3.3.2简单的线性规划问题导学案(1)
人教版高中数学必修⑤3.3.2简单的线性规划问题教学设计
课题：必修⑤3.3.2简单的线性规划问题三维目标：1、知识与技能（1）使学生进一步了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；；（2）了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决相关问题及一些简单的实际问题。
2、过程与方法（1）通过引导学生合作探究，将实际生活问题转化为数学中的线性规划问题来解决，提高数学建模能力。
同时，可借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性；（2）将实际问题中错综复杂的条件列出目标函数和约束条件对学生而言既是重点又是难点，在此，教师要根据学生的认知、理解情况，引导学生自己动手建立数学模型，自我不断体验、感受、总结；同时，要给学生正确的示范，利用精确的图形并结合推理计算求解3、情态与价值观（1）培养学生数形结合、等价转化、等与不等辩证的数学思想；(2) 通过对不等式知识的进一步学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神；（3）通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
体验在学习中获得成功的成就感，为远大的志向而不懈奋斗。
教学重点：（1）把实际问题转化成线性规划问题，即建立数学模型；（2）用图解法解决简单的线性规划问题。
教学难点：准确求得线性规划问题的最优解（尤其是整数解的求解思想）教具：多媒体、实物投影仪教学方法：合作探究、分层推进教学法教学过程：一、双基回眸科学导入：★前面，我们学习了二元一次不等式（组）及其表示的区域……并且体会到在实际问题中的应用前景，感受到其重要性。
下面，首先我1.二元一次不等式.：我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式.2.二元一次不等式组.：我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.3．二元一次不等式组的解集：满足二元一次不等式组的 x 和y的取值构成有序数对(,)x y，所有这样的有序数对(,)x y构成的集合称为二元一次不等式组的解集.1．二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）而不等式0By+CAx表示区域时则包括边界,把边界+≥画成实线.2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(yx,)，把它的坐标（yx,)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）★在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？根据我们上节课所学知识，大家不难列出相应的量的约束条件，但我们列出（或画出）后，应该要解决生产中的必需的问题，这就是我们今天要探究的问题……二、创设情境合作探究：【引领学生合作探究，通过上述问题的进一步所求总结线性规划问题】上面的问题应该到达下面的位置：解：设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，由已知条件可的二元一次不等式组：28,416,412,00x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ （Ⅰ）将上述不等式组表示成平面上的区域，如图中阴影部分的整点。
《3.3.2简单的线性规划问题》学案
课题名称：简单的线性规划问题(学案)教师寄语：咬定目标不放松，立根只在破岩中学习目标：1.了解线性规划的意义以及约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等相关的基本概念；2. 在巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，能从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；3. 掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤。
学习重点：根据实际优化问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；学习难点: 用数学语言表述运用图解法求解线性规划问题的过程．自主学习.学与思1.线性规划的实际应用主要解决两类问题：（1）在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成的任务；（2）给定一项任务，如何合理安排和规划，能以的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.2.线性规划的有关概念：①约束条件：由变量x、y组成的；线性约束条件：由变量x、y的不等式(或方程)组成的不等式组．②目标函数：欲达到最大值或最小值的关于x、y的；线性目标函数：欲达到最大值或最小值的关于x、y的.③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的或的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x，y）叫；由所有可行解组成的集合叫做；使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的．3.用图解法解决线性规划问题的一般步骤：（1）审题，分析数据，选取变量；（2）列出线性约束条件，线性目标函数；（3）画出可行域；（4）在可行域内求目标函数的最优解（实际问题需要求整数解时，应适当调整，以确定最优解）．探究学习.讲与练【探究发现】探究1.在同一坐标系上作出下列直线:2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7。
结论：补充：（1）方程与函数的关系；（2）直线斜率大小与直线陡平的关系；斜率相同则平行；；（3）截距问题。
2019-2020年高中数学必修五教案：3-3-2简单的线性规划问题
2019-2020年高中数学必修五教案： 3-3-2 简单的线性规划问题简单的线性规划问题一、教学背景1.本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A 版必修5第三章《不等式》中3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时。
主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法。
2.本节课的教学对象是河北省秦皇岛市抚宁区第一中学高一文班学生。
二、教学目标 （一）知识与技能1. 了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
2. 会用图解法解决简单线性规划问题，即求目标函数的最大值或最小值。
（二）过程与方法在线性规划问题的探究过程中，引导学生通过观察、分析、操作、归纳、概括的基本环节，达到知识的建构。
增强学生的观察、联想、细心作图的能力，把握化归思想和数形结合两大数学思想。
注重培养学生积极主动、勇于探索的学习方式，整节课着重创造师生互动、生生互动的良好学习环境，学生在老师的引导下亲身经历动手实践、动脑思考等方法探究线性规划的简单问题获取直接结题经验。
（三）情感态度与价值观学习中渗透函数、数形结合、化归等重要数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识，激发学生的学习兴趣。
结合本节教学内容，让学生成为课堂活动的主导,体验探究学习、合作学习的乐趣，并从中获得成功的体验，增强学生学习数学知识的自信心。
培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
三、教学重点和难点教学重点：图解法解线性规划问题。
教学难点：准确求得线性规划问题的最优解。
四、教学过程 （一）复习回顾在同一坐标系上作出下列直线:xy 2-=；12+-=x y ；32--=x y ；42+-=x y ；72+-=x y 。
投影展示学生的画图作业，引导学生观察5条直线的特征：平行。
得出结论：形如)0(2¹+-=t t x y 的直线与x y 2-=平行。
直线b kx y +=中的b 叫做纵截距：直线与y 轴交点的纵坐标。
高中数学 第三章 3.3.2简单的线性规划问题(一)导学案新人教A版必修5(2)
3．3.2 简单的线性规划问题(一)课时目标1．了解线性规划的意义．2．会求一些简单的线性规划问题．名称 意义 约束条件 由变量x ，y 组成的不等式或方程 线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的函数解析式 线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题一、选择题1．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A ．9 B.157 C ．1 D.715答案 A解析 画出可行域如图：当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9. 2．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为( )A.10 B ．8 C ．16 D ．10答案 D解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示： 易得A (1,1)，|OA |＝2，B (2,2)， |OB |＝22，C (1,3)，|OC |＝10.∴(x 2＋y 2)max ＝|OC |2＝(10)2＝10.3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，其中区域M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤x y ≤2－x，区域N ＝{(x ，y )|t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1}，区域M 和N 公共部分的面积用函数f (t )表示，则f (t )的表达式为( )A ．－t 2＋t ＋12B ．－2t 2＋2tC ．1－12t 2 D.12(t －2)2答案 A 解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤xy ≤2－x所表示的平面区域．由t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1，得f (t )＝S △OEF －S △AOD －S △BFC＝1－12t 2－12(1－t )2＝－t 2＋t ＋12.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,3 答案 A解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3,5)，B (5,3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－11.5设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0y ≥x，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，则|AB |的最小值为( )A.285 B ．4 C.125 D ．2 答案 B解析 如图所示．