领域中，稳定性分 析可以帮助我们理解和预测系统的行为，从
数字电视、数字广播、卫星通 信、移动通信等。
计算机控制系统
计算机控制的生产线、机器人 、智能家居等。
科学计算
数值计算、模拟仿真等。
02
离散时间系统的时域分析方法
差分法
01
差分法是通过离散时间信号的差分运算来分析系统的
特性。
02
差分方程是描述离散时间系统动态行为的基本工具，
通过求解差分方程可以得到系统的输出响应。
离散时间系统的仿真工具与技术
数学软件仿真
使用数学软件（如MATLAB、Simulink等）进行离散时间系统的建 模和仿真，可以进行系统性能分析和优化。
硬件描述语言仿真
使用硬件描述语言（如Verilog、VHDL等）进行离散时间系统的建 模和仿真，可以模拟硬件实现并进行验证。
模拟器仿真
使用模拟器（如QEMU、ModelSim等）进行离散时间系统的仿真， 可以模拟实际硬件运行环境，进行系统测试和验证。
对比分析
将离散时间系统的性能与其他同类系统进行对比， 以评估其优劣。
性能优化策略
01
算法优化
改进或优化离散时间系统的算法， 以提高其性能。
并行处理
利用并行处理技术，提高离散时间 系统的处理速度和效率。
03
离散时间系统的时域分析
称为混叠。 常称作折叠频率。 2
信号频率
fa nfs fm
fa fs / 2
假频
Fδ(jω)
抽样频率
ω Ω-ωm ωm Ω
例如：当抽样率为5kHz对3kHz的余弦信号 抽样，然后用截止频率为2.5kHz的低通滤波 器进行滤波，输出的频谱只包含2kHz的频率， 这是原信号中所没有的。
对一个低通滤波器的冲激响应进行抽样，抽 样后低频通带将在整个频率轴上周期的重复出现， 这种现象称为“伪门”。在设计数字滤波器时要 适当选择抽样率，使得伪门在干扰频率之外。
H(jω)
ω 0 数字滤波器的伪门
例1：对于频率为150Hz的正弦时间序列，分别以4ms 和8ms采样结果会如何？
100HZ 25HZ
在实际工作中应用抽样定理时，还应考虑下 面两个实际问题：
1、在理论上讲，按照奈奎斯特抽样率抽样， 通过理想低通滤波器以后，就可以恢复原信 号。但理想低通滤波器在物理上是不可实现 的，实际滤波器都存在一个过渡带，为了保 证在滤波器过渡带的频率范围内信号的频谱 为零，必须选择高于2fm的抽样率。
u (n) 0, n 0
...
n -1 0 1 2 3
(n) u(n) u(n) u(n 1)
u(n) (n m) (n) (n 1) (n 2) m0
3.矩形序列 R N (n )
1, R N (n) 0,
0 n N 1 其他n
RN (n) u(n) u(n N )
第五章 离散时间系统 的时域分析
§5.1 离散信号与抽样定理
一、离散信号及其表示
1、离散时间信号是指只在一系列离散的时刻 tk (k = 0,1,2,…)时，信号才有确定值，在其它时 刻，未定义; 2、离散时间信号是离散时间变量 tk 的函数; 3、抽样间隔可以是均匀的，也可以非均匀。
离散系统的时域分析法
第五章离散系统的时域分析法目录5.1 引言5.2 离散时间信号5.3 离散系统的数学模型-差分方程 5.4 线性常系数差分方程的求解5.5 单位样值响应5.6 卷积和§5.1引言连续时间信号、连续时间系统连续时间信号：f(t)是连续变化的t的函数，除若干不连续点之外对于任意时间值都可以给出确定的函数值。
函数的波形都是具有平滑曲线的形状，一般也称模拟信号。
模拟信号抽样信号量化信号连续时间系统：系统的输入、输出都是连续的时间信号。
离散时间信号、离散时间系统离散时间信号：时间变量是离散的，函数只在某些规定的时刻有确定的值，在其他时间没有定义。
离散时间系统：系统的输入、输出都是离散的时间信号。
如数字计算机。
o k t ()k t f 2t 1−t 1t 3t 2−t 离散信号可以由模拟信号抽样而得，也可以由实际系统生成。
量化幅值量化——幅值只能分级变化。
采样过程就是对模拟信号的时间取离散的量化值过程——得到离散信号。
数字信号：离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。
ot ()t f T T 2T 31.32.45.19.0o T T 2T 3()t f q t3421离散时间系统的优点•便于实现大规模集成，从而在重量和体积方面显示其优越性；•容易作到精度高，模拟元件精度低，而数字系统的精度取决于位数；•可靠性好；•存储器的合理运用使系统具有灵活的功能；•易消除噪声干扰；•数字系统容易利用可编程技术，借助于软件控制，大大改善了系统的灵活性和通用性；•易处理速率很低的信号。
离散时间系统的困难和缺点高速时实现困难，设备复杂，成本高，通信系统由模拟转化为数字要牺牲带宽。
应用前景由于数字系统的优点，使许多模拟系统逐步被淘汰，被数字（更多是模／数混合）系统所代替；人们提出了“数字地球”、“数字化世界”、“数字化生存”等概念，数字化技术逐步渗透到人类工作与生活的每个角落。
