求方程的近似解
用牛顿迭代法求方程的近似解课件
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阻尼牛顿法
总结词
阻尼牛顿法是一种改进的牛顿迭代法，通过引入阻尼因子来控制迭代过程中的步长，从而改善收敛性 和稳定性。
详细描述
阻尼牛顿法在每一步迭代中引入一个阻尼因子，该因子可以控制迭代过程中的步长。通过调整阻尼因 子的大小，可以有效地改善牛顿法的收敛性和稳定性，特别是在求解非线性方程时。阻尼牛顿法可以 更好地处理局部极小值和鞍点问题，提高求解精度和可靠性。
确定新的点
02
根据切线斜率和初始点的位置，确定新的迭代点。
更新切线斜率
03
根据新的迭代点，重新计算切线斜率。
判断收敛
设定收敛条件
设定一个收敛阈值，当连续两次迭代 之间的差值小于该阈值时，认为迭代 收敛。
检查收敛
在每次迭代后，检查是否满足收敛条 件，如果满足则停止迭代，否则继续 迭代计算。
04 牛顿迭代法的改进
二阶修正牛顿法
总结词
二阶修正牛顿法是在标准牛顿法基础上进行改进，通过引入二阶导数信息来加速收敛并 提高解的精度。
详细描述
二阶修正牛顿法利用二阶导数信息，在每一步迭代中构造一个更高阶的近似函数，从而 更快地逼近方程的真实解。这种方法在某些情况下可以显著减少迭代次数，提高求解效 率。然而，二阶修正牛顿法需要更多的计算资源和存储空间，因此在实际应用中需要根
用牛顿迭代法求方程 的近似解课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 牛顿迭代法的基本原理 • 牛顿迭代法的实现步骤 • 牛顿迭代法的改进 • 实例演示 • 总结与展望
01 引言
牛顿迭代法的背景
牛顿迭代法是一种求解方程近似解的数值方法。
用二分法求方程的近似解(高中数学)
[解] 因为 f(－1)>0，f(－2)<0，且函数 f(x)＝x3－3x2－9x＋1 的图象 是连续的曲线，根据函数零点的存在性定理可知，它在区间[－2，－1]内 有零点，用二分法逐步计算，列表如下：
22
端点(中点)
________．
11
合作探究 提素养
12
二分法的概念 【例 1】 已知函数 f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用 二分法求解的个数分别为( )
A．4,4
B．3,4
C．5,4
D．4,3
D [图象与 x 轴有 4 个交点，所以零点的个数为 4；左右函数值异号
的零点有 3 个，所以用二分法求解的个数为 3，故选 D.]
内的唯一零点时，精确度为 0.001， 长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束
则结束计算的条件是( )
计算．]
A．|a－b|<0.1
B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001
D．|a－b|＝0.001
3．已知函数 y ＝f(x)的图象如图所 示，则不能利用二分 法求解的零点是 ________．
由于|1.75－1.687 5|＝0.062 5<0.1，所以函数的正数
零点的近似值可取为1.687 5.
26
利用二分法求方程近似解的过程图示
27
1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点 逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度， 用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足： (1)在区间[a，b]上连续不断； (2)f(a)·f(b)<0， 上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．
方程的近似解
方程的近似解大家好，我今天要谈论的是“方程的近似解”。
令()为有限多元函数，求解()=0的根，称为求解方程。
求解方程的方法很多，但它们能够准确求得根却不多。
在实际工作中，很多时候我们需要寻找近似解。
近似解指的是某个方程的接近解，但不完全等于0。
近似解的意义在于它们比根更容易求得，但仍可以用于算法的一些计算和应用。
通常来说，要找到近似解，就需要定义某个误差量来度量它们之间的差异。
在具体应用中，我们可以将误差量作为近似解的公式来计算。
以下是一些常用的近似解求取方式：（1）平方根法：平方根法是其中一种最古老的方法，可以用来计算一个方程的近似解。
它使用迭代法求出方程的近似解，直到解收敛为偶函数为止。
（2）牛顿法：牛顿法是另一种比较古老的方法，它使用多项式近似函数和偏导数来对方程求解。
它最初是由牛顿发明的，后来被改进。
牛顿法可用来计算一个特定方程的近似解，但它也有其缺点，即在特定情况下，它可能无法收敛到解。
（3）梯度下降法：梯度下降法是一种非常流行的数值方法，它可以用来求解一个多变量函数的极小值。
它使用步长来移动步长，以便在每个步骤上求出一个近似解。
该方法也有一定的局限性，它有可能陷入局部最小值。
（4）拟牛顿法：拟牛顿法是一种近似求解方程的近似方法，它使用迭代法更新解，直到解收敛到某个精度为止。
它的优点在于它的执行速度很快，而且可以在高精度下求得一个近似解。
以上就是关于求取方程的近似解的介绍。
有了这些算法，我们可以更容易地求出近似解，让方程更容易求解。
它们可以帮助我们更快地解决一些复杂的数值问题。
在实际应用中，我们还可以组合使用这些方法，在一定精度范围内，以更快的速度解决一些复杂的数值问题。
总之，方程的近似解对于许多数值计算问题来说是非常有用的，近似解的求取方法也有很多，比如平方根法、牛顿法、梯度下降法和拟牛顿法等。
我们可以根据实际应用情况，灵活选择这些方法，帮助我们更快地解决这些问题。
用牛顿迭代法求方程的近似解课件
迭代过程的收敛性分析主要涉及到函数$f(x)$的性质和初始值的选择等因素。如果$f(x)$在根附近有多 个极值点或者$f'(x)$在根附近变化剧烈，可能会导致迭代过程发散。
03 牛顿迭代法的应 用实例
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多变量牛顿迭代法 对于多变量非线性方程组，可以使用多变量牛顿迭代法进行求解。该方法在每一步迭代中，同时更新多 个变量的值，以更快地逼近方程组的解。
05 误差分析
迭代法中的误差来源
01 02
初始近似值的选取
初始近似值的选择对迭代法的收敛性和最终解的精度有重要影响。如果 初始近似值与真实解相差较大，可能会导致迭代过程发散或收敛速度缓 慢。
优化算法
作为优化算法的一种，牛顿 迭代法可以用于求解各种优 化问题，如机器学习中的损 失函数优化等。
工程计算
在工程计算中，牛顿迭代法 可以用于求解各种复杂的数 学模型和物理模型，如有限 元分析、流体动力学等。
经济和金融领域
在经济和金融领域，牛顿迭 代法可以用于求解各种复杂 的经济模型和金融模型，如 资产定价、风险评估等。
一元高次方程的求解
总结词
牛顿迭代法同样适用于一元高次方程的求解， 但需要特别注意初始值的选取和收敛速度。
详细描述
对于形式为 (a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ldots + a_1x + a_0 = 0) 的一元高次方程， 可以使用牛顿迭代法进行求解。迭代公式与 一元二次方程类似，但需要注意初始值的选
04 牛顿迭代法的改 进与优化
牛顿法——用导数方法求方程的近似解
牛顿法——用导数方法求方程 的近似解
下面,我们再看如何求方程 x3 2x2 10 x 20 0的根.
