1.4 时域离散系统的输入输出描述法
第1章离散信号与系统时域分析2
因此
当0 n 3时，y (n) 1 n 1
m 0 3 n
当4 n 6时，y(n)
数字信号处理
数字信号处理
DIGITAL SIGNALS PROCESSING
1.3.1 线性系统
• 满足叠加原理的系统称为线性系统。设x1(n)和 x2(n)分别作为系统的输入序列，其输出分别用 y1(n)和y2(n)表示，即
y1 (n) T [ x1 (n)], y2 (n) T [ x2 (n)]
DIGITAL SIGNALS PROCESSING
1.3.3 线性时不变系统输入与输 出之间的关系——卷积
设系统的输入x(n)=δ(n)，系统输出y(n)的初 始状态为零，定义这种条件下系统输出称为 系统的单位脉冲响应，用h(n)表示。用公式 表示为
h(n) T [ (n)] (1.3.6)
数字信号处理
DIGITAL SIGNALS PROCESSING
(1.3.8) (1.3.9) (1.3.10)
线性卷积的运算规则
x(n) (n)
m
x(m) (n m) x(n)
(1.3.11)
x(n) (n n0 ) x(n n0 )
数字信号处理
DIGITAL SIGNALS PROCESSING
1.3.4系统的因果性和稳定性
判断线性时不变系统因果性的 充分必要条件：
h(n) 0, n 0
数字信号处理
DIGITAL SIGNALS PROCESSING
信号与系统课件--第一章§1.4 时域离散系统的输入输出描述法—线性常系数差分方程
x (t ) (t mT )
a
0 T
(t mT )
• • •
t
mT
ˆ xa (t )
m
x (mT ) (t mT )
a
0 T
T (t )
1
-2 -1 0 1 2
t
P ( j)
T
s
s
s
下面研究理想采样前后信号频谱的变化 我们知道，两信号在时域相乘的傅立叶变换等于两信号分别的傅立 叶变换的卷积 ˆ 按照 xa (t ) xa (mT ) (t mT ) 推导如下：
m
xa (mT )h(t mT )
t
0 T 2T 3T
sin[ (t mT )] T xa ( mT ) C m m (t ) m m (t mT ) T
X a ( j)
c
0
•
2
•
s
s
•
2 s
•
3s
ˆ X a ( j )
0
s 2
•
•
s
•
2 s
•
3s
3、（时域）采样定理
采样定理：当抽样频率大于信号最高频率的两倍时，
抽样后信号的频谱是原信号频谱的周期延拓而无混叠现 象，表明抽样没有丢失信息，有可能再恢复出原信号
频谱不混迭的条件 c 式中
h(0) ah( 1) 1 0 1 1
h(1) ah(0) 0 a 0 a
h(n) ah(n 1) 0 a n 0 a n
a n h( n) a u ( n) 0
《数字信号处理》课程教学大纲
《数字信号处理》课程教学大纲课程编码：课程名称：数字信号处理英文名称： Digital signal processing适用专业：物联网工程先修课程：复变函数、线性代数、信号与系统学分：2总学时：48实验（上机）学时：0授课学时：48网络学时：16一、课程简介《数字信号处理》是物联网工程专业基础必修课。
主要研究如何分析和处理离散时间信号的基本理论和方法，主要培养学生在面对复杂工程问题时的分析、综合与优化能力，是一门既有系统理论又有较强实践性的专业基础课。
课程的目的在于使学生能正确理解和掌握本课程所涉及的信号处理的基本概念、基本理论和基本分析方法，来解决物联网系统中的信号分析问题。
培养学生探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感。
助力学生树立正确的价值观，培养思辨能力、工程思维和科学精神。
培养学生精益求精的大国工匠精神，激发学生科技报国的家国情怀和使命担当。
它既是学习相关专业课程设计及毕业设计必不可少的基础，同时也是毕业后做技术工作的基础。
二、课程目标和任务1.课程目标课程目标1（CT1）:运用时间离散系统的基本原理、离散时间傅里叶变换、Z变换、离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换(FFT)、时域采样定理和频域采样定理等工程基础知识，分析物联网领域的复杂工程问题。
培养探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感[课程思政点1]。
助力学生树立正确的价值观，培养思辨能力、工程思维和科学精神[课程思政点2]。
课程目标2 （CT2）:说明利用DFT对模拟信号进行谱分析的过程和误差分析、区分各类网络的结构特点；借助文献研究运用窗函数法设计具有线性相位的FIR数字滤波器，分析物联网领域复杂工程问题解决过程中的影响因素，从而获得有效结论的能力。
培养学生精益求精的大国工匠精神，激发学生科技报国的家国情怀和使命担当[课程思政点3]。
