刘徽的数学贡献
刘徽的数学成果
刘徽的数学成果刘徽生于公元c.220年，他是中国东汉末年至三国时期的人物。
刘徽在数学领域的成就主要体现在他的著作《九章算术》中，这是一本集大成的数学著作，包含了中国古代数学的重要内容。
《九章算术》是刘徽集合了当时数学家们的研究成果，整理而成的。
这本著作共分为九章，分别是《术数》、《方程》、《几何》、《焉程》、《方田》、《精卫》、《雉尾》、《盈不足》和《杂》。
每章都涵盖了各个领域的数学问题，包括算术、代数、几何等。
在《九章算术》中，刘徽提出了许多重要的数学理论和方法。
例如，在《术数》章中，他介绍了一种解一元二次方程的方法，这被认为是中国古代数学中的一项重要突破。
他还提出了一种计算圆周率的方法，在《几何》章中详细描述了如何利用正多边形逼近圆，从而计算出圆周率的近似值。
这种方法在当时是非常先进的。
除了这些数学理论和方法，刘徽还在《九章算术》中介绍了许多实际应用的数学问题。
例如，在《焉程》章中，他提出了一种测量高度的方法，通过测量阴影长度和光线角度的变化来计算物体的高度。
这种方法在古代的土木工程中得到了广泛的应用。
刘徽的数学成果不仅在中国有着深远的影响，而且对世界数学的发展也起到了积极的推动作用。
他的数学思想和方法在中国古代数学的发展中起到了重要的引领作用，为后来的数学家们提供了宝贵的经验和启示。
刘徽是中国古代数学领域的重要人物，他的数学成果主要体现在他的著作《九章算术》中。
他在数学理论、方法和应用方面的贡献，对中国古代数学的发展起到了重要的推动作用，同时也对世界数学的发展产生了积极的影响。
刘徽的数学成果为后世的数学研究者们提供了宝贵的经验和启示，他的贡献将永远被人们铭记。
刘徽的数学贡献
刘徽的数学贡献刘徽（公元220年-280年），字叔度，中国东晋时期的数学家。
他是中国古代数学史上的杰出人物之一，被誉为“东晋数学之祖”。
刘徽一生致力于数学的研究和教育工作，为中国古代数学的发展做出了重要贡献。
他的数学成就不仅体现在理论上的探索，还广泛应用于实际问题的解决。
他的数学著作《九章算术注》被认为是我国古代数学的巅峰之作，至今仍然被广泛研究和应用。
首先，刘徽在数学理论的发展上作出了突出贡献。
他的《九章算术注》系统地总结了中国古代的数学知识，并进行了深入的解释和注解。
这部著作包括了算术方面的九个章节，如加减乘除、九章算术注等，凝结了大量的数学知识和技巧。
他对于数学的各种运算方法进行了分类整理，并对问题的解题思路进行了详细解析。
这些理论成果为后世数学家提供了重要的研究基础，并对中国古代数学的发展产生了深远影响。
其次，刘徽的数学成就还具有很强的实用性。
他的研究不仅限于理论，还涉及到了实际问题的解决。
他通过数学方法解决了很多实际生活和工程上的难题，如土木工程的测量、水利工程的设计等。
他提出了测量天体距离的方法，被称为“刘徽天文定位法”，成为古代航海和导航的重要工具之一。
他的实用性研究使得数学在日常生活和实际工程中得到广泛应用，促进了古代社会的发展和进步。
此外，刘徽注重数学教育的普及和推广，为数学在中国社会的发展做出了积极贡献。
他在教学中强调实践和交互，提倡学以致用。
据记载，他曾亲自执教并积极推动数学教育的发展。
他的教学方法注重培养学生的实际操作能力和问题解决能力，为后世的数学教育提供了借鉴与启示。
综上所述，刘徽是中国古代数学发展史上的重要人物，他的数学贡献不仅体现在理论的探索上，更体现在实际问题的解决和数学教育的推广上。
他的数学著作和研究成果为后世数学家提供了宝贵的研究资源，对中国古代数学的发展和应用产生了深远影响。
刘徽的数学思想和方法，为我们今天的数学研究和教育提供了重要的借鉴与启示，值得我们不断学习和探索。
简述刘徽的数学贡献
简述刘徽的数学贡献刘徽(？- 250)，字宗古，山阳高平(今山东微山)，是中国古代杰出的数学家、天文学家、哲学家。
刘徽少时就才思敏捷，聪明过人。
曾经有人夸奖他说：“你以后必成大器，将来做个卿相也不在话下”。
刘徽并没有因此骄傲自满，反而感到很惭愧。
同时又想，如果自己小时候不努力学习，那么长大之后怎么可能会有成就呢?因此，他发奋图强，读书非常刻苦，孜孜不倦，即使是严寒酷暑，只要天亮了，就起床读书。
刘徽是我国东汉时期的一位伟大的数学家，在整个的中国数学史上占据着重要的地位，被尊称为“中国剩余定理之父”和“徽分学创始人”。
刘徽生活的年代正是我国东汉末年，当时，中国的文化出现了短暂的繁荣时期。
但是，由于那个时候连年战乱，社会经济遭受破坏，所以，人们的生活非常困苦。
刘徽出身贫苦人家，生活在当时社会动荡的年代，眼看着身边的同龄人每天都忙于逃难，有时甚至还饥寒交迫。
可是，自己却整天无所事事，甚至还想着去看风景。
想到这里，刘徽不禁十分羞愧，于是，他暗下决心，一定要做些有益于百姓的事情。
对于这个问题，刘徽从小就已经有了答案。
他立志要做一番大事业，让世人知道他的名字，不再忘记他的恩德。
刘徽原本是个农民，当时社会动荡，各地爆发起义。
他的哥哥劝说刘徽跟他一起逃难，并且还许诺刘徽要做一个公侯。
可是，刘徽听到这句话时，却断然拒绝了。
他认为，如果这样做，那么将来必定会留下骂名。
等他日后有成就了，再去报答他们也不迟。
后来，刘徽一直待在家里，发愤读书。
他常常挑灯夜读，废寝忘食。
因为刘徽的刻苦用功，因此，他的学问得到了极大的提高。
因此，刘徽小小年纪就已经崭露头角，远近闻名了。
刘徽也并不因为这样而灰心丧气，依旧认真学习。
这使得他渐渐产生了怀疑。
比如，在两点间，一般会选择距离较短的那条线路。
但是，我们却不能根据人们的主观意愿来进行判断，而应该根据客观规律来确定。
也就是说，既然现实的结果是客观存在的，那么其他的方法也就必定可以通过客观存在的现象来验证。
简述刘徽的主要数学贡献
简述刘徽的主要数学贡献
刘徽是中国古代数学家之一，他的主要数学贡献包括以下几个方面：
1. 著作了《九章算术注》和《海岛算经》
刘徽为《九章算术》做了注释，在注释的过程中，他证明了大量几何问题的解法，其中包括一些重要的数学定理，如刘徽定理和刘徽体积公式等。
此外，他还著作了《海岛算经》，其中讨论了测量和几何问题。
2. 创新了数学方法
刘徽在数学方法上有很多创新，其中包括“齐同术”、“分数的通分”、“刘徽倍数术”等。
这些方法不仅为当时的数学研究提供了重要的工具，而且对于现代数学的发展也有很大的影响。
3. 证明了大量数学定理
刘徽在数学中证明了大量定理，其中包括“刘徽定理”、“刘徽体积公式”、“刘徽割圆术”等。
这些定理不仅在当时的数学研究中具有重要的意义，而且对于现代数学的研究也有很大的启示作用。
4. 提出了数学教育思想
刘徽在数学教育方面也有很大的贡献，他提出的“以筹为意”、“广引事例”、“审于接通，而精于证明”等教育思想，对于当时的数学教育产生了深远的影响，并且对于我们今天的数学教育也具有重要的启示作用。
总之，刘徽是中国古代数学史上的杰出人物之一，他的数学贡献对于中国数学的发展产生了深远的影响，并且对于我们今天的数学研究和实践也具有重要的启示作用。
浅谈刘徽在数学上的主要成就
浅谈刘徽在数学上的主要成就刘徽是中国古代著名的数学家、工程师和地理学家，他于三国时期被誉为“数学圣手”。
刘徽在数学上的主要成就可以从以下几个方面进行阐述。
一、数学体系的建立刘徽是中国古代数学体系建立的重要人物之一。
他所著的《九章算术》是中国古代数学最早的系统性著作之一，被誉为“中国数学史上的一座丰碑”。
这部著作最早已经流传于汉代，是汉代数学家张邱建立“术数学”之前的重要文献。
刘徽本人也对数学体系的建立有重要贡献，他的《九章算术集注》是一部对《九章算术》的注解和扩充，使得中国古代数学的体系更加完善。
此外，他还着力于推广“师子算术”，即用方程式解决实际问题的方法，这也为之后的数学发展奠定了基础。
二、数学理论的创新刘徽在数学理论方面也有一些创新的成就。
他创立了中国古代数学的“周天法”和“精细算法”，为以后的天文学和数学理论发展奠定了基础。