由约束条件作出可行域，得D (1,1)，E (1,2)，C (3,3)．要求|AB |min ，可通过求D 、E 、C 三点到直线3x －4y －9＝0距离最小值的2倍来求．经分析，D (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3×1－4×1－9|5＝2最小，∴|AB |min＝4.二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3.则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．答案 7解析 作出可行域如图所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)答案 (3,8)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y <4，2<x －y <3得平面区域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝－1，x－y＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，y＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝4，x－y＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x＝3，y＝1.∴2×3－3×1<z＝2x－3y<2×1－3×(－2)，即3<z<8，故z＝2x－3y的取值范围是(3,8)．8．已知实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－5≤0，x≥1，y≥0，x＋2y－3≥0，则yx的最大值为________．答案 2解析画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－5≤0，x≥1，y≥0，x＋2y－3≥0对应的平面区域Ω，yx＝y－0x－0表示平面区域Ω上的点P(x，y)与原点的连线的斜率．A(1,2)，B(3,0)，∴0≤yx≤2.三、解答题9．线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋3y≥12x＋y≤103x＋y≥12下，求z＝2x－y的最大值和最小值．解如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一组与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点B 时，－z 取最小值，此时z 最大，即z max ＝2×9－1＝17；当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7.∴z max ＝17，z min ＝－7.10．已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0，求x 2＋y 2的最小值和最大值．解 作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0的可行域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝02x ＋y －5＝0，得A (1,3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5＝03x －y －5＝0，得B (3,4)， 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝02x ＋y －5＝0，得C (2,1)，设z ＝x 2＋y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B 的距离最大，注意到OC ⊥AC ，∴原点到点C 的距离最小．故z max ＝|OB |2＝25，z min ＝|OC |2＝5. 能力提升11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋x ＋y －1≤x ≤4，求x 2＋y 2－2的取值范围．解 作出可行域如图，由x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，可以看作区域内的点与原点的距离的平方，最小值为原点到直线x ＋y －6＝0的距离的平方，即|OP |2，最大值为|OA |2，其中A (4,10)，|OP |＝|0＋0－6|12＋12＝62＝32， |OA |＝42＋102＝116，∴(x 2＋y 2－2)min ＝(32)2－2＝18－2＝16， (x 2＋y 2－2)max ＝(116)2－2＝116－2＝114，∴16≤x 2＋y 2－2≤114.即x 2＋y 2－2的取值范围为16≤x 2＋y 2－2≤114. 12．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值． 解 由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －－x －－， 所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率，因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，结合图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即 z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2； z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0.∴z 的最大值为3，最小值为12.1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．。
3.3.2简单线性规划(1_2)--上课用
y-x=0
5
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性， 1 O
1 A(2,-1)
5
x
y+1=0
B(-1,-1)
-1
x+y-1=0
x - y 0 1 、 画出x y - 1 0区域 y y 1 0
使 式中，的x、y满足约束条件：
3 z z y x , 为直线3x 5 y z 0 5 5 5 的纵截距
5 x 3 y 15 y x 1 x 5 y 3
5x+3y=15 y y=x+1
5
B(3/2,5/2)
1
X-5y=3 x
O
-1
1
5
A(-2,-1)
B.z=5x+3y D.z=3x+5y
答案:A
第31页
高考题练习：
x y≥2, 1.(2009 浙江)若实数x, y满足不等式组 2 x y≤4, x y≥0, 则2x 3y的最小值是 ________ .
答案:4
第32页
解析:作出可行域如下图. 作直线l:2x+3y=0,平移l,当l过点A(2,0)时,2x+3y有最小值4.
D.5
z=5×1+0=5.
答案:D
第34页
则z x 2y的最大值为
A.4 答案:B B.3 C.2
y≤1, 3.(2010 全国Ⅰ若变量 ) x、y满足约束条件 x y≥0, x y 2≤0,
3.3.2简单的线性规划问题(1).ppt1
y
o
x
1.课题导入
在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、 生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每 生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙 产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂 获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该 厂所有可能的日生产安排是什么？ 按甲、乙两种产品分别生产x、y件，由 已知条件可得二元一次不等式组
5 x＋3 y 1 5 1 y x＋ x－5 y 3
1.解：作出平面区域
y
A
o x C
y x x＋y 1 y － 1
z＝2x＋y
B
作出直线y=－2x＋z的 图像，可知z要求最大值， 即直线经过C点时。 求得C点坐标为（2，－1）， 则Zmax=2x＋y＝3
把z＝2x＋3y变形为
由上图可以看出，当实现直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M z 14 （4，2）时，截距的值最大 ，最大值为 ， 3 3
这时 2x+3y=14. 所以，每天生产甲产品 4 件，乙产品 2 件时， 工厂可获得最大利润14万元。
二、基本概念
Hale Waihona Puke 一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束 条件。 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因 为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值 y 问题，统称为线性规划问题。 4 可行域 最优解 满足线性约束的解
3
（x，y）叫做可行解。 由所有可行解组成 可行解 的集合叫做可行域。
高中数学《简单的线性规划问题》导学案
第三章不等式3.3.2简单的线性规划问题一、学习目标1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.掌握线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题.3.能从实际情境中抽象出简单的线性规划问题.【重点、难点】经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力和意识。
二、学习过程【创设情景】意大利足球队营养师布拉加经常遇到这样一类营养调配问题:甲、乙、丙三种食物的维生素A、B的含量及成本如下表:甲乙丙维生素A(单位/千克) 400 600 400维生素B(单位/千克) 800 200 400成本(元/千克) 7 6 5布拉加想购这三种食物共10千克,使之所含维生素A不少于4400单位,维生素B不少于4800单位.【导入新课】1:(1)假设布拉加购买了甲种食物x千克,乙种食物y千克,则按照布拉加对维生素A、B的含量要求,x,y应该满足的条件是即形如这样的由变量x,y组成的不等式(组)或等式叫作,由变量x,y组成的一次不等式(组)或等式叫作.(2)设布拉加购买三种食物的成本为z,则z= ,像z这样的关于x、y的函数叫作,关于x、y的一次函数叫作,目的是求z的最大值或最小值.(3)满足线性约束条件的解(x,y)叫作;由所有可行解组成的集合叫作;使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫作线性规划问题的.2:用图解法解决线性规划问题的一般步骤:(1)画出;(2)令z=0作出直线l0:ax+by=0;(3)作一组与直线l0的直线系或平移直线l0;(4)找到;(5)解方程组;(6)写出答案,并检验.3:图解法可概括为“画、移、求、答”(1)画:画出可行域和直线ax+by=0(目标函数是z=ax+by);(2)移: 移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或最小值的点;(3)求:求出使z取得最大值或最小值的点的(解方程组)及z的最大值或最小值;(4)答:给出正确答案,并检验.4:在求线性目标函数的最值时,我们可以归纳出如下结论:(1)线性目标函数的最值一般在处取得.(2)线性目标函数的最值也可能在可行域的边界上取得,即满足条件的最优解有.【典例分析】线性目标函数的最值问题已知变量x、y满足下列条件:试求:z=4x-y的最大值.【解析】作出满足条件的可行域,如图所示.由每条直线的方程可以求出点A(1,1)、B(2,4)、C(3,5)、D(5,5)、E(5,3).目标函数z=4x-y可化为y=4x-z,欲求z的最大值,只需求直线y=4x-z在y轴上的截距的最小值.由图知,当直线y=4x-z过点E时,直线在y轴上的截距最小,z取得最大值17.【变式拓展】线性目标函数最值整数点问题已知x,y满足不等式组求使x+y取最大值时的整数x,y.三、学习总结经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力和意识四、随堂检测(2014年·广东卷)若变量x,y满足约束条件的最大值和最小值分别为m和n,则m-n=( ).A.5B.6C.7D.8。