2.课程目标与毕业要求的对应关系三、课程教学内容第一章时域离散信号与系统（1）时域离散信号表示；（2）时域离散系统；（3）时域离散系统的输入输出描述法；*（4）模拟信号数字处理方法；教学重点：数字信号处理中的基本运算方法，时域离散系统的线性、时不变性及系统的因果性和稳定性。
数字信号处理讲义
在数值上它等于信号的采样值，即
x(n)=xa(nT)，
自动化系
-∞＜n＜∞ (1.2.2)
信号随n的变化规律表示
自动化系
1.2.1 常用的典型序列
1. 单位采样序列δ(n)
1, n 0 ( n) (1.2.3) 0, n 0 单位采样序列也可以称为单位脉冲序列，特点是 仅在n=0时取值为1，其它均为零。它类似于模拟信号 和系统中的单位冲激函数δ(t)，但不同的是δ(t)在t=0时， 取值无穷大，t≠0时取值为零，对时间t的积分为1。单 位采样序列和单位冲激信号如图1.2.1所示。
fs
(1.2.11)
自动化系
6. 复指数序列
x(n) e ( j0 ) n
式中ω0为数字域频率，设σ=0，用极坐标和实部虚 部表示如下式：
x ( n ) e j 0 n
x(n)=cos(ω0n)+jsin(ω0n)
由于n取整数，下面等式成立： e j(ω0+2πM)n= e jω0n, M=0,±1,±2…
自动化系
1.3.2 时不变系统
如果系统对输入信号的运算关系T［·］在整个运 算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的 响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为时 不变系统，用公式表示如下： y(n) = T［x(n)］ y(n-n0) = T［x(n-n0)］ (1.3.5)
自动化系
例1.3.2
值要保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列 才是以N为周期的周期序列。具体正弦序列有以下三种
情况：
(1) 当2π/ω0为整数时，k=1，正弦序列是以2π/ ω0 为周期的周期序列。例如sin(π/8)n， ω0 =π/8，2π/ ω0 =16,该正弦序列周期为16。
信号处理（ＰＤＦ）
时域离散信号：§例：已知模拟信号是一个正弦波，将它转换成时域离散信号和数字信号。
} {,0,0.9sin 50,0.9sin100,0.9sin150T T ππ时域离散信号n 只能取整数总结：时域离散信号可以通过对模拟信号得到，如果将它的每一个序列值经过有限位的，得到一个用二进制编码表示的序列，该序列就数字信号。
序列值一般有无限位小数。
如果用四位二进制数表示的幅度，二进制数第一位表示符号位，该二进制编码形成的信号数字信号数字信号编码、量化号之间是有差别的。
总结：随着二进制编码位数增加，数字信号和时域离散信号之间的差别越来越小。
[x n 换算成十进制，则x(n 位数有关，如果用换算成十进制，则时域离散信号的来源有两类：¾¾例：每天上午压均正常，收缩压不正常，仅记录收缩压并用时域离散信号号也称为时域离散信号表示方法（（（x(n)……¾，如果将它的每一个序列值经过有限位的，得到一个用二进制编码表示的序列，该序列就是字信号¾号之间的差别越来越小。
110()00n n n δ=⎧=⎨≠⎩δδ()t δ10 ()00nu nn≥⎧=⎨<⎩101()0n N n N R n ≤≤−⎧=⎨⎩其它4、实指数序列()()nx n a u n =a 为实数5、复指数序列00()()j n j n nx n e e eσωωσ+==⋅00cos()sin()n ne n je n σσωω=+0ω为数字域频率j n n 3x(n)=0.9e π例：6、正弦序列0()sin()x n A n ωφ=+()()sin()a t nTx n x t A nT φ===Ω+0/sT f ω=Ω=Ω0ω：数字域频率Ω：模拟域频率T ：采样周期s f ：采样频率()sin()a x t A t φ=Ω+模拟正弦信号：数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率弧度弧度/秒(x n8x 要使表示成取(3)任何整数例：判断解：如果一个正弦型序列是由一个连续信号采样而得到的，那么，时间间隔得到的采样序列是周期序列呢？设连续正弦信号信号的周期为ω频率乘以频率。
1.3 时域离散系统
x(k )u(n k )
因为当n－k<0时，u(n-k)=0; n－k≥0时，u(n－k)=1, 因 此，求和限为k≤n，所以
y ( n)
k
x(k )
n
（1.3.15）
39
y ( n)
k
x(k )
n
（1.3.15）
上式表示该系统是一个累加器，它将输入序列从加上之 时开始，逐项累加，一直加到n时刻为止。下面分析该系 统的稳定性：由于
30
1.3.4
系统的因果性和稳定性
如果系统n时刻的输出只取决于n时刻以及n时刻以