此外，他还提出了“勾股数学”理论，该理论被称为中国古代数学重要的代表性理论之一。
在其著作《九章算术集注》中，刘徽提出如下勾股定理：“直角三角形斜边上的正方形的面积等于两直角边上的两个矩形面积之和。
”这个定理对今天的几何学和三角学起到了至关重要的作用。
三、制图和工程设计刘徽还是一位出色的工程师和地理学家。
在地图制图方面，他主要为中国古代测量学和地图学的发展做出了巨大贡献。
他撰写了一本名为《黄土书》的著作，其中系统地介绍了地图制作方法和精度要求。
在工程设计方面，他曾经负责修建当时中国最先进的水利工程之一——灵渠，该工程极大地促进了当地的农业发展和经济繁荣。
总之，刘徽在数学上的主要成就是建立了中国古代数学体系，创新了数学理论，推广了勾股数学，同时在制图和工程设计方面也给中国古代科技的发展做出了巨大贡献。
刘徽是中国古代著名的通才，他的学识和成就影响至今。
历史趣闻魏晋时期的刘徽在数学方面有何成就？
如对您有帮助，可购买打赏，谢谢魏晋时期的刘徽在数学方面有何成就？导语：刘徽是魏晋时期最伟大的数学家，对中国的古典数学理论的创立及发展做出了极其重要的贡献，在中国乃至时间的数学史上，都占据着重要的位置刘徽是魏晋时期最伟大的数学家，对中国的古典数学理论的创立及发展做出了极其重要的贡献，在中国乃至时间的数学史上，都占据着重要的位置。
下面，让我们一起去看一下刘辉的简介吧。
刘辉的出生日期，大约是在公元225年前后，他卒于295年，是当时世界上最杰出得到数学家。
他在这方面的著作，对后世数学的发展有着至关重要的影响，同时也奠定了他在数学界不可动摇的地位，也为数学界留下了最为宝贵的文化遗产。
刘辉思维敏捷又刻苦好学，在数学上有着许多的成就，而这些成就大致可以分为两个方面的内容。
其一是他研究了古代中国的数学理论，从而整理出了一套数学体系，而他这方面的这就从他的数学著作中就可以看出来。
他那一套比较完整的数学理论又包括了通分、约分以及各运算法则，同时又从理论方面证明了无理方根的存在;刘辉还给了率一个明确地定义，再通过“率”来定义“方程”;同时他对勾股理论也做出了一定的发展。
其二就是面积与体积理论。
他提出了刘徽原理，并将多种面积或体积的问题加以解决。
另外，他还在自己的著作中，给出了对幽州率的计算方法，使圆周率又成为“徽率”。
刘辉一直都在数学的海洋中遨游，不断地专研和学习，并提出新的见解和理论，对数学的发展做出了巨大的贡献。
刘徽是魏晋时期有名的数学家，他在数学上有着极大的成就，在数学界中占据着极其重要的位置。
他在十分简陋的环境中，冥思苦想，提出了一个又一个令人振奋的理论。
接下来，让我们来看一看与刘徽生活常识分享。
刘徽数学成就
刘徽在研究立体几何时,发现"邪解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑, 阳马居二,鳖臑居一,不易之率也".即"过对角面分割堑堵为一个 阳马(图416中ABCDE)和一个鳖臑(图416中DEFC),则阳马与鳖臑 的体积之比恒为二比一."为叙述方便,我们称之为阳马定理.刘徽 从长方体体积公式出发证明了这一定理,然后用它证明了各种多面体 他还发现了一条重要原理: 的体积公式.另外,他还发现了一条重要原理:对两个等高的立体, 他还发现了一条重要原理 对两个等高的立体, 若用平行于底面的平面截得的面积之比为一常数, 若用平行于底面的平面截得的面积之比为一常数,则这两立体的体积 之比也等于该常数.这一原理可称为"刘徽原理" 之比也等于该常数.这一原理可称为"刘徽原理".在《九章算术注》 中,刘徽多次运用了这一原理,例如,圆台体积:外切正四梭台体积= 圆面积:外切正方形面积=:4.书中对圆锥,圆台等旋转体体积公 式的推导,都是以刘徽原理为依据的.
对于方程组的性质,刘徽总结出如下诸条:"令每 行为率",即方程各项成比例地扩大或缩小,不 即方程各项成比例地扩大或缩小, 即方程各项成比例地扩大或缩小 改变方程组的解; 改变方程组的解 "每一行中,虽复赤黑异算,无伤",即方程各项 方程各项 同时变号,不改变方程组的解; 同时变号,不改变方程组的解; "举率以相减,不害余数之课也,即两方程对应项 两方程对应项 相减,不改变方程组的解. 相减,不改变方程组的解. 很明显,刘徽对于线性方程组的初等变换,已经基 本掌握了. 不过,他没有考虑交换两个方程的位置,因为不进 行这种变换亦可顺利求出方程组的解,而且调换算 筹的位置是不方便的.
2.代数 .
(2)对线性方程组解法的改进 《九章算术》中用直除法解线性方程组,比较麻 烦.刘徽在方程章的注释中,对直除法加以改进,创立了 互乘相消法.例如方程组
伟大古代数学家—刘徽
（二）个人伟大的创见
①割圆术； ②刘徽原理用无限分割的方法解决锥体体积 术与圆周率； ③“牟合方盖”说引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型； ④在方程新术提出了解线性方程组的新方法； ⑤提出了重差术。
割圆术
牟合方盖
重差法
伟大数学精神
我国古代伟大的数学家—— 刘徽，在艰难落后的时代环境 中不断学习，整理前人丰富数 学学识，让更多的后世学人得 以更好的学习和专研，同时也 为推动中国古代数学的发展贡 献了巨大的力量，为了纪念刘 徽突出贡献，我国发行了相应 的邮票、、、等来纪念这位伟 大的学者。
伟大数学成就
（一）、在世期间主要整理和修注<九章算术》，得出了 ①阐述了
通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的运算法则； ②在筹式演 算理论方面先给率以比较明确的定义； ③在勾股理论方面逐一论证了 有关勾股定理与解勾股形的计算原理； ④在面积与体积理论方面用出 入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理。
伟大的数学精神
刘徽治学态度严谨、科学、认真，自幼 刻苦自励，对学识创作孜孜不倦地追求， 倾毕生精力，勤于数学研究探索。倾毕生 精力，勤于数学研究探索。 因此刘徽的数精神也是我们在学习数 学知识上探讨数学问题方面的榜样！为此 许多中学、大学学府都以刘徽的雕像作为 学术追求的楷模。
2014-9-3
目录
一、个人简介 二、主要数学成就： （一）、《九章算术》 （二）、个人伟大创建 三、伟大数学精神
刘徽个人简介
刘徽，魏晋时期山东人。出生在公元3 世纪20年代后期，主要生活在三国时代， 可能死于晋初。 在世期间主要整理和修注<九章算术》， 并撰有《重差》（《重差》单行，改称 《海岛算经》）、《九章重差图》，对 先秦至两汉时期中国数学的成就，做了 系统的阐发和理论总结，并提出了许多 创造性的见解——割圆术、圆周率近似 值、四棱锥体积公式证明等，都为古代 数学的发展做出了杰出的贡献。 刘徽为《九章》作注时年时已较长， 后来，宋徽宗为了表彰他的突出贡献， 在大观三年（1109）礼部太常寺追封他 为古代数学家爵位，封为“淄乡男”。
简述刘徽的主要数学贡献
简述刘徽的主要数学贡献刘徽是中国南北朝时期著名的数学家、天文学家、地理学家和制图学家，他是中国数学史上的杰出人物，被誉为“中国数学之父”。
他活动的时间大约是3世纪末到4世纪初，是《九章算术》以后，中国数学高度发展时期的代表人物之一。
刘徽在各个领域都有卓越的贡献。
其中最著名的莫过于《九章算术》中的“方程”，也就是横轴定位法。
横轴定位法是代数方程解法中的一种古老方法，被认为是中国数学史上的一个创举。
这种方法可以将方程转化为一条直线和一个曲线的交点问题，从而求出未知量。
在《九章算术》中，横轴定位法主要用于解决代数方程的根问题。
刘徽在《九章算术》中还发展了类似“勾股定理”的几何定理，通过几何形象的证明，使得许多在古代算法中不易理解的问题更加清晰易懂。
此外，刘徽还借鉴了古代埃及和巴比伦的数学知识，融入到中国数学中来，丰富了中国数学的内涵。