数字信号处理技术正在使人类生产和生活质量提高到前所未有的新境界。
6.离散时间信号与系统的时域分析
0, n 1 1 z ( n) x ( n) y ( n) , n 1 2 1 n 1 ( 2 )( n 1)( 2 ) , n 0
6 线性时不变离散系统的时域分析
5. 累加 设某一序列为x(n),则x(n)的累加序列 y(n)定义为
y ( n)
k
x(k ) x(n) * u(n)
n
根据上述性质可以推得以下结论：
f (n n1 ) * (n n2 ) f (n n1 n2 )
6 线性时不变离散系统的时域分析
例 已知 x1 (n) (n) 3 (n 1) 2 (n 2) x2 (n) u(n) u(n 3) 试求信号 x (n) ，它满足 x(n) x1 (n) x2 (n) 解：可利用上面讲述的性质求解。
1 1/ 2 1/4 -2 -1 0 1 1/8 ... 2
n
x(-n) 1 1/2 1/8 1/4 ... -2 -1 0
1
2
n
6 线性时不变离散系统的时域分析
3.序列的加减 两序列的加、减是指同序号(n)的序列值逐项对 应相加得一新序列。
6 线性时不变离散系统的时域分析
例：
x(n) 1 1/2 1/4 -2 -1 0 y(n) 2 1 1/4 1/2 1 2 n …
6 线性时不变离散系统的时域分析
2.单位阶跃序列
u（n）
1, u ( n) 0,
n0 n0
u(n)
...
-1 0 1 2 3 n
(n) u (n) u (n) u (n 1)
m 0
u (n) (n m) (n) (n 1) (n 2)
离散时间系统的时域分析
第七章离散时间系统的时域分析§7-1 概述一、离散时间信号与离散时间系统离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的信号。
离散时间系统：处理离散时间信号的系统。
混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连续时间信号的系统。
二、连续信号与离散信号连续信号可以转换成离散信号，从而可以用离散时间系统（或数字信号处理系统）进行处理：三、离散信号的表示方法：1、 时间函数：f(k)<——f(kT)，其中k 为序号，相当于时间。
例如：)1.0sin()(k k f =2、 （有序）数列：将离散信号的数值按顺序排列起来。
例如：f(k)={1,0.5,0.25,0.125,……,}时间函数可以表达任意长（可能是无限长）的离散信号，可以表达单边或双边信号，但是在很多情况下难于得到；数列的方法表示比较简单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。
四、典型的离散时间信号1、 单位样值函数：⎩⎨⎧==其它001)(k k δ 下图表示了)(n k −δ的波形。
这个函数与连续时间信号中的冲激函数)(t δ相似，也有着与其相似的性质。
例如：)()0()()(k f k k f δδ=，)()()()(000k k k f k k k f −=−δδ。
2、 单位阶跃函数：⎩⎨⎧≥=其它001)(k k ε这个函数与连续时间信号中的阶跃函数)(t ε相似。
用它可以产生（或表示）单边信号（这里称为单边序列）。
3、 单边指数序列：)(k a k ε比较：单边连续指数信号：)()()(t e t e t a at εε=，其底一定大于零，不会出现负数。
(a) 0.9a = (d) 0.9a =−(b) 1a = (e) 1a =−(c) 1.1a = (f) 1.1a =−4、 单边正弦序列：)()cos(0k k A εφω+双边正弦序列：)cos(0φω+k A五、离散信号的运算1、 加法：)()()(21k f k f k f +=<—相同的k 对应的数相加。
离散时间系统的时域分析
§7.1 引言
离散时间信号通过将连续时间信号进行取样得到
f t 4.2
3.1
采样(sampling)过程就是对模拟信号的 时间取离散的量化值过程——得到离 散信号。
1.5 0.9 2T 3T
o
3
f q t
T
4
t
幅值量化——幅值只能分级变化。
2 1
o
T
2T
3T
t
§7.1 引言
• 经过量化的离散时间信号称 为数字信号(digital signal)
经典法：齐次解 特解 时域分析 零输入响应 零状态响应 变换域分析: 拉氏变换法
离散时间系统——差分方程描述 差分方程的解法与微分方程类似
经典法：齐次解 特解 时域分析 零输入响应 零状态响应 变换域分析: z变换法
§7.2 取样信号与取样定理
• 取样定理(抽样定理)
• 通常将这种方程形式称为前向预测差分方程 (forward difference equation)
§7.3 离散时间系统的描述和模拟
• 差分方程与微分方程相比 在取样间隔Ts足够小时
dy( t ) y[( k 1)Ts ] y( kTs ) 微分方程 dt Ts 也可写做 dy( t ) y( kTs ) y[( k 1)Ts ] dt Ts
