第1章 3时域离散系统
《数字信号处理》课程教学大纲
《数字信号处理》课程教学大纲课程编码：课程名称：数字信号处理英文名称： Digital signal processing适用专业：物联网工程先修课程：复变函数、线性代数、信号与系统学分：2总学时：48实验（上机）学时：0授课学时：48网络学时：16一、课程简介《数字信号处理》是物联网工程专业基础必修课。
主要研究如何分析和处理离散时间信号的基本理论和方法，主要培养学生在面对复杂工程问题时的分析、综合与优化能力，是一门既有系统理论又有较强实践性的专业基础课。
课程的目的在于使学生能正确理解和掌握本课程所涉及的信号处理的基本概念、基本理论和基本分析方法，来解决物联网系统中的信号分析问题。
培养学生探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感。
助力学生树立正确的价值观，培养思辨能力、工程思维和科学精神。
培养学生精益求精的大国工匠精神，激发学生科技报国的家国情怀和使命担当。
它既是学习相关专业课程设计及毕业设计必不可少的基础，同时也是毕业后做技术工作的基础。
二、课程目标和任务1.课程目标课程目标1（CT1）:运用时间离散系统的基本原理、离散时间傅里叶变换、Z变换、离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换(FFT)、时域采样定理和频域采样定理等工程基础知识，分析物联网领域的复杂工程问题。
培养探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感[课程思政点1]。
助力学生树立正确的价值观，培养思辨能力、工程思维和科学精神[课程思政点2]。
课程目标2 （CT2）:说明利用DFT对模拟信号进行谱分析的过程和误差分析、区分各类网络的结构特点；借助文献研究运用窗函数法设计具有线性相位的FIR数字滤波器，分析物联网领域复杂工程问题解决过程中的影响因素，从而获得有效结论的能力。
培养学生精益求精的大国工匠精神，激发学生科技报国的家国情怀和使命担当[课程思政点3]。
2.课程目标与毕业要求的对应关系三、课程教学内容第一章时域离散信号与系统（1）时域离散信号表示；（2）时域离散系统；（3）时域离散系统的输入输出描述法；*（4）模拟信号数字处理方法；教学重点：数字信号处理中的基本运算方法，时域离散系统的线性、时不变性及系统的因果性和稳定性。
数字信号处理教案
数字信号处理教案数字信号处理教案课程特点:本课程是为电子、通信专业三年级学生开设的一门课程，它是在学生学完了信号与系统的课程后，进一步为学习专业知识打基础的课程。
本课程将通过讲课、练习使学生掌握数字信号处理的基本理论和方法。
课程内容包括：离散时间信号与系统；离散变换及其快速算法；数字滤波器结构；数字滤波器设计；数字信号处理系统的实现等。
本课程逻辑性很强, 很细致, 很深刻；先难后易, 前三章有一定的难度, 倘能努力学懂前三章(或前三章的0080), 后面的学习就会容易一些；只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成。
这是因为数字信号分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的。
论证训练是信号分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一。
因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是信号分析教学贯穿始终的一项任务。
鉴于此, 建议的学习方法是： 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成。
课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写。
基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业。
在学习中, 要养成多想问题的习惯。
课堂讲授方法:1. 关于教材: 《数字信号处理》作者丁玉美高西全西安电子科技大学出版社2. 内容多, 课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重。
.3. 讲解的重点: 概念的意义与理解, 理论的体系, 定理的意义、条件、结论、定理证明的分析与思路, 具有代表性的证明方法, 解题的方法与技巧，某些精细概念之间的本质差别. 在教学中, 可能会写出某些定理证明, 以后一般不会做特别具体的证明叙述.4. 要求、辅导及考试：a. 学习方法: 适应大学的学习方法, 尽快进入角色。
数字信号处理课件-高西全
k 0 N 1
4． 实指数序列
x(n) a u(n)， a为实数
n
5． 正弦序列
x(n) A sin(n )
6． 复指数序列
N 16
N 5
非周期信号
N乘法，是指同一时 刻的序列值逐项对应相加和相乘。
2． 移位
移位序列x(n－n0) ，当n0>0时, 称为x(n)的 延时序列；当n0<0时，称为x(n)的超前序列。 例3 已知x(n)波形，画出x(n-2)及x(n+2)波形图。
绪论
数字信号处理的对象是数字信号. 数字信号处理是采用数值计算的方法完成 对信号的处理.