除了代数方程，刘徽在天文学、地理学和制图学方面也有很多重要的贡献。
在天文学方面，他在《太和历》中提出了较为准确的日、月、岁的等差数列和中气定位方法。
这些方法大大提高了天文学的准确性，促进了中国天文学的发展。
在地理和制图方面，刘徽曾编纂了《水经注》和《世经》等著作，对中国地理和制图的发展产生了深远影响。
同时，刘徽还是一位伟大的教育家和思想家。
他提倡数学教育，将数学视为一种重要的文化传承和技能培养。
在他的《九章算术》中，提出了“师必自深”，即“教师必须自己掌握深刻的知识和技能，才有资格向学生灌输知识”。
总之，刘徽是中国数学史上的巨匠，其贡献不仅体现在数学领域，而且广泛涉及天文学、地理学、制图学、教育学等多个领域。
他的成就为后世数学家提供了许多启示，对世界数学的发展也产生了深远的影响。
【高中数学】数学家刘徽
【高中数学】数学家刘徽(生于公元250年左右)，三国后期魏国人，是中国古代杰出的数学家，也是中国古典数学理论的奠基者之一．其生卒年月、生平事迹，史书上很少记载。
据有限史料推测，他是魏晋时代山东临淄或淄川一带人。
终生未做官。
工作刘徽的数学著作留传后世的很少，所留之作均为久经辗转传抄。
他的主要著作有：《九章算术笔记》第10卷；《重差》1卷，至唐代易名为《海岛算经》；《九章重差图》第一卷，不幸的是，后两种在宋代消失了。
数学成就刘辉的数学成就可以分为两个方面：一是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。
这方面集中体现在《九章算术注》中。
它实已形成为一个比较完整的理论体系：① 在数论中用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的运算法则；在开方术的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。
② 在芯片微积分理论中先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。
③ 根据共谋理论逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析，形成了中国特色的相似理论。
④ 面积和体积理论用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。
这些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉。
其次，他在继承的基础上提出了自己的创作思路。
这方面主要体现在以下具有代表性的创新上：①割圆术与圆周率在《九章算术·圆田法》的注释中，他用切圆法证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法。
首先，他从圆内的六边形上切下圆，乘以每次的边数，计算192条边的面积，得到π=157/50=3.14，然后计算3072条边的面积，得到π=3927/1250=3.1416，这就是所谓的“回比”。
刘徽的数学成果
刘徽的数学成果刘徽是中国古代数学家与天文学家，在中国数学史上有着重要的地位和贡献。
他于公元三世纪的三国时期活跃，是魏晋南北朝时期的著名学者。
刘徽在数学方面取得了众多成果，对中国古代数学的发展起到了重要推动作用。
刘徽的数学成果主要体现在几何学和代数学方面。
首先是在几何学方面，刘徽发展了很多较早的几何学理论，尤其在平面几何和立体几何方面做出了重要贡献。
他提出了多个几何学原理和定理，其中最著名的是《九章算术》第四章中的“勾股定理”。
勾股定理是刘徽最为人所知的贡献之一。
他首次在古代文献中系统地记载了勾股定理的证明方法。
刘徽的方法是通过面积的比较来证明勾股定理，这被认为是世界上最早的证明方法之一。
他的方法简单、直观，给后来的数学家提供了很多启示，并且在中国古代数学的教学中被广泛应用。
除了勾股定理，刘徽还研究了圆和球体的性质，并提出了计算圆周率π的方法。
他运用了正多边形边数不断增加，逼近于圆形的性质，从而得到了圆周率的近似值。
刘徽的方法虽然不够精确，但是为后来圆周率的计算打下了基础。
在代数学方面，刘徽对高次方程的研究也有一定的贡献。
他提出了“刘方”，是解四次方程的一种方法，被广泛运用于中国古代数学的研究中。
刘徽的方法相对简单易懂，可以解决一些四次方程的问题，对于当时的数学发展具有重要意义。
此外，刘徽在数学的教学方法上也有独特见解。
他主张实践与理论相结合，提倡通过实际问题的解决来培养学生的数学思维能力。
他注重数学的应用，在数学的教学过程中引导学生进行实践探索，从而提高他们的数学素养。
总而言之，刘徽是中国古代数学史上的重要人物，他的数学成果对中国古代数学的发展起到了重要推动作用。
他在几何学和代数学方面的研究，特别是勾股定理的发现和解四次方程的方法被广泛应用和发展。
刘徽的研究方法直观、实用，并注重实践与理论的结合，这些特点都对后来的数学研究产生了积极影响。
因此，刘徽的数学成果在中国古代数学史上具有重要意义，对后世的数学研究产生了深远的影响。
魏晋时期的刘徽在数学方面有何成就？
魏晋时期的刘徽在数学方面有何成就？>刘徽是魏晋时期最伟大的数学家，对中国的古典数学理论的创立及发展做出了极其重要的贡献，在中国乃至时间的数学史上，都占据着重要的位置。
下面，让我们一起去看一下刘辉的简介吧。
刘辉的出生日期，大约是在公元225年前后，他卒于295年，是当时世界上最杰出得到数学家。
他在这方面的著作，对后世数学的发展有着至关重要的影响，同时也奠定了他在数学界不可动摇的地位，也为数学界留下了最为宝贵的文化遗产。
刘辉思维敏捷又刻苦好学，在数学上有着许多的成就，而这些成就大致可以分为两个方面的内容。
其一是他研究了古代中国的数学理论，从而整理出了一套数学体系，而他这方面的这就从他的数学著作中就可以看出来。
他那一套比较完整的数学理论又包括了通分、约分以及各运算法则，同时又从理论方面证明了无理方根的存在;刘辉还给了率一个明确地定义，再通过“率”来定义“方程”;同时他对勾股理论也做出了一定的发展。
其二就是面积与体积理论。
他提出了刘徽原理，并将多种面积或体积的问题加以解决。
另外，他还在自己的著作中，给出了对幽州率的计算方法，使圆周率又成为“徽率”。
刘辉一直都在数学的海洋中遨游，不断地专研和学习，并提出新的见解和理论，对数学的发展做出了巨大的贡献。
刘徽是魏晋时期有名的数学家，他在数学上有着极大的成就，在数学界中占据着极其重要的位置。
他在十分简陋的环境中，冥思苦想，提出了一个又一个令人振奋的理论。
接下来，让我们来看一看与刘徽有关的故事吧。
刘徽是中国古代历史上，乃至世界知名的数学家，他通过自己不断地研究，在十分简陋的环境下，提出了“割圆术”，进而得出了更精确地圆周率。
这在当时是一个十分伟大的发现，也使中国对圆周率的计算在世界上一直处于领先的地位。
刘徽在他的著作中，提出了割圆术的理论，可以利用它来计算圆周率。
《九章算术》中提到“周三径一”，这句话的意思就是说圆周率的近似值为三。
但是，刘徽认为这个数字太笼统，不够准确，所以指出这个数字不能作为圆周率。
2023年度浅谈刘徽在数学上的主要成就
2023年度浅谈刘徽在数学上的主要成就在中国数学史上，刘徽（约公元7世纪）被认为是唐代著名的数学家。
他的书《九章算术》是中国数学的标志性著作之一。
刘徽在数学领域的贡献被称为中国古代数学的瑰宝。
他的数学技能、技巧和方法在整个中国历史上都具有特殊的地位和价值。
在本文中，我们将讨论刘徽在数学领域的主要成就，包括他的代数学、几何学和数论等方面。
代数学方面，刘徽是中国古代代数学的奠基人之一。
他的代数学研究主要集中于解决二元二次方程和三元方程等问题。
刘徽在代数学上的最重要贡献是他的“割补术”，即现代代数学中的“配方法”。
该方法指导了如何提取二元二次式中的平方，并使得方程得以转化为一些易于解决的一元二次方程。
