人教B版数学高一必修2例题与探究2直线方程的概念与直线的斜率直线方程的几种
高中数学人教B版必修二同步教案：直线方程的概念与直线的斜率2
人教B 版 数学 必修2：直线方程的概念与直线的斜率(2) 教学目标：1、理解直线的倾斜角和斜率概念，2、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，3、掌握过两点的直线斜率的计算公式.教学重点：1、理解直线的倾斜角和斜率概念，2、掌握过两点的直线斜率的计算公式.教学过程： （一）如图，直线向上的方向与x 轴正方向所成的角称为直线的倾角记为θ. 当l 与x 轴平行时，θ=0我们把b kx y +=中的k 叫做直线的斜率(二) 设P 1(x 1,y 1)和P 2(x 2，y 2)求直线P 1P 2的斜率，（P 1P 2不与x 轴垂直）令直线的方程为：b kx y +=b kx y +=11b kx y +=22两式相减得)(2121x x k y y -=- 故2121x x y y k --= (三) .倾斜角不是90°的直线，倾角的正切值称为直线的斜率. 故2121tan x x y y --=θ （四）练习1.判断正误.(1)直线的倾角为α，则直线的斜率为tanα；(2)直线的斜率值为tanβ，则该直线的倾角为β；(3)因为所有直线都有倾角，故所有直线都有斜率；(4)因为平行于y 轴的直线斜率不存在，所以平行于y 轴的直线倾角也不存在.2．求过下列两点的直线的斜率及倾角.(1)P 1 (-2，3)，P 2(-2，8)(2)P1(5，-2)，P2(-2，-2)(3)P1(-1，2)，P2(3，-4)3.第83页例2课堂练习：第84页 A,B小结：通过这节课的学习，我们学习了“倾角”和“斜率”这两相概念，从“形”与“数”两方面去刻画直线相对于x轴的倾斜程度，并学习了已知两点坐标求过这两点的直线斜率的公式.课后作业：第84页习题2-2A:1。
数学人教B版必修2练习：2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率 Word版含解析
(2)任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角；
(3)倾斜角为0°的直线只有一条；
(4)倾斜角的范围是[0°，180°]．
其中正确说法的个数为()
A．0B．1C．2D．3
答案：B
解析：由直线倾斜角与斜率的定义，知(1)正确、(2)错误；因为倾斜角为0°的直线有无数条，且它们与x轴都平行或与x轴重合，所以(3)错误；因为倾斜角的取值范围为[0°，180°)，所以(4)错误．综上所述，只有(1)正确，故选B.
2．下面选项中两点的直线不存在斜率的是()
A．(4,2)与(－4,1)
B．(0,3)与(3,0)
C．(3，－1)与(2，－1)
D．(－2,2)与(－2,5)
答案：D
解析：直线斜率不存在即为直线的倾斜角为90°，其直线与x轴垂直．当两点所在直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在．故应选D.
3．给出下列说法：
2．直线的倾斜角
由斜率k的定义可知：
k＝0时，直线平行于x轴或与x轴重合，此时直线的倾斜角为0°；
k＞0时，直线的倾斜角为锐角，此时，k值增大，直线的倾斜角也随着增大；
k＜0时，直线的倾斜角为钝角，此时，k值增大，直线的倾斜角也随着增大；
垂直于x轴的直线的倾斜角等于90°，此时直线的斜率不存在．
课时作业
答案：[0°，30°)
解析：当0≤k＜ 时，因为tan0°＝0，tan30°＝ ，所以0°≤α＜30°.
8．已知A(2，－3)，B(4,3)，C 三点在同一条直线上，则实数m的值为________．
答案：12
解析：因为A，B，C三点在同一条直线上，所以有kAB＝kAC，即 ＝ ，解得m＝12.
人教新课标版数学高一B必修2学案 直线方程的概念与直线的斜率
高中数学-打印版数学人教B必修2第二章2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率1．理解直线的斜率和倾斜角的概念，了解用代数的方法探索直线斜率的过程．2．掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能在实际问题中应用．3．能利用数形结合与分类讨论思想求直线的斜率和倾斜角．1．直线方程的概念由于函数y＝kx＋b(k≠0)或y＝b都是________方程，因此，我们也可以说，方程y＝kx ＋b的解与其图象上的点存在一一对应关系．如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是__________，那么这个方程叫做____________，这条直线叫做__________．直线的方程和方程的直线要同时满足两个条件：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解．两个条件只要缺少一个，命题就是错误的．【做一做1－1】在平面直角坐标系中，二、四象限角平分线所在的直线的方程为__________．【做一做1－2】给出下列四个命题：①一条直线必是某个一次函数的图象；②一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象必是一条不过原点的直线；③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则此方程叫做这条直线的方程；④以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这条直线叫做此方程的直线．其中正确命题的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．32．直线的倾斜角和斜率(1)我们把直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的______．(2)两点斜率公式：已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线的斜率k＝__________(x1≠x2)．(3)倾斜角θ：x轴正向与__________所成的角叫做这条直线的倾斜角，记为θ.当直线l与x轴__________时，规定θ＝0°，故θ的取值范围是__________．(4)斜率k 与倾斜角θ的关系如图所示．当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率越大，且均为正；当倾斜角为钝角时，倾斜角越大，斜率越大，且均为负．但我们不能错误地认为倾斜角越大，斜率越大．【做一做2】过点P (1,3)和Q (0,5)的直线的斜率为( )．A ．2B ．－2C ．12D ．－12对直线斜率的全方位剖析 剖析：(1)斜率公式的适用范围．经过两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1，其适用范围是x 1≠x 2.说明如下：①斜率公式可通过直线上任意两点的坐标表示．②斜率公式与两点的顺序无关，也就是说两点的纵、横坐标在公式中的次序可以同时调换(要一致)．③如果y 2＝y 1(x 2≠x 1)，则直线与x 轴平行或重合，k ＝0；如果x 1＝x 2，y 1≠y 2，则直线与x 轴垂直，倾斜角θ＝90°，斜率k 不存在．(2)从运动变化的观点看斜率公式．由直线上两点的坐标求这条直线的斜率k 与这两点在直线上的顺序无关，于是k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)．如果令Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝y 2－y 1，则Δx 表示变量x 的改变量，Δy 表示相应的y 的改变量，于是k ＝ΔyΔx(Δx ≠0)．(3)斜率的功能．斜率是用来反映直线倾斜程度的一个量，它与倾斜角都反映倾斜程度，但倾斜角相对直观一些，而斜率较抽象，且倾斜角θ与斜率k 有k ＝tan θ这一关系式．结合图示说明如下：如图所示，直线PQ ，直线PM ，且直线MQ 与y 轴平行，由直线斜率公式：k PQ ＝ΔyΔx ，k PM ＝Δy ′Δx， 由图易知Δy ′＞Δy ，∴k PM ＞k PQ .显然直线PM 相对于x 轴正方向比直线PQ 相对于x 轴正方向倾斜程度要大．比如某人从点P 沿直线PQ 到达点Q ，相对于从点P 沿直线PM 到达点M 来说，此人会感到沿直线PM 走比沿直线PQ 走更费劲．一般地，直线斜率为k ，若有|k |越大，反映直线相对于x 轴倾斜程度越大；反之|k |越小，反映直线相对于x 轴倾斜程度越小．若k AB ＝k AC ，此时直线AB 与直线AC 的倾斜角相同，即三点A ，B ，C 共线，因此可以利用斜率解决三点共线问题；但k AB ＝k CD 只能说明直线AB 与直线CD 倾斜角相同，不能说明A ，B ，C ，D 四点共线，因此要用斜率证明共线问题，而线段(或两条直线)必须有公共点才行．题型一 概念辨析题【例1】下列四个命题：①一条直线向上的方向与x 轴正向所成的角，叫做这条直线的倾斜角； ②直线l 的倾斜角要么是锐角，要么是钝角；③已知直线l 经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，则直线l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1；④若直线l 的方程是ax ＋by ＋c ＝0，则直线l 的斜率k ＝－ab .其中正确命题的个数是( )．A ．3B ．2C ．1D ．0反思：斜率与倾斜角是直线中最基本的概念，正确理解斜率与倾斜角的概念是解答本题的基础，要注意直线的斜率与倾斜角的对应关系，还有斜率公式是有使用范围的，直线与x 轴垂直时斜率不存在．题型二 求直线的斜率【例2】已知直线l 经过两点A (2,－1)，B (t,4)，求直线l 的斜率． 分析：点B 的坐标中含参数t ，注意分类讨论．反思：应用斜率公式表示直线斜率时，一定注意x 1≠x 2的条件，遇到参数时要根据参数的取值进行讨论．题型三 斜率公式的综合应用【例3】求证：A (1,5)，B (0,2)，C (－1,－1)三点共线．分析：根据过同一点的两条直线，若它们的斜率相等，则两直线必重合，从而证明三点共线．反思：通过本题可归纳出：若斜率k AB ，k AC 存在，则k AB ＝k AC ⇔A ，B ，C 三点共线，当然也可以用|AB |＋|BC |＝|AC |来证，最后需指出的是当证明四点共线时，一定要注意看是否有公共点．【例4】已知直线l ：y ＝ax ＋2和两点A (1,4)，B (3,1)，当直线l 与线段AB 相交时，求实数a 的取值范围．分析：过定点的动直线与线段相交，可借助图形加以解决．反思：通过本题的解决，要掌握斜率与倾斜角之间的关系，还要注意数形结合思想的利用．【例5】已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．分析：根据yx 的几何意义，本题即是求直线y ＝－2x ＋8(2≤x ≤3)上的点与原点连线的斜率的最值．反思：利用斜率公式解决代数问题的关键是：根据题目中代数式的特征，看是否可写成y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)的形式，从而联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用几何图形的直观性来分析解决问题．题型四 易错辨析【例6】设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转30°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )．A ．α＋30°B ．α－150°C ．150°－αD ．当0°≤α＜150°时为α＋30°，当150°≤α＜180°时为α－150°错解：∵直线l 按逆时针旋转，结合倾斜角的定义及旋转角的概念可知l 1的倾斜角为α＋30°.答案：A错因分析：没有考虑到α＋30°会越过180°，这样就不满足倾斜角的范围[0，π)了．1过点P (－2，m )和点Q (m,4)的直线的斜率为1，则m 的值为( )． A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或42若两直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2，则下列四个命题中正确的是( )． A ．若α1＜α2，则两直线的斜率k 1＜k 2 B ．若α1＝α2，则两直线的斜率k 1＝k 2 C ．若两直线的斜率k 1＜k 2，则α1＜α2 D ．若两直线的斜率k 1＝k 2，则α1＝α23若直线l 经过第二、四象限，则直线l 倾斜角α的范围是__________． 4若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0,4)共线，则a 的值等于__________．5已知点A (3,4)，在坐标轴上有一点B ，使直线AB 的斜率等于2，把直线方程写成一次函数形式，并求出点B 的坐标．答案： 基础知识·梳理1．二元一次 这个方程的解 这条直线的方程 这个方程的直线 【做一做1－1】y ＝－x【做一做1－2】A 由直线方程的定义可知③，④均不正确．又y ＝5表示一条直线，但它却不是一次函数，原因是一次函数y ＝kx ＋b 中的k ≠0，∴①也不正确．当一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)中的b ＝0时，其图象经过原点，可知②也不正确．