x n
3 4 5
1 2
9 10 11 6 7 8
22
n
一个周期
§7.1 引言
信号xn sin0.4n是否为周期信号？
0 0.4
2π
0
5π是无理数 所以为非周期的序列
§7.1 引言
• 离散信号 sin n0与连续信号 sin 0 t 的关系 2 对连续信号 f t sin2πf 0 t sinΩ0 t Ω0 T 离散点（时刻）nT’上的正弦值
实验二 离散控制系统的性能分析1
实验二离散控制系统的性能分析（时域/频域）一、实验目的1．掌握离散闭环系统的动态性能时域参数的分析与计算方法；2．掌握离散系统稳定性的频域典型参数分析与计算方法。
二、实验工具1．MATLAB 软件（6.5 以上版本）；2．每人计算机一台。
三、实验内容1．在 Matlab 语言平台上，通过给定的闭环离散系统，深刻理解时域参数的物理意义与计算方法，内容包括如下：●阻尼比参数分析：Z 平面与 S 平面的极点相互转换编程实现；分析 S/Z 两个平面域特殊特性（水平线、垂直线、斜线、圆周等）的极点轨迹相互映射方法；系统阶跃响应参数：上升时间和超调量等。
2．采用频域分析方法，通过编程计算，进一步理解离散系统的稳定性参数，包括如下：●通过幅频图，进行增益裕度分析；●通过相频图，进行相位裕度分析。
四、实验步骤1.阻尼比计算注释：Example 1 Damping ratio computationts=0.1;gp=tf(1,[1 1 0])gz=c2d(gp,ts,'zoh')kz=tf(5*[1,-0.9],[1 -0.7],ts);sys_ta=feedback(gz*kz,1,-1)p=pole(sys_ta)- 2 -radii=abs(p);angl=angle(p)damp(sys_ta)real_s=log(radii)/tsimg_s=angl/tszeta=cos(atan(-img_s./real_s))wn=sqrt(real_s.^2+img_s.^2)运行结果：2.水平 S 平面线到 z 平面的映射注释：Example 2 Mapping of horizontal s-plane line to z-planexx=[0:0.05:1]'N=length(xx)s0=-xx*35;s=s0*[1 1 1 1 1]+j*ones(N,1)*[0,0.25,0.5,0.75,1]*pi/tsplot(real(s(:,1)),imag(s(:,1)),'-o',real(s(:,2)),imag(s(:,2)),'-s',... real(s(:,3)),imag(s(:,3)),'-^',real(s(:,4)),imag(s(:,4)),'-*',...real(s(:,5)),imag(s(:,5)),'-v'),sgridz=exp(s*ts)plot(real(z(:,1)),imag(z(:,1)),'-o',real(z(:,2)),imag(z(:,2)),'-s',... real(z(:,3)),imag(z(:,3)),'-^',real(z(:,4)),imag(z(:,4)),'-*',...real(z(:,5)),imag(z(:,5)),'-v'),zgrid3.垂直 S 平面线到 z 平面的映射注释：Example 3 Mapping of vertical s-plane line to z-planes0=j*xx*pi/ts;s=ones(N,1)*[0,-5,-10,-20,-30]+s0*[1 1 1 1 1]plot(real(s(:,1)),imag(s(:,1)),'-o',real(s(:,2)),imag(s(:,2)),'-s',...real(s(:,3)),imag(s(:,3)),'-^',real(s(:,4)),imag(s(:,4)),'-*',...real(s(:,5)),imag(s(:,5)),'-v'),sgridz=exp(s*ts)plot(real(z(:,1)),imag(z(:,1)),'-o',real(z(:,2)),imag(z(:,2)),'-s',...real(z(:,3)),imag(z(:,3)),'-^',real(z(:,4)),imag(z(:,4)),'-*',...real(z(:,5)),imag(z(:,5)),'-v'),zgrid4.