这种方法在中国古代数学中被广泛应用，并成为解决多元高次方程的重要工具。
几何学方面，刘徽也有着显著的成就。
他首次尝试计算角度速度比，也就是求解圆周率的问题。
他使用了多个不同的方法，包括计算圆的周长和直观测量，从而取得了圆周率的精确值。
另外，刘徽也是第一个使用解析几何来解决几何问题的数学家之一。
他的“能除尽方则可平之法”，是将一般的代数方程化为几何形式的重要方法之一。
数论方面，刘徽的“勾股数”在西方也被称为勾股三元数，是中国数学史上一项重要的成就。
勾股数有广泛的应用，包括在几何学、物理学和金融学中。
在勾股数的研究中，刘徽被认为是数论、代数和几何学的大师。
他发展了勾股数的基础理论，并为数学家提供了解决不同类型数学问题的工具。
除此之外，刘徽还发展了夹逼定理，即现代数分析中的“夹逼定理”，这是计算函数上限和下限的一种有效方法。
他还研究了象限比例、幂等元、立方体求根和二项式定理等诸多问题。
总的来说，刘徽在数学领域中的成就为中国古代数学的繁荣奠定了重要基础。
他的思想和方法在千年之后仍然被广泛运用和传承，为后来的数学家和科学家提供了源源不断的启示。
刘徽 九章算术 故事
刘徽九章算术故事摘要：一、刘徽简介二、九章算术概述三、刘徽与九章算术的关系四、九章算术的主要内容五、九章算术的历史地位和影响六、刘徽的数学成就七、刘徽思想在现代数学中的应用正文：刘徽，我国古代著名的数学家，生于公元250年左右，他是魏晋时期的杰出人物。
他的数学成就主要体现在对《九章算术》的注释和发扬光大大上。
《九章算术》是我国古代数学的一颗璀璨明珠，它是我国第一部完整的数学著作，成书于公元1世纪。
该书共有九章，涵盖了算术、代数、几何等多个领域，体现了我国古代数学的丰富内涵和高度成就。
刘徽与《九章算术》的关系密切。
他对《九章算术》进行了深入的研究和注释，使该书的内容更加清晰易懂，便于后人学习和传承。
在他的注释中，刘徽提出了许多独到的见解和创新的解题方法，对我国古代数学的发展产生了深远的影响。
《九章算术》的主要内容包括：分数计算、整数计算、方程求解、面积和体积的计算等。
这些内容在当时具有很高的实用价值，为我国古代数学的繁荣奠定了基础。
《九章算术》在我国数学史上具有举足轻重的地位。
它的出现标志着我国古代数学的形成和发展，对后世数学家产生了深远的影响。
刘徽的思想和研究方法在现代数学中仍有广泛的应用，他为我国数学的发展做出了巨大贡献。
刘徽的数学成就举世瞩目。
他提出了“割圆术”，为圆周率的计算提供了新的方法。
他还研究了勾股定理和立体几何，为我国古代几何学的发展奠定了基础。
刘徽的思想在现代数学中得到了广泛应用。
他的割圆术被应用于计算机科学中的算法设计，他的数学原理为现代数学家提供了丰富的研究素材。
可以说，刘徽是我国古代数学的瑰宝，他的贡献将永载史册。
总之，刘徽是我国古代数学的杰出代表，他的研究成果和对《九章算术》的注释为我国数学的发展做出了巨大贡献。
他的事迹和思想不仅是我国数学史的瑰宝，也是全世界数学史的瑰宝。
古代数学家刘徽简介
古代数学家刘徽简介
刘徽（224年-282年），字元晦，又名闵，晋代南阳郡新野县
（今安徽省当涂县）人，是一位杰出的古代数学家、天文学家、地理
学家和工程师。
他是中国古代数学史上最杰出的代表之一，对中国数
学历史和发展做出了重要贡献。
刘徽在年轻时聪明好学，勤奋钻研天文学和数学。
因其勤奋努力，很早就显露出独特的天资，在此之后，他专注于各种学科的研究，并
广泛涉猎历史、地理、气象、水利等方面的知识。
他的学识十分渊博，并且极富创新性。
其最为重要的成就是在进行天文测量、地理测量和
水利工程设计方面的贡献。
刘徽的代表性著作有《九章算术》、《数书九章》、《海岛算经》等。
《九章算术》是中国古代数学史上最重要的著作之一，它系统地
阐述了数学基本概念和解题方法，包含算术、代数、几何、方程、分数、数列等内容。
《数书九章》是《九章算术》的续集，总结了汉代
以来的数学成果，被后人称为中国数学五经之一。
《海岛算经》是一
本介绍海岛距离测量、勾股定理的著作，是一本备受推崇的测量学著作。
在工程方面，刘徽的成就也十分突出。
他设计了众多水利工程，
包括排灌一体、引水济渔、节流减损、节制洪水等，对水利工程的设
计和实践产生了深刻的影响，为中国的水利工程奠定了坚实的基础。
刘徽是古代中国杰出的数学家和工程师，他的贡献对于中国古代
数学和科技的进步发挥了极大的推动作用。
他的学术研究和工程实践
都阔别了时代的局限，体现了他坚定的探索精神和推动历史进步的责
任感。
刘徽的数学成就
刘徽的数学成就文章来源：现代教育报·思维训练作者：本报点击数：3994 更新时间：2008-5-18 15:52:4一、刘徽生平刘徽是中国古代最伟大的数学家之一．他是三国时代魏国人，籍贯山东，生卒年不详，约死于西晋初年．刘徽出身平民，终生未仕，称为“布衣”数学家．刘徽在童年时代学习数学时，是以《九章算术》为主要读本的，成年后又对该书深入研究，于元263年左右写成《九章算术注》，刘徽自序说：“徽幼习《九章》，长再详览．观阴阳之割裂，总算术之根源．探赜之暇，遂悟其意，是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注．刘徽在研究《九章算术》的基础上，对书中的重要结论一一证明，对其错误予以纠正，方法予以改并提出一些卓越的新理论、新思想．《九章算术注》是刘徽留给后世的十分珍贵的数学遗产，是中传统数学理论研究的奠基之作．刘徽还著有《重差》一卷，专讲测量问题．他本来把《重差》作为《九章算术注》的第十卷，代初年改为单行本，并将书名改作《海岛算经》，流传至今．从刘徽著作来看，他学风严谨，实事求是，而且富于批判精神，敢于创新，理论研究相当深入堪称数学史上的一代楷模．二、《九章算术注》此为刘徽的力作，反映了他在算术、代数、几何等方面的杰出贡献．1．算术(1)十进分数刘徽之前，计算中遇到奇零小数时，就用带分数表示，或者四舍五入．刘徽首创十进分数，用表示无理根的近似值．这种记数法与现代刘徽用忽来表示，但a后各位就不必再命名了，刘徽称它们为“微数”，说：“微数无名者以为分其一退以十为母，其再退以百为母．退之弥下，其分弥细．”这种方法，与我们现在开平方求无理的十进小数近似值的方法一致，即其中a1，a2，…，an是0至9之间的一位整数．(2)齐同术《九章算术》中虽有分数通分的方法，但没有形成完整理论，刘徽提出齐同术，使这一理论趋完善．他说：“凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同．”又进一步提出通分后数值不变的理论依据即“一乘一除，适足相消，故所分犹存“法实俱长，意亦等也”．前句话的意思是，一个分数用同个(非零)数一乘一除，其值不变；后句话的意思是，分数的分子、分母扩大同一倍数，分数值不变．徽指出，“同”即一组分数的公分母，“齐”是由“同”而来的，是为了使每个分数值不变．另外刘徽还将齐同术引而伸之，用来解释方程及盈不足问题．2．代数(1)对正负数的认识《九章术》成书后正负数的运算越来越广泛，但究竟应该如何认识正负数，却很少有人论及．刘徽在《九章算术注》中首次给出负数的明确定义：“今两算得失相反，要令正负以名之．”就是说以正负数表示得失相反的量．他进一步阐述正负的意义：“言负者未必负于少，言正者未必正于多．”即负数绝对值未必少，正数对值未必大．另外，他又提出筹算中表示正负数的两种方法：一种是用红筹表正数，黑筹表负数；一种是以算筹摆法的正、斜来区别正、负数．这两种方法，对后世数学都有深远影响．(2)对线性方程组解法的改进《九章算术》中用直除法解线性方程组，比较麻烦．刘徽在方程章的注释中，对直除法加以改创立了互乘相消法．例如方程组刘徽是这样解的：(1)×2，(2)×5，得(4)-(3)，得21y＝20(下略)．显然，这种方法与现代加减消元法一致，不过那时用的是筹算．