y
r x
从函数的观点看 , 方程 x3 2x2 10 x 20 0的根就
是函数f x x3 2x2 10 x 20的零点.从图形上看 , 一个函数的零点 r就是f x的图象与 x轴的交点横坐标 。
给定精度z0和初始值
根 据 牛 顿 法 公 式 计 算 当前 值
x1
x0
x30
2x20 10x0 20 3x20 4x0 10
令x0 x1
计算当前精度: z x1 x0 x0
No
z z0
Yes
x1为 方 程 的 近 似 解
求解结束
思考 1：不同的初始值对求方程的近似解有 影响吗？如果有，影响在什么地方？
1.38568பைடு நூலகம்135
x4
x3
f (x3 ) f (x3 )
1.3688121321
5
z x1 x0 0.392 x0
z x2 x1 0.335 x1
z x3 x2 0.143 x2
z x4 x3 0.012 x3
此时z z0
所以方程的一个近似解为x 1.36881213215
y
y
y
O x1 r0 x2 x0
r
x
x2
O x1 r
x0
xO
x0
x
gsp
思考
2： 你还知道其他求方程近似解的方法吗？ 你认为牛顿法的优点和缺点是什么？
优点：速度较快，算法简单，精度高， 缺点：对初始值的选取很敏感。
专题40 高中数学用二分法求方程的近似解(解析版)
专题40 用二分法求方程的近似解知识点一二分法的概念对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．知识点二用二分法求方程近似解的步骤给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.(2)求区间(a，b)的中点C．(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝C．(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．知识点三新知拓展1．用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号变号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号不变号)不适用．如求函数f(x)＝(x－1)2的零点近似值就不能用二分法．2．用二分法求函数零点的近似值时，要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的更小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量．3．二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就是逐渐逼近函数的零点．当区间长度小到一定程度时，就得到近似值．4．由|a－b|<ε，可知区间[a，b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值．为了方便，这里统一取区间端点a(或b)作为零点的近似值．精确度与精确到是不一样的概念．比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精确度为0.1”指零点近似值所在区间[a，b]满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间[1.25,1.34]．若精确度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34.5．在第一步中要使区间[a，b]的长度尽量小，且f(a)·f(b)<0.6．由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数F(x)零点近似值的步骤求解．题型一二分法的适用条件1．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()[解析]按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B，C，D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A．2．已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A．4,4B．3,4C．5,4 D．4,3[解析]图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.3．下列函数图象中表示的函数能用二分法求零点的是()[解析]由于只有C满足图象连续，且f(a)·f(b)<0，故只有C能用二分法求零点．4．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()A B C D[解析]二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．答案为B5．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．[解析]因为x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．6．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()A．x1 B．x2C．x3D．x4[解析]由二分法的原理可知，x3不能用二分法求出，因为其左右两侧的函数值同负．7．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是()A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ln x[解析]对于选项C而言，令|x|＝0，得x＝0，即函数f(x)＝|x|存在零点，但当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)>0，所以f(x)＝|x|的函数值非负，即函数f(x)＝|x|有零点，但零点两侧函数值同号，所以不能用二分法求零点的近似值．8．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是()①f(x)在区间[a，b]上是连续不断的；②f(a)·f(b)<0；③f(a)·f(b)>0；④f(a)·f(b)≥0.A．①②B．①③C．①④D．②[解析]由二分法的定义知①②正确.9．下列函数不宜用二分法求零点的是()A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝ln x＋3C．f(x)＝x2＋22x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1[解析]因为f(x)＝x2＋22x＋2＝(x＋2)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．题型二用二分法求方程的近似解(函数零点的近似值)1．下面关于二分法的叙述中，正确的是()A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D．只能用二分法求函数的零点[解析]用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误，故选B.2．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是( )A ．“二分法”求方程的近似解一定可将y ＝f (x )在[a ，b ]内的所有零点得到B ．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y ＝f (x )在[a ，b ]内的零点C ．应用“二分法”求方程的近似解，y ＝f (x )在[a ，b ]内有可能无零点D ．