2．(1)斜率 (2)y 2－y 1x 2－x 1 (3)直线向上的方向 平行或重合 0°≤θ＜180°【做一做2】B 典型例题·领悟【例1】C 根据倾斜角定义知，①正确；倾斜角范围为[0，π)，∴②不正确；当x 1＝x 2时，直线P 1P 2的斜率k 不存在，不能用公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1求解，∴③不正确；当b ＝0时，直线斜率不存在，∴④不正确．故选C.【例2】解：(1)当t ＝2时，直线l 与x 轴垂直， ∴直线l 的斜率不存在．(2)当t ≠2时，直线l 的斜率k ＝4－(－1)t －2＝5t －2，∴综上所述，当t ＝2时，直线l 的斜率不存在； 当t ≠2时，直线l 的斜率k ＝5t －2. 【例3】证明：利用斜率公式计算出AB 和AC 两条直线的斜率，k AB ＝5－21－0＝3，k AC ＝－1－5－1－1＝3. ∵k AB ＝k AC ，又过同一点A ， ∴A ，B ，C 三点共线．【例4】解：如图所示，直线l 过定点C (0,2)，k CB ＝1－23－0＝－13，k CA ＝4－21－0＝2，k l ＝a .当直线l 与线段AB 相交时，k CB ≤k l ≤k CA ， ∴－13≤a ≤2.【例5】解：如图，由已知，点P (x ，y )在线段AB 上运动，其中A (2,4)，B (3,2)， 而y x ＝y －0x －0，其几何意义为直线OP 的斜率．由图可知k OB ≤k OP ≤k OA ，而k OB ＝23，k OA ＝2.故所求的y x 的最大值为2，最小值为23.【例6】D 正解：要分类讨论，旋转30°后，看α＋30°是否在0°≤α＜180°范围内．若在，则l 1的倾斜角为α＋30°；若不在，则l 1的倾斜角为α＋30°－180°＝α－150°.随堂练习·巩固1．A 由斜率公式，有1＝4－mm －(－2)，得m ＋2＝4－m .∴m ＝1.2．D3．90°＜α＜180° 如图所示，直线过第二、四象限，可知直线l 的倾斜角为钝角，其范围是90°＜α＜180°.4．4由题意可得k AB＝22－a＝k AC＝2－42＝－1⇒a＝4.5．解：设所求直线方程为y＝kx＋b，∵k＝2，A(3,4)在直线上，∴4＝2×3＋b，解得b＝－2.∴直线方程为y＝2x－2.如果B在x轴上，则可设B(x0,0)，代入直线方程解得x0＝1，即B(1,0)；如果B在y轴上，则可设B(0,y0)，代入直线方程解得y0＝－2，即B(0,－2)．。
高中数学人教B必修二学案：第二单元 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率含答案
2．2.1直线方程的概念与直线的斜率学习目标 1.了解直线的方程、方程的直线的概念.2.理解直线的倾斜角、斜率，掌握过两点的直线的斜率公式.3.体会用斜率和倾斜角刻划直线的倾斜程度，并掌握它们之间的关系．知识点一直线的方程与方程的直线对于y＝2x＋1的图象，观察并思考以下问题：思考1点(1,3)为直线上的点，x＝1，y＝3满足关系式y＝2x＋1吗？点(－2，－3)在y＝2x ＋1的图象对应的直线上吗？一次函数y＝2x＋1的图象上的点与满足关系式y＝2x＋1的实数对(x，y)有怎样的关系？思考2一元一次函数y＝kx＋b(k≠0)的解析式可看作二元一次方程，那么方程y＝kx＋b的解与其图象上的点存在怎样的关系？梳理直线的方程与方程的直线(1)两个条件①以一个方程的解为坐标的点都________________．②这条直线上的点的坐标都是________________． (2)一个结论这个方程叫做这条________________，这条直线叫做这个________________． 知识点二 直线的倾斜角与斜率知识点三 直线的斜率公式若直线y ＝kx ＋b 上任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)且x 1≠x 2，令Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝y 2－y 1，则k ＝__________＝________.类型一 求直线的倾斜角例1 设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( ) A ．α＋40° B ．α－140° C ．140°－αD ．当0°≤α<140°时为α＋40°，当140°≤α<180°时为α－140°反思与感悟 (1)解答本类题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．跟踪训练1 已知直线l 向上方向与y 轴正向所成的角为30°，则直线l 的倾斜角为________． 类型二 直线斜率公式的应用例2 已知直线l 过点M (m ＋1，m －1)，N (2m,1)．(1)当m为何值时，直线l的斜率是1?(2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？反思与感悟利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的．(2)斜率公式与两点P1、P2的先后顺序无关，即公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．跟踪训练2如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)，计算直线l1，l2，l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．类型三直线的倾斜角、斜率的综合应用命题角度1三点共线问题例3如果三点A(2,1)，B(－2，m)，C(6,8)在同一条直线上，求m的值．反思与感悟斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的．直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证明点共线的原因．跟踪训练3证明A(－2,12)，B(1,3)，C(4，－6)三点在同一条直线上．命题角度2 数形结合法求倾斜角或斜率范围例4 直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围．反思与感悟 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解．跟踪训练4 已知A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)．若点D 在线段BC 上(包括端点)移动，求直线AD 的斜率的取值范围．1．对于下列命题：①若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α<180°； ②若k 是直线的斜率，则k ∈R ；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； ④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．若经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m 等于( ) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－23．若三点A (2,3)，B (3,2)，C (12，m )共线，则实数m 的值为________．4．经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m ≥1)5．已知交于点M (8,6)的四条直线l 1，l 2，l 3，l 4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l 2过点N (5,3)，求这四条直线的倾斜角．1．直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：2.用斜率公式解决三点共线问题答案精析问题导学知识点一思考1将x＝1，y＝3代入关系式y＝2x＋1，等式成立，即x＝1，y＝3满足关系式y＝2x＋1.将点(－2，－3)描在上述直角坐标系内，观察到点(－2，－3)在y＝2x＋1的图象对应的直线上．存在着一一对应的关系．思考2由于函数y＝kx＋b( k≠0)或y＝b都是二元一次方程，因此，方程y＝kx＋b的解与其图象上的点存在着一一对应的关系．梳理(1)①在某条直线上②这个方程的解(2)直线的方程方程的直线知识点二系数k正向向上零度角锐角90°知识点三y2－y1 x2－x1Δy Δx题型探究例1D[根据题意，画出图形，如图所示．因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知，当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.]跟踪训练160°或120°解析有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.②如图(2)，直线l 向上方向与x 轴正向所成的角为120°，即直线l 的倾斜角为120°. 例2 解 (1)因为直线l 的斜率是1， 所以m －21－m ＝1，所以m ＝32.即当m ＝32时，直线l 的斜率是1.(2)因为直线l 的倾斜角为90°， 所以直线l 的斜率不存在， 所以m ＋1＝2m ，所以m ＝1. 即当m ＝1时，直线l 的倾斜角为90°.跟踪训练2 解 设k 1，k 2，k 3分别表示直线l 1，l 2，l 3的斜率． 由于Q 1，Q 2，Q 3的横坐标与P 点的横坐标均不相等，所以 k 1＝－1－2－2－3＝35，k 2＝－2－24－3＝－4，k 3＝2－2－3－3＝0.由k 1>0知，直线l 1的倾斜角为锐角；由k 2<0知，直线l 2的倾斜角为钝角；由k 3＝0知，直线l 3的倾斜角为0°.例3 解 k AB ＝m －1－2－2＝1－m 4，k AC ＝8－16－2＝74，∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ， 即1－m 4＝74，∴m ＝－6. 跟踪训练3 证明 易知直线AB ，AC 的斜率都存在，∵k AB ＝12－3－2－1＝9－3＝－3， k AC ＝－6－124－(－2)＝－186＝－3，∴k AB ＝k AC ，又AB ，AC 过同一点A ， ∴A ，B ，C 三点共线． 例4 解 如图所示．∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)， ∴45°≤α≤120°.跟踪训练4 解 如图所示．当点D 由点B 运动到点C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，所以直线AD 的斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤17，53. 当堂训练 1．C 2.A3.92解析 设直线AB ，BC 的斜率分别为k AB ，k BC ，则由斜率公式，得 k AB ＝3－22－3＝－1，k BC ＝m －212－3＝－25(m －2)．∵A ，B ，C 三点共线， ∴k AB ＝k BC ，即－1＝－25(m －2)，解得m ＝92.4．(0°，90°]解析 当m ＝1时，倾斜角α＝90°；当m >1时，tan α＝3－2m －1>0，∴0°<α<90°，故0°<α≤90°.5．解 l 2的斜率为6－38－5＝1，∴l 2的倾斜角为45°，由题意可得l 1的倾斜角为22.5°，l 3的倾斜角为67.5°，l 4的倾斜角为90°.。
人教B版高中数学必修二《 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率》_17
直线方程的概念与直线的斜率一．直线的方程与方程的直线：一般地，如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线.二．直线的斜率1．斜率：设直线y=kx+b上任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有k=2121y y y x x x -∆=-∆(x1≠x2).2．通常把直线y=kx+b 中的系数k叫做这条直线的斜率；3．垂直于x轴的直线不存在斜率.例1．求经过A(－2，0)，B(－5，3)两点的直线的斜率。