数字信号处理的特点
灵活性 高精度和高稳定性 便于大规模集成 可以实现模拟系统无法实现的诸多功能
第1章 时域离散信号和时域离散系统
掌握常见时域离散信号的表示及运算。 掌握时域离散系统的线性、时不变性、因 果性及稳定性的含义及判别方法。 掌握采样定理。
经典解法（实际中很少采用）
递推解法（方法简单，但只能得到数值解，
不易直接得到公式解）
变换域法（Z域求解，方法简便有效）
递推解法
例10、设因果系统用差分方程
y(n)=ay(n－1)+x(n)描述，输入x(n)=δ(n) 若初始条件y(-1)=0，求输出序列y(n)。
解：由初始条件 y(1) 0及
1.4 时域离散系统的输入输出描述 法——线性常系数差分方程
N阶线性常系数差分方程表示：
数字信号处理第一章离散时间信号和离散时间
离散卷积的计算
计算它们的卷积的步骤如下： (1)折叠：先在哑变量坐标轴k上画出x(k)和h(k)，将h(k)以纵坐标为对称轴折 叠成 h(-k)。 (2)移位：将h(-k)移位n，得h(n-k)。当n为正数时，右移n；当n为负数时，左 移n。 (3)相乘：将h(n-k)和x(k)的 对应取样值相乘。 (4)相加：把所有的乘积累加 起来，即得y(n)。
第一章 时域离散信号和时域离散系统
内容提要
离散时间信号和离散时间系统的基本概念 –序列的表示法和基本类型 –用卷积和表示的线性非移变系统 –讨论系统的稳定性和因果性问题 –线性常系数差分方程 –介绍描述系统的几个重要方式
离散时间信号的傅里叶变换和系统的频率响应 模拟信号的离散化
–讨论了模拟信号、取样信号和离散时间信号(数字 序列)的频谱之间的关系
根据线性系统的叠加性质 y(n) x(m)T[ (n m)] m
根据时不变性质:T[ (n m)] h(n m)
y(n) x(m)h(n m) x(n) h(n) m=-
(1.3.7)
通常把式(1.3.7)称为离散卷积或线性卷积。这一关系常用符 号“*”表示，即：
y(n n0 ) T[kx(n n0 )], 是移不变系统 (2) y(n) nx(n), 即y(n n0 ) (n n0 )x(n n0 ) 而T[x(n n0 )] nx(n n0 ) y(n n0 ),不是移不变系统
1.3.3 线性时不变系统及输入与输出的关系 既满足叠加原理，又满足非移变条件的系统，被称为线性 非移变系统。这类系统的一个重要特性，是它的输入与输 出序列之间存在着线性卷积关系。
§1. 2 时域离散信号
信号处理（ＰＤＦ）
时域离散信号：§例：已知模拟信号是一个正弦波，将它转换成时域离散信号和数字信号。
} {,0,0.9sin 50,0.9sin100,0.9sin150T T ππ时域离散信号n 只能取整数总结：时域离散信号可以通过对模拟信号得到，如果将它的每一个序列值经过有限位的，得到一个用二进制编码表示的序列，该序列就数字信号。
序列值一般有无限位小数。
如果用四位二进制数表示的幅度，二进制数第一位表示符号位，该二进制编码形成的信号数字信号数字信号编码、量化号之间是有差别的。
总结：随着二进制编码位数增加，数字信号和时域离散信号之间的差别越来越小。
[x n 换算成十进制，则x(n 位数有关，如果用换算成十进制，则时域离散信号的来源有两类：¾¾例：每天上午压均正常，收缩压不正常，仅记录收缩压并用时域离散信号号也称为时域离散信号表示方法（（（x(n)……¾，如果将它的每一个序列值经过有限位的，得到一个用二进制编码表示的序列，该序列就是字信号¾号之间的差别越来越小。
110()00n n n δ=⎧=⎨≠⎩δδ()t δ10 ()00nu nn≥⎧=⎨<⎩101()0n N n N R n ≤≤−⎧=⎨⎩其它4、实指数序列()()nx n a u n =a 为实数5、复指数序列00()()j n j n nx n e e eσωωσ+==⋅00cos()sin()n ne n je n σσωω=+0ω为数字域频率j n n 3x(n)=0.9e π例：6、正弦序列0()sin()x n A n ωφ=+()()sin()a t nTx n x t A nT φ===Ω+0/sT f ω=Ω=Ω0ω：数字域频率Ω：模拟域频率T ：采样周期s f ：采样频率()sin()a x t A t φ=Ω+模拟正弦信号：数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率弧度弧度/秒(x n8x 要使表示成取(3)任何整数例：判断解：如果一个正弦型序列是由一个连续信号采样而得到的，那么，时间间隔得到的采样序列是周期序列呢？设连续正弦信号信号的周期为ω频率乘以频率。
数字信号处理习题答案
因为
y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)
=ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］+3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］
a T［x1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2)
所以