恒定阻尼比 S 平面线映射到 z 平面注释：Example 4 Mapping of constant damping ratio s-plane lines into z-plane s=s0*[1 1 1 1]-imag(s0)*[0,1/tan(67.5*pi/180),...1/tan(45*pi/180),1/tan(22.5*pi/180)]s=[s,real(s(:,4))];plot(real(s(:,1)),imag(s(:,1)),'-o',real(s(:,2)),imag(s(:,2)),'-s',...real(s(:,3)),imag(s(:,3)),'-^',real(s(:,4)),imag(s(:,4)),'-*',...real(s(:,5)),imag(s(:,5)),'-v'),sgridz=exp(s*ts)plot(real(z(:,1)),imag(z(:,1)),'-o',real(z(:,2)),imag(z(:,2)),'-s',...real(z(:,3)),imag(z(:,3)),'-^',real(z(:,4)),imag(z(:,4)),'-*',...real(z(:,5)),imag(z(:,5)),'-v'),zgrid5.将圆 s 平面线映射到 z 平面注释：Example 5 Mapping of circle s-plane line to z-planephi=xx*pi/2s0=(pi/ts)*(-cos(phi)+j*sin(phi))s=s0*[1,0.75,0.5,0.25,0]plot(real(s(:,1)),imag(s(:,1)),'-o',real(s(:,2)),imag(s(:,2)),'-s',... real(s(:,3)),imag(s(:,3)),'-^',real(s(:,4)),imag(s(:,4)),'-*',...real(s(:,5)),imag(s(:,5)),'-v'),sgridz=exp(s*ts)plot(real(z(:,1)),imag(z(:,1)),'-o',real(z(:,2)),imag(z(:,2)),'-s',... real(z(:,3)),imag(z(:,3)),'-^',real(z(:,4)),imag(z(:,4)),'-*',...real(z(:,5)),imag(z(:,5)),'-v'),zgrid6.阶跃响应注释：Example 6 Step response measurek=[0:1:60];step(sys_ta,k*ts);7.根轨迹注释：Example 7 Root-locus analysisrlocus(gz*kz)Amplitude；注释：Example 8 Root-locus analysis in page 56 numg=[1 0.5];deng=conv([1 -0.5 0],[1 -1 0.5]);sys_z=tf(numg,deng,-1)rlocus(sys_z)注释：Example 9 Root-locus analysis in page 57numg=[1];deng=[1 4 0];ts=0.25sys_s2=tf(numg,deng)sys_z2=c2d(sys_s2,ts,'imp')rlocus(sys_z2)8.频率响应注释：Example 10 Analysis of frequency response and roots locus in page 59 a=1.583e-7;k=[1e7,6.32e6,1.65e6];w1=-1;w2=1;ts=0.1;v=logspace(w1,w2,100);deng=[1.638 1 0];numg1=k(1,1)*a*[-1 1]numg2=k(1,2)*a*[-1 1]numg3=k(1,3)*a*[-1 1]sys_s1=tf(numg1,deng)sys_s2=tf(numg2,deng)sys_s3=tf(numg3,deng)bode(sys_s1,sys_s2,sys_s3,v),grid onnumg=1.2e-7*[1 1]deng=conv([1 -1],[1 -0.242]);sys_z2=tf(numg,deng,ts)rlocus(sys_z2),grid on五、实验思考1. S 平面与 Z 平面不同位置的映射关系分析s平面虚轴的映射s平面整个虚轴映射为z平面单位圆，左半平面任一点映射在z平面单位圆内，右半平面任一点映射在单位圆外。
离散信号与系统的时域和频域分析
h(k n) an1h(k n 1) an2h(k n 2) ... a0h(k ) 0 K>0时， n 齐次差分方程解： k
h(k ) [ ci ( ) ] (k )
离散信号与系统分析
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本章说明
与连续信号与系统相比较，离散系统的数学描述是激励响应的差分方 程，其系统分析求响应实质是求解描述离散系统的差分方程。离散系 统的零状态响应可以用卷积和来求取。 时域分析： 1.掌握离散信号与系统的基本概念。 2.熟悉并掌握常用基本信号的描述、特性、运算与变换。 3.深刻理解采样定理的意义、内容及应用。 4.掌握离散系统的数学描述方法—差分方程及模拟图 5.掌握离散系统的时域分析—经典法求零输入响应、零状态响应。 6.熟悉卷积和法及其主要性质并会应用卷积和法求零状态响应。
4、图解法卷积