例2．下面选项中两点的直线不存在斜率的是（）（A）(4，2)与(－4，1)（B）(0，3)与(3，0)（C）(3，－1)与(2，－1)（D）(－2，2)与(－2，5)例3．求证A(1，5)，B(0，2)，C(2，8)三点共线.三．直线的倾斜角1．倾斜角的定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角；2．规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角；3．垂直于x轴的直线的倾斜角等于90°例4．已知直线l1的倾斜角为α1 ，α1 ≠0°，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角α2= .四．直线的倾斜角与斜率的关系1．斜率和倾斜角都反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度；2．直线倾斜角的范围是0°≤α<180°3．当k=0，直线平行于x轴或与x轴重合. 此时直线的倾斜角为0°；当k>0时，直线的倾斜角为锐角；k值增大，直线的倾斜角也随着增大；当k<0时，直线的倾斜角为钝角，k值增大，直线的倾斜角也随着增大；垂直于x轴的直线的倾斜角为90°，但其斜率不存在.练习题：1．对于下列命题①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°;②若k是直线的斜率，则k∈R；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率;④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角.其中正确命题的个数是（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）42．如果过点P(－2，m)和Q(m，4)的直线的斜率等于1，那么m的值为（）（A）1 （B）4（C）1或3 （D）1或43．下列各组点中，在同一直线上的是（）（A）(－2，3)，(－7，5)，(3，－5) （B）(3，0)，(6，4)，(－1，－3)（C）(4，5)，(3，4)，(－2，－1) （D）(1，3)，(2，5)，(－2，3)4．给出下列四个命题：①一条直线必是某个一次函数的图象；②一次函数y=kx+b的图象必是一条不过原点的直线；③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则此方程叫做这条直线的方程；④以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这条直线叫做此方程的直线.其中正确命题的个数是（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3。
人教B版高中数学必修二《2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率》_21
倾斜角与斜率【提出问题】在平面直角坐标系中，直线l经过点P.问题1：直线l的位置能够确定吗？提示：不能．问题2：过点P可以作与l相交的直线多少条？提示：无数条．问题3：上述问题中的所有直线有什么区别？提示：倾斜程度不同．【导入新知】1.倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.3．倾斜角与直线形状的关系对直线的倾斜角的理解(1)倾斜角定义中含有三个条件：①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度．(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.【提出问题】日常生活中，常用坡度(坡度＝升高量前进量)表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度32＞22.问题1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？提示：可以．问题2：由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？提示：可以．问题3：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？提示：与倾斜角的正切值相等．【导入新知】1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α.2．斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.当x 1＝x 2时，直线P 1P 2没有斜率．3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．【化解疑难】1．倾斜角α与斜率k 的关系(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x 轴(平行于y 轴或与y 轴重合)．(2)直线的斜率也反映了直线相对于x 轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．2．斜率公式(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是y 2－y 1，分母必须是x 2－x 1；反过来，如果分子是y 1－y 2，分母必须是x 1－x 2，即k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 2－y 1x 2－x 1.(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．【例1】(1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为() A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°(2)下列说法中，正确的是()A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tanα【解析】(1)如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°.(2)对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确，故选D.【答案】(1)D(2)D【类题通法】求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.【活学活用】1．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是()A．[0°，90°)B．[90°，180°)C．(90°，180°) D．(0°，180°)解析：选C直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是(90°，180°)．2．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α-135°C ．135°-αD.当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α-135°解析：选D 当0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角是α＋45°.当135°≤α＜180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l 1的倾斜角为α－135°，故应选D.【例2】(1)已知过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y ＝________；(2)过点P (－2，m )，Q (m,4)的直线的斜率为1，则m 的值为________；(3)已知过A (3,1)，B (m ，－2)的直线的斜率为1，则m 的值为________．【解析】(1)直线AB 的斜率k ＝tan 135°＝－1，又k ＝－3－y 2－4，由－3－y 2－4＝－1，得y ＝－5. (2)由斜率公式k ＝4－m m ＋2＝1，得m ＝1. (3)当m ＝3时，直线AB 平行于y 轴，斜率不存在．当m ≠3时，k ＝－2－1m －3＝－3m －3＝1，解得m ＝0. 【答案】(1)－5 (2)1 (3)0【类题通法】利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是“x 1≠x 2”，即直线不与x 轴垂直，因为当直线与x 轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点P 1，P 2的先后顺序无关，也就是说公式中的x 1与x 2，y 1与y 2可以同时交换位置．【活学活用】3．若直线过点 (1,2)，(4，2＋3)，则此直线的倾斜角是 ( )A ． 30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选A 设直线的倾斜角为α，直线斜率k ＝＋3－24－1＝33，∴tan α＝33. 又∵0°≤α＜180°，∴α＝30°.【例3】 已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求y x的最大值和最小值． 【解析】 如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得y x的最大值为2，最小值为23.【类题通法】根据题目中代数式的特征，看是否可以写成y 2－y 1x 2－x 1的形式，若能，则联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用图形的直观性来分析解决问题．【活学活用】4．点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，求y ＋1x ＋1的取值范围． 解：y ＋1x ＋1＝y －－x －－的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率．∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈[2,5]，∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)．∵k NA ＝53，k NB ＝－16， ∴－16≤y ＋1x ＋1≤53. ∴y ＋1x ＋1的取值范围为[－16，53]． 【典例】 已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点，则l 的倾斜角的取值范围________；直线l 的斜率k 的取值范围________．【解析】 如图，由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1，则直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，∴直线l 的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°；要使l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1.【答案】45°≤α≤135°k≤－1或k≥1【易错防范】1．本题易错误地认为－1≤k≤1，结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线P A的倾斜角之间，要特别注意，当l的倾斜角小于90°时，有k≥k PB；当l的倾斜角大于90°时，则有k≤k P A.2.如图，过点P的直线l与直线段AB相交时，因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在，而PC所在的直线与线段AB不相交，所以满足题意的斜率夹在中间，即k P A≤k≤k PB.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线是夹在中间还是在两边．。
2019-2020人教B版数学必修2 第2章 2.2 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率1．直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．思考1：如何判断点P(2,1)是否在直线y＝x－1上？[提示]把点的坐标代入方程，若满足方程，点就在直线上，反之，不在直线上．2．直线的斜率及斜率公式(1)斜率的定义一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tan α.(2)斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．(3)斜率的几何意义用实数反映了平面直角坐标系内的直线相对于x 轴正方向的倾斜程度． 3．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义①当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．②当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.(3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点及它的倾斜角．思考2：直线的斜率与倾斜角是一一对应吗？[提示] 不是，当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在．1．如图所示，直线l 的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．以上都不对C [根据倾斜角的定义知，直线l 的倾斜角为30°＋90°＝120°.]2．直线l 过点M (－3，2)，N (－2，3)，则l 的斜率为( ) A ．62 B ．1 C ．63D ． 6B [根据题意，l 的斜率为3－2－2－(－3)＝1.]3．斜率不存在的直线一定是( ) A ．过原点的直线 B ．垂直于x 轴的直线 C ．垂直于y 轴的直线D．垂直于坐标轴的直线B[只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在．]4．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，实数a的值为________．