bT［x2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2)
n
1=n+1
m0
3
1=8－n
mn4
④ n>7时， y(n)=0
题8解图（1）
最后结果为 0 n<0或n>7
y(n)= n+1 0≤n≤3 8－n 4≤n≤7
y(n)的波形如题8解图（1）所示。 (2) y(n) =2R4(n)*［δ(n)－δ(n－2)］=2R4(n)－2R4(n－2) = 2［δ(n)+δ(n－1)－δ(n+4)－δ(n+5)
n
n
x(n) 2 cos(0nT )
- n
（3）
0 2πf0 200π rad
T 1 2.5 ms fs
Xˆ a (
j )
1 T
X a ( j
k
jks )
2π T
[δ(
k
0
k s
)
δ(
0
ks )]
式中 s 2πfs 800π rad/s
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
第1章 时域离散信号与时域离散系统
h(n) 1[ (n) δ(n 1) δ(n 2) δ(n 3) δ(n 4)]
5
（2） 已知输入信号， 用卷积法求输出。 输出信号y(n)为 y(n) x(k)h(n k) k
数字信号处理第三版西科大课后答案第1章
第1章 时域离散信号和时域离散系统 1.1.2 重要公式（1） ∞-∞==-=m n h n x m n h m x n y )(*)()()()( 这是一个线性卷积公式， 注意公式中是在－∞~∞之间对m 求和。
如果公式中x(n)和h(n)分别是系统的输入和单位脉冲响应， y(n)是系统输出， 则该式说明系统的输入、 输出和单位脉冲响应之间服从线性卷积关系。
（2）x(n)=x(n)*δ(n)该式说明任何序列与δ(n)的线性卷积等于原序列。
x(n －n0)=x(n)*δ(n －n0)（3）∞-∞=-=k a n k X T X )j j (1)j (ˆs ΩΩΩ这是关于采样定理的重要公式， 根据该公式要求对信号的采样频率要大于等于该信号的最高频率的两倍以上， 才能得到不失真的采样信号。
∞-∞=--=n a a T nT t T nT t nt x t x /)(π]/)(πsin[)()(这是由时域离散信号理想恢复模拟信号的插值公式。
1.2 解线性卷积的方法解线性卷积是数字信号处理中的重要运算。
解线性卷积有三种方法， 即图解法（列表法）、 解析法和在计算机上用MA TLAB 语言求解。
它们各有特点。
图解法（列表法）适合于简单情况， 短序列的线性卷积， 因此考试中常用， 不容易得到封闭解。
解析法适合于用公式表示序列的线性卷积， 得到的是封闭解， 考试中会出现简单情况的解析法求解。
解析法求解过程中， 关键问题是确定求和限， 求和限可以借助于画图确定。
第三种方法适合于用计算机求解一些复杂的较难的线性卷积， 实验中常用。
解线性卷积也可用Z 变换法，以及离散傅里叶变换求解， 这是后面几章的内容。
下面通过例题说明。
设x(n)=R 4(n), h(n)=R 4(n)， 求y(n)=x(n)*h(n)。
该题是两个短序列的线性卷积， 可以用图解法（列表法）或者解析法求解。
表1.2.1给出了图解法（列表法）， 用公式可表示为y(n)={…, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0, 0, …}下面用解析法求解， 写出卷积公式为∑∞-∞=∞-∞=-=-=m m m n R m R m n h m x n y )()()()()(44在该例题中， R 4(m)的非零区间为0≤m ≤3， R 4(n －m)的非零区间为0≤n －m ≤3，或写成n －3≤m ≤n ，这样y(n)的非零区间要求m 同时满足下面两个不等式：0≤m ≤3 m －3≤m ≤n上面公式表明m 的取值和n 的取值有关， 需要将n 作分段的假设。
数字信号处理-原理实现及应用(高西全-第3版)第1章 时域离散信号和系统
2020/7/5
信息与通信工程系—数字信号处理
14
时域离散信号的表示
用图形表示
直观
1
0.5
xaT(n)
0
-0.5
-1
-4
-2
0
2
4
6
n
为了醒目，在每一条竖线的顶端加一个小黑点。
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信息与通信工程系—数字信号处理
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Matlab 语言中的序列表示
t=-0.025:0.001:0.025; xat=0.9*sin(50*pi*t); subplot(2,1,1); plot(t,xat);axis([-0.025,0.03,-1,1]); xlabel('t'); ylabel('xat(t)');
a nun
1 a 0
1 1 O 1
23
4n
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信息与通信工程系—数字信号处理
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正弦序列
x(n) Asin(nT ) Asin(n )