刘徽认为，这种方法可以推广多元，“以小推大，虽四、五行不异也．”他还进一步指出，“相消”时要看两方程首项系数的同同则相减，异则相加．刘徽的工作，大大减化了线性方程组解法．(3)方程理论的初步总结刘徽在深入研究《九章算术》方程章的基础上，提出了比较系统的方程理论．刘徽所谓“程”程式或关系式的意思，相当于现在的方程，而“方程”则相当于现在的方程组．他说：“二物者再三物者三程，皆如物数程之．并列为行，故谓之方程．”这就是说：“有两个所求之物，需列两个有三个所求之物，需列三个程．程的个数必须与所求物的个数一致．诸程并列，恰成一方形，所以方程．”这里的“物”，实质上是未知数，只是当时尚未抽象出未知数的明确概念．定义中的“皆物数程之”是十分重要的，它与刘徽提出的另一原则“行之左右无所同存”，共同构成了方程组有一组解的条件．若译成现代数学语言，这两条即：方程个数必须与未知数个数一致，任意两个方程系数不能相同或成比例．刘徽还认识到，当方程组中方程的个数少于所求物个数时，方程组的解不一；如果是齐次方程组，则方程组的解可以成比例地扩大或缩小，即“举率以言之”．对于方程组的性质，刘徽总结出如下诸条：“令每行为率”，即方程各项成比例地扩大或缩小不改变方程组的解；“每一行中，虽复赤黑异算，无伤”，即方程各项同时变号，不改变方程组的“举率以相减，不害余数之课也，即两方程对应项相减，不改变方程组的解．很明显，刘徽对于线方程组的初等变换，已经基本掌握了．不过，他没有考虑交换两个方程的位置，因为不进行这种变亦可顺利求出方程组的解，而且调换算筹的位置是不方便的．3．几何(1)割圆术刘徽以前，一般采用周三径一的圆周率，这是很不精确的．刘徽在《九章算术注》中指出：周径一的数据实际是圆内接正六边形周长和直径的比值，不是圆周与直径的比值．他认为圆内接正多形的边数越多，其面积就越接近圆面积．他从这一思想出发，创立了科学的求圆周率方法---割圆术体来说，就是以1尺为半径作圆，再作圆内接正六边形，然后逐渐倍增边数，依次算出内接正六边正12边形乃至正192边形的面积．刘徽之所以选半径为1，是为了使圆面积在数值上等于圆周率，而简化运算．他利用公式(ln 为内接正n边形边长，S2n为内接正2n边形面积)来求各正多边形面积．至于正多边形边长，他是反复利用勾股定理来求的．例如，由以下三式即可得正12边形边长(图4．14)：TR＝OR-OT，后，便根据S192＜S＜S192＋(S192－S96)刘徽舍弃分数部分，取圆面积为314平方寸，从而得到π＝3．14、这种方法可以求得任意精度圆周率近似值，刘徽对这一点是很清楚的．不过，他根据当时的需要，运算中只取到两位小数．割圆术的创立是数学史上的一件大事．古希腊的阿基米德(Archimedes，公元前287---前212曾用割圆术求圆周率，他的方法是以圆内接正多边形和外切正多边形同时逼近圆，比刘徽的方法麻一些．刘徽的成就晚于阿基米德，但是独立取得的．(2)几何定理的证明刘徽采用出入相补原理，证明了《九章算术》中许多几何公式和定理．例如，他在证明三角形积公式时，思路如下：把三角形的高h二自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也，合成弦方之幂．”可惜的是原图失所以不知刘徽怎样“出入相补”．刘徽在研究立体几何时，发现“邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居不易之率也”．即“过对角面分割堑堵为一个阳马(图4·16中ABCDE)和一个鳖臑(图4·中DEFC)，则阳马与鳖臑的体积之比恒为二比一．”为叙述方便，我们称之为阳马定理．刘从长方体体积公式出发证明了这一定理，然后用它证明了各种多面体的体积公式．另外，他发现了一条重要原理：对两个等高的立体，若用平行于底面的平面截得的面积之比为一常数则这两立体的体积之比也等于该常数．这一原理可称为“刘徽原理”．在《九章算术注》中刘徽多次运用了这一原理，例如，圆台体积∶外切正四梭台体积=圆面积∶外切正方形面积π∶4．书中对圆锥、圆台等旋转体体积公式的推导，都是以刘徽原理为依据的．(3)对球体积的研究刘徽发现了《九章算术》中球体积公式不正确，试图利用刘徽原理求出正确的球体积式．他首先作球的外切立方体，然后用两个直径等于球径的圆柱从立方体内切贯穿(图4．17)是，球便被包在两圆柱相交的公共部分，而且与圆柱相切．刘徽只保留两圆柱的公共部分，名“牟合方盖”．(图4．18)根据刘徽原理，球体积与牟合方盖体体积，整个问题就迎而解了．刘徽没有成功，只好“以俟能言者”．但他的思路正确，为后人解决这一问题打下基础．4．刘徽的极限观念从《九章算术注》可以看到，刘徽具有明确的极限思想．他把极限用于代数和几何研究取得重要成果．这说明极限思想从春秋战国时期萌芽以后，到这时已有较大发展．例如，刘徽的割圆术便建立在极限理论的基础上．他说：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣．”就是说当圆内接正多边形的边数无限增加时正多边形面积的极限便是圆的面积．他还把割圆术用于求弓形面积．如图4．19，刘徽在弓内为弓形面积．显然，用此方法可使弓形面积达到任何需要的精确度．刘徽在研究开方不尽的问题时，认为求出的位数越多，就越接近真值，但永远不会达到值，只能根据需耍，求到“虽有所弃之数，不足言之也”的程度．刘徽正是在这种极限观念基础上创立十进分数的．他在征明有关体积的定理(如阳马定理)时也用到极限，并深刻地指极限问题“谓以情推，不用筹算”，就是说研究极限靠思维和推理而不靠具体计算．三、刘徽的重差术重差术是中国古代的一种重要测量方法，用以测量不可到达的距离．刘徽对这一理论进行了总结和高，写出重差术专著---《海岛算经》(即《重差》)．他在序言中说：“凡望极高、测绝深而兼知其者必用重差．”全书只有九道题，但很有代表性．例如第一题(译为今文)：为测量海岛，立两根3丈高的标杆，前后相距1000步，令后杆与前对齐．从前杆后退123步，人眼着地看岛峰，视线正好过杆顶．从后杆后退127步，人眼着地看岛视线也过杆顶．问岛高和岛离杆的距离各是多少？按题意画图如下：因当时1步为6尺，故标杆高5步．由刘徽术文，得若用字母表示，则因公式中用到d(两杆与岛的距离差)和a1-a2两差之比，所以叫重差术．这是书中最简单一题，只须测望二次．其他问题往往要测望三次或四次，但原理与本题相同．刘徽曾著《重图》和《重差注》，可能是用来推导术文的，已佚．估计刘徽的推导方法不外两种，一是利出入相补，二是利用相似三角形．如果用三角知识去解重差问题，结果也是一样的．中国传统数学无三角，重差术便着与西方平面三角类似的作用，这是中国数学的特色之一．四、刘徽的学术思想刘徽所以能在数学上取得卓越成就，是与他先进的学术思想分不开的．概括起来，他的术思想有如下特点．1．富于批判精神．刘徽在数学研究中不迷信权威，也不盲目地踩着前人的脚印走，而有自己的主见．他曾一针见血地指出张衡关于球体积的不正确观点，还批评了那种泥守古人“三径一”的踵古思想，说：“学者踵古，习其谬失．”刘徽正是因为有这种可贵的批判精神才在研究《九章算术》时发现许多问题，从而深入探讨，写出名垂千古的《九章算术注》．2．注意寻求数学内部的联系．刘徽在《九章算术注》的序言中说：“事类相推，各有归，故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已．”不难看出，他的整个数学研究都贯穿了这思想．例如，他把许多平面几何问题归为出入相补，把许多体积公式的推导归为刘徽原理，各种比例问题归为今有术，以及用重差术的一般方法解决各种测量问题，都是这一思想的体3．注意把数学的逻辑性和直观性结合起来．刘徽主张“析理以辞，解体用图”，就是问题的理论分析要用明确的语言表达，空间图形的分解要用图形显示，也就是理论和直观并用．他认为只有这样才能使数学既简又明．实际上，他对原书和《九章算术注》中提出的重数学概念，都给出明确定义．