“二分法”求方程的近似解可能得到f (x )＝0在[a ，b ]内的精确解[解析]二分法求零点，则一定有且能求出，故B ，C 不正确；零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到，故A 不正确，故选D.3．用二分法求函数f (x )＝x 3＋5的零点可以取的初始区间是( )A ．[－2，－1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[1,2][解析]∵f (－2)＝－3<0，f (－1)＝4>0，f (－2)·f (－1)<0，可取[－2，－1]作为初始区间，用二分法逐次计算． 4．函数f (x )的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f (x )＝0在(1,2)内近似解的过程可得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的解所在区间为( )A ．(1.25,1.5)B ．(1,1.25)C ．(1.5,2)D ．不能确定[解析]由于f (1.25)·f (1.5)<0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)．5．用二分法求函数f (x )＝2x ＋3x －7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(2,3)D ．(2,4)[解析] 因为f (0)＝20＋0－7＝－6<0，f (4)＝24＋12－7>0，f (2)＝22＋6－7>0，所以f (0)·f (2)<0，所以零点在区间(0,2)内．6．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算，f (0.64)＜0，f (0.72)＞0，f (0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.68B ．0.72C ．0.7D ．0.6[解析]已知f (0.64)＜0，f (0.72)＞0，则函数f (x )的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝12(0.64＋0.72)，且f (0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．答案C7．用二分法求函数y ＝f (x )在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f (2)·f (4)<0.取区间的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0∈________(填区间)． [解析]因为f (2)·f (3)<0，所以零点在区间(2,3)内．8．在用“二分法”求函数f (x )零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是()A ．[1,4]B ．[－2,1] C.⎣⎡⎦⎤－2，52 D.⎣⎡⎦⎤－12，1 [解析]∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]， ∴第三次所取的区间可能为⎣⎡⎦⎤－2，－12，⎣⎡⎦⎤－12，1，⎣⎡⎦⎤1，52，⎣⎡⎦⎤52，4.答案D 9．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A ．1.25B ．1.375C ．1.42D ．1.5[解析]由表格可得，函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的零点在(1.406 25,1.437 5)之间．结合选项可知，方 程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C. 10．用二分法求函数f (x )＝3x －x －4的一个零点，其参考数据如下：[解析] f (1.562 5)≈0.003>0，f (1.556 2)≈－0.029<0，方程3x －x －4＝0的一个近似解在(1.556 2，1.562 5)上，且满足精确度为0.01，所以所求近似解可取为1.562 5.11．在用二分法求方程f (x )＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f (0.625)<0，f (0.75)>0，f (0.687 5)<0，即得出方程的一个近似解为________．(精确度为0.1)[解析]∵f (0.625)<0，f (0.75)>0，f (0.687 5)<0，∴方程的解在(0.687 5,0.75)上，而|0.75－0.687 5|<0.1，∴方程的一个近似解为0.687 5.（答案不唯一）12．用二分法求方程ln(2x ＋6)＋2＝3x 的根的近似值时，令f (x )＝ln(2x ＋6)＋2－3x ，并用计算器得到下表：[解析]因为f (1.25)·f (1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f (x )的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 5<0.1，因此1.312 5是一个近似解．13．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经过计算得f (0)＜0，f (0.5)＞0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．[解析] ∵f (0)<0，f (0.5)>0，∴x 0∈(0,0.5)，故第二次应计算f (0.25)．14．已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6有一个零点，求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过14(不能用计算器)．[解析] ∵f (2)<0，f (3)>0，∴f (x )的零点x 0∈(2,3)．取x 1＝52，∵f ⎝⎛⎭⎫52＝ln 52－1＝ln 52－ln e<0， ∴f ⎝⎛⎭⎫52f (3)<0，∴x 0∈⎝⎛⎭⎫52，3.取x 2＝114，∵f ⎝⎛⎭⎫114＝ln 114－12＝ln 114－ln e12 >0， ∴f ⎝⎛⎭⎫114f ⎝⎛⎭⎫52<0，∴x 0∈⎝⎛⎭⎫52，114.而⎪⎪⎪⎪114－52＝14≤14，∴⎝⎛⎭⎫52，114即为符合条件的一个区间． 15．已知方程2x ＋2x ＝5.(1)判断该方程解的个数以及所在区间； (2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1)．参考数值：[解析](1)令f (所以函数f (x )＝2x ＋2x －5至多有一个零点．因为f (1)＝21＋2×1－5＝－1<0，f (2)＝22＋2×2－5＝3>0， 所以函数f (x )＝2x ＋2x －5的零点在(1,2)内． (2)用二分法逐次计算，列表如下：因为|1.375－1.25|＝所以函数的零点近似值为1.312 5，即方程2x ＋2x ＝5的近似解可取为1.312 5. 16．用二分法求方程x 2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1)[解析]令f (x )＝x 2－5，因为f (2.2)＝－0.16<0，f (2.4)＝0.76>0，所以f (2.2)·f (2.4)<0， 即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x 0，取区间(2.2,2.4)的中点x 1＝2.3，f (2.3)＝0.29，因为f (2.2)·f (2.3)<0，所以x 0∈(2.2,2.3)， 再取区间(2.2,2.3)的中点x 2＝2.25，f (2.25)＝0.062 5，因为f (2.2)·f (2.25)<0， 所以x 0∈(2.2,2.25)，由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，所以原方程的近似正解可取为2.25. 