T 采样间隔 ； 模拟信号的角频率
数字域的数字频率
T 1
x(n)
0
2 /10
-1
-10 -5
0
5 10
n
2020/7/5
信息与通信工程系—数字信号处理
信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样 的物理装置常称为系统。
系统的基本作用是对输入信号进行加工和处理，将其
转换为所需要的输出信号。
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信息与通信工程系—数字信号处理
6
1.1 引言
信号、系统数学描述的意义
为了把握信号与系统的特征参数
系统输出的预测
第1章时域离散信号和离散系统
1 x 10
-5
0 n
5
x(n)
x(t)
0 n
5
1.1 时域离散信号（2）
(5)几种常用的离散时间信号(6+1个) 冲击序列（单位抽样序列）： 抽样性质： x(n) (n k ) x(k )
( n)
1, n 0 0, n 0
m
任意序列：可用冲击序列的移位加权和表示： x(n) x(m) (n m) 阶跃序列： 矩形序列：
z-1
1.3 线性非时变系统（LTI）（1）
(1)系统的线性(Linearity)：满足叠加原理(superposition）的系统。 数学表示：
设y1 (n) T [ x1 (k )], y 2 (n) T [ x2 (k )] 若y(n) T [ax1 (n) bx2 (n)] ay1 (n) by2 (n) 则系统称为线性系统。
n
| h( n) |
例如不稳定系统： h(n) sin n
h( n) u ( n )
1.4 线性差分方程描述的LTI系统（1）
(1)N阶线性差分方程
ak y(n k ) bk x(n k ) , ak 1，ak、bk为常数
k 0 k 0
N
第一章 时域离散信号和离散系统
1.1 时域离散信号 1.2 时域离散系统 1.3 线性非时变系统（LTI）
1.4 离散系统的输入输出描ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ法－线性常系数差分方程
1.5 结束语
1.1 时域离散信号（1）
(a)正 弦 信 号
(1)时间信号 信号：传递信息的函数。自变量有多种形式。一维和多维。 时间信号：自变量为时间的信号。声压p(t)。一维信号。
数字信号处理作业-2012
《数字信号处理Ⅰ》作业姓名：学号：学院：2012 年春季学期第一章 时域离散信号和时域离散系统月 日一 、判断：1、数字信号处理和模拟信号处理在方法上是一样的。
（ ）2、如果信号的取值和自变量都离散，则称其为模拟信号。
（ ）3、如果信号的取值和自变量都离散，则称其为数字信号。
（ ）4、时域离散信号就是数字信号。
（ ）5、正弦序列都是周期的。
（ ）6、序列)n (h )n (x 和的长度分别为N 和M 时，则)n (h )n (x *的长度为N+M 。
（ ）7、如果离散系统的单位取样响应绝对可和，则该系统稳定。
（ ）8、若满足采样定理，则理想采样信号的频谱是原模拟信号频谱以s Ω（采样频率）为周期进行周期延拓的结果。
（ ）9、序列)n (h )n (x 和的元素个数分别为21n n 和，则)n (h )n (x *有（1n n 21-+）个元素。
（ ）二、选择1、R N (n)和u(n)的关系为（ ）：A. R N (n)=u(n)-u(n-N)B. R N (n)=u(n)+u(n-N)C. R N (n)=u(n)-u(n-N-1)D. R N (n)=u(n)-u(n-N+1)2、若f(n)和h(n)的长度为别为N 、M ，则f(n)*h(n)的长度为 （ ）： A.N+M B.N+M-1 C.N-M D.N-M+13、若模拟信号的频率范围为[0，1kHz],对其采样，则奈奎斯特速率为（ ）： A.4kHz B. 3kHz C.2kHz D.1kHz4、LTIS 的零状态响应等于激励信号和单位序列响应的（ ）： A.相乘 B. 相加 C.相减 D.卷积5、线性系统需满足的条件是（ ）：A.因果性B.稳定性C.齐次性和叠加性D.时不变性 6、系统y(n)=f(n)+2f(n-1)(初始状态为0)是（ ）： A. 线性时不变系统 B. 非线性时不变系统 C. 线性时变系统 D. 非线性时变系统7、、若模拟信号的频率范围为[0，Fs],对其采样，则奈奎斯特间隔为（ ）：A.1/4FsB. 1/3FsC.1/2FsD.1/Fs 三、填空题1、连续信号的（ ）和（ ）都取连续变量。
《数字信号的处理》课后上机的题目
0.1702
B =
0.0028 0.0111 0.0166 0.0111 0.0028
A =
1.0000 -2.6103 2.7188 -1.3066 0.2425
实验报告
第一章:时域离散信号和时域离散系统
*16.已知两个系统的差分方程分别为
(1) y(n)=0.6y(n-1)-0.08y(n-2)+x(n)
(2) y(n)=0.7y(n-1)-0.1y(n-2)+2x(n)-x(n-2)
分别求出所描述的系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应.