学案4：3.3.2 简单的线性规划问题
3.3.2 简单的线性规划问题学习目标：1．了解线性规划的意义．2．了解线性规划问题中一些术语的含义．3．会解决一些简单的线性规划问题．学习重难点：1．求目标函数的最值．(重点、难点)2．目标函数的最值与其对应直线截距的关系(易错点).学习过程：自学导引1．解决线性规划问题的一般方法解决线性规划问题的一般方法是图解法，其步骤如下：(1)确定线性约束条件，注意把题中的条件准确翻译为不等式组；(2)确定线性目标函数；(3)画出可行域，注意作图准确；(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解；(5)实际问题需要整数解时，应调整检验确定的最优解(调整时，注意抓住“整数解”这一关键点)．说明：求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤是：①作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l.②平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．③求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．2．线性规划的应用线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何利用它们完成更多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务，常见的问题有：(1)物资调运问题：(2)产品安排问题；(3)下料问题．例题探究：题型一 求线性目标函数的最值例1：已知关于x ，y 的二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ≤4，x －y≤1，x ＋2≥0.(1)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值；(2)求函数z ＝x ＋2y 的最大值和最小值．规律方法：图解法是解决线性规划问题的有效方法．其关键在于平移目标函数对应的直线ax ＋by ＝0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取得最大值还是最小值．变式1：已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋3y ≤15，y ≤x ＋1，x －5y ≤3.求z ＝3x ＋5y 的最大值和最小值．题型二 非线性目标函数的最值问题例2：已知⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；(2)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围．规律方法：非线性目标函数的最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)．点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等．常见代数式的几何意义主要有：(1) (x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离．(2)y －b x －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率；y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．变式2：如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，求|PQ |的最小值．题型三 线性规划的实际应用例3：某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C .另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C .如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？题后反思：用图解法解线性规划应用题的具体步骤为：(1)设元，并列出相应的约束条件和目标函数；(2)作图：准确作图，平移找点；(3)求解：代入求解，准确计算；(4)检验：根据结果，检验反馈．变式3：某公司计划2012年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大．最大收益是多少万元？方法技巧：数形结合思想在线性规划中的应用数形结合的主要解题策略是：数形问题的解决；或：形数问题的解决．数与形结合的基本思路是：根据数的结构特征构造出与之相适应的几何图形，并利用直观特征去解决数的问题；或者将要解决的形的问题转化为数量关系去解决．课堂检测：1.已知－1≤x＋y≤4且2≤x－y≤3，且z＝2x－3y的取值范围是________(答案用区间表示)．2.目标函数z=3x-y,将其看成直线方程时,z的意义是()A．该直线的截距B．该直线纵截距C．该直线的纵截距的相反数D．该直线横截距3.若点(x,y)在曲线y=-|x|与y=-2所围成的封闭区域内(包括边界),则2x-y的最大值为() A．-6B．4C．6D．8参考答案例题探究：例1：解： (1)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ≤4，x －y≤1，x ＋2≥0.表示的平面区域，如图所示．由u ＝3x －y ，得y ＝3x －u ，得到斜率为3，在y 轴上的截距为－u ，随u 变化的一组平行线， 由图可知，当直线经过可行域上的C 点时，截距－u 最大，即u 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4，x ＋2＝0，得C (－2,3)， ∴u min ＝3×(－2)－3＝－9. 当直线经过可行域上的B 点时，截距－u 最小，即u 最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝4，x －y ＝1，得B (2,1)， ∴u max ＝3×2－1＝5.∴u ＝3x －y 的最大值是5，最小值是－9.(2)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ≤4，x －y≤1，x ＋2≥0.表示的平面区域，如图所示．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，得到斜率为－12，在y 轴上的截距为12z ，随z 变化的一组平行线．由上图可知，当直线经过可行域上的A 点时，截距12z 最小，即z 最小， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋2＝0，得A (－2，－3)， ∴z min ＝－2＋2×(－3)＝－8.当直线与直线x ＋2y ＝4重合时，截距12z 最大，即z 最大， ∴z max ＝x ＋2y ＝4，∴z ＝x ＋2y 的最大值是4，最小值是－8.变式1：解： 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋3y ≤15，y ≤x ＋1，x －5y ≤3.作出可行域，如图所示．∵目标函数为z ＝3x ＋5y ，∴作直线l ：3x ＋5y ＝t (t ∈R )．平移直线l ，在可行域内以经过点A ⎝⎛⎭⎫32，52的直线l 1所对应的t 最大．类似地，在可行域内，以经过点B (－2，－1)的直线l 2所对应的t 最小．∴z max ＝3×32＋5×52＝17，z min ＝3×(－2)＋5×(－1)＝－11. 例2：解：(1)作出可行域如图所示，A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5)的距离的平方，过M 作AC 的垂线，易知垂足在AC 上，故MN ＝|0－5＋2|1＋(－1)2＝32＝322. ∴MN 2＝⎝⎛⎭⎫3222＝92， ∴z 的最小值为92. (2)z ＝2·y －⎝⎛⎭⎫－12x －(－1)表示可行域内点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎫－1，－12连线斜率的2倍，∵k QA ＝74，k QB ＝38， ∴z 的取值范围是⎣⎡⎦⎤34，72.变式2：解：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0所表示的平面区域，x 2＋(y ＋2)2＝1所表示的曲线为以(0，－2)为圆心，1为半径的一个圆．如图所示，只有当点P 在点A ⎝⎛⎭⎫0，12，点Q 在点B (0，－1)时，|PQ |取最小值32.例3：解：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54.即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移．由此可知z ＝2.5x ＋4y 在B (4,3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．变式3：解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0. 目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y .作出可行域如图所示：作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，由图可知当l 过点M 时，目标函数z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900.得M (100,200)． ∴z max ＝3 000×100＋2 000×200＝700 000(元)．答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．课堂检测：1.【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤42≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值，z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x＋y＝－1与x－y＝3的交点B(1，－2)时，目标函数有最大值，z max＝2×1＋3×2＝8.所以z∈[3,8]．【答案】[3,8]2.【解析】由z=3x-y得y=3x-z,在该方程中-z表示直线的纵截距,因此z表示该直线的纵截距的相反数.故选C.【答案】C3.【解析】如图点(x,y)在阴影部分区域内,设2x-y=z,则y=2x-z.当直线y=2x-z过点A(2,-2)时-z最小,此时z最大.z最大=2×2-(-2)=6.故选C.【答案】C。