他对定理、公式的证明基本上采取演绎法，推理相当严密．例他从长方体体积公式出发，运用极限观念，证明了阳马定理，又用阳马定理证明了棱锥、棱的体积公式，然后根据刘徽原理推出圆锥、圆台的体积公式，是一环扣一环的．另一方面，徽也很注意数学的直观．他常借助图形来证明平面几何定理，称为图验法；借助立体模型来究开立方和推导体积公式，称为棋验法(刘徽称特定的立体模型为棋)．有时，他还在证明过中辅之以剪贴和涂色的方法．总之，他在数学研究中既注意逻辑推理，又注意运用直观手段所以他的理论明白易懂．五、与刘徽同时代的数学家---赵爽赵爽是三国时代吴国数学家．他与刘徽一南一北，各自独立地进行数学研究，刘注《九算术》而赵注《周髀算经》．虽然《周髀算经注》没有《九章算术注》那样精采，但其中也不少独到见解．尤其是一段名为“勾股圆方图”的论文，是数学史上的珍贵文献．文中给出股定理的证明，并导出勾、股、弦及其和差互求的24条命题．令人惊讶的是，这样丰富的容，竟包含在仅五百余字的论文中，可见语言之精炼．下面便根据赵爽的弦图及注文，介绍证明勾股定理的方法．弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形(图4．21)，其面积称为弦实．图中包含四个全的勾股形及一个小正方形，分别涂成红(朱)色及黄色，其面积称朱实、黄实．因为勾×股=朱实，所以2×勾×股=4朱实，又因为(股-勾)2=黄实，所以2×勾×股+(股-勾)2＝4朱实+黄实=弦实．化简，得勾2+股2=弦2．另外，赵爽在《周髀算经注》中还给出并证明了日高术，构思十分巧妙．其术为：在地上立两根高为h的表(标杆)AB和CD，它们之间距离为d，太阳照表，得影长a1，a2，则赵爽画日高图如图4．22，证明思路如下：由出入相补原理，得□HC=□CN，□GC=□AN(□表矩形面积)．相减，得□HJ=□CB，∴(a1-a2)×HI＝dh，赵爽的这种出入相补方法对后世有一定影响，只是由于日高术假定大地是平面，所以不可能得日高的正确数值．</DIR< p>文章来源：现代教育报·思维训练作者：本报点击数：4161 更新时间：2008-5-18 15:52:49/math/ShowArticle.asp?ArticleID=389&Page=1/AMuseum/math/4/46/4_46_1009.。
刘徽的数学成就
第三节刘徽的数学成就一、刘徽生平刘徽是中国古代最伟大的数学家之一．他是三国时代魏国人，籍贯山东，生卒年不详，约死于西晋初年．刘徽出身平民，终生未仕，被称为“布衣”数学家．刘徽在童年时代学习数学时，是以《九章算术》为主要读本的，成年后又对该书深入研究，于公元263年左右写成《九章算术注》，刘徽自序说：“徽幼习《九章》，长再详览．观阴阳之割裂，总算术之根源．探赜之暇，遂悟其意，是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注．”刘徽在研究《九章算术》的基础上，对书中的重要结论一一证明，对其错误予以纠正，方法予以改进，并提出一些卓越的新理论、新思想．《九章算术注》是刘徽留给后世的十分珍贵的数学遗产，是中国传统数学理论研究的奠基之作．刘徽还著有《重差》一卷，专讲测量问题．他本来把《重差》作为《九章算术注》的第十卷，唐代初年改为单行本，并将书名改作《海岛算经》，流传至今．从刘徽著作来看，他学风严谨，实事求是，而且富于批判精神，敢于创新，理论研究相当深入，堪称数学史上的一代楷模．二、《九章算术注》此为刘徽的力作，反映了他在算术、代数、几何等方面的杰出贡献．1．算术(1)十进分数刘徽之前，计算中遇到奇零小数时，就用带分数表示，或者四舍五入．刘徽首创十进分数，用以表示无理根的近似值．这种记数法与现代刘徽用忽来表示，但a后各位就不必再命名了，刘徽称它们为“微数”，说：“微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母．退之弥下，其分弥细．”这种方法，与我们现在开平方求无理根的十进小数近似值的方法一致，即其中a1，a2，…，a n是0至9之间的一位整数．(2)齐同术《九章算术》中虽有分数通分的方法，但没有形成完整理论，刘徽提出齐同术，使这一理论趋于完善．他说：“凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同．”又进一步提出通分后数值不变的理论依据，即“一乘一除，适足相消，故所分犹存“法实俱长，意亦等也”．前句话的意思是，一个分数用同一个(非零)数一乘一除，其值不变；后句话的意思是，分数的分子、分母扩大同一倍数，分数值不变．刘徽指出，“同”即一组分数的公分母，“齐”是由“同”而来的，是为了使每个分数值不变．另外，刘徽还将齐同术引而伸之，用来解释方程及盈不足问题．2．代数(1)对正负数的认识《九章算术》成书后，正负数的运算越来越广泛，但究竟应该如何认识正负数，却很少有人论及．刘徽在《九章算术注》中首次给出正负数的明确定义：“今两算得失相反，要令正负以名之．”就是说以正负数表示得失相反的量．他还进一步阐述正负的意义：“言负者未必负于少，言正者未必正于多．”即负数绝对值未必少，正数绝对值未必大．另外，他又提出筹算中表示正负数的两种方法：一种是用红筹表正数，黑筹表负数；再一种是以算筹摆法的正、斜来区别正、负数．这两种方法，对后世数学都有深远影响．(2)对线性方程组解法的改进《九章算术》中用直除法解线性方程组，比较麻烦．刘徽在方程章的注释中，对直除法加以改进，创立了互乘相消法．例如方程组刘徽是这样解的：(1)×2，(2)×5，得(4)-(3)，得21y＝20(下略)．显然，这种方法与现代加减消元法一致，不过那时用的是筹算．刘徽认为，这种方法可以推广到多元，“以小推大，虽四、五行不异也．”他还进一步指出，“相消”时要看两方程首项系数的同异，同则相减，异则相加．刘徽的工作，大大减化了线性方程组解法．(3)方程理论的初步总结刘徽在深入研究《九章算术》方程章的基础上，提出了比较系统的方程理论．刘徽所谓“程”是程式或关系式的意思，相当于现在的方程，而“方程”则相当于现在的方程组．他说：“二物者再程，三物者三程，皆如物数程之．并列为行，故谓之方程．”这就是说：“有两个所求之物，需列两个程；有三个所求之物，需列三个程．程的个数必须与所求物的个数一致．诸程并列，恰成一方形，所以叫方程．”这里的“物”，实质上是未知数，只是当时尚未抽象出未知数的明确概念．定义中的“皆如物数程之”是十分重要的，它与刘徽提出的另一原则“行之左右无所同存”，共同构成了方程组有唯一组解的条件．若译成现代数学语言，这两条即：方程个数必须与未知数个数一致，任意两个方程的系数不能相同或成比例．刘徽还认识到，当方程组中方程的个数少于所求物个数时，方程组的解不唯一；如果是齐次方程组，则方程组的解可以成比例地扩大或缩小，即“举率以言之”．对于方程组的性质，刘徽总结出如下诸条：“令每行为率”，即方程各项成比例地扩大或缩小，不改变方程组的解；“每一行中，虽复赤黑异算，无伤”，即方程各项同时变号，不改变方程组的解；“举率以相减，不害余数之课也，即两方程对应项相减，不改变方程组的解．很明显，刘徽对于线性方程组的初等变换，已经基本掌握了．不过，他没有考虑交换两个方程的位置，因为不进行这种变换亦可顺利求出方程组的解，而且调换算筹的位置是不方便的．3．几何(1)割圆术刘徽以前，一般采用周三径一的圆周率，这是很不精确的．刘徽在《九章算术注》中指出：周三径一的数据实际是圆内接正六边形周长和直径的比值，不是圆周与直径的比值．他认为圆内接正多边形的边数越多，其面积就越接近圆面积．他从这一思想出发，创立了科学的求圆周率方法---割圆术．具体来说，就是以1尺为半径作圆，再作圆内接正六边形，然后逐渐倍增边数，依次算出内接正六边形、正12边形乃至正192边形的面积．刘徽之所以选半径为1，是为了使圆面积在数值上等于圆周率，从而简化运算．