解:(可附程序)
(1)系统差分方程的系数向量为
yn=conv(x1n,x2n)
%用DFT计算卷积ycn:
M1=length(x1n);
M2=length(x2n);
N=M1+M2-1;
X1k=fft(x1n,N); %计算x1n的N点DFT
X2k=fft(x2n,N); %计算x2n的N点DFT
Yck=X1k.*X2k;
ycn=ifft(Yck,N)
subplot(2,2,1);stem(n,hn1,'.')
title('(a)系统1的系统单位脉冲响应');
xlabel('n');ylabel('h(n)')
xn=ones(1,30);
%xn=单位阶跃序列,长度N=31
sn1=filter(B1,A1,xn,xi);
%调用filter解差分方程,求系统输出信号sn1
解:(可附程序)
hn=[5,5,5,3,3,3];
r=0.95;
Hk=fft(hn,6);
数字信号处理第四版(高西全)第1章
本章作为全书的基础，主要学习时域离散信号的表示 方法和典型信号、时域离散线性时不变系统的时域分析方
第1章 时域离散信号和时域离散系统
1.2 时域离散信号
实际中遇到的信号一般是模拟信号，对它进行等间
假设模拟信号为xa (t)，以采样间隔T对它进行等间隔 采样，得到：
x(n) xa (t) tnT＝xa (nT ) - n （1.2.1）
x(n) x(m) (n m) m
（1.2.12）
这种任意序列的表示方法，在信号分析中是一个很有用的
第1章 时域离散信号和时域离散系统
例如， x(n)＝{－0.0000 ，－0.5878 ，－0.9511，
－0.9511，－0.5878，0.0000，0.5878， 0.9511，0.9511，
0.5878，0.0000}，相应的 n=－5, －4, －3,
序列x(n)的MATLAB表示如下:
in (π 8
n)
0
π 8
第1章 时域离散信号和时域离散系统
（2） 2π/ω0不是整数，是一个有理数时，设 2π/ω0=P/Q，式中P、Q是互为素数的整数，取k=Q，那么 N=P，则该正弦序列是以P为周期的周期序列。例如, sin(4πn/5), 2π/ω0=5/2, k=2, 该正弦序列是以5为周期的周
axis(［－5, 6, －1.2, 1.2］); xlabel('n'); ylabel('x(n)')
1-3时域离散系统的差分方程描述
an , h(n) = 0,
n≥0 n<0
a <1 稳 系 是 定 统
求差分方程描述的系统的单位抽样响应——MATLAB 求差分方程描述的系统的单位抽样响应
2.2 时域离散系统 时域离散系统 的差分方程描述
线性常系数差分方程 差分方程与系统结构 差分方程的求解 差分方程描述的系统 的线性、 的线性、非时变性 求差分方程描述的系 统的单位抽样响应
x(n)
⊗ ⊕
b0
b0 x(n)
b0 x(n)-a1y(n-1)
y(n)
-a1y(n-1)
⊗
-a1
Z
−1
y(n-1)
求解差分方程——递推法 递推法 求解差分方程
2.2 时域离散系统 时域离散系统 的差分方程描述
线性常系数差分方程 差分方程与系统结构 差分方程的求解 差分方程描述的系统 的线性、 的线性、非时变性 求差分方程描述的系 统的单位抽样响应
求解差分方程y(n)=ay(n-1)+ x(n)，y(-1)=1。 求解差分方程 ， 。 MATLAB代码： 代码： 代码 a=0.8;ys=1 %设a=0.8 设 xn=[1,zeros(1,30)]; %设x(n)= δ(n),长度 长度N=31 设 长度 B=1;A=[1,-a]; xi=filtic(B,A,ys); yn=filter(B,A,xn,xi); n=0:length(yn)-1; subplot(3,2,1);stem(n,yn,’.’) title(‘(a)’);xlabel(‘n’);ylabel(‘y(n)’)
或者 ai y (n − i ) = ∑ bi x(n − i ), a0 = 1 ∑
i =0 i =0 N M
时域离散信号和时域离散系统数字信号处理第三版课程辅导及课后习题详解
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
（2）
x(n)=x(n)*δ(n)
该式说明任何序列与δ(n)的线性卷积等于原序列。
x(n－n0)=x(n)*δ(n－n0)
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
1.2
解线性卷积是数字信号处理中的重要运算。 解线性卷积有 三种方法， 即图解法（列表法）、 解析法和在计算机上用 MATLAB语言求解。 它们各有特点。 图解法（列表法）适合 于简单情况， 短序列的线性卷积， 因此考试中常用， 不容易 得到封闭解。 解析法适合于用公式表示序列的线性卷积， 得 到的是封闭解， 考试中会出现简单情况的解析法求解。 解析 法求解过程中， 关键问题是确定求和限， 求和限可以借助于 画图确定。 第三种方法适合于用计算机求解一些复杂的较难的 线性卷积， 实验中常用。
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
1.4
1. 用单位脉冲序列δ(n)及其加权和表示题1图所示的序列。
题1图
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
解：
x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n－1)
+2δ(n－2)+4δ(n－3)+0.5δ(n－4)+2δ(n－6)