17．求方程lg x ＝2－x 的近似解．(精确度为0.1)[解析]在同一平面直角坐标系中，作出y ＝lg x ，y ＝2－x 的图象如图所示， 可以发现方程lg x ＝2－x 有唯一解，记为x 0，并且解在区间(1,2)内．设f (x )＝lg x ＋x －2，则f (x )的零点为x 0.用计算器计算得f (1)<0，f (2)>0⇒x 0∈(1,2)； f (1.5)<0，f (2)>0⇒x 0∈(1.5,2)；f (1.75)<0，f (2)>0⇒x 0∈(1.75,2)，f (1.75)<0，f (1.875)>0⇒x 0∈(1.75,1.875)；f (1.75)<0，f (1.8125)>0⇒x 0∈(1.75,1.8125)． ∵|1.8125－1.75|＝0.0625<0.1，∴方程的近似解可取为1.8125. 18．求函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1的一个负零点(精确度0.01)．[解析] 确定一个包含负数零点的区间(m ，n )，且f (m )·f (n )<0.因为f (－1)>0，f (－2)<0，所以可以取区间(－2，－1)作为计算的初始区间，当然选取在较大的区间也可以．用二分法逐步计算， 列表如下：端点(中点)端点或中点的函数值 取值区间f (－1)>0，f (－2)<0 (－2，－1) x 0＝－1－22＝－1.5f (x 0)＝4.375>0 (－2，－1.5) x 1＝－1.5－22＝－1.75 f (x 1)≈2.203>0 (－2，－1.75) x 2＝－1.75－22＝－1.875 f (x 2)≈0.736>0 (－2，－1.875) x 3＝－1.875－22＝－1.937 5 f (x 3)≈－0.097 4<0 (－1.937 5，－1.875) x 4＝－1.875－1.937 52＝－1.906 25f (x 4)≈0.328 0>0 (－1.937 5，－1.906 25) x 5＝－1.937 5－1.906 252＝－1.921 875f (x 5)≈0.117 4>0 (－1.937 5，－1.921 875) x 6＝－1.937 5－1.921 8752＝－1.929 687 5f (x 6)≈0.010 5>0(－1.937 5，－1.929 687 5)由于|19．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内的零点用二分法按精确度为ε求出的结果与精确到ε求出的结果相等，则称函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内的零点为“和谐零点”．试判断函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2在区间(1,1.5)上按ε＝0.1用二分法逐次计算求出的零点是否为“和谐零点”．(参考数据：f (1.25)≈－0.984，f (1.375)≈－0.260，f (1.4375)≈0.162，f (1.4065)≈－0.052)[解析] 函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2在区间(1,1.5)上有f (1)＝－2<0，f (1.5)>0，故f (x )在(1,1.5)内有零点． 又f (x )＝0，即x 3＋x 2－2x －2＝0，所以(x ＋1)(x －2)(x ＋2)＝0， 所以f (x )在(1,1.5)内的零点为2，故精确到ε＝0.1的零点为1.4.而根据二分法，将(1,1.5)分为(1,1.25)，(1.25,1.5)，因f (1.25)≈－0.984<0，故f (x )的零点在(1.25,1.5)内，此时区间长度为0.25>ε，继续下去，f (x )的零点在(1.375,1.4375)内，此时区间长度为0.0625<ε，此时零点的近似解可取1.375或1.4375，显然不等于1.4，故求出的零点不为“和谐零点”．题型三 二分法的实际应用1．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明a >0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在区间[0,1]内有两个实根．[解析] ∵f (1)>0，∴3a ＋2b ＋c >0，即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0.∵a ＋b ＋c ＝0，∴－b －2c >0，则－b －c >c ，即a >c .∵f (0)>0，∴c >0，则a >0. 在区间[0,1]内选取二等分点12，则f ⎝⎛⎭⎫12＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a <0. ∵f (0)>0，f (1)>0，∴函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12和⎝⎛⎭⎫12，1上各有一个零点． 又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0,1]内有两个实根． 2．已知函数f (x )＝13x 3－x 2＋1.(1)证明方程f (x )＝0在区间(0,2)内有实数解；(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f (x )＝0(x ∈[0,2])的实数解x 0在哪个较小的区间内． [解析](1)∵f (0)＝1>0，f (2)＝－13<0，∴f (0)·f (2)＝－13<0，由函数的零点存在性定理可得方程f (x )＝0在区间(0,2)内有实数解．(2)取x 1＝12(0＋2)＝1，得f (1)＝13>0，由此可得f (1)·f (2)＝－19<0，下一个有解区间为(1,2)．再取x 2＝12(1＋2)＝32，得f ⎝⎛⎭⎫32＝－18<0，∴f (1)·f ⎝⎛⎭⎫32＝－124<0，下一个有解区间为⎝⎛⎭⎫1，32. 再取x 3＝12⎝⎛⎭⎫1＋32＝54，得f ⎝⎛⎭⎫54＝17192>0，∴f ⎝⎛⎭⎫54·f ⎝⎛⎭⎫32<0，下一个有解区间为⎝⎛⎭⎫54，32. 故f (x )＝0的实数解x 0在区间⎝⎛⎭⎫54，32内．3．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一架天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．[解析]从26枚金币中取18枚，将这18枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，(1)若天平不平衡，则假币一定在质量小的那9枚金币里面．从这9枚金币中拿出6枚，然后将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定在剩下的那3枚金币里；若不平衡，则假币一定在质量小的那3枚金币里面，从含有假币的3枚金币里取两枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币．(2)若天平平衡，则假币在剩下的8枚金币里，从这8枚金币中取6枚，将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，假币在剩下的两枚里，若天平不平衡，假币在质量小的3枚里．在含有假币的金币里取2枚分别放在天平左右，即可找到假币．综上可知，最多称3次就可以发现这枚假币．故填3.4．现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同，用同一架天平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？[解析]先在天平左右各放4个球．有两种情况：(1)若平，则“坏球”在剩下的4个球中．取剩下的4个球中的3个球放天平的一端，取3个好球放天平的另一端，①若仍平，则“坏球”为4个球中未取到的那个球，将此球与1个好球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重；②若不平，则“坏球”在天平一端的3个球之中，且知是轻还是重．任取其中2个球分别放在天平左右两端，无论平还是不平，均可确定“坏球”．(2)若不平，则“坏球”在天平上的8个球中，不妨设天平右端较重．从右端4个球中取出3个球，置于一容器内，然后从左端4个球中取3个球移到右端，再从外面好球中取3个补到左端，看天平，有三种可能．①若平，则“坏球”是容器内3个球之一且偏重；②若左端重，“坏球”已从左端换到右端，因此，“坏球”在从左端移到右端的3个球中，并且偏轻；③若右端重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．显然对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出“坏球”，且知其是轻还是重．。