前的输入序列，而和n时刻以后的输入序列无关，则称 该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。 如果n时刻的输出还取决于n时刻以后的输入序列， 在时间上违背了因果性，系统无法实现，则系统被称为 非因果系统。因此系统的因果性是指系统的可实现性。
第1章 时域离散信号和时域离散系统
1.1 1.2 1.3 1.4 引 言
时域离散信号 时域离散系统 时域离散系统的输入输出描述法 ——线性常系数差分方程
1.5
模拟信号数字处理方法
1
1.3
时域离散系统
设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系
统输出序列用y(n)表示。设运算关系用T［· ］表示，输出
y(n) ax(n) b y(n n0 ) ax(n n0 ) b y(n n0 ) T x(n n0 )
因此该系统是时不变系统。
6
【例1.3.3】检查y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时不变系统。 解:
y(n) nx(n)
y(n n0 ) (n n0 ) x(n n0 ) T x(n n0 ) nx(n n0 ) y(n n0 ) T x(n n0 )
第1章时域离散信号和离散系统
1 x 10
-5
0 n
5
x(n)
x(t)
0 n
5
1.1 时域离散信号（2）
(5)几种常用的离散时间信号(6+1个) 冲击序列（单位抽样序列）： 抽样性质： x(n) (n k ) x(k )
( n)
1, n 0 0, n 0
m
任意序列：可用冲击序列的移位加权和表示： x(n) x(m) (n m) 阶跃序列： 矩形序列：
z-1
1.3 线性非时变系统（LTI）（1）
(1)系统的线性(Linearity)：满足叠加原理(superposition）的系统。 数学表示：
设y1 (n) T [ x1 (k )], y 2 (n) T [ x2 (k )] 若y(n) T [ax1 (n) bx2 (n)] ay1 (n) by2 (n) 则系统称为线性系统。
n
| h( n) |
例如不稳定系统： h(n) sin n
h( n) u ( n )
1.4 线性差分方程描述的LTI系统（1）
(1)N阶线性差分方程
ak y(n k ) bk x(n k ) , ak 1，ak、bk为常数
k 0 k 0
N
第一章 时域离散信号和离散系统
1.1 时域离散信号 1.2 时域离散系统 1.3 线性非时变系统（LTI）
1.4 离散系统的输入输出描ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ法－线性常系数差分方程
1.5 结束语
1.1 时域离散信号（1）
(a)正 弦 信 号
(1)时间信号 信号：传递信息的函数。自变量有多种形式。一维和多维。 时间信号：自变量为时间的信号。声压p(t)。一维信号。
《数字信号处理》教学大纲
《数字信号处理》教学大纲课程编码：英文名称：Digital Signal Processing学分/学时：3/48适用专业：光电信息科学与工程开课院系：先修课程：数电、模电、应用工程数学；后续课程：一、课程目标目标1：了解采样定理、离散序列的变换方法，熟悉离散信号的特性，掌握其分析方法。
能够绘制离散系统的传递函数、频率响应曲线，进行离散系统的传递函数与信号流图的分析转换。
目标2：掌握Z变换、离散信号的傅里叶变换理论与分析，熟悉快速傅里叶变换方法的原理与应用范围。
目标3：掌握数字滤波器的设计理论和方法，能够按照要求的参数指标，进行FIR、IIR两种不同类型滤波器的设计分析。
二、课程内容（一）数字信号与系统模块的基本要求和基本内容（6课时）1.1数字信号处理的基本概念、方法与特点；（2 学时）1.2时域离散信号与系统、输入输出描述法——线性常系数差分方程；（2 学时）1.3模拟信号数字处理方法。
（2 学时）（二）数字变换模块的基本要求和基本内容（24课时）2.1 Z变换与离散傅里叶变换（2 学时）2.2序列的Z变换及与傅里叶变换的定义及性质；（4 学时）2.3周期序列的Z变换与离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式；时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系；（4 学时）2.4利用Z变换分析信号和系统的频域特性。
（4 学时）2.5离散傅里叶级数（DFS）的定义与性质；抽样Z变换-频率域采样；（4 学时）2.6计算DFT的问题及改进的途径:基2 FFT算法与进一步减少运算量的措施；（4 学时）2.7离散傅里叶反变换（IDFT）的快速方法（2 学时）（三）数字滤波器模块的基本要求和基本内容（18课时）3.1数字滤波器的基本概念、基本结构；（2 学时）3.2 FIR数字滤波器的基本结构；数字滤波器的格形结构（4 学时）3.3数字滤波器的基本概念、原理与结构；（1 学时）3.4用脉冲响应不变法、冲激响应法设计IIR数字滤波器；（2 学时）3.5用双线性变换法设计IIR数字滤波器；（2 学时）3.6数字高通、带通和带阻滤波器的设计；（1 学时）3.7线性相位FIR数字滤波器的条件和特点；（2 学时）3.8利用窗函数法设计FIR滤波器；（2 学时）3.9IIR数字滤波器的直接设计方法。