《3.3.2简单的线性规划问题》教案
简单的线性规划学习内容总析线性规划位于不等式和直线方程的结合点上，是培养学生转化能力和熟练运用数形结合能力的重要内容。
这一节的知识内容形成了一条结构紧密的知识链条：以二元一次不等式（组）表示的平面区域为基础，根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法解决简单的线性规划问题。
学情总析本节内容是在学习了直线方程、二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，强调应用转化思想和数形结合思想来解决线性规划问题。
三维教学目标知识与技能：①了解线性规划的意义以及约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等相关的基本概念；②在巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，能从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；③掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤。
过程与方法：①培养学生的形象思维能力、绘图能力和探究能力；②强化数形结合的数学思想方法；③提高学生构建（不等关系）数学模型、解决简单实际优化问题的能力。
情感、态度与价值观：①在感受现实生产、生活中的各种优化、决策问题中体验应用数学的快乐；②在运用求解线性规划问题的图解方法中，感受动态几何的魅力；③在探究性练习中，感受多角度思考、探究问题并收获探究成果的乐趣。
教学重点及应对策略1、教学重点：根据实际优化问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；2、应对策略：将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题，然后借助直线方程的知识进行解决。
教学难点及应对策略1、教学难点：①借助线性目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z最值之间的关系；②用数学语言表述运用图解法求解线性规划问题的过程。
2、应对策略：在理论解释的同时，可用动画进行演示辅助理解。
教学过程设计。
高中数学 第三章 不等式 3.3.2 简单的线性规划问题(第
3.3.2《简单的线性规划问题》（第1课时）一、选择题：1．目标函数z ＝4x ＋y ，将其看成直线方程时，z 的几何意义是( )A ．该直线的截距B ．该直线的纵截距C ．该直线的横截距D ．该直线的纵截距的相反数 【答案】B【解析】把z ＝4x ＋y 变形为y ＝－4x ＋z ，则此方程为直线方程的斜截式，所以z 为该直线的纵截距． 2．在如下图所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x －y ，则使z 取得最小值的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(3,2)C ．(5,2)D ．(4,1) 【答案】A【解析】对直线y ＝x ＋b 进行平移，注意b 越大，z 越小．3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C.[]－1，6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32【答案】A【解析】利用线性规划的知识求解．作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x －y ＝0，并向上、下平移，又直线y ＝3x －z 的斜率为3. 由图象知当直线y ＝3x －z 经过点A (2,0)时z 取最大值6，当直线y ＝3x －z 经过点B (12，3)时，z 取最小值－32. ∴z ＝3x －y 的取值范围为[－32，6]．故选A.4．设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55 【答案】D【解析】根据题意画出不等式组表示的平面区域，然后求值．不等式组表示的区域如图所示，所以过点A (5,15)时2x ＋3y 的值最大，此时2x ＋3y ＝55.5．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，则yx的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞) 【答案】C【解析】⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0所表示的可行域如下图．而y x表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，过点O 与直线AB 平行的直线l 的斜率为1，l 绕点O 逆时针转动必与AB 相交，直线OB 的倾斜角为90°，因此y x的范围为(1，＋∞)．6.已知以x ，y 为自变量的目标函数ω＝kx ＋y (k >0)的可行域如下图阴影部分(含边界)，若使ω取最大值时的最优解有无穷多个，则k 的值为( )A ．1 B.32 C ．2 D ．4【答案】A【解析】目标函数可变形为y ＝－kx ＋ω，又∵k >0，结合图象可知，当ω最大时，－k ＝k DC ＝4－22－4＝－1.即k ＝1.二、填空题：7．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤6，则目标函数z ＝x ＋3y 的取值范围是________．【答案】[8,14]【解析】画出可行域，如图所示．作直线x ＋3y ＝0，并平移，由图象可知当直线经过A (2,2)时，z 取最小值，则z min ＝2＋3×2＝8.当直线经过C (2,4)时，z 取最大值z max ＝2＋3×4＝14. 所以z ＝x ＋3y 的取值范围是[8,14]．8．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y 取最大值时点的坐标为________．【答案】(2，－1)【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1所表示的可行域如图所示．当平行直线系z ＝2x ＋y 经过点A (2，－1)时，目标函数z ＝2x ＋y 取得最大值．9．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ＋k ≥0，且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则常数k ＝________.【答案】0【解析】由条件作出可行域如下图．根据图象知，目标函数过x ＋y ＋k ＝0与x ＝3的交点(3，－3－k )时取最小值，代入目标函数得－6＝2×3＋4×(－3－k )，∴k ＝0. 三、解答题10．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，试求a 的取值范围． 【答案】见解析【解析】 区域D 如下图所示，其中A (2,9)．当y ＝a x恰过点A 时，a ＝3.因此当1<a ≤3时，y ＝a x的图象上存在区域D 上的点．故a 的取值范围为(1,3]． 11．设z ＝2x ＋y ，式中变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y≤－3，3x ＋5y≤25，x≥1，求z 的最大值和最小值．【答案】见解析【解析】 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，随z 变化的一族平行直线． 由图可以看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，得A 点坐标为(5,2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0得B 点坐标为(1,1)，所以z max ＝2×5＋2＝12，z min ＝2×1＋1＝3.12．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤s ，y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，求目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围．【答案】见解析【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4，如图得交点为A (2,0)，B (4－s,2s －4)，C (0，s )，C ′(0,4)，令z ＝0，得l 0：3x ＋2y ＝0，当l 0向上平移时z 值逐渐增大．(1)当3≤s <4时可行域为四边形OABC ，此时l 0平移到B 点时z 取最大值，z max ＝3×(4－s )＋2(2s －4)＝s ＋4. ∵3≤s <4，∴7≤z max <8.(2)当4≤s <5时，可行域是△OAC ′，此时l 0过C ′点时z 取最大值，z max ＝3×0＋2×4＝8.综上所述，z max ∈[7,8]．。
新人教版高中数学3.3.2简单的线性规划问题(一)导学案
§3.3.2简单的线性规划问题（一）导学案【学习目标】一、知识与技能1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题。
二、过程与方法1.经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；2.通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识；3.在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神。
三、情感、态度与价值观1.培养学生观察、联想以及作图的能力，2.渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。
【教学过程】一、实例引入问题一：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，且甲乙两种产品不能同时生产，该厂所有可能的日生产安排是什么？12二、问题升华问题二：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，你作为厂家的老总，将采用哪种生产安排使利润最大？三、合作探究思考讨论：【问题一】把z看作参数，则z=2x+3y表示什么图形？【问题二】在约束条件下，如何找满足函数z=2x+3y最大值的点？【问题三】找到满足条件的点后，如何求函数z=2x+3y的最大值？解简单的线性规划问题的步骤为：四、学以致用1.求z=3x+5y 的最小值, 使x , y 满足约束条件2.变式：求z =x -2y 的最小值呢？注意：求线性目标函数的最优解，要注意分析 的关系5315,1,5 3.x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≤五、课后练习（一）选择题1．目标函数4z x y =+将其看成直线方程时，z 的几何意义是( )A ．该直线的截距B ．该直线的纵截距C ．该直线的横截距D ．该直线的纵截距的相反数2．z x y =-在2102101x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≤⎩的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )A ．(0,1)B ．(1,1)--C ．(1,0) D.11(,)223．若实数x ，y 满足不等式组x 3y 302x y 30x y 10+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则x y +的最大值为( )A ．9 B.157 C ．1 D.7154．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是( )A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元（二）填空题5．已知点(,)p x y 满足条件020x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩ (k 为常数)，若3x y +的最大值为8，则k ＝________.6．铁矿石A和B的含铁率a，，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c2(万吨)，则2购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．。