迭代法求方程的近似解
迭代法求方程的近似解在数学中，方程是一种重要的数学工具，它可以描述各种自然现象和数学问题。
解方程是数学学习中的基本内容之一，而求解方程的近似解是数值计算中的重要问题之一。
本文将介绍一种常用的方法——迭代法，用于求解方程的近似解。
一、什么是迭代法迭代法是一种通过逐步逼近的方式求解方程的方法。
其基本思想是从一个初始值开始，通过不断迭代计算，逐步逼近方程的解。
迭代法的优点在于简单易行，适用于各种类型的方程。
二、迭代法的基本原理迭代法的基本原理是通过不断迭代计算，逐步逼近方程的解。
具体步骤如下：1. 选择一个初始值x0作为方程的近似解。
2. 根据方程的特点，构造一个递推公式xn+1=f(xn)，其中f(x)是方程的函数表达式。
3. 通过不断迭代计算，得到xn+1的值。
4. 判断xn+1与xn之间的差距是否小于给定的精度要求，如果满足要求，则停止计算，否则返回第3步继续迭代计算。
三、迭代法的实例下面通过一个实例来说明迭代法的具体应用。
假设我们要求解方程x^2 - 2 = 0的近似解。
首先选择一个初始值x0=1作为方程的近似解。
然后，根据方程的特点，构造递推公式xn+1=(xn+2/xn)/2。
通过不断迭代计算，得到如下结果：初始值x0=1，迭代1次得到x1=1.5迭代1次得到x1=1.5，迭代2次得到x2=1.4167迭代2次得到x2=1.4167，迭代3次得到x3=1.4142迭代3次得到x3=1.4142，迭代4次得到x4=1.4142通过迭代计算，我们得到了方程x^2 - 2 = 0的近似解x≈1.4142。
可以发现，随着迭代次数的增加，近似解逐渐逼近方程的真实解。
四、迭代法的注意事项在使用迭代法求解方程的过程中，需要注意以下几点：1. 初始值的选择：初始值的选择对迭代结果有很大影响，一般需要根据方程的特点和实际情况进行选择。
2. 迭代公式的构造：迭代公式的构造需要根据方程的特点进行合理设计，以确保迭代过程的收敛性和稳定性。
计算方法 02第二章 方程的近似解法
∈ (0.5, 0.75)
-1
3
二、代数方程实根的上下界
若f
( )
x
为 n 次多项式，则
f ( x) = 0
称为 n 次代数方程。
对于代数方程有如下定理： [定理] 设有 且 则 证明
f ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + L + an (a0 ≠ 0)
f ( x) = 0
A = max { a1 、 2 、 、 n } a L a
若同号，则取 于是得到区间
an −1 + bn −1 an = an −1，bn = 2 an −1 + bn −1 an = , bn = bn −1 2
1 。区间长为 n ( b − a ) , α ∈ ( an , bn )。 2
[ an，bn ]
若取α 的近似值
则绝对误差限为
例.求解方程
an + bn α = 2 1 b − a) n +1 ( 2
xn +1 − xn ≤ m xn − xn −1
xn + p − xn + p −1 ≤ m p xn − xn −1
xn + p − xn ≤ xn + p − xn + p −1 + xn + p −1 − xn + p − 2 + L + xn +1 − xn
其中p为任意正整数
……
≤ (m p + m p −1 + L + m) xn − xn −1
1 区间长为 ( b − a ) , α ∈ (a1 ,b1 ). 2
7
方程近似解的两种求法
方程近似解的两种求法
二分法，又称分半法，是一种方程式根的近似值求法。
对于区间[a,b]上连续不断且f(a) ·f(b)\uc0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection)。
1如果要求已知函数 f(x) = 0 的根 (x 的解)，那么
2先要找到一个区间 [a, b]，使f(a)与f(b)异号。
根据介值定理，这个区间内一定包含着方程式的根。
3求该区间的中点m=(a+b)/2，并找到 f(m) 的值。
4若 f(m) 与 f(a) 正负号相同，则取 [m, b] 为新的区间, 否则取 [a, m]。
5重复第3步和第4步，直至获得理想的精确度年才。
牛顿法求方程的近似解
牛顿法求方程的近似解牛顿法是一种用于求解方程近似解的迭代方法。
它由英国科学家艾萨克·牛顿于17世纪提出，是数值分析中广泛应用的一种方法。
牛顿法的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根，从而得到方程的近似解。
牛顿法的具体步骤如下：1. 选择一个初始近似解x0；2. 计算方程在x0处的函数值f(x0)以及其导数f'(x0)；3. 根据切线的性质，求出通过(x0, f(x0))点的切线方程，即y = f'(x0)(x - x0) + f(x0)；4. 求出切线方程与x轴的交点，即求解f'(x0)(x - x0) + f(x0) = 0，得到近似解x1；5. 将x1作为新的近似解，重复步骤2-4，直到满足预设的停止条件。
牛顿法的原理是利用切线逼近曲线，通过不断迭代逼近方程的根。
其迭代公式为：xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)。
牛顿法的优点是收敛速度快，精度高，适用于求解非线性方程的解。
但也存在一些限制，如迭代过程中可能出现发散现象，初始值的选择对结果有较大影响等。
接下来，我们通过一个具体的例子来说明牛顿法的应用。
假设我们要求解方程f(x) = x^3 - 2x - 5 = 0的近似解。
首先，我们选择一个初始近似解x0 = 2。
计算出f(x0) = 1和f'(x0) = 10。
根据牛顿法的迭代公式，我们可以得到x1 = x0 - f(x0)/f'(x0) = 2 - 1/10 = 1.9。
接下来，我们再次计算f(x1) = -0.059和f'(x1) = 9.41。
再次代入迭代公式，得到x2 = x1 - f(x1)/f'(x1) = 1.9 - (-0.059)/9.41 = 1.895。
重复以上步骤，我们可以得到更精确的近似解。
经过若干次迭代，我们得到的近似解越来越接近方程的真实解。
需要注意的是，牛顿法的收敛性和稳定性与初始近似解的选择密切相关。
方程近似解
一、根的隔离与二分法
二、牛顿切线法及其变形
一、根的隔离与二分法 则称 若方程 f ( x) 0 在[a, b] 内只有一个根 ， [a, b]为 其隔根区间. f ( x) C[a, b], f (a) f (b) 0 , [a, b] 为隔根区间 且 f ( x) 在 a, b） （ 内严格单调 y
xn 3 xn1 1, 取 x0 1.5
发散 !
解法2 将方程变形为 x 3 x 1 , 迭代格式为
n 0 7 8 1 2 xn 1.5 1.35721 1.33086 1.32472 1.32472
迭代收敛 , 1.32472 为计算精度范围内的所求根 .