①变量代换 f1(n) 变成f1(k) f2(n) 变成f2( ②反折其中之一信号 ③将反折信号移位 m f2(-k) f2(m-k) 以k代n
④e将平移后的f2(m-k)与对应的f1(k)相乘 ⑤将各乘积值相加可画出全部y(m) ⑥重复步骤③到⑤可画出全部y(n) 5、系统零状态响应为
5、序列的运算
④差分：离散信号的差分运算 f (k ) f (k 1) f (k ) 前向差分： f (k ) f (k ) f (k 1) 后向差分： ⑤反折：将离散信号以纵轴为对称轴反折（转） ⑥压扩：将离散信号中f（k）的自变量k置换为ak得到的过程称为信号的尺 度变换 注意：不存在非整数ak的值！ ⑦求和：离散信号的求和运算是对某一离散信号进行历史推演的求和过程。
第五章离散信号与系统时域分析
解： (1) E2 3E 2 0
E1 1 E2 2
y0 (k) C1(1)k C2 (2)k
(2) 激励为f (k) 2kU (k) yt (k) A(2k )
代入差分方程，可得
yt
(k)
1 3
(2k
)
(3)
全 响 应 为y(k )
C1 (1) k
C2 (2)k
1 3
(2k
)
(4) 全响应为y(k) 2 (1)k 2 (2)k 1 (2k ) k 0
y(k) 2(1 k)(2)k
k 0
19
二、非齐次差分方程时域解
(En an1En1 a0 ) y(k) (bmEm b0 ) f (k)
传输算子 特征方程
H(E)
E n
bmE m b0 an1E n1 a0
En an1En1 a0 0 （自然频率）
时域解为
y(k ) y0 (k ) yt (k )
k 0 : f (k) 0 k 0 : y(k) 0
12
三、离散时间系统模型 1、差分方程描述： 例1：y(k)表示一个国家在第k年的人口数， a、b分别代表出生率和死亡
率，是常数。设f(k)是国外移民的净增数，则该国在第k+1年的人口总数 y(k+1)为多少？
y(k+1)=y(k)+ay(k)-by(k)+f(k)=(a-b+1)y(k)+f(k) 所以，有 y(k+1)+(b-a-1)y(k)=f(k)
3.倒相: y(k)=-f(k)
4.展缩: y(k)=f(ak) (横坐标k只能取整数)
5
四、常用离散信号 1.单位序列（单位取样序列、单位脉冲序列、单位函数）
信号与系统第五章 离散信号与系统的时域分析
f1(k) f (n)
6
n
3 2
1
1 1 2 3 k
3
1
1 1 2 3 4 k
《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
返回
ZB
5.1.3 常用的离散信号
(k)
1. 单位函数 (k)
(k)
1 0
k0 k0
1
1 1 2 3 k
(k n)
(k
n)
1 0
k n kn
1
1 0 1 2 n k
整理，得 y(k 2) 3y(k 1)＋2y(k)＝0
《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS ZB
例：每月存入银行 A 元，设月息为 ，试确定第 k 次存
款后应有的存款额 y(k) 的方程。
解：第 k＋1 次存入后应有的存款额为
A y(k) y(k)
即 y(k 1) y(k) y(k) A
(1) 筛选特性 f (k) (k n) f (n)
k
(2) 加权特性 f (k) (k n) f (n) (k n)
应用此性质，可以把任意离散信号 f (k) 表示为一系 列延时单位函数的加权和，即
f (k) f (2) (k 2) f (1) (k 1)
返回《信号f与(0)系 (统k) 》fS(1IG) N(kAL1)SANDSnYSTfE(Mn)S
一阶后向差分
f (k) f (k) f (k 1)
二阶后向差分
f (k) 2 f (k) f (k) f (k 1)
《信号与系统》SIGf (Nk)AL2SfA(kND1)SYfS(TkEM2)S
返回
ZB
6. 序列的求和（累加） (对应于连续信号的积分)
离散信号与系统的时域分析实验报告
离散信号与系统的时域分析实验报告1. 引言离散信号与系统是数字信号处理中的重要基础知识，它涉及信号的采样、量化和表示，以及离散系统的描述和分析。
本实验通过对离散信号在时域下的分析，旨在加深对离散信号与系统的理解。
在实验中，我们将学习如何采样和显示离散信号，并通过时域分析方法分析信号的特性。
2. 实验步骤2.1 信号的采样与显示首先，我们需要准备一个模拟信号源，例如函数发生器，来产生一个连续时间域的模拟信号。
通过设置函数发生器的频率和振幅，我们可以产生不同的信号。
接下来，我们需要使用一个采样器来对模拟信号进行采样，将其转化为离散时间域的信号。
使用合适的采样率，我们可以准确地获取模拟信号的离散样本。
最后，我们将采样后的信号通过合适的显示设备进行显示，以便观察和分析。
2.2 信号的观察与分析在实验中，我们可以选择不同类型的模拟信号，例如正弦波、方波或脉冲信号。