高中数学必修五导学案33：3.3.2简单的线性规划问题(一)
3.3.2简单的线性规划问题（一）【学习目标】1、会从实际问题中建立二元一次不等式组，并作出平面区域；2、会用图象法求线性目标函数的最值的过程；3、了解相关概念：线性约束条件、目标函数（线性目标函数）、线性规划、可行解、可行域、最优解.重点:求线性目标函数的最值问题 难点：理解求线性目标函数的最值问题的过程【课前导学】1、（1）一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是 ，其中b 的几何意义是 ，b 叫做直线在y 轴上的截距，简称纵截距，k 叫做直线的斜率； 练习：指出下列直线在y 轴上的截距：①23y x =+； ②23y x =-； ③2570x y ++=；（2）直线1y kx b =+与212()y kx b b b =+≠的位置关系是 .2、在已知直线:3l y x b =+上任取两点A 、B 的坐标12(,)A x x 、12(,)B y y 代入直线方程后所求得的b 相同吗？3、（1）在右图中，作出不等式组2841641200x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩…①的平面区域，并作出直线0:230l x y +=.（2）问题：设23z x y =+，其中x 、y 满足不等式组①中的不等式组，试求z 的最大值. 阅读课本P87～P88第二段的内容，了解解决问题的思路，并填空：①变量x 、y 满足的一组条件叫做 _，若这组条件都是关于变量x 、y 的一次不等式，则称为 ；②把求最大值或求最小值的函数称为 ，若它是关于变量x 、y 的一次解析式，则称为 ；③在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为 ；④满足线性约束的解（x ,y ）叫做 ；由所有可行解组成的集合叫做 ，其中使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的 .【课内探究】 探究一：上面例子中，若z x y =-，则当＿＿＿＿＿＿时，z 取得最大值＿＿.探究二：营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪. 1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费21元 .为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 多少kg ？提示：将已知数据列成表格后，设每天食用x kg 食物A, y kg 食物B 时总成本为z . 则有不等式组⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ 即⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩作出上面不等式组所对应的平面区域，即可行域：【总结提升】解决线性规划问题的方法是_________法，即借助直线（把线性目标函数看作斜率确定的一组平行线）与平面区域有交点时，直线在y轴上的截距取最大值或最小值求解。
高中数学《简单的线性规划问题》导学案
3.3.2简单的线性规划问题简单的线性规划问题名称意义约束□01由变量x，y组成的不等式条件线性约□02由x，y的一次不等式组成的不等式组束条件目标□03欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式函数线性目□04如果目标函数是关于x，y的一次解析式，则称为线性目标函数标函数可行解□05满足线性约束条件的解(x，y)可行域□06所有可行解组成的集合最优解□07使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规□08在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题划问题1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)约束条件是关于变量的不等式，其中次数必须为1.()(2)线性目标函数的最优解一定是唯一的．()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点上．()(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．做一做(1)将目标函数z＝2x－y看成直线方程时，则该直线的纵截距等于________．(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．(3)(教材改编P 89例6)某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎨⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ∈N *，y ∈N *，则z ＝10x ＋10y 的最大值是________．(4)若x 、y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≥6，x ≤4，y ≤4，则z ＝y －1x －1的最大值是________．答案 (1)－z (2)－3 (3)90 (4)3探究1 求线性目标函数的最值 例1设z ＝2x ＋y ，式中变量x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z 的最大值和最小值．解作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1表示的平面区域(即可行域)，如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，随z 变化的一组平行直线．由图可看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，得A 点坐标为(5,2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，得B 点坐标为(1,1)，所以z max ＝2×5＋2＝12，z min ＝2×1＋1＝3. 拓展提升解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z 的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界线交点处或边界线上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．【跟踪训练1】若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧2≤2x －y ≤4，x ≤3，y ≥－3，求下列目标函数的最大值，以及此时x ，y 的值． (1)z ＝x －y ； (2)z ＝x ＋3y ＋1.解 (1)在平面直角坐标系中画出可行域，如图中阴影部分所示．当直线y ＝x －z 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－3时，直线在y 轴上的截距－z 最小，为－72，所以当x ＝12，y ＝－3时，z 取得最大值72.(2)当直线y ＝－13x ＋z －13经过点B (3,4)时，直线在y 轴上的截距z －13最大，所以当x ＝3，y ＝4时，z 取得最大值16.探究2 求非线性目标函数的最值 例2变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝yx ，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围．解由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0， 解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0， 解得C (1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． (1)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率． 观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域中的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域中的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29，∴2≤z ≤29.拓展提升求非线性目标函数最值的方法对于非线性目标函数的最值问题，弄清楚它的几何意义是解题的关键．常见的目标函数有三类：(1)形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2型的目标函数，对于该类型的目标函数均可化为可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )间的距离的平方的最值问题．特别地， x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)间的距离．(2)形如z ＝ay ＋b cx ＋d(ac ≠0)型的目标函数，对于该类型的目标函数可先变形为z ＝a c ·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－d c 的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－dc ，－b a 连线斜率的a c 倍的取值范围、最值等．特别地，yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率；y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．(3)对形如z ＝|Ax ＋By ＋C |(A 2＋B 2≠0)型的目标函数，可先变形为z ＝A 2＋B 2·|Ax ＋By ＋C |A 2＋B2的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )到直线Ax ＋By＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍的最值．【跟踪训练2】 实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x ＋3y －6≤0，x －2≤0，则x 2＋y 2＋2x ＋2y 的最小值为( )A ．8B ．6C ．5D ．