内容小结
1. 隔根方法 作图法
y
o
34 x
f (3) 10 , f (4) 9
因此 [3，] 为一隔根区间. 4
由于在 [3，] 上 4
f ( x) 3x 2 4 x 4 (3x 2)( x 2) 0
f ( x) 6 x 4 2(3x 2) 0 m min f ( x) f (3) 11
(2) 割线法
y
为避免求导运算 , 用割线代替切线, x2 x3 f ( xn1 ) f ( xn2 ) 例如用差商 代替 o x0 x1 x xn1 xn2
f ( xn1 ) , 从而得迭代公式:
f ( xn1 ) xn xn1 ( xn1 xn2 ) (n 2 , 3 ,) f ( xn1 ) f ( xn2 )
a o
x2 x1 x0 x b
f ( xn1 ) xn xn1 f ( xn1 )
f ( xn ) 记 m min f ( x) 0 ,顿法时, 若过纵坐标与 f (x) 异号的端点作
数值计算方法第二章方程的近似解法
个根，则称该区间为方程隔根区间。
Remark：若能把隔根区间不断缩小，则可以得出根的 近似值。
三、根的隔离
基于函数f(x)的连续性质，常用的根的隔离的方
法有：描图法与逐步搜索法。
1、描图法：画出y=f(x)的简图，从曲线与x轴交点
1．计算f (x)在有解区间[a, b]端点处的值，f (a)，f (b)。
2．计算f (x)在区间中点处的值f (x1)。
3．判断若f (x1) = 0，则x1即是根，否则检验： （1）若f (x1)与f (a)异号，则知解位于区间[a, x1]，
b1=x1, a1=a;
（2）若f (x1)与f (a)同号，则知解位于区间[x1, b]， a1=x1, b1=b。
公式(2)
1.5 2.375 12.3965 1904.01 6.90244 3.28857 3.55651 4.49856 inf
公式(3)
1.5 1.29099 1.33214 1.32313 1.32506 1.32464 1.32473 1.32471 1.32471
公式(4)
1.5 1.9375 4.10535 36.1482 23634.7 6.60124 1.43829 1.4877 inf
间。必要时可调整步长h，总可把隔根区间全部找出。
3、根据函数单调性判断
§2.1 二分法（对分法）
一、算法
设 f ( x ) 在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0且在[a,b]内 f(x)=0仅有一个实根 x*。二分法的基本思想是：
逐步将有根区间分半，通过判别函数值的符号， 进一步搜索有根区间，将有根区间缩小到充分小， 从而求出满足给定精度的根 x* 的近似值。 执行步骤：
微分方程如何求近似解的方法
微分方程如何求近似解的方法
微分方程是数学中的重要分支，它描述了自然界中的许多现象，例如物理过程、生物学、经济学等。
然而，大多数微分方程都没有明确的解析解，因此需要使用数值方法来求解近似解。
本文将介绍几种常用的求近似解的方法。
1. 数值积分法
数值积分法是一种通过求解微分方程在某些离散时刻的近似解
来计算整个解的方法。
它基于欧拉公式，使用一些初始条件来递推计算，直到得到所需的解。
2. 有限差分法
有限差分法是一种近似求解微分方程的方法，它将微分方程中的导数用差分代替，把微分方程变成一系列代数方程。
这种方法适用于求解一维或二维的偏微分方程。
3. 矩阵法
矩阵法是一种求解微分方程组的数值方法。
它将微分方程组表示为矩阵形式，并通过求解线性代数方程组来得到近似解。
这种方法适用于一些复杂的高阶微分方程组。
4. 建立数学模型
建立数学模型是一种用数学语言描述真实问题的方法。
它可以将微分方程的求解问题转化为模型解决问题，通过模型的计算，得到实际问题的近似解。
这种方法适用于一些大规模的实际问题。
总之，以上几种方法都能够求得微分方程的近似解，具体选择哪
种方法应根据实际问题的特点和求解的需求来选择。
方程解的近似计算
方程解的近似计算摘要 本文讨论方程解的常用近似计算方法。
详细阐述了逐步搜索法，二分法，不动点迭代法，不动点迭代加速法，Aitken 加速方法，牛顿法和插值法的原理，计算方法。
并通过例题演示计算步骤和简单比较计算结果来评价计算方法的优劣。
关键词 非线性方程 二分法 迭代法 插值法The calculation of the root equationName:Zhang Yongkun Student Number:200741420146Instructor: Cui FangdaAbstract This article discusses the common equation approximation method. Search methoddescribed in detail step by step, bisection, fixed point iteration, fixed point iteration acceleration method, Aitken acceleration method, Newton method and the interpolation principle, calculation method. Then calculation steps and through the example shows a simple comparison method results to assess the advantages and disadvantages.Key words nonlinear equationdichotomy iteration interpolation1.引言代数方程求解问题是个古老的数学问题。
我们知道当1n =时为一次线性方程，可以直接求解。
当2n =时为二次方程，我们学习过判别法，配方法等来求解。
当3n ≥时，除了一些特殊形式可以求解，一般的代数形式我们无能为力。
专题实验四 方程近似解的求法
（1）二分法
将有根区间进行对分，判断出解在某个分段内，然后 再对该段对分，依次类推，直到满足给定的精度为止
数学原理：介值定理
设 f(x) 在 [a, b] 上连续，且 f(a) f(b)<0，则由介值定
(4)、fsolve(fun,x0) %求非线性方程fun=0在 估计值x0附近的近似解 解：>>fsolve('x-exp(-x)',0) 结果： 0.56714316503697 (5)、fzero(fun,x0) %求函数fun在x0附近的根 例：求方程x-10x+2=0在x0=0.5附近的根 解：>>y=@(x)x-10^x+2; >>fplot(y,[-1,1]) %注意不能用plot >>fzero(y,0.5) 结果：0.3758
使误差不超过10-3
二、方程求解
(1)、roots(p) %求多项式的根，期中p是多项式向量 例：求x3-x2+x-1=0的根 解：>>p=[1 -1,1,-1]; >>roots(p) (2)、solve(fun) %求方程fun=0的符号解，如果不能求得精 确的符号解，可以计算可变精度的数值解。 例：用solve命令求方程x9+x8+1=0的根 解：>>solve('x^9+x^8+1') 给出了方程的数值解（32位有效数字的符号量）
f (x) = 0 f (x) 的零点
用二分法求解方程的近似解ppt课件
（4）判断是否达到精确度 ：若| a b | ，则得到零点近似值a（或b）；
否则重复步骤（2）~（4）.
例1 借助信息技术，用二分法求方程2x 3x 7 的近似解（精确度为0.1）.
解：
原方程即 2x 3x 7 ，令 f (x) 2x 3x 7 ，用信息技术画出函数 y f (x) 的图象如 图，并列出它的对应值表如下.
f (0.5) 20.53 30.5 3 0 , f (x) 在 (0, 0.5) 内有零点,
f (0.75) 20.753 30.75 3 0 f (x) 在 (0.5, 0.75) 内有零点, 方程 2x3 3x 3 0 根可以是 0.635. 故选：B.