数字信号处理第四版(高西全)第1章
本章作为全书的基础，主要学习时域离散信号的表示 方法和典型信号、时域离散线性时不变系统的时域分析方
第1章 时域离散信号和时域离散系统
1.2 时域离散信号
实际中遇到的信号一般是模拟信号，对它进行等间
假设模拟信号为xa (t)，以采样间隔T对它进行等间隔 采样，得到：
x(n) xa (t) tnT＝xa (nT ) - n （1.2.1）
x(n) x(m) (n m) m
（1.2.12）
这种任意序列的表示方法，在信号分析中是一个很有用的
第1章 时域离散信号和时域离散系统
例如， x(n)＝{－0.0000 ，－0.5878 ，－0.9511，
－0.9511，－0.5878，0.0000，0.5878， 0.9511，0.9511，
0.5878，0.0000}，相应的 n=－5, －4, －3,
序列x(n)的MATLAB表示如下:
in (π 8
n)
0
π 8
第1章 时域离散信号和时域离散系统
（2） 2π/ω0不是整数，是一个有理数时，设 2π/ω0=P/Q，式中P、Q是互为素数的整数，取k=Q，那么 N=P，则该正弦序列是以P为周期的周期序列。例如, sin(4πn/5), 2π/ω0=5/2, k=2, 该正弦序列是以5为周期的周
axis(［－5, 6, －1.2, 1.2］); xlabel('n'); ylabel('x(n)')
3 离散时间系统的输入输出描述
1.3.2 线性常系数差分方程的求解（2）
Zero-input and Zero-state response （零输入和零状态响应）
y(n) bi x(n i) a i y (n i )
i 0 i 1
M
N
对于
{ y(n); N n 1} and {x(n); M n 1}
该例表明，对于同一个差分方程和同一个输入信号， 因为初始条件不同，得到的输出信号是不相同的。
1.3.2 线性常系数差分方程的求解（6）
对于实际系统，用递推解法求解，总是由初始条件向 n>0的方向递推，是一个因果解。但对于差分方程，其 本身也可以向n<0的方向递推，得到的是非因果解。因 此差分方程本身并不能确定该系统是因果还是非因果系 统，还需要用初始条件进行限制。 一个常系数线性差分方程并不一定代表因果系统，也不 一定表示线性时不变系统。这些都由边界条件（初始） 所决定。 我们讨论的系统都假定：常系数线性差分方程就代表线 性时不变系统，且多数代表因果系统。
i 0 i 1
M
N
或者
a y(n i) b x(n i), a
i 0 i 0 i
N
M
0
1
————差分方程
•如果 aN 0, 则差分方程的阶数为 N •递归方法（ recursive approach）
1.3.2 线性常系数差分方程的求解（1）
基本解法
经典解法。齐次解（通解）＋特解 递推解法。迭代法，卷积和计算法， Matlab 变换域方法。Z变换法
第1章
时域离散信号与时域离散系统(3)
主要内容： （16个知识点）
系统的因果性和稳定性
LSI系统是因果系统的充要条件：
h(n) 0 n 0
满足上式的序列称为因果序列，因此因果系统的单位取样 响应必然是因果序列。因果性系统的条件从概念上也容易 理解，因为单位取样响应是输入为δ(n)的零状态响应，在 n=0时刻以前即n<0时，没有加入信号，输出只能等于零， 注：关于此条件的严格证明可参考程佩青《数字信号处理 教程〉
N4 N0 N2
N5 N1 N3
x(n) h(n)
0 N0 N1 h(n m)
n0
N1 N00
m
h(n m)
0 n N0 m h(n m)
n 0 N2 N3
n
h(n m)
n N0 N2
0 N2
m
h(n m) n N1 N3
m
0
n N1 m 0
N3
3. 判断以下系统是否是（1）线性（2） 移不变（3）因果（4）稳定的？
由于x2 (n) x1(n 1)，而y2 (n) y1(n 1) y(1) 1边界条件下的系统不是移不变系统
当输入x3(n) x1(n) x2 (n) (n) (n 1)时，输出 y3(n) (1 a) (n) (1 a a2 )an1u(n 1)
an1u(n 1) y1(n) y2 (n) 不满足可加性 y(1) 1边界条件下的系统不是线性系统
（1）若边界条件
y(1) 0
求其单位抽样响应。 （2）若边界条件
求y其(单1) 位1抽样响应，并判断是否为 线性时不变系统。
解：1)令输入x(n) (n)，则输出y(n) h(n)，
又已知y(1) 0
数字信号处理chap1-2.