通过观察采样后的离散信号，我们可以观察到信号的周期性、频率、振幅等特性。
通过对不同频率和振幅的信号进行采样，我们可以进一步研究信号与采样率之间的关系，例如采样定理等。
2.3 信号的变换与滤波在实验中，我们可以尝试对采样后的离散信号进行变换和滤波。
例如，在频域下对信号进行离散傅里叶变换（DFT），我们可以将时域信号转换为频域信号，以便观察信号的频谱特性。
通过对频谱进行分析，我们可以观察到信号的频率成分和能量分布情况。
此外，我们还可以尝试使用不同的数字滤波器对离散信号进行滤波，以提取感兴趣的频率成分或去除噪声等。
3. 实验结果与分析通过实验，我们可以得到许多有关离散信号与系统的有趣结果。
例如，在观察信号的采样过程中，我们可以发现信号频率大于采样率的一半时，会发生混叠现象，即信号的频谱会发生重叠，导致采样后的信号失真。
而当信号频率小于采样率的一半时，可以还原原始信号。
此外，我们还可以观察到在频域下，正弦波信号为离散频谱，而方波信号则有更多的频率成分。
4. 结论通过本实验，我们对离散信号与系统的时域分析有了更深入的理解。
第2章 离散时间信号与系统的变换域分析
bi z i
M
因此，X(z)可以展成以下部分分式形式
r Ak Ck n X ( z ) Bn z 1 1 zk z (1 zi z 1 ) k n 0 k 1 k 1 M N N r
其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点， Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck 分别为： A Re s[ X ( z ) ] z z zk k 1 d r k r x( z ) Ck r k [( z zi ) (r k )! dz z zz ,
X ( z)
0
n
0
n2 n
n
x ( n) z
n
n2
n
x ( n) z
x ( n) z
n 1
n2
n
14
第二项为有限长序列,其收敛域 0 z ; 第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理, 其收敛域为 0 z Rx ; R x 为最大收敛半径 .
i
k 1, 2r 29
分别求出各部分分式的z反变换（可查 P39 表2-1-1），然后相加即得X(z)的z反变换。
[例2-5]利用部分分式法，求X ( z) 1 (1 2 z 1 ) (1 0.5z 1 ) , z 2 的z反变换。 解：
1 z X ( z) 1 1 (1 2 z )(1 0.5 z ) ( z 2)( z 0.5) X ( z) z A1 A2 z ( z 2)( z 0.5) z 2 z 0.5
对采样信号 进行拉普拉斯变换
x a (t )
n
x (nT ) (t nT )
第八章z变换离散时间系统的时域分析
3．左边序列的收敛
x(n) anu n 1 n 1
1
X(z) anzn
n
令m n
X(z) amzm amzm a0z0 1 amzm
m1
m0
m0
1
m0
z a
m
1
lim
m
1
z a
m
1
1 z a
当 z 1，即z a时收敛
X
a
z
1
1
1
第八章 Z变换、离散时间系统的Z域 分析
§8.1 引言
一．引言
•求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换； •z变换的历史可是追溯到18世纪； •20世纪50~60年代抽样数据控制系统和数字计算机的 研究和实践，推动了z变换的发展； •70年代引入大学课程； •今后主要应用于DSP分析与设计，如语音信号处理等 问题。 本章主要讨论： •拉氏变换的定义、收敛域、性质，与傅氏变换和拉氏 变换的关系；利用z变换解差分方程； •利用z平面零极点的分布研究系统的特性。
z
z
a
a n u( n) anu(n
1)
za za
因果序列 右边序列 收敛域 z R,包括z
为了保证 z 处收敛，其分子多项式的阶次不能大
于分母多项式的阶次,即必须满足k r 。
2．求逆z变换的步骤
• 提出一个z
• xz为真分式
z • 再部分分式展开
• xz z
z • 查反变换表
将X z 以z的升幂排列
1
X (z) x(n)z n x(1)z1 x(2)z 2 x(3)z 3 n
三．围线积分法求z反变换
1．z逆变换的围线积分表示
已知z变换
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
X (z)
n
x ( n) z n x ( n) z n
n0
n
x ( n) z n
因而其收敛域应该是右边序列与左边序列收敛域的重叠部分。 等式右边第一项为右边序列，其收敛域为|z|>Rx-; 第二项为左边序 列，其收敛域为|z|<Rx+。如果Rx-<Rx+，则存在公共收敛区域，X(z)
n 0
n n
1 (az ) 1 az 1 n 0
1 n
|z|>|a|