4.用二分法研究函数 f x x3 2x 1的零点时，第一次经计算 f 0 0 ，f 0.5 0 ，
x012345678 y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273
观察图表，可知 f (1) f (2) 0 ，说明该函数在区间(1，2) 内存在零点 x0 . 取区间 (1，2) 的中点 x1 1.5 ，用信息技术算得 f (1.5) 0.33 . 因为 f (1) f (1.5) 0 ，所以 x0 (1，1.5) .
6.已知函数 f (x) 3x x 4 在区间[1, 2] 上存在一个零点，用二分法求该零点的近似 值，其参考数据如下： f (1.6000) 0.200 ， f (1.5875) 0.133 ， f (1.5750) 0.067 ， f (1.5625) 0.003 ， f (1.5562) 0.029 ， f (1.5500) 0.060 ，据此可得该零点的近
结论
可使用二分法：设电线两端分别为A、B,他首先从中点C查,用随身
带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定故障在BC段,再到BC中
matlab二分法求方程的近似解
题目：matlab二分法求方程的近似解一、概述由于许多实际问题都可以用方程来描述，而有些方程并不能通过代数方法求解，因此需要利用计算机进行数值计算。
二分法是一种简单而又常用的数值计算方法，通过不断缩小一个区间来逼近方程的根，从而获得方程的近似解。
本文将介绍如何使用matlab编程实现二分法求解方程的近似解，并给出示例代码和实际应用。
二、二分法求解方程的原理1. 什么是二分法二分法又称折半法，是一种在有序数组中查找特定值的搜索算法。
它的工作原理是不断将待查找的范围分成两半，然后确定待查找值可能存在的那一半。
通过不断缩小范围，最终找到目标值或确定目标值不存在。
2. 二分法求解方程的思想对于一个非线性方程f(x)=0，如果我们能够找到两个值a和b，使得f(a)和f(b)异号，那么在[a,b]区间内一定存在方程的根。
二分法的思想就是不断将[a,b]区间缩小，从而逼近方程的根。
三、使用matlab编程实现二分法求解方程1. 确定搜索区间需要确定方程的根存在的区间[a,b]，并保证f(a)和f(b)异号。
这一步可以通过实际问题分析或者数值计算得到。
2. 定义求解函数在matlab中，需要定义方程f(x)的求解函数。
定义一个求解方程x^2-2的函数为：```matlabfunction y = func(x)y = x^2 - 2;end```3. 编写二分法求解程序在matlab中，编写二分法求解程序如下：```matlabfunction [result, iter] = binary_search(a, b, f, tol)fa = f(a);fb = f(b);if sign(fa) == sign(fb)error('f(a) and f(b) must have opposite signs');enditer = 0;while (b - a)/2 > tolc = (a + b)/2;fc = f(c);if fc == 0break;endif sign(fc) == sign(fa)a = c;fa = fc;elseb = c;fb = fc;enditer = iter + 1;endresult = (a + b)/2;end```四、示例代码及应用以方程x^2-2=0为例，使用上述编写的程序求解方程的近似解：```matlab[a, b] = [1, 2];tol = 1e-6;[result, iter] = binary_search(a, b, func, tol);fprintf('The approximate solution of x^2-2=0 is .6f, it takes d iterations\n', result, iter);```运行结果为：The approximate solution of x^2-2=0 is 1.xxx, it takes 20 iterations以上代码实现了对方程x^2-2=0近似解的求解，并且给出了迭代次数。
方程的近似解
方程的近似解方程是数学中最基本的概念之一，它们用于描述一种非常复杂的关系。
d复杂的关系，往往很难精确地表达，这时，我们就需要寻求方程的近似解。
近似解是指可以精确拟合一个方程的数值解，但它可以通过求取一些近似值来获得更好的逼近精度，这也是近似解的重要意义所在。
近似解的计算可以用三种不同的方法：（1）有理函数法有理函数法是指用一个多项式表示方程的变量，这样可以通过多项式来计算方程的近似解。
例如，用如下有理函数表示y=f(x)：y=ax^2+bx+c可以使用拟合的参数a，b，c求出方程的近似解。
（2）分段函数法分段函数法是指在每一段函数内，我们用不同的多项式表达式来描述函数。
这样，便可以用拟合参数a，b，c等来计算函数的近似解。
例如：y=f(x)，其中x的取值范围为[0,1]。
我们可以分段，计算方程的近似解：当x取值为[0,0.3]时，可以用多项式y=a*x^2+b*x+c来表示，得出参数a，b，c。
当x取值为[0.3,1]时，可以用多项式y=d*x^3+e*x^2+fx+g来表示，得出参数d，e，f，g。
（3）样条函数法样条函数法指在一段有限范围内，使用多项式表示函数，但对不同段使用不同的多项式表达式。
例如：y=f(x)，其中x的取值范围为[0,1]，我们可以分段，利用拟合的参数a，b，c求出方程的近似解：当x取值为[0,0.3]时，可以用多项式y=a*x^2+b*x+c来表示，得出参数a，b，c。
当x取值为[0.3,0.7]时，可以用样条函数表示，得出参数d，e，f。
当x取值为[0.7,1]时，可以用多项式y=g*x^3+h*x^2+ix+j来表示，得出参数g，h，i，j。
总的来说，方程的近似解是一种简单、实用的计算方法，它能够得到精确的解决方案，从而节省大量的时间和精力。
由于它的实用性，把它作为一种积极的解决方案在实际应用中受到广泛的认可和应用，从而发挥出它的重要作用。
以上就是关于方程的近似解的介绍，此外，方程的近似解还可以用于计算复杂方程的精确解，这一点也得到了大量的应用。
牛顿法用导数方法求方程的近似解
（1）判断方程根的个数；
（2）已经学习过求方程近似解的 方法有哪些？
牛顿法：
(x0 , f (x0 ))
x1,0
问题：试找出 x0与x1 的关系。
同理，xn与xn1的关系式如何表达？
xn1
xn
f (xn ) ( f f ' (xn )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
' (xn ) 0)
1, n
N*)。
xn
1 xn
,
n
N
*,
x1
3 2
（1）求证： 2 xn1 xn;
（2）求证：
xn1 xn
2 2
1 4
；
（3）求证： xn 2 41n1。
作业：
已知数列xn 满足xn1
xn xn ln xn, n N*, x1
1 2
，
（1）求证：1 xn xn1;
（2）求证：
xn
1
1 2
(1 ln 2)n1(n
问题：不同的初始值对方程的近似解有什么 影响？