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
1.1 学习要点与重要公式
本章内容是全书的基础，因此学好本章是极其重要的。 数字信号和数字系统与模拟信号和模拟系统不同，尤其是处 理方法上有本质的区别。 模拟系统用许多模拟器件实现， 数字系统则通过运算方法实现。
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
1.1.1
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
数字信号处理西安邮电大学第一章 (2)
如右图所示。
2. 移位、翻转及尺度变换
设序列x(n)，其移位序列为x(n-m)；
当m >0时，称为x(n)的延时(右移）序列； 当m <0时，称为x(n)的超前(左移）序列。 x(-n)则是x(n)的翻转序列（关于纵轴翻转）。 x(mn)是x(n)序列每m（m≥1）个点取一点形成的（序
列的抽取）。如当m=2时，x(2n)是x(n)每两个点取一个点。
函数δ(t)。但是， 在连续时间系统中，δ(t)是 t=0 点脉
宽趋于零，幅值趋于无限大，面积为1的信号，是极
限概念的信号， 并非任何现实的信号。而离散时间系 统中的δ(n)，却完全是一个现实的序列， 它的脉冲幅 度是1， 是一个有限值。
2． 单位阶跃序列u(n)
1 u ( n) 0
n0 n0
(1-1)
这个序列只在n=0 处有一个单位值1，其余点上皆为0， 因
此也称为“单位采样序列”。单位采样序列如图1-2所示。
(n)
1 … －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 … n
图 1-2 δ(n)序列
这是最常用、最重要的一种序列，它在离散时间
系统中的作用，很类似于连续时间系统中的单位冲激
P 0 Q 2
其中，P,Q为互素的整数，取k=Q,则N=P。
（3）当2π/ω0是无理数时，则任何k皆不能使N取正整数。 这 时，正弦序列不是周期性的。 这和连续信号是不一样的。
同样，指数为纯虚数的复指数序列
x(n) Ae j0n
的周期性与正弦序列的情况相同。
四、 用单位采样序列来表示任意序列
…
n
－1 0 1 2 3 4 5
… n
－1 0 1 2 3 4 5
数字信号处理期末复习提纲
《数字信号处理》复习提纲绪论1.数字信号的概念；2.数字信号与模拟信号的优缺点比较。
第1章 时域离散信号和时域离散系统 1.时域离散信号（序列）的三种表示方法。
2.七种常用典型序列。
3.单位采样序列、矩形序列与单位阶跃序列之间的关系（公式表示）。
4.信号分析中一个很有用的公式：对于任意序列)(n x ，可以用单位采样序列的移位加权和表示，即∑∞-∞=-=m m n m x n x )()()(δ5.序列的运算有：加法、乘法、移位、翻转、尺度变换。
其中 对于移位序列)(0n n x -，00>n 时，称为)(n x 的延时序列，0<n 时，称为)(n x 的超前序列。
关于尺度变换，)(mn x 是)(n x 序列每隔m 点取一点形成的序列，相当于n 轴的尺度变换。
6.线性系统和时不变系统的判定依据。
7.线性卷积运算公式：∑∞-∞=-==m m n h m x n h n x n y )()()(*)()(8.计算线性卷积的基本运算有翻转、移位、相乘、相加。
（例题1.3.4） 9.如果两个序列的长度分别为N 和M ，那么线性卷积的长度为1-+M N 。
10.线性卷积的两个重要公式：（1）序列)(n x 与单位脉冲序列的线性卷席等于序列本身)(n x ：∑∞-∞==-=m n n x m n m x n x )(*)()()()(δδ（2）如果序列与一个移位的单位脉冲序列)(0n n -δ进行线性卷积，就相当于将序列本身移位0n ，如下式：)()(*)(00n n x n n n x -=-δ11.线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的脉冲响应满足公式：00)(<=n n h12.系统稳定的充分必要条件是系统的单位脉冲响应绝对可和，公式为：∞<∑∞-∞=n n h )(13.采样定理：采样信号的频率大于等于原信号最高频率的两倍，即满足c sf f 2≥，则采样信号能够恢复原信号而无混叠现象。
数字信号处理知识点
第1章 时域离散信号和时域离散系统1.常用典型序列间的关系：（1）单位采样序列)(n δ可用单位阶跃序列)(n u 表示，即)(n δ=)1()(--n u n u 。
（2）单位阶跃序列)(n u 可用单位采样序列)(n δ表示，即)(n u =∑∑-∞=∞==-nm k m k n )()(0δδ。
（3）矩形序列)(n R N 可用单位阶跃序列)(n u 表示，即=)(n R N )()(N n u n u --。
（4）对任意序列)(n x ，可用单位采样序列)(n δ表示，即)(n x ＝∑∞-∞=-m m n m x )()(δ。
2.正弦序列和复指数序列周期性的判定(1)关于序列)(n x =cos(n 73π-8π)的周期性的判定，以下说法正确的是( C )。
A. )(n x 是周期序列，周期为3 B. )(n x 是周期序列，周期为7 C. )(n x 是周期序列，周期为14D. )(n x 不是周期序列(2) 关于序列)53sin()(ππ-=n n x 的周期性的判定，以下说法正确的是( C )。