2或29[∵A、B、C三点共线，∴k AB＝k BC，即53－a＝9a＋75，∴a＝2或29.]时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°D[根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.]求直线的倾斜角的方法及两点注意1．方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．2．两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为()A．αB．180°－αC．180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－αD[如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.](1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角；(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．[思路探究](1)利用k＝y2－y1x2－x1及k＝tan α求解；(2)先求出AC、BC的斜率，进而求出k的范围．[解](1)由斜率公式得k AB＝1－11－(－1)＝0，k BC＝3＋1－12－1＝ 3.k AC＝3＋1－12－(－1)＝33.倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.又∵tan 0°＝0，∴AB的倾斜角为0°.tan 60°＝3，∴BC的倾斜角为60°.tan 30°＝33， ∴AC 的倾斜角为30°.(2)如图，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，所以k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3.1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用公式k ＝tan α(α≠90°)解决． 2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式 k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解． 3．涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用斜率公式求解．2．已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点．(1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围． [解] 如图所示，由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1，或k ≥1.(2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.1．斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1中，分子与分母的顺序是否可以互换？y 1与y 2，x 1与x 2的顺序呢？[提示] 斜率公式中分子与分母的顺序不可互换，但y 1与y 2和x 1与x 2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k ＝y 1－y 2x 1－x 2.2．你能证明A (－3，－5)，B (1,3)，C (5,11)三点在同一条直线上吗？ [提示] 能．因为A (－3，－5)，B (1,3)，C (5,11)， 所以k AB ＝3－(－5)1－(－3)＝2，k BC ＝11－35－1＝2，所以k AB ＝k BC ，且直线AB ，BC 有公共点B ， 所以A ，B ，C 这三点在同一条直线上．【例3】 已知直线l 过点M (m ＋1，m －1)，N (2m ，1)． (1)当m 为何值时，直线l 的斜率是1? (2)当m 为何值时，直线l 的倾斜角为90°？ [思路探究] 求直线的斜率⇒直线的斜率公式． [解] (1)k MN ＝m －1－1m ＋1－2m＝1，解得m ＝32.(2)l 的倾斜角为90°，即l 平行于y 轴，所以m ＋1＝2m ，得m ＝1.1．本例条件不变，试求直线l 的倾斜角为锐角时实数m 的取值范围． [解] 由题意知 ⎩⎨⎧m －1－1m ＋1－2m ＞0m －1≠1，解得1＜m ＜2.2．若将本例中的“N (2m,1)”改为“N (3m,2m )”，其他条件不变，结果如何？[解] (1)由题意知m －1－2mm ＋1－3m ＝1，解得m ＝2.(2)由题意知m ＋1＝3m ，得m ＝12.直线斜率的计算方法1．判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在． 2．若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(其中x 1≠x 2)进行计算．1．本节课的重点是理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，难点是掌握倾斜角与斜率的对应关系．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)求直线倾斜角的方法． (2)求直线斜率的方法．(3)直线的倾斜角和斜率之间的关系．3．本节课的易错点是对直线倾斜角和斜率之间的对应关系理解不够透彻而致错.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法． ( ) (2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应． ( ) (3)一个倾斜角α不能确定一条直线． ( ) (4)斜率公式与两点的顺序无关． ( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√[提示] (1)错误．除了倾斜角，还可以用斜率描述直线的倾斜程度． (2)错误．倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应．(3)正确．确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P 和一个倾斜角α.(4)正确．斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换．2．若过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y 等于( ) A ．－32 B ．32 C ．－1 D ．1 C [k AB ＝y ＋34－2＝tan 45°＝1，即y ＋32＝1，∴y ＝－1.]3．如图所示，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．k 1<k 3<k 2 [设l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图可知0<α3<α2<90°<α1<180°，所以tan α2>tan α3>0，tan α1<0，故k 1<k 3<k 2.]4．已知A (1,1)，B (3,5)，C (a,7)，D (－1，b )四点在同一条直线上，求直线的斜率k 及a ，b 的值．[解] 由题意可知k AB ＝5－13－1＝2，k AC ＝7－1a －1＝6a －1，k AD ＝b －1－1－1＝b －1－2，所以k ＝2＝6a －1＝b －1－2，解得a ＝4，b ＝－3，所以直线的斜率k ＝2，a ＝4，b ＝－3.。
人教B版高中数学必修二：2-2直线方程的概念与直线的斜率课件
（1）
y
x
o
（2）
y
x o
（3）
y
x
o
x
（4）
看一看: 视察下列直线的倾斜角
Y l
Y
Y
l
l
O
XO
XO
X
Y l
O
X
规定：当直线与x轴平行或重合时，直 线的倾斜角为0°。
②倾斜角的取值范围 00 ＜1800
直线的斜率k与倾斜角α之间的变化关系 当α=00 时，k= 0
当00＜α＜900时，k＞0 ,k值增大，倾斜角也 随着增大。 当α=900 时，k不存在
2．直线：(2a2－7a+3)x+(a2－9)y+3a2=0的
斜率为1，则实数a=
3或 2 。 3三、你学到了什么？(一 Nhomakorabea知识与技能
21、 、斜直率线公 的式 方程：k与方y程2 的y直1 线(或k y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
3、直线的倾斜角定义及其范围：0 180
4、直线的斜率几何意义：k tan (a 90 )
2 .运用上述公式计算直线AB的斜率时， 需要考虑A、B的顺序吗？
k AB
y2 x2
y1 x1
kBA
y1 y2 x1 x2
答：与A、B两点的顺序无关。
例二：求经过A(-2,0) B(-5,3) 两点的 直线的斜率
解： kAB
5 (2) 30
3 3
1
变式训练： (1): A(-2,0) B(-2,3)
(2): A(-2,3) B (-2,3)
(3): A(-2,0) B(-2+a,3)
(三)直线的倾斜角
人教B版高中数学必修二《2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率》_29
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率教学设计【教材分析】本课是解析几何第一课时，所以解析几何的基本思想和方法都应当得到适当的体现，教学内容不仅有倾斜角、斜率的概念，还应当包含坐标法、数形结合思想、解析几何发展史等.直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度，倾斜角用几何位置关系刻画，斜率从数量关系刻画，二者的联系桥梁是正切函数值，并且可以用直线上两个点的坐标表示.建立斜率公式的过程，体现了坐标法的基本思想：把几何问题代数化，通过代数运算研究几何图形的性质.本课涉及两个概念——倾斜角和斜率.倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，研究斜率、直线的平行、垂直的解析表示等问题时都要用这个概念；斜率概念，不仅其建立过程很好地体现了解析法，而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用.【学情分析】学生已经了解点与坐标的关系，实现了最简单的形与数的转化，知道刻画楼梯的倾斜程度可以用角和，学生具备了一定的数形结合和分类讨论的思想.而学生不了解对楼梯表面抽象成的直线倾斜程度刻画的推广，不知道为什么有了倾斜角，还要引入斜率来描述直线的倾斜程度，以及形的“角”和数的“率”之间的关系.【教学目标】1.结合实际倾斜程度情景（两个不同楼梯）引出表示倾斜程度的两个量：“角”和“斜率”，从而引出直线的倾斜角和斜率的定义.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法和几何方法都可刻画直线倾斜程度，理解解析几何研究问题的基本方法：几何问题代数化，更具有量化功能.3.会用代数方法求过具体两点的直线斜率，会从中推导出直线的斜率公式.4.初步体会借助于直角坐标系可以用代数的方法刻划几何元素或几何特征.5.通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育.【教学重点】重点：理解斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率公式及推导.【教学难点】难点：直角坐标系下刻画直线的倾斜程度中的几何要素“倾斜角”和代数形式“斜率”的关系.【教法选择】情景式教学、问题式教学、学生分组自主探究教学、多媒体教学【教学设计理念】本节课以数学核心素养指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会.【教学过程】【活动元一】课题引入，增强数学文化【活动元二】探究新知，形成倾斜角的和斜率的概念上移动，求yx的范围.教学过程及设计【板书设计】。
人教高中数学B版必修 直线方程的概念与直线的斜率 精讲精析
2·2 直线的方程2·2·1.直线方程的概念与直线的斜率直线方程的概念：一般的，如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线.直线的斜率：1. 坡度：是指斜坡起止点间的高度差与水平距离的比值.2. 直线的斜率：已知两点如果，那么直线PQ 的斜率为（1）当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜（2）当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜. （3）当直线的斜率为零时，直线与x 轴平行或重合x y x x y y k∆∆==--=横坐标的增量纵坐标的增量1212说明：1.如果，那么直线PQ 的斜率不存在（与x 轴垂直的直线不存在斜率）2.由直线上任意两点确定的斜率总是相等的.3.直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.当直线和轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.直线倾斜角与斜率的关系： αtan =y当直线的斜率为正时，直线的倾斜角为锐角，此时有当直线的斜率为负时，直线的倾斜角为钝角，此时有A. 任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；B. 直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；C. 平行于x 轴的直线的倾斜角是0或180°；D. 两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；E. 直线斜率的范围是（－∞，＋∞）.【解析】上述说法中，E 正确，其余均错误，原因是：A. 与x 轴垂直的直线倾斜角为90°，但斜率不存在；B.举反例说明，C. 平行于轴的直线的倾斜角为0；D. 如果两直线的倾斜角都是90°，但斜率不存在，也就谈不上相等.说明：①当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是；③倾斜角是90°的直线没有斜率.2.下列四图中，表示直线的倾斜角的是( ) 21x x =x x ααx x1800≤≤α【解析】答案：A根据倾斜角的定义来判断.。