问题：如果是电脑计算方程的近似解，如何 确定停止运算的条件？
精度的概念:
1 xn1 xn
z0
问题：通过刚才的例子能否感受到牛顿法求 方程近似解的优点与缺点？
实际应用： 例1：试用牛顿法估算 2 的值。
数列链接：
例3：已知数列
xn
满足：xn1
1 2
由于我们已知函数 f (x) x3 x 1 ，于是：
xn1
xn
xn3 xn 1 3xn2 1
化简后可得：
xn1
2xn3 3xn2
1 1
下面我们将以小组为单位，当给出不同的初 始值 x0 时，分别计算 x1, x2 , x3 ，并将计算好的 结果填入表格。
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习题课
课时目标 1.进一步了解函数的零点与方程根的联系.2.进一步熟悉用“二分法”求方程的近似解.3.初步建立用函数与方程思想解决问题的思维方式．
1．函数f(x)在区间(0,2)内有零点，则()
A．f(0)>0，f(2)<0
B．f(0)·f(2)<0
C．在区间(0,2)内，存在x1，x2使f(x1)·f(x2)<0
D．以上说法都不正确
2．函数f(x)＝x2＋2x＋b的图象与两条坐标轴共有两个交点，那么函数y＝f(x)的零点个数是()
A．0 B．1
C．2 D．1或2
3．设函数f(x)＝log3x＋2
x－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的
取值范围是()
A．(－1，－log32) B．(0，log32)
C．(log32,1) D．(1，log34)
4．方程2x－x－2＝0在实数范围内的解的个数是________________________________．
5．函数y＝(1
2)
x与函数y＝lg x的图象的交点的横坐标是
________．(精确到0.1)
6．方程4x2－6x－1＝0位于区间(－1,2)内的解有__________个．
一、选择题
1．已知某函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)有零点的区间大致是()
A．(0,0.5)
B．(0.5,1)
C．(1,1.5)
D．(1.5,2)
2．函数f(x)＝x5－x－1的一个零点所在的区间可能是()
A．[0,1] B．[1,2]
C．[2,3] D．[3,4]
3．若x0是方程lg x＋x＝2的解，则x0属于区间()
A．(0,1) B．(1,1.25)
C．(1.25,1.75) D．(1.75,2)
4．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是() A．[－2,1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
5．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a<b)，并且α，β(α<β)是函数y ＝f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系是()
A．a<α<β<b B．α<a<b<β
C．α<a<β<b D．a<α<b<β
二、填空题
6．用二分法求方程x2－5＝0在区间(2,3)的近似解经过________次二分后精确度能达到0.01.
7．已知偶函数y＝f(x)有四个零点，则方程f(x)＝0的所有实数根之和为________．
8．若关于x的二次方程x2－2x＋p＋1＝0的两根α，β满足0<α<1<β<2，则实数p的取值范围为___________________．
9．已知函数f(x)＝ax2＋2x＋1(a∈R)，若方程f(x)＝0至少有一正根，则a的取值范围为________．
三、解答题
10．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：
求方程x3．
11．分别求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2x＋m＋1＝0，
(1)有两个负根；
(2)有两个实根，且一根比2大，另一根比2小；
(3)有两个实根，且都比1大．
能力提升
12．已知函数f(x)＝x|x－4|.
(1)画出函数f(x)＝x|x－4|的图象；
(2)求函数f(x)在区间[1,5]上的最大值和最小值；
(3)当实数a为何值时，方程f(x)＝a有三个解？
13．当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．
习题课
双基演练
1．D [函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内存在零点，我们并不一定能找到x 1，x 2∈(a ，b )，满足f (x 1)·f (x 2)<0，故A 、B 、C 都是错误的，正确的为D.]
2．D [当f (x )的图象和x 轴相切与y 轴相交时，函数f (x )的零点个数为1，当f (x )的图象与y 轴交于原点与x 轴的另一交点在x 轴负半轴上时，函数f (x )有2个零点．]
3．C [f (x )＝log 3(1＋2x )－a 在(1,2)上是减函数，由题设有f (1)>0，
f (2)<0，解得a ∈(lo
g 32,1)．]
4．2
解析 作出函数y ＝2x 及y ＝x ＋2的图象，它们有两个不同的交点，因此原方程有两个不同的根．
5．1.9(答案不唯一)
解析 令f (x )＝(12)x －lg x ，则f (1)＝12>0，f (3)＝18－lg 3<0，∴f (x )＝0在(1,3)内有一解，利用二分法借助计算器可得近似解为1.9.
6．2
解析 设f (x )＝4x 2－6x －1，由f (－1)>0，f (2)>0，且f (0)<0，知方程4x 2－6x －1＝0在
(－1,0)和(0,2)内各有一解，因此在区间(－1,2)内有两个解． 作业设计
1．B
2．B [因为f (0)<0，f (1)<0，f (2)>0，
所以存在一个零点x ∈[1,2]．]
3．D [构造函数f (x )＝lg x ＋x －2，由f (1.75)＝f (74)＝lg 74－14<0，f (2)
＝lg 2>0，知x 0属于区间(1.75,2)．]
4．A [由于f (－2)＝－3<0，f (1)＝6>0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．]
5．A [函数g (x )＝(x －a )(x －b )的两个零点是a ，b .
由于y ＝f (x )的图象可看作是由y ＝g (x )的图象向上平移2个单位而得到的，所以a <α<β<b .]
6．7
解析 区间(2,3)的长度为1，当7次二分后区间长度为 127＝1128<1100＝0.01.
7．0
解析 不妨设它的两个正零点分别为x 1，x 2.
由f (－x )＝f (x )可知它的两个负零点分别是－x 1，－x 2， 于是x 1＋x 2－x 1－x 2＝0.
8．(－1,0)
解析 设f (x )＝x 2－2x ＋p ＋1，根据题意得f (0)＝p ＋1>0， 且f (1)＝p <0，f (2)＝p ＋1>0，解得－1<p <0.
9．a <0。