离散系统的时域及变换域分析剖析

实验1 离散系统的时域及变换域分析

一、实验目的：

1.加深对离散系统的差分方程、单位抽样响应和卷积分析方法的理解。

2.加深对离散系统的频率响应分析和零、极点分布的概念理解。 二、实验原理： 1.时域 离散系统

其输入、输出关系可用以下差分方程描述：

∑∑==-=-M

m m N

k n

m n x b k n y a

)()(

输入信号分解为冲激信号，

∑∞

-∞

=-=

m m n m x n x )()()(δ

系统单位抽样序列h （n ），

则系统响应为如下的卷积计算式：

∑∞

-∞

=-=

*=m m n h m x n h n x n y )()()()()(

当0

0≠a N k a k ,...2,1,0==时，h(n)是有限长度的（n ：[0，M]），称系统为FIR

系统；反之，称系统为IIR 系统。

在MATLAB 中，可以用函数y=filter(b,a,x)实现差分方程的仿真，也可以用函数 y=conv(x,h)计算卷积。

2.变换域

离散系统的时域方程为

∑∑==-=-M

m m N

k n

m n x b k n y a

)()(

其变换域分析方法如下：

X(z)H(z)

Y(z) )()()()()(=⇔-=

*=∑∞

-∞

=m m n h m x n h n x n y 系统函数为 N N M

M z a z a a z b z b b z X z Y z H ----++++++=

=......)()()(110110

分解因式

∏∏∑∑=-=-=-=---==

N

k k

M

m m N

k k

k M

m m

m z d

z c K

z

a z

b z H 1

1

11

)

1()

1()( ，

其中 m c 和 k d 称为零、极点。

在MATLAB 中，可以用函数[z ，p ，K]=tf2zp （num ，den ）求得有理分式形式的系统函数的零、极点，用函数zplane （z ，p ）绘出零、极点分布图；也可以用函数zplane （num ，den ）直接绘出有理分式形式的系统函数的零、极点分布图。使用h=freqz(num,den,w)函数可求系统的频率响应，w 是频率的计算点，如w=0:pi/255:pi, h 是复数，abs(h)为幅度响应，angle(h)为相位响应。另外，在MATLAB 中，可以用函数 [r ，p ，k]=residuez （num ，den ）完成部分分式展开计算；可以用函数sos=zp2sos （z ，p ，K ）完成将高阶系统分解为2阶系统的串联。

三 、实验内容 1.时域

（1.）编制程序求解下列系统的单位抽样响应，并绘出其图形。

)1()()2(125.0)1(75.0)(--=-+-+n x n x n y n y n y

解 用MATLAB 计算程序如下： N=15; n=0:N-1; b=[1,-1];

a=[1,0.75,0.125]; x=[n==0];

y=filter(b,a,x); subplot(3,2,1); stem(n,y,'.'); axis([0,N,-1,2]); ylabel('y(n)');

(2.)给定因果稳定线性时不变系统的差分方程

∑∑==-=-M

m m N

k n

m n x b k n y a

)()(

对下列输入序列()x n ，求输出序列()y n 。

30()()x n R n =

解：MATLAB 计算程序如下：

N=80; n=0:N-1; b=1;

a=[1,-1,0.9];

x=[(n>0&(n<30))]; y=filter(b,a,x); subplot(3,2,3); stem(n,y,'.'); axis([0,N,-1,2]); ylabel('y(n)');

例1 求下列直接型系统函数的零、极点，并将它转换成二阶节形式

num=[1 -0.1 -0.3 -0.3 -0.2];

den=[1 0.1 0.2 0.2 0.5];

[z,p,k]=tf2zp(num,den);

disp('零点');disp(z);

disp('极点');disp(p);

disp('增益系数');disp(k);

sos=zp2sos(z,p,k);

disp('二阶节');disp(real(sos));

zplane(num,den)

输入到“num”和“den”的分别为分子和分母多项式的系数。计算求得零、极点增益系数和二阶节的系数：

零点

0.9615

-0.5730

-0.1443 + 0.5850i

-0.1443 - 0.5850i

极点

0.5276 + 0.6997i 0.5276 - 0.6997i -0.5776 + 0.5635i -0.5776 - 0.5635i 增益系数 1 二阶节

1.0000 -0.3885 -0.5509 1.0000 1.1552 0.6511 1.0000 0.2885 0.3630 1.0000 -1.0552 0.7679

系统函数的二阶节形式为：

极点图如右图。 例2 差分方程

)

3(02.0)2(36.0)1(44.0)(8.0 )3(6.0)2(45.0)1(7.0)(-+-+--=-----+n x n x n x n x n y n y n y n y 所对应的系统的频率响应。 解：差分方程所对应的系统函数为

3

213

216.045.07.0102.036.044.08.0)(--------+++-=z

z z z z z z H 用MATLAB 计算的程序如下：

k=256;

num=[0.8 -0.44 0.36 0.02]; den=[1 0.7 -0.45 -0.6]; w=0:pi/k:pi;

h=freqz(num,den,w); subplot(2,2,1);

plot(w/pi,real(h));grid title('实部')

xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度') subplot(2,2,2);

plot(w/pi,imag(h));grid