4答案 B解析 由题意，易知x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2－2，表示已知约束条件的可行域内的点到点(－1，－1)距离的平方与2的差，如下图所示，结合图形可知点A 与B ，C 两点连线段的斜率的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3，而过点A 的直线与BC 垂直时其斜率为1，故点A 与可行域内点的最小距离即为点A 到直线x ＋y －2＝0的距离，从而(x 2＋y 2＋2x ＋2y )min ＝⎝⎛⎭⎪⎫|－1－1－2|22－2＝6.探究3 已知目标函数的最值求参数例3 已知变量x ，y 满足约束条件1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为________．答案 a >1解析 由约束条件画出可行域(如右图)．点C 的坐标为(3,1)，z 最大时，即平移y ＝－ax 时，使直线在y 轴上的截距最大，∴－a <k CD ，即－a <－1，∴a >1. 拓展提升求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问题已知目标函数的最值求参数是线性规划的逆向思维问题，解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解，同时注意边界直线斜率与目标函数斜率的大小关系．【跟踪训练3】记不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与区域D 有公共点，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4解析 满足约束条件的平面区域如图所示，因为直线y ＝a (x ＋1)过定点(－1,0)，故当y ＝a (x ＋1)过点B (0,4)时，得到a ＝4，当y ＝a (x ＋1)过点A (1,1)时，得到a ＝12.又因为直线y ＝a (x ＋1)与平面区域有公共点，故12≤a ≤4.探究4 线性规划的实际应用例4 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y ) ＝2x ＋3y ＋300(x ，y ∈N )．(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ∈N ，y ∈N .目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300，作出可行域为如图所示阴影部分中的整数点．初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50，最优解为A (50,50)， 所以W max ＝550(元)．答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元． 拓展提升利用线性规划解决实际问题的步骤是：①设出未知数(当数据较多时，可以列表格来分析数据)；②列出约束条件，确立目标函数；③作出可行域；④利用图解法求出最优解；⑤得出结论．【跟踪训练4】 某货运公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，一个大集装箱所托运的货物的总体积不能超过24立方米，总重量不低于650千克．甲、乙两种货物每袋的体积、重量和可获得的利润，列表如下：得最大利润？解 设一个大集装箱托运甲种货物x 袋，乙种货物y 袋，获得利润为z (百元)，则目标函数为z ＝20x ＋10y .依题意得，关于x ，y 的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，x ＋2.5y ≥6.5，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≥13，x ≥0，y ≥0.作出上述不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示．由目标函数z ＝20x ＋10y ， 可得y ＝－2x ＋z10.当直线y ＝－2x ＋z10的纵截距最大时，对应的目标函数z ＝20x ＋10y 也会取得最大值．画直线l 0：20x ＋10y ＝0，平行移动l 0到直线l 的位置，当直线l 过直线5x ＋4y ＝24与2x ＋5y ＝13的交点M 时，目标函数z ＝20x ＋10y 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝24，2x ＋5y ＝13，得点M (4,1)．因此，当x＝4，y＝1时，z取得最大值，此时z最大值＝20×4＋10×1＝90.答：在一个大集装箱内装甲种货物4袋，乙种货物1袋时，可获得最大利润，最大利润为9000元．[规律小结]1.线性规划的应用线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何利用它们完成更多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．2.解决线性规划问题的一般方法解决线性规划问题的一般方法是图解法，其步骤如下：(1)确定线性约束条件，注意把题中的条件准确翻译为不等式组；(2)确定线性目标函数；(3)画出可行域，注意作图准确；(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解；(5)实际问题需要整数解时，应调整检验确定的最优解(调整时，注意抓住“整数解”这一关键点)．[走出误区]易错点⊳忽略截距与目标函数值的关系而致错[典例]设E为平面上以A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z＝4x－3y的最大值与最小值．[错解档案]把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z . 根据条件画出图形如图所示，当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最大值； 当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最小值． ∴z min ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z max ＝4×(－3)－3×2＝－18.[误区警示] 直线y ＝43x －13z 在y 轴上的截距是－13z ，当截距－13z 最大即直线过点C 时，目标函数值z 最小；而当截距－13z 最小即直线过点B 时，目标函数值z 最大，此处容易出错．[规范解答] 把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z . 当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最大值； 当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最小值． ∴z min ＝4×(－3)－3×2＝－18； z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14.[名师点津] 由目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)，得y ＝－a b x ＋z b .直线y ＝－a b x ＋zb 在y 轴上的截距为zb .当b >0时，目标函数值与直线在y 轴上的截距同步达到最大值和最小值；当b <0时，情形正好相反.1．设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最小值为( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8答案 D解析作出约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2表示的可行域，如图所示．令z ＝0，则l 0：x －3y ＝0.平移l 0，在点M (－2,2)处z 取到最小值，最小值z ＝－2－3×2＝－8.2．实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则W ＝y －1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1 答案 D解析 利用数形结合思想，把所求问题转化为动点P (x ，y )与定点A (－1，1)连线的斜率问题．画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数W ＝y －1x ＋1表示阴影部分的点与定点A (－1,1)的连线的斜率，由图可知点A (－1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故－12≤W ＜1.3．已知目标函数z ＝2x ＋y ，且变量x ，y 满足下列条件⎩⎨⎧x －4y ≥－3，3x ＋5y ＜25，x ≥1，则( )A ．z max ＝12，z min ＝3B ．z max ＝12，无最小值C ．z min ＝3，无最大值D ．z 既无最大值又无最小值 答案 D解析 画出可行域，如图所示．画直线l ：2x ＋y ＝0，平移直线l ，知z ＝2x ＋y 既无最大值，又无最小值．4．若x ，y 满足⎩⎨⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y －2≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值是________．答案 2解析 画出不等式组表示的可行域，根据目标函数可知y ＝－12x ＋12z ，得出最优解为(2,0)，则z 的最小值为2.5．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0.则yx 的最大值是________，最小值是________．答案 6 95解析 由约束条件作出可行域(如图所示)，目标函数z ＝yx 表示坐标(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率．由图可知，点C 与O 连线斜率最大；点B 与O 连线斜率最小，又B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，92，C 点坐标为(1,6)，所以k OB ＝95，k OC ＝6.故y x 的最大值为6，最小值为95.A 级：基础巩固练一、选择题1．已知P (x ，y )为区域⎩⎨⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a 内的任意一点，当该区域的面积为4时，z ＝2x －y 的最大值是( )A ．6B ．0C ．2D ．22答案 A解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a 所表示的平面区域如图所示，由图可知A (a ，－a )，B (a ，a )，由S △AOB ＝12×2a ×a ＝4，得a ＝2.所以A (2，－2)，由z ＝2x －y 化简得y ＝2x －z ，即当y ＝2x －z 过A 点时z 取最大值，且z max ＝2×2－(－2)＝6.故选A.2．若x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．0B ．1 C.32 D ．2答案 D解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0表示的平面区域，如图所示．当直线y ＝－12x ＋z2经过点B 时，目标函数z 达到最大值．∴z 最大值＝0＋2×1＝2.故选D.3．