人教新课标版数学高一B版必修2课时作业 直线方程的概念与直线的斜率
一、选择题1．经过下列两点的直线，斜率一定存在的是()A．(a,2)，(3,4)B．(m,3)，(－m,4)C．(b－3，k)，(7＋b，k－1)D．(5，x)，(y,8)【解析】斜率存在，必须要求x1≠x2，故选C.【答案】 C2．给出下列命题：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；④按照倾斜角的概念，直线倾斜角的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一映射关系．正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【解析】由倾斜角0°≤α<180°知②不对；又平行于x轴的直线的倾斜角都是0°，有无数条，∴③不对；同样的道理，④不对，只有①是正确的．【答案】 A3．已知A(a,2)，B(3，b＋1)，且直线AB的倾斜角为90°，则a，b的值为() A．a＝3，b＝1 B．a＝2，b＝2C．a＝2，b＝3 D．a＝3，b∈R且b≠1【解析】根据斜率不存在，只要两点横坐标相同即可．【答案】 D4．若图2－2－4中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则有()图2－2－4A．k1<k2<k3B．k2<k3<k1C．k1<k3<k2D．k2<k1<k3【解析】设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，由图可知α3<α2<90°<α1，故相应斜率的关系为k1<0<k3<k2.【答案】 C5．经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－1，＋∞)C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】∵直线l的倾斜角为锐角，∴斜率k＝m2－11－2>0，∴－1<m<1.【答案】 C二、填空题6．已知点A(3,4)．在坐标轴上有一点B，若k AB＝2，则B点的坐标为________．【解析】若B在x轴上，设B(a,0)，k AB＝0－4a－3＝2.∴a＝1；若B在y轴上，设B(0，b)，k AB＝b－40－3＝2.∴b＝－2.【答案】(1,0)或(0，－2)7．已知三点A(5,4)，B(3,8)，C(n，－2)共线，则n＝________. 【解析】由题意得k AB＝k AC，即8－43－5＝－2－4n－5，解得n＝8.【答案】88．△ABC的顶点坐标分别为A(－1,1)，B(1,1)，C(2，3＋1)．若D为△ABC 的边AB上一动点，则直线CD的斜率k的取值范围是________．【解析】由斜率公式得k AB＝1－11－(－1)＝0，k BC＝3＋1－12－1＝3，k AC＝3＋1－1 2－(－1)＝33.如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转．当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由k CA增大到k CB，∴k的取值范围为hslx3y3h33，333，3hslx3y3h三、解答题9．如图2－2－5所示，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．图2－2－5【解】 直线AB 的斜率k AB ＝1－2－4－3＝17；直线BC 的斜率k BC ＝－1－10－(－4)＝－24＝－12；直线CA 的斜率k CA ＝－1－20－3＝－3－3＝1.由k AB >0及k CA >0知，直线AB 与直线CA 的倾斜角均为锐角；由k BC <0知，直线BC 的倾斜角为钝角．10．在同一坐标系下，画出满足下列条件的直线： (1)直线l 1过原点，斜率为1； (2)直线l 2过点(3,0)，斜率为－23； (3)直线l 3过点(－3,0)，斜率为－23； (4)直线l 4过点(－3,0)，斜率为23.【解】 (1)设A (x 1，y 1)是直线l 1上一点，根据斜率公式有1＝y 1－0x 1－0，即x 1＝y 1，令x 1＝y 1＝1，则直线l 1过原点及点A (1,1)两点．(2)同理，设B (x 2，y 2)是直线l 2上一点，则－23＝0－y 23－x 2，即y 2＝2－23x 2，令x 2＝0，得y 2＝2，所以直线l 2过点(3,0)及点B (0,2)．(3)同理可知，直线l 3过点(－3,0)及(0，－2)． (4)同理可知，直线l 4过点(－3,0)及(0,2)．四条直线的图象如图所示．11．已知两点P(－3,4)，Q(3,2)，过点A(1,0)的直线l与线段PQ有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．【解】如图，由题意可知k PA＝4－0－3－1＝－1，k AQ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l与线段PQ有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PA与AQ的倾斜角之间，又PA的倾斜角是135°，QA的倾斜角是45°，∴倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°.。
高中数学直线的方程直线方程的概念与直线的斜率直线方程的几种形式知识导学案新人教B版必修
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率2.2.2 直线方程的几种形式知识梳理1.直线的倾斜角和斜率 (1)倾斜角α:当直线l 与x 轴相交时，x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和l 重合时所转过的最小角,即为α；当直线l 与x 轴平行或重合时，规定α=0，故α的取值范围是0≤α＜π. (2)斜率k:k=tanα，当α=0时，k=0；当0＜α＜2π时，k ＞0；当α=2π时，k 不存在；当α＞2π时，k ＜０.(3)两点斜率公式——直线方向坐标化:已知直线上两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则直线的斜率k=1212x x y y --(x 1≠x 2).直线方程都是关于x 、y 的一次方程，关于x 、y 的一次方程都表示直线，选用点斜式、斜截式、两点式求直线方程时，要考虑特殊情况下的特殊方程(坐标轴所在直线或垂直于坐标轴的直线或经过原点的直线). 平行于x 轴的直线方程为y=a;平行于y 轴的直线方程为x=b(平行于y 轴的直线的斜率不存在); 过原点的直线方程为y=kx; x 轴的方程是y=0;y 轴的方程是x=0(y 轴的斜率不存在). 知识导学要学好本节内容，应突破已知直线的斜率求直线倾斜角的难点,主要在于对直线倾斜角范围的认识,特别是斜率为负值且不是特殊角的情况,要注意钝角和负角的区别.根据直线的斜率取值范围求倾斜角的取值范围也是本节的难点,特别是斜率既有负值又有正值的情况是比较容易混淆的,这类问题可以结合正切函数的图象写出结果.根据实际问题认清直线方程的五种形式各有自己的特点,解题时作出灵活选择与判断.实际上,我们用的最多的还是点斜式和斜截式的方程,在设出这些方程的时候一定要根据实际的图形来判断斜率不存在的情况,在使用截距式方程时还要讨论过原点的情况,特别是在问题中出现“在两坐标轴上的截距(或者截距的绝对值)相等”这一类的问题. 已知斜率的范围求倾斜角的范围的记忆口诀:斜率有正负,图象来定位. 疑难突破1.方程y=kx+b(k≠0)能表示所有直线吗？剖析:方程y=kx+b(k≠0)是直线方程的一种形式——斜截式，由于直线按斜率分类可以分为两类：一类是存在斜率的直线，另一类是不存在斜率的直线.故方程y=kx+b(k≠0)只能表示斜率存在的直线，而斜率不存在的直线用方程y=kx+b(k≠0)是不能表示的.所以方程y=kx+b(k≠0)不能表示所有的直线.由方程y=kx+b(k≠0)不能表示所有的直线，我们可以得出一般性的结论：平面直角坐标系中，凡是根据直线的斜率推导出来的直线方程都不能表示所有的直线.如：点斜式、斜截式、两点式、截距式都不能表示所有直线.2.在二元一次方程Ax+By+C=0(A 、B 不同时为零)中有三个不同参数A 、B 、C,为什么可由两个独立条件确定一条直线？剖析:根据等式的基本性质：在等式两边同时乘以(或除以)一个非零的数(或式子)，等式仍然成立.由于在二元一次方程Ax+By+C=0(A 、B 不同时为零)中已经给出了一个已知条件“A、B 不同时为零”，所以从形式上看有三个不同参数，而实际上我们可以把它转化成只含有两个不同参数的方程，即在方程Ax+By+C=0的两边同时除以A(或B)，则原方程可转化为x+A B y+A C =0(或B A x+y+BC=0),也就是说，在二元一次方程Ax+By+C=0(A 、B 不同时为零)中,形式上尽管有三个不同参数A 、B 、C,但却可由其中的两个独立条件确定一条直线. 根据条件“A、B 不同时为零”进行分类讨论：(1)当A=0，B≠0时，方程Ax+By+C=0即为By+C=0，也就是y=-BC，这是一条与x 轴平行或重合的直线，当然可以由两个独立条件确定.(2)当B=0，A≠0时，方程Ax+By+C=0即为Ax+C=0，也就是x=-AC，这是一条与y 轴平行或重合的直线，当然可以由两个独立条件确定. (3)当A≠0且B≠0时，方程Ax+By+C=0可转化为x+A B y+A C =0(或B A x+y+BC=0),即原方程可转化为只含有两个待定系数的方程.当然可以由两个独立条件确定.3.利用斜率相等你可以得到哪些结论？ 剖析:斜率公式的应用非常广泛，在利用斜率公式时应注意：(1)直线的倾斜角和斜率是直线本身的属性，它们重视与三角函数的渗透和对字母参数的讨论;(2)斜率与倾斜角是数与形的有机结合.不同的两条直线斜率相等时,它们的倾斜角也相等，所以这两条直线平行.在三点两两相连确定的直线中，如果经过同一点的两直线斜率相等，则这三点共线. 4.研究直线的方程的基础是什么？在学习直线的斜率公式k=1212x x y y --(x 1≠x 2)时需要注意什么？剖析:斜率公式表明直线对于x 轴的倾斜程度,可以通过直线上任意两点的坐标表示，而不需求出直线的倾斜角，因而使用比较方便.斜率(公式)是研究直线方程的各种形式的基础，必须熟记并灵活运用.斜率公式与选取两点的顺序与位置无关.当x 1≠x 2,即直线的倾斜角不为90°时，斜率公式才成立；当x 1=x 2时，倾斜角α=2，而没有斜率，故斜率公式不成立.。
数学人教B必修2学案：例题与探究 2-2-1+2直线方程的概