他利用公式(l n为内接正n边形边长，S2n为内接正2n边形面积)来求各正多边形面积．至于正多边形边长，他是反复利用勾股定理来求的．例如，由以下三式即可求得正12边形边长(图4．14)：TR ＝OR -OT ，后，便根据S 192＜S ＜S 192＋(S 192－S 96)刘徽舍弃分数部分，取圆面积为314平方寸，从而得到π＝3．14、这种方法可以求得任意精度的圆周率近似值，刘徽对这一点是很清楚的．不过，他根据当时的需要，运算中只取到两位小数．割圆术的创立是数学史上的一件大事．古希腊的阿基米德(Archimedes ，公元前287---前212)也曾用割圆术求圆周率，他的方法是以圆内接正多边形和外切正多边形同时逼近圆，比刘徽的方法麻烦一些．刘徽的成就晚于阿基米德，但是独立取得的．(2)几何定理的证明刘徽采用出入相补原理，证明了《九章算术》中许多几何公式和定理．例如，他在证明三角形面积公式时，思路如下：把三角形的高h 二自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也，合成弦方之幂．”可惜的是原图失传，所以不知刘徽怎样“出入相补”．刘徽在研究立体几何时，发现“邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”．即“过对角面分割堑堵为一个阳马(图4·16中ABCDE)和一个鳖臑(图4·16中DEFC)，则阳马与鳖臑的体积之比恒为二比一．”为叙述方便，我们称之为阳马定理．刘徽从长方体体积公式出发证明了这一定理，然后用它证明了各种多面体的体积公式．另外，他还发现了一条重要原理：对两个等高的立体，若用平行于底面的平面截得的面积之比为一常数，则这两立体的体积之比也等于该常数．这一原理可称为“刘徽原理”．在《九章算术注》中，刘徽多次运用了这一原理，例如，圆台体积∶外切正四梭台体积=圆面积∶外切正方形面积=π∶4．书中对圆锥、圆台等旋转体体积公式的推导，都是以刘徽原理为依据的．(3)对球体积的研究刘徽发现了《九章算术》中球体积公式不正确，试图利用刘徽原理求出正确的球体积公式．他首先作球的外切立方体，然后用两个直径等于球径的圆柱从立方体内切贯穿(图4．17)．于是，球便被包在两圆柱相交的公共部分，而且与圆柱相切．刘徽只保留两圆柱的公共部分，取名“牟合方盖”．(图4．18)根据刘徽原理，球体积与牟合方盖体体积，整个问题就迎刃而解了．刘徽没有成功，只好“以俟能言者”．但他的思路正确，为后人解决这一问题打下了基础．4．刘徽的极限观念从《九章算术注》可以看到，刘徽具有明确的极限思想．他把极限用于代数和几何研究，取得重要成果．这说明极限思想从春秋战国时期萌芽以后，到这时已有较大发展．例如，刘徽的割圆术便建立在极限理论的基础上．他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣．”就是说当圆内接正多边形的边数无限增加时，正多边形面积的极限便是圆的面积．他还把割圆术用于求弓形面积．如图4．19，刘徽在弓形内为弓形面积．显然，用此方法可使弓形面积达到任何需要的精确度．刘徽在研究开方不尽的问题时，认为求出的位数越多，就越接近真值，但永远不会达到真值，只能根据需耍，求到“虽有所弃之数，不足言之也”的程度．刘徽正是在这种极限观念的基础上创立十进分数的．他在征明有关体积的定理(如阳马定理)时也用到极限，并深刻地指出，极限问题“谓以情推，不用筹算”，就是说研究极限靠思维和推理而不靠具体计算．三、刘徽的重差术重差术是中国古代的一种重要测量方法，用以测量不可到达的距离．刘徽对这一理论进行了总结和提高，写出重差术专著---《海岛算经》(即《重差》)．他在序言中说：“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差．”全书只有九道题，但很有代表性．例如第一题(译为今文)：为测量海岛，立两根3丈高的标杆，前后相距1000步，令后杆与前杆对齐．从前杆后退123步，人眼着地看岛峰，视线正好过杆顶．从后杆后退127步，人眼着地看岛峰，视线也过杆顶．问岛高和岛离杆的距离各是多少？按题意画图如下：因当时1步为6尺，故标杆高5步．由刘徽术文，得若用字母表示，则因公式中用到d(两杆与岛的距离差)和a1-a2两差之比，所以叫重差术．这是书中最简单的一题，只须测望二次．其他问题往往要测望三次或四次，但原理与本题相同．刘徽曾著《重差图》和《重差注》，可能是用来推导术文的，已佚．估计刘徽的推导方法不外两种，一是利用出入相补，二是利用相似三角形．如果用三角知识去解重差问题，结果也是一样的．中国传统数学无三角，重差术便起着与西方平面三角类似的作用，这是中国数学的特色之一．四、刘徽的学术思想刘徽所以能在数学上取得卓越成就，是与他先进的学术思想分不开的．概括起来，他的学术思想有如下特点．1．富于批判精神．刘徽在数学研究中不迷信权威，也不盲目地踩着前人的脚印走，而是有自己的主见．他曾一针见血地指出张衡关于球体积的不正确观点，还批评了那种泥守古人“周三径一”的踵古思想，说：“学者踵古，习其谬失．”刘徽正是因为有这种可贵的批判精神，才在研究《九章算术》时发现许多问题，从而深入探讨，写出名垂千古的《九章算术注》．2．注意寻求数学内部的联系．刘徽在《九章算术注》的序言中说：“事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已．”不难看出，他的整个数学研究都贯穿了这一思想．例如，他把许多平面几何问题归为出入相补，把许多体积公式的推导归为刘徽原理，把各种比例问题归为今有术，以及用重差术的一般方法解决各种测量问题，都是这一思想的体现．3．注意把数学的逻辑性和直观性结合起来．刘徽主张“析理以辞，解体用图”，就是说问题的理论分析要用明确的语言表达，空间图形的分解要用图形显示，也就是理论和直观并用．他认为只有这样才能使数学既简又明．实际上，他对原书和《九章算术注》中提出的重要数学概念，都给出明确定义．他对定理、公式的证明基本上采取演绎法，推理相当严密．例如，他从长方体体积公式出发，运用极限观念，证明了阳马定理，又用阳马定理证明了棱锥、棱台的体积公式，然后根据刘徽原理推出圆锥、圆台的体积公式，是一环扣一环的．另一方面，刘徽也很注意数学的直观．他常借助图形来证明平面几何定理，称为图验法；借助立体模型来研究开立方和推导体积公式，称为棋验法(刘徽称特定的立体模型为棋)．有时，他还在证明过程中辅之以剪贴和涂色的方法．总之，他在数学研究中既注意逻辑推理，又注意运用直观手段，所以他的理论明白易懂．五、与刘徽同时代的数学家---赵爽赵爽是三国时代吴国数学家．他与刘徽一南一北，各自独立地进行数学研究，刘注《九章算术》而赵注《周髀算经》．虽然《周髀算经注》没有《九章算术注》那样精采，但其中也有不少独到见解．尤其是一段名为“勾股圆方图”的论文，是数学史上的珍贵文献．文中给出勾股定理的证明，并导出勾、股、弦及其和差互求的24条命题．令人惊讶的是，这样丰富的内容，竟包含在仅五百余字的论文中，可见语言之精炼．下面便根据赵爽的弦图及注文，介绍他证明勾股定理的方法．弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形(图4．21)，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红(朱)色及黄色，其面积称朱实、黄实．因为勾×股=2朱实，所以2×勾×股=4朱实，又因为(股-勾)2=黄实，所以2×勾×股+(股-勾)2＝4朱实+黄实=弦实．化简，得勾2+股2=弦2．另外，赵爽在《周髀算经注》中还给出并证明了日高术，构思十分巧妙．其术为：在地面上立两根高为h的表(标杆)AB和CD，它们之间距离为d，太阳照表，得影长a1，a2，则赵爽画日高图如图4．22，证明思路如下：由出入相补原理，得□HC=□CN，□GC=□AN(□表矩形面积)．相减，得□HJ=□CB，∴(a1-a2)×HI＝dh，赵爽的这种出入相补方法对后世有一定影响，只是由于日高术假定大地是平面，所以不可能得到日高的正确数值．。