点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且x ，y 满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是( )A ．[0,5]B ．[0,10]C ．[5,10]D ．[5,15]答案 B解析 因x ，y 满足－14≤x －y ≤7，则点P (x ，y )在⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤7，x －y ≥－14所确定的区域内，且原点也在这个区域内，如图所示．因为点P 在直线4x ＋3y ＝0上，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝0，x －y ＝－14，解得A (－6,8)； 由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝0，x －y ＝7，解得B (3，－4)． ∴点P 到坐标原点距离的最小值为0.又|OA |＝10，|BO |＝5.因此，最大值为10，故所求取值范围是[0,10]．4．某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润如表所示：在一次运输中，货物总体积不超过110升，总重量不超过100公斤，那么在合理的安排下，一次运输获得的最大利润为( )A ．65元B ．62元C ．60元D ．56元答案 B解析 设运送甲x 件，乙y 件，利润为z ， 则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≤110，10x ＋20y ≤100，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤11，x ＋2y ≤10，x ，y ∈N ，且z ＝8x ＋10y ，作出不等式组对应的平面区域(阴影部分内的整数点)如图：由z ＝8x ＋10y 得y ＝－45x ＋z10，平移直线y ＝－45x ＋z 10，由图象知当直线y ＝－45x ＋z10经过点B 时，直线的截距最大，此时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝11，x ＋2y ＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3，即B (4,3)， 此时z ＝8×4＋10×3＝32＋30＝62.故选B.二、填空题5．已知O 为坐标原点，点M (3,2)，若点N (x ，y )满足不等式组⎩⎨⎧x ≥1，y ≥0，x ＋y ≤4，则OM→·ON →的最大值为________． 答案 12解析 画出所给不等式组表示的平面区域如图所示．令z ＝OM→·ON →＝3x ＋2y ，由目标函数的几何意义可知当z ＝3x ＋2y 过(4,0)点时，z 取最大值，即OM→·ON →的最大值＝3×4＋0＝12.6．若已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值是________．答案 21解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．解法一：z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5×5，其几何意义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点B 的坐标为(7,9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.解法二：由图可知，阴影区域(可行域)内的点都在直线x ＋2y －4＝0的上方，显然此时有x ＋2y －4＞0，于是目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，即转化为一般的线性规划问题．显然当直线经过点B 时，目标函数z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点B 的坐标为(7,9)，此时z max ＝21. 7．不等式组⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，2x －y －2≤0所确定的平面区域记为D .若点(x ，y )是区域D上的点，则2x ＋y 的最大值是________；若圆O ：x 2＋y 2＝r 2上的所有点都在区域D 内，则圆O 面积的最大值是________．答案 14 4π5解析 作出区域D 如图所示．令z ＝2x ＋y 可知，直线z ＝2x ＋y 经过点(4,6)时z 最大，此时z ＝14；当圆O ：x 2＋y 2＝r 2和直线2x －y －2＝0 相切时半径最大，此时半径r ＝25，面积S ＝4π5.三、解答题8．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．解 由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率，因此，y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y－3≤0表示的可行域如下图所示：结合图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2；z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0. 所以z 的最大值为3，最小值为12.9．一农民有农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每亩产量为400千克；若种花生，则每亩产量为100千克．但水稻成本较高，每亩240元，而花生只需80元，且花生每千克5元，稻米每千克3元．现该农民手头有400元．(1)设该农民种x 亩水稻，y 亩花生，利润z 元，请写出约束条件及目标函数； (2)问两种作物各种多少，才能获得最大收益？ 解 (1)约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，240x ＋80y ≤400，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，3x ＋y ≤5，x ≥0，y ≥0，目标函数为：z ＝(3×400－240)x ＋(5×100－80)y ＝960x ＋420y . (2)作出可行域如图所示，把z ＝960x ＋420y 变形为y ＝－167x ＋z 420，得到斜率为－167，在y 轴上的截距为z 420，随z 变化的一组平行直线；当直线y ＝－167x ＋z420经过可行域上的点B 时，截距z420最大，即z 最大．所以解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，3x ＋y ＝5得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1.5，y ＝0.5，即B 点的坐标是(1.5,0.5)，故当x＝1.5，y ＝0.5时，z max ＝960×1.5＋420×0.5＝1650(元)．答：该农民种1.5亩水稻，0.5亩花生时，能获得最大利润，最大利润为1650元．10．要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截成三种规格小钢板的块数如下表：每张钢板的面积，第一种1平方单位，第二种2平方单位，今需要A 、B 、C 三种规格的成品各12、15、27块，问各截这两种钢板多少张，可得到所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小？解 设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，所用钢板面积为z 平方单位，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥12，2x ＋y ≥15，x ＋3y ≥27，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，目标函数z ＝x ＋2y ，作出一组平行线x ＋2y ＝z ，作出不等式组表示的可行域．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝27，x ＋y ＝12解得x ＝92，y ＝152，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，152不是可行区域内整点，在可行区域内的整点中，点(4,8)和(6,7)使目标函数取最小值20.答：符合题意要求的钢板截法有两种，第一种截法是截第一种钢板4张，第二种钢板8张．第二种截法是截第一种钢板6张，第二种钢板7张，两种方法都最少要截两种钢板20平方单位．B 级：能力提升练1．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为( )A．－3 B．3C．－1 D．1答案A解析当a＝0时，z＝x.仅在直线x＝z过点A(1,1)时，z有最小值1，与题意不符；当a>0时，y＝－1a x＋za.斜率k＝－1a<0，仅在直线z＝x＋ay过点A(1,1)时，直线在y轴的截距最小，此时z也最小，与目标函数取得最小值的最优解有无数个矛盾；当a<0时，y＝－1a x＋za，斜率k＝－1a>0，为使目标函数z取得最小值的最优解有无数个，当且仅当斜率－1a＝k AC.即－1 a ＝13，得a＝－3.2．已知实数x，y满足⎩⎨⎧(x－y＋6)(x＋y－6)≥0，1≤x≤4，求x2＋y2－2的取值范围．解作出可行域如图阴影部分所示，由x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2，可以看作区域内的点与原点的距离的平方，最小值为原点到直线x＋y－6＝0的距离的平方，即|OP|2，最大值为|OA|2，其中A(4,10)，|OP|＝|0＋0－6|12＋12＝62＝32，|OA|＝42＋102＝116，∴(x2＋y2－2)min＝(32)2－2＝18－2＝16，(x2＋y2－2)max＝(116)2－2＝116－2＝114，∴16≤x2＋y2－2≤114，即x2＋y2－2的取值范围为[16,114]．。
人教版高中数学必修⑤3.3.2《简单的线性规划问题》教学设计共13页
课题：必修⑤3.3.2简单的线性规划问题三维目标：1、知识与技能（1）使学生进一步了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；（2）了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决相关问题及一些简单的实际问题。
2、过程与方法（1）通过引导学生合作探究，将实际生活问题转化为数学中的线性规划问题来解决，提高数学建模能力。
同时，可借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性；（2）将实际问题中错综复杂的条件列出目标函数和约束条件对学生而言既是重点又是难点，在此，教师要根据学生的认知、理解情况，引导学生自己动手建立数学模型，自我不断体验、感受、总结；同时，要给学生正确的示范，利用精确的图形并结合推理计算求解3、情态与价值观（1）培养学生数形结合、等价转化、等与不等辩证的数学思想；(2) 通过对不等式知识的进一步学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神；（3）通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
体验在学习中获得成功的成就感，为远大的志向而不懈奋斗。
教学重点：（1）把实际问题转化成线性规划问题，即建立数学模型；（2）用图解法解决简单的线性规划问题。