典题精讲例1 已知三点A(1，-1)、B(3，3)、C(4，5)，求证:A 、B 、C 三点共线.思路分析：如果三点在一条直线上，那么任取两点得到的斜率应该是相同的(都是这条直线的斜率).证法一:利用斜率公式. ∵k AB =1313-+=2，k AC =1415-+=2,∴k AB =k AC . ∴A 、B 、C 三点共线.证法二:利用直线方程. 设AB:y=kx+b ，则⎩⎨⎧+=+=-,33,1b k b k ∴⎩⎨⎧-==.3,2b k∴直线AB 的方程为y=2x-3. 当x=4时，y=2×4-3=5，故点C(4，5)在AB 上.∴A 、B 、C 三点共线.绿色通道：判定三个点在一条直线上，通常有下面几种方法:一是任取两点得到的直线斜率是相同的；二是过任两点直线的方程是相同的；三是根据两点求出直线方程，判定第三点在这条直线上.显然第一种方法最简单.变式训练1若三点A(2，2)、B(a,0)、C(0,4)共线，则a 的值等于_______________. 思路解析:因为k AB =220--a ，k BC =a--004，又因为三点A 、B 、C 共线，所以k AB =k BC ，即220--a =a--004，解得a=4. 答案:4例2 设过定点A 的直线l 1的倾斜角为α.现将直线l 1绕点A 按逆时针方向旋转45°得到直线l 2,设直线l 2的倾斜角为β,请用α表示β的值. 思路解析：先画出示意图,根据图形求解.答案：画出如图2-2-(1,2)-1的示意图,从图中可得图2-2-(1,2)-1当0°≤α＜135°时,β=α+45°； 当135°≤α＜180°时,β=α+45°-180°=α-135°.黑色陷阱：解答本题时,一些同学容易误解为β=α+45°.事实上,由于直线的倾斜角的范围为0°≤α＜180°,故当135°≤α＜180°时,180°≤α+45°＜225°.故作为直线的倾斜角应减去180°.所以解决该类问题决不能想当然地加或减去某个角.变式训练2 如图2-2-(1,2)-2，直线l 1的倾斜角α1=30°，直线l 1⊥l 2，求l 1、l 2的斜率.图2-2-(1,2)-2解：l 1的斜率k 1=tanα1=tan30°=33，∵l 2的倾斜角α2=90°+30°=120°， ∴l 2的斜率k 2=tan120°=tan(180°-60°)=-tan60°=3-.例3设直线l 的方程为(m 2-2m-3)x+(2m 2+m-1)y=2m-6，若直线在x 轴上的截距是-3，试确定m 的值.思路分析：要熟悉直线方程的一般形式与其他形式间的联系.记清特殊形式的直线方程与一般方程的直线形式的转化条件.解：令y=0，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧-=---≠--)2(,33262)1(,03222m m m m m由①式，得m≠3且m≠-1.由②式，得3m 2-4m-15=0， 解得m=3或m=53-.因为m≠3，所以m=53-. 绿色通道：掌握截距的概念，如本题求直线在x 轴上的截距，只需令y=0，就可解得.要注意“或”与“且”两字的区别.如本题中的不等式m 2-2m-3≠0的解是m≠3且m≠-1；而方程3m 2-4m-15=0的解是m=3或m=53-. 变式训练3已知直线ax+by+c=0的图形如图2-2-(1,2)-3，则()图2-2-(1,2)-3A.若c ＞0，则a ＞0，b ＞0B.若c ＞0，则a ＜0，b ＞0C.若c ＜0，则a ＞0，b ＜0D.若c ＜0，则a ＞0，b ＞0思路解析：∵直线ax+by+c=0的斜率k=ba-＜0， ∴ab ＞0.又∵直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a c -与bc-，∴a c -＞0，bc-＞0.∴ac ＜0，bc ＜0.若c ＞0，则a ＜0，b ＜0；若c ＜0，则a ＞0，b ＞0.选D.答案:D例4求直线2x+(3k-1)y+k-1=0在x 、y 轴上的截距. 思路分析：按照截距的定义求解,即在方程中令y=0,则x 的取值即为直线在x 轴上的截距;令x=0,则y 的取值即为直线在y 轴上的截距.解:令y=0,则x=21k -,于是直线在x 轴上的截距为21k-； 令x=0,则(3k-1)y+k-1=0,于是直线在y 轴上的截距为131--k k；当k=31时,直线在y 轴上的截距不存在.黑色陷阱：解答本题时,容易忽视对y 轴截距是否存在的讨论，即忽视了k=31的情形而造成错解.事实上，当k=31时，分式131--k k 无意义，此时的直线在y 轴上的截距不存在. 变式训练4一条直线经过点M(2,3),则在两坐标轴上的截距相等的直线方程是____________.思路解析：设直线在两轴上的截距均为a. 若a=0,则所求直线方程为3x-2y=0； 若a≠0,则同上可求得直线方程为x+y=5. 答案:3x-2y=0或x+y=5 问题探究问题1 常见的对称问题有哪些？具体的处理方法如何？导思:对称问题包括以下四类：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称；直线关于直线的对称.也可归结为中心对称和轴对称两类，而这两类问题最终都可归结为点的对称问题.若点P 1与P 2关于点M 对称，则点M 是P 1、P 2的中点.若已知其中任何两个点的坐标，都可以根据中点坐标公式求出另外一个点的坐标.若点P 1与P 2关于直线l 对称，则直线l 是线段P 1P 2的中垂线，它应同时满足两个条件，即P 1、P 2的中点在直线l 上，且P 1P 2的连线与l 垂直，也就是说，P 1P 2的中点坐标满足直线l 的方程，且P 1P 2连线的斜率与直线l 的斜率互为倒数.曲线是由点组成的，曲线关于点或直线的对称实质上就是点关于点或直线的对称.探究：常见的对称问题有点关于点、点关于直线的对称问题以及曲线(含直线)关于点、曲线(含直线)关于直线的对称问题.具体的处理方法如下： (1)点P(x 0,y 0)关于点M(a,b)的对称点为P(2a-x 0,2b-y 0);(2)点P(a,b)不在直线l ：Ax+By+C=0上，P 关于直线l 的对称点为P′(x,y)的求法：因为PP′中点M(2,200y b x a ++)在l 上,PP′⊥l,所以由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-∙--=++∙++∙,1)(,0220000B A ax b y C y b B x a A 可解出P′(x 0,y 0).(3)几种特殊对称：点(a,b)关于x 轴的对称点为(a,-b);点(a,b)关于y 轴的对称点为(-a,b);点(a,b)关于y=x 的对称点为(b,a);点(a,b)关于y=-x 的对称点为(-b,-a);点(a,b)关于x+y=t 的对称点为(t-b,t-a);点(a,b)关于x-y=m 的对称点为(m+b,a-m).(4)“曲线关于点对称”问题可用“点关于点对称”的方法解决；“曲线关于直线对称”问题可转化为“点关于直线对称”问题来解决.问题2一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的方程叫做直线系方程.直线系方程中除含变量x 、y 以外，还可以根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数.由于参数取向不同，就得到不同的直线系.你能试举出一些直线系的例子吗?导思:应用直线系解题，是指把待求的直线看成满足某种条件的直线的集合中的元素，再利用其他条件确定参数的值，是整体思想的具体运用.利用直线系解题可简化运算、提高解题效率、降低难度.直线系y=kx+b 中，若b 为常数，它表示过定点(0,b)的直线系；若k 为常数，它表示平行线系.平行线系关注的是斜率相等，垂直关注的是斜率互为负倒数.设出相关的直线系方程后，要明确直线系中参数是谁.对于过两直线交点的直线系方程，求交点坐标时，可先把方程转化成f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0的形式，再解方程组⎩⎨⎧==0),(,0),(21y x f y x f 求交点；也可赋予参数两个具体的值，将得到的两个方程联立方程组求交点坐标.探究：几种常见的直线系： (1)过定点的直线系直线y=kx+b(其中k 为参数，b 为常数)，它表示过定点(0，b)的直线系，但不包括y 轴(即x=0). 经过定点M(x 0，y 0)的直线系y-y 0=k(x-x 0)(k 为参数)，它表示经过定点(x 0，y 0)的直线系，但不包括平行于y 轴的那一条(即x=x 0). (2)已知斜率的直线系y=kx+b(k 为常数，b 为参数)， 它表示斜率为k 的平行直线系. 若已知直线l ：Ax+By+C=0，与l 平行的直线系为Ax+By+m=0(m 为参数,且m≠C). 若已知直线l ：Ax+By+C=0，与l 垂直的直线系为Bx-Ay+n=0(n 为参数). (3)经过两条直线交点的直线系经过两直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0(A 12+B 12≠0)与l 2：A 2x+B 2y+C 2=0(A 22+B 22≠0)交点的直线系为m(A 1x+B 1y+C 1)+n(A 2x+B 2y+C 2)=0(其中m 、n 为参数，m 2+n 2≠0). 当m=1，n=0时，方程即为l 1的方程； 当m=0，n=1时，方程即为l 2的方程.上面的直线系可改写成(A 1x+B 1y+C 1)+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0(其中λ为实数).但是，方程中不包括直线l 2，这个形式的直线系方程在解题中常见.。
人教新课标版数学高一B版必修2课时作业 直线方程的几种形式
一、选择题1．直线x－3y＋1＝0的斜率为()A.33B．－33C.3D．－ 3【解析】直线的斜率为－1－3＝33.【答案】 A2．过点M(－4,3)和N(－2,1)的直线方程是() A．x－y＋3＝0B．x＋y＋1＝0C．x－y－1＝0D．x＋y－3＝0【解析】由两点式得y－31－3＝x－(－4)－2－(－4)，整理得x＋y＋1＝0.【答案】 B3．(2013·衡水高一检测)经过点P(1,2)，并且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条【解析】先考虑过P(1,2)和原点(0,0)的直线，这是第一条，再设直线xa ＋y b＝1，把点P(1,2)代入得1a ＋2b＝1，当a＝b时即a＝b＝3时的直线为第二条，当a＝－b时，即a＝－1，b＝1时为第三条．【答案】 C4．下列说法中正确的是()A.y－y1x－x1＝k表示过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线方程B．直线y＝kx＋b与y轴交于一点B(0，b)，其中截距b＝|OB|C．在x轴和y轴上截距分别为a与b的直线的方程为xa＋yb＝1 D．方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示过任意两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线【解析】A中直线上需去掉点(x1，y1)，故A错；B中b是直线与y轴交点的纵坐标，不一定等于|OB|，故B错；C中a，b均不取零时，才有直线方程xa＋yb＝1，故C错，D正确．【答案】 D5．若AC<0，BC<0，则直线Ax＋By＋C＝0不通过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】将Ax＋By＋C＝0化为斜截式为y＝－AB x－CB，∵AC<0，BC<0，∴AB>0，∴k<0，b>0.故直线不通过第三象限，选C.【答案】 C二、填空题6．过点P(1,2)，且斜率与直线y＝－2x＋3的斜率相等的直线方程为________．【解析】∵直线y＝－2x＋3的斜率k＝－2，∴所求直线方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.【答案】2x＋y－4＝07．直线x－y＋1＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为________．【解析】直线x－y＋1＝0在两坐标轴上的截距分别为－1,1，故S△＝12×|－1|×|1|＝12.【答案】1 28．(2013·郑州高一检测)过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式是________．【解析】设A(m,0)，B(0，n)，由P(1,3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，即A、B的坐标分别为(2,0)、(0,6)．则l的方程为x2＋y6＝1.【答案】x2＋y6＝1三、解答题9．根据下列所给条件，求直线的方程．(1)过点A(1,2)，斜率k＝2；(2)经过点B(2，－1)和C(－1,3)；(3)斜率为23，在y轴上截距为12；(4)在x轴、y轴上截距分别为－1和3；(5)经过点M(－1，－2)和N(－1,3)．【解】(1)由直线方程的点斜式得y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.(2)由直线方程的两点式得y＋13＋1＝x－2－1－2，即4x＋3y－5＝0.或先求经过B、C两点的直线的斜率k＝3＋1－1－2＝－43，由直线方程的点斜式得y＋1＝－43(x－2)，即4x＋3y－5＝0.(3)由直线方程的斜截式可得y＝23x＋12，即4x－6y＋3＝0.(4)由直线方程的截距式得x－1＋y3＝1，即3x－y＋3＝0.(5)∵M，N两点横坐标都是－1，∴直线MN的方程为x＝－1，即x＋1＝0.10．已知直线l过点P(－2,0)，直线l与坐标轴围成的三角形的面积为10，求直线l的方程．【解】设直线l在y轴上的截距为b，则由已知得12×|－2|×|b|＝10，b＝±10.①当b＝10时，直线过点(－2,0)，(0,10)，斜率k＝10－00－(－2)＝5.∴直线的斜截式方程为y＝5x＋10.②当b＝－10时，直线过点(－2,0)，(0，－10)，斜率k＝－10－00－(－2)＝－5.∴直线的斜截式方程为y＝－5x－10.综合①②可知直线l的方程为y＝5x＋10或y＝－5x－10.11．设直线l的方程为(m＋1)x＋y＋2－m＝0(m∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)若直线l不经过第二象限，求实数m的取值范围．【解】(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，显然相等，所以m＝2满足条件，此时直线l的方程为3x＋y＝0.当m ＝－1时，直线为平行于x 轴的直线，在x 轴上无截距，不合题意． 当m ≠－1且m ≠2时，直线在x 轴上的截距为m －2m ＋1，直线在y 轴上的截距为m －2，因此m －2m ＋1＝m －2，即m ＋1＝1，所以m ＝0，此时直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上所述，当m ＝2或m ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等，方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程转化为y ＝－(m ＋1)x ＋m －2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－(m ＋1)>0，m －2≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧－(m ＋1)＝0，m －2≤0，所以m ≤－1，所以m 的取值范围为(－∞，－1hslx3y3h.。