A. )(n x 是周期序列，周期为3 B. )(n x 是周期序列，周期为5 C. )(n x 是周期序列，周期为10D. )(n x 不是周期序列(3)关于序列)81()(π-=n j e n x 的周期性的判定，以下说法正确的是( D )A. )(n x 是周期序列，周期为1B. )(n x 是周期序列，周期为8C. )(n x 是周期序列，周期为1/8D. )(n x 不是周期序列3.序列运算给定信号⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-+=其它 03031332)(n n n n x (1)画出)(n x 及)1(2-n x 的波形图； (2)画出)(n x 及)1(2+n x 的波形图；(3) 画出)(n x 及)1(2n x -的波形图； (4) 画出)(n x 及)2/(2n x 的波形图； (5) 画出)(n x 及)2(2n x 的波形图。
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矩阵法（列表法）
y (0) h(0) y (1) h(1) h(0) h( N 1) h( N 2) y ( N 1 ) 2 2 2 y( N2 ) 0 h( N 2 1) y ( N 1) 0 0 2 0 0 y ( N 2) 0 0 y ( N 1)
不需要位置向量。
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
当然, 默认卷积结果序列C也是从0开始，即卷积结果 也不提供特殊的位置信息。 例1.3.4中的两个序列满足上述条件，直接调用conv函 数求解例1.3.4的卷积计算程序ep134.m
%ep134.m：例1.3.4
xn=［1 1 1 1 ］; hn=［1 1 1 1］; yn=conv(xn, hn); yn=［1, 2, 3, 4, 3, 2, 1］
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
要计算上式，关键是根据求和号内的两个信号乘积的非零值 区间确定求和的上、下限。 因为n≥m时，u(n-m)才能取非零值； 0≤m≤3时，R4(m)取非零 值, 所以，求和区间中m要同时满足下面两式： m≤n 0≤m≤3 这样求和限与n有关系，必须将n进行分段然后计算。
因为很多物理过程都可用这类系统表征，且便于分析、设
计与实现。
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
图1.3.1
时域离散系统
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
1.3.1
线性系统
系统的输入、输出之间满足线性叠加原理的系统称为线 性系统。设x1(n)和x2(n)分别作为系统的输入序列，其输出分
别用y1(n)和y2(n)表示，即
（1.3.2）式表征线性系统的可加性；（1.3.3）式表征线 性系统的比例性或齐次性，式中a是常数。 将以上两个公式结合起来，可表示成
y(n) T ax1 (n) bx2 (n) ay1 (n) by2 (n)
上式中a和b均是常数。
（1.3.4）
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
N = N1+N2-1
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2) 解析法 如果已知两个卷积信号的解析表达式，则可以直接 【例1.3.5】 y(n)=x(n)*h(n)。 解 设x(n)=anu(n)，h(n)=R4(n)，求
y(n) h(n) x(n)
m
nm R ( m ) a u (n m) 4
%nh和nx分别是h和x的位置向量
nys=nh(1)+nx(1); nyf=nh(end)+nx(end); %end y=conv(h, x); ny=nys:nyf;
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如果h(n)=x(n)=R5(N+2)，则调用convu函数计算 y(n)=h(n)*x(n) h=ones(1, 5); nh=－2:2; x=h; nx=nh; ［y, ny］=convu(h, nh, x, nx) y =［ 1 2 3 4 5 4 3 2 1 ny=［－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4］
【例1.3.1】
证明y(n)=ax(n)+b(a和b是常数）所代
表的系统是非线性系统。
证明
y 2 (n) T x2 (n) ax2 (n) b y(n) y1 (n) y 2 (n)
因此，该系统不是线性系统。
同样方法可以证明
y1 (n) T x1 (n) ax1 (n) b
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
n<0 y(n)=0 0≤n≤3时，乘积的非零值范围为0≤m≤n，因此
y(n) a nm
m 0
n
n 1 1 a an 1 a 1
n≥4时，乘积的非零区间为0≤m≤3，因此
y(n) a nm
m 0
3
4 1 a an 1 a 1
y(n) T x1 (n) x2 (n) ax1 (n) ax2 (n) b
π y (n) x(n) sin 0 n 所代表的系 4
统是线性系统。
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1.3.2
时不变系统
如果系统对输入信号的运算关系T［· ］在整个运算 过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的响应
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