这是一个无穷项的等比级数求和，只有在 |az-1|<1即|z|>|a|处收敛如图所示。故得到以上
1 z 闭合形式的表达式，由于 ，故 1 az 1 z a
jIm[z]
|a|
a
o
在z=a处有一极点(用“×”表示)，在z=0处有
4
第2章
时域离散信号和系统的频域分析
2.5 序列的Z 变换
2.5.1
ˇ
Z变换的定义 一个离散序列x(n)的Z变换定义为
X (z)
‵ 式中，z是一个复变量，它所在的复平面称为Z平 面。我们常用Z［x(n)］表示对序列x(n)进行Z 变换，也即
n
x ( n) z
n
（2.5.1）
Z[ x(n)] X ( z )
Re[z]
一个零点(用“○”表示)，收敛域为极点所
在圆|z|=|a|的外部。
18
第2章
时域离散信号和系统的频域分析
收敛域上函数必须是解析的，因此收敛域内不允许有极点存在。 所以，右边序列的Z变换如果有N个有限极点｛z1,z2,…,zN｝存在，
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实验1 离散系统的时域及变换域分析一、实验目的：1.加深对离散系统的差分方程、单位抽样响应和卷积分析方法的理解。
2.加深对离散系统的频率响应分析和零、极点分布的概念理解。
二、实验原理： 1.时域 离散系统其输入、输出关系可用以下差分方程描述：∑∑==-=-Mm m Nk nm n x b k n y a)()(输入信号分解为冲激信号，∑∞-∞=-=m m n m x n x )()()(δ系统单位抽样序列h （n ），则系统响应为如下的卷积计算式：∑∞-∞=-=*=m m n h m x n h n x n y )()()()()(当00≠a N k a k ,...2,1,0==时，h(n)是有限长度的（n ：[0，M]），称系统为FIR系统；反之，称系统为IIR 系统。
在MATLAB 中，可以用函数y=filter(b,a,x)实现差分方程的仿真，也可以用函数 y=conv(x,h)计算卷积。
2.变换域离散系统的时域方程为∑∑==-=-Mm m Nk nm n x b k n y a)()(其变换域分析方法如下：X(z)H(z)Y(z) )()()()()(=⇔-=*=∑∞-∞=m m n h m x n h n x n y 系统函数为 N N MM z a z a a z b z b b z X z Y z H ----++++++==......)()()(110110分解因式∏∏∑∑=-=-=-=---==Nk kMm m Nk kk Mm mm z dz c Kza zb z H 1111)1()1()( ，其中 m c 和 k d 称为零、极点。
在MATLAB 中，可以用函数[z ，p ，K]=tf2zp （num ，den ）求得有理分式形式的系统函数的零、极点，用函数zplane （z ，p ）绘出零、极点分布图；也可以用函数zplane （num ，den ）直接绘出有理分式形式的系统函数的零、极点分布图。
使用h=freqz(num,den,w)函数可求系统的频率响应，w 是频率的计算点，如w=0:pi/255:pi, h 是复数，abs(h)为幅度响应，angle(h)为相位响应。
另外，在MATLAB 中，可以用函数 [r ，p ，k]=residuez （num ，den ）完成部分分式展开计算；可以用函数sos=zp2sos （z ，p ，K ）完成将高阶系统分解为2阶系统的串联。
三 、实验内容 1.时域（1.）编制程序求解下列系统的单位抽样响应，并绘出其图形。
)1()()2(125.0)1(75.0)(--=-+-+n x n x n y n y n y解 用MATLAB 计算程序如下： N=15; n=0:N-1; b=[1,-1];a=[1,0.75,0.125]; x=[n==0];y=filter(b,a,x); subplot(3,2,1); stem(n,y,'.'); axis([0,N,-1,2]); ylabel('y(n)');(2.)给定因果稳定线性时不变系统的差分方程∑∑==-=-Mm m Nk nm n x b k n y a)()(对下列输入序列()x n ，求输出序列()y n 。
30()()x n R n =解：MATLAB 计算程序如下：N=80; n=0:N-1; b=1;a=[1,-1,0.9];x=[(n>0&(n<30))]; y=filter(b,a,x); subplot(3,2,3); stem(n,y,'.'); axis([0,N,-1,2]); ylabel('y(n)');例1 求下列直接型系统函数的零、极点，并将它转换成二阶节形式num=[1 -0.1 -0.3 -0.3 -0.2];den=[1 0.1 0.2 0.2 0.5];[z,p,k]=tf2zp(num,den);disp('零点');disp(z);disp('极点');disp(p);disp('增益系数');disp(k);sos=zp2sos(z,p,k);disp('二阶节');disp(real(sos));zplane(num,den)输入到“num”和“den”的分别为分子和分母多项式的系数。