人教B版高中数学必修二《2.2.1直线方程的概念与直线的斜率》0
第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率（1）教课方案“直线的倾斜角与斜率”是人教版数学必修2第三章第一节的内容，是高中分析几何内容的开始。
这节课学习的内容是直线在平面直角坐标系下的倾斜角和斜率。
其核心内容是直线倾斜角的看法和斜率的求法，理解它的要点是在平面直角坐标系中直线向上的方向与X轴正方向所成的角和角的正切值。
以前学生已经学过一次函数的图像和平面中两点能够确立一条直线，这节内容就是刻画直线倾斜程度的几何因素与代数表示，是平一．教材剖析面直角坐标系内以坐标法（分析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线地点关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。
经过该内容的学习，帮助学生初步认识直角坐标平面内几何因素代数化的过程，浸透分析几何的基本思想和基本研究方法。
直线的斜率是后继内容睁开的主线，不论是成立直线的方程，仍是研究两条直线的地点关系，以及议论直线与二次曲线的地点关系，直线的斜率都发挥侧重要作用。
讲课班级中，少部分学生学习能力较好，大多数学生数学基础一般，还有部分学生数学基础很差。
但在初中时，学生已经接触过直线：平面内，两二．学情剖析点确立一条直线；一次函数的图象是不与x轴，y轴平行或重合的直线。
同时他们也接触过坡度的看法。
这些就为倾斜角和斜率看法的得出打下了基础。
1.知识与技术：（1）正确理解直线的倾斜角和斜率看法，会求出直线的倾斜角和直线的斜率（2）掌握过两点的直线的斜率公式。
2.过程与方法：经过直线倾斜角看法的引入和直线倾斜角和斜率关系的揭露，培育学三．教课目的生察看、研究能力，运用数学表达能力，数学沟通与评论能力。
3.态度感情与价值观：经过斜率看法的成立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形联合思想，培育学生建立辩证一致的看法，培育学生形成谨慎的科学态度。
要点：抽象归纳直线的倾斜角和斜率看法，研究发现过两点的直线四．教课要点与的斜率公式。
难点难点：倾斜角看法形成，斜率看法的理解。
五．教课手段多媒体教课六．教课方法师生互动、指引学生主动发现研究、讲练联合初中时我们知道确立一条直线的方法是：两点确立一条直线。
人教B版高中数学必修二《2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率》_3
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率学习目标1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.(重点)2.理解直线斜率的几何意义；掌握倾斜角与斜率的对应关系.(重点)3.掌握过两点的直线的斜率公式.(重点)4.直线倾斜角与斜率的对应关系在解题中的应用.(难点)基础·初探教材整理1直线方程的概念的，那么这个方程叫做，这条直线叫做.预习自测1.如何判断点P(2,1)是否在直线y＝x－1上？教材整理2直线的斜率及斜率公式1.斜率的定义一条直线的倾斜角α的值叫做这条直线的斜率.常用小写字母k表示，即k＝.2.斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率.3.斜率的几何意义用实数反映了平面直角坐标系内的直线相对于x轴正方向的.预习自测2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法.()(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.()(3)一个倾斜角α不能确定一条直线.()(4)斜率公式与两点的顺序无关.()教材整理3直线的倾斜角1.倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为.2.倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为.3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个及它的. 预习自测3.如图所示，直线l的倾斜角为()A.30°B.60°C.120°D.以上都不对合作学习类型1 直线的倾斜角例1已知直线l过原点，l绕原点按顺时针方向转动α角(0°<α<180°)后，恰好与y轴重合，求直线l转动前的倾斜角是多少？名师指津1.解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.2.求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.跟踪训练1.设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A.α＋45°B.α－135°C.135°－αD.当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°类型2 直线的斜率例2已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，3＋1).(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角；(2)若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化范围. 名师指津1.由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决.2.由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解.3.涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用斜率公式求解. 跟踪训练2.已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点. (1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围.探究共研型探究点 斜率公式的应用斜率公式的应用探究1 斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1中，分子与分母的顺序是否可以互换？y 1与y 2，x 1与x 2的顺序呢？探究2 你能证明A (－3，－5)，B (1,3)，C (5,11)三点在同一条直线上吗？例3 已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)，试求y ＋3x ＋2的最大值和最小值.名师指津斜率公式的应用1.证明三点共线：只需证此三点中任意两点确定的斜率相等(斜率存在).2.求代数式y －bx －a的最值或范围问题：由斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1的形式，可知y －bx －a 的几何意义是过P (x ，y )与P ′(a ，b )两点的直线的斜率，故可以利用数形结合来求解. 跟踪训练3.已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值.课堂检测1.斜率不存在的直线一定是( ) A.过原点的直线 B.垂直于x 轴的直线 C.垂直于y 轴的直线 D.垂直于坐标轴的直线2.若过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y 等于( ) A.－32B.32C.－1D.13.光线从点A (－2，3)射到x 轴上的B 点后，被x 轴反射，这时反射光线恰好过点C (1,23)，则光线BC 所在直线的倾斜角为________.4.如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为________.5.已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值.参考答案基础·初探教材整理1直线方程的概念某条直线上解这条直线的方程这个方程的直线预习自测1. 解：把点的坐标代入方程，若满足方程，点就在直线上，反之，不在直线上.教材整理2直线的斜率及斜率公式1.正切 tan α2.y 2－y 1x 2－x 13.倾斜程度 预习自测2. 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√【解析】 (1)错误.除了倾斜角，还可以用斜率描述直线的倾斜程度. (2)错误.倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应.(3)正确.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P 和一个倾斜角α. (4)正确.斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换. 教材整理3 直线的倾斜角 1.(1)正方向 (2)0° 2. 0°≤α<180° 3.定点 倾斜角 预习自测 3. 【答案】 C【解析】 根据倾斜角的定义知，直线l 的倾斜角为30°＋90°＝120°. 合作学习类型1 直线的倾斜角 例1 解：由题意画出如下草图由图可知：当α为钝角时，倾斜角为α－90°， 当α为锐角时，倾斜角为α＋90°， 当α为直角时，倾斜角为0°.综上，直线l 转动前的倾斜角为⎩⎪⎨⎪⎧α＋α，α－α跟踪训练 1. 【答案】 D【解析】 根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A ，B ，C 未分类讨论，均不全面， 不合题意.通过画图(如图所示)可知： 当0°≤α<135°时，l 1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l 1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D. 类型2 直线的斜率 例2 解：(1)由斜率公式得 k AB ＝1－11－(－1)＝0，k BC ＝3＋1－12－1＝ 3.k AC ＝3＋1－12－(－1)＝33. 倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 又∵tan 0°＝0， ∴AB 的倾斜角为0°. tan 60°＝3， ∴BC 的倾斜角为60°. tan 30°＝33， ∴AC 的倾斜角为30°.(2)如图，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，所以k 的取值范围为⎣⎡⎦⎤33，3.跟踪训练2.解：如图所示，由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1，或k ≥1. (2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.探究共研型探究1 【答案】 斜率公式中分子与分母的顺序不可互换，但y 1与y 2和x 1与x 2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k ＝y 1－y 2x 1－x 2.探究2 【答案】 能.因为A (－3，－5)，B (1,3)，C (5,11)， 所以k AB ＝3－(－5)1－(－3)＝2，k BC ＝11－35－1＝2，所以k AB ＝k BC ，且直线AB ，BC 有公共点B ， 所以A ，B ，C 这三点在同一条直线上.例3 解：由y ＋3x ＋2的几何意义可知，它表示经过定点P (－2，－3)与曲线段AB 上任一点(x ，y )的直线的斜率k ，由图可知k P A ≤k ≤k PB ，由已知可得A (1,1)，B (－1,5).则k P A ＝1－(－3)1－(－2)＝43，k PB ＝5－(－3)－1－(－2)＝8.∴43≤k ≤8，∴y ＋3x ＋2的最大值为8，最小值为43. 跟踪训练3.解：如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为(2,4)，(3,2).由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得y x 的最大值为2，最小值为23.课堂检测 1. 【答案】 B【解析】 只有直线垂直于x 轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在. 2. 【答案】 C【解析】 k AB ＝y ＋34－2＝tan 45°＝1，即y ＋32＝1，∴y ＝－1.3. 【答案】 60°【解析】 A (－2，3)关于x 轴的对称点为A ′(－2，－3)， 由物理知识知k BC ＝k A ′C ＝23－(－3)1－(－2)＝3，所以所求倾斜角为60°. 4. 【答案】 k 1<k 3<k 2【解析】 设l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图可知0<α3<α2<90°<α1<180°， 所以tan α2>tan α3>0，tan α1<0，故k 1<k 3<k 2. 5.解：由题意可知k AB ＝5－13－1＝2，k AC ＝7－1a －1＝6a －1，k AD ＝b －1－1－1＝b －1－2， 所以k ＝2＝6a －1＝b －1－2，解得a ＝4，b ＝－3，所以直线的斜率k ＝2，a ＝4，b ＝－3.。