y(n) Tx(n)
一、线性系统
系统的输入、输出之间满足线性叠加原理的系 统称为线性系统。设x1(n)和x2(n)分别作为系统的 输入序列，其输出分别用y1(n)和y2(n)表示，即
y1(n) Tx1(n) y2 (n) Tx2 (n)
可加性：Tx1(n) x2 (n) y1(n) y2 (n) 齐次性：Tax1(n) ay1(n)
3
（2） 因为ω=
1 8
, 所以
2π
=16π, 这是无理数， 因
此是非周期序列。
课堂练习
6、 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和 输入x(n)分别有以下几种情况， 分别求输出y(n)。 （1） h(n)=R4(n) , x(n)=R5(n) （2） h(n)=2R4(n) , x(n)=δ(n)－δ(n－2)
n 1时, y(2) a1( y(1) δ(1)) a2
y(n) an , n 0
非因果系统
结论
差分方程本身不能确定该系统是因果系统 还是非因果系统，还需要用初始条件进行 限制。
一个线性常系数差分方程描述的系统不一 定是线性时不变系统，这和系统的初始状 态有关。
课堂练习
1、以下序列是LTI系统的单位序列响应h(n)， 判断系统的因果性和稳定性。
画出x(n)的波形如图1.3.3所示。
图1.3.3
课堂练习
3、判断题： 一个系统是因果系统的充要条件是，
单位序列响应h(n)是因果序列。
答案： 错
课堂练习
4、将序列x(n)用一组幅度加权和延迟的 冲激序列的和来表示 。
x(n) x(1) (n 1) x(0) (n) x(1) (n 1) x(2) (n 2) x(3) (n 3)
数字信号处理【高西全 丁玉美编著】第一章总结
-------------------数字信号处理--------------------通信1103班--------------------Chapter 1 第一章温馨提示：亲爱的小伙伴们，在这个总结中我只是把我自己认为重要的总结了下来，仅供参考哦~~~ 1.1 引言信号分为三类：1）模拟信号：自变量和函数值都是连续的。
2）时域离散信号：自变量离散，函数值连续。
它来源于对数字信号的采样。
3）数字信号：自变量和函数值都是离散的。
它是幅度化的时域离散信号。
1.2 时域离散信号知识点1：模拟信号（时域连续，-------）经过“采样”变成时域离散信号，公式是：x(n)=x a (nT)，-∞＜n ＜∞可能会考：已知x a (t)表达式，和采样频率fs (或采样周期T=fs1)，求时域离散信 号x(n)。
解答：用nT(即fsn1)替换t ，整理就可。
知识点2：常用典型序列（时域离散信号）： 1）)(n δ和)(n u 不赘述；2） 矩形序列)(n R N =u )(n -u )(N n -：（N 是矩形序列的长度）实指数序列：a n x =)(n )(n u ，a 为实数。
3） 正弦序列：)sin()(n n x ω=，ω是“数字域频率”，单位是弧度（rad ）。
如果正弦序列是由模拟信号)sin()(t t x a Ω=采样得到，则)sin()(nT n x ω=，对比 两个)(n x 的表达式，可得ss s F f F fF T ππω22==Ω=Ω=（ω表示数字域频率，Ω和f 表示模拟角频率和模拟频率，s F 是采样频率）由此公式得到以下结论：（进一步理解）①上式表示数字域频率是模拟角频率对采样频率的归一化频率。
②数字域频率无绝对意义，因其与采样频率有关，采样频率变大时，数字域频率变小。
③因为采样频率s F ≥2倍的模拟频率f ，所以数字域ω不会超过π。
4）复指数序列不赘述，但要注意其周期性（2π）。
1第一章 时域离散信号与系统
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1.2.3 常用的时域离散信号
单位脉冲序列
1 n 0 ( n) 0 n 0
单位脉冲序列也称为单位采样序列。特点是仅在n=0处 取值为1，其他均为零。
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单位阶跃序列
1 n≥ 0 u ( n) 0 n 0
单位阶跃序列的特点是只有在n≥0时，它才取非零值1， 当n<0时，均取零值。
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卷积运算的图解法
图解法 简单明了
（1）画出x(m)和h(m)的波形；
（2）反转平移：x(m)反转→ x(-m),右移n → x(n – m)
（3）乘积： x(m) h(n – m) （4）求和： m 从–∞到∞ 对应乘积项求和。
返回
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例：用图解法求解下面两个函数的卷积和
1, 0 n 5 x[n] 0, otherwise
返回
1.2 模拟信号、时域离散信号和数字信号
1.2.1 时域离散信号和数字信号 1.2.2 时域离散信号的表示方法 1.2.3 常用的时域离散信号
返回
离散时间系统的实现
1、一个物理量（模拟信号）
x(t ) A sin(2 ft )
2、将时间离散化
x(nTs ) A sin(2 fnTs )
返回