根据卷积原理知道， y(n)的起始点和终止点分别为：
nys=nhs+nxs，nyf=nhf+nxf。
调用conv函数写出通用卷积函数convu
function [y, ny]=convu(h, nh, x, nx)
%convu 通用卷积函数，y为卷积结果序列向量， %ny是y的位置向量, h和x
与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为时不变系
统，用公式表示如下：
y ( n ) T x ( n ) y ( n n0 ) T x ( n n0 )
就是检查其是否满足（1.3.5）式。
（1.3.5）
式中n0为任意整数。检查一个系统是否是时不变系统，
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
【例1.3.3】 检查y(n)=nx(n)所代表的系统是否是 时不变系统。 解
y (n) nx(n) y ( n n0 ) ( n n0 ) x ( n n0 ) y (n n0 ) T x(n n0 )
T x(n n0 ) nx(n n0 )
因此该系统不是时不变系统。 此例从物理概念上可以理解成该系统是一个放大器，其放 大量是n，它随n变化，因此是一个时变系统。 π y (n) x(n) sin 0 n 依同样方法可以证明 4 所代表的系统也是时变系统。
图1.3.2
例1.3.4线性卷积
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
图解法求卷积一般包括4个过程：翻转，移位，相乘和相加。
若两序列的长度分别为N和M, 则线性卷积后序列长度为N+M-1。 其实图解法可以用列表法代替，过程如表1.3.1所示。 表1.3.1 图解法（列表法）
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
时域离散线性时不变系统的时域分析方法
1.3 时域离散系统
设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系 统输出序列用y(n)表示。设运算关系用T［· ］表示，输出 与输入之间关系用下式表示：
y(n) T x(n)
（1.3.1）
其框图如图1.3.1所示。 在时域离散系统中，线性时不变系统) (n m) m
根据线性系统的叠加性质
y ( n)
m
x(m)T (n m)
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
又根据时不变性质
y ( n)
m
x(m)h(n m) x(n) h(n)
（1.3.7）
式中的符号“*”代表卷积运算。
（1.3.7）式表示线性时不变系统的输出等于输入序列和
该系统的单位脉冲响应的卷积。
计算卷积有三种方法：图解法，解析法，利用MATLAB 语言的工具箱函数计算法。
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
1） 图解法 观察（1.3.7）式，计算卷积的基本运算是翻转、移位、
y1 (n) T x1 (n) , y2 (n) T x2 (n)
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
那么线性系统一定满足下面两个公式：
T x1 (n) x2 (n) y1 (n) y2 (n)
线性系统的可加性
T ax1 (n) ay1 (n)
（1.3.2） 线性系统的比例性或齐次性 （1.3.3）
MATLAB 信号处理工具箱提供了conv 函数，该函 数用于计算两个有限长序列的卷积（或计算两个多项式
相乘）。
C=conv(A, B) 计算两个有限长序列向量A和B的卷 积。如果向量A和B的长度分别为N和M，则卷积结果向
量C的长度为N＋M－1。如果向量A和B为两个多项式的
系数，则C就是这两个多项式乘积的系数。应当注意， conv函数默认A和B表示的两个序列都是从0开始，所以
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
【例】判断系统 y(n)=3x(n)+4 的线性和时变特性？ 解：1. 判断线性特性 根据定义有： 设输入为x1(n)和x2(n)时，输出分别为y1(n)和y2(n)，即：
T[ax1(n)] =3ax1(n)+4;
T[bx2(n)]=3bx2(n)+4; 而T[ax1(n)+bx2(n)]=3a x1(n)+3b x2(n)+4 ay1(n)+ by2(n),
【例1.3.2】 解
检查y(n)=ax(n)+b所代表的系统是否是时
不变系统，式中a和b是常数。
y(n) ax(n) b y(n n0 ) ax(n n0 ) b y(n n0 ) T x(n n0 )
因此该系统是时不变系统。
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
表示为
h(n) T (n)
统的时域特征。
（1.3.6）
h(n)和模拟系统中的单位冲激响应h(t)相类似，都代表系
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
设系统的输入用x(n)表示，按照（1.2.12）式表示成单位 脉冲序列移位加权和为
x ( n)
那么系统输出为
m
x(m) (n m)
x(0) x(1) h(0) x( N1 1) 0 h(1) h(0) h(2) h(1) h(0) 0 h( N 2 1) h( N 2 2) h(0) 0 0 0 h( N 2 1) h( N 2 2) h(1) h(0)