计算求得零、极点增益系数和二阶节的系数：零点0.9615-0.5730-0.1443 + 0.5850i-0.1443 - 0.5850i极点0.5276 + 0.6997i 0.5276 - 0.6997i -0.5776 + 0.5635i -0.5776 - 0.5635i 增益系数 1 二阶节1.0000 -0.3885 -0.5509 1.0000 1.1552 0.6511 1.0000 0.2885 0.3630 1.0000 -1.0552 0.7679系统函数的二阶节形式为：极点图如右图。
例2 差分方程)3(02.0)2(36.0)1(44.0)(8.0 )3(6.0)2(45.0)1(7.0)(-+-+--=-----+n x n x n x n x n y n y n y n y 所对应的系统的频率响应。
解：差分方程所对应的系统函数为3213216.045.07.0102.036.044.08.0)(--------+++-=zz z z z z z H 用MATLAB 计算的程序如下：k=256;num=[0.8 -0.44 0.36 0.02]; den=[1 0.7 -0.45 -0.6]; w=0:pi/k:pi;h=freqz(num,den,w); subplot(2,2,1);plot(w/pi,real(h));grid title('实部')xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度') subplot(2,2,2);plot(w/pi,imag(h));gridtitle('虚部')xlabel('\omega/\pi');ylabel('Amplitude') subplot(2,2,3);plot(w/pi,abs(h));grid title('幅度谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅值') subplot(2,2,4);plot(w/pi,angle(h));grid title('相位谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('弧度')练习1.求系统54321543212336.09537.08801.14947.28107.110528.0797.01295.01295.00797.00528.0)(-----------+-+-+++++=z z z z z z z z z z z H 的零、极点和幅度频率响应和相位响应。
要求：绘出零、极点分布图，幅度频率响应和相位响应曲线。
解：用MATLAB 计算的程序如下：num=[0.0528 0.0797 0.1295 0.1295 0.797 0.0528]; den=[1 -1.8107 2.4947 -1.8801 0.9537 -0.2336]; [z,p,k]=tf2zp(num,den); disp('零点');disp(z);disp('极点');disp(p);零点-1.5870 + 1.4470i-1.5870 - 1.4470i0.8657 + 1.57795i0.8657 - 1.5779i-0.0669极点0.2788 + 0.8973i0.2788 - 0.8973i0.3811 + 0.6274i0.3811 - 0.6274i0.4910k=256;num=[0.0528 0.0797 0.1295 0.1295 0.797 0.0528];den=[1 -1.8107 2.4947 -1.8801 0.9537 -0.2336]; w=0:pi/k:pi;h=freqz(num,den,w);subplot(2,2,1);plot(w/pi,real(h));gridtitle('幅度谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅值')subplot(2,2,4);plot(w/pi,angle(h));gridtitle('相位谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('弧度')四、实验结果分析1、系统函数的零、极点分别关于实轴和原点对称分布2、对于稳定的因果系统，H（z）的全部极点应落在单位圆内，所以描述的系统是稳定的因果系统3、通过Matlab，可以直观的看出系统函数的幅度和相位谱的变化，为系统分析提供了有效便捷的方法五、实验心得1、通过这次实验，学会了更好地使用Matlab仿真软件，对于一些复杂的频率响应有更直观的分析。
2、通过零极点的分布，可以直观的看出来是否为稳定因果系统，比起分析零极点的值，更为便捷。
3、编程的过程中，需要静下心，认真思考，不得马虎。