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卷积运算方法： 图解法或者列表法 用MATLAB计算两个有限长序列的卷积 解析法 卷积运算的重要性质
x(n) x(n) * (n)
任意序列与单位脉冲序列的卷积等于该序列本身
x(n n0 ) x(n) (n n0 )
如果卷积一个移位n0的单位脉冲序列，即将该序 列移位n0
第1章 2时域离散信号
N1=2/ω1=10, N2=2/ω2=6
序 列 x(n) 的 周 期 N 为 N1 和 N2 的 最 小 公 倍 数 ， 可 得
N=[10,6]=30
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
除常用的典型序列外，对任意序列，可用单位采样序 列的移位加权和表示，即
x ( n)
m
x(m) (n m)
axis(［－5, 6, －1.2, 1.2］); xlabel('n'); ylabel('x(n)')
运行程序输出波形如图1.2.1所示。
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
1.2.1
常用的典型序列
1． 单位采样序列δ(n) n0 1 ( n) 0 n 0
（1.2.2）
也称单位脉冲序列：仅在n=0时值为1，其它均为零。
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
图1.2.7
用单位采样序列移位加权和表示序列
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
1.2.2
序列的运算
序列的简单运算有加法、乘法、移位、翻转及尺度
变换。
1． 加法和乘法
序列之间的加法和乘法，是指它的同序号的序列值 逐项对应相加和相乘，如图1.2.8所示。
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
（1.2.12）
这种任意序列的表示方法，在信号分析中很有用。
如, 如图1.2.7所示的x(n) 波形，可用（1.2.12）式表示成：
x(n) 2 (n 2) 0.5 (n 1) 2 (n) (n 1) 1.5 (n 2) (n 4) 2 (n 5) (n 6)
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
配套课件 数字信号处理(第四版)--高西全
显然, 软件实现灵活，只要改变程序中的有关参数，例如只要改变图 0.0.1(b)中的参数a，数字滤波器可能就是低通、带通或高通滤波器，但是运算 速度慢，一般达不到实时处理，因此，这种方法适合于算法研究和仿真。硬 件实现运算速度快，可以达到实时处理要求， 但是不灵活。
用单片机实现的方法属于软硬结合实现，现在单片机发展很快，功能也很 强，配以数字信号处理软件，既灵活， 速度又比软件方法快，这种方法适用于 数字控制等。采用专用的数字信号处理芯片(DSP芯片)是目前发展最快、应用最 广的一种方法。因为DSP芯片比通用单片机有更为突出的优点，它结合了数字 信号处理的特点，内部配有乘法器和累加器，结构上采用了流水线工作方式以 及并行结构、 多总线，且配有适合数字信号处理的指令，是一类可实现高速运 算的微处理器。 DSP芯片已由最初的8位发展为16位、 32位，且性能优良的高 速DSP不断面市，价格也在不断下降。可以说， 用DSP芯片实现数字信号处理， 正在变成或已经变成工程技术领域中的主要实现方法。
4． 数字信号处理涉及的理论、 实现技术与应用
正是由于以上的优点，数字信号处理的理论和技术一出现就受到人们的极 大关注，发展非常迅速。 国际上一般把1965年作为数字信号处理这一门新学 科的开端，40多年以来，这门学科基本上形成了自己一套完整的理论体系，其 中也包括各种快速的和优良的算法。而且随着各种电子技术及计算机技术的飞 速发展，数字信号处理的理论和技术还在不断丰富和完善，新的理论和新技术 层出不穷。可以说，数字信号处理是发展最快、 应用最广泛、成效最显著的 新学科之一，目前已广泛地应用在语音、雷达、声纳、地震、图像、通信、控 制、生物医学、遥感遥测、地质勘探、航空航天、故障检测、自动化仪表等领 域。
数字部件具有高度的规范性，对电路参数要求不严， 容易大规模集成 和大规模生产，价格不断降低，这也是DSP芯片和超大规模可编程器件发展 迅速的主要因素之一。由于采用了大规模集成电路，数字系统体积小、重 量轻、可靠性强。
数字信号处理西安邮电大学第一章 (2)
如右图所示。
2. 移位、翻转及尺度变换
设序列x(n)，其移位序列为x(n-m)；
当m >0时，称为x(n)的延时(右移）序列； 当m <0时，称为x(n)的超前(左移）序列。 x(-n)则是x(n)的翻转序列（关于纵轴翻转）。 x(mn)是x(n)序列每m（m≥1）个点取一点形成的（序
列的抽取）。如当m=2时，x(2n)是x(n)每两个点取一个点。
函数δ(t)。但是， 在连续时间系统中，δ(t)是 t=0 点脉
宽趋于零，幅值趋于无限大，面积为1的信号，是极
限概念的信号， 并非任何现实的信号。而离散时间系 统中的δ(n)，却完全是一个现实的序列， 它的脉冲幅 度是1， 是一个有限值。
2． 单位阶跃序列u(n)
1 u ( n) 0
n0 n0
(1-1)
这个序列只在n=0 处有一个单位值1，其余点上皆为0， 因