人教新课标版数学高一-人教B版必修2课时作业 2-2- 1 直线方程的概念与直线的斜率
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率一、选择题1．有下列命题：①若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；②若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应；③坐标平面上所有的直线都有倾斜角；④坐标平面上所有的直线都有斜率．其中错误的是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④D当直线的倾斜角为90°时，其斜率不存在，故②、④错．2．直线l 经过原点和点(－1，－1)，则它的倾斜角是( )A ．45°B ．135°C ．135°或225°D ．0°A由斜率公式得直线l 的斜率k ＝0－(－1)0－(－1)＝1，故倾斜角为45°.3．直线y ＝kx ＋b ，当k >0，b <0时，此直线不经过的象限是() A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．以上都不是B由k >0知，直线的倾斜角为锐角，由b <0知，直线过y 轴负半轴上点(0，b )，∴直线不经过第二象限．4．若A (－2,3)、B (3，－2)、C (12，m )三点共线，则m 值为() A ．－2 B ．2C ．－12 D.12D解法一：k AB ＝－2－33－(－2)＝－1， k AC ＝m －312－(－2)＝k AB ＝－1， 解得m ＝12， 解法二：可用两点间距离求解|AC |＋|CB |＝|AB |.(注意三点横坐标从左至右依次为A 、C 、B )5．点(1,3)、(5,7)和(10,12)的位置关系是( )A ．在同一条直线上B ．三点间的距离两两相等C ．三点连线组成一个直角三角形D ．三点连线组成一个等边三角形A由任意两点连线斜率相等可得．6．斜率为2的直线过(3,5)、(a,7)、(－1，b )三点，则a ＋b 等于( )A ．4B ．－7C ．1D ．－1 C由题意，得2＝7－5a －3＝b －5－1－3， ∴a ＝4，b ＝－3，∴a ＋b ＝1.7．过M (－2，m )，N (m,4)的直线的倾斜角为90°，则m 的值为( )A ．－2B ．4C ．2D ．－4 A8．若直线l 经过二、四象限，则直线l 的倾斜角的范围是( )A ．90°，180°)C ．(90°，180°)D ．答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析解析解析解析解析(1)由2x ＋3y ＋6＝0，得3y ＝－2x －6，即y ＝－23x －2.(2)当x ＝0时，y ＝－2，y ＝0时，x ＝－3，∴在坐标平面内作出两点，即A (0，－2)、B (－3,0)．作出直线AB 即为方程2x ＋3y ＋6＝0的直线l .(3)将⎝⎛⎭⎫32，1的坐标代入2x ＋3y ＋6＝0不满足，∴点⎝⎛⎭⎫32，1不在直线l 上．(4)虽然以方程2x ＋3y ＋6＝0(x ∈Z )的解为坐标的点都在直线l 上，但直线l 上的点的坐标不都是该方程的解，如点C ⎝⎛⎭⎫－32，－1∈l ，但⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－32y ＝－1，却不是该方程的解． ∴方程2x ＋3y ＋6＝0(x ∈Z )不是直线l 的方程，直线l 也不是方程2x ＋3y ＋6＝0的直线．。
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典题精讲例1 已知三点A(1，-1)、B(3，3)、C(4，5)，求证:A 、B 、C 三点共线.思路分析：如果三点在一条直线上，那么任取两点得到的斜率应该是相同的(都是这条直线的斜率).证法一:利用斜率公式.∵k AB =1313-+=2，k AC =1415-+=2,∴k AB =k AC . ∴A 、B 、C 三点共线.证法二:利用直线方程.设AB:y=kx+b ，则⎩⎨⎧+=+=-,33,1b k b k ∴⎩⎨⎧-==.3,2b k ∴直线AB 的方程为y=2x-3.当x=4时，y=2×4-3=5，故点C(4，5)在AB 上.∴A 、B 、C 三点共线.绿色通道：判定三个点在一条直线上，通常有下面几种方法:一是任取两点得到的直线斜率是相同的；二是过任两点直线的方程是相同的；三是根据两点求出直线方程，判定第三点在这条直线上.显然第一种方法最简单.变式训练1若三点A(2，2)、B(a,0)、C(0,4)共线，则a 的值等于_______________.思路解析:因为k AB =220--a ，k BC =a--004，又因为三点A 、B 、C 共线，所以k AB =k BC ，即220--a =a--004，解得a=4. 答案:4例2 设过定点A 的直线l 1的倾斜角为α.现将直线l 1绕点A 按逆时针方向旋转45°得到直线l 2,设直线l 2的倾斜角为β,请用α表示β的值.思路解析：先画出示意图,根据图形求解.答案：画出如图2-2-(1,2)-1的示意图,从图中可得图2-2-(1,2)-1当0°≤α＜135°时,β=α+45°；当135°≤α＜180°时,β=α+45°-180°=α-135°.黑色陷阱：解答本题时,一些同学容易误解为β=α+45°.事实上,由于直线的倾斜角的范围为0°≤α＜180°,故当135°≤α＜180°时,180°≤α+45°＜225°.故作为直线的倾斜角应减去180°.所以解决该类问题决不能想当然地加或减去某个角.变式训练2 如图2-2-(1,2)-2，直线l 1的倾斜角α1=30°，直线l 1⊥l 2，求l 1、l 2的斜率.图2-2-(1,2)-2解：l1的斜率k1=tanα1=tan30°=33，∵l2的倾斜角α2=90°+30°=120°，∴l2的斜率k2=tan120°=tan(180°-60°)=-tan60°=3-.例3设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6，若直线在x轴上的截距是-3，试确定m的值.思路分析：要熟悉直线方程的一般形式与其他形式间的联系.记清特殊形式的直线方程与一般方程的直线形式的转化条件.解：令y=0，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧-=---≠--)2(,33262)1(,03222mmmmm由①式，得m≠3且m≠-1.由②式，得3m2-4m-15=0，解得m=3或m=53-.因为m≠3，所以m=53-.绿色通道：掌握截距的概念，如本题求直线在x轴上的截距，只需令y=0，就可解得.要注意“或”与“且”两字的区别.如本题中的不等式m2-2m-3≠0的解是m≠3且m≠-1；而方程3m2-4m-15=0的解是m=3或m=53-.变式训练3已知直线ax+by+c=0的图形如图2-2-(1,2)-3，则( )图2-2-(1,2)-3A.若c＞0，则a＞0，b＞0B.若c＞0，则a＜0，b＞0C.若c＜0，则a＞0，b＜0D.若c＜0，则a＞0，b＞0思路解析：∵直线ax+by+c=0的斜率k=ba-＜0，∴ab＞0.又∵直线在x轴、y轴上的截距分别为ac-与bc-，∴ac-＞0，bc-＞0.∴ac＜0，bc＜0.若c＞0，则a＜0，b＜0；若c＜0，则a＞0，b＞0.选D.答案:D例4求直线2x+(3k-1)y+k-1=0在x 、y 轴上的截距.思路分析：按照截距的定义求解,即在方程中令y=0,则x 的取值即为直线在x 轴上的截距;令x=0,则y 的取值即为直线在y 轴上的截距.解:令y=0,则x=21k -,于是直线在x 轴上的截距为21k -； 令x=0,则(3k-1)y+k-1=0,于是直线在y 轴上的截距为131--k k ； 当k=31时,直线在y 轴上的截距不存在. 黑色陷阱：解答本题时,容易忽视对y 轴截距是否存在的讨论，即忽视了k=31的情形而造成错解.事实上，当k=31时，分式131--k k 无意义，此时的直线在y 轴上的截距不存在. 变式训练4一条直线经过点M(2,3),则在两坐标轴上的截距相等的直线方程是____________. 思路解析：设直线在两轴上的截距均为a.若a=0,则所求直线方程为3x-2y=0；若a≠0,则同上可求得直线方程为x+y=5.答案:3x-2y=0或x+y=5问题探究问题1 常见的对称问题有哪些？具体的处理方法如何？导思:对称问题包括以下四类：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称；直线关于直线的对称.也可归结为中心对称和轴对称两类，而这两类问题最终都可归结为点的对称问题.若点P 1与P 2关于点M 对称，则点M 是P 1、P 2的中点.若已知其中任何两个点的坐标，都可以根据中点坐标公式求出另外一个点的坐标.若点P 1与P 2关于直线l 对称，则直线l 是线段P 1P 2的中垂线，它应同时满足两个条件，即P 1、P 2的中点在直线l 上，且P 1P 2的连线与l 垂直，也就是说，P 1P 2的中点坐标满足直线l 的方程，且P 1P 2连线的斜率与直线l 的斜率互为倒数.曲线是由点组成的，曲线关于点或直线的对称实质上就是点关于点或直线的对称.探究：常见的对称问题有点关于点、点关于直线的对称问题以及曲线(含直线)关于点、曲线(含直线)关于直线的对称问题.具体的处理方法如下：(1)点P(x 0,y 0)关于点M(a,b)的对称点为P(2a-x 0,2b-y 0);(2)点P(a,b)不在直线l ：Ax+By+C=0上，P 关于直线l 的对称点为P′(x,y)的求法：因为PP′中点M(2,200y b x a ++)在l 上,PP′⊥l,所以由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-•--=++•++•,1)(,0220000B A ax b y C y b B x a A 可解出P′(x 0,y 0).(3)几种特殊对称：点(a,b)关于x 轴的对称点为(a,-b);点(a,b)关于y 轴的对称点为(-a,b);点(a,b)关于y=x 的对称点为(b,a);点(a,b)关于y=-x 的对称点为(-b,-a);点(a,b)关于x+y=t 的对称点为(t-b,t-a);点(a,b)关于x-y=m 的对称点为(m+b,a-m).(4)“曲线关于点对称”问题可用“点关于点对称”的方法解决；“曲线关于直线对称”问题可转化为“点关于直线对称”问题来解决.问题2一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的方程叫做直线系方程.直线系方程中除含变量x 、y 以外，还可以根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数.由于参数取向不同，就得到不同的直线系.你能试举出一些直线系的例子吗?导思:应用直线系解题，是指把待求的直线看成满足某种条件的直线的集合中的元素，再利用其他条件确定参数的值，是整体思想的具体运用.利用直线系解题可简化运算、提高解题效率、降低难度.直线系y=kx+b 中，若b 为常数，它表示过定点(0,b)的直线系；若k 为常数，它表示平行线系.平行线系关注的是斜率相等，垂直关注的是斜率互为负倒数.设出相关的直线系方程后，要明确直线系中参数是谁.对于过两直线交点的直线系方程，求交点坐标时，可先把方程转化成f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0的形式，再解方程组⎩⎨⎧==0),(,0),(21y x f y x f 求交点；也可赋予参数两个具体的值，将得到的两个方程联立方程组求交点坐标.探究：几种常见的直线系：(1)过定点的直线系直线y=kx+b(其中k 为参数，b 为常数)，它表示过定点(0，b)的直线系，但不包括y 轴(即x=0). 经过定点M(x 0，y 0)的直线系y-y 0=k(x-x 0)(k 为参数)，它表示经过定点(x 0，y 0)的直线系，但不包括平行于y 轴的那一条(即x=x 0).(2)已知斜率的直线系y=kx+b(k 为常数，b 为参数)，它表示斜率为k 的平行直线系.若已知直线l ：Ax+By+C=0，与l 平行的直线系为Ax+By+m=0(m 为参数,且m≠C).若已知直线l ：Ax+By+C=0，与l 垂直的直线系为Bx-Ay+n=0(n 为参数).(3)经过两条直线交点的直线系经过两直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0(A 12+B 12≠0)与l 2：A 2x+B 2y+C 2=0(A 22+B 22≠0)交点的直线系为m(A 1x+B 1y+C 1)+n(A 2x+B 2y+C 2)=0(其中m 、n 为参数，m 2+n 2≠0).当m=1，n=0时，方程即为l 1的方程；当m=0，n=1时，方程即为l 2的方程.上面的直线系可改写成(A 1x+B 1y+C 1)+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0(其中λ为实数).但是，方程中不包括直线l 2，这个形式的直线系方程在解题中常见.。