简述刘徽的数学贡献
简述刘徽的数学贡献中国的古代有一位伟大的数学家，他的名字叫刘徽。
刘徽生活在南北朝时期。
他很小的时候就特别喜欢学习和钻研数学问题。
据说，他有一次为了解决一道数学难题，竟然连续坐了七天六夜，废寝忘食，终于把这道难题给攻破了。
而且，刘徽还常常潜心钻研学术，即使是寒冬腊月，也不例外。
因此，他年纪轻轻，就成为当地远近闻名的学者。
刘徽出生在安徽淮南，幼年时，父亲去世了，母亲为了生计，就带着他和两个妹妹投奔到河南叔父家里。
叔父对待刘徽非常好，只要有空闲时间，就让刘徽和其他的孩子一起玩耍。
刘徽非常珍惜来之不易的学习机会，经常看书到深夜。
由于他刻苦努力，几年以后，刘徽的数学水平已经相当高了。
刘徽不仅擅长数学，而且精通天文、历法等知识，尤其对数学最感兴趣。
据说，有一次刘徽得了重病，叔父对他关怀备至，一直守在身边照顾他。
[gPARAGRAPH3]人特意给刘徽准备了许多吃的喝的，可是刘徽对这些东西都不感兴趣，总是拒绝进食，所以，体内的营养不足，抵抗力越来越差。
叔父看到刘徽这样痛苦，心里非常难过，既担心刘徽的身体又担心刘徽的学业。
他看着刘徽气息微弱，想劝说他却又不敢开口。
就在这个时候，刘徽突然张开嘴巴，从嘴里吐出一个光滑圆润的鹅蛋，并自言自语地说：“生活如同鹅蛋一样圆滑。
”如果不是刘徽发现这个问题，也许我们就不能每天享受鹅蛋做成的美味佳肴了。
可见，他是多么爱动脑筋呀！有一天，刘徽回到家里，觉得有点儿不舒服，就躺下休息了。
忽然，他发现自己的手指头肿胀得像胡萝卜一样，比原来粗大了许多。
但是，只要轻轻一挤，就会有清亮的水从手指缝里流出来，挤完之后，马上就消肿了。
刘徽看到自己的手指变成这样了，心里很害怕。
于是，他就找来一块布包住手指头，用细线系紧。
这样，手指头变成什么样子，刘徽都不觉得疼了。
这天晚上，刘徽睡不着觉，反复思考着这件事情，怎么也想不明白，第二天早晨，他起床后就请来村里的医生，医生给他仔细检查了身体，告诉他，没有任何问题。
刘徽实乃中国古代最伟大的数学家
刘徽实乃中国古代最伟大的数学家◆刘徽发展了传统的率概念和齐同原理,指出它们是“算之纲纪”,至今对改革中小学数学教材有指导意义；在世界数学史上首创极限思想和无穷小分割方法并严格证明了《九章筭术》提出的圆面积公式和自己提出的刘徽原理,将多面体体积理论建立在无穷小分割之上；在中国首创求圆周率的科学方法,奠定了中国的圆周率近似值的计算领先世界千余年的基础；以演绎逻辑为主全面论证《九章筭术》的算法,奠定中国传统数学的理论基础,建立中国传统数学的理论体系。
中国古代最伟大的数学家不是祖冲之吗?怎么会是刘徽呢?确实,祖冲之(429—500)是伟大的数学家。
但是他的数学著作《缀术》由于隋唐最高数学学府算学馆的学官“莫能究其深奥”而失传了。
他的主要数学贡献,我们无法了解。
现在仅知道他的两项确切成就:一是将圆周率精确到8位有效数字,一是与他的儿子祖暅之完成的球体体积公式的推导。
这两项成就都是运用刘徽提出的方法或建立理论基础而取得的。
从数学的角度而言,这当然比祖冲之的现存贡献更重要。
可是,在上世纪70年代末以前,中国数学史界对刘徽没有给予应有的重视,甚至没有达到日本学者30年代初的水平。
其原因主要是刘徽《九章筭术注》十分难读,对其最重要的成就,中国人没有看懂。
70年代末至90年代,国内外出现了研究《九章筭术》及其刘徽注的高潮,对刘徽的主要成就和思想,产生刘徽注这样划时代著作的社会背景基本上弄清楚了,同时对《九章筭术》的编纂、版本和校勘等问题也有重大进展,从而对刘徽有了全新的评价。
刘徽的主要数学贡献:发展了传统的率概念和齐同原理,指出它们是“算之纲纪”,至今对改革中小学数学教材有指导意义；在世界数学史上首创极限思想和无穷小分割方法并严格证明了《九章筭术》提出的圆面积公式和自己提出的刘徽原理,将多面体体积理论建立在无穷小分割之上；在中国首创求圆周率的科学方法,奠定了中国的圆周率近似值的计算领先世界千余年的基础；以演绎逻辑为主全面论证《九章筭术》的算法,奠定中国传统数学的理论基础,建立中国传统数学的理论体系。
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刘徽的数学贡献
1.极限观念与割圆术极限意识在春秋战国时已出现，实际加以应用的是刘徽。
刘徽已领悟到数列极限的要谛，故能有重要创获。
刘徽的杰出贡献首推他在《九章算术注》中创立的割圆术，其所用方法包含初步的极限概念和直线曲线转化的思想。
在一千五百年前能运用这种思想，是难能可贵的。
有了割圆术，也就有了计算圆周率的理论和方法。
圆周率是圆周长和直径的比值，简称π值。
π值是否正确，直接关系到天文历法、度量衡、水利工程和土木建筑等方面的应用，所以精确计算π值，是数学上的一个重要任务。
2.关于体积计算的刘徽定理一般地说，柱体或多面体的体积计算较比容易解决，而圆锥、圆台之类的体积就难以求得。
刘徽经过苦心思索，终于找到了一条途径，他分别做圆锥的外切正方锥和圆台的外切正方台，结果发现：“求圆亭（圆台）之积，亦犹方幂中求圆幂，圆面积与其外切正方形的面积之比为π∶4，由此他推得：圆台（锥）的体积与其外切正方台（锥）的体积之比，也是π∶4。
很显然，如果知道了正方台（锥）的体积，即可求得圆台（锥）的体积。
刘徽这个成果，看似简单，实际起着继往开来的重要作用，故有的现代数学家称之为“刘徽定理”。
在古代没有微积分的时候，这条定理起着微积分的作用，在现代数学中仍有共价值。
刘宋时祖冲之、祖暅父子继承刘徽定理而得出更为进步的祖氏原理。
在西方，直到1635年意大利数学家卡瓦列利才有了与祖氏父子类似的思想，比祖氏父子已晚了一千一百多年，比刘徽更迟了一千三百多年。
3.十进小数的应用在数学计算或实际应用中总不免出现奇零小数，在刘徽以前，一般是用分数或命名制来表示，如“一升又五分升之三”，即升。
或七分八厘九毫五忽”等，在位数较少时，尚可凑合，当小数位数太多时，便很不方便，因之刘徽建立了十进分数制。
他以忽为最小单位，不足忽的数，统称之为微数，开平方不尽时，根是无限小数，这又是无限现象。
他说：“微数无名者以为分子，其一退以十为分母，再退以百为母，退之弥下，其分弥细，则朱幂（已经
开出去的正方形面积）虽有所弃之数（未能开出的部分），不定言之也”。
用现代方法写其方根近似值是忽。
4.改进了线性方程组的解法《九章算术》中有一章专讲线性方程组问题。
用一种“直除法”求解，即解方程组时把多个未知数逐步减少到一个未知数，然后反过来求出所有未知数的值。
“直除法”的消元（未知数）要通过对应项系数累减的办法来完成，比较麻烦。
刘徽对“直除法”加以改进，在解二元一次方程组时，用了“互乘对减”的方法，一次消去一项，如同后来的加减消元法。
刘徽虽然只用过一次“互乘对减法”，但他知此法带有普遍性，可以推广到任何元数的线性方程组。
刘徽还使用配分比例法解线性方程组，也是有创造性的成果。
在欧洲，直到十六世纪法国数学家布丢解线性方程的方法才与《九章算术》的“直除法”相似，然而已比《九章算术》晚了一千七百多年，而且没有刘徽改进的解法好。
5.总结和发展了重差术我国古代，将用“表”（标杆）或“矩”（刻划以留标记）进行两次测望的测量方法称做“重差术”。
《九章算术注》中第九章《句股》，主要讲测量高、深、广、远问题，说明当时测量数学和测绘地图已有相当水平。
刘徽《重差》一卷所以被改称《海岛算经》就是因为其第一题是讲测量海岛的。
“重差”之名，古已有之，刘徽对之进行了深入而具体的研究，他解释重差的含义说：“凡望极高，测绝深，而兼知其远者，必用重差，勾股则必以重差为率，故曰：重差也”。
刘徽的《海岛算经》共答案。
其解法都可以变成平面三角公式，起着与三角同等的作用，可说是我国古代特有的三角法。