此也称为“单位采样序列”。单位采样序列如图1-2所示。
(n)
1 … －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 … n
图 1-2 δ(n)序列
这是最常用、最重要的一种序列，它在离散时间
系统中的作用，很类似于连续时间系统中的单位冲激
P 0 Q 2
其中，P,Q为互素的整数，取k=Q,则N=P。
（3）当2π/ω0是无理数时，则任何k皆不能使N取正整数。 这 时，正弦序列不是周期性的。 这和连续信号是不一样的。
同样，指数为纯虚数的复指数序列
x(n) Ae j0n
的周期性与正弦序列的情况相同。
四、 用单位采样序列来表示任意序列
…
n
－1 0 1 2 3 4 5
… n
－1 0 1 2 3 4 5
数字信号处理知识点
第1章 时域离散信号和时域离散系统1.常用典型序列间的关系：（1）单位采样序列)(n δ可用单位阶跃序列)(n u 表示，即)(n δ=)1()(--n u n u 。
（2）单位阶跃序列)(n u 可用单位采样序列)(n δ表示，即)(n u =∑∑-∞=∞==-nm k m k n )()(0δδ。
（3）矩形序列)(n R N 可用单位阶跃序列)(n u 表示，即=)(n R N )()(N n u n u --。
（4）对任意序列)(n x ，可用单位采样序列)(n δ表示，即)(n x ＝∑∞-∞=-m m n m x )()(δ。
2.正弦序列和复指数序列周期性的判定(1)关于序列)(n x =cos(n 73π-8π)的周期性的判定，以下说法正确的是( C )。
A. )(n x 是周期序列，周期为3 B. )(n x 是周期序列，周期为7 C. )(n x 是周期序列，周期为14D. )(n x 不是周期序列(2) 关于序列)53sin()(ππ-=n n x 的周期性的判定，以下说法正确的是( C )。
A. )(n x 是周期序列，周期为3 B. )(n x 是周期序列，周期为5 C. )(n x 是周期序列，周期为10D. )(n x 不是周期序列(3)关于序列)81()(π-=n j e n x 的周期性的判定，以下说法正确的是( D )A. )(n x 是周期序列，周期为1B. )(n x 是周期序列，周期为8C. )(n x 是周期序列，周期为1/8D. )(n x 不是周期序列3.序列运算给定信号⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-+=其它 03031332)(n n n n x (1)画出)(n x 及)1(2-n x 的波形图； (2)画出)(n x 及)1(2+n x 的波形图；(3) 画出)(n x 及)1(2n x -的波形图； (4) 画出)(n x 及)2/(2n x 的波形图； (5) 画出)(n x 及)2(2n x 的波形图。
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【例1.4.2】 设差分方程为
y(n) ay(n 1) x(n) x(n) δ(n), y(1) 0, n 0,
求输出序列y(n)。
y(n 1) a 1 ( y(n) δ(n))
n 1时, y (0) a 1 ( y (1) δ (1)) 0 n 0时, y (1) a 1 ( y (0) δ (0)) a 1 n 1时, y (2) a 1 ( y (1) δ (1)) a 2 n | n | 时， y (n 1) a n 1
系数，较麻烦，实际中很少采用，这里不作介绍。 （2） 递推解法。这种方法简单，且适合用计算机求 解，但只能得到数值解，对于阶次较高的线性常系数差分 方程不容易得到封闭式（公式）解答。 （3） 变换域方法。这种方法是将差分方程变换到z 域进行求解，方法简便有效，这部分内容放在第2章学习。
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当然还可以不直接求解差分方程，而是先由差分
y (n) ax(n 1) x(n)
n 0时, y (0) ay( 1) δ (0) 1 n 1时，y (1) ay(0) δ (1) a n 2时, y (2) ay(1) δ (2) a 2 n n时, y ( n ) a n
第1章 时域离散信号和时域离散系统
1.1 1.2 1.3 1.4 引 言
时域离散信号 时域离散系统 时域离散系统的输入输出描述法 ——线性常系数差分方程
1.5
模拟信号数字处理方法
1
1.4
时域离散系统的输入输出描述法
——线性常系数差分方程
描述一个系统时，可以不管系统内部的结构如何，将 系统看成一个黑盒子，只描述或者研究系统输出和输入之 间的关系，这种方法称为输入输出描述法。 对于模拟系统，我们知道由微分方程描述系统输出输
、 出，n0时刻以前的N个输出值y(n0－1)、y(n0－2)、
y(n0－N)就构成了初始条件。
6
y(n) bi x(n i) ai y(n i)
i 0 i 1
M
N
（1.4.1）式表明，已知输入序列和N个初始条件，则
可以求出n时刻的输出；如果将该公式中的n用n+1代替，
方程求出系统的单位脉冲响应，再与已知的输入序列
进行卷积运算，得到系统的输出。但是系统的单位脉 冲响应如果不是预先知道，仍然需要求解差分方程，
求其零状态响应解。
本节只介绍递推法.