教学难点：准确求得线性规划问题的最优解（尤其是整数解的求解思想）教具：多媒体、实物投影仪教学方法：合作探究、分层推进教学法教学过程：一、双基回眸科学导入：★前面，我们学习了二元一次不等式（组）及其表示的区域……并且体会到在实际问题中的应用前景，感受到其重要性。
下面，首先我几个概念：1.二元一次不等式.：我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式.2.二元一次不等式组.：我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.3．二元一次不等式组的解集：满足二元一次不等式组的x 和y的取值构成有序数对(,)x y，所有这样的有序数对(,)x y构成的集合称为二元一次不等式组的解集.1．二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）而不等式0By+CAx表示区域时则包括边界,把边界画成实+≥线.2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(yx,)，把它的坐标（yx,)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）★在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？根据我们上节课所学知识，大家不难列出相应的量的约束条件，但我们列出（或画出）后，应该要解决生产中的必需的问题，这就是我们今天要探究的问题……二、创设情境合作探究：【引领学生合作探究，通过上述问题的进一步所求总结线性规划问题】上面的问题应该到达下面的位置：解：设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，由已知条件可的二元一次不等式组：将上述不等式组表示成平面上的区域，如图中阴影部分的整点。
河北省邢台市第三中学高中数学必修5导学案：3.3.2 简单的线性规划问题
3.3.2简单的线性规划问题【学习目标】1.了解线性规划的意义及基本概念．2．掌握线性规划问题的图解法．【重点难点】重点：掌握简单的二元线性规划问题的求解方法；难点：求目标函数的最值．【预习案】【导学提示】1．二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0或≥0或≤0)所表示的平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的一侧．2．确定二元一次不等式所表示的平面区域的基本方法是“直线定界，点定域”．3. 线性规划中的基本概念问题1.在线性约束条件下，最优解唯一吗？2．在线性目标函数z＝x＋y中，目标函数z的最大、最小值与截距的对应关系是怎样的？【探究案】一、求线性目标函数的最值例1.若变量,x y满足240250x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则32z x y=+的最大值是（）A．90B．80 C．70 D．40二、求非线性目标函数的最值例2.设,x y 满足条件5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，求22u x y =+的最大值与最小值。
迁移与应用2．若本例条件不变，求5y z x =-的最值．三、已知目标函数的最值求参数例3. 已知变量x ，y 满足约束条件1≤x ＋y≤4，－2≤x －y≤2.若目标函数z ＝ax ＋y(其中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为________．迁移与应用3．本例中，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的点有无数个，则a的范围又是什么？【训练案】1．目标函数z ＝4x ＋y ，将其看成直线方程时，z 的几何意义是( )A ．该直线的截距B ．该直线的纵截距C ．该直线的横截距D ．该直线的纵截距的相反数 2.线性目标函数z x y =-在2102101x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≤⎩的线性约束条件下，取得最大值的可行解为A ．(0,1)B ．(－1，－1)C ．(1,0)D ． (0.5，0.5)3．已知变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤-⎨⎪≥⎩，设z ＝2x ＋y ，取点(3,2)可求得z ＝8；取点(5,2)可求得max 12z =；取点(1,1)可求得min 3z =；取点(0,0)可求得z ＝0，则点(3,2)叫做________，点(0,0)叫做________，点(5,2)和点(1,1)均叫做________．4．已知变量,x y 满足条件2045x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则s x y =+的最大值( )5.若,x y 满足条件5315153x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩，求35z x y =-的最大值和最小值。
3.3.2 简单的线性规划问题(一)导学案
3.3.2 简单的线性规划问题（一）复习回顾1.“直线定界，特殊点定域”是画二元一次不等式表示的平面区域的操作要点，怎样画二元一次不等式组表示的平面区域？问题提出：在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题，如何利用数学知识、方法解决这些问题探究（一）：线性规划的实例分析【背景材料】某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h；每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h.该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，每天工作时间按8h计算.该工厂所有可能的日生产安排是什么？思考1：设每天分别生产甲、乙两种产品x、y件，则该厂所有可能的日生产安排应满足的基本条件是什么？思考2：上述不等式组表示的平面区域是什么图形？思考3：图中阴影区域内任意一点的坐标都代表一种生产安排吗？思考4：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，设生产甲、乙两种产品的总利润为z元，那么z与x、y的关系是什么？思考5：将z ＝2x ＋3y 看作是直线l 的方程，那么z 有什么几何意义？思考6：当x 、y 满足上述不等式组时，直线l ：的位置如何变化？线性规划的有关概念（1）线性约束条件： 在上述问题中，不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，称为线性约束条件．（2）线性目标函数：上述关于x 、y 的一次解析式z ＝2x ＋y 是关于变量x 、y 的二元一次函数，是求最值的目标，称为线性目标函数．（3）线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题．（4）可行解：满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解．（5）可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域．（6）最优解：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫做最优解．练习1 设z=2x －y ，变量x 、y 满足下列条件求z 的最大值和最小值.练习2 已知x 、y 满足： 求z 的最大值和最小值. 233z y x =-+⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-102553034x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y。
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3.3.2简单的线性规划问题导学案（1）
班级 姓名
【学习目标】
1、了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最
优解等概念；
2、能根据条件，建立线性目标函数；
3、了解线性规划问题的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值。
【学习过程】
一、自主学习
(1)目标函数:
(2)线性目标函数:
(3)线性规划问题:
(4)可行解:
(5)可行域:
(6) 最优解:
二、合作探究
在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≥+0
0221y x y x y x 下所表示的平面区域内， 探索：目标函数2P x y =+的最值？
（1）约束条件所表示的平面区域称为
（2）猜想在可行域内哪个点的坐标00(,)x y 能使P 取到最大(小)值？
（3）目标函数2P x y =+可变形为y= ，p 的几何意义：
（4）直线2y x p =-+与直线2y x =-的位置关系
（5）直线2y x p
=-+平移到什么位置时，在y 轴上的截距P 最大？ （6）直线2y x p
=-+平移到什么位置时，在y 轴上的截距P 最小？ 三、交流展示
1、已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，求2t x y =-的最值。
规律总结：用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤？
四、达标检测
A 组：1.下列目标函数中，Z 表示在y 轴上截距的是（ ）
A.y
x z -= B.y x z -=2 C.y x z += D.y x z 2+= 2.不等式组 x –y+5≥0 x + y ≥0 x ≤3表示的平面区域的面积等于（ ）
A 、32
B 、1214
C 、1154
D 、632
3.若⎪⎩
⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x ，则y
x z -=的最大值为（ ） A.－1 B.1 C.2 D.－2
4.已知x ，y 满足约束条件5003x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩
≥≥≤，则24z x y
=+的最小值为（ ） A ．5 B ．6- C ．10 D ．10-
5．若⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤+≤--0101x y x y x ，则目标函数y
x z +=10的最优解为（ ） A ．（0，1），（1，0） B.（0，1），（0，－1）
C.（0，－1），（0，0）
D.（0，－1），（1，0）
6. 若222x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩
≤≤≥，则目标函数2z x y =+的取值范围是（ ）
A ．[26]，
B ．[25]，
C ．[36]，
D ．[35]，
7.若A(x, y)是不等式组 –1＜x ＜2 –1＜y ＜2)表示的平面区域内的点，则2x –y 的取值范围是（ ）
A 、（–4, 4）
B 、（–4, –3）
C 、（–4, 5）
D 、（–3, 5）
B 组：1.在不等式组 x ＞0 y ＞0 x+y –3＜0表示的区域内，整数点的坐标是 。
2．若y x ,都是非负整数,则满足5≤+y x 的点共有________个。