求方程的近似解

习题课

课时目标 1.进一步了解函数的零点与方程根的联系.2.进一步熟悉用“二分法”求方程的近似解.3.初步建立用函数与方程思想解决问题的思维方式．

1．函数f(x)在区间(0,2)内有零点，则()

A．f(0)>0，f(2)<0

B．f(0)·f(2)<0

C．在区间(0,2)内，存在x1，x2使f(x1)·f(x2)<0

D．以上说法都不正确

2．函数f(x)＝x2＋2x＋b的图象与两条坐标轴共有两个交点，那么函数y＝f(x)的零点个数是()

A．0 B．1

C．2 D．1或2

3．设函数f(x)＝log3x＋2

x－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的

取值范围是()

A．(－1，－log32) B．(0，log32)

C．(log32,1) D．(1，log34)

4．方程2x－x－2＝0在实数范围内的解的个数是________________________________．

5．函数y＝(1

2)

x与函数y＝lg x的图象的交点的横坐标是

________．(精确到0.1)

6．方程4x2－6x－1＝0位于区间(－1,2)内的解有__________个．

一、选择题

1．已知某函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)有零点的区间大致是()

A．(0,0.5)

B．(0.5,1)

C．(1,1.5)

D．(1.5,2)

2．函数f(x)＝x5－x－1的一个零点所在的区间可能是()

A．[0,1] B．[1,2]

C．[2,3] D．[3,4]

3．若x0是方程lg x＋x＝2的解，则x0属于区间()

A．(0,1) B．(1,1.25)

C．(1.25,1.75) D．(1.75,2)

4．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是() A．[－2,1] B．[－1,0]

C．[0,1] D．[1,2]

5．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a

A．a<α<β

C．α

二、填空题

6．用二分法求方程x2－5＝0在区间(2,3)的近似解经过________次二分后精确度能达到0.01.

7．已知偶函数y＝f(x)有四个零点，则方程f(x)＝0的所有实数根之和为________．

8．若关于x的二次方程x2－2x＋p＋1＝0的两根α，β满足0<α<1<β<2，则实数p的取值范围为___________________．

9．已知函数f(x)＝ax2＋2x＋1(a∈R)，若方程f(x)＝0至少有一正根，则a的取值范围为________．

三、解答题

10．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：

求方程x3．

11．分别求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2x＋m＋1＝0，

(1)有两个负根；

(2)有两个实根，且一根比2大，另一根比2小；

(3)有两个实根，且都比1大．

能力提升

12．已知函数f(x)＝x|x－4|.

(1)画出函数f(x)＝x|x－4|的图象；

(2)求函数f(x)在区间[1,5]上的最大值和最小值；

(3)当实数a为何值时，方程f(x)＝a有三个解？

13．当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．

习题课

双基演练

1．D [函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内存在零点，我们并不一定能找到x 1，x 2∈(a ，b )，满足f (x 1)·f (x 2)<0，故A 、B 、C 都是错误的，正确的为D.]

2．D [当f (x )的图象和x 轴相切与y 轴相交时，函数f (x )的零点个数为1，当f (x )的图象与y 轴交于原点与x 轴的另一交点在x 轴负半轴上时，函数f (x )有2个零点．]

3．C [f (x )＝log 3(1＋2x )－a 在(1,2)上是减函数，由题设有f (1)>0，

f (2)<0，解得a ∈(lo

g 32,1)．]

4．2

解析 作出函数y ＝2x 及y ＝x ＋2的图象，它们有两个不同的交点，因此原方程有两个不同的根．

5．1.9(答案不唯一)

解析 令f (x )＝(12)x －lg x ，则f (1)＝12>0，f (3)＝18－lg 3<0，∴f (x )＝0在(1,3)内有一解，利用二分法借助计算器可得近似解为1.9.

6．2

解析 设f (x )＝4x 2－6x －1，由f (－1)>0，f (2)>0，且f (0)<0，知方程4x 2－6x －1＝0在

(－1,0)和(0,2)内各有一解，因此在区间(－1,2)内有两个解． 作业设计

1．B

2．B [因为f (0)<0，f (1)<0，f (2)>0，

所以存在一个零点x ∈[1,2]．]

3．D [构造函数f (x )＝lg x ＋x －2，由f (1.75)＝f (74)＝lg 74－14<0，f (2)

＝lg 2>0，知x 0属于区间(1.75,2)．]

4．A [由于f (－2)＝－3<0，f (1)＝6>0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．]

5．A [函数g (x )＝(x －a )(x －b )的两个零点是a ，b .

由于y ＝f (x )的图象可看作是由y ＝g (x )的图象向上平移2个单位而得到的，所以a <α<β

6．7

解析 区间(2,3)的长度为1，当7次二分后区间长度为 127＝1128<1100＝0.01.

7．0

解析 不妨设它的两个正零点分别为x 1，x 2.

由f (－x )＝f (x )可知它的两个负零点分别是－x 1，－x 2， 于是x 1＋x 2－x 1－x 2＝0.

8．(－1,0)

解析 设f (x )＝x 2－2x ＋p ＋1，根据题意得f (0)＝p ＋1>0， 且f (1)＝p <0，f (2)＝p ＋1>0，解得－1

9．a <0