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y(n) bi x(n i) ai y(n i)
i 0 i 1
M
N
观察（1.4.1）式，求n时刻的输出，要知道n时刻以 及n时刻以前的输入序列值，还要知道n时刻以前的N个 输出信号值。因此求解差分方程在给定输入序列的条件 下，还需要确定N个初始条件。 以上介绍的三种基本解法都只能在已知N个初始条 件的情况下，才能得到唯一解。如果求n0时刻以后的输
i 0 i 1
或者
a y ( n i ) b x( n i )
i i i 0 i 0
N
M
a0 1
式中，x(n)和y(n)分别是系统的输入序列和输出序列，ai和bi 均为常数，式中y(n－i)和x(n－i)项只有一次幂，也没有相 互交叉相乘项，故称为线性常系数差分方程。 y(n－i)项中i的取值最大与最小之差确定阶数。在（1.4.2）
式中，y(n－i)项i最大的取值为N，i的最小的取值为零，因
此称为N阶的差分方程。
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1.4.2 线性常系数差分方程的求解
已知系统的输入序列，通过求解差分方程可以求出输
出序列。求解差分方程的基本方法有以下三种： （1） 经典解法。这种方法类似于模拟系统中求解微
分方程的方法，它包括齐 nu(n)
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（2） 设初始条件:
y (1) 1
n 0时, y (0) ay(1) δ (0) 1 a n 1时, y (1) ay(0) δ (1) (1 a)a n 2时, y (2) ay(1) δ (2) (1 a)a 2 n n时, y (n) (1 a)a n y (n) (1 a)a n u (n)
就是该系统的单位脉冲响应，例题1.4.2求出的y(n)则是一
个非因果系统的单位脉冲响应。
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最后要说明的是，一个线性常系数差分方程描述 的系统不一定是线性非时变系统，这和系统的初始状 态有关。如果系统是因果的，一般在输入x(n)=0(n<n0) 时，则输出y(n)=0(n<n0)，系统是线性非时变系统。
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该例表明，对于同一个差分方程和同一个输入信号，
因为初始条件不同，得到的输出信号是不相同的。
对于实际系统，用递推解法求解，总是由初始条件向 n>0的方向递推，是一个因果解。但对于差分方程，其本身
也可以向n<0的方向递推，得到的是非因果解。因此差分方
程本身不能确定该系统是因果系统还是非因果系统，还需 要用初始条件进行限制。下面就是向方向n<0递推的例题。
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将n－1用n代替，得到：
y(n) a u(n 1)
n
输出信号 非因果
用差分方程求系统的单位脉冲响应，由于单位脉冲响应
是当系统输入δ(n)时的零状态响应，因此只要令差分方程
中的输入序列为δ(n)，N个初始条件都为零，其解就是系 统的单位脉冲响应。实际上例题1.4.1（1）中求出的y(n)
可以求出n+1时刻的输出，因此（1.4.1）式表示的差分方 程本身就是一个适合递推法求解的方程。
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【例1.4.1】 设系统用差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n)描述，
输入序列x(n)=δ(n)，求输出序列y(n)。
解 该系统差分方程是一阶差分方程，需要一个初始条件。 （1） 设初始条件: y(1) 0
入之间的关系。对于时域离散系统，则用差分方程描述或
研究输出输入之间的关系。对于线性时不变系统，经常用 的是线性常系数差分方程。本节主要介绍这类差分方程及 其解法。
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1.4.1
线性常系数差分方程
y(n) bi x(n i) ai y(n i)
M N
一个N阶线性常系数差分方程用下式表